Lösungen Standardaufgaben Stochastik - Mathematik
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Grundkurs <strong>Stochastik</strong> 02.04.2007 <strong>Lösungen</strong> <strong>Standardaufgaben</strong> 1<br />
<strong>Lösungen</strong> <strong>Standardaufgaben</strong> <strong>Stochastik</strong><br />
1. Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Berechne ohne Hilfe einer Tabelle die Wahrscheinlichkeit<br />
des Ereignisses E : Der eine oder der andere Würfel zeigt eine gerade Augenzahl<br />
a) P(1.W gerade oder 2.W gerade) = P(1.W gerade)+P(2.W gerade)<br />
− P(1.W gerade und 2.Würfel gerade) = 18<br />
36 + 18<br />
36 − 9 36 = 27<br />
36 = 0.75<br />
2. Aufgrund von Befragungen weiss man, dass 70% aller 15jährigen gerne Sport treiben.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 zufällig ausgewählten Jugendlichen dieses<br />
Alters<br />
• genau 70, die gerne Sport treiben ?<br />
– Anders gesagt: 30 die nicht gerne Sport treiben.<br />
– p = 0.3;P(X = 30) = P(X ≤ 30) − P(X ≤ 29) = 0.549 − 0.462= 0.087<br />
• weniger als 75, die gerne Sport treiben ?<br />
– anders gesagt: 25 oder mehr, die nicht gerne Sport treiben.<br />
– p = 0.3;P(X ≥ 26) = 1 − P(X ≤ 25) = 1 − 0.163 = 0.837<br />
• mindestens 60, aber höchstens 71 Sportbegeisterte ?<br />
– anders gesagt: mindestens 29, aber höchstens 40 nicht Sportbegeisterte.<br />
– p = 0.3;P(29 ≤ X ≤ 40) = P(X ≤ 40) − P(X ≤ 28) = 0.987 − 0.377= 0.610<br />
b) Bei der Beliebtheit von Schulfächern sind keine ehrlichen Antworten zu erwarten. Deshalb bietet<br />
man folgende Befragungsmethode an: Der Befragte darf vor der Antwort verdeckt würfeln.<br />
Falls Augenzahl 6 fällt, soll die Antwort auf jeden Fall JA heissen. Falls Augenzahl 1 oder 2<br />
gewürfelt wird, muss NEIN angegeben werden. Bei den übrigen Augenzahlen muss wahrheitsgetreu<br />
geantwortet werden.<br />
• Stelle den Befragungsvorgang als 2stufigen Zufallsversuch dar.<br />
1,2<br />
1/3<br />
1/2<br />
3,4,5<br />
1/6<br />
6<br />
NEIN<br />
JA<br />
NEIN<br />
JA<br />
• Angenommen, es mögen tatsächlich 21% das Fach Physik. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass bei einem zufällig ausgewählten Testbogen beim Fach Physik JA steht ?<br />
– Der Baum kann nun genauer gezeichnet werden:<br />
1/3<br />
1/2<br />
1/6<br />
1,2<br />
3,4,5<br />
0.21 0.79<br />
6<br />
NEIN<br />
JA<br />
NEIN<br />
JA<br />
– P(JA) = 0.5 · 0.21+1/6= 0.27
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Grundkurs <strong>Stochastik</strong> 02.04.2007 <strong>Lösungen</strong> <strong>Standardaufgaben</strong> 2<br />
• Angenommen, bei 35% der Bögen wurde bei <strong>Mathematik</strong> mit JA geantwortet. Bei wieviel<br />
Prozent der der Jugendlichen ist <strong>Mathematik</strong> tatsächlich beliebt ?<br />
1/3<br />
1/2<br />
1/6<br />
1,2<br />
3,4,5<br />
6<br />
x<br />
1-x<br />
NEIN<br />
JA<br />
NEIN<br />
JA<br />
• 0.5x+1/6 = 0.35 ⇒ x = 0.37 ⇒ Bei 37% der Schüler<br />
3. Bei einem Multiple-Choice-Test werden 50 Aufgaben mit jeweils 4 Antworten zur Auswahl gestellt<br />
(Von den Antworten ist jeweils nur eine richtig). Die Fragen befassen sich mit einem begrenzten<br />
Stoffbereich. Wir gehen davon aus, dass der Schüler bei Kenntnis eine Frage richtig beantwortet.<br />
a) Ein Schüler hat einen Kenntnisstand von 70%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er bei 50<br />
Fragen mehr als 33 Fragen richtig beantworten ?<br />
• Anders gesagt: Weniger als 17 falsch beantworten.<br />
• p = 0.3: P(X ≤ 16) = 0.684<br />
b) Ein Schüler hat keine Vorkenntnisse über das Prüfungsgebiet des Tests. Er rät die richtigen<br />
Antworten mit einer Ratewahrscheinlichkeit von jeweils 1/4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit<br />
wird der Schüler mindestens die Hälfte von 20 Fragen richtig beantworten ?<br />
• 2 mögliche Ergebnisse: richtige Antwort p = 0.25 oder falsche Antwort, also binomialverteilt.<br />
• P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0.986 = 0.014<br />
4. In den Medien wird verstärkt über den Konsum von Videofilmen bei Jugendlichen berichtet. 60%<br />
der Jugendlichen einer bestimmten sozialen Schicht gehören zu den regelmässigen Videokonsumenten,<br />
allerdings geben dies nur 70% von ihnen zu. Unter denen, die nicht regelmässig Videofilme<br />
anschauen, behaupten jedoch 40% von sich, dies zu tun.<br />
a) Stelle die Informationen mit einem Baumdiagramm dar.<br />
0.6<br />
0.4<br />
V<br />
0.7 0.3<br />
KV<br />
0.6 0.4<br />
E<br />
NE<br />
E<br />
NE<br />
b) • Welcher Anteil behauptet von sich, regelmässig Videofilme zu betrachten ? → 0.6 · 0.7+<br />
0.4 · 0.4 = 0.58<br />
• Welcher Anteil macht eine falsche Angabe bei der Befragung ? → 0.6·0.3+0.4·0.4 = 0.34<br />
c) Eine Videothek leiht von Freitag zu Montag verbilligt Videofilme aus. 12% der ausleihenden<br />
Jugendlichen (bis 21 Jahre) nehmen nur einen Film mit, 37% zwei Filme, 46% drei Filme und<br />
der Rest sogar 4 Filme. Berechne den durchschnittlichen Videokonsum pro Wochenende.<br />
• X: Anzahl Filme pro Wochenende. X kann die Werte 1,2,3 und 4 annehmen.<br />
• 0.12 · 1+0.37 · 2+0.46 · 3+0.05 · 4= 2.44 Filme.
