Statistik für Verfahrenstechniker und Chemie-Ingenieure - Alex ...

Statistik für Verfahrenstechnikerund Chemie-IngenieureJürgen Raaschunter Mitarbeit von Wulf Alex2010Karlsruhe

Ausgabedatum: 9. März 2012Jürgen RaaschAm Kirchberg 4376229 Karlsruhejuergen.k.raasch@t-online.deWulf AlexRieslingweg 1476356 Weingarten (Baden)alex-weingarten@t-online.deDas Skriptum ist unvollständig und kann Fehler enthalten. Für Hinweise sind wirdankbar. Skriptum, Korrekturen und Ergänzungen finden sich unter:http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/mit den Hyperlinks• http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/buch.pdf(Ganzes Skriptum)• http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/vorwort.pdf(Vorwort)• http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/inhalt.pdf(Inhalt)• http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/probe.pdf(Probeabschnitt)• http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/errata.pdf(Errata)Das Skriptum wird unter der GNU Free Documentation License Version 1.3(GNU FDL 1.3) veröffentlicht. Der verbindliche englische Text der Lizenz istunter http://www.gnu.org/licenses/fdl-1.3.html zu finden; eine inoffizielledeutsche Übersetzung ist unter http://www.gnu.de/documents/ verfügbar. DasSkriptum ist folgendermaßen zu zitieren:Raasch, Jürgen: Statistik für Verfahrenstechniker und Chemieingenieure. Stand9. März 2012. URL http://www.alex-weingarten.de/skripten/statistik/buch.pdf(Abfragedatum: . . . )

VorwortStochastische Vorgänge – das heißt Vorgänge, bei denen der Zufall einen mehroder weniger großen Einfluss hat – spielen in Wirtschaft, Wissenschaft und Technikeine erhebliche Rolle. Deshalb wäre es wünschenswert, wenn Kenntnisse dermathematischen Statistik, also der mathematische Beschreibung stochastischerVorgänge, weit verbreitet wären. Das Gegenteil ist der Fall. In vielen Ausbildungsgängenwird die mathematische Statistik eher als ein lästiges Randgebietangesehen mit der Folge, dass Ingenieure und Vertreter ähnlicher Berufe sich zwargut mit Differentialgleichungen auskennen, aber unsicher werden, sobald es umFragen der mathematischen Statistik geht.Wir beide – der eine Maschinenbauer, der andere Elektrotechniker – habenunser Berufsleben in einem Hochschulinstitut für Verfahrenstechnik verbracht unddabei in Forschung und Lehre viel mit Statistik zu tun gehabt. Als Ingenieuresehen wir die Statistik unter praktischen Gesichtspunkten, sie ist für uns einWerkzeug. Die theoretischen Hinter-, Unter- und Abgründe überlassen wir gernden Mathematikern.Die mathematischen Schwierigkeiten und damit auch die Voraussetzungenzum Verständnis unseres Textes halten sich in Grenzen. Es kommen ein paarDifferentialquotienten und Integrale vor, aber ein großer Teil der Rechnungengeht nicht über die Schulmathematik hinaus. Die eigentlichen Hürden sind diestatistischen Begriffe und Vorstellungen, die wir deshalb ausführlich und mit vielenBeispielen erläutern, auch vor dem Hintergrund, dass einige der Begriffe imAlltag ungenau und missverständlich benutzt werden.Die Statistik gehört zu den Grundlagen vieler spezieller Wissensgebiete wieFehler- und Ausgleichsrechnung, Versuchsplanung und Probenahme, Qualitätskontrolle,Mischungsanalyse, Spieltheorie, Risikoanalyse, Epidemiologie, Ökonometrie,Kryptologie, Meinungsforschung, Signaltheorie, nichtlineare Optimierung,Chaostheorie und weiterer. An einigen Stellen gehen wir auf derartige Themenein. Unser Text will und kann Monografien zu diesen Fragen jedoch nicht annäherndersetzen.Wir beginnen mit einigen Beispielen, die das Verständnis und das Interessefür Fragestellungen der Statistik wecken sollen, sowie der Klärung einiger allgemeinerBegriffe. Es folgt ein ausführliches Kapitel zur Darstellung von Stichprobenergebnissenals Häufigkeitsverteilungen. Erst danach wird der schwierigereBegriff der Wahrscheinlichkeit eingeführt, der benötigt wird, um zum einenGrundgesamtheiten zu beschreiben und zum anderen Zusammenhänge zwischendem Stichprobenergebnis und der zugehörigen Grundgesamtheit zu formulieren.iii

