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NUMERISCHE INTEGRATION
Lagrangehilfspolynom Lagrangepolynom Fehlerterm
L n, i (x) = (x−x 0)...(x−x i−1 )(x−x i+1 )...(x−x n)
(x i −x 0 )...(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )...(x i −x n) = Q n
k=0
k≠i
Newton - Cotes - Formeln
x−x k
x i −x k
p n(x) = P n
i=0 f(x i) · L n,i (x) Satz von Taylor
Verfahren
R b
a f(x)dx ≈
R b
a f(x)dx ≤
Tagententrapezformel h · f 1/2
Tagententrapezsumme h(f 1/2 + f 3/2 + . . . + f m−1/2 )
Sehnentrapezformel
Sehnentrapezsumme
Simpsonformel
Simpsonsumme
h
2 (f(x 0) + f(x 1 ))
h
2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + . . . + 2f m−1 + f m)
h
3 (f 0 + 4f 1 + f 2 )
h
3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 . . . + 4f m−1 + f m)
h 3
12 max x∈[a, b] f ′′ (x)
h 2
2 (b − a) max x∈[a,b] f ′′ (x)
h 5
90 max x∈[a, b] f (4) (x)
h 4
180 (b − a) max x∈[a, b] f (4) (x)
Romberg Integration
T 0, 0 = l (f(a) + f(b))
2 T
T 0, 0 + l · f
T 1, 0 = 1 2
T 2, 0 = 1 2
.
T n, 0 = 1 2
T 1, 0 + l 2
f
a + l 2
0
B
@T n−1, 0 + b − a
a + l 1 4
X
2 n−1 2 n −1
i=1
∆i=2
+ f a + l 3 4
T 1, 1 = 4 T 1, 0 − T 0, 0
3
T 2, 1 = 4 T 2, 0 − T 1, 0
3
1
f a + i b − a C
2 A Tn,1 n = 4 T n, 0 − T n−1,0
3
.
T 2, 2 = 16 T 2, 1 − T 1, 1
15
.
T n,2 = 16 T n, 1 − T n−1,1
15
. ..
j, k = 4k T j, k−1 − T j−1, k−1
4 k − 1
. . . T n n = 4n T n, n−1 − T n−1, Tn−1
4 n − 1
Abbruch der Rechnung, wenn der Näherungswert der rechten beiden Spalten der letzten Zeile, bis auf eine vorgegebene Toleranz übereinstimmt.
Monte - Carlo - Methode
Bestimmung von Zufallszahlen im Intervall [a j , b j ]
x i j = a j +
R b
a f(x)dx ≈
b−a
P N
N i=1 f(xi )
zi
10 n (b j − a j ) mit: 0 ≤ z i ≤ 10 n
R b1
R b2
a 1
(b 1 −a 1 )(b 2 −a 2 )
N
mit Zufallszahlen x i j ∈ [a j, b j ];
a 2
f(x 1 , x 2 )dx 1 dx 2 ≈
R b1
P N
i=1 f(xi 1 , xi 2 ) (b 1 −a 1 )...(b n−a n)
N
i = 1, . . . , N
a 1
· · ·R b n
a n
f(x 1 , . . . , x n)dx 1 . . . dx n ≈
P N
i=1 f(xi 1 , . . . , xi n)
LINEARE OPTIMIERUNG
gegeben:
gesucht:
z = ⃗c · ⃗x = (max | min) ⃗c = (c 1 , . . . , c n) z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n
A ⃗x ≤ ⃗ b (Bedingung) ⃗ b = (b1 , . . . , b m), ⃗a ≤ ⃗ b
⃗x ≥ 0 ⃗x = (x 1 , . . . , x n), A = (a ik ) m × n − Matrix
Graphisches Lösungsverfahren
a x + b y = c ⇒ x c + y c
a b
= 1
1. zeichne die Funktionen aller Bedingungen in ein Koordinatensystem
2. zeichne den zulässigen Bereich ein
3. zeichne die Funktion des Maximums (Minimums) ein
4. ein Eckpunkt ist die Lösung
5. löse das GLS der Funktionen am Eckpunkt
6. setze die Lösungen in z(x, y) ein

Simplexmethode zur Lösung eines Standard-Maximum-Problems (mit positiver rechten Seite)
gegeben: Standard Maximum Problem
überführen in kanonische Form:
z = c 1 x 1 + . . . + c nx n = max c 1 x 1 + . . . + c nx n − z = 0
a 11 x 1 + . . . + a 1n x n ≤ b 1 a 11 x 1 + . . . + a 1n x n + x n+1 = b 1
. . . . . . a 21 x 1 + . . . + a 2n x n + x n−2 = b 2
a m1 x 1 + . . . + a mnx n ≤ b n . . . . . .
x k ≥ 0, k = 1, . . . , n
b i ≥ 0, i = 1, . . . , m
a m1 x 1 + . . . + a m1 x n + x n+m = b m
Wahl der Pivotzeile und Pivotspalte
BV x k1 x k2 . . . x kj . . . x kn r.S.
x kn+1 ã 11 ã 12 . . . ã 1j . . . ã 1n
˜b1
˜b1
ã 1j
.
