Zusammenfassung: Konstruktivität, Bedeutung der ...

Zusammenfassung: Konstruktivität, Bedeutung der
Existenzquantoren, Vektorräume, Matrizen, der
Gaußsche Algorithmus
Wiederhole die obigen Themen. Wir stellen Fragen im Testat!
Integrale als Konstruktion neuer Funktionen I:
Logarithmus
Aufbauend auf den Abschnitten: "Definition des Riemannintegrals"
Aufgaben: 1
> restart;
Inhalt
Man kann den Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung auch
so verstehen, dass eine neue Funktion durch eine gegebene konstruiert wird
(eben als Integralfunktion). Man kann die Eigenschaften des Integrals
benutzen, um Eigenschaften der neuen Funktion herzuleiten.
MATH: Der (natürliche) Logarithmus war eingeführt worden als
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, woraus man direkt auf die
Ableitung schließen konnte. Wir wollen jetzt den Logarithmus als
Stammfunktion von auf dem offenen Intervall diskutieren,
ohne die erste Definition zu benutzen:
> L:=unapply(int(1/t,t=1..x),x);
Warning, unable to determine if 0 is between 1 and x; try
to use assumptions or use the AllSolutions option
(2.1.1)
>
L(x*y);
(2.1.2)
Dies sieht fast wie die rechte Seite der Substitutionsregel aus. In der Tat,
ist offenbar gleich
> L(x)+int(1/(t),t=x..x*y);
Warning, unable to determine if 0 is between x and x*y;
try to use assumptions or use the AllSolutions option
(2.1.3)
MAPLE kann verifizieren, daß das zweite Integral gleich L(y) ist:

simplify(int(1/(u),u=x..x*y)-L(y)) assuming x>0 assuming
y>0;
0
(2.1.4)
DENKANSTOSS: Kannst du das auch mit Hilfe der Substitutionsregel
verifizieren? Was ist die geometrische Bedeutung dieser erstaunlichen
Identität?
Wir halten fest:
MATH: Für
gilt die Funktionalgleichung
.
MAPLE: Nachdem wir MAPLE mitgeteilt haben, daß x reell positiv ist, weiß es,
daß L und dasselbe sind. Wir wollen dieses Wissen nicht benutzen.
> L(x) assuming x>0;
(2.1.5)
DENKANSTOSS: Benutze die Integraldefinition von ln, um
1) für ,
1') für ,
2) ln monoton steigend
nachzuweisen. Benutze die Funktionalgleichung, um
3) ,
3')
nachzuweisen.
MATH: Die Funktionalgleichung sagt uns, daß der Logarithmus einen
Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe der positiven reellen
Zahlen in die additive Gruppe (=,+) aller reellen Zahlen darstellt.
Dies bedeutet anschaulich, daß multiplikative Phänomene auf einer additiven
Skala dargestellt werden.
So heißt z. B.
> diff(ln(f(x)),x);
für positives f die logarithmische Ableitung, die uns multiplikatives
Wachstum auf einer additiven Skala repräsentiert:
> dsolve(diff(ln(f(x)),x)=g(x),f(x));
(2.1.6)
Beachte insbesondere den Fall g(x)=1.
(2.1.7)
DENKANSTOSS: Lassen Sie sich durch die logarithmische Ableitung zu einer
Formel für die Ableitung eines Produktes von n positiven Funktionen
inspirieren. Gilt die Formel auch ohne die Voraussetzung der Positivität?