ivIn den anschließenden Kapiteln werden einige wichtige diskrete und stetige Verteilungsfunktionenvorgestellt. Deren Anzahl ließe sich beliebig vergrößern. UnsereAuswahl beschränkt sich auf solche Verteilungen, die für die im weiteren Verlauferläuterten praktischen Anwendungen in der Verfahrenstechnik gebrauchtwerden.Bei der Darstellung von Messergebnissen wie auch bei der Veröffentlichung vonUmfrageergebnissen sollte die Angabe von Konfidenzintervallen selbstverständlichsein, ist es aber immer noch nicht. Dieses Thema wird deshalb in unserem Texteingehend behandelt, insbesondere was die jeweiligen Voraussetzungen betrifft.Statistische Prüfverfahren (Tests) gehören zu den wichtigsten Anwendungsgebietender mathematischen Statistik. Es gibt unzählige spezielle Prüfverfahren. Wirbeschränken uns auf die Darstellung der prinzipiellen Vorgehensweise an einemleicht verständlichen Beispiel. Das Thema Varianzanalyse haben wir beiseite gelassen,auch aus dem einfachen Grund, dass uns praktische Anwendungen sehrselten beschäftigt haben. Regression und Korrelation werden dagegen in einemeigenen Kapitel behandelt.Im vorletzten Kapitel haben wir einige wichtigere Anwendungen der mathematischenStatistik in der Mechanischen Verfahrenstechnik, unserem ehemaligenArbeitsgebiet, zusammengestellt. Den Abschluss bildet ein Kapitel zum Einsatzdes Computers bei statistischen Rechnungen, das zum Zeitpunkt der ersten Veröffentlichungdes Skriptums im Netz mehr ein Platzhalter für künftige Erweiterungenals eine Informationsquelle ist. Auch die vorangehenden Kapitel dürften inden ersten Jahren ihres Daseins im World Wide Web (WWW) manche Änderungoder Ergänzung erfahren.Der Text geht auf ein Skriptum zu einer Vorlesung Statistische Methoden inder Verfahrenstechnik zurück, die der Erstautor von 1979 bis 2006 in der UniversitätKarlsruhe (TH) gehalten hat, und vor ihm Karl Sommer, jetzt Weihenstephan.In der Terminologie und der Wahl der Formelzeichen passen wir unsder deutschsprachigen Wikipedia an, um das Nachschlagen zu erleichtern. Wo esangebracht erscheint, nennen wir auch die englischen Fachausdrücke. Hierbei waruns das Glossar des International Statistical Institute (http://isi.cbs.nl/) inDen Haag eine Hilfe. Erstmals im Internet (Web) wurde das Skriptum am 17. Februar2010 in Form einer pdf-Datei veröffentlicht. Die vorliegende Fassung desSkriptums wurde auf einem PC unter Debian GNU/Linux mit Hilfe der Programmevi, gnuplot, xfig und pdflatex hergestellt.Es liegt uns am Herzen, dass Sie unsere Ausführungen verstehen. Scheuen Siesich nicht, uns per Email zu fragen, wenn wir uns nicht klar genug ausdrücken oderwenn Sie meinen, dass ein wichtiges Thema fehlt. Es ist auch nicht auszuschließen,dass wir uns gelegentlich irren, aber das sollte ein seltenes Ereignis sein.Karlsruhe, Anfang 2010Jürgen RaaschWulf Alex

