Bogenlängen - K-achilles.de

Bogenlängen
Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :
bl =
b
∫ 1 +
a
f '( x)
2
dx
Dies führt in den meisten Fällen auf komplizierte Integranden, die sich häufig nur näherungsweise
berechnen lassen.
Beispiele:
1) Die Kettenlinie mit f(x) = cosh(x) = 0,5 ( e x + e -x )
„cosh“ wird gesprochen: „Cosinushyperbolicus“
Es gilt: f ’(x) = 0,5 ( e x - e -x 2
) und 1 + f '( x)
= 0,5 ( e x + e -x ) = f(x) !!
Für die Bogenlänge im Intervall [ -b ; b ] ergibt sich:
bl = 2 ⋅ ∫ b b
0,5 ( e x + e -x ) dx = [ e x + e -x ] = e b – e -b .
0
0
Grafiken für f(x) und für den Integranden ( Deutung der Bogenlänge als Flächeninhalt) :
y
y
x
x
a
−
Anmerkung: Für die allgemeine Kettenlinie mit f(x) = ( e + e ) erhält man nach einer
2
−
entsprechenden Rechnung a
bl = a( e − e )
b
a
b
x
a
x
a

2 2
2) Der Halbkreis mit dem Radius r : f(x) = r − x
Es gilt: f ’(x) = − x
2
2
2 2
r − x
und somit 2 x r r
1 + f '( x)
= 1 +
=
=
2 2 2 2
r − x r − x
2
r − x
2
Für die Bogenlänge im Intervall [ -r ; r ] ergibt sich:
r
1
bl = 2r ⋅ ∫ dx
x
. Dies ist ein schwer zu lösendes Integral ( Lösung: arccos(
) ) !
2 2
r − x
r
0
2
Zunächst wieder die Grafen von Funktion f(x) und Integrand 1 + f '( x)
:
y
y
x
x
Achtung: Beim Integranden ergibt sich ein sogenanntes „uneigentliches“ Integral ( für das sich aber ein
r
endlicher Wert berechnen läßt !) . Uneigentlich deswegen, weil 2 2 → ∞ für x → ± 3 .
r − x
x
Die Lösung des Integrals gelingt mit dem Substitutions-Ansatz: x = r ⋅ cos(ϕ) , d.h. ϕ = arccos ( ) r
Es ist dann dx = -r ⋅ sin(ϕ) dϕ . Für die neuen Grenzen ( für ϕ ) erhält man ϕ = 0,5π und ϕ = 0 .
Die Bogenlänge des Halbkreises ist dann:
bl = 2r ⋅ ∫
0
π
2
− r ⋅ sin( ϕ ) dϕ
2
r (1−
cos
2
ϕ )
π
= 2r ⋅
∫ 2 0
sin( ϕ ) dϕ
2
sin
ϕ
π
= 2r ⋅
∫ 2 0
π
d ϕ = 2r ⋅ [ ϕ ] 2 = π r , was zu zeigen war !
0
x
Im übrigen sieht man, dass als Stammfunktion ϕ herauskommt, was aber gleich arccos ( ) r
Hinweis: Auch die Substitution x = x = r ⋅ sin(ϕ) wäre erfolgreich gewesen ( Arkussinus als Lös. !)
ist !

3) Die Funktion mit f(x) =
x
4 + 3
6x
3 4
4
6x
⋅ 4x
− ( x + 3) ⋅ 6 x − 1
Es gilt: f ’(x) = = ... = ... = und somit
2
2
36x
2x
1 +
f '( x)
2
= 1 +
4
( x − 1)
4
4x
2
=
4x
4
8
+ x + 1−
2x
4
4x
4
=
2x
4
+ x
4
4x
8
+ 1
=
4
( x + 1)
4
4x
2
=
4
x + 1
2
2x
Für die Bogenlänge im Intervall [ 1 ; 2 ] ergibt sich:
2 4
2
2
x + 1 1 2 1 1 ⎡ 1 3 1 ⎤ 1 8 1 1 17
bl = ∫ dx =
= ( − − + 1) = ≈ 1, 42
2
2
2 2
∫ x + dx =
2 ⎢
x −
⎣ 3 ⎥
.
x
x
x ⎦ 2 3 2 3 12
1
1
1
Die Grafen von Funktion f(x) =
y
x
4 + 3
6x
4
2 x + 1
und Integrand 1 + f '( x)
=
2
2x
y
x
x

