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Methoden◮◮◮at 3/2012Zwei-Freiheitsgrade-Regelunglinearer Systeme mit StellgrößenundStellratenbegrenzungenTwo-Degree-of-Freedom Control of Linear Systems Subject to Input Amplitudeand Rate ConstraintsKlaus Kefferpütz, Carlo Ackermann, Jürgen Adamy, TU DarmstadtZusammenfassung In diesem Artikel wird eine schnelleFührungsregelung für lineare Regelstrecken unter StellgrößenundStellratenbeschränkungen vorgestellt. Dazu wird einauch für nichtlineare Systeme anwendbarer inversionsbasierterVorsteuerungsentwurf mit einem weich-strukturvariablenRegler kombiniert. Die Formulierung eines konvexen Optimierungsproblemserlaubt den effizienten Reglerentwurf.◮◮◮ Summary This paper presents a fast tracking controlfor linear systems subject to input amplitude and ratecontraints. To this end, an inversion based feedforward controller,which is also applicable to nonlinear systems, iscombined with a soft variable structure controller. The lattercan be designed efficiently by solving a convex optimizationproblem.Schlagwörter Stellgrößenbeschränkungen, Stellratenbeschränkungen, inversionsbasierter Vorsteuerungsentwurf,weich-strukturvariable Regelung, LMI, SOS ◮◮◮ Keywords Input amplitude constraints, input rate constraints, inversion basedfeedforward control, soft variable structure control, LMI, SOS1 EinleitungJedes reale System unterliegt Beschränkungen hinsichtlichder Stellgröße. Zum einen ist die Stellgröße selbstbeschränkt, zum anderen unterliegt in der Regel auchdie Stellrate einer Beschränkung. Um Stabilitätsproblemezu vermeiden, werden Regelungen oftmals so entworfen,dass die Stellgröße bzw. die Stellrate den verfügbarenStellbereich nicht überschreitet. Diese Vorgehensweiseführt jedoch im Allgemeinen zu langsamen Ausregelvorgängen.Durch Berücksichtigung der Stellbegrenzungenbeim Reglerentwurf kann eine bessere Ausnutzung desStellbereichs und damit eine bessere Reglerperformanceerzielt werden.Besteht die Regelungsaufgabe darin, das System umeine gegebene Ruhelage herum zu stabilisieren, kannauf eine Vielzahl von Methoden zurückgegriffen werden.Hier können beispielsweise lineare Sättigungsregler [4]verwendet werden. Aufgrund des linearen Regelgesetzeswerden Stellgröße und Stellrate jedoch in der Umgebungder Ruhelage schlecht ausgenutzt. Dieser Nachteilkann im Falle von SISO-Systemen durch Einsatz weichstrukturvariablerRegler [15] vermieden werden. Beistrukturvariablen Reglern wird die Reglerverstärkung imVerlauf des Ausregelvorgangs angepasst, wodurch sehrschnelle Ausregelvorgänge möglich werden.Lautet die Aufgabenstellung, das System von einerRuhelage in eine andere Ruhelage zu überführen, kanndas Zustandsraummodell so modifiziert werden, dassder Regelfehler Teil des Zustandsvektors ist. Die Aufgabeist dann, den Ursprung des transformierten Systemszu stabilisieren. In diesem Fall sind die stabilisierbarenneuen Ruhelagen jedoch eine Funktion des Anfangszustands.Eine solche Methode wird beispielsweise in [24]vorgestellt. Für Systeme unter ausschließlicher Stellgröat– Automatisierungstechnik 60 (2012) 3 / DOI 10.1524/auto.2012.0982 © Oldenbourg Wissenschaftsverlag 155

