1 Informatik Grundlagen 2 6. Zahlensysteme und Rechnerarithmetik

Fachhochschule Braunschweig / Wolfenbüttel- University of Applied Sciences -Fachbereich WirtschaftFachhochschule Braunschweig / Wolfenbüttel- University of Applied Sciences -Fachbereich WirtschaftExponentialdarstellung (im Dezimalsystem)Duale Fließkommadarstellung in RechnersystemenProblem: Exponentialdarstellung nicht eindeutig– z.B. 1,23456 · 10 0 = 1234,56 · 10 –3 = 0,0123456 · 10 2– erschwert Vergleichedeshalb Normalisierung– z.B. „Mantisse hat genau 1 Stelle von dem Komma“• ebenfalls gebräuchlich: 0 Stellen vor dem Komma– damit Vergleich einfach• a = b, falls E(a) = E(b) und M(a) = M(b)• a < b, falls E(a) < E(b) oder [E(a) = E(b) und M(a) < M(b)] mehrere gebräuchliche Standards hier: IEEE-Format (Institute of Electrical and Electronics Engineers)– normiert für einfache und doppelte Genauigkeit gemäß IEEE 754• Gesamtgröße: 32 Bit 64 Bit• Vorzeichen: 1 Bit 1 Bit• Exponent: 8 Bit 11 Bit• Mantisse: 23 Bit 52 Bitsw bñéçåÉåí j~åíáëëÉ– z.B. Datentypen Single und Double in VBAInformatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl7Informatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl8Fachhochschule Braunschweig / Wolfenbüttel- University of Applied Sciences -Fachbereich WirtschaftFachhochschule Braunschweig / Wolfenbüttel- University of Applied Sciences -Fachbereich WirtschaftDuale Fließkommadarstellung in RechnersystemenDuale Fließkommadarstellung in RechnersystemenErläuterungen zum IEEE-Format– Vorzeichen: 0 für positive, 1 für negative Zahlen– Exponent: Wertebereich –2 7 +2 bis 2 7 –1 (d.h. –126 bis +127)• in Exzeßdarstellung (ähnlich wie Zweierkomplement)• bei doppelter Genauigkeit –2 10 +2 bis 2 10 –1 (–1022 bis +1023)– Mantisse: normalisiert auf 1,…• dabei die führende 1 nicht selbst dargestellt• Sonderfall: Wert 0 nicht normalisierbar (niemals = 1,…)– dargestellt durch minimale Mantisse und Exponent(alle Bits gleich 0)• weitere Sonderfälle: ± ∞ (unendlich), NaN (Not a Number)nachfolgende Beispiele zur besseren Anschauung im Dezimalsystem– im Dualsystem aber nach gleichen Prinzipien realisiertAddition/Subtraktion:– keine Komplementdarstellung für negative Zahlen(bei Fließkommadarstellung eher unpraktisch)– also Subtraktion „klassisch“ implementiert1. Vorbereitung: beide Zahlen auf gleichen (höheren) Exponenten bringen2. Mantissen addieren/subtrahieren3. Ergebnis bei Bedarf neu normalisieren– Beispiel (dezimal):• 1,234 · 10 4 – 9,876 · 10 3 =1,234 · 10 4 – 0,9876 · 10 4 = 0,2464 · 10 4 = 2,464 · 10 3Informatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl9Informatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl10Verwendung von FließkommazahlenFachhochschule Braunschweig / WolfenbüttelFachhochschule Braunschweig / WolfenbüttelFachbereich WirtschaftFachbereich Wirtschaft0,1249 · 10 1 = 1,249 · 10 0 z.B. 1/3 = 0,3333333333Á 10- University of Applied Sciences -- University of Applied Sciences -Anmerkungen zur FließkommaarithmetikMultiplikation/Division: Umrechnung dezimal ↔ dual– Mantissen multiplizieren/dividierenÓ erweiterte Form des Horner-Schemas– Exponenten addieren/subtrahierenÓ Problem: manche Dezimalzahlen im Dualsystem nicht endlich darstellbar– bei Bedarf renormalisieren√ z.B. 0,2 10= 0,0011001100110011Á 2– Beispiele (dezimal):√ dadurch ungenaue Umwandlung,• 1,234 · 10 4 · 9,876 · 10 3 = 1,234 · 9,876 · 10 4 · 10 3 =z.B. 0,00110011 2= 0,19921875 10≠ 0,2 1012,187 · 10 7 = 1,2187 · 10 8√ umgekehrt jedoch kein Problem (weil 2 Teiler von 10)• 1,234 · 10 4 : 9,876 · 10 3 = 1,234 : 9,876 · 10 4 : 10 3 =√ Problem als solches in allen Zahlensystemen bekannt,Ó vgl. łGenauigkeit (s.u.)Informatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl11Informatik Grundlagen 2Sommersemester 2006 – Version 1.4Dipl.-Inform. H. Märtens / Dipl. W. Inf. U. Kohl122