Unterbestimmte Gleichungssysteme - St. Ursula Schulen
Unterbestimmte Gleichungssysteme - St. Ursula Schulen
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Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 1<br />
Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!<br />
�<br />
ANALYSIS:<br />
� Funktionsuntersuchung<br />
Funktionsarten:<br />
a) ganzrationale Funktionen<br />
b) e-Funktionen<br />
c) trigonometrische Funktionen<br />
� Tangenten- und Normalenbestimmung<br />
� Ortskurven<br />
� Gemeinsame Punkte von Kurvenscharen<br />
� Integrale und Flächenberechnung<br />
� Mittelwert / Rotationskörper<br />
� Extremwertaufgaben<br />
� Aufstellen von Funktionsgleichungen<br />
�<br />
LINEARE ALGEBRA:<br />
� Der Rang einer Matrix<br />
� Lösbarkeitskriterien von linearen <strong>Gleichungssysteme</strong>n<br />
� Homogene lineare <strong>Gleichungssysteme</strong><br />
� Inhomogene lineare <strong>Gleichungssysteme</strong><br />
� Über- und unterbestimmte <strong>Gleichungssysteme</strong><br />
�<br />
ANALYTISCHE GEOMETRIE:<br />
� Vektoren im R 3<br />
� Lineare (Un-) Abhängigkeit<br />
� Geraden und Ebenen im R 3 (Parameter- und Koordinatendarstellung)<br />
� Schnitt von Geraden und Ebenen (im R 3)<br />
� Vorteile der Koordinatenform<br />
�<br />
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG:<br />
� LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten<br />
� Mehrstufige ZE / Pfadregel<br />
� Bedingte Wahrscheinlichkeit / Vierfeldertafel<br />
� Unabhängigkeit von Ereignissen<br />
� Zufallsvariablen<br />
� Erwartungswert und Varianz
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 2<br />
� FUNKTIONSUNTERSUCHUNG<br />
� Nur bei e-Funktionen interessant: Asymptoten<br />
a) waagrechte Asymptoten, wenn<br />
lim f ( x)<br />
= a => Asymptote: y = a (pos. x-Bereich)<br />
x→<br />
+ ∞<br />
lim f ( x)<br />
x→<br />
− ∞<br />
= b => Asymptote: y = b (neg. x-Bereich)<br />
Existiert kein Grenzwert, dann gibt es auch keine waagrechte Asymptote.<br />
b) evtl. aber eine schiefe Asymptote, wenn f (x) eine Summe von Ausdrücken<br />
ist, von denen einer gegen 0 geht, z.B. f (x) = 2x + e -x<br />
lim f ( x)<br />
= 2x (da e -x gegen 0 geht!) => y=2x ist schiefe Asymptote<br />
x→<br />
+ ∞<br />
Für x→ - ∞ ex. hier kein Grenzwert => keine As. (im neg. x-Bereich)<br />
� Ableitungen<br />
f ’, f ’’, f ’’’ Ableitungsregeln beachten:<br />
Potenzregel : f (x) = x n ⇒ f ’(x) = n⋅x n-1<br />
Produktregel : f (x) = u(x)⋅v(x) ⇒ f ’(x) = u’(x)⋅v(x) + u(x)⋅v’(x)<br />
Kettenregel : f (x) = u(v(x)) ⇒ f ’(x) = v’(x)⋅u’(v(x))<br />
� Symmetrie<br />
f (-x) = -f (x) ⇒ Punktsymmetrie zu O (= Ursprung)<br />
f (-x) = f (x) ⇒ Achsensymmetrie zur y-Achse<br />
� Nullstellen<br />
f (x) = 0<br />
� Extrempunkte<br />
f ’(x) = 0 f ’’(Ergebnis) > 0 => Tiefpunkt<br />
f ’’(Ergebnis) < 0 => Hochpunkt<br />
f ’’(Ergebnis) = 0 => Sattelpunkt<br />
� Wendepunkte<br />
f ’’(x)=0 f ’’’(Ergebnis) ≠ 0 => Wendepunkt<br />
f ’’’(Ergebnis) = 0 => KEIN Wendepunkt<br />
Alternative Kriterien für f ’’’ ≠ 0:<br />
a) Vorzeichenwechsel von f ’’ an der <strong>St</strong>elle, wo f ’’ = 0 ist<br />
oder noch besser (!!!):<br />
b) (Ergebnis) ist nur einfache Lösung von f ’’ = 0 => Wendepunkt<br />
(Ergebnis) ist mehrfache Lösung von f ’’ = 0 => KEIN Wendepunkt<br />
� Wer liefert was?<br />
- f(x) „liefert“ den y-Wert (an der <strong>St</strong>elle x)<br />
- f’(x) „liefert“ die <strong>St</strong>eigung (an der <strong>St</strong>elle x)<br />
(f’>0 => f(x) ist monoton steigend, f’ f(x) ist monoton fallend)<br />
- f’’(x) „liefert“ die Krümmung (an der <strong>St</strong>elle x)<br />
(f’’>0 => f ist linksgekrümmt, f’’ f ist rechtsgekrümmt),
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 3<br />
Da der größte Teil der „Kurvendiskussion“ mit dem GTR gemacht werden kann, wird es<br />
immer wichtiger, Schaubilder nicht zu zeichnen, sondern zu „interpretieren“. Ein paar<br />
Beispiele dazu:<br />
Beispiel 1: Die Abbildung zeigt das Schaubild einer<br />
Exponentialfunktion. Diese kann durch einen der drei<br />
folgenden Funktionsterme beschrieben werden:<br />
g1(x)=a-b.e x+1<br />
g2(x)=(ax-b).e -x+1<br />
g3(x)=(ax+b).e x+1<br />
Begründe, welche Terme zur Beschreibung ungeeignet<br />
sind!<br />
Lösung: Für g 1 gilt z.B.: g 1 ist für b0 streng monoton fallend. Das Schaubild ist weder<br />
das eine noch das andere.<br />
Für g 3 gilt z.B.: g 3(x)→0 für x→-∞ und |g 3(x)|→∞ für x→∞, was beides beim Schaubild nicht der Fall ist.<br />
Also kann das Schaubild nur durch g 2(x) beschrieben werden.<br />
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
Beispiel 2: Es sei f(x)=-x³ + 5x²-4,5x + 2<br />
Gib an, welches der beiden folgenden Schaubilder nicht zu einer <strong>St</strong>ammfunktion von f(x) gehören kann und<br />
begründe die Antwort.<br />
Schaubild von f(x) Schaubild 1 oder Schaubild 2<br />
Lösung: f(x) hat z.B. bei 2,9 eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel von + nach -). D.h., dass F(x) bei etwa 2,9 einen<br />
Extrempunkt (Hochpunkt) haben muss! Schaubild 2 hat kurz vor 4 einen Hochpunkt und kann deshalb nicht zu einer<br />
<strong>St</strong>ammfunktion von f gehören.<br />
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
Beispiel 3: Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion f, ihre Ableitung f’ und eine <strong>St</strong>ammfunktion F. Ordne<br />
die Schaubilder jeweils zu.<br />
S 1 S 2 S 3<br />
Lösung: Wäre S1 f(x), dann müsste F(x) bei -3 einen Extrempunkt haben. Dies hat keines der Schaubilder, also<br />
ist S1 nicht das Schaubild von f(x).<br />
Wäre S3 f(x), dann müsste wegen des Tiefpunktes bei x=0 f’ dort eine Nullstelle haben. Dies hat ebenfalls keines<br />
der anderen Schaubilder, also kann S3 auch nicht das Schaubild von f(x) sein.<br />
� S2 ist das Schaubild von f(x)<br />
� Damit muss f’ bei -1 eine Nullstelle haben => S3 ist das Schaubild von f’<br />
� S1 ist das Schaubild von F(x) (Extrempunkt, wo f eine Nullstelle hat, also bei -2!)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 4<br />
� TANGENTEN- UND NORMALENBESTIMMUNG<br />
� Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(a⎜f(a)) der Kurve.<br />
y = mx + b wobei m = f ’(a) => Punkt und m einsetzen => b ausrechnen<br />
Beispiel 1:<br />
t 3<br />
Berechne die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f ( x)<br />
= x − tx<br />
3<br />
2<br />
Lösung: f ' ( x) = tx − t<br />
2 3 t = 3t⋅2+b<br />
P (2⎜ 2 3 t ) m = f ’(2) = 3t<br />
an der <strong>St</strong>elle x=2.<br />
b = 2 3 t - 6t = − 16<br />
3 t => Tangentengleichung: y = 3t⋅x − 16<br />
3 t<br />
Variationen: Wendetangente, Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse, Tangente in den Nullstellen.<br />
Für NORMALEN gilt der gleiche Rechenweg, es ist lediglich zu beachten, dass m = − Normale<br />
m<br />
1 1<br />
= −<br />
f ' ( a)<br />
(oder m = −1<br />
)<br />
Normale ⋅ Tangente m<br />
Tangente<br />
� Lege von einem Punkt P(a⎜b) außerhalb der Kurve die Tangenten an das<br />
Schaubild von f (x).<br />
Man nimmt an, der Berührpunkt sei bekannt: B(u|f (u)).<br />
Die <strong>St</strong>eigung der Tangenten ist einerseits: m = f ’(u)<br />
Gleichsetzen => f ’(u) =<br />
und andererseits m<br />
f ( u) − b<br />
u − a<br />
Tangente in B berechnen (siehe �).<br />
f ( u) − b<br />
=<br />
u − a<br />
=> auflösen nach u => B<br />
Beispiel 2:<br />
Von P( 3 2 ⎜-1) sollen die Tangenten an das Schaubild von f x x ( ) = 1 2<br />
4 gelegt werden.<br />
Lösung:<br />
1<br />
( I ) m = u ( II ) m =<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
u =<br />
1<br />
4<br />
2 3<br />
4<br />
u<br />
u −<br />
+ 1<br />
u<br />
u −<br />
3 ( )<br />
1<br />
1<br />
=> u u − = u + 1<br />
1<br />
u − u − u − 1 => u − u − 1 = 0<br />
2<br />
u − 3u − 4 = 0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
u = − 1 u = 4<br />
4<br />
1 2<br />
1<br />
4<br />
2 1<br />
4<br />
2<br />
2<br />
+ 1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2 3<br />
4<br />
4<br />
2<br />
Damit sind Berührpunkte:<br />
1<br />
B ( −1<br />
) B ( 4 4)<br />
1<br />
4 2<br />
und die Tangenten:<br />
1<br />
t : y = − x −<br />
1<br />
t : y = 2x −<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 5<br />
� ORTSLINIEN (ORTSKURVEN)<br />
Ortslinien können immer nur dann entstehen, wenn eine Kurvenschar gegeben ist.<br />
Bestimme die Ortskurve aller???-punkte.<br />
a) Gewünschten Punkt (je nach Aufgabe) allgemein in Abhängigkeit vom<br />
Kurvenparameter (meist t) ausrechnen.<br />
b) Zwei Gleichungen aufstellen (I) x = errechnete x-Koordinate<br />
(II) y = errechnete y-Koordinate<br />
c) (I) nach t (dem Parameter) auflösen und in (II) einsetzen => Gleichung der<br />
Ortskurve<br />
Beispiel 1:<br />
t 4 mit x ∈ R und t ∈ R<br />
Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte der Schar?<br />
2<br />
Gegeben ist die Kurvenschar f ( x) = − x + tx<br />
Beispiel 2:<br />
Gegeben ist die Funktion f ( x)<br />
=<br />
t<br />
1 2<br />
−tx<br />
e<br />
Lösung:<br />
, mit x ∈ R und t ∈ R<br />
f '( x) = − 2x + 4t<br />
− 2x + 4t = 0 ⇒ x = 2t<br />
2<br />
E( 2t 4t<br />
)<br />
Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte, wenn t alle zulässigen Werte durchläuft?<br />
Lösung:<br />
f ' ( x)<br />
= −2<br />
x ⋅ e<br />
Wendepunkt<br />
4tx<br />
1<br />
2<br />
(beides<br />
W (<br />
1<br />
2t<br />
( I ) x =<br />
( II ) y =<br />
− 2 = 0 ⇒ x<br />
sind<br />
1<br />
t<br />
Ortskurve<br />
1<br />
t<br />
⋅ e<br />
1<br />
2t<br />
:<br />
⋅ e<br />
−<br />
−<br />
( e)<br />
:<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
−<br />
tx<br />
1,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
einfache<br />
) W ( −<br />
f ' ' ( x)<br />
= ( 4tx<br />
= ±<br />
1<br />
2t<br />
1<br />
2 t<br />
Lösungen,<br />
1<br />
t<br />
⋅ e<br />
⎪<br />
⎫<br />
1<br />
⎬aus<br />
( I ) : t =<br />
⎪⎭<br />
2 x<br />
−<br />
1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
2<br />
−<br />
in(<br />
II<br />
( I ) x = 2t<br />
⎫⎪<br />
x<br />
⎬ aus ( I ): t = in ( II ): y = x<br />
2<br />
( II ) y = 4t ⎭⎪<br />
2<br />
2)<br />
also sind<br />
) :<br />
⋅ e<br />
− tx<br />
2<br />
y = 2e<br />
beide<br />
−<br />
1<br />
2<br />
⋅ x<br />
Wendepunkt<br />
2<br />
e ! )<br />
2
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 6<br />
� GEMEINSAME PUNKTE VON KURVENSCHAREN<br />
Zeige, dass alle Kurven der gegebenen Schar ... Punkte gemeinsam haben.<br />
Zwei Kurven mit t und t (t ≠t ) miteinander schneiden (meist fällt t dann raus,<br />
1 2 1 2<br />
2 2<br />
wobei oft die 3. bin. Formel benutzt wird: t -t =(t +t )(t -t ))<br />
1 2 1 2 1 2<br />
→ gemeinsame Punkte aller Kurven<br />
alternativ: Die allgemeine Kurve ft mit einer bestimmten schneiden (z.B. t=0 oder<br />
t=1) → gemeinsame Punkte aller Kurven<br />
Beispiel 1:<br />
1<br />
2<br />
Zeige, dass sich je 2 Schaubilder der Schar f ( x) = x ⋅ ( x − t)<br />
, x,t∈R, in genau 2 Punkten schneiden.<br />
Lösung:<br />
Beispiel 2:<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
x ⋅ ( x − t )<br />
x ⋅ (( x − t )<br />
( x − t )<br />
1<br />
2x<br />
⋅ ( t<br />
2<br />
2x<br />
= t<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− ( x − t<br />
− t ) = t<br />
1<br />
+ t<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
=<br />
1<br />
4<br />
x ⋅ ( x − t<br />
)<br />
= 0<br />
t<br />
2<br />
− ( x − t ) ) = 0 ⇒ x = 0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
− t<br />
2<br />
1<br />
