Die Riemannsche Vermutung - Seeland Gymnasium Biel

Seeland Gymnasium Biel, Abteilung Deutsches Gymnasium
Maturajahrgang 2010
Die Riemannsche Vermutung
Ein Erklärungsversuch über eines der
hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Eine Maturaarbeit von Ingrid Kurz, Klasse 1c, Betreut von J. Oesch

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Inhaltsverzeichnis
1. VORWORT................................................................................................................................................. 3
2. EINLEITUNG ............................................................................................................................................. 4
3. VERWENDETE TERMEN UND ABKÜRZUNGEN ................................................................................ 4
4. DEFINITION PRIMZAHLEN .................................................................................................................... 4
5. FINDEN VON WEITEREN PRIMZAHLEN..............................................................................................5
6. DAS SIEB VON ERATOSTHENES.......................................................................................................... 6
7. WEITERE VERMUTUNGEN ZU DEN PRIMZAHLEN .......................................................................... 7
8. DIE VERTEILUNG DER PRIMZAHLEN ................................................................................................. 7
9. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN .................................................................................................................... 8
9.1 DIE IMAGINÄREN ZAHLEN........................................................................................................................8
9.2 DIE KOMPLEXEN ZAHLEN ........................................................................................................................9
10. ZETAFUNKTION ..................................................................................................................................12
11. ZETALANDSCHAFT.............................................................................................................................13
12. DIE RIEMANNSCHE VERMUTUNG ..................................................................................................14
13. VON DER RIEMANNSCHEN VERMUTUNG ZU DER EXAKTEN ANZAHL PRIMZAHLEN........15
14. WAS WENN DIE RIEMANNSCHE VERMUTUNG BEWIESEN WIRD?..........................................17
15. ZUSAMMENFASSUNG .......................................................................................................................18
16. SCHLUSSWORT ..................................................................................................................................18
16. QUELLENANGABEN ...........................................................................................................................19
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
1. Vorwort
Als in der Grundschule die Primzahlen angesprochen wurden, war ich
von Beginn weg fasziniert von diesen Zahlen, die sich nicht teilen
lassen. Da ihnen im Unterricht nicht besonders viel Beachtung
geschenkt wurde, verblasste auch allmählich mein Interesse an ihnen.
Dass es aber immer noch vorhanden ist, merkte ich, als Herr Oesch kurz
von ihnen erzählte und auch die Primzahlzwillinge (zwei Primzahlen mit
dem Abstand zwei, z.B. 17 und 19 oder 3 und 5) erwähnte. So
entschloss ich mich, meine Maturaarbeit über Primzahlen zu schreiben.
Deshalb empfahl mir mein Betreuer ein Buch von Marcus du Sautoy –
"Die Musik der Primzahlen".
Da die Primzahlen ein sehr grosses Gebiet umfassen, musste ich mich
auf einen kleinen Bereich beschränken. Ich entfernte mich von den
Primzahlzwillingen, weil ich bemerkte, dass sie zu wenig hergeben. Also
suchte ich mir ein neues Thema innerhalb des riesigen
Primzahlgebietes. Ich landete ziemlich schnell bei der Riemannschen
Vermutung. Diese Aussage Riemanns, die seit genau 150 Jahren
sämtlichen Beweisversuchen berühmter und begabter Mathematiker
trotzt, faszinierte mich einfach.
Danken möchte ich ganz speziell meinem Betreuer, Herr Oesch, der
mich immer wieder mit spannenden und nützlichen Quellen versorgte,
die er irgendwo ausgrub oder denen er per Zufall begegnete.
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
2. Einleitung
In meiner Arbeit gehe ich nicht nur auf die Riemannsche Vermutung ein,
ich möchte viel mehr einen Weg aufzeigen die Vermutung zu verstehen,
auch wenn keine grossen mathematischen Vorkenntnisse vorhanden
sind. Zuerst müssen wir uns anderen Themen, wie den Primzahlen und
komplexen Zahlen zuwenden um die Riemannsche Vermutung zu
verstehen. Ich beschränke mich dabei auf die allernötigsten Formeln
und Operationen.
Ich möchte den Lesern aber auch die Welt der Mathematik zeigen, in
der es nicht in erster Linie ums Rechnen geht, sondern viel mehr um
Zusammenhänge. Das, was in der Schule gelehrt wird, ist nur ein kleiner
Teil des riesigen Gebietes der Mathematik.
