¨Ubungen zu Mathematische Methoden der Physik I - Theoretische ...

Übungen zu Mathematische Methoden der Physik I
WiSe 2010/2011
Prof. Dr. A. Khodjamirian, S. Gadatsch, P. Gelhausen, D. Rosenthal
Präsenzübung 3 — Besprechung: 9. November 2010
Aufgabe 8: Pauli-Matrizen und Levi-Civita-Symbol
Betrachten Sie die drei Pauli-Matrizen
( ) 0 1
σ 1 =
σ
1 0 2 =
Zeigen Sie für i, j, k ∈ {1, 2, 3}:
a) σ i σ j = δ ij 1 + iɛ ijk σ k
b) [σ i , σ j ] = 2iɛ ijk σ k
c) {σ i , σ j } = 2δ ij 1
( ) 0 −i
i 0
σ 3 =
( ) 1 0
.
0 −1
Zeigen Sie weiterhin folgende Relationen für Spuren der Pauli-Matrizen:
d) Tr (σ i σ j ) = 2δ ij
e) Tr (σ i σ j σ k ) = 2iɛ ijk
f) Tr (σ i σ k σ l σ m ) = 2 (δ ik δ lm + δ im δ kl − δ il δ km )
Überprüfen Sie abschließend für das Levi-Civita-Symbol, dass
⎛
⎞
δ im δ in δ ir
g)* ɛ ikl ɛ mnr = det ⎝δ km δ kn δ kr
⎠
δ lm δ ln δ lr
und zeigen damit, dass für die Kontraktionen gilt:
h) ∑ ∑
ɛ ikl ɛ mkl = 2δ im
k l
i) ∑ l
ɛ ikl ɛ mnl = δ im δ kn − δ in δ km
bitte wenden

Hinweise:
• [A, B] = AB − BA bezeichnet den Kommutator zweier Matrizen A und B.
• {A, B} = AB + BA bezeichnet den Antikommutator zweier Matrizen A und B.
• Der total antisymmetrische Tensor 3. Stufe (Levi-Civita-Symbol) ist definiert als
⎧
⎪⎨ +1 falls (ijk) gerade Permutation von (123)
ɛ ijk = −1 falls (ijk) ungerade Permutation von (123)
⎪⎩
0 sonst
• Verwenden Sie gegebenenfalls eine geeignete Darstellung des Levi-Civita-Symbols
in drei Dimensionen, z.B. als Spatprodukt dreier orthogonaler Einheitsvektoren.
Bemerkung:
Die Pauli-Matrizen bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2 × 2 Matrizen und
treten im Zusammenhang mit Spin (= “innerer” Drehimpuls) 1 2
Teilchen, zum Beispiel
( 1
Elektronen, in der Quantenmechanik auf. So lässt sich Spin-up darstellen als | ↑〉 =
0)
( 0
und entsprechend Spin-down als | ↓〉 = . Damit lassen sich die Pauli-Matrizen
1)
darstellen als
σ 1 = | ↑〉〈↓ | + | ↓〉〈↑ | σ 2 = −i| ↑〉〈↓ | + i| ↓〉〈↑ | σ 3 = | ↑〉〈↑ | − | ↓〉〈↓ |.
Aufgabe 9: Inverse Matrix
a) Überprüfen Sie, dass die inverse Matrix einer allgemeinen 2 × 2 Matrix
( ) a b
A =
c d
gegeben ist durch
und verifizieren Sie dies für
A −1 = 1
det A
A =
( d
) −b
−c a
( ) 3 −2
.
1 1
bitte wenden

) Berechnen Sie mittels der Adjunkten die inverse Matrix zu
⎛
1 2
⎞
0
⎛
cos 2 α sin α
⎞
0
A = ⎝0 1 −1⎠ und B = ⎝ sin α −1 0⎠ .
3 0 −1
0 0 2
Hinweise:
• Die Adjunkte der allgemeinen 3 × 3 Matrix
⎛
a b
⎞
c
A = ⎝d e f⎠
g h i
ist gegeben durch
⎛ ( ) e f
det
(
h i
)
adj(A) =
b c
− det
⎜ (
h
)
i
⎝ b c
det
e f
( ) d f
− det
(
g
)
i
a c
det
(
g i
) a c
− det
d f
( ) ⎞ d e
det
g h
( )
a b
− det
(
g h
) ⎟
a b ⎠
det
d e
T
.
Aufgabe 10: Wiederholung: Determinanten
Sind diese Behauptungen richtig? Determinanten ändern ihren Wert nicht, wenn man:
a) Die Reihenfolge der Zeilen vertauscht.
b) Eine Zeile mit einer Konstanten multipliziert.
c) Die Matrix transponiert.
d) Zu einer Zeile eine andere Zeile addiert.
e) Zu einer Spalte eine andere Spalte addiert.
f) Eine Zeile mit einer anderen Zeile elementweise multipliziert.
g) Zwei Zeilen gleichzeitig mit −1 multipliziert.
Geben Sie jeweils ein Gegenbeispiel für die Fragen, die mit “nein” beantwortet werden
müssen.