2<br />
t<br />
=<br />
: ( t<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ t<br />
2<br />
)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
( t<br />
2<br />
2<br />
x − 2t<br />
x + t − ( x − 2t<br />
x + t ) = 0<br />
⇒<br />
− t )<br />
2 2<br />
t2<br />
+ t1<br />
t2<br />
− t1<br />
⇒S1(<br />
00)<br />
und S2(<br />
)<br />
2 16<br />
Zeige, dass die Schaubilder der Funktionen f x x e<br />
Lösung:<br />
x ⋅ e<br />
x ⋅ ( e<br />
e<br />
e<br />
tx<br />
tx<br />
tx<br />
tx<br />
− e<br />
= e<br />
tx = x<br />
x ⋅ ( t −1)<br />
= 0 ⇒ x<br />
⇒keine<br />
= x ⋅ e<br />
x<br />
− e ) = 0 ⇒ x = 0<br />
x<br />
x<br />
= 0<br />
x<br />
( t ≠ 1 da t<br />
2<br />
1<br />
= 0<br />
1<br />
1<br />
≠ t<br />
1<br />
! ! ! )<br />
2<br />
[ Das geht, weil t ≠ t ist ! ! ! ]<br />
tx<br />
t ( ) = ⋅ , x,t∈R, nur einen gemeinsamen Punkt besitzen.<br />
( nixNeues)<br />
t = 1 ( was aber laut Voraussetzung<br />
nicht sein darf ! )<br />
weiteren gemeinsamen<br />
Punkte außer S( 0 0)<br />
2<br />
= 1!<br />
! ! )<br />
1 1 3<br />
Beispiel 3: Untersuche, ob die Schaubilder der Funktion ft(x)=tx²-t.sin( x- )+ , x∈R, t∈R<br />
2 20 200<br />
gemeinsame Punkte besitzen.<br />
Lösung: t1x²-t 1.sin( 2<br />
1 x- 20<br />
1 )+ 200<br />
3 = t2x²-t 2.sin( 2<br />
1 x- 20<br />
1 )+ 200<br />
3 => x²- sin( 2<br />
1 x- 20<br />
1 ) = 0<br />
(mit GTR) => keine Lösung => keine gemeinsamen Punkte vorhanden<br />
1<br />
2
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 7<br />
� INTEGRALE UND FLÄCHENBERECHNUNG<br />
� Bestimme die Fläche, die K f mit der x-Achse im Bereich von x=a bis x=b<br />
einschließt.<br />
Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Nullstellen von f.<br />
b<br />
b [ F(<br />
x)<br />
] = F(<br />
b)<br />
− F(<br />
)<br />
A = ∫ f ( x)<br />
dx =<br />
a Funktionsterm genau anschauen!<br />
a<br />
Beispiel 1:<br />
a<br />
3 2<br />
Berechne die Fläche, die das Schaubild von f ( x) = x − 8x + 16 x mit der x-Achse einschließt.<br />
Lösung:<br />
Nullstellen: x(x<br />
4<br />
∫<br />
3<br />
2<br />
− 8x + 16) = 0 ⇒ x = 0 x = 4 ± 0 ⇒ x = 4<br />
1 4 8 3 2<br />
[ 4 3 ]<br />
⇒ A = (x − 8x + 16x) dx = x − x + 8x<br />
=<br />
0<br />
1<br />
= ⋅ 4 − ⋅ 4 + 8⋅ 4 − ( ⋅0 − ⋅ 0 + 8⋅ 0 ) =<br />
4<br />
4 8<br />
3<br />
= 64 − + − =<br />
512 64<br />
128 0 FE<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3 2 1<br />
4<br />
4 8<br />
3<br />
3 2<br />
1 2, 3 2<br />
� Bestimme die Fläche, die K f mit K g im Bereich von x=a bis x=b einschließt.<br />
Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Schnittpunkte von f<br />
und g. (Beachte: Es wird immer von links nach rechts integriert!)<br />
b<br />
Gesuchte Fläche A = ∫ ( obere Kurve - untere Kurve)<br />
dx = ... ( s.<br />
o.)<br />
Beispiel 2:<br />
a) Zeige, dass<br />
F(<br />
x)<br />
⋅<br />
a<br />
5 2x 1 2x<br />
= 4 e − 2 x e eine <strong>St</strong>ammfunktion von<br />
b) Die Schaubilder von f x e x<br />
( ) = 2 2 und g x x e x<br />
( ) = ⋅<br />
Fläche. Berechne deren Inhalt A(u) sowie lim A( u)<br />
.<br />
Lösung:<br />
Schnittpunkt<br />
von f und g :<br />
( 2<br />
A(<br />
u)<br />
= ∫<br />
( 2 − x)<br />
u<br />
5 2x 1 2x<br />
[ e − x ⋅ e ]<br />
4<br />
− x)<br />
⋅ e<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
lim A(<br />
u)<br />
=<br />
u→−∞<br />
= 0 : e<br />
1<br />
4<br />
e<br />
4<br />
⋅ e<br />
2<br />
u<br />
=<br />
2x<br />
2x<br />
5<br />
4<br />
( ≠<br />
4<br />
0)<br />
u→<br />
− ∞<br />
4<br />
2e<br />
− (<br />
5<br />
4<br />
2x<br />
= x ⋅ e<br />
2u<br />
1<br />
2<br />
4<br />
0<br />
2x<br />
f ( x)<br />
= ( 2 − x)<br />
⋅ e ist.<br />
2 sowie die Gerade x=u (mit u
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 8<br />
� MITTELWERT / ROTATION VON FLÄCHEN<br />
� Der Mittelwert m der Funktionswerte einer Funktion f auf einem Intervall<br />
1<br />
[a;b] wird berechnet durch m = ⋅<br />
− ∫ f ( x)<br />
dx .<br />
b a<br />
Beispiel: Der Temperaturverlauf (in °C) eines bestimmten Vorganges in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) wird<br />
durch eine Kurve näherungsweise dargestellt. Die Beobachtung begann zum Zeitpunkt t=2 und wurde 8 <strong>St</strong>unden<br />
lang durchgeführt. Die (Temperatur-) Kurve hat die Gleichung f(t)=-0,261t²+3,119t+15 .<br />
Bestimme die Durchschnittstemperatur während des Beobachtungszeitraumes.<br />
Lösung:<br />
10<br />
1<br />
1<br />
m = ⋅ − 0,<br />
261t²<br />
+ 3,<br />
119t<br />
+ 15dt<br />
= ⋅183,<br />
408 = 22,<br />
926 ( ° C)<br />
10 − 2 ∫<br />
8<br />
2<br />
� Das Flächenstück, das f(x) mit der x-Achse einschließt, rotiert von x=a bis x=b<br />
um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.<br />
b<br />
=> = π ⋅ ∫[<br />
f ( x)<br />
]<br />
V dx<br />
a<br />
2<br />
Beispiel 1: Die Fläche zwischen dem Schaubild von f mit f(x)=1+sin(x) auf [0;1,5π] und der x-Achse rotiert um<br />
die x-Achse. Beschreibe den entstehenden Rotationskörper und berechne dessen Volumen.<br />
Lösung:<br />
Der Rotationskörper hat die Form einer liegenden Blumenvase und das Volumen<br />
1,<br />
5π<br />
2<br />
V= π ⋅ [ 1 sin( ) ]<br />
∫ +<br />
0<br />
x dx = 16,05 FE (mit GTR)<br />
1<br />
Beispiel 2: Ein Sektglas „entsteht“ durch Rotation des Schaubildes der Funktion f ( x)<br />
= ( 6x<br />
−12)<br />
im<br />
5<br />
Bereich von x=2 bis x=10 um die x-Achse. Erstelle eine Skizze.<br />
a) Wie viele Volumeneinheiten (VE) Sekt gehen in das Glas, wenn es randvoll gemacht wird?<br />
(Die „Klugscheißer“-Antwort lautet natürlich „0, da alles herausläuft“, aber das Glas wird selbstverständlich vorher aufgestellt !!!)<br />
b) In welche Höhe (vom Glasboden aus gemessen) müsste der Eichstrich angebracht werden, damit bis dorthin<br />
genau 100 VE im Glas sind?<br />
Lösung:<br />
10<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ 192π<br />
a) V = π ⋅ ∫ ⎜ ( 6x<br />
− 12)<br />
⎟ dx = ≈120,<br />
637VE<br />
(mit GTR oder ohne!)<br />
5<br />
5<br />
2 ⎝ ⎠<br />
u<br />
1<br />
⎡3<br />
b) V = π ⋅ ∫ ( 6x<br />
− 12)<br />
dx = 100 (hier „versagt“ leider der GTR!!!) →<br />
2 12 ⎤<br />
π ⋅ u − u = 100 →<br />
5<br />
⎢⎣ 5 5 ⎥⎦<br />
2<br />
2 500<br />
u − 4u<br />
− = 0 → u1=9,553 (u2
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 9<br />
� EXTREMWERTAUFGABEN<br />
Bestimme u so, dass irgendwas maximal oder minimal wird oder<br />
wie müssen bestimmte Punkte liegen, damit irgendwas maximal wird oder<br />
bestimme den maximalen??? von irgendwas.<br />
� Was soll extremal werden? (<strong>St</strong>recke, Dreiecksfläche, Rechtecksumfang, ...)<br />
� Zielfunktion Z(u) für das "Was" aufstellen (evtl. Nebenbedingungen beach-<br />
ten). - Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen (falls nicht angegeben)!<br />
� Extrema der Funktion Z berechnen (siehe Funktionsuntersuchung �)<br />
� Randwerte bestimmen<br />
� Fragestellung der Aufgabe anschauen und evtl. die gefragte Größe noch<br />
berechnen, bzw. die gestellte(n) Frage(n) beantworten!<br />
Beispiel 1:<br />
2<br />
Die Gerade x=u schneidet das Schaubild der Funktion f ( x) = − x + 4 x im Punkt P, die x-Achse im Punkt<br />
Q. Berechne u so, dass der Dreiecksinhalt ein Maximum annimmt und gib den maximalen Flächeninhalt des<br />
entsprechenden Dreiecks an.<br />
Was soll extremal<br />
→<br />
Dreiecksfläche<br />
g = u<br />
Zielfunktion<br />
:<br />
A(<br />
u)<br />
= −<br />
0 ≤ u ≤ 4<br />
A''<br />
( 0)<br />
= 4 > 0 ⇒Minimum<br />
8 A''<br />
( ) = −4<br />
< 0⇒<br />
Maximum<br />
A(<br />
0)<br />
= 0 A(<br />
4)<br />
= 0<br />
A<br />
u<br />
und h = f ( u)<br />
u<br />
+ 2u<br />
Definitionsbereich<br />
Extrema bestimmen :<br />
−<br />
2 3<br />
+ 4u<br />
= 0 ⇒ u ⋅(<br />
−<br />
Maximale Fläche :<br />
8 = A(<br />
) =<br />
128<br />
27<br />
werden ?<br />
(<br />
( = Grenzen<br />
FE<br />
⋅ g ⋅ h)<br />
A'(<br />
u)<br />
= −<br />
u + 4)<br />
A(<br />
u)<br />
=<br />
u<br />
u<br />
= 0 u<br />
u ⋅ f ( u)<br />
=<br />
+ 4u<br />
für Randwerte)<br />
:<br />
Randwerte (Werte am Rand des Definitionsbereiches)<br />
:<br />
max<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 3<br />
⇒<br />
1<br />
2 3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
8<br />
3<br />
1<br />
2<br />
u ⋅(<br />
−u<br />
2<br />
+ 4u)<br />
A''<br />
( u)<br />
= −3u<br />
+ 4
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 10<br />
4<br />
Beispiel 2: Der Punkt P(u⎜v) mit u≥0 liegt auf dem Schaubild von f ( x)<br />
= 2e<br />
. Die Tangente in P an das<br />
Schaubild begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne u so, dass der Inhalt dieses Dreiecks<br />
extremal wird. Um was für ein Extremum handelt es sich?<br />
Was soll extremal werden ?<br />
→ Dreiecksflä che ( ⋅ g ⋅ h)<br />
wobei g = x - Wert des Tangentenschnittpunktes mit der x - Achse<br />
und h = y - Achsenabschnitt der Tangente<br />
⇒<br />
1<br />
2<br />
1<br />
− ⋅x<br />
es sind zunä chst die Gleichung der Tangente und deren Nullstelle zu berechnen<br />
1<br />
− u 1<br />
1<br />
− u<br />
t<br />
2<br />
4<br />
4<br />
Tangente: P(u 2e<br />
) m = f ' ( u) = − ⋅e einsetzen in y = m⋅ x + b<br />
1<br />
1<br />
1<br />
− − − u<br />
1<br />
1<br />
u u u − u − u u<br />
4 1 4<br />
4<br />
1 4<br />
4<br />
2 e = − 2 ⋅e ⋅ u + b ⇒ b = e ( 2 + ) [ = h !!! ] ⇒ y = − 2 ⋅e ⋅ x + e ( 2 + )<br />
2<br />
2<br />
Schnittpunkt der Tangenten mit der x - Achse: y = 0<br />
Zielfunktion:<br />
Definitionsbereich:<br />
Extrema berechnen:<br />
⇒<br />
x = 4 + u [ = g !!! ]<br />
u<br />
A u u e<br />
e u u<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
− u u u u<br />
4<br />
− 4<br />
− 4<br />
( ) = 2 ⋅ ( 4 + ) ⋅ ( 2 + ) = ( 4 + 2 + ) A' ( u) = e ( 1−<br />
)<br />
2<br />
4<br />
8<br />
0 ≤ u ≤ ∞<br />
e<br />
1<br />
− 4 u<br />
2<br />
2 2<br />
u<br />
2<br />
( 1−<br />
) = 0 ⇒ u = 8 ⇒ u1 = 8 ( ≈ 2,83) ( u1<br />
= − 8)<br />
∉ Δ<br />
8<br />
Art des Extremums (zur Abwechslung einmal mit Vorzeichenwechsel von f ' ' ):<br />
1<br />
− ⎫<br />
2 1<br />
f ' ( 2) = e ( 1− 2 ) > 0⎪<br />
⎡zwischen<br />
2 und 3 Vorzeichenwechsel von f ' von + nach -<br />
⎬ ⎢<br />
3<br />
− 4 9<br />
f ' ( 3) = e ( 1− ) < 0⎪<br />
⎣⎢<br />
⇒ Art des Extremums: Maximum<br />
⎭<br />
Randwerte:<br />
8<br />
A( 0) = 2 lim A( u)<br />
= 0 (!!! Da keine rechte Grenze angegeben ist !!!)<br />
Maximale Flä che:<br />
u→∞<br />
A = A( 8) = 8,77<br />
FE<br />
max
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 11<br />
� AUFSTELLEN VON FUNKTIONSGLEICHUNGEN<br />
� Es sind verschiedene Bedingungen angegeben<br />
Eine Funktion ?-ten Grades hat ... (verschiedene Bedingungen). oder<br />
Eine Funktion hat die Form ... . Sie ... (verschiedene Bedingungen).<br />
Bestimme die Funktionsgleichung.<br />
1. Allgemeinen Funktionsterm incl. 1. und 2. Ableitung aufschreiben (falls nicht<br />
angegeben!)<br />
2. Bedingungen auswerten und Gleichungen mit f, f ’ oder f ’’ bilden<br />
3. (Lineares) Gleichungssystem aufstellen<br />
4. (Lineares) Gleichungssystem lösen<br />
5. Funktionsgleichung hinschreiben<br />
Bedingungen beachten! (... geht durch P, ... ist Hoch-, Tief-, Extrem-,<br />
Wendepunkt, ... berührt, ... hat die <strong>St</strong>eigung, ... ist parallel zu, ...)<br />
Beispiel 1:<br />
Das Schaubild K t einer ganzrationalen Funktion 3. Grades f t hat im Ursprung eine waagrechte Tangente und im<br />
Punkt P t (t⎜0), [t≠0], die <strong>St</strong>eigung 3. Bestimme f t .<br />
Allgemeine Form der Funktion:<br />
3 2 2<br />