3. Verwendete Termen und Abkürzungen
ℝ Raum der reellen Zahlen
P Primzahl
N Natürliche Zahl
F Fermatsche Zahl
M Mersennsche Zahl
4. Definition Primzahlen
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Das ist die Folge der Primzahlen. Sie ist sehr
unregelmässig und so stellt sich schnell die Frage, wie erkenne ich eine
Primzahl? Was ist eine Primzahl genau?
Jede natürliche Zahl, mit Ausnahme der 1, hat mindestens zwei
ganzzahlige Teiler, die 1 und sich selbst. Die meisten Zahlen haben
mehr als zwei Teiler, so ist z.B. die 12 nicht nur durch 1 und 12 teilbar,
sondern auch noch durch 2, 3, 4 und 6, sie hat insgesamt also 6 Teiler.
Aber gewisse Zahlen haben nur genau zwei Teiler, eben die 1 und sich
selbst, und das sind die Primzahlen.
Jede andere natürliche Zahl ist eindeutig in Primfaktoren zerlegbar.
Z.B. 18 = 3 • 3 • 2
Daran sieht man, dass die Primzahlen die Grundlage aller Zahlen sind.
Weil man so jede beliebige ganze Zahl aus Primzahlen bilden kann,
werden sie oft auch die Bausteine aller natürlichen Zahlen genannt.
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!
!
Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
5. Finden von weiteren Primzahlen
Schon seit langer Zeit sucht man immer wieder nach noch grösseren
Primzahlen. In der letzten Zeit war es eher ein Sport, wer die nächste
bekannte “Grösste Primzahl“ finden konnte als wissenschaftliche Arbeit.
Trotzdem profitierte die Wissenschaft davon und konnte die
Verschlüsselung erweitern. Um die rechenintensive Suche nach
weiteren Primzahlen zu beschleunigen, werden weltweit viele Computer
zu einer riesigen Rechenmaschine zusammen verbunden. Jeder kann
seinen Computer anmelden und so zur Primzahlfindung beitragen.
Dadurch kennt man mittlerweile Primzahlen, die so lang sind, dass sie
mehr Bücher füllen würden als bis jetzt gedruckt wurden.
Doch wie findet man neue Primzahlen?
Wenn man z.B. drei natürliche Zahlen a, b und c miteinander
multipliziert und dann 1 addiert,
a " b" c +1 = N
so ist diese neue Zahl N weder durch a, noch durch b, noch durch c
teilbar.
Eine Möglichkeit ist es, dass wir so alle uns bekannten Primzahlen
miteinander multiplizieren und 1 addieren. Dann sind all diese
Primzahlen ausgeschlossen und es können nur neue herauskommen.
Nehmen wir also an, P sei die grösste uns bekannte Primzahl.
2 " 3" 5" 7"…" P +1 = N
So ist N weder durch 2, 3, 5, … P teilbar.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1) N ist eine noch grössere, uns noch nicht bekannte Primzahl, die
grösser als P ist (z.B. 2 " 3" 5 " 7 +1 = 211, eine Primzahl). N muss
aber nicht unbedingt die nächst grössere Primzahl nach P sein.
2) N ist zusammengesetzt (das heisst sie hat noch mehr Teiler als 1
und sich selbst) und so würde auch mindestens eine neue,
grössere Primzahl ! als Primfaktor herauskommen.
(z.B. 2 " 3" 5 " 7"11"13 +1 = 30031 = 59" 509, beides Primzahlen)
In beiden Fällen hat sich also unser Primzahlhorizont erweitert und es ist
uns nun eine grössere “Grösste Primzahl“ bekannt. Dieses Verfahren
kann man beliebig wiederholen und jedes Mal wird sich die Anzahl der
uns ! bekannten Primzahlen vergrössern.
Diese Methode ist aber nicht ganz so einfach wie es scheint, denn
woher weiss man, ob eine Zahl prim ist oder zusammengesetzt? Bis
heute ist keine Methode bekannt, die uns auf einem direkten Weg, zum
Beispiel mit einer Formel zu der Antwort führt. Die einzige Möglichkeit ist
probieren, ob sich die Zahl teilen lässt. Wenigstens wird das ein
bisschen erleichtert, denn wir müssen nur mit Zahlen probieren, die
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
kleiner als die Quadratwurzel der eventuellen Primzahl sind. Denn wenn
wir mit grösseren Zahlen probieren, wäre ihr "Gegenstück" schon mal
vorgekommen. Bei 16 ist die Quadratwurzel 4, so müssen wir nur mit
den Zahlen 1 bis 4 probieren, denn wenn wir weitergehen und auch
noch durch 8 teilen, so kommt 2 heraus, was wir ja schon als einen
Teiler erkannt haben. Das ist eine sehr mühsame Arbeit und erklärt
auch, weshalb es jeweils so langer dauert, bis sicher ist, ob eine Zahl
nun prim ist oder nicht. Bei 16 müssen wir nur mit drei Zahlen probieren,
wenn die Zahl aber die Millionengrenze übersteigt, sind das wesentlich
mehr.