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Grundkurs <strong>Stochastik</strong> 02.04.2007 <strong>Lösungen</strong> <strong>Standardaufgaben</strong> 3<br />
d) Aufgrund der Preisgestaltung verdient die Videothek bei der Ausleihe einer Kassette 2.40DM,<br />
bei zwei Kassetten 2.20DM, bei drei Kassetten 2DMund bei vier Kassetten 1.80DM(jeweils pro<br />
Kassette). Berechne den durchschnittlichen Gewinn pro Kunde und pro ausgeliehener Kassette.<br />
• X :mögliche Gewinne, X kann die Werte 2.40,4.40,6 und 7.20 annehmen.<br />
• E(X) = 0.12 · 2.40+0.37 · 4.40+0.46 · 6+0.05 · 7.20= 5.04Fr<br />
5. Ein Glücksrad enthält 5 gleich grosse Sektoren mit den Ziffern 1,2,3,4,5.<br />
a) Das Rad wird 3 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis<br />
i) Alle Nummern sind verschieden.<br />
• P(alle Nummern verschieden) = 5·4·3 = 60<br />
5 3 125 = 0.48.<br />
ii) Mindestens zweimal bleibt das Glücksrad auf einer geraden Nummer stehen.<br />
• Binomialverteilung: Gerade (P=0.4) oder ungerade (P=0.6).<br />
• P(mind. 2 mal gerade) = 3 · 0.4 2 · 0.6+0.4 3 = 0.352<br />
b) Beim Summenspiel wird das Rad 2 mal gedreht. Man erhält 1DM ausgezahlt, wenn die Summe<br />
der beiden Nummern 5,6 oder 7 ist, 2DM für Summe 8 oder 9, 3DM für Summe 10, in den<br />
anderen Fällen nichts. Welchen Einsatz muss das Spiel haben, damit es für den Betreiber auf<br />
lange Sicht gewinnbringend ist?<br />
•<br />
Summe 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Fälle 1 2 3 4 5 4 3 2 1<br />
• Wir können nun die Tabelle mit den Gewinnwahrscheinlichkeiten aufstellen:<br />
Gewinn 1 2 3<br />
Fälle 13 5 1<br />
Wahrsch. 13/25 5/25 1/25<br />
• E(X) = 1 ·0.52+2·0.2+0.04= 0.96 ⇒ Der Einsatz muss mind. 0.97DM betragen, in der<br />
Praxis 1DM.<br />
6. Ein Hersteller von Kaubonbons legt in jedes 5.Päckchen einen Gutschein für den kostenlosen Bezug<br />
eines weiteren Päckchens mit diesen Kaubonbons.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man beim Kauf von 100 Päckchen mehr als 25 Gutscheine<br />
erhalten ?<br />
• p = 0.2;P(X > 25) = 1 − P(X ≤ 25) = 1 − 0.913 = 0.087<br />
b) Jemand kauft nun ein Päckchen. Stelle dieses Situation mit einem Baumdiagramm dar. Beachte,<br />
dass in diesem Päckchen ein Gutschein sein kann und man dann sofort ein neues Päckchen erhält.<br />
Nimm an, dass in dieser Aufgabe jemand nach 5 Gutscheinen kein weiteres Päckchen mehr<br />
nimmt.<br />
KG<br />
0.8<br />
KG<br />
0.2 0.8<br />
G<br />
KG<br />
0.2 0.8<br />
G<br />
KG<br />
0.2 0.8<br />
G<br />
0.2 KG<br />
G<br />
0.8<br />
0.2<br />
G<br />
c) Wir definieren die Zufallsgrösse Y:Anzahl Gutscheine (Wieder max. 5 Gutscheine,s.(b)). Bestimme<br />
den Erwartungswert von Y.<br />
• E(Y) = 0 · 0.8+1·0.2 · 0.8+2·0.2 2· 0.8+3·0.2 3· 0.8+4·0.2 4· 0.8+5·0.2 5 ≈ 0.25