f ( x) = ax + bx + cx + d f ' ( x) = 3ax + 2bx + c f ' ' ( x) = 6ax + 2b<br />
(I) d = 0<br />
(II) c = 0<br />
(III)<br />
aus (III): in (IV): b = -<br />
(IV)<br />
3<br />
f ( = ⇒<br />
⎫<br />
f ' ( = ⇒<br />
3<br />
f ( t) = ⇒ at + bt<br />
⎪<br />
⎪<br />
b<br />
a =<br />
= ⎪<br />
t<br />
t<br />
f ' ( t) = ⇒<br />
2 ⎪<br />
at + bt = ⎭<br />
−<br />
0) 0<br />
0) 0<br />
0 0<br />
3 3 2 3<br />
Beispiel 2:<br />
In der Funktion f x x ax b e x<br />
( ) = ( + + ) ⋅ −<br />
2<br />
die x-Achse bei -1 berührt.<br />
Allgemeine Form der Funktion:<br />
(a= -b<br />
) t<br />
2 ⎬<br />
⎯⎯⎯ → a = 2<br />
3 3 3<br />
f ( x)<br />
= ⋅ x − 2<br />
t t<br />
2 − x 2<br />
− x<br />
f ( x) = ( x + ax + b) ⋅ e f ' ( x) = ( − x + 2x<br />
− ax + a − b) ⋅ e<br />
x 2<br />
sind a und b so zu bestimmen, dass das Schaubild der Funktion<br />
(I) f ( − 1) = 0 ⇒ (1- a + b) ⋅ e = 0 ⎫⎪<br />
(a=b+1)<br />
⎬ aus (I): a = b + 1 in (II): b = 1 ⎯⎯⎯⎯ → a = 2<br />
(II) f ' ( − 1) = 0 ⇒ - 3+ 2a - b = 0 ⎭⎪<br />
2<br />
f ( x) = ( x + 2x + 1)<br />
⋅ e<br />
*********************************************************************<br />
� Es ist eine Reihe von Punkten angegeben (Wertetabelle mit Punktepaaren)<br />
Die Lösung erhält man durch REGRESSION! - (Dies geht mit dem GTR!)<br />
− x<br />
t<br />
3
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 12<br />
Beispiel:<br />
Gegeben ist die Wertetabelle<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
4,1 3,9 3,1 2,1 1,55 2,0 3,8 8,3 15,4<br />
Es soll nun eine Funktion gefunden werden, die diese Werte möglichst gut repräsentiert. Dazu lässt man sich die<br />
Punkte erst einmal aufzeichnen.<br />
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
1) Die Eingabe der Werte in Listen<br />
(am besten L1 und L2!) erfolgt mit ;<br />
→ →b→<br />
→ -0<br />
WICHTIG: Natürlich müssen in beiden Listen gleich viele Werte eingetragen werden!<br />
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
2) Mit -. schaltet man nun Plot1 auf On:<br />
→ b→ → b→<br />
Alternative: .→ mit $ auf Plot1 →b→<br />
→ -0<br />
Plot1 wird dunkel und damit<br />
eingeschaltet.<br />
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
3) Ein Druck auf 6 zeigt jetzt die Lage der eingegebenen Punkte.<br />
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
4) Jetzt muss man sich für die Art der Regressionskurve entscheiden. Welche es gibt, zeigt<br />
;š →<br />
Von der Linearen Regression 4: LinReg (= Gerade) geht es bis C: SinReg<br />
(= eine Sinus-Funktion).<br />
Für unser Beispiel wählen wir eine Funktion 3. Grades, also „6:CubigReg“. Am Bildschirm<br />
steht jetzt lediglich: (Bemerkung: Man könnte jetzt dahinter<br />
noch, mit Komma getrennt, zwei Listen angeben (also etwa so: CubicReg L3,L4), mit<br />
denen der GTR rechnen soll, aber wenn wir L1 und L2 benutzen, brauchen wir das<br />
nicht, denn diese beiden werden automatisch benutzt!!!)<br />
Drückt man jetzt b, so berechnet der TI die Regressionskurve und zeigt die<br />
Koeffizienten unserer Kurve 3. Grades an.<br />
Sehr Nützlich: Gibt man hinter dem noch eine y-Variable an, also z.B. so wird<br />
die Funktion in dieser y-Variable gespeichert! (y-Variablen erhält man über 2"b…)<br />
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
5) (Eigentlich unnötig, aber…) Manchmal will man wissen, ob die berechnete Kurve die gegebenen Punkte gut<br />
oder weniger gut repräsentiert. Dazu gibt es Maßzahlen (sie heißt r, r² und R²). <strong>St</strong>andardmäßig werden diese<br />
nicht berechnet, man kann sie aber im „Funktionen-Catalog“ einschalten:<br />
-_ (= CATALOG) und dann bis zum Befehl runterscrollen.<br />
Führt man jetzt die Regression durch, erscheinen unter den Koeffizienten der Funktion<br />
(je nach der Art der Regression, die man gewählt hat) noch Werte r, r² und/oder R².<br />
Bei uns ist R²=0.9996743797) was sehr, sehr gut ist. R² heißt Bestimmtheitsmaß.<br />
Allgemein gilt: Je näher diese Diagnosewerte bei 1 liegen, desto besser ist die Regression.<br />
Werte > 0,75 sind gut, darunter nicht. (Wer mehr wissen will → TI-Handbuch, Seite 12-23)<br />
Bemerkung: Dieses Maß (das in unseren Aufgaben keine Rolle spielt) ist hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt.<br />
→<br />
→
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 13<br />
� DER RANG EINER MATRIX<br />
Welchen Rang hat die Matrix A?<br />
Der Rang einer Matrix ist die kleinste Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen<br />
Zeilenvektoren von A, die durch die elementaren Umformungen erzeugt werden<br />
können!<br />
Bestimmung des Ranges:<br />
Matrix auf Dreiecksform bringen und die Zeilen zählen, die keine Nullzeilen<br />
sind.<br />
Beispiel:<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜2<br />
⎜3<br />
⎜<br />
⎝5<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛1<br />
−1<br />
2 2 ⎞<br />
⎜<br />
⎜2<br />
Welchen Rang hat die Matrix A = ⎜<br />
3<br />
⎜<br />
⎝5<br />
−3<br />
1<br />
−8 2<br />
14<br />
4<br />
⎟<br />
1 ⎟<br />
⎟ ?<br />
9<br />
⎟<br />
−2⎠<br />
−1<br />
− 3<br />
1<br />
− 8<br />
−1<br />
1<br />
− 4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
14<br />
4<br />
2<br />
2<br />
− 8<br />
6<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
1 ⎟<br />
9 ⎟<br />
⎟<br />
− 2⎟<br />
⎠<br />
⋅ 2<br />
⋅ ( −1)<br />
⋅ ( −1)<br />
⋅ ( −1)<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
3 ⎟ ⋅ 4<br />
− 3⎟<br />
⋅<br />
⎟<br />
12<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅ 3<br />
⋅3<br />
( −1)<br />
⋅ ( −1)<br />
⋅5<br />
⎛1<br />
−1<br />
2 2 ⎞<br />
⎜<br />
⎜0<br />
1 2<br />
⎟<br />
3 ⎟<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
9<br />
⎟<br />
⎟<br />
−3⎠<br />
⋅1<br />
⋅3<br />
⎛1<br />
−1<br />
2 2⎞<br />
⎜<br />
⎜0<br />
1 2<br />
⎟<br />
3⎟<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
9<br />
⎟<br />
⎟<br />
0⎠<br />
Die letzte Zeile<br />
wird zu einer<br />
Nullzeile<br />
1442 443<br />
Der Rang von A<br />
ist 3 (Rg A =3)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 14<br />
� LÖSBARKEITSKRITERIEN VON LGS<br />
Wann ist das LGS A⋅x=b (mit n Unbekannten) eindeutig, mehrdeutig oder<br />
unlösbar?<br />
Man vergleicht den Rang der Koeffizientenmatrix A (Rg A) mit dem Rang der<br />
erweiterten Koeffizientenmatrix (Rg (A⎜b)).<br />
Für inhomogene LGS gilt dann:<br />
Das LGS ist<br />
eindeutig lösbar wenn Rg A = Rg (A ⎜ b) = n<br />
mehrdeutig lösbar wenn Rg A = Rg (A ⎜ b) < n<br />
unlösbar wenn Rg A < Rg (A ⎜ b)<br />
Für homogene LGS gilt dann:<br />
Das LGS ist<br />
eindeutig lösbar wenn Rg A = n<br />
mehrdeutig lösbar wenn Rg A
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 15<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜3<br />
⎜<br />
⎝ t<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
2t<br />
+ 2<br />
4 − 2t<br />
2t<br />
− 4<br />
2(<br />
t − 2)<br />
( t − 2)<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
− 2<br />
2<br />
2<br />
( t − 2)<br />
0<br />
Für t = -3ist<br />
Term<br />
LGS unlösbar<br />
t + 2 3 ⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
7 ⎟⋅<br />
1 − 4⎟<br />
⎠<br />
t + 2<br />
3t<br />
+ 7<br />
für t = -3<br />
⋅ 3<br />
( −1)<br />
⋅t<br />
( t ≠ 0!<br />
! ! )<br />
⋅ ( −1)<br />
+ 5t<br />
+ 6 3<br />
2 NICHT 0<br />
( t + 6)<br />
⎛<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎝<br />
2<br />
− 2(<br />
t − 2)<br />
0<br />
⎞<br />
t + 2 3<br />
⎟<br />
⎟<br />
3t<br />
+ 7 2 ⎟←!<br />
! !<br />
⎟<br />
( t + 2)(<br />
t + 3)<br />
3(<br />
t + 2)<br />
14243<br />
123<br />
⎟<br />
Term1<br />
Term2<br />
⎠<br />
Nullstellen<br />
von Term 1sind<br />
- 2 und - 3<br />
Da - 2 ebenfalls Nullstelle von Term<br />
ist ⇒ für t = -2 ergibt sich eine Nullzeile<br />
⇒<br />
⇒<br />
−<br />
t + 2 3 ⎞<br />
⎟<br />
3t<br />
+ 7 2 ⎟<br />
2<br />
t + 2t<br />
−1<br />
3t<br />
+ 4<br />
⎟<br />
⎠<br />
t + 2 3 ⎞<br />
⎟<br />
3t<br />
+ 7 2 ⎟⋅1<br />
2<br />
t + 2t<br />
−1<br />
3t<br />
+ 4<br />
⎟<br />
⎠⋅1<br />
t<br />
LGS mehrdeutig lösbar für t<br />
Ergebnis:<br />
2<br />
Hinschauen!<br />
! !<br />
Hinschauen!<br />
! !<br />
3<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
= -2<br />
2<br />
Ein Blick auf das mittlere Element der<br />
2. Zeile zeigt, daß für t = 2 dort eine<br />
steht ! Damit ergibt sich die Frage, ob mit<br />
Zeile 2 und 3 eine Nullzeile erzeugt<br />
werden kann!<br />
! ! ! !<br />
Für t = 2 ergibt sich :<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
4 3 ⎞<br />
⎟<br />
13 2 ⎟ ⋅ 20<br />
2012<br />
⎟<br />
⎠⋅<br />
( −13)<br />
Null<br />
4 3 ⎞<br />
⎟<br />
13 2 ⎟ ⇒ unlösbar für t = 2<br />
0 −116<br />
⎟<br />
⎠<br />
Merke:<br />
Immer, wenn als erstes Element in einer Zeile der<br />
Dreiecksmatrix ein Ausdruck mit Parameter steht, kann<br />
es weitere Sonderfälle (= mehrdeutig oder unlösbar)<br />
geben!!!<br />
Das LGS ist mehrdeutig lösbar für t = -2<br />
unlösbar für t = -3 und t = 2 (oder t ∈ {-3 ; 2})<br />
eindeutig lösbar für t ∈ R\{-3 ; -2 ; 2}
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 16<br />
� HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME<br />
Für welche Werte von t ist das homogene LGS ... nichttrivial lösbar?<br />
Besonderheiten von homogenen LGS:<br />
� Es gibt IMMER eine Lösung, nämlich die "Triviallösung", den Nullvektor!<br />
EIN HOMOGENES LGS KANN NIE UNLÖSBAR SEIN!!!<br />
� Als zweite Möglichkeit bleibt nur noch der Fall, dass es ∞ viele Lösungen<br />
gibt (= d.h. es ist nichttrivial lösbar!!!)<br />
Beispiel:<br />
⎛ − 3<br />
⎜<br />
⎜ −<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
Für welche Werte von t ist das hom. LGS t ⋅ x = o<br />
an.<br />
⎛ − 3<br />
⎜<br />
⎜ − t<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
⎛ − 3<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
⎛ − 3<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
⎛ − 3<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
t<br />
3<br />
− 2t<br />
t<br />
2<br />
t − 9<br />
− 2t<br />
t<br />
2<br />
t − 9<br />
0<br />
t<br />
2<br />
t − 9<br />
0<br />
Das LGS hat<br />
und t = 1)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 3<br />
− 8<br />
9 0⎞<br />
⋅ t<br />
⎟<br />
3 0⎟⋅<br />
0 0⎟<br />
⎠<br />
∞<br />
18t<br />
Lösung für t = 1 :<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
9 0<br />
0 0<br />
0 0<br />
( − 3)<br />
9 0⎞<br />
⎟<br />
9t<br />
− 9 0⎟<br />
⋅ 2t<br />
0 0⎟<br />
2<br />
⋅⎜<br />
⎛ − 9⎟<br />
⎞<br />
⎠ t<br />
⎝ ⎠<br />
9 0⎞<br />
⎟<br />
9t<br />
− 9 0⎟<br />
2<br />
18t<br />
−18t<br />
0⎟<br />
⎠<br />
9<br />
9t<br />
− 9<br />
( t −1)<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎟<br />
0⎟<br />
⎠<br />
viele Lösungen für t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
( t ≠ ± 3 !<br />
! )<br />
= 0<br />
t<br />
3<br />
− 2t<br />
9⎞<br />
⎟<br />
3⎟<br />
0⎟<br />
⎠<br />
nichttrivial lösbar? Gib die Lösung für t=1<br />
Sonderfälle:<br />
t = 3 :<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 3<br />
0<br />
0<br />
t = -3 :<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 3<br />
0<br />
0<br />
3<br />
0<br />
− 6<br />
− 3<br />
0<br />
6<br />
9<br />
18 0<br />
0<br />
9<br />
0<br />
− 36 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
⇒<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
nur trivial<br />
lösbar<br />
⇒ nur trivial<br />
lösbar<br />
Damit ist das Gleichungssystem nichttrivial lösbar für t ∈ {0;1}<br />
Wir setzen x<br />
3<br />
= a (da die 3. Zeile eine Nullzeile ist)<br />