6. Das Sieb von Eratosthenes
Wenn man nicht nur von einer bestimmten Zahl wissen möchte, ob sie
prim ist oder nicht, sondern alle Primzahlen bis z.B. 100 wissen möchte,
gibt es auch noch eine andere Methode. Man schreibt alle natürlichen
Zahlen auf bis 100. Die 1 lässt man aus. Sie ist ein Spezialfall, denn sie
hat nur einen Teiler da 1 und sich selbst dieselbe Zahl ist und
Primzahlen laut Definition genau zwei Teiler haben. Also beginnt man
mit der 2, umkreist sie und streicht dann jede zweite Zahl durch, in
diesem Fall alle geraden Zahlen.
Dann fährt man fort mit der nächsten Zahl, der 3, umkreist sie und
streicht dann jede dritte Zahl durch.
Da die 4 schon durchgestrichen ist, geht’s weiter mit der 5 und so fort.
6

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Wenn man das mit jeder Zahl macht, die nicht schon durchgestrichen
ist, hat man am Schluss alle Primzahlen bis 100, nämlich die
umkreisten.
Dieses Verfahren ist ein Ausschlussverfahren, es geht also nicht direkt
auf Primzahlsuche, sondern schliesst, wie der Name sagt, einfach alle
anderen Zahlen, die nicht prim sind, aus. Diese Siebart wird
Eratosthenes, einem frühen griechischen Mathematiker, der etwa von
282 bis 202 v. Chr. lebte, zugeschrieben, weshalb die Methode das Sieb
von Eratosthenes genannt wird.
7. Weitere Vermutungen zu den Primzahlen
Da die Primzahlen ein riesiges Gebiet umfassen, wurden dem
entsprechend auch viele Vermutungen aufgestellt. Manche wurden im
Verlauf der Zeit bewiesen oder als falsch entlarvt und manche bestehen
noch bis heute. Die Goldbachsche Vermutung zum Beispiel. Goldbach
(1690 – 1764) äusserte 1742 die heute als Goldbachsche Vermutung
bekannte Behauptung in einem Brief an Leonhard Euler (1707 - 1783).
Er meinte, jede gerade Zahl, die grösser als Zwei ist, lasse sich als
Summe zweier Primzahlen schreiben. So lässt sich z. B. 12 als 5 + 7,
beides Primzahlen, ausdrücken.
Später kam Polignac (1817 - 1890), der 1848 behauptete, jede
ungerade Zahl grösser 1 lässt sich als Summe einer Primzahl und einer
Zweierpotenz schreiben. Z. B. 21 = 2
!
2 +17.
Beide Vermutungen sind bis heute unbewiesen. So gibt es viele
verschiedene Vermutungen im Bereich der Primzahlen. Manche bauen
auch auf einer bereits bestehenden Vermutung auf.
8. Die Verteilung der Primzahlen
Wenn man weiss, wie man bestimmen kann, ob eine Zahl prim ist oder
nicht, nimmt es einem schnell mal wunder, ob es eine bestimmte
Ordnung dahinter gibt oder ob die Primzahlen zufällig verteilt sind. Dazu
wurden schon viele Formeln aufgestellt, die aber nicht alle genau sind,
also stark von der wirklichen Verteilung der Primzahlen abweichen.
7

!
!
!
Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Manche eignen sich eher für den kleineren Zahlenbereich und andere
eher wenn es um die ganz grossen Zahlen geht. Manche Formeln
werden immer genauer, je grösser die Zahlen sind und weichen so
immer weniger vom eigentlichen Wert ab.
Hier eine Auflistung der bekanntesten:
- Fermat (1607 – 1665) suchte Primzahlen nach der Formel
F = 2 (2n )
+1. Diese Formel liefert Primzahlen bis n = 4. Die
Fermatschen Zahlen werden sehr schnell sehr gross, doch schon
!
bei
F 5 weiss man, dass sie zusammengesetzt ist.