4) Die Normalparabel mit f(x) = x 2
2
2
Es gilt: f ’(x) = 2x und somit 1 + f '( x)
= 1 + (2x)
Für die Bogenlänge im Intervall [ 0 ; 3 ] ergibt sich:
3
∫
2
bl = 1+
(2x)
dx = ? Eine Stammfunktion lässt sich über eine Substitution finden :
0
2x = sinh (t) := ½ ( e t – e -t ) . Daraus ergeben sich folgende Terme :
1 +
2t
− 2t
2t
− 2t
t − t 2 t −
2 4 1 2t
− 2t
4 + e − 2 + e e + 2 + e ( e + e ) e + e
(2x)
= + ( e − 2 + e ) =
=
=
=
4 4
4
4
4 2
Die Ableitung:
dx t − t 1 t t
= ( e + e ) ⇔ dx = ( e + e
) dt
dt 4
4
Die Grenzen: Für x = 0 erhält man 0 = sinh(t) ⇒ t = arsinh(0) = 0
Für x = 3 erhält man 6 = sinh(t) ⇒ t = arsinh(6) = ln(6 + 1+
6 ) =
2
ln (6 + 37)
t
Dann ist bl =
1 ln (6 + 37 )
ln (6 + 37 )
ln (6
t − t 2 1 2t
− 2t
1 ⎡ 1 2t
1 − 2t
⎤
+
8
∫
0
( e
+ e ) dt = (
8
∫ e
0
+ e
+ 2) dt =
8 ⎢
⎣
e
2
− e
2
2
1 2 ln (6 + 37 ) 1 − 2ln (6 + 37 ) 1
(6 + 37) 1 ln(6 + 37)
e − e
+ ln(6 + 37) =
−
+
=
2
16 16
4
16 16(6 + 37) 4
3
37
2
+
ln(6 + 37)
=
4
6
37 +
ln(6 +
4
37)
≈
9,74709
+ 2t
⎥
⎦
0
37 )
=
Die Grafen von Funktion f(x) = x 2 2
2
und Integrand 1 + f '( x)
= 1+
(2x)
y
y
x
x
Anmerkung:
Allgemein gilt die Formel ∫
2 x
2 1
2
1+ 4x
dx = 1+
4x
+ ln(2x
+ 1+
4x
)
2 4

x 2
5) Die Ellipse mit f(x) = b⋅ 1−
( ) =
a
b
a
2 2
⋅ a − x ; a und b sind die Halbachsen bzgl. x und y
b x
Es gilt: f ’(x) = − ⋅
a 2 2 und somit
a − x
1 +
f '( x)
2 2
2 2 2 2 2
4 2 2
2 b x a ( a − x ) + b x 1 a + ( b − a )
= 1 + ⋅
=
= ⋅
2 2 2
2 2 2
2 2
a
a
−
x
a ( a −
x
)
a
a
−
x
x
2
4 2 2 2
4
+ ( − )
Für die Bogenlänge (Ellipsenumfang ! ) ergibt sich : U Ellipse = ⋅ ∫ a
a b a x
dx = ?
2 2
a a − x
Eine Stammfunktion gibt es nicht ( Elliptisches Integral ! )
Der Integrand besitzt einen Pol an der Stelle x = a !
Die Grafen von Funktion f(x) =
4
5
625 − 16x
25 −
2
x
y
2
b
a
für a = 5 und b = 3
4 2 2
2 2
2 4 a + ( b − a )
⋅ a − x und Integrand 1 f '( x)
=
2 2
y
0
2
x
+ =
a a − x
x
x
a) Lösung mithilfe von Näherungsformeln:
a1) ≈ ⋅ [ ( a + b)
⋅1,
5 − a ⋅ b ]
U Ellipse
π a2)
4
64 − 3k
a − b
U Ellipse
≈ π ⋅ ( a + b)
⋅
mit k =
2
64 − 16k
a + b
b) Versuch einer approximativen Lösung über Trapezintegration ( Vorsicht: x = 5 nicht verwendbar ! )
Vergleiche mit der Näherung U Ellipse ≈ 25,527 LE
Hinweise zur Lösung auf der nächsten Seite .