⇒ In die 2. Zeile eingesetzt ⇒ - 8x<br />
2<br />
= 2 ⇒ x<br />
2<br />
= 0<br />
Dies in die1.<br />
Zeile ⇒ -3x<br />
1<br />
+ 1⋅<br />
0 + 9 ⋅ a = 0 ⇒ x<br />
1<br />
= 3a<br />
(HINWEIS: Die Lösung entspricht geometrisch einer Geraden im R³!!!<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
x =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3a<br />
0<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 0⎞<br />
⎛ 3⎞<br />
x =<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 + a ⋅ 0<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
)<br />
⎝ 0⎠<br />
⎝1⎠
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 17<br />
� INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME<br />
Für welche Werte von t hat das inhomogene LGS ... genau eine, unendlich viele,<br />
gar keine Lösung?<br />
Inhomogene <strong>Gleichungssysteme</strong> können auch unlösbar sein!<br />
Beispiel:<br />
Für welche Werte von t hat das inhom. LGS<br />
Lösung?<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜<br />
t<br />
⎜<br />
⎝1<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2t<br />
t + 1<br />
1<br />
− t<br />
− t<br />
1<br />
− t<br />
0<br />
1<br />
− t<br />
0<br />
t t + 2⎞<br />
⋅ t<br />
⎟<br />
0 t<br />
⎟<br />
⋅<br />
− 2 − t ⎟<br />
⎠<br />
( − 1)<br />
⋅ ( − 1)<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
2 t t + ⎞<br />
2 ⎟<br />
t t + t<br />
⎟<br />
⋅<br />
t + 2 t + ⎟<br />
⎠⋅<br />
( − 1)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
t t + ⎞<br />
2 ⎟<br />
t t + t<br />
2<br />
⎟<br />
t − t − 2 t − t − ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
! ! !<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
t t + ⎟<br />
2<br />
t t + t ⎟←<br />
⎟<br />
142<br />
43 142<br />
43 ⎟<br />
Term1<br />
Term ⎠<br />
( t + 1)(<br />
t − 2)<br />
( t + 1)(<br />
t − 2)<br />
Nullstellen<br />
von Term 1sind<br />
⋅1<br />
-1<br />
und<br />
Da dies ebenfalls Nullstellen<br />
von Term<br />
sind ⇒ für t = -1 und t = 2 ergibt sich eine<br />
LGS mehrdeutig lösbar für<br />
Nullzeile ⇒<br />
t = -1 und t = 2<br />
Ein Blick auf den Wert in der Mitte<br />
ergibt für t = 0 einen weiteren Sonderfall (s.o. bei<br />
Lösbarkeit skriterien von LGS! )<br />
2.<br />
2<br />
der Matrix<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
t<br />
1<br />
1<br />
2t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
t t + 2<br />
0<br />
t + 1 − 2 − t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅ x = t genau eine, unendlich viele, keine<br />
Sonderfall<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝1<br />
Das inhomogene lineare Gleichungssystem<br />
ist<br />
also<br />
1<br />
0<br />
1<br />
kein t ein !<br />
t = 0 :<br />
0 2<br />
0 0<br />
− 2 0⎟<br />
⎟⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
⇒<br />
mehrdeutig lösbar für t<br />
LGS mehrdeutig lösbar<br />
{ 0;-1;2}<br />
eindeutig lösbar für alle anderen Werte von t.<br />
Der Fall, daß das LGS unlösbar ist tritt für<br />
∈<br />
und
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 18<br />
� ÜBER- UND UNTERBESTIMMTE LGS<br />
� Überbestimmte <strong>Gleichungssysteme</strong><br />
Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.<br />
Ein überbestimmtes ist ein LGS mit mehr Gleichungen als Unbekannten.<br />
Da man keine quadratische Form hat, kann man diese nur dann erreichen, wenn<br />
die "überzähligen" Zeilen durch die elementaren Matrizenumformungen zu<br />
Nullzeilen gemacht werden können! Ist dies nicht möglich, so ist das LGS<br />
unlösbar, ist dies möglich, dann gibt es die schon bekannten Möglichkeiten!<br />
⇒ eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar!<br />
Beispiel 1:<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ 2<br />
Für welche Werte von t hat das LGS ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎜−<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 3<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ 2<br />
2<br />
10<br />
t<br />
4t + 2<br />
3 ⎞ ⋅2<br />
⎟<br />
2t + 6⎟<br />
⋅(<br />
-1)<br />
⎜<br />
⎜<br />
0 0 4 1<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜−1<br />
⎜<br />
⎝ 3<br />
−5 6<br />
−2t − 5 −4 − t ⎟<br />
⎟<br />
6t + 6 9 ⎠<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
2<br />
−6 t<br />
−2t − 2<br />
3<br />
−2t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ ⋅1<br />
⎜<br />
⎜<br />
0 0 4 1<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
−3 0<br />
−t − 5 −1− t ⎟ ⋅( −2)<br />
⎟<br />
−3t − 6 0 ⎠<br />
⋅1<br />
⋅1<br />
⋅3<br />
⋅(<br />
-1)<br />
2<br />
10<br />
0<br />
− 5<br />
6<br />
⋅( −3t − 6) t ≠ −2<br />
⋅(<br />
-4)<br />
(Der Sonderfall t = -2 muß später mit dieser<br />
Matrix gesondert untersucht werden !)<br />
Beispiel 2:<br />
Welche Lösungen hat das LGS<br />
⎛ − 4<br />
⎜<br />
⎜ 5<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
⎛ − 4<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
3 2⎞<br />
⋅ 5 ⋅1<br />
⎟<br />
− 4 0⎟<br />
⋅ 4<br />
1 5<br />
⎟<br />
⎠ ⋅ 2<br />
3 2 ⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
10⎟<br />
⋅ 5<br />
5 12<br />
⎟<br />
⎠ ⋅1<br />
⎛−<br />
4<br />
⎜<br />
⎜ 5<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
3 ⎞<br />
⎟ ⎛ x<br />
− 4⎟<br />
⋅ ⎜<br />
1 ⎟ ⎝ x<br />
⎠<br />
t ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
4t<br />
+ 2 ⎟ ⎛ x1<br />
⎞ ⎜ 2t<br />
+ 6 ⎟<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ ⎟ eine Lösung?<br />
4 ⋅<br />
⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ 1<br />
⎜ ⎟<br />
− 2t<br />
− 5⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎜−<br />
4 − t ⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
6t<br />
+ 6 ⎠ ⎝ 9 ⎠<br />
1<br />
2<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
2<br />
−6 t<br />
−2t − 2<br />
3<br />
−2t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
0 0 4 1<br />
⎟<br />
( 2)<br />
⎟<br />
⋅ −<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
0<br />
8<br />
0<br />
2 ⎟<br />
⎟<br />
−3t − 6<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅1<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
2<br />
−6 t<br />
−2t − 2<br />
3<br />
−2t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
0 0 4 1<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 ⎟<br />
⎟<br />
−3t − 6⎠<br />
Nullzeile nur für t = -2<br />
⎛2<br />
⎞<br />
⎞ ⎜ ⎟<br />
⎟ = ⎜0<br />
⎟<br />
⎠ ⎜ ⎟<br />
⎝5<br />
⎠<br />
t = -2 war aber ausgeschlossen worden =><br />
für t ≠ -2 ist das LGS nicht lösbar !<br />
Prüfung für t = -2 ergibt zwei Nullzeilen<br />
Das System ist (nur) für t = -2 lösbar.<br />
?<br />
gemacht werden<br />
⇒ Das<br />
LGS ist<br />
⇒<br />
⎛−<br />
4 3 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 0 −1<br />
10⎟<br />
⎜<br />
0 0 62<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⇒ Die 3. Zeile kann nicht zur Nullzeile<br />
unlösbar
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 19<br />
� <strong>Unterbestimmte</strong> <strong>Gleichungssysteme</strong><br />
Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.<br />
Ein unterbestimmtes ist ein LGS mit weniger Gleichungen als Unbekannten.<br />
Da man keine quadratische Form hat, kann man diese höchstens durch Ergänzen<br />
von Nullzeilen herstellen. Nullzeilen bedeuten aber (fast (*) ) immer unendlich<br />
viele Lösungen! ⇒ ein unterbestimmtes LGS hat (fast (*) ) immer unendlich viele<br />
Lösungen! Man bringt also das LGS so weit als möglich auf "Dreiecksform" und<br />
berechnet dann wie üblich den Lösungsvektor.<br />
Achtung:<br />
(*) Dieses „fast“ bedeutet, dass es Ausnahmen gibt! Ein LGS mit einer Nullzeile kann auch unlösbar sein;<br />
wenn sich nämlich bei der Berechnung der „Dreiecksform eine Zeile ergibt, die in der Koeffizientenmatrix<br />
nur Nullen hat, im Ergebnisvektor jedoch nicht ( 0 0 0 | 3 )!<br />
Sicher ist nur eines: Ein unterbestimmtes LGS kann nie eindeutig lösbar sein!<br />
Beispiel:<br />
Gib den Lösungsvektor des LGS<br />
⎛ 3<br />
⎜<br />
⎜−<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 5<br />
⎛3<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛3<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛3<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
3<br />
12<br />
15<br />
3<br />
12<br />
0<br />
− 2<br />
− 2<br />
− 2<br />
− 66<br />
−1<br />
−11<br />
6 0 ⎞ ⋅1<br />
⋅ 5<br />
⎟<br />
2 2 ⎟ ⋅3<br />
1 −1<br />
⎟<br />
⎠ ⋅<br />
6 0⎞<br />
⎟<br />
12 6⎟<br />
⋅ 5<br />
27 3<br />
⎟<br />
⎠ ⋅<br />
6 0⎞<br />
⎟<br />
6 3⎟<br />
− 8 3<br />
⎟<br />
⎠<br />
( − 4)<br />
6 0 ⎞<br />
⎟<br />
12 6 ⎟<br />
− 48 18<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 3<br />
⎜<br />
⎜−<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 5<br />
( − 3)<br />
⎛3<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
3<br />
12<br />
0<br />
4<br />
− 2<br />
− 66<br />
6 0 ⎞<br />
⎟<br />
12 6 ⎟:<br />
2<br />
− 48 18<br />
⎟<br />
⎠:<br />
6<br />
(Damit die Zahlen kleiner werden<br />
! )<br />
3<br />
6<br />
0<br />
3<br />
3<br />
0<br />
14<br />
4<br />
4<br />
2<br />
4<br />
4<br />
3<br />
3<br />
0<br />
4<br />
− 2<br />
2<br />
⎛ x1<br />
⎞<br />
6⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛ 0 ⎞<br />
⎟ ⎜ x2<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
2⎟<br />
⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟<br />
⎟ x3<br />
1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎜ ⎟ ⎝−<br />
1⎠<br />
⎝ x4<br />
⎠<br />
Wir setzen x<br />
4<br />
= a<br />
23a<br />
+ 10<br />
⇒ x<br />
1<br />
= −<br />
11<br />
an.<br />
(da die 4. Zeile eine Nullzeile wäre!<br />
)<br />
8a<br />
+ 3<br />
⇒ −11x<br />
3<br />
− 8a<br />
= 3⇒<br />
x<br />
3<br />
=<br />
11<br />
8a<br />
+ 3<br />
18 − 29a<br />
⇒ 6x<br />
2<br />
− 1⋅<br />
+ 6a<br />
= 3⇒<br />
x<br />
2<br />
=<br />
11<br />
33<br />
18 − 29a<br />
8a<br />
+ 3<br />
⇒ 3x<br />
1<br />
+ 3 ⋅ + 4 ⋅ + 6a<br />
= 0<br />
33 11<br />
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟<br />
⎛ 23a<br />
+ 10 ⎞<br />
⎜ −<br />
⎜ 11<br />
⎜<br />
18 − 29a<br />
Damit ist der Lösungsvektor<br />
x<br />
= ⎜ 33<br />
⎜ 8a<br />
+ 3<br />
⎜ 11<br />
⎜<br />
⎝ a ⎠
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 20<br />
� VEKTOREN IM R 3<br />
Was sind Vektoren?<br />
- Vektoren kann man als Verschiebungen (Translationen) ansehen. Ein Vektor hat eine Länge<br />
und eine Richtung (wie eine Schiebung).<br />
- Ortsvektoren sind solche, die vom Ursprung ausgehen und damit Punkte im Koordinaten-<br />
system festlegen. Jeder Punkt P legt also einen Ortsvektor fest.<br />
- Vektoren werden auch durch 2 Punkte (Anfangs- und Endpunkt) festgelegt. Punktkoordi-<br />
naten werden waagerecht, Vektorkoordinaten senkrecht geschrieben [P(1|2|3)].<br />
- Eine Linearkombination von Vektoren a, b, c ist eine Summe/Differenz von Vielfachen<br />
dieser Vektoren, also z.B.<br />
4⋅a +5⋅b + 2⋅c oder 2,3⋅a -5⋅b + 12⋅c oder a - c oder r⋅a +s⋅b + t⋅c<br />
- Vektoren sind nichts anderes als sx1-Matrizen, also s Zeilen und nur eine Spalte, daher kann<br />
man mit Vektoren rechnen wie mit Matrizen und es gelten die gleichen Rechenregeln wie für<br />
Matrizen!<br />
Beispiel a): Bestimme die Koordinaten des Vektors a vom Punkt A(1|-5|0) zum Punkt<br />
B(4|-5|0). Bestimme ebenfalls den Vektor b von B nach A.<br />
Lösung:<br />
⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 − 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 − 4 ⎞ ⎛ − 3<br />
→<br />
→<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