F 5 = 4'294'967'297 = 641" 6'700'417
Auch von n = 5 bis n = 12 weiss man, dass sie ebenfalls
zusammengesetzt sind.
- Mersenne (1588 - 1648) stellte 1644 die Formel
M = 2 k -1 auf und versuchte so Primzahlen durch einen Term zu
gewinnen. Jedoch wurde festgestellt dass M höchstens eine
Primzahl ist wenn k eine ist und noch dann ist es nicht immer
sicher. So liefern zum Beispiel
k = 2, 3, 5, 7 eine Primzahl, aber z. B. k = 67 wiederum
nicht.
9. Die komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen spielen bei der Riemannschen Vermutung eine
grosse Rolle. Durch sie entsteht aus der Zetafunktion die eigenartige
Zetalandschaft. Um das zu verstehen, müssen wir zuerst etwas Zeit den
komplexen Zahlen widmen.
9.1 Die imaginären Zahlen
Die imaginäre Zahl i existiert nicht wirklich im herkömmlichen Sinne. Sie
ist nicht eine Zahl wie z. B. die natürlichen Zahlen, wir bilden sie uns nur
ein. Sie ist ein Werkzeug, das uns hilft zum Beispiel Gleichungen zu
lösen, die in der Menge der reellen Zahlen ℝ keine Lösung besitzen.
i wird definiert als Lösung der Gleichung i 2 = -1. In der Schule lernten
wir, dass wir keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen dürfen, da es
keine sinnvolle Lösung gibt. Mit der Hilfe von i aber können wir das nun
wie folgt. Die Lösung z. B. von der Quadratwurzel aus (-4) wäre dann 2i,
da sich (-4) auch als 4 • (-1) schreiben lässt. Die Quadratwurzel aus 4 ist
2 und die aus (-1) ist, wie wir jetzt wissen, i.
8

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
9.2 Die komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen sind Zahlen der Form z = x + iy. x und y sind
jeweils reelle Zahlen wobei x der Realteil und y der Imaginärteil genannt
wird. Komplexe Zahlen sind also Zahlen die “kombiniert“ sind aus
reellen und imaginären Zahlen. Beispiele für solche Zahlen sind 5+6i, 7-
0.5i, 2i,…
Diese komplexen Zahlen werden in einem kartesischen
Koordinatensystem dargestellt. Im selben also wie wir zum Beispiel
Grafen zeichnen oder welches wir benützen für die Vektorgeometrie.
Nur nennt man jetzt die x-Achse die Achse der reellen Zahlen und die y-
Achse die Achse der imaginären Zahlen. Komplexe Zahlen addiert und
subtrahiert man genau gleich wie Vektoren.
Will man z.B. die beiden komplexen Zahlen a = (6+2i) und b = (1+4i)
addieren, ergibt das (7+6i). Graphisch dargestellt sieht das so aus:
-2
i
7
6
5
4
3
2
1
b
-1
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
Abb. 1 Addition komplexer Zahlen mit Vektoren dargestellt
Die beiden Pfeile wurden aneinander gehängt und das Ergebnis ist dann
der direkte Pfeil vom Nullpunkt nach (7/6i).
9
a
c
b’
X

!
!
!
!
Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Entsprechendes gilt für die Subtraktion. Subtrahiert man b = (1+4i) von a
= (6+2i) ergibt das c = (5 – 2i). Grafisch dargestellt:
-2
-1
i
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
b
Abb. 2 Subtraktion komplexer Zahlen mit Vektoren dargestellt
Wenn man für jede Addition oder Subtraktion ein Koordinatensystem
zeichnen muss, kann das sehr zeitaufwendend sein, deshalb gibt es
auch einen algebraischen Weg. Für die Addition werden jeweils die
Realteile x und die Imaginärteile y addiert.
(x 1 +iy 1 ) +(x 2 +iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) +i(y 1 + y 2 )
Dementsprechend läuft es mit der Subtraktion, nur dass subtrahiert statt
addiert wird.
(x 1 +iy 1 ) - (x 2 +iy 2 ) = (x 1 - x 2 ) +i(y 1 - y 2 )
Die Multiplikation und Division verlaufen aber anders als bei den
Vektoren. Bei der Multiplikation gilt:
(x 1 +iy 1) " (x 2 +iy 2) = (x 1x 2 - y 1y 2) +i(x 1y 2 + x 2y 1)
So würde (3 – 4i) • (2 + 0.5i) = (3 • 2 – (-4) • 0.5) + i(3 • 0.5 + 2 • (-4)) =
8 – 6.5i geben.