.
x kn+i ã i1 ã i2 . . . ã ij . . . ã in
˜bi
˜bi
ã ij
.
.
x kn+m ã m1 ã m2 . . . ã mj . . . ã mn ˜bm
˜bm
ãmj
−z ˜c 1 ˜c 2 . . . ˜c j . . . ˜c n d
.
.
.
.
.
.
.
.
1. Schritt (Wahl der Pivotspalte):
Wähle Pivotspalte j mit ˜c j = max
i≤k≤n ˜c k > 0
(falls ˜c j ≤ 0: fertig)
Bemerkung: Falls a ij ≤ 0 für i = 1, . . . , m,
so existiert kein Maximum
2. Schritt (Wahl der Pivotzeile):
Wähle Pivotzeile i mit ˜b i
= min
ã ij 1≤i≤m
( )
˜bi
: a ij > 0
ã ij
Das Austauschverfahren
1. ersetze Pivoelement p durch 1 p
2. {Kellerzeilenelement} = Pivotzeilenelement
Pivotelement
3. ersetze Pivotzeile (auch r.S.) durch Kellerzeile (ausgenommen Pivotelement)
4. multipliziere alle Elemente der Pivotspalte (auch c j ) mit − 1 p
5. {restliche Elemente} = {altes Element} − {Pivotspaltenelement} · {Kellerzeilenelement}
Abbruchbedingung
Tausche solange, bis alle c j , d ≤ 0
Simplexmethode zur Lösung eines Standard-Maximum-Problems (mit negativer rechten Seite),
Standard-Minimum-Problems
gegeben:
z = c 1 x 1 + . . . + c nx n = max
a 11 x 1 + . . . + a 1n x n ≤ b 1
. . . . . .
a m1 x 1 + . . . + a mnx n ≤ b n
x k ≥ 0, k = 1, . . . , n
Wahl der Pivotzeile und Pivotspalte
keine Einschränkung der b i
1. Pivotzeile: beliebige Zeile mit negativer rechter Seite
2. Pivotspalte: beliebige Spalte mit negativer Zahl
Bemerkung: Falls Pivotzeile keine negative Zahlen enthält, gibt es keine Lösung
Das Austauschverfahren
Siehe oben!
Abbruchbedingung
Vertausche solange, bis sich herausstellt, dass es keine zulässige Lösung gibt, oder ein Simplextableau mit nicht negativer rechten Seite gibt.

NUMERISCHE METHODE ZUR LÖSUNG PARTIELLER DGL’en
Tabellen zur Differentialrechnung
f(x) f ′ (x) f(x) f ′ (x) f(x) f ′ (x) f(x) f ′ (x)
a 0 x a a x a−1 e x e x ln x
sin x cos x cosx − sin x tan x
arcsin x
√ 1
1−x 2
arccos x
√ −1
1−x 2
arctan x
sinh x cosh x cosh x sinh x tanh x
arsinh x
√ 1
1+x 2 arcosh x
√ 1
x 2 −1
artanh x
1
cos 2 x = 1 + tan2 x
cot x
1
1+x 2 arctan x
1
cosh 2 x = 1 − tanh2 x
1
1−x 2
coth x
arcoth x
1
x
−1
sin 2 x = −1 − cot2 x
−1
1+x 2
−1
sinh 2 x = 1 − coth2 x
1
1−x 2
Tabellen zur Integralrechnung
f(x) F (x) − c f(x) F (x) − c f(x) F (x) − c f(x) F (x) − c
R R
a dx a · x x a x
dx
a+1
a+1
R R R
sin x dx − cos x cos x dx sin x
dx
R
R
dx
dx
arcsin x
− arccos x
√1−x
√1−x
R 2 R 2 R
sinh x dx cosh x cosh x dx sinh x
dx
R
R
dx
√1+x 2 arsinh x
√ dx
x 2 −1
arcosh x
R R
e x dx e x dx
ln |x|
x
R
tan x
R
dx
1+x 2 arctan x
cos 2 x = R (1 + tan 2 ) dx
R
dx
1−x 2
cosh 2 x = R (1 − tanh 2 x) dx
tanh x