AB = a = − 5 − − 7 = − 5 − ( −7)<br />
= 2 BA = b = − 7 − − 5 = − 7 − ( −5)<br />
= − 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
( = − a!<br />
)<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 0 − 3 ⎠ ⎝ − 3⎠<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 3 − 0 ⎠ ⎝ 3 ⎠<br />
Beispiel b): Bestimme den Ortsvektor des Mittelpunktes der <strong>St</strong>recke pq mit P(4|0,7| − 2 )<br />
und Q(12|-1,3|3 2 ).<br />
Lösung:<br />
Mittelpunkt<br />
der <strong>St</strong>recke PQ:<br />
x<br />
1M<br />
x<br />
x<br />
4 + 12<br />
= = 8<br />
2<br />
2M<br />
3M<br />
=<br />
0,<br />
7<br />
−<br />
=<br />
+ ( −1,<br />
3)<br />
= −0,<br />
3<br />
2<br />
2 + 3<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
⇒<br />
M(8 | -0,3 |<br />
2)<br />
⇒<br />
x<br />
M<br />
⎛ 8 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ − 0,<br />
3⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 21<br />
� LINEARE (UN-) ABHÄNGIGKEIT<br />
Was ist und wann sind Vektoren „linear abhängig“ („linear unabhängig“)?<br />
� Zwei Vektoren a und b sind linear abhängig (kurz: l.a.), wenn einer ein Vielfaches<br />
des anderen ist, d.h. wenn es eine Zahl t∈R gibt, sodass gilt a = t ⋅b<br />
� a) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn einer der drei als Linearkombination der<br />
beiden anderen darstellbar ist, d.h. wenn es Zahlen s und t∈R gibt, sodass gilt<br />
a = s ⋅b + t ⋅ c oder b = s ⋅ a + t ⋅ c oder c = s ⋅ a + t ⋅b<br />
(Merke: Nicht jeder der drei, sondern nur einer muss durch die anderen darstellbar sein!!!)<br />
Da dies in der Praxis hieße, dass man drei LGS (wenn auch einfache) zu<br />
lösen hätte, überlegte man sich etwas anderes:<br />
b) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn sich der Nullvektor aus den dreien auf<br />
nichttriviale Weise erzeugen lässt, d.h. wenn das homogene LGS<br />
a⋅x1+ b ⋅x2+ c ⋅x3 =o unendlich viele Lösungen besitzt.<br />
(Natürlich gilt: sie sind linear unabhängig (kurz l.u.), wenn nur die Triviallösung existiert!)<br />
Dies ist aber genau dann der Fall, wenn (und das ist nun endgültig das einfachste!)<br />
c) der Rang der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix < 3 ist!!!<br />
� Vier (und mehr) Vektoren sind (im R 3! !) immer linear abhängig!<br />
(Das sieht im R 4 oder R 7 natürlich ganz anders aus!)<br />
Folgerungen: 1. Der Nullvektor ist immer linear abhängig!!!<br />
(da er sich auf nichttriviale Weise mit sich selbst darstellen lässt, z.B.: o=2⋅ o )<br />
2. Ein einzelner Vektor a (≠o)ist immer linear unabhängig.<br />
(da der Nullvektor sich nur trivial aus a erzeugen lässt, denn nur 0⋅a= o )<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛ 4⎞<br />
⎛ 6 ⎞<br />
Beispiel a): Prüfe, ob die Vektoren<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a = 2 , b = 5 und c = 9<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
linear unabhängig sind.<br />
⎝ 3⎠<br />
⎝ 6⎠<br />
⎝12⎠<br />
Lösung:<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
A = 2<br />
⎜<br />
⎝ 3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
6 ⎞⋅<br />
( −2)<br />
⋅ ( −3)<br />
⎛1<br />
⎟<br />
⎜<br />
9 ⋅1<br />
⇒ 0<br />
12 ⎟<br />
⋅1<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝ 0<br />
4<br />
− 3<br />
− 6<br />
6 ⎞ ⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
− 3 ⋅ 2 ⇒ 0<br />
− 6 ⎟<br />
⋅ ( −1)<br />
⎜<br />
⎠ ⎝0<br />
4<br />
− 3<br />
0<br />
6 ⎞ RgA<br />
= 2<<br />
3<br />
⎟<br />
− 3 ⇒ also sind a,<br />
b,<br />
c<br />
0 ⎟<br />
⎠ linear abhängig<br />
Beispiel b): Für welche Werte von t sind die Vektoren<br />
nicht linear unabhängig?<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a = ⎜2t<br />
⎟,<br />
b = ⎜2t<br />
⎟,<br />
c = ⎜ 1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝0,<br />
5t<br />
⎠<br />
Lösung:<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
A = 2t<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
2<br />
2t<br />
1<br />
1 ⎞⋅<br />
( −2t)<br />
t ≠ 0 ⎛1<br />
⎟<br />
⎜<br />
1 ⋅1<br />
⇒ 0<br />
0,<br />
5 ⎟<br />
⎜<br />
t ⎠<br />
⎝0<br />
2<br />
− 2t<br />
1<br />
1 ⎞ ⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
− 2t<br />
+ 1 ⋅1<br />
⇒ 0<br />
0,<br />
5 ⎟<br />
⋅ 2 ⎜<br />
t ⎠ t ⎝0<br />
2<br />
− 2t<br />
0<br />
1 ⎞ l.a. wenn<br />
⎟ 2<br />
− 2t<br />
+ 1 ⇒ t − 2t<br />
+ 1 = 0<br />
2<br />
− 2 + 1 ⎟<br />
t t ⎠ t = 1<br />
Sonderfall: t=0 in die erste Matrix eingesetzt ergibt => Rg A = 3 => die drei Vektoren sind l.u.<br />
ERGEBNIS: a, b, c sind nicht linear unabhängig (also linear abhängig!) nur für t=1.<br />
(Puh, das war jetzt rein sprachformuliertechnischerweise gesehen nicht gerade unschwer!)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 22<br />
� GERADEN UND EBENEN IM R 3<br />
� Parameterform von Geraden.<br />
Geraden werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und einen<br />
Richtungsvektor r: x = a + t ⋅r<br />
(t∈R)<br />
Für jeden Wert von t ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der auf der Geraden<br />
liegt.<br />
BEACHTE: Jeder Punkt der Geraden kann als Aufpunkt benutzt werden!<br />
Jedes Vielfache des Richtungsvektors kann ebenfalls als<br />
Richtungsvektor benutzt werden!<br />
===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Geraden<br />
Beispiel a): Bestimme eine Gleichung für die Gerade g, die durch die Punkte P(1|2|3) und<br />
Q(2|-1|5) geht.<br />
Lösung:<br />
AlsAufpunkt<br />
nimmt man einen der beiden Punkte(welcher<br />
ist egal!<br />
), sagen wir P. ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
AlsRichtungsvektor<br />
nimmt man den Vektor vonP<br />
nach Q, nennen wirihn<br />
a:<br />
a = ⎜−1⎟<br />
−⎜<br />
2⎟<br />
= ⎜−<br />
3⎟<br />
⎜ 5 ⎟ ⎜3⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛1⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Damit ist eineGleichungder<br />
Geraden g:<br />
x = ⎜2⎟<br />
+ t ⋅⎜−<br />
3⎟<br />
( t ∈R)<br />
⎜3⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ − ⎠<br />
� Parameterform von Ebenen.<br />
Ebenen werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und zwei<br />
Richtungsvektoren, b und c x = a + r ⋅b + s ⋅ c (r,s∈R)<br />
Für alle Wertepaare von r und s ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene<br />
liegt.<br />
BEACHTE: Jeder Punkt der Ebene kann als Aufpunkt benutzt werden!<br />
Jede Linearkombination der Richtungsvektoren kann ebenfalls<br />
als Richtungsvektor benutzt werden!<br />
===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Ebene<br />
Beispiel a): Bestimme eine (Parameter-) Gleichung der Ebene E durch die Punkte P(1|2|3),<br />
Q(2|-1|5) und R(-2|0|4).<br />
Lösung:<br />
Als Aufpunkt nimmt man wieder einen der drei Punkte (welcher ist egal, sagen wir P.<br />
Als Richtungsvektoren nehme ich die Vektoren von P nach Q (a) und von P nach R (b).<br />
Von Q nach R ginge natürlich auch, wichtig ist nur, dass insgesamt alle drei Punkte<br />
benutzt werden!<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 2<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
⎝3⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 3<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 3⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= 2 + r ⋅ − 3 + s ⋅ − 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3⎠<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
a = − 3 (von vorhin)<br />
b = 0 − = − 2 Damit ist eine Gleichung der Ebene: x (r,s ∈R)<br />
2
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 23<br />
� Koordinatenform von Ebenen.<br />
Zur Erinnerung: Die Gleichung a�x1+b�x2+c�x3=d<br />
beschreibt eine Ebene, falls die Koeffizienten a, b, c nicht alle 0 sind.<br />
Die Frage ist, wie kommt man von der Parameterdarstellung (mit Vektoren) auf die<br />
Koordinatendarstellung (mit Punktkoordinaten) und umgekehrt?<br />
PARAMETERDARSTELLUNG � KOORDINATENDARSTELLUNG<br />
1. Bringe (subtrahiere) den Ortsvektor (Aufpunkt) nach links.<br />
2. Fasse das Ganze als (überbestimmtes!) LGS mit den 2 Variablen (r und s) auf, und<br />
mach aus der dritten Koeffizienten-Zeile eine Nullzeile.<br />
3. Die dritte Zeile der Erweiterung muss =0 sein, damit steht dort im Prinzip die Koordinatengleichung.<br />
4. Schreibe die korrekte Koordinatengleichung der Ebene hin (Konstante rechts von =).<br />
KOORDINATENDARSTELLUNG � PARAMETERDARSTELLUNG<br />
1. Löse die Koordinatengleichung nach x1, x2 oder x3 auf (was am leichtesten geht!).<br />
2. Setze für die anderen beiden r und s.<br />
3. Schreibe den Vektor x hin (das „Gerüst“ einer Ebenengleichung).<br />
4. „Trenne“ die Vektoren in Aufpunkt und 2 Richtungsvektoren, so dass sich die<br />
Parametergleichung ergibt.<br />
Beispiel 1:<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene x = ⎜2<br />
⎟ + r ⋅⎜<br />
0⎟<br />
+ s ⋅ ⎜2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠ ⎝3<br />
⎠<br />
Lösung:<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ 2<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0⎠<br />
⎝1<br />
⎠ ⎝ 3⎠<br />
⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ 1<br />
1 1 1<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⇒ ⎜ x<br />
2 ⎟=<br />
2 + r ⋅ 0 + s ⋅ 2<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x<br />
3 ⎠ ⎝ 0⎠<br />
⎝1<br />
⎠ ⎝ 3⎠<br />
⎛ x<br />
1<br />
−1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎛1<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x<br />
2<br />
− 2⎟<br />
= r ⋅ 0 + s ⋅ 2 ⇒ ⎜ 0<br />
⎜<br />
3<br />
1 ⎟<br />
⎜<br />
3 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1<br />
⎝<br />
1 x<br />
1<br />
−1<br />
⎞ ⋅1<br />
⎟<br />
2 x<br />
2<br />
− 2⎟<br />
3 x ⎟<br />
3<br />
⋅ ( −1)<br />
⎠<br />
⎛1<br />
⎜<br />
> ⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
1 x<br />
1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 x<br />
2<br />
− 2 ⎟⋅1<br />
− 2 x<br />
1<br />
− x<br />
3<br />
−1⎟⋅<br />
1<br />
⎠<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
x<br />
1<br />
− 1 ⎞<br />
⎟<br />
x<br />
2<br />
− 2 ⎟<br />
x<br />
1<br />
+ x<br />
2<br />
− x<br />
3<br />
− 3⎟<br />
⎠<br />
x1 x2 x3<br />
3 0<br />
x1 x2 x3<br />
3<br />
⇒<br />
+ − − = ist eine Ebenengleichung !<br />
oder besser E: + − =<br />
Beispiel 2:<br />
⎛34⎞<br />
⎛2⎞<br />
⎛4<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene x = ⎜ 5 ⎟ + r ⋅ ⎜5⎟<br />
+ s ⋅ ⎜7<br />
⎟ .<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝15<br />
⎠ ⎝7<br />
⎠ ⎝9<br />
⎠<br />
Lösung:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
34<br />
= 5 + r ⋅ 5 + s ⋅<br />
15<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 7⎠<br />
⎛4⎞<br />
⎜ ⎟<br />
7<br />
⎜ ⎟<br />
⎝9⎠<br />
⎛ x<br />
1<br />
− 34⎞<br />
⎛ 2⎞<br />
⎛ 4⎞<br />
⎛ 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x<br />
2<br />
− 5 ⎟ = r ⋅ 5 + s ⋅ 7 ⇒ 5<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜<br />
3<br />
− 15⎟<br />
7 9 ⎜<br />
⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7<br />
⎝<br />
4 x<br />
1<br />
− 34⎞⋅<br />
( −5)<br />
⋅(<br />
−7)<br />
⎛ 2<br />
⎟ ⎜<br />
7 x<br />
2<br />
− 5 ⎟ ⋅2<br />
⇒⎜<br />
0<br />
9 x<br />
3<br />
−15⎟<br />
⋅2<br />
⎜ 0<br />
⎠ ⎝<br />
4 x<br />
1<br />
− 34 ⎞<br />
⎟<br />
− 6 − 5x<br />
+ 2x<br />
2<br />
+ 160⎟⋅<br />
( −5)<br />
1<br />
− 10 − 7x<br />
2 208 ⋅ 3<br />
1<br />
+ x<br />
3<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜2<br />
⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
4 x<br />
1<br />
− 34 ⎞<br />
⎟<br />
− 6 − 5x<br />