Die Division geht so:
x1 +iy1 x2 +iy2 = x1 +iy1 "
x2 +iy2 x2 - iy2 x2 - iy2 = x 1x 2 + y 1y 2
2 2
x2 + y2
10
c
a
-b
+i x 2y 1 - x 1y 2
2 2
x2 + y2
X

!
!
!
!
Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Dazu auch noch ein Beispiel:
1+2i
3 +i
1+2i 3- i 1" 3 +2"1
= " =
3 +i 3- i 3 2 +1 2
3" 2 -1"1
+i
3 2 5
= 2
+1 10
11
5 1 1
+i = +
10 2 2 i
Für die Zetafunktion ist aber vor allem das Potenzieren der komplexen
Zahlen wichtig. Dazu gibt es zwei verschiedene Methoden. Die eine
heisst Polarform, oft auch cis-Formel genannt und die andere ist die
Exponentialform. Ich werde nur die Polarform erklären, da ich sie
nachvollziehbarer finde als die Exponentialform.
Jede komplexe Zahl kann in der Gaussschen Zahlenebene, einem
Koordinatensystem, als Punkt Z(x/y) dargestellt werden, der von x und y
abhängig ist.
Abb. 3 Komplexe Zahl Z in der Gaussschen Zahlenebene
wobei y die imaginäre und x die reelle Achse darstellt
Die Länge von r ist r = x
!
2 + y 2 und den Winkel ϕ finden wir mit
tan" = y
heraus, solange x nicht gleich 0 ist. Wenn wir jetzt x und y mit
x
Sinus und Kosinus definieren, erhalten wir folgendes: x = r cos " und
y = r sin " . Mit einer Umformung erhält man dann die Polarform.
z = x +iy = r cos " +i r sin " = r cis "
Cis ist eine Abkürzung für cos + i sin, weshalb man die Polarform oft
auch cis-Formel nennt.
!
Bei den Potenzen gilt dann z n = r n cis(n") wenn n eine ganze Zahl ist.
Diese Formel ist von Abraham de Moivre (1667 – 1754), einem
französischen Mathematiker.
!

!
!
!
Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Die Lösungen beim Potenzieren komplexer Zahlen sind etwas speziell.
Die Formel von Moivre liefert nämlich für eine Gleichung n-ten Grades
genau n Lösungen, was je nach n recht viele sind. Ein Beispiel dazu mit
der Gleichung z 4 = 1. Da n = 4 ist, gibt es auch 4 Lösungen: 1, -1, i und
–i.
10. Zetafunktion
Die Zetafunktion, benannt nach dem griechischen Buchstaben ζ,
tauchte zu Eulers Zeiten auf.
"(x) = 1 1 1 1
+ + + +K =
x x x x
1 2 3 4
#
1
$ für Re(x) > 1
n x
n=1
Zuerst musste man also x bestimmen, dann nx ausrechen und zum
Schluss noch die Kehrwerte (der Kehrwert von 2 ist ½) dieser Zahlen
addieren.
Die Zetafunktion hat aber die unangenehme Eigenschaft, dass sie nur
dann einen Grenzwert hat, d.h. eine Summe ergibt die nicht unendlich
ist, wenn die Zahl, die wir für x einsetzen grösser als 1 ist. Bei 1 und
kleineren Zahlen divergiert sie, also läuft ins Unendliche. Links dieser
“Grenze“ gibt es aber auch Lösungen, nur sieht die Gleichung dann
ganz anders aus
Wenn man z. B. x=1 setzt, ergibt das die harmonische Reihe.
Noch ein weiteres Beispiel:
"(x) = 1
2
1 1 1 1 1 1 #
+ + +… = + + + +… = 2 2 2
1 2 3 1 4 9 16 6
Euler experimentierte etwas mit dieser Funktion herum und bemerkte,
dass man sie mit Hilfe der Primzahlzerlegung umformen kann und das
ist auch der Punkt, wo die Primzahlen das erste Mal ins Spiel kommen.
