Wichtige Formeln für Grundlagen E-Technik 2 * Zu Kap. 1 - SLabusch

Martin Lechler Seite 1/13 03.08.2004
Zu Kap. 1:
Wichtige Formeln für Grundlagen E-Technik 2 *
� ideale Spannungsquelle:
R = 0 bzw. → ∞
� ideale Stromquelle:
i
G i
S1-5
R → ∞ bzw. = 0
� Maschenregel:
N
∑ U n
n=
1
� Knotenregel:
N
∑ I n
n=
1
Zu Kap. 2:
i
= 0
= 0
G i
S1-5
Vorzeichen beachten! S1-6
Vorzeichen beachten! S1-7
� Umwandlung von einer Spannungsquelle in eine Stromquelle:
Kurzschluss am Ausgang.
U
U= 0→ I = = I
KS
q
Zi
q
� Umwandlung von einer Stromquelle in eine Spannungsquelle:
Leerlauf am Ausgang.
1
Z
Y
wobei i = ; S2-2
i
I
I= 0→ U = = U
LL
q
Yi
q

Martin Lechler Seite 2/13 03.08.2004
Zu Kap. 3:
Wechselstrombetrieb:
� Effektivwert der Spannung:
� Effektivwert des Stromes:
� Leistung S3-6:
o Am Widerstand R:
� 2
t0+ T
2 1 U�
U = u²(t)dt U
T ∫ = =
2
2 �I
I = = I
2
1 2
� 1 U 1
P = U⋅ �I= = �I
R; P = 0; P = P
2 2 R 2
W b s W
o An der Induktivität L:
1 2
� 1
P = 0; P = U⋅ �I= ωL⋅ �I
; P = P
2 2
W b S b
o Am Kondensator C:
� � 2
1 1
P = 0; P =− U⋅ �I=−
ωC⋅ U ; P = P
2 2
W b s b
� Mittelwert der Momentanleistung(Wirkleistung):
� Blindleistung:
� Scheinleistung:
1
P �
w = U⋅�I⋅cos( ϕu −ϕ i) = Ueff ⋅Ieff ⋅cos ϕ,
[W]
2
1
P �
b = U⋅�I⋅sin( ϕu −ϕ i) = Ueff ⋅Ieff ⋅sin ϕ,
[VA]
2
P = U ⋅ I = P + P , [VA]
2 2
s eff eff w b
� Bedingungen für max. Wirkleistung:
*
o bei Spannungsquelle: Zi =
Za
t
0
eff
eff
,

Martin Lechler Seite 3/13 03.08.2004
o bei Stromquelle:
verfügbare Wirkleistung:
P
WV
Yi = Ya
2 2
1 U� q 1 �Iq
= =
8Re(Z) 8Re(Y)
� Leistungsübertragung:
1
P U
� Wirkungsgrad:
Zu Kap. 4:
i i
� 2
a
w = q
2 2
2 (Ri + R a) + (Xi + X a)
R
P 4R R
η= =
P (R R ) (X X )
w i a
wv i + a
2
+ i + a
2
Leistungsanpassung:
� 4.2 Satz von Tellegen:
*
!
*
i = a
Z Z
⎛I⎞ 1
T
⎜ ⎟
U ⋅ I= ( U1 U2 U3) ⋅
⎜
I2⎟ = 0
⎜I⎟ ⎝ 3 ⎠
� 4.3 Umkehr-Satz (Reziprozitäts-Theorem):
Formeln 3.14 u. 3.17
1b 1a 2b 2a 1a 1b 2a 2b
Formel 3.13
Formel 3.18
U ⋅ I + U ⋅ I = U ⋅ I + U ⋅ I
Formel 4.12

Martin Lechler Seite 4/13 03.08.2004
Y
Y
Y
Z
Z
Z
12
� Stern-Dreieck-Konvertierung
23
13
� Dreieck-Stern-Konvertierung:
10
20
30
Z Z
=
∑ Z
Z Z
=
∑ Z
Z Z
=
Z
12 13
12 23
13 23
∑
wobei
Z= Z + Z + Z
∑
Y Y
=
∑ Y
Y Y
=
∑ Y
Y Y
=
Y
10 20
20 30
10 30
wobei
Y= Y + Y + Y
∑
∑
10 20 30
12 13 23
Zu Kap. 6 Maschenstromverfahren:
→
� Matrixdarstellung:
o Verknüpfung von Zweigströmen und Maschenströmen:
I= A⋅ I mit Inzidenzmatrix A [Z x Z-(K-1)]
M
→