+ 2x<br />
2<br />
+ 160 ⎟ ⇒<br />
1<br />
0<br />
⎟<br />
4x<br />
1<br />
−10<br />
x<br />
2<br />
+ 6x<br />
3<br />
−176<br />
⎠<br />
4x<br />
1<br />
−10<br />
x<br />
2<br />
+ 6x<br />
3<br />
−176<br />
= 0 ist eine Ebenengleichung<br />
!<br />
oder besser E : 4x<br />
1<br />
−10<br />
x<br />
2<br />
+ 6x<br />
3<br />
= 176
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 24<br />
Beispiel 3: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene 2x1 - 3x2 + x3 = 6<br />
Lösung 1: (*) x3 = 6 - 2x1 + 3x2<br />
x1 = r und x2 = s in (*) eingesetzt ergibt x3 = 6 - 2r + 3s<br />
⎛ x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎜ 1 r<br />
0<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
als Vektor geschrieben:<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ x<br />
2 ⎟ =<br />
⇒ = ⎜ ⎟+<br />
⋅ ⎜<br />
⎜<br />
s x 0 r<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x<br />
3 ⎠ ⎝6<br />
- 2r + 3s⎠<br />
⎝6<br />
⎠ ⎝-<br />
1 ⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
0 ⎟+<br />
s ⋅ ⎜1<br />
⎟<br />
2<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 3⎠<br />
Lösung 2: (**) 2x1 = 3x2 - x3 +6 =><br />
3 1<br />
x1 = x2 − x3<br />
+ 3<br />
2 2<br />
3 1<br />
x2 = r und x3 = s in (**) eingesetzt ergibt x1 = r − s + 3<br />
2 2<br />
als Vektor geschrieben:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 1<br />
3<br />
⎛ ⎞ ⎛ + − ⎞<br />
⎜ −<br />
1<br />
x<br />
⎜ ⎟ ⎟<br />
⎜ 1 3<br />
⎛ ⎞<br />
2 r 2 s 3<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ x<br />
2 ⎟ =<br />
⎜<br />
r ⇒ x =<br />
⎟ ⎜0<br />
⎟+<br />
r ⋅ ⎜ 1 ⎟+<br />
s ⋅ ⎜ 0 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
3 ⎠ ⎝ s ⎠ ⎝0<br />
⎠ ⎜<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
! ! !<br />
⇒<br />
" erweitern"<br />
⎛3⎞<br />
⎛ 3⎞<br />
⎛− 1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜0⎟+<br />
r ⋅ ⎜2<br />
⎟+<br />
s ⋅ ⎜ 0 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
(Es ist leicht zu zeigen, dass beide Lösungswege dieselbe Ebene ergeben! Schnitt der beiden<br />
Ebenen ergibt ihre Gleichheit! Es ist also egal, nach welcher Variablen man auflöst.)<br />
Beispiel 4: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene 5x3 = 11<br />
Lösung: x3 = 5<br />
11 => mit x1 = r und x2 = s ergibt sich<br />
⎛ x ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ 1 r<br />
0 1 0<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ x<br />
2 ⎟ = ⇒ = + ⋅ ⎜ ⎟+<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
s x 0 r 0 s 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ 11<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎜<br />
11<br />
3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝0<br />
5<br />
5<br />
⎠<br />
Beispiel 5: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene x1 = 0<br />
Lösung: Jetzt müssen x2 = r und x3 = s sein, da x1 fest ist!!! =><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
⎛0⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛0<br />
⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
r<br />
⎟<br />
⇒<br />
⎟<br />
= ⋅ ⎜ ⎟+<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
⎟<br />
x = ⎜0⎟+<br />
r ⋅ ⎜1⎟+<br />
s ⋅ ⎜0<br />
oder besser x r 1 s 0<br />
s ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎝1⎠<br />
Beispiel 6: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene x1 - x2 = 0<br />
Lösung: x1 = x2 !!! Mit x2 = r und x3 = s ergibt sich =><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
⎛r<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
r<br />
⎟<br />
⎝s<br />
⎠<br />
⇒<br />
⎛0⎞<br />
⎛1⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x<br />
= ⎜0⎟+<br />
r ⋅ ⎜1⎟+<br />
s ⋅ ⎜0⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝0⎠<br />
⎝1⎠<br />
oder besser<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛0<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = r ⋅ ⎜1<br />
⎟+<br />
s ⋅ ⎜0<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝1<br />
⎠
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 25<br />
� SCHNITT VON GERADEN UND EBENEN (IM R 3 )<br />
� Bestimme die Lage der Geraden g1 und g2 zueinander?<br />
1) (a) Zunächst prüft man, ob der Richtungsvektor von g2 ein Vielfaches des<br />
Richtungsvektors von g1 ist (ob sie l.a. sind). Ist dies der Fall, dann sind die Geraden parallel<br />
oder identisch!<br />
(b) Liegt dann (z.B.) der Aufpunkt von g1 auch auf g2 => g1 = g2<br />
sonst => g1 ║ g2<br />
2) Sind die Richtungsvektoren l.u., dann setzt man g1 und g2 gleich und löst das entstehende<br />
Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, ob die Geraden sich (in<br />
einem Punkt) schneiden oder windschief liegen.<br />
Beispiel a): Prüfe die Lage von g1:<br />
Lösung:<br />
a) Die Richtungsvektoren<br />
b)<br />
⇒<br />
Damit sind die Geraden weder<br />
identisch noch parallel.<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
r ⋅<br />
+ r ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
− s ⋅<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1<br />
⎜<br />
1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
2<br />
3<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 − 1<br />
1 − 2<br />
0 − 3<br />
und<br />
sind<br />
⇒ unlösbar ⇒ g<br />
1<br />
und g<br />
2<br />
schneiden sich nicht<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Beispiel b): Gegeben sind ga: x = ⎜−<br />
5⎟<br />
+<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 4 ⎠<br />
Lösung:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 5<br />
1<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
+ s ⋅<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1<br />
⎜<br />
1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒<br />
⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1<br />
⎜<br />
1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎛2<br />
⎞ ⎛1⎞<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜1<br />
⎟ + r ⋅ ⎜0⎟<br />
und g2: x = ⎜2<br />
⎟ + r ⋅ ⎜1⎟<br />
zueinander.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝0<br />
⎠ ⎝0<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠<br />
⎝3<br />
⎠ ⎝1⎠<br />
l.u., da keiner ein Vielfaches des anderen ist.<br />
Beachte, daß die beiden Geraden - Parameter verschieden<br />
sein müssen ! ! !<br />
r ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ s ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 1<br />
− 1<br />
− 1<br />
⇒<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
gleichsetzen<br />
1<br />
− 1<br />
− 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 1 − 1<br />
⋅1<br />
− 1 − 3 ⋅ (-1)<br />
Sie liegen windschief<br />
zueinander.<br />
1<br />
0<br />
0<br />
− 1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
− 1<br />
1<br />
− 1 − 1<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
r ⋅⎜<br />
a⎟<br />
und ha: x = ⎜−<br />
4⎟<br />
+ s ⋅⎜<br />
1 ⎟ mit a∈R.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2a<br />
⎠<br />
Bestimme a so, dass sich die Geraden schneiden. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt S?<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ r ⋅<br />
1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
a<br />
2<br />
− a −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
2(<br />
−a<br />
−1)<br />
=<br />
Sonderfall : a = 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
− 2a<br />
+ 1<br />
− 6<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
2<br />
schneiden sich<br />
(*)<br />
⇒<br />
⇒<br />
für a = 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅ ( −a)<br />
−1<br />
1<br />
⋅ ( −1)<br />
0<br />
0<br />
+ s ⋅<br />
1<br />
⋅ 2<br />
2<br />
1<br />
0 − 2<br />
1<br />
2<br />
− 3 − 3<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
1<br />
2a<br />
⇒<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⋅ ( −2)<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⋅1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒ r ⋅<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
− a −1<br />
− 2a<br />
+ 1<br />
⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
a<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
− s ⋅<br />
− 4a<br />
+ 8<br />
1<br />
−1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
−1<br />
2a<br />
2<br />
1<br />
1<br />
− 2 − 6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
− 3s<br />
= −3<br />
S : x<br />
=<br />
s = 1 S<br />
=<br />
(*)<br />
⋅ ( −2)<br />
⇒<br />
⋅1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
− 4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
− 2<br />
⇒<br />
eindeutig lösbar wenn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
+ 1⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
a<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
2 ⋅ 2<br />
−1<br />
⇒ a = 2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0 − 8<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
− 2a<br />
− 2<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
− 3<br />
6<br />
2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
- 4a<br />
⋅1<br />
+ 8 =<br />
0<br />
0<br />
2<br />
⋅ ( −a)<br />
⋅ ( −2)<br />
a ≠ 0<br />
⋅1<br />
unlösbar<br />
⇒ S(<br />
3 | −3<br />
| 6)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 26<br />
� Welche Lage hat die Gerade g bezüglich der Ebene E?<br />
Dies ist der einfachste (???) Fall von Schnittproblemen, da keine Sonderfälle und<br />
Ausnahmen zu prüfen oder zu berücksichtigen sind!<br />
Man setzt g und E gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. An der<br />
Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, wie g zu E liegt. 3 Fälle sind möglich:<br />
unlösbar => g ║ E (kein Schnittpunkt)<br />
mehrdeutig lösbar => g ∈E (≅ g liegt in E)<br />
eindeutig lösbar => g schneidet E in einem Punkt (dem Durchstoßpunkt)<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Beispiel a): Zeige, dass die Gerade g: x = ⎜2<br />
⎟ + r ⋅⎜<br />
0⎟<br />
nicht in der Ebene<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝4<br />
⎠ ⎝2<br />
⎠<br />
⎛2<br />
⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
E: x = ⎜0<br />
⎟ + s ⋅ ⎜ 2 ⎟ + t ⋅ ⎜−<br />
1⎟<br />
liegt. Gib den Durchstoßpunkt von g durch E an.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
⎠ ⎝ −1⎠<br />
⎝ 1 ⎠<br />
Lösung:<br />
⎛ 2⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎛ − 1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 + s ⋅ 2 + t ⋅ − 1 = 2 + r ⋅ 0 ⇒ s ⋅ 2 + t ⋅ − 1 − r ⋅ 0 = 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 1⎠<br />
⎝ − 1⎠<br />
⎝ 1 ⎠ ⎝ 4⎠<br />
⎝ 2⎠<br />
⎝ − 1⎠<br />
⎝ 1 ⎠ ⎝ 2⎠<br />
⎝ 3 ⎠<br />
(Man beachte, daß der Geradenvektor<br />
an letzter <strong>St</strong>elle steht ! Dieser Trick " beschleunigt"<br />
am Ende ! )<br />
s<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ − 1<br />
t<br />
0<br />
− 1<br />
1<br />
r<br />
− 1 − 1⎞⋅<br />
( −2)<br />
⋅1<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
0 2<br />
⎟<br />
⋅1<br />
⇒<br />
⎜<br />
0<br />
− 2 3 ⎟ 1 ⎜<br />
⎠ ⋅ ⎝ 0<br />
− 1<br />
Damit schneidet die Gerade g die Ebene in einem Punkt. Berechnung<br />
des Durchstoßpunktes<br />
P :<br />
Jetzt wirkt<br />
sich der Trick vom Anfang aus,<br />
denn r kommt als erster Parameter<br />
raus und<br />
das reicht schon, um in g einzusetzen<br />
!!!<br />
0<br />
1<br />
− 1 − 1⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
2 4<br />
⎟<br />
⋅1<br />
⇒<br />
⎜<br />
0<br />
− 3 2 ⎟ 1 ⎜<br />
⎠⋅<br />
⎝ 0<br />
− r = 6 ⇒ r = −6<br />
− 1 − 1⎞<br />
⎟<br />
