3.4 Monotonie einer Funktion - Fabianca

3–16 – Fabianca – Grundlagen Mathe – Monotoniestreng monoton steigende Funktionmonoton steigende Funktionstreng monoton fallende Funktionmonoton fallende FunktionDiese Funktion ist in den Intervallen 1 und 4 (I 1 , I4) streng monoton fallend, im Intervall 2 streng monotonsteigend und konstant im Intervall 3.I 1 I 2 I 3 I 4

Fabianca – Grundlagen Mathe – Monotonie – 3–17Sie wissen aber schon, dass die 1. Ableitung die Steigung ausdrückt. Also kann man – ohne erstgroß zeichnen zu müssen – aus der Ableitung einer Funktion wesentlich einfacher Rückschlüsseüber das Monotonieverhalten dieser Funktion ziehen. Es gilt:Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall [a , b] konstant, wenn die erste Ableitung für alle x-Werte des Intervalls gleich Null ist. Formal: f‘(x) =0 für alle x [a , b]. monoton steigend, wenn die erste Ableitung für alle x-Werte des Intervalls größer oder gleichNull ist. Formal: f‘(x) 0 für alle x [a , b]. streng monoton steigend, wenn die erste Ableitung für alle x-Werte des Intervalls größer Nullist. Formal: f‘(x) > 0 für alle x [a , b]. monoton fallend, wenn die erste Ableitung für alle x-Werte des Intervalls kleiner oder gleichNull ist. Formal: f‘(x) 0 für alle x [a , b].streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung für alle x-Werte des Intervalls kleiner Null ist.Formal: f‘(x) < 0 für alle x [a , b].Beispiele:Die Funktion f(x) = x 3 ist monoton steigend auf ganz , denn f‘(x) = 3x 2 0 für alle x .Die Funktion f(x) = ln x ist streng monoton fallend auf +, denn 1f'(x) = - < 0xfür alle x + .Das folgende Beispiel zeigt Ihnen, wie Sie die Monotoniedefinition auch auf komplexere Funktionenanwenden können:Berechnen Sie das Monotonieverhalten der folgenden Funktion: 1 3 9 2 15f(x) x x x 14 4 41. Ableitung:3 9 15 4 2 42f'(x) x xNullstellen von f’:3 9 15 3 4 4 2 4 4 3 36x1/ 2 3 5 3 4 324x 1 x 52f'(x) x x 0 :2x 6x 5 01 2Analyse:Die Funktion f’(x) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 5. Zwischen diesenNullstellen hat folglich f’(x) negative Werte, ansonsten positive.Sollten Sie das nicht so schnell überblicken können, können Sie sich auch eine kleine „Tabelle“ anfertigenund dann Werte einsetzen:1 5f’(x) : > 0 < 0 > 0f(x) :

3–18 – Fabianca – Grundlagen Mathe – MonotonieTragen Sie zur Erstellung der Tabelle die Nullstellen der ersten Ableitung in der richtigen Reihenfolgewie an einem Zahlenstrahl an. Sie wissen ja schon, dass an diesen Stellen die Ableitunggleich Null ist.Nun setzen Sie in die erste Ableitung einen Wert ein, der links von der 1. Nullstelle liegt (in diesemBeispiel z.B. Null. Sie erhalten:3 2 9 15 15f'(0) 0 0 04 2 4 4Ist aber die 1. Ableitung > 0, steigt die Funktion in diesem Abschnitt streng monoton an.Als zweites setzen Sie einen Wert in f’(x) ein, der zwischen den beiden Nullstellen liegt (z.B. 2). Sieerhalten:3 2 9 15 15f'(2) 2 2 39 04 2 4 4Ist die 1. Ableitung < 0, fällt die Funktion in diesem Abschnitt streng monoton.Nun müssen Sie nur noch einen Wert rechts von der 2. Nullstelle einsetzen (z.B. 6) und erhalten:3 2 9 15f'(6) 6 6 04 2 4Ist die 1. Ableitung > 0, steigt die Funktion in diesem Abschnitt streng monoton.Ergebnis:Für x < 1 und x > 5 ist f’(x) > 0, d.h. f(x) steigt streng monoton.Für 1 < x < 5 ist f’(x) < 0, d.h. f(x) fällt streng monoton.Alternative:Beziehen Sie die Nullstellen mit ein, dürfen Sie das Wort streng nicht mehr verwenden. Die Lösungmüsste dann heißen:Für x ≤ 1 und x ≥ 5 ist f’(x) ≥ 0, d.h. f(x) steigt monoton.Für 1 ≤ x ≤ 5 ist f’(x) ≤ 0, d.h. f(x) fällt monoton.Hinweis:Wenn Sie mit der Tabelle arbeiten wollen, können Sie es sich noch weiter vereinfachen:Das Typische an einer Nullstelle ist doch gerade, dass der Graph der Funktion dann „dieSeite wechselt“, d.h. waren die Werte „links“ davon positiv, müssen sie nach der Nullstellenegativ sein oder umgekehrt. Es recht also, wenn Sie nur einen Wert berechnen – alle anderenbrauchen Sie dann nur noch hinschreiben.