ÜBUNG [01]:
1) Folgere aus der Homomorphieeigenschaft der Funktion L von oben
(Multiplikation im Definitionsbereich überträgt sich zu Addidtion bei den
Werten), dass sie (und damit auch der Logarithmus) auf der postiven
reellen Achse sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist
(Beweis!).
2) Zeige, dass bijektiv ist.
3) Finde danach die Ableitung der Umkehrfunktion von
4) Zeige, dass die Umkehrfunktion der Funktion L die Expontentialfunktion
ist.
Uneigentliche Integrale
Aufbauend auf den Abschnitten: "Definition des Riemannintegrals", "Der
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung"
Aufgaben: 2
> restart;
Uneigentliche Integrale
Das Integral ist bereits ein Grenzwert. Kann man die obere Grenze gegen
unendlich oder die untere gegen -unendlich laufen lassen oder eines von
beiden gegen eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle) der Funktion, so kann man
wieder Grenzwertbetrachtungen anstellen. Diese sind für sich interessant,
lassen sich aber auch auf Konvergenzbetrachtungen von Reihen anwenden,
weil der Fundamentalsatz oft die explizite Bestimmung der
Integralfunktionen ermöglicht.
MATH: Es gibt diverse Situationen, wo man über uneigentliche
Riemannintegrierbarkeit spricht. Wir wollen nur eine hervorheben:
heißt uneigentlich Riemannintegrierbar, falls die Einschränkung von f auf
jedes Intervall [a,b] mit Riemannintegrierbar ist und
existiert (als reelle Zahl).
DENKANSTOSS: Man ziehe eines der Vergleichskriterien aus der Vorlesung
heran, um für positive Funktionen f die Konvergenz von 0 für
gegen unendlich als notwendige Bedingung für uneigentliche
Integrierbarkeit nachzuweisen.
MAPLE kann uneigentliche Riemannintegrierbarkeit oftmals leicht
feststellen, z. B. weil es die Stammfunktion formal ausrechnen kann.
> int(Pi/2-arctan(x),x=0..infinity);
(3.1.1)

int(arctan(x),x);
(3.1.2)
also nicht uneigentlich Riemanintegrierbar. Aber:
> int(Pi/2-arctan(x^2),x=0..infinity);
(3.1.3)
>
int(arctan(t^2),t=0..x);
limit(x*Pi/2-%,x=infinity);
(3.1.4)
Integralvergleichskriterium für Reihen
MATH: (Integralvergleichskriterium für Reihen): Sei
monoton fallend. Dann sind
und
entweder beide divergent oder beide konvergent.
Die Anwendung ist meistens so, dass man die Konvergenz des Integrals
entscheiden kann und dann auf die Reihe schließt. Der Grenzwert der Reihe
ist im Falle der Konvergenz dann aber immer noch nicht bestimmt.
DENKANSTOSS: Vergleiche auch Verdichtungslemma: Unter den obigen
Voraussetzungen sind
und
entweder beide konvergent oder beide divergent.
ÜBUNG [01]:
1) Ist monoton fallend?
2) Benutze das obige Vergleichskriterium, um die Konvergenz von

zu entscheiden.
DENKANSTOSS: Was hat das Folgende mit dem obigen Kriterium zu tun?
> limit(sum(1/n,n=1..k)-int(1/x,x=1..k),k=infinity);
Warning, unable to determine if 0 is between 1 and k; try
to use assumptions or use the AllSolutions option
(3.2.1)
>
evalf(gamma);
Eulersche Integrale
0.5772156649
(3.2.2)
Hier geht es um die Eulersche Betafunktion und ihren Zusammenhang mit
der Gammafunktion. Die Betafunktion ist verwandt mit dem Kehrwert der
Binomialkoeffizienten:
> Beta(p,q)=Int(x^(p-1)*(1-x)^(q-1),x=0..1);
(3.3.1)
>
Beta(1,q);
1
(3.3.2)
(Das griechische grosse sieht aus wie ein B.)
ÜBUNG [02]:
1) Für welche (reellen) Werte von p und q ist der obige Ausdruck
ein uneigentliches Integral?
2) Wann ist es divergent?
Hinweis: Unterteile das Intervall und schätze jeweils einen Faktor des
Integraden ab.
MATH: Die Gammafunktion
> int(t^(x-1)*exp(-t),t=0..infinity);
interpoliert die Funktion
,
wie man durch iterierte partielle Integration sieht.
> GAMMA(1),0!;
(3.3.3)

GAMMA(2),1!;
GAMMA(3),2!;
GAMMA(4),3!;
GAMMA(5),4!;
Man kann mit hilfe von darstellen
> int(x^(p-1)*(1-x)^(q-1),x=0..1);
(3.3.4)
(3.3.5)
und erkennt die Ähnlichkeit zum Kehrwert des Binomialkoeffizienten.
DENKANSTOSS: Für welche p liegt ein uneigentliches Integral vor? Wann
haben wir Divergenz?
> int(exp(-x)*x^(-1/2),x=0..infinity);
>
>
>
int(exp(-x)*x^(-2),x=0..infinity);
simplify(n!-GAMMA(n+1));
GAMMA(7);
Aufgaben: 1
> restart;
with(LinearAlgebra):
0
720
Funktionenräume, die unter Differentiation
abgeschlossen sind
(3.3.6)
(3.3.7)
(3.3.8)
(3.3.9)
Aufbauend auf den Abschnitten: "Matrix einer linearen Abbildung", "Definition
des Riemannintegrals", "Der Fundamentalsatz der Differential- und
Integralrechnung"
Inhalt und Lösungen
Vorbemerkung: Im Folgenden werden gewisse Endomorphismen (also lineare
Abbildungen eines Vektorraumes in sich) behandelt. Schreibt man die
zugehörigen Matrizen, so wird bei Bild und Urbild in der Regel dieselbe Basis
zu Grunde gelegt.
MATH: Der Fundamentalsatz der Differential- und Interalrechnung sagt uns,
daß die Stammfunktionsbildung rechtsinvers zur Differentiation ist. Hat