Übersicht1 Grundbegriffe 12 Häufigkeit 73 Wahrscheinlichkeit 234 Diskrete Verteilungen 635 Stetige Verteilungen 756 Konfidenzintervalle 1017 Prüfverfahren (Tests) 1238 Regression und Korrelation 1319 Anwendungen 14710 Statistisches Rechnen auf dem Computer 187A Zum Weiterlesen 207v

Inhalt1 Grundbegriffe 11.1 Kausalität und Zufall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Merkmale und Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Häufigkeit 72.1 Urliste, absolute Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Relative Häufigkeit bei einer Eigenschaft . . . . . . . . . . . . 82.3 Relative Häufigkeit bei zwei Eigenschaften . . . . . . . . . . . 92.4 Darstellung relativer Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.1 Häufigkeitsverteilung eines diskreten Merkmals . . . . . . . 132.4.2 Häufigkeitsverteilung eines stetigen Merkmals . . . . . . . 173 Wahrscheinlichkeit 233.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . 233.2 Folgerungen, Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1 Verteilungen einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Verteilungen mehrerer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . 373.4 Erwartungswerte und Varianzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.1 Eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . 443.4.2 Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . 493.4.3 Rechenregeln für Erwartungswerte und Varianzen . . . . . 52Eindimensionale Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . 52Mehrdimensionale Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . 584 Diskrete Verteilungen 634.1 Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68vi

INHALTvii5 Stetige Verteilungen 755.1 Stetige Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Eindimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1 Gewöhnliche Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Logarithmische Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . 875.2.3 Approximation der Normalverteilung durch eine Fourierreihe 895.3 Zweidimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.5 Student-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.6 Potenzverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7 Exponentielle Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 Konfidenzintervalle 1016.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 K. für den M. einer NV mit bekannter Varianz . . . . . . . . . 1086.3 K. für die V. einer NV mit bekanntem Mittelwert . . . . . . . 1136.4 K. für die V. einer NV mit unbekanntem Mittelwert . . . . . . 1146.5 K. für den M. einer NV mit unbekannter Varianz . . . . . . . . 1146.6 K. für die Parameter beliebiger Verteilungen . . . . . . . . . . 1166.7 Beispiele für Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167 Prüfverfahren (Tests) 1237.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Durchführung eines Prüfverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . 1248 Regression und Korrelation 1318.1 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.1.1 Berechnung der Regressionsgeraden zu einer Stichprobe . . 1318.1.2 Konfidenzintervalle für den Regressionskoeffizienten . . . . 1368.1.3 Konfidenzintervalle für den Mittelwert . . . . . . . . . . . 1398.2 Nichtlineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3.1 Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3.2 Konfidenzintervalle für den Korrelationskoeffizienten . . . . 1459 Anwendungen 1479.1 Partikelgröße und -geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.1.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.1.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2 Koinzidenzfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.2.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.2.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.2.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

viiiINHALT9.3 Partikelgrößenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.3.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.3.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.4 Porosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.4.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.4.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.4.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5 Verteilung der Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.5.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.6 Mischgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.6.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.6.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.6.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.7 Prüfverfahren Mischtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.7.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.7.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.7.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.8 Umrechnung Mengen- und Merkmalsarten . . . . . . . . . . . 1739.8.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.8.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.8.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.9 Spezifische Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.9.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.9.2 Mathematischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.9.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510 Statistisches Rechnen auf dem Computer 18710.1 Grafische Darstellungen mittels Gnuplot . . . . . . . . . . . . 18710.2 Tabellenkalkulation (Gnumeric) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19410.3 Octave, Euler (in Vorbereitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910.4 Die GNU-R-Umgebung (in Vorbereitung) . . . . . . . . . . . . 19910.5 Zufallszahlen (in Vorbereitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.5.1 Wofür Zufallszahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20510.5.2 Erzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.5.3 Prüfung auf Zufälligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206A Zum Weiterlesen 207