"(x) = (1+ 1 1 1 1 1
1 1
+ + …) # (1+ + +…) #…# (1+ + x x x x x x
2 4 8 3 9 p (p 2 1
+ x
) (p 3 1
…) = x
)
1$ 1 %
p prim
Dieser Schritt ist leichter zu verstehen, wenn wir versuchen von Eulers
Umformung auf die ursprüngliche Zetafunktion zu schliessen. Wenn wir
die Umformung ausmulitiplizieren, erhalten wir in den jeweiligen
Nennern Produkte von Primzahlpotenzen,
1
1 1
z.B.: =
=
x x x 3 2!
x
x
8 ! 9 ! 5 ( 2 ! 3 ! 5)
360
Jedes dieser Produkte ergibt ausgerechnet eine natürliche Zahl, welche
bekanntlich umgekehrt eindeutig in ein Produkt von Primzahlpotenzen
zerlegbar ist.
12
p x

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
1
Somit erhalten wir die Summe aller Brüche der Form , also die
x
n
Zetafunktion vor der Umformung.
Euler gab selbst zu, dass er nicht genau wusste, was das bringt, doch
100 Jahre später waren ihm Riemann und Dirichlet (1805 – 1859) sehr
dankbar für diese Umformung.
Riemann (1826 – 1866) hatte sich vor allem mit den komplexen Zahlen
beschäftigt. Er versuchte immer mehr über ihre Eigenheiten
herauszufinden indem er sie in ganz verschiedene Gleichungen und
Funktionen einsetzte. Als er dann von der Zetafunktion erfuhr, war es
nur noch eine Frage der Zeit bis er sie mit komplexen Zahlen fütterte.
Heraus kam eine eigenartige Landschaft die aufgrund ihres Ursprungs,
der Zetafunktion auch Zetalandschaft genannt wird.
11. Zetalandschaft
Die Zetalandschaft ist ein vierdimensionales Gebilde, da für die
komplexen Zahlen, die man in die Funktion eingibt und für deren
Ergebnisse je zwei Koordinaten benötigt werden. Da es aber für uns
Menschen sehr schwierig ist, sich etwas Vierdimensionales vorzustellen
wird oft ein Schatten dieser Zetalandschaft verwendet. So wie der
Schatten von dreidimensionalen Wesen zweidimensional ist, hat auch
dieser “Zetaschatten“ eine Dimension weniger und ist somit
dreidimensional, also vorstellbar. Er enthält aber wie jeder andere
Schatten auch, nur noch einen Teil der Informationen des Originals, das
genügt aber um Riemanns Ideen nachzuvollziehen.
Abb. 4 Die Zetalandschaft
13
[1]

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Dieser Schatten sieht aus wie eine sehr wellige Landschaft. Er besteht
aus unendlich vielen Hügel und Tälern, die sich aneinanderreihen. Einzig
bei 1 steht ein riesiger Berg, der den Himmel durchschlägt. Das ist dort
wo die Zetafunktion ins Unendliche läuft, weil man sie mit dem Wert 1
für x gefüttert hat.
Die Zetalandschaft zählt zu den starren Landschaften, das heisst, dass
man nur sehr wenige Informationen benötigt um die ganze Landschaft
zu rekonstruieren. Zum Beispiel reicht es, wenn man nur die Punkte, bei
denen die Zetafunktion 0 liefert auf einer Karte der komplexen Zahlen
abträgt. Von da aus kann man dann alle Hügel und Täler ausrechnen.
Ein Beispiel dazu im reellen Raum: Wir suchen eine Polynomfunktion
dritten Grades mit den Nullstellen -1, 2 und 4. Dann können wir von den
Nullstellen aus die Funktionsgleichung bestimmen indem wir die
Nullstellen miteinander multiplizieren und das dann ausrechnen.
f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) = x 3 - 5x 2 - 2x + 8
12. Die Riemannsche Vermutung
Riemann vermutete, dass alle Punkte der Zetalandschaft, die auf
Meereshöhe sind, also als Ergebnis der Zetafunktion 0 liefern, auf der
gleichen Gerade beim reellen Wert ½ liegen. Er spricht hier von den
nichttrivialen Nullstellen, das heisst, er meint nicht die Punkte, die null
geben wie z. B. -2, -4, -6. Lange hatte man keine Ahnung wie Riemann
auch nur eine dieser nichttrivialen Nullstellen berechnete. Irgendeinmal
wurde aber dieses Rätsel gelöst. Danach ist eine Welle ausgebrochen,
die der ähnlich ist, als alle auf Primzahlsuche gingen. Heute weiss man
deshalb, dass die ersten 300 Millionen Nullstellen auf der kritischen
Gerade liegen. Eine riesige Zahl, bei der jeder sagen würde, dass man
doch diese Aussage als bewiesen erklären könnte. Nicht aber so in der
Mathematik. Hier muss einen fehlerlosen Beweis her.