man nun einen endlichdimensionalen Vektorraum V von Funktionen, bei
dem die Ableitung der Funktionen wieder in V liegt, so ist die Differentiation
ein Endomorphismus von V, welcher genau dann ein Automorphismus ist,
wenn V keine konstanten Funktionen enthält. In diesem Fall kann man durch
einfaches Invertieren dieser Abbildung die Integration durchführen.
BEIPSPIEL: Die folgende Funktion soll Integriert werden:
> f:=x^4*exp(x);
> mm:=[f,op(map(i->expand(diff(f,x$i)),[$1..5]))];
(4.1.1)
(4.1.2)
Wir nehmen mal an, daß die Funktionen in dem Tupel linear unabhängig
sind. Um die Abgeschlossenheit des Vektorraumerzeugnisses unter der
Ableitung zu prüfen, brauchen wir nur die letzte Funktion abzuleiten und
schauen, ob sie im Erzeugnis der vorherigen Funktionen liegt:
> nn:=simplify((diff(mm[-1],x)-add(a[i]*mm[i],i=1..6))/exp
(x));
(4.1.3)
>
coeffs(nn,x);
(4.1.4)
>
solve({%});
(4.1.5)
Wir sehen, daß unsere Funktionen im Tupel m sogar linear abhängig sind.
Schlauerweise hätten wir eher aufhören sollen zu differenzieren:
> mm:=map(i->expand(diff(f,x$i)),[$1..4]):mm:=[f,op(mm)]:
nn:=simplify((diff(mm[-1],x)-add(a[i]*mm[i],i=1..5))/exp
(x)):
l:=solve({coeffs(nn,x)});
(4.1.6)
Die fünfte Ableitung liegt also im Raum der nullten bis vierten Ableitung.
Also ist die Matrix der Ableitung bezüglich der Basis mm:
> A:=CompanionMatrix(x^5-subs(l,add(a[i]*x^(i-1),i=1..5)),x)
;
(4.1.7)

(4.1.7)
Die erste Spalte der Inversen, sollte uns die Koeffizienten des Integrals von
geben.
> A^(-1);
(4.1.8)
> factor((convert(mm,Vector[row]).A^(-1))[1]);
In der Tat:
> int(x^4*exp(x),x);
(4.1.9)
(4.1.10)
MATH: Endlichdimensionale Funktionenräume, die unter Differentiation
abgeschlossen sind, werden beispielsweise erzeugt von einer der folgenden
Funktionen und ihren (höheren) Ableitungen:
DENKANSTOSS: Warum kann man durch Produktbilden endlich vieler der
obigen Funktionen, wieder solche Beispiele bekommen?
ÜBUNG [01]:
1) Verstehe das obige Verfahren.
2) Wieso scheitert obiges Verfahren bei den Polynomen, obwohl ein
gegebenes Polynom und seine Ableitungen doch einen endlichdimensionalen
Vektorraum erzeugen?
3) Du darfst für diese Aufgabe nur die Stammfunktionen von Polynomen
und obige Methode benutzen. Damit lassen sich bei 3 der folgenden 4
Funktionen Stammfunktionen angeben. Finde heraus, welches diese 3
Funktionen sind. Finde mit den erlaubten Methoden bei diesen 3
Funktionen eine Stammfunktion. Begründe, warum das Verfahren bei der
anderen Funktion nicht funktioniert.
a)
b)
c) (Hinweis: Um die zugehörigen linearen
Gleichungssysteme effektiv aufzustellen, kann man mit der
Taylorentwicklung arbeiten.)