artanh x
R
R dx
sin 2 x = (1 + cot 2 x) dx
− cos x
R
dx
1+x 2 −arccot x
R dx
sinh 2 x = (coth 2 x − 1) dx
R
dx
1−x 2
− coth x
arcoth x
Lösen von partiellen DGL’en durch Integrationsmethode (Beispiel)
u xy = 0 u xy = sin x u xx = e y
R R R
u x = u xy(x, R y) dy + C(x) = C(x) u x = R sin x dy + C(x) R = sin x · y + C(x) u x = R e y dx + C(y) R = x e y + C(y)
u(x, y) = u x(x, y) dx + D(y) u = sin x y dx + C(x) dx + D(y) u = x e y dx + C(y) dx + D(y)
= R C(x) dx + D(y) = (− cos x) y + D(y) + E(x) = 1 2 x2 e y + C(y) x + D(y)
Lösen von partiellen DGL’en durch Methode der Trennung der Variablen (Beispiel)
a u x = b u y
x u x = y u y
Produktansatz u(x, y) = f(x) g(y) u(x, y) = f(x) g(y)
Einsetzen in die Dgl a f ′ (x) g(y) = b f(x) g ′ (y) x f ′ (x) g(y) = y f(x) g ′ (y)
Trennung der Variablen
f ′ (x)
b f(x) = g′ (y)
a g(y) = C
x f ′ (x)
f(x)
= y g′ (y)
g(y)
Gewöhnliche Dgl’en f ′ (x) − b C f(x) = 0 ; g ′ (y) − a C g(y) = 0 f ′ (x) − C x f(x) = 0 ; g′ (y) − C y g(y) = 0
R
Allg. Lösung der gew. Dgl’en f(x) = A e b C x ; g(y) = B e a C y C
f(x) = A exp( x dx) = A eC ln x = A x C ;
Lösung (keine Allg.) u(x, y) = A B e C(b x+a y) = K e C(b x+a y) u(x, y) = A B(x y) C = K(x y) C
= C
g(y) = B y C
Annäherung von Ableitungen durch Differenzen
y ′ i = 8
> <
>:
y i −y i−1
h
y i+1 −y i−1
2h
y i+1 −y i
h
rückwärts geno. Differenz
zentrale Differenz
vorwärts geno. Differenz
9
>=
>;
y ′ i ′ = y′ i+1 − y′ i
h
=
y i+1 −y i
h
− y i−y i−1
h
h
y ′ i ′′ = y i+2 − 2y i+1 + 2y i−1 − y i−2
2h 2
= y i+1 − 2y i + y i−1
h 2
Annäherung von partiellen Ableitungen durch Differenzen
u x(x i , y j ) =
8
><
>:
1
h (u ij − u i−1, j )
1
2h (u i+1, j − u i−1, j )
1
h (u i+1, j − u ij )
rückwärts geno. Differenz
zentrale Differenz
vorwärts geno. Differenz
9
>=
>;
u y(x i , y j ) =
8
><
>:
1
k (u ij − u i, j−1 )
1
2k (u i, j+1 − u i, j−1 )
1
k (u i, j+1 − u ij )
9
>=
>;
u xx(x i , y j ) = 1 h 2 (u i+1, j − 2u ij + u i−1, j )
u xy(x i , y j ) = 1
4hk (u i+1, j+1 − u i+1, j−1 − u i−1, j+1 + u i−1, j−1 )
u yy(x i , y j ) = 1
k 2 (u i, j+1 − 2u ij + u i, j−1 )

Cramer’sche Regel
gegeben: A · ⃗x = ⃗r
⇒ x j = det(⃗a 1, . . . , ⃗r, . . . , ⃗a n)
det A
Bemerkung: ideal für n = 2
Das Einzelschrittverfahren von Gauß - Seidel
x (m+1)
1 = 1
b 1 − a 12 x (m)
2 − a 13 x (m)
3 − . . . − a 1n x (m)
n
a 11
x (m+1)
2 = 1
b 2 − a 21 x (m+1)
1 − a 23 x (m)
3 − . . . − a 2n x (m)
n
a 22
x (m+1)
3 = 1
b 3 − a 31 x (m+1)
1 − a 32 x (m+1)
2 − . . . − a 3n x (m)
n
a 33
.
x (m+1)
n = 1
a nn
(. . .)
mit Startvektor ⃗x (0) = ⃗0