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o Aufstellung der Kirchhoffschen Maschengleichungen:
T
A ⋅ U = 0 [Z-(K-1) Gleichungen]
o Verknüpfung von Zweigströmen und Zweigspannungen:
U= Z⋅I− U [Z ist Diagonalmatrix der Zweigimpedanzen]
q
o Gleichungssystem für Maschenströme:
T
A Z A IM T
A Uq
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ [Z-(K-1) Gleichungen]
Zu Kap. 7 Knotenpotentialverfahren:
� Matrixdarstellung
o Verknüpfung von Zweigspannungen und Knotenspannungen:
U = B⋅ U mit Inzidenzmatrix B [K-1 x Z]
K
o Aufstellung der Kirchhoffschen Knotengleichungen:
T
B ⋅ I= 0 [K-1 Gleichungen]
o Verknüpfung von Zweigströmen und –spannungen:
I= Y⋅U− I [Y ist Diagonalmatrix der Zweigadmittanzen]
q
o Gleichungssystem für Knotenspannungen:
T
B Y B UK T
B Iq
� Matrixeigenschaften
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ [K-1 Gleichungen]
o Maschenstromverfahren:
T
A Z A IM T
A Uq
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ mit
T
A ⋅Z⋅ A= ZM
(Maschenimpedanzmatrix)
o Knotenpotentialverfahren:
T T
T
B ⋅Y⋅B⋅ UK= B ⋅ Iq
mit B ⋅Y⋅ B= YK
(Knotenadmittanzmatrix)

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Zu Kap. 9 2-Tore:
�
' '
1 = 1 2 = 2
I I und I I
� 9.1 Matrixbeschreibungen:
Darstellungsarten:
Art/Matrix Gleichungen Matrixdarstellung
Admittanzform/
Admittanzmatrix Y
Impedanzform/
Impedanzmatrix Z
Hybridform/
Reihenparallelmatrix H
Hybridform/
Parallelreihenmatrix C
Kettenform/
Kettenmatrix A
I = Y ⋅ U + Y ⋅U
I = Y ⋅ U + Y ⋅U
U1= Z11 ⋅ I1+ Z12 ⋅I2
U2= Z ⋅ I + Z ⋅I
U = H11 ⋅ I1+ H12 ⋅U
I = H ⋅ I + H ⋅U
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
12 1 22 2
1 2
2 21 1 22 2
I1 = C11 ⋅ U1+ C12 ⋅I2
U = C ⋅ U + C ⋅I
2 21 1 22
U1 = A11 ⋅ U2 + C 12⋅(
−I
2)
I = A ⋅ U + C ⋅( −I
)
1 21 2 22 2
2
I
⎛U⎞ ⎛ 1 ⎞ 1
⎜ ⎟=
Y ⋅⎜ ⎟
I2
U2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛U1⎞ ⎛I⎞ ⎜ ⎟= Z⋅⎜
⎟
U I
⎝ 2 ⎠
1
⎝ 2 ⎠
⎛U1⎞ ⎛ I1
⎞
⎜ ⎟=
H⋅⎜ ⎟
I2
U2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ I1 ⎞ ⎛U1⎞ ⎜ ⎟= C⋅⎜
⎟
⎝U2⎠ ⎝ I2
⎠
⎛U1⎞ ⎛U2 ⎞
⎜ ⎟= A ⋅⎜
⎟
⎝ I1 ⎠ ⎝−I2⎠ Die Bedeutungen der einzelnen Matrixparameter sind im Skript auf den Seiten
S9-5 – S9-9 zu finden!
� Umrechnung der verschiedenen Matrixdarstellungen

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� 9.2 Matrizen elementarer 2-Tore
Quelle
spannungsgesteuerte
Z Y H C A
Spannungsquelle:
ne ne ne
⎛0 ⎜
⎝α 0⎞
⎟
0⎠
⎛ 1
⎜
α
⎜
⎝ 0
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎠
stromgesteuerte
Spannungsquelle:
spannungsgesteuerte
Stromquelle:
stromgesteuerte
Stromquelle:
⎛ 0 0⎞
⎜ ⎟
Z 0
⎝ Z1
⎠
ne
ne ne ne
⎛0 0⎞
⎜ ⎟
⎝S 0⎠
ne ne
ne ne
⎛0 0⎞
⎜ ⎟
⎝β0⎠ � Matrizen elementarer passiver 2-Tore :
Schaltung Z Y H C A
ne
⎛Z Z⎞
⎜ ⎟
⎝Z Z⎠
ne
⎛ Y −Y⎞
⎜ ⎟
⎝−Y Y ⎠
ne
⎛ Z 1⎞
⎜ ⎟
⎝−1 0⎠
⎛ 0 1⎞
⎜ ⎟
⎝−1 Y⎠
⎛ 1
⎜
a
⎜
⎜ 1
⎜
⎝ a
1 ⎞
a
⎟
⎟
1 ⎟
a
⎟
⎠
⎛a ⎜
⎝1 −1⎞
⎟
0 ⎠
a= Z +
Z
wobei 1 2
⎛0 −1⎞
⎜ ⎟
⎝1 Z ⎠
⎛Y −1⎞
⎜ ⎟
⎝1 0 ⎠
⎛ 0 1⎞
⎜ ⎟
⎝−1 a⎠
ne
⎛ 0 0⎞
⎜ ⎟
⎜
1
0⎟
⎜Z⎟ ⎝ Z1
⎠
⎛ −1⎞
⎜0 S
⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 ⎟
⎝ ⎠
⎛0 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜
−1
0 ⎟
⎜ β ⎟
⎝ ⎠
⎛1 Z⎞
⎜ ⎟
⎝0 1⎠
⎛1 0⎞
⎜ ⎟
⎝Y 1⎠
⎛−1 −a⎞
⎜ ⎟
⎝ 0 −1⎠