d) .
4) Differenziere jeweils das Ergebnis als Probe.
Projektionen und direkte Zerlegungen von
Vektorräumen
Aufbauend auf den Abschnitten: "Matrix einer linearen Abbildung", "Basen"
Aufgaben: 2
> restart;
with(LinearAlgebra):
Projektionen und Zerlegungen in direkte Summen
Projektionen sind eine wichtige Klasse von Endomorphismen von
Vektorräumen. Sie stehen in Bijektion zu Zerlegungen eines Vektorraumes in
eine direkte Summe. Wir werden bei der Zerlegung eines Vektorraumes in
Haupträume/Eigenräume auf die Projektionen zurückgreifen.
MATH: Seien , Vektorräume über dem Körper . Die Paarmenge
wird zu einem -Vektorraum durch die Setzung
für alle .
Dieser neue Vektorraum über heißt die (äußere) direkte Summe von und
und wird mit bezeichnet. Wir richten unser Augenmerk auf die
folgenden beiden Endomorphismen (= lineare Abbildungen eines
Vektorraums in sich) von :
und
MATH: Ein Endomorphismus eines -Vektorraumes heißt idempotent
oder Projektion, falls
gilt. In diesem Fall haben wir einen Isomorphismus
und
ist auch eine Projektion von
Sie erfüllt
Klar:
sind Projektionen mit

MATH: Ein -Vektorraum heißt (innere) direkte Summe der beiden
Teilräume , falls die äußere direkte Summe vermöge
isomorph zu ist. In diesem Fall schreiben wir :
Mit anderen Worten:
.
DENKANSTOSS: Die äußere direkte Summe ist eine Konstruktion. Die innere
direkte Summe ist das Ergebnis einer Analyse, die gezeigt hat, dass nach
geeigneter Identifikation die Situation der Konstruktion vorliegt.
MATH: Sei nun
eine Projektion. Wählt man nun eine an
angepasste Basis von , die also durch das Anhängen einer Basis von
an eine Basis von zustande kommt, so hat die Matrix von bezüglich
dieser Basis Diagonalgestalt mit -en und -en auf der Diagonalen.
BEISPIEL: : Matrix von :
> DiagonalMatrix([0*IdentityMatrix(2),IdentityMatrix(3)]);
(5.1.1)
MATH: Gibt man nur einen Teilraum
Teilräume mit
vor, so hat man in der Regel viele
Jeden dieser Teilräume nennt man Komplement von in
Addiert man nämlich auf die Vektoren einer Basis von beliebige Elemente
von , so bekommt die Basis eines Teilraumes mit
,
also ein neues Komplement.
DENKANSTOSS: Alle Komplemente von in können auf diese Art erhalten
werden.
ÜBUNG [01]:
1) Formuliere eine formelle Aussage, welche folgendes präzisiert:
"Die Beschreibung eines Vektorraums als direkte Summe ist äquivalent
zur Angabe eines idempotenten Endomorphismus von ."
2) Zeige, dass die Spalten der nachfolgenden Matrix eine Basis
von bilden und folgere, dass die direkte Summe der beiden
Teilräume ist, die von den ersten beiden bzw. von der letzten Spalte von
erzeugt werden. (Beachte: Der Körper ist beliebig!)
3) Gib die Matrizen der beiden zugehörigen Projektionen bezüglich der

Standardbasis von
an.
4) Zerlege die Spalte in seine Komponenten bezüglich der Zerlegung.
5)
Gebe alle Komplemente von
in an, indem du die Matrix der Projektion auf bezüglich der
Standardbasis angibst.
> A:=Matrix([[ 1 , 1 , 1 ],
[ 1 , 0 , 1 ],
[ 0 , 1 , 1 ]]);
(5.1.2)
An Endomorphismen angepasste Projektionen
MATH: Ein Endomorphimus
von falls
heißt vertauschbar mit der Projektion
gilt. Offenbar sind dann die beiden Teilräume und invariant
unter d. h.
und .
BEISPIEL (Fortsetzung): , , Matrix von :
> DiagonalMatrix([0*IdentityMatrix(2),IdentityMatrix(3)]);
(5.2.1)
Die Matrix von muss dann Blockdiagonalgestalt haben:
> DiagonalMatrix([Matrix(2,2,symbol=alpha),Matrix(3,3,
symbol=beta)]);
(5.2.2)