Für viele Mathematiker aber ist es schon längst eine Glaubenssache ob
die Riemannsche Vermutung wahr oder falsch ist. Es gibt aber auch
einige mathematische Argumente. So entdeckte André Weil (1906 –
1998), dass in ähnlichen Landschaften die Nullstellen bevorzugt auf
einer Linie liegen. Oder Hardy (1877 – 1947) konnte beweisen, dass
unendlich viele Punkte auf Meereshöhe auf der kritischen Gerade liegen.
Jedoch stellt sich dann die Frage, wie gross dieser Prozentsatz von
allen Punkten auf Meereshöhe ist. Es kann unendlich viele Nullstellen
auf der kritischen Gerade geben und gleichzeitig unendlich viele, die
ausserhalb der Gerade liegen.
14

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Abb. 5 Betrag von ζ(x) entlang der kritischen Gerade bei ½
13. Von der Riemannschen Vermutung zu der exakten Anzahl
Primzahlen
Euler fand heraus, dass e ix = cos x + i sin x gilt und so die imaginären
Zahlen in Exponentialfunktionen Sinuswellen ergeben. So ist jede
Nullstelle eine Welle. Riemann stellte eine neue Funktion R(N) zur
Verteilung auf, die einen glatten Graphen ergibt, der bereits ziemlich
nahe an die exakte Anzahl der Primzahlen kommt. Dann berücksichtigte
er die Wellen, die er durch die Nullstellen erhielt. Er stellte fest, dass
dieser Graph dem treppenstufigen Primzahlgraph immer wie ähnlicher
sieht. Wenn man dann die Wellen aller Nullstellen berücksichtigt, ist der
Fehler korrigiert und man erhält den exakten Primzahlgraphen bis zur
Zahl N.
15
[2]

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Abb. 6 Riemanns glatter Graph
Abb. 7 Wellenförmiger Graph unter Berücksichtigung der Wellen der ersten 30
Nullstellen
Abb. 8 Der exakte Graph entsteht, wenn man die Wellen
aller Nullstellen berücksichtigt
16
[3]

Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Die Beziehung der Anzahl der Primzahl und den Nullstellen der
Zetafunktion ist hergestellt, Riemann hat die exakte Formel für die
Anzahl der Primzahlen gefunden.
Durch die Verbindung von Physik und Mathematik ist es vielleicht eines
Tages so weit, dass die Riemannsche Vermutung gelöst wird durch eine
Zusammenarbeit verschiedener Wissenschaften.
So war es auch kein Wunder, das alle dem Gerücht Glauben schenkten,
nach dem ein junger Physiker Riemanns Vermutung gelöst haben soll.
Es war aber nur ein Aprilscherz, den sich ein berühmter Mathematiker
erlaubte.
14. Was wenn die Riemannsche Vermutung bewiesen wird?
Wenn die Riemannsche Vermutung bewiesen und Riemanns Aussage
für richtig erklärt wird, würde das Lücken von tausenden von
Theoremen füllen, denn viele Mathematiker mussten ihre Richtigkeit
voraussetzen. Wenn sie falsch ist, würden aber alle diese Theoreme
nicht gelten und die Mathematiker können mit ihrer Arbeit wieder von
vorne beginnen.
Wird die Riemannsche Vermutung aber tatsächlich bewiesen, erhalten
wir eventuell durch den Beweis noch mehr Informationen, so, dass
unser Verschlüsselungssystem im Internet gefährdet sein könnte. Unser
Sicherheitssystem im Internet baut auf Primzahlen auf, deshalb
investieren viele grosse Firmen viel Geld in die Forschung um die
Primzahlen und die Riemannsche Vermutung. Alle wollen es als Erste
erfahren, wenn die Riemann-Vermutung als richtig erklärt ist und so
möglicherweise das ganze Sicherheitssystem mit der Verschlüsselung
mit Primzahlen aufbaut, zusammenbrechen könnte.
Kleiner Exkurs dazu: Die Verschlüsselungstechnik mit Primzahlen
funktioniert so, dass man zwei oder mehrere sehr grosse Primzahlen
miteinander multipliziert. Das ist relativ einfach auch wenn es riesige
Zahlen sind. Sehr viel schwieriger ist es aber von diesem Produkt auf
die benützten Primzahlen zu schliessen. Das macht die grosse
Sicherheit möglich, da der Code wirklich nur geknackt werden kann
wenn der Empfänger und der Sender einen Schlüssel zur
Entschlüsselung besitzen.