2 4<br />
⎟<br />
− 1 6 ⎟<br />
⎠<br />
in g eingesetzt<br />
⇒<br />
Das LGS ist<br />
eindeutig lösbar !<br />
(s und t könnte man jetzt zur Probe auch noch ausrechnen und in die Gleichung von E einsetzen.<br />
Es muß dann der gleiche Ortsvektor rauskommen).<br />
Damit ist der Durchstoßpunkt<br />
P(-5 | 2 | -8) .<br />
s<br />
t<br />
0<br />
− 1<br />
0<br />
r<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
⎛ − 5⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x<br />
S<br />
= 2 − 6 ⋅ 0 = 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 4⎠<br />
⎝ 2⎠<br />
⎝ − 8⎠<br />
⎛− 2⎞<br />
⎛ 4 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Beispiel b): Gib die Durchstoßpunkte von g: x = ⎜ 4 ⎟ + t ⋅ ⎜ 2 ⎟<br />
durch die 3 Koordinatenebenen an.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 7 ⎠ ⎝−<br />
3⎠<br />
Lösung:<br />
Die Gleichungen<br />
der K.ebenen<br />
:<br />
Schnitt mit<br />
Schnitt mit<br />
Schnitt mit<br />
x1x2<br />
x1x3<br />
x2x3<br />
:<br />
:<br />
:<br />
(die x<br />
(die x<br />
3<br />
2<br />
⎛1⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛1⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
: x<br />
= a ⋅⎜<br />
0⎟<br />
+ b ⋅⎜1<br />
⎟ Ex<br />
: a 0 b 0 E : a 1 b 0<br />
1x<br />
x = ⋅<br />
3 ⎜ ⎟ + ⋅⎜<br />
⎟ x2x<br />
x = ⋅ + ⋅<br />
3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
- Koordinate muß 0 sein ⇒)<br />
- Koordinate muß 0 sein<br />
⇒)<br />
(die x - Koordinate muß 0 sein ⇒)<br />
1<br />
x1x2<br />
Um diese Durchstoßpunkte<br />
zu berechnen könnte man g mit jeder der 3 Ebenen schneiden = mühsam. Schneller<br />
geht es, wenn man berücksichtigt,<br />
daß jeweils eine der Schnittpunktkoordinaten<br />
= 0 sein muß, je nachdem, mit<br />
welcher der Koordinatenebenen<br />
man schneidet : mit<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
x1x2<br />
muß x<br />
3<br />
= 0 sein, mit E<br />
x1x3<br />
7 − 3t<br />
= 0 ⇒ t =<br />
7<br />
3<br />
4 + 2t<br />
= 0⇒<br />
t = −2<br />
⇒ S<br />
2 + 4t<br />
= 0⇒<br />
r =<br />
x<br />
2<br />
1<br />
2<br />
= 0,<br />
mit E<br />
⇒ S<br />
⇒ S<br />
(<br />
22<br />
12 3<br />
13<br />
23<br />
x2x3<br />
|<br />
26<br />
3<br />
( −10<br />
| 0 | 13)<br />
( 0 | 5 |<br />
|<br />
x = 0<br />
0)<br />
11<br />
2<br />
1<br />
)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 27<br />
� Wie liegen 2 Ebenen E1 und E2 zueinander?<br />
Man setzt wieder E1 und E2 gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.<br />
Notgedrungen entsteht dadurch ein unterbestimmtes Gleichungssystem, d.h.<br />
immer (?) unendlich viele Lösungen!?! - Es gibt 3 Möglichkeiten:<br />
1. Die Ebenen sind parallel<br />
2. Die Ebenen sind identisch<br />
3. Die Ebenen schneiden sich (in einer Geraden!)<br />
Ist das entstehende Gleichungssystem unlösbar, dann sind die Ebenen parallel.<br />
Ist das Gleichungssystem lösbar, dann erkennt man am Rang der entstehenden<br />
Dreiecksmatrix, wie die Ebenen liegen:<br />
Rang = 3 => E1xE2 = g (Schnittgerade)<br />
Rang = 2 => E1=E2 (identisch)<br />
⎛ 4 ⎞ ⎛1<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞<br />
⎛1<br />
⎞<br />
Beispiel a): Gegeben sind E1:<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜−<br />
1⎟<br />
+ p ⋅ ⎜0⎟<br />
+ q ⋅ ⎜7<br />
⎟<br />
und E2: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜−<br />
3⎟<br />
+ r ⋅ ⎜1⎟<br />
+ s ⋅ ⎜ 2 mit a∈R.<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 5 ⎠ ⎝4⎠<br />
⎝9<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠<br />
⎝ −1⎠<br />
⎝3⎠<br />
⎝a<br />
⎠<br />
Für welchen Wert von a stellen beide Gleichungen dieselbe Ebene dar?<br />
Lösung:<br />
⎛ 4 ⎞ ⎛1<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛1<br />
⎞ ⎛4<br />
⎞ ⎛1⎞<br />
⎛1<br />
⎞ ⎛−<br />
2⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−<br />
1⎟<br />
+ p ⋅⎜<br />
0⎟<br />
+ q ⋅⎜<br />
7⎟<br />
= ⎜−<br />
3⎟<br />
+ r ⋅⎜1<br />
⎟ + s ⋅⎜<br />
2⎟<br />
⇒ p ⋅⎜<br />
0⎟<br />
+ q ⋅⎜<br />
7⎟<br />
− r ⋅⎜1<br />
⎟ − s ⋅⎜<br />
2⎟<br />
= ⎜−<br />
2⎟<br />
⇒<br />
⎜ 5 ⎟ ⎜4<br />
⎟ ⎜9<br />
⎟ ⎜ 1⎟<br />
⎜3⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜4<br />
⎟ ⎜9<br />
⎟ ⎜3⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ 6⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝a<br />
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝a<br />
⎠ ⎝ − ⎠<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝4<br />
4<br />
7<br />
9<br />
−1<br />
−1<br />
− 3<br />
−1<br />
− 2⎞<br />
⋅ 4 ⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
− 2 − 2⎟<br />
⇒ ⎜0<br />
− a − 6<br />
⎟<br />
( 1)<br />
⎜<br />
⎠⋅<br />
− ⎝0<br />
4<br />
7<br />
7<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
− 2⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
− 2 − 2⎟<br />
⋅1<br />
⇒ ⎜0<br />
a − 4 − 2<br />
⎟<br />
( 1)<br />
⎜<br />
⎠⋅<br />
− ⎝0<br />
4<br />
7<br />
0<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
− 2⎞<br />
⎟<br />
− 2 − 2⎟<br />
2 − a 0<br />
⎟<br />
⎠<br />
Nur für a = 2 ergibt sich noch eine Nullzeile⇒<br />
nur für a = 2 sind 2 der 4 Parameter (p, q, r, s) beliebig⇒<br />
nur für a = 2 ist der Rang der Koeffizientenmatrix<br />
=<br />
für a = 2 sind die Ebenen gleich.<br />
2 ⇒ nur<br />
für a = 2 ist die Schnittmenge<br />
eine Ebene<br />
⎛ −1<br />
⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞<br />
Beispiel b): Für jedes t∈R ist durch Et: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜ 0 ⎟ + p ⋅ ⎜ 2 ⎟ + q ⋅ ⎜ 1 eine Ebene gegeben.<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
2⎠<br />
⎝2<br />
− 2t<br />
⎠ ⎝4<br />
− t ⎠<br />
Zeige, dass alle Ebenen eine Gerade g gemeinsam haben und gib eine Gleichung von g an.<br />
Lösung:<br />
⎛−1⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛−1⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 ⎟+<br />
p⋅⎜<br />
2 ⎟+<br />
q⋅⎜<br />
1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟+<br />
r ⋅⎜<br />
2 ⎟+<br />
s⋅⎜<br />
1 ⎟ ⇒ p⋅⎜<br />
2 ⎟+<br />
q⋅⎜<br />
1 ⎟−<br />
r ⋅⎜<br />
2 ⎟−<br />
s⋅⎜<br />
1 ⎟ = ⎜0⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−2⎠<br />
⎝2−<br />
2t<br />
⎠ ⎝4−<br />
t ⎠ ⎝−2⎠<br />
⎝2−<br />
2t<br />
⎠ ⎝4−<br />
t ⎠ ⎝2−<br />
2t<br />
⎠ ⎝4−<br />
t ⎠ ⎝2−<br />
2t<br />
⎠ ⎝4−<br />
t ⎠ ⎝0⎠<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ 2<br />
⎜<br />
⎝ 2 − 2t<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
2<br />
− 3<br />
0<br />
1<br />
1 1 2 2 1 1 2 2<br />
2<br />
1<br />
4 − t<br />
2 ⋅ ( t<br />
1<br />
0<br />
⇒ Schnittger ade<br />
1<br />
2<br />
2 − 2t<br />
− t )<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4 − t<br />
2<br />
0 ⎞ ⋅ ( −2<br />
) ⋅ ( 2 − 2t1<br />
) ⎛ 1<br />
⎟<br />
⎜<br />
0 ⎟ ⋅1<br />
⇒ ⎜ 0<br />
0 ⎟ ⋅ − ⎜<br />
⎠ ( 1)<br />
⎝ 0<br />
2<br />
− 3<br />
− 3t<br />
2 ⋅ ( t<br />
− t )<br />
2 0 ⎞da<br />
t 1 ≠ t2<br />
nach Voraussetz ung ist der<br />
⎟<br />
2 ⋅ ( t2<br />
− t1<br />
) ⋅ r + ( t2<br />
− t1<br />
) ⋅ s = 0<br />
− 3 0 ⎟ Rang dieser Mat rix immer 3, daher<br />
⎟<br />
⇒ s = −2<br />
r ( in E t einsetzen)<br />
t2<br />
− t1<br />
0 ⎠ gibt es immer eine Schnittger ade !<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 3⎞<br />
g : x<br />
=<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 + r ⋅ 2 − 2r<br />
⋅ 1 = 0 + r ⋅ ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 = 0 + r ⋅ 0<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ − 2 ⎠ ⎝ 2 − 2t<br />
⎠ ⎝ 4 − t ⎠ ⎝ − 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 − 2t<br />
⎠ ⎝ 4 − t ⎠⎦<br />
⎝ − 2 ⎠ ⎝ − 6 ⎠<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2 0 ⎞<br />
⎟<br />
− 3 0 ⎟ ⋅ ( −t1<br />
) ⇒<br />
t − 4 0 ⎟<br />
2 t1<br />
⎠ ⋅1<br />
⇒
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 28<br />
� VORTEILE DER KOORDINATENFORM (KF)<br />
1) Schnitt von 2 Ebenen wird leichter (→ nur ein unterbestimmtes LGS zu<br />
lösen)<br />
Beispiel: Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen<br />
E1: 4x1 + 6x2-11x3 = 23 und E2: x1-x2-x3 = 0<br />
Lösung:<br />
⎛4<br />
⎜<br />
⎝1<br />
6<br />
−1<br />
Schnittgerade<br />
−11<br />
23⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
→<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎛2,<br />
3⎞<br />
⎛1,<br />
7 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜2,<br />
3⎟<br />
+ a ⋅⎜<br />
0,<br />
7⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠<br />
0<br />
1<br />
− 0,<br />
7 2,<br />
3⎞<br />
⎟<br />
−1,<br />
7 2,<br />
3⎟<br />
⎠<br />
→<br />
⎛ 2,<br />
3 + 1,<br />
7a<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
x = ⎜2,<br />
3 + 0,<br />
7a<br />
→<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
2) Schnitt von Ebene (in KF ) und Gerade (in PF) wird auf eine einfache Gleichung<br />
reduziert (→ Geraden“scheiben“ in die Ebenengleichung einsetzen)<br />
Beispiel: Untersuche die Lage von g:<br />
Lösung:<br />
⎛4<br />
⎞ ⎛ 5 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x = ⎜4<br />
⎟ + r ⋅⎜<br />
1 und zur Ebene E: 4x1 + 3x2-5x3 = 11<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝7<br />
⎠ ⎝−<br />
1⎠<br />
Von der Geraden: x1 = 4+5r x2 = 4+r x3 = 7-r in die Ebene einsetzen →<br />
4(4+5r) + 3(4+r)-5(7-r) = 11 →<br />
9<br />
r=<br />
14<br />
Mit diesem r kann der Schnittpunkt (= Durchstoßpunkt) durch die Ebene berechnet werden:<br />
⎛4<br />
⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛101⎞<br />
⎜ ⎟ 9 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟<br />
x = ⎜4<br />
⎟ + ⋅⎜<br />
1 ⎟ = ⎜ 65 ⎟<br />
⎜ ⎟ 14 ⎜ ⎟ 14 ⎜ ⎟<br />
⎝7<br />
⎠ ⎝−<br />
1⎠<br />
⎝ 89 ⎠<br />
→<br />
101 65 89<br />
S( | | )<br />
14 14 14<br />
3) Spurpunkte, bzw. Spurgeraden sind sehr leicht bestimmbar<br />
Beispiel: Wo durchstoßen die drei Koordinatenachsen die Ebene E: 7x1-11x2+5x3 = 14 ?<br />
Lösung:<br />
x1 -Achse: x2 = x3 = 0 → 7x1 = 14 → x1 = 2 → S1(2|0|0)<br />
x2 -Achse:<br />
14<br />
14<br />
x1 = x3 = 0 → -11x2 = 14 → x2 = − → S2(0| − |0)<br />
11<br />
11<br />
14 14<br />
x2 -Achse: x1 = x2 = 0 → 5x3 = 14 → x1 = → S1(0|0| )<br />
5<br />
5<br />
(Die Spurgeraden ergeben sich aus den Geraden durch je zwei Spurpunkte!)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 29<br />
� LAPLACE- WAHRSCHEINLICHKEITEN<br />
Von „Laplace-Wahrscheinlichkeit“ spricht man bei Zufallsexperimenten, bei<br />
denen alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Gleichverteilung).<br />
Z.B. Münzwurf mit idealer Münze, Würfeln mit idealem Würfel, usw.)<br />
Es gilt für ein Ereignis A:<br />
Anzahl aller für A " günstigen" Ergebnisse<br />
P ( A)<br />
=<br />
Anzahl aller möglichen Ergebnisse<br />
Beispiel:<br />
Eine Lostrommel enthält 100 Lose, jedes 10. davon ist ein Gewinn.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das 1. gezogene Los ein Gewinn ?<br />
b) Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn man bereits 10 Lose gezogen hat und alle 10<br />
Nieten waren ?<br />
c) Wieviele Nieten müsste man mindestens herausnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit für<br />
einen Gewinn beim ersten Los größer als 20% ist?<br />
Lösung:<br />
10<br />
a) P(1. Los ist ein Gewinn)= 100<br />
10 1<br />
b) P(10 Nieten gezogen, 11. ist ein Gewinn)= =<br />
90 9<br />
Anzahl Gewinne 10<br />
c) P(Gewinn)=<br />
=<br />
Anzahl Lose 100 −<br />
10<br />
><br />
100 − n<br />
0,<br />
2<br />
n<br />
und das soll > 20% also >0,2 sein<br />
-> 10>0,2.(100-n) -> 10> 20-0,2n -><br />
0,2n > 10 -> n>50 Man müsste also mindestens 51 Nieten herausnehmen!