(5.2.2)
DENKANSTOSS: Hat man eine direkte Zerlegung
mit -invarianten
Teilräumen , so ist mit den zugehörigen Projektionen
vertauschbar.
BEISPIEL: Sei mit in . Weiter sei
der Teilraum der symmetrischen Matrizen und
der Teilraum der schiefsysmmtrischen Matrizen. Dann gilt:
und das Transponieren
lässt offenbar diese beiden Teilräume invariant, ist also vertauschbar mit
den Projektionen.
In der Tat sind die beiden Projektionen gegeben durch
> sym:=(A::Matrix)->1/2*(A+Transpose(A)):
> schief:=(A::Matrix)->1/2*(A-Transpose(A)):
> A:=RandomMatrix(4,4);
(5.2.3)
>
sym(A),schief(A);
(5.2.4)
>
Equal(sym(A), Transpose(sym(A)));
Equal(schief(A), -Transpose(schief(A)));
true
true
(5.2.5)

(5.3.2)
> Equal(sym(A)+schief(A), A);
true
(5.2.6)
ÜBUNG [02]:
1) Gib eine an die Zerlgung in und angepasste Basis von an.
2) Wie sieht die Matrix des Transponierens bezüglich dieser Basis aus?
(Hinweis: Welche Dimension hat ? Wie groß muss also die Matrix sein?)
>
interface(rtablesize=16):
Zerlegungen in mehrere Summanden
MATH: Man kann alle Konzepte (direkte Summen, mit direkten Summen
verträgliche Endomorphismen, angepapasste Basen) auf den Fall von endlich
vielen direkten Summanden ausdehnen. Wir begnügen uns mit dem Zugang
über Projektionen:
Eine Zerlegung der Identität in orthogonale Projektionen, Zerlegung der
Identität in orthogonale Idempotente oder ein vollständiges System von
Projektionen ist gegeben durch ein -Tupel
von Endomorphismen von mit
1.) (Idempotent)
2.) ("orthogonal")
3.) (vollständig)
Man hat dann
Ein Endomorphismus von ist verträglich mit der Zerlegung, falls jedes
-invariant ist, oder, was äquivalent hierzu ist:
für alle . Bezüglich angepasster Basen hat eine Blockdiagonalmatrix, wobei
der -te Block die Wirkung von auf beschreibt.
BEISPIEL:
> P:=[DiagonalMatrix([1,0,0,0]),DiagonalMatrix([0,1,0,0]),
DiagonalMatrix([0,0,1,1])];
(5.3.1)
>
A:=Matrix(4,4,symbol=rho);

(5.3.2)
>
Ainv:=add(P[i].A.P[i],i=1..3);
(5.3.3)
ist dann invariant bezüglich der Zerlegung. Unser Spiel wird sehr bald sein,
ohne die Kenntnis von
> T:=RandomMatrix(4,4,generator=rand(-1..2));
(5.3.4)
bei Matrizen der Form
> Ainvtra:=T.Ainv.T^(-1);
(5.3.5)

via
> Ptra:=map(r->T.r.T^(-1),P);
(5.3.6)
auf die einfache Situation mit P und Ainv zurückzukommen. Beachte, die
Vertauschbarkeit ist auch im Chaos gegeben:
> map(r->r.Ainvtra-Ainvtra.r,Ptra);
(5.3.7)
Gruppenhomomorphismen,
Signum
Aufbauend auf: "Gruppen- und Körperaxiome"
Aufgaben: 3
> restart;
with(LinearAlgebra):
Symmetrische Gruppe
MATH: Abbildungen von algebraischen Strukturen, die das Rechnen
übertragen heißen Homomorphismen. Wir nehmen Gruppen als algebraische
Struktur und wollen einige wichtige Beispiele von Gruppenhomomorphismen
kennenlernen.
Genauer: Seien und Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine
Abbildung
für die gilt
für alle .
DENKANSTOSS: Hieraus folgt , sowie .
Weiterhin ist ein Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus ein injektiver, surjektiver
bzw. bijektiver Homomorphismus.

