¨Ubungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten

12. Geben Sie für die folgenden Mengen jeweils eine erzeugende kontextfreie Grammatik an.(a) Die Menge aller korrekten Klammerausdrücke.(b) Die Menge aller Zeichenketten über dem Alphabet {a, b} mit genau doppelt so vielen as wie bs.(c) Die Menge aller Zeichenketten über dem Alphabet {a, b, ∪, ∗ , (, ), ɛ, ∅}, die wohlgeformte reguläreAusdrücke über dem Alphabet {a, b} sind. Beachten Sie, dass wir hierbei zwischen ε als leereZeichenkette der Grammatik und dem ɛ als leere Zeichenkette in einem regulären Ausdruck (d.h.in einem Wort der Sprache) unterscheiden müssen.(d) Die Menge aller Zeichenketten über dem Alphabet {a, b}, die nicht von der Form ww sind.(e) { a i b j c k | i ≠ j oder j ≠ k}.13. Betrachten Sie die Grammatik G mit den ProduktionenBeweisen Sie, dass14. Die GrammatikS −→ aS | aSbS | ε .L(G) = { x ∈ {a, b} ∗ | jedes Präfix von x hat mindestens soviel as wie bs } .E −→ E + E | E · E | (E) | iderzeugt die Menge der arithmetischen Ausdrücke mit +, ·, Klammern und id. Diese Grammatik istmehrdeutig, da id + id · id durch zwei verschiedene Ableitungen erzeugt werden kann, d.h. durch zweiverschiedene Ableitungen mit unterschiedlichen Ableitungsbäumen.(a) Konstruieren Sie eine äquivalente nicht mehrdeutige Grammatik.(b) Konstruieren Sie eine nicht mehrdeutige Grammatik für alle arithmetischen Ausdrücke ohne redundanteKlammern. Eine Menge von Klammern nennen wir redundant, wenn ihr Entfernen denAusdruck (bzw. dessen Wert) nicht verändert.15. G sei eine kontextfreie Grammatik, die wohlgeformte aussagenlogische Formeln mit den Prädikaten pund q erzeugt. Für die Produktionen erhalten wirDie Terminale sind p, q, ¬, [, ] und →.S −→ ¬S | [S → S] | p | q .(a) Bestimmen Sie eine Grammatik für L(G) in Chomsky-Normalform.(b) Zeigen Sie unter Anwendung des CYK-Algorithmus, dass ¬¬[¬q → p] in der Sprache L(G) ist.(c) Untersuchen Sie ob ¬¬[q¬ → p] in L(G) ist. Beweisen Sie Ihre Antwort.16. Konstruieren Sie eine Kellerautomaten, der die Sprache der Grammatik mit dem Startsymbol S undden folgenden Produktionen akzeptiert:S −→ aAAA −→ aS | bS | a .17. Geben Sie eine kontextfreie Grammatik für die Sprache L(A) für den PDAmitan.A = ({q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, {0, 1}, {Z 0 , X}, δ, q 0 , {q 4 })δ(q 0 , ε, ε) = {(q 1 , Z 0 )}δ(q 1 , ε, Z 0 ) = {(q 4 , Z 0 )}δ(q 1 , 1, Z 0 ) = {(q 2 , Z 0 )}δ(q 1 , 1, X) = {(q 2 , X)}δ(q 1 , 0, X) = {(q 3 , X)}δ(q 2 , ε, ε) = {(q 1 , X)}δ(q 3 , 1, X) = {(q 3 , ε)}δ(q 3 , 0, Z 0 ) = {(q 1 , Z 0 )}4