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 30<br />
� MEHRSTUFIGE ZE / PFADREGEL<br />
Führt man bei einem Zufallsexperiment eine Tätigkeit mehrfach hintereinander aus, so spricht<br />
man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Z.B. mehrfaches Ziehen einer Kugel aus<br />
einer Urne, mehrfaches würfeln, ... Solche Experimente stellt man am besten in einem Baum<br />
dar.<br />
WICHTIG: Es ist dabei zu unterscheiden, ob mit oder ohne „zurücklegen“ agiert wird!<br />
Dabei gilt die Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich<br />
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades.<br />
Beispiel: Aus einer Urne mit 3 weißen und 4 schwarzen Kugeln werden drei Kugeln gezogen.<br />
a) mit Zurücklegen b) ohne Zurücklegen<br />
w = weiße Kugel, s = schwarze Kugel<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
w<br />
s<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
Beispiele für die Pfadregel:<br />
3 3 3 27<br />
P(www)= ⋅ ⋅ =<br />
7 7 7 343<br />
P(wsw)=<br />
3<br />
7<br />
⋅<br />
4<br />
7<br />
⋅<br />
3<br />
7<br />
=<br />
36<br />
343<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
3<br />
7<br />
4<br />
7<br />
P(www)=<br />
P(wsw)=<br />
w<br />
s<br />
3<br />
7<br />
3<br />
7<br />
⋅<br />
4<br />
6<br />
3<br />
6<br />
2<br />
6<br />
3<br />
6<br />
2 1<br />
⋅ ⋅ =<br />
6 5<br />
Um z.B. die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man genau 2 weiße Kugeln zieht, muss<br />
man mehrere Pfade des Baumes addieren.<br />
P(genau 2 Kugeln sind w) = P(sww) + P(wsw) + P(wws) =<br />
4 3 3 3 4 3 3 3 4 108<br />
4 3<br />
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =<br />
= ⋅<br />
⋅<br />
7 7 7 7 7 7 7 7 7 343<br />
7 6<br />
2<br />
5<br />
4<br />
6<br />
+<br />
⋅<br />
3<br />
7<br />
2<br />
5<br />
⋅<br />
=<br />
4<br />
6<br />
1<br />
35<br />
4<br />
35<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
3<br />
5<br />
3<br />
5<br />
2 3 2<br />
⋅ + ⋅ ⋅<br />
5 7 6<br />
4<br />
5<br />
4<br />
5<br />
2<br />
5<br />
1<br />
5<br />
2<br />
5 3<br />
5<br />
2<br />
5<br />
=<br />
12<br />
35<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s<br />
w<br />
s
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 31<br />
� BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT / VIERFELDERTAFEL<br />
1) „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ heißt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A<br />
wissen will, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist.<br />
Nicht zu verwechseln damit, dass die zwei Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten müssen!<br />
P(A ∩ B)<br />
PA(B) =<br />
P(A)<br />
ist die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist<br />
Beispiel 1: In einer Urne befinden sich 6 rote Kugeln, die die Zahlen 1 bis 6 tragen und 6 weiße Kugeln, die<br />
die Zahlen 1 bis 6 tragen. Es wird ein Mal eine Kugel gezogen.<br />
2 1 6 1<br />
P(es ist eine 6)= = P(die Kugel ist rot)= =<br />
12 6<br />
12 2<br />
1<br />
P(es ist eine rote 6)= (beides gleichzeitig eingetroffen!!!)<br />
12<br />
Das sind alles noch keine bedingten Wahrscheinlichkeiten!!! Aber jetzt:<br />
Man weiß, dass die gezogene Kugel die 6 trägt => Mit welcher W. ist sie rot?<br />
1<br />
P(<br />
man zog eine 6,<br />
die zudem noch rot war)<br />
Pman zog eine 6(man zog eine rote Kugel)=<br />
=<br />
12<br />
P(<br />
man zog eine 6)<br />
2<br />
12<br />
(Wenn man schon weiß, dass die Kugel eine 6 ist, dann gibt es nur noch 2 Möglichkeiten, nämlich rot oder weiß)<br />
oder andersherum:<br />
Man weiß, dass die gezogene Kugel rot ist => Mit welcher W. trägt sie die 6?<br />
P(<br />
man zog eine 6,<br />
die zudem noch rot war)<br />
Pman zog eine rote Kugel(man zog eine 6)=<br />
=<br />
P(<br />
man zog eine rote Kugel)<br />
2<br />
(Wenn man hingegen weiß, dass die Kugel rot ist, dann gibt es immerhin noch 6 Möglichkeiten, nämlich 1, 2, 3 ,4 ,5, 6)<br />
Beispiel 2: Bei der letzten Wahl entfielen 30% der <strong>St</strong>immen auf die Partei „Fortschritt“, 60% der <strong>St</strong>immen auf<br />
die Partei „Gerechtigkeit“ und 10% auf die Partei „Zukunft“. Unter den Wählern waren Jungwählerinnen und -<br />
wähler und Altwählerinnen und -wähler. Jungwählerinnen und -wähler waren bei der Partei „Fortschritt“ 2% ihrer<br />
Wähler, bei der Partei „Gerechtigkeit“ 1% ihrer Wähler und bei der Partei „Zukunft“ 15% ihrer Wähler. Man hat<br />
eine Jungwählerin vor sich.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Partei „Zukunft“ gewählt hat?<br />
Lösung:<br />
F: Partei „Fortschritt“ J: Jungwählerinnen und -wähler<br />
G: Partei „Gerechtigkeit“ A: Altwählerinnen und -wähler<br />
Z: Partei „Zukunft“<br />
30<br />
1 00<br />
10<br />
1 00<br />
6 0<br />
1 00<br />
F<br />
G<br />
Z<br />
2<br />
10 0<br />
98<br />
100<br />
1<br />
100<br />
99<br />
10 0<br />
8 5<br />
100<br />
1 5<br />
100<br />
J<br />
A<br />
J<br />
A<br />
J<br />
A<br />
gesucht: PJ(Z)<br />
PJ(Z) =<br />
=<br />
30<br />
100<br />
⋅<br />
1<br />
12<br />
1<br />
P( Z ∩ J )<br />
P(<br />
J )<br />
2<br />
100<br />
5<br />
= ≈ 0,56 = 56%<br />
9<br />
=<br />
1<br />
6<br />
=<br />
1<br />
2<br />
10 15<br />
⋅<br />
100 100<br />
60 1<br />
+ ⋅ +<br />
100 100<br />
10<br />
100<br />
⋅<br />
15<br />
100
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 32<br />
2) Viele Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit lassen sich sehr leicht mit einer<br />
VIERFELDERTAFEL lösen. Voraussetzung ist, dass man eine solche Tafel mitgeliefert<br />
bekommt oder genügend Informationen hat, eine solche zu erstellen!<br />
Dann jedoch muss man das Ergebnis nur aus der Tabelle ablesen.<br />
Wichtig: Es geht immer um zwei Merkmale in zwei Ausprägungen!<br />
Beispiel 1: Zweihundert Personen wurden auf Tierallergie untersucht.<br />
Das Ergebnis zeigt nebenstehende Tabelle. Es bedeutet H:<br />
Hundeallergie, K Katzenallergie.<br />
Dieter aus der Gruppe geht mit seinem Hund spazieren, als er Heidi<br />
(die auch in der Gruppe war) trifft, die auf einer Parkbank mit einer<br />
Katze schmust. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich zu<br />
ihr setzen kann? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heidi<br />
fluchtartig wegrennt?<br />
H H<br />
K 56 45 101<br />
K 50 49 99<br />
106 94 200<br />
(Wir gehen natürlich davon aus, dass dazusetzen bzw. wegrennen ausschließlich allergiebedingt vorkommt! ;-))<br />
49<br />
Lösung: Dieter kann sich setzen mit: P ( K )= ≈ 52 %<br />
H 94<br />
50<br />
Heidi muss flüchten mit: P (H)= ≈ 50 %<br />
K 99<br />
Beispiel 2:<br />
In 25% einer Produktionsmenge von Ü-Eiern befindet sich ein einteiliges Spielzeug, in einem Fünftel davon ist<br />
dies eine Figur aus dem neusten Disneyfilm. 60% der Eier enthalten ein mehrteiliges Spielzeug, das nichts mit<br />
dem Film zu tun hat.<br />
a) Durch Schütteln kann man bei einem Ei feststellen, dass es mehrere Teile enthält. Wie groß ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ei etwas aus dem Disneyfilm enthält?<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, irgendetwas aus einem Kinofilm zu bekommen, wenn man 10 Eier kauft?<br />
Lösung:<br />
E= einteilig D= aus einem Disney-Film<br />
M=mehrteilig N=nicht aus einem Disney-Film<br />
15 1<br />
a) Pmehrere Teile(Film)= =<br />
75 5<br />
b) P(mind. 1 Film)= 1-P(kein Film)=1-<br />
⎛ 80 ⎞<br />
⎜ ⎟⎠<br />
⎝100<br />
10<br />
≈0,893<br />
(in %) D N<br />
E 5 20 25<br />
M 15 60 75<br />
20 80 100
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 33<br />
� UNABHÄNGIGKEIT VON EREIGNISSEN<br />
Aus der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich direkt der sogenannte<br />
allgemeine Multiplikationssatz: P(A∩B) = P(A).PA(B) (also nichts<br />
großartig Neues).<br />
Dieses benutzt man nun, um zu prüfen, ob zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind!<br />
Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig, wenn gilt<br />
P(A∩B) = P(A).P(B)<br />
andernfalls heißen A und B voneinander abhängig.<br />
(Dies nennt man wegen der „Herkunft“ von oben auch den speziellen Multiplikationssatz.)<br />
Beispiele:<br />
1) Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen.<br />
a) Es sei A: “Die Augensumme ist 10“ und B: “Zweimal dieselbe Augenzahl“.<br />
3 1<br />
6 1<br />
1<br />
Dann ist P(A) = = ; P(B) = = ; P(A∩B) =<br />
36 12<br />
36 6<br />
36<br />
3 1 1<br />
Da aber P(A).P(B)= ⋅ = verschieden von P(A∩B) ist, sind die Ereignisse A und B voneinander<br />
36 6 72<br />
abhängig.<br />
b) Es sei C: „Eine 6 im zweiten Wurf“ und D: „Die Augensumme ist 7“<br />
6 1<br />
6 1<br />
1<br />
Dann ist P(C) = = ; P(D) = = ; P(C∩D) =<br />
36 6<br />
36 6<br />
36<br />
Hier gilt also P(C).P(D) = P(C∩D) , d.h. die Ereignisse C und D sind unabhängig voneinander.<br />
2) Der Engländer GALTON (übrigens ein<br />
Vetter von Charles Darwin, der sich unter<br />
anderem auch mit Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
befasste) untersuchte den Zusammenhang<br />
der Augenfarbe an 1000 Vater-Sohn-<br />
Paaren. Seine Ergebnisse gibt die Tabelle<br />
wieder. Sind A und B unabhängig voneinander?<br />
622 619 385,<br />
018<br />
P(A) = ; P(B) = ; P(A).P(B) =<br />
1000<br />
1000<br />
1000<br />
also sind A und B voneinander abhängig.<br />
B B<br />
A 471 151 622<br />
A 148 230 378<br />
619 381 1000<br />
471<br />
≠ = P(A∩B)<br />
1000<br />
A: Vater helläugig<br />
B: Sohn helläugig
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 34<br />
� ZUFALLSVARIABLEN<br />
Viele Zufallsexperimente liefern als Ergebnis Zahlen, weshalb man auf die Idee kam,<br />
Zufallsvariablen einzuführen.<br />
Eine Zufallsvariable X nimmt bei jedem Ergebnis einen Zahlenwert xi an, ordnet also jedem<br />
Ergebnis eine Zahl zu.<br />
Anstatt P(Ereignis) sagt man dann P(X=...)<br />
Beispiele:<br />
1) Es wird ein Mal mit einem idealen Würfel gewürfelt.<br />
a) Die Zufallsvariable X gebe die gewürfelte Zahl an.<br />
Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird sagt man jetzt anstatt P(5) : P(X=5)<br />
b) Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der Würfe an, bis eine 6 gewürfelt wird.<br />
P(X=1) hieße also P(im ersten Wurf kommt eine 6)<br />
c) Die Zufallsvariable Z gebe die Summe der gewürfelten Zahlen an, bis eine 6 gewürfelt wird.<br />
Das Ereignis X=3 hieße hier:<br />
beim zweiten Wurf kam eine 6 nachdem im ersten Wurf eine 3 kam<br />
oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 1 und dann eine 2 kam<br />
oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 2 und dann eine 1 kam<br />
2) Eine Urne enthalte 2 rote und 2 weiße Kugeln, die nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden. Die<br />
Zufallsvariable X gebe die Zahl der Züge an, bis beide roten Kugeln gezogen sind.<br />
Die Verteilung der Zufallsvariablen X kann man gut in einer Tabelle darstellen:<br />
Ergebnisse ei wwrr wrwr wrrw rrww rwrw rwwr<br />
Wert von X 4 4 3 2 3 2<br />
P(ei)<br />
Das ergibt die Verteilung der Zufallsvariable X mit<br />
1<br />
6<br />
1<br />
6<br />
xi 2 3 4<br />
P(X=xi)<br />
1<br />
6<br />
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X muss also erst geklärt werden:<br />
- Was soll X sein? (Wie ist X definiert?<br />
- Welche Werte kann X annehmen?<br />
3) Ein Sportschütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 die Scheibe. Er hat höchstens 4 Versuche und hört nach<br />
dem ersten Treffer auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er 0-, 1-, 2-, 3-, 4mal daneben?<br />
X=Anzahl der Fehlschüsse<br />
xi 0 1 2 3 4<br />
P(X=xi)<br />
0,8 0,2.0,8<br />
=0,16<br />
1<br />
6<br />
1<br />
3<br />
0,2². 0,8<br />
=0,032<br />
1<br />
6<br />
0,2³.0,8=<br />
0,0064<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
0,2 4 =<br />
0,0016<br />
1<br />
6
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 35<br />
� ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ<br />
A) Erwartungswert<br />
Vor allem bei (Glücks-) Spielen interessiert, ob die Chancen, etwas zu gewinnen größer sind,<br />
als die, etwas zu verlieren. Da dies nicht immer so einfach zu sagen ist, wie bei einem<br />
einfachen Münzwurf, hat man den ERWARTUNGSWERT eingeführt, der einem sagt,<br />
welchen Gewinn man erwarten kann (wenn man sehr, sehr oft unter exakt gleichen<br />
Bedingungen spielt!!!).<br />
Er gibt so etwas wie den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn an!<br />
Definition: Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x1 ,x2 , ..., xn annehmen kann, so heißt<br />
die reelle Zahl E(X) mit E(X) = x1.P(X=x1) + x2.P(X=x2) + ... + xn.P(X=xn)<br />
Erwartungswert der Zufallsvariablen X.<br />
Der Erwartungswert wird oft auch mit dem griechischen Buchstaben μ (lies: Mü) bezeichnet.<br />
Merke: Ein Glücksspiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler<br />
gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für alle Spieler gleich<br />
groß ist.<br />
Beispiel: Ein Spieler zahlt einen Euro Einsatz und wirft drei ideale Würfel. Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder<br />
dreimal, so erhält er seinen Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2 bzw. 3 Euro. Erscheint<br />
keine 6, so ist der Einsatz verloren.<br />
a) Zeige, dass das Spiel nicht fair ist.<br />
b) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?<br />
Lösung: a) Wir berechnen den Erwartungswert mit Hilfe einer Tabelle. X sei der Gewinn.<br />
Anzahl der Sechsen xi<br />
(= Gewinn)<br />
0<br />
-1<br />
(Einsatz ist weg)<br />
1 +1 3.<br />
2 +2 3.<br />
3 +3<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎜ ⎟⎠<br />
⎝ 6<br />
5 2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
5<br />
6<br />
P(X=xi) xi.P(X=xi) Summe<br />
3<br />
⋅<br />
≈ 0,5787 -0,5787<br />
1<br />
6<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
2<br />
≈ 0,3472 +0,3472<br />
⋅ ≈ 0,0694 +0,1388<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟⎠<br />
⎝ 6<br />
3<br />
≈ 0,0046 +0,0138<br />
E(X)=-0,0789<br />
Da E(X)
Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-<strong>St</strong>offes 36<br />
B) Varianz<br />
Die Varianz (bzw. die <strong>St</strong>andardabweichung) ist ein Parameter, um die Qualität der<br />
Abweichung von einem zu erwartenden Mittelwert zu beurteilen.<br />
Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte xi annimmt, so heißt die reelle Zahl V(X) mit<br />
V(X) = (x1-E(X))².P(X=x1) + (x2-E(X))².P(X=x2) + ... + (xn-E(X))².P(X=xn)<br />
die Varianz der Zufallsvariablen X, wobei<br />
Bemerkung: S(X)= V ( X ) heißt <strong>St</strong>andardabweichung von X und wird auch mit dem griechischen Buchstaben<br />
σ (lies: Sigma) bezeichnet, die Varianz heißt entsprechend σ².<br />
Beispiel: Zwei Maschinen A und B schneiden <strong>St</strong>ahlstifte auf vorgeschriebene Längen zu. Bei einer Einstellung<br />
der Maschinen auf eine Solllänge von 10,0 mm ergaben Untersuchungen über auftretende Abweichungen<br />
folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die anfallenden Längen:<br />
Maschine A:<br />
Maschine B<br />
xi 9,8 9,9 10 10,1 10,2<br />
P(xi) 0,1 0,1 0,6 0,1 0,1<br />
xi 9,8 9,9 10 10,1 10,2<br />
P(xi) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1<br />
Welche der Maschinen arbeitet zuverlässiger, bzw. welche würdest du kaufen?<br />
Lösung:<br />
Berechnet man für beide Maschinen den Erwartungswert, so ergibt sich in beiden Fällen 10,0 mm. D.h. bei<br />
beiden Maschinen ist auf lange Sicht die Länge der <strong>St</strong>ifte 10 mm. Man braucht ein weiteres<br />
Entscheidungskriterium.<br />
Die Varianzen beider Maschinen ergeben<br />
VA(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,1 + (10-10)².0,6 + (10,1-10)².0,1 + (10,2-10)².0,1 = 0,010<br />
und<br />
VB(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,2 + (10-10)².0,4 + (10,1-10)².0,2 + (10,2-10)².0,1 = 0,012.<br />
Man wird also Maschine A vorziehen, denn die einzelnen Solllängen weichen weniger vom Erwartungswert ab<br />
als bei Maschine B. Maschine A arbeitet also „zuverlässiger“.<br />
Als <strong>St</strong>andardabweichung ergibt sich: σX = 0,1 und σY = 0,1095445. Der Wert der <strong>St</strong>andardabweichung für<br />
Maschine A ist kleiner als für B.