Ist die Gruppe kommutativ, schreibt man häufig
Verknüpfung, man muss also aufpassen!
anstatt für die
Ein Beispiel kennen wir schon: lineare Abbildungen. Schließlich sind
Vektorräume Gruppen und lineare Abbildungen sind mit der Addition
verträglich.
Die erste Gruppe die wir behandeln ist die Gruppe
Abbildung von
aller bijektiven
in sich, genannt die symmetrische Gruppe auf Symbolen. Die Elemente
werden auch Permutationen von
genannt.
Wir schreiben eine Permutation als -Tupel
.
Hier ein Programm für das Produkt in dieser Datenstruktur:
> pro:=proc(a::list,b::list)
if nops(a)nops(b) or {op(a)}{$1..nops(a)} or {op(b)}
{$1..nops(a)} then
error "Falsche eingabe";
end if;
return map(i->a[i],b);
end proc:
>
pro([2,1,3],[1,3,2]);
ÜBUNG [01]:
Schreibe ein Programm "inv" zum Invertieren einer Permutation
(6.1.1)
MATH: Offenbar bilden die invertierbaren -Matrizen über einem Körper
ebenfalls eine Gruppe, genannt generelle lineare Gruppe des Körpers
vom Grad , bezeichnet mit . Hier ist ein Gruppenhomomorphismus
>
>
P:=proc(a::list)
if {op(a)}{$1..nops(a)} then
error "Falsche eingabe";
end if;
SubMatrix(IdentityMatrix(nops(a)),1..nops(a),a);
end proc:
P([2,1,3]);
(6.1.2)
Ein kurzer Test (kein Beweis), ob es sich um einen Homomorphismus
handelt.
> P([2,1,3]).P([3,2,1]);
(6.1.3)

(6.1.3)
>
P(pro([2,1,3],[3,2,1]));
(6.1.4)
Die Botschaft dieses Homomorphimus ist, dass es keinen großen
Unterschied macht, ob man
oder die Standardbasisvektoren von
permutiert.
Signum
MATH: Wir wollen einen Gruppenhomomorphismus
,
das Signum, konstruieren, wobei
multiplikativ als Gruppe zu
verstehen ist. sign soll nicht trivial sein in dem Sinne, dass er nicht alle
Permutationen auf 1 abbilden soll.
Behauptung: Es gibt höchstens einen derartigen Homomorphismus sign.
Zum Beweis schauen wir uns die Transpositionen in an, also
Permutationen, die genau zwei Elemente von vertauschen und
jedes andere Element auf sich abbilden. Bezeichnung:
(Zykelschreibweise).
1. Zwischenbehauptung: Jede Permutation lässt sich als Produkt von
Transpositionen schreiben. Dies ist klar für . Angenommen es gilt für .
Dann gilt es auch für , denn für mit können wir die
Induktionsannahme direkt auf anwenden und für mit
.
auf
Hier ein kurzes Programm, das eine Transposition erstellt:
> trans := (n, i, j) -> subs([i=j,j=i], [$1..n]):
> trans(4,2,3);
(6.2.1)
ÜBUNG [02]:
Der Induktionsbeweis zeigt sogar, daß jedes sich als Produkt von
Transpositionen schreiben läßt mit . Schreibe die folgende Permutation
als Produkt von Transpositionen (Vorsicht bei der Reihenfolge):
> a:=[2,3,4,5,1,7,6,8];
(6.2.2)

Folgerung: Für mindestens eine Transposition muss sign den Wert -1
liefern.
2. Zwischenbehauptung: Sind Transpositionen in , so exisitert ein
mit
Folgerung:
.
Sei und , , . Wähle so, dass , was
auch leicht möglich ist (z.B., im Fall dass paarweise verschieden sind,
das Produkt der Transpositionen und ).
Es gilt nämlich die Formel:
DENKANSTOSS: .
MATH: Insgesamt haben wir also gesehen, dass es höchstens einen nichttrivalen
Homomorphismus
sign:
gibt. Im Falle seiner Existenz nimmt dieser auf den Transpositionen den
Wert -1 an, auf den Produkten von 2 Transpositionen den Wert +1 und auf
den Produkten von Transpositionen den Wert .
MATH: sign:
existiert und ist gegeben durch
Wir wollen die Homomorphieeigenschaft nicht nachweisen. Sie basiert auf
wo die beliebige verschiedene Zahlen (oder Unbestimmte) sind.
ÜBUNG [03]:
Zeige: Die Permutation kann nicht als Produkt einer ungeraden Anzahl
von Transpositionen geschrieben werden:
> b:=[5,4,3,2,1,9,8,7,6];
(6.2.3)
MATH: P von ganz oben war ein injektiver Homomorphismus. Sein Bild
besteht aus den Permutationsmatrizen vom Grad n, die dann natürlich
auch eine Gruppe bilden. Die Determinante einer Permutationsmatrix
kann man jetzt als das Signum von definieren.
>
Determinant(P(b));
1
(6.2.4)