Wenn man jetzt aber mit dem exakten Treppengraf von Riemann genau
weiss, wie viele Primzahlen es bis zu einer bestimmten Zahl gibt, kann
man viel besser abschätzen, wie viele z. B. sechsstellige Primzahlen es
gibt und die dann durchprobieren und den Code knacken. Das ganze
Sicherheitssystem müsste also zumindest teilweise neu aufgebaut
werden. Da wir aber noch keinen Beweis haben, ist das noch nicht
möglich und bis es so weit kommt, vergehen bestimmt noch viele Jahre.
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
15. Zusammenfassung
Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten
mathematischen Probleme, das seit 150 Jahren ungelöst ist und es sehr
wahrscheinlich noch lange sein wird.
Riemann äusserte die Vermutung, dass alle nichttrivialen Nullstellen in
der Zetalandschaft auf einer Linie bei Re(x)=½ liegen. Falls dies stimmt,
wissen wir mehr über die Verteilung der Primzahlen und können die
exakte Anzahl bis zu einer Zahl N berechnen.
16. Schlusswort
Durch diese Arbeit lernte ich die riesige Welt der Mathematik kennen.
Fasziniert davon, fiel es mir nie wirklich schwer dranzubleiben und
weiterzuarbeiten. Auch hatte ich von Anfang an eine Vorstellung wie
diese Arbeit werden sollte, was das Ganze zusätzlich erleichterte. Als
anspruchvollsten Teil empfand ich das Wiedergeben des Stoffes in einer
Form, die für alle verständlich ist. Ich wusste ja, was ich meinte, nur
kann die Leserin oder der Leser dieser Arbeit nicht meine Gedanken
lesen. Manchmal waren auch die Grenzen etwas unscharf, was soll ich
nun nehmen und was weglassen, denn dieses Thema bietet genug für
mindestens 1000 Arbeiten.
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
16. Quellenangaben
Bücher:
- Ogilvy, C. Stanley (1994): Mathematische Leckerbissen (Über 150
noch ungelöste Probleme). Vieweg Paperback. Braunschweig.
- Sautoy, Marcus du (2008): Die Musik der Primzahlen. Deutscher
Taschenbuch Verlag. München.
Nachschlagewerk:
- Fundamentum Mathematik und Physik. 2005. Orell Füssli Verlag.
Zürich.
Internet:
- Berchtold, Bernhard (1997 – 2009): Bedeutende Mathematiker.
http://www.mathematik.ch/mathematiker/ (31.07.2009)
- O’Connor, John und Robertson, Edmund (2003): André Weil.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Weil.html
(05.08.2009)
- Utz, Thimm (2000): Die Eine-Million-Dollar-Frage.
http://www.mathematik.ch/mathematiker/Goldbachsche_Vermutung.
php (31.07.2009)
Bilder:
[1] Sautoy, Marcus du (2008): Die Musik der Primzahlen. Deutscher
Taschenbuch Verlag. München. S. 112.
[2] Brenner/Höllig/Hörner (2006): http://mo.mathematik.unistuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel258/img3.png
[3] Sautoy, Marcus du (2008): Die Musik der Primzahlen. Deutscher
Taschenbuch Verlag. München. S. 119, 120.
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1 Addition komplexer Zahlen mit Vektoren dargestellt ................... 9
Abb. 2 Subtraktion komplexer Zahlen mit Vektoren dargestellt ............ 10
Abb. 3 Komplexe Zahl Z in der Gaussschen Zahlenebene.................... 11
Abb. 4 Die Zetalandschaft ...................................................................... 13
Abb. 5 Betrag von ζ(x) entlang der kritischen Gerade bei ½.................. 15
Abb. 6 Riemanns glatter Graph .............................................................. 16
Abb. 7 Wellenförmiger Graph unter Berücksichtigung der Wellen der
ersten 30 Nullstellen ........................................................................ 16
Abb. 8 Der exakte Graph entsteht, wenn man die Wellen .................... 16
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Die Riemannsche Vermutung – Ein Erklärungsversuch über eines der hartnäckigsten Probleme der Zahlentheorie
Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Maturaarbeit eigenständig
und ohne unerlaubte fremde Hilfe erstellt habe und dass alle Quellen,
Hilfsmittel und Internetseiten wahrheitsgetreu verwendet wurden und
belegt sind.
Ingrid Kurz
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