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Schaltung Z Y
� 2-Tor-Ersatzschaltungen :
� Rückwirkungsfreiheit :
⎛Z + Z Z ⎞
1 3 3
⎜ ⎟
⎝ Z3 Z2 + Z3⎠
1 ⎛Z(Z 1 2 + Z) 3
⎜
N ⎝ − ZZ 1 2
−ZZ
1 2 ⎞
⎟
Z(Z 1 2 + Z) 3 ⎠
N= Z + Z + Z
1 2 3
I = Y ⋅ U + Y ⋅ U folgt :
Aus 1 11 1 12 2
Y = 0
12
Z = 0
12
H = 0
1 ⎛Y(Y 1 2 + Y) 3
⎜
N ⎝ − YY 1 2
−YY
1 2 ⎞
⎟
Y(Y 1 2 + Y) 3 ⎠
N= Y + Y + Y
1 2 3
⎛Y + Y −Y
⎞
1 3 3
⎜ ⎟
⎝ − Y3 Y2 + Y3⎠
12
Rückwirkungsfreie 2-Tore übertragen Signale nur vom Eingang zum Ausgang,
nicht vom Ausgang zum Eingang; sie sind deshalb nicht reziprok! (Bsp.:
idealer Verstärker)

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� 9.5 Zusammenschaltungen

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� Betriebsparameter:
o Spannungsübertragungsfaktor:
o Stromübertragungsfaktor:
U A
1
12
Üu= = A11
+
U2RL I
Ü = =−A −A ⋅
R
i
1
I2
22 21 L

Martin Lechler Seite 11/13 03.08.2004
Zu Kap. 10
o Betriebsübertragungsfaktor:
Uq DB
=
2U2 R L =
Ri
1⎛ ⎜A11 2⎜ ⎝
RL +
Ri A12
RR i L
+ A21 RiRL + A22
R ⎞
i
⎟=
R ⎟
L ⎠
1 ⎛
⎜
2⎜ ⎝
RL ⋅Üu Ri −
R ⎞
i ⋅Üi⎟
R ⎟
L ⎠
o Bezug zur übertragenen Wirkleistung:
D
B
1 U R P
= =
2U R P
q L wv
2 i w2
Darstellung periodischer Signale durch Fourier-Reihen:
�

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� 10.6 Sonderfälle und Symmetrien
� Kenngrößen periodischer Signale
o Gleichanteil und Gleichrichtwert
Gleichanteil:
1
U = u(t)dt = a
T
t+ T
∫ t
0 Gleichrichtwert:
o Effektivwert, Scheitelfaktor und Formfaktor
1 t+ T
U = u(t) dt
T ∫ t

Martin Lechler Seite 13/13 03.08.2004
Effektivwert:
Scheitelfaktor:
Formfaktor:
Ueff =
1 t+ T
2
u (t)dt
T∫ =
t
1 t+ T
∞ ⎡
U �
⎤
0 Uk cos(k t
t
k ) dt
T∫
⎢ + ∑ ω −ϕ ⎥
⎣ k= 1
⎦
ξ=
U� ∞ 2
U
U� =
Ueff , ∼
Spitzenwert
=
Effektivwert des Wechselanteils
∑k=
1 k,eff
∞
∑
2
k,eff eff , ∼
k 1 U = U Effektivwert des Wechselanteils
F = = =
U U
Gleichrichtwert
o Wirk-, Blind- und Scheinleistung
Wirkleistung:
Scheinleistung:
Blindleistung:
1 1
P U I U I cos U I U I cos
∞ ∞
�
w = 0 0 + � ∑ k k ϕ k = 0 0 + ∑ k,eff k,eff ϕk
k= 12 k= 12
∑ ∑
2 ∞ 2 2 ∞ 2
S = eff ⋅ eff = 0 +
k= 1 k,eff ⋅ 0 +
k= 1 k,eff
P U I U U I I
P = P − P
2 2
b S w
o Klirrfaktor, Klirrkoeffizient, Welligkeit und Grundschwingungsgehalt
Klirrfaktor:
Klirrkoeffizient:
Welligkeit:
∑
∑
∞
U Effektivwert der Oberschwingungen
k = =
U Effektivwert des Wechselanteils
k
µ
k= 2
∞
k= 1
2
k,eff
2
k,eff
Uµ,eff Effektivwert der µ − ten Oberschwingung
= =
∞
U Effektivwert des Wechselanteils
∑
∑
k= 1
2
k,eff
∞ 2
U
k= 1 k,eff Effektivwert des Wechselanteils
w = =
U Gleichanteil
Grundschwingungsgehalt:
0
U U
g= k1=
=
∞
U U
∑
1,eff 1,eff
k= 1
2
k,eff
eff , ∼
* Keine Garantie auf Fehlerfreiheit; ich habe mich jedoch bemüht, möglichst fehlerfrei zu arbeiten. Bei
Zweifeln verweise ich auf das Skript!
2