4 625 − 16x
Wir berechnen ⋅ ∫ 2
5 25 − x
U ≈
5
2
dx
approximativ durch den folgenden „Trapez-Term“ :
0
n
∑
1 n
− 1
∆ x
∆ x
+
−
⋅ ∆ = ⋅∑
+
− 1
= ⋅ + + ⋅ ∑
n
( f ( xi
) f ( xi
1
)) x f ( xi
) f ( xi
) ( f ( a)
f ( b)
2 f ( xi
) )
i=
1 2
2 i=
1
2
i=
1
Trapezformel allgemein :
n
∆ x
Integral ≈ ⋅ f a + f b + ⋅ ∑ − ( ( ) ( ) 2
2
i=
1
1
f ( x ) )
i
mit ∆ x =
b − a
n
und
x = i ⋅ ∆ x
2
4 625 − 16xi
Speziell für die Ellipse gelten : a = 0 ; b = 5 ; f ( xi
) = ⋅
.
2
5 25 − x
Wegen des Pols an der Stelle x = 5 müssen wir die untere Grenze b ersetzen durch b-ε !
∆ x 5 − 0 1
Wir wählen z.B. ε = =
=
1
5
. Also gilt: x
5 n ⋅ 5 n
n
= 5 − und ∆ x =
n
n
Der Approximationswert für den Ellipsenumfang ist dann etwas zu klein !
i
i
Es gelten daher die folgenden Formeln:
U Ellipse ≈ 5 1
∑ n−
⋅ ( f (0) + f (5 − ) + 2⋅
2n
n i =
1
1
f (
x i
))
5
4 625 − 16x
mit xi
= i ⋅ ; f ( xi
) =
2
n
5 25 − x
i
2
i
Ein Computerprogramm ( z.B. Delphi ) liefert folgende Tabelle :
n 100 1000 10^4 10^5 10^6 10^7 10^8
U Ellipse 25,237 25,435 25,498 25,518 25,524 25,526 25,527
Auszug aus dem Delphi-Programm:
procedure TForm1.TrapezGoClick(Sender: TObject);
begin
n := StrToInt(Edit_n.text);
a := TermEdit_a.f(x);
b := TermEdit_b.f(x);
dx := (b - a)/n;
Summe := 0.0;
Edit_Summe.SetFocus;
for i:=1 to n-1 do
begin
x := a + i*dx;
Summe := Summe + TermEdit_fx.f(x);
end;
Summe := 2*Summe;
if Polstelle_a.checked
then x := a + dx/5
else x := a; Summe := Summe + TermEdit_fx.f(x);
if Polstelle_b.checked
then x := b - dx/5
else x := b; Summe := Summe + TermEdit_fx.f(x);
Summe := Summe*dx/2;
Edit_Summe.text:=
FloatToStrF(Summe,ffFixed,20,Anzahl_Nachkommastellen);
end;
TI-92 – Anweisungen
i /n*5 STO x(i)
4/5*√((625-16*x*x):(25-x*x)) STO f(x)
2,5/n*(f(x(0))+∑(f(x(i)),i,1,n-1) STO U(n)
Bem.: Ohne f(x n ) berechnet !!
Ergebnisse:
( vor Aufruf von U(n) erst Wert von n speichern ! )
U(10) = 19,01
U(100) = 24,28
U(200) = 24,65
U(500) = 24,97
U(1000) = 25,14
Sehr lange Rechenzeiten !!
Die Probleme mit der Polstelle lassen sich vermeiden, wenn man (wie beim Kreis) eine Substitution
verwendet ! Dies wird im folgenden erläutert:

Lösung mittels Substitution
Es ist dann x 2 = a 2 cos 2 (t)
x = a cos(t) und y = b sin(t)
und dx = -a sin(t) dt
Für die Grenzen gilt: x = 0 ⇒ t = 0,5π und x = a ⇒ t = 0
0
4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
a + ( b − a ) a cos ( t)
a + ( b − a )cos ( t)
Also U Ellipse = 4⋅
∫
⋅ ( − a)sin(
t)
dt = 4⋅
⋅ ⋅
=
2 2 2 2
−
∫
a sin( t)
dt
2 2 2
a ( a a cos ( t))
a − a cos ( t)
4⋅
4⋅
π
2
∫
0
π
2
π
2
2
2
2
a (1 − cos ( t))
+ b cos
2
2
a (1−
cos ( t))
2
( t)
⋅ a ⋅ sin( t)
dt =
2 2 2 2
2 2
∫ sin ( t)
+ b cos ( t)
⋅ dt = 4⋅
∫ a sin ( t)
+
0
π
4⋅
π
2
∫
0
a
2
2 2
sin ( t)
+ b cos
2 2
a sin ( t)
π
0
2
( t)
⋅ a ⋅ sin( t)
dt =
2
a ⋅ sin( t)
2 2
a b cos ( t)
dt ( Elliptisches Integral ! )
a ⋅ sin( t)
0
Auch für diese Wurzelfunktion gibt es keine Stammfunktion. Das Integral lässt sich nur approximativ
lösen, wobei aber kein Pol auftritt (siehe Graf !)
Der Flächeninhalt für die Viertelellipse ( ohne Faktor 4 ) sieht so aus :
g(t)
t
Die Trapezintegration für den Gesamtumfang U :
n
U Ellipse ≈ ∑ − 1
π
π
2
2
⋅ ( f ( x0 ) + f ( xn ) + 2⋅
f ( x i
))
mit x
i
= i ⋅ sowie f ( xi
) = 4⋅
25sin ( xi
) + 9cos ( xi
)
4n
i=
1
2n
Sie liefert als Näherung : U Ellipse ≈ 25,527 (sehr schnelle Konvergenz ! )
Anm.: Auf das obige Integral kann sehr gut der MWS der Integralrechnung angewandt werden !
Er liefert die Näherung U Ellipse ≈ 8π ≈ 25,13 .