Methodenßenbegrenzung wird in [8] ein Verfahren vorgeschlagen,welches den Nachteil der Abhängigkeit von neuen Referenzruhelagenvom Anfangszustand abmildert.Eine Methode, die ohne diesen Nachteil auskommtund auch für Systeme unter zusätzlichen Stellratenbegrenzungenanwendbar ist, wird in [16] vorgestellt. Allediese Regelverfahren garantieren, dass die neue Ruhelageerreicht wird, jedoch wird kein Augenmerk auf denTrajektorienverlauf während des Übergangs gelegt. Außerdemkönnen bei diesen Verfahren das Führungs- undStörverhalten nicht getrennt betrachtet werden.Eine separate Betrachtung des Führungs- und Störverhaltenswird mit Hilfe der Zwei-Freiheitsgrade-Methodik [11] durch Kombination einer Vorsteuerungmit einer Regelung ermöglicht. Zur Vorsteuerung vonflachen Systemen wird in [19] eine Methode zurGeneration von Trajektorien vorgestellt, bei welcher Beschränkungenvorab berücksichtigt werden können. DerSchwerpunkt liegt hierbei aber nicht auf einer gutenAusnutzung der Beschränkungen und dem Erzielen kurzerÜbergangszeiten. Für Systeme, die ausschließlicheiner Stellgrößenbeschränkung unterliegen, wird in [10]eine inversionsbasierte Vorsteuerung angegeben, welchesehr schnelle Übergänge zwischen den Arbeitspunktendurch Ausnutzen der Stellgrößenbeschränkungen erlaubt.Dieses Konzept ist auch für nichtlineare und nichtminimalphasigeSysteme anwendbar. Dazu wird derArbeitspunktwechsel als Zwei-Punkt-Randwertaufgabe inden Koordinaten der Ein-/Ausgangsnormalform betrachtet.Die Randwertaufgabe wird dann mit numerischenVerfahren gelöst.Der Fokus in diesem Artikel liegt auf einer möglichstguten Ausnutzung des Stellbereichs. Der Vorsteuerungsentwurfnach [10] ist dazu in besonderer Weise geeignet,weshalb dieser in diesem Beitrag auf Systeme mit zusätzlicherStellratenbegrenzung erweitert wird. Außerdemliegt es nahe, auch eine Regelung zu verwenden, dieden Stellbereich gut ausnutzt. Dazu wird eine Erweiterungder weich-strukturvariablen Regelung aus [14] aufMIMO-Systeme und zusätzliche Stellratenbegrenzungenvorgestellt.Der Artikel ist folgendermaßen strukturiert: Nach derProblembeschreibung in Abschnitt 2 wird in Abschnitt 3eine Erweiterung der inversionsbasierten Vorsteuerungvorgestellt. Die Erweiterung der weich-strukturvariablenRegelung auf lineare MIMO-Systeme erfolgt dann inAbschnitt 4. Ein Beispiel in Abschnitt 5 zeigt die Leistungsfähigkeitdes Verfahrens.Im Rahmen dieses Artikels wird die Mengeder Sum-of-Squares-Polynome (SOS-Polynome) mitΣ[x] = {p(x):p(x) = ∑ mi=1 q2 i (x)} bezeichnet, wobei p(x)und q i (x), i = 1, 2, ..., m Polynome in x sind. Fallsp(x) ∈ Σ[x] gilt, ist p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R n . Der Grad eines Polynomsp(x) wird mit ∂(p) und eine symmetrische positivdefinite Matrix wird mit P ≻ 0 bezeichnet. Des Weiterenwird die Menge der SOS-Matrixpolynome Σ r [x]benötigt. Sie bezeichnet die Menge aller symmetrischenMatrixpolynome P(x) ∈ R r×r [x], die als eine endlicheSumme von Matrixpolynom-Produkten Q i (x) T Q i (x)darstellbar ist.2 ProblemstellungIn diesem Artikel wird eine Zwei-Freiheitsgrade-Regelungfür lineare Systemeẋ s = A s x s + B s u a ,(1)y s = C s x smit A s ∈ R n s×n s, B s ∈ R ns×m und C s ∈ R m×n svorgestellt,wobei u a einer simultanen StellgrößenundStellratenbeschränkung unterliegt, es gilt also|u a,i |≤u max,i , |˙u a,i |≤v max,i . Zur Modellierung dieserBegrenzungen wird die m-dimensionale Sättigungsfunktionmit sat umax (·) = [ sat umax,1 (·),...,sat umax,m (·) ] Tundsat umax,i (u i ) = sgn(u i ) min(u max,i , |u i |) sowie das in Bild 1dargestellte Aktormodell verwendet. Es wird durch dieDifferentialgleichung˙u a = sat vmax(–Tua + Tsat umax (u) ) , u a (0) = u a,0 (2)mit T = diag ( τ 1 ,...,τ m)beschrieben. Es lässt sich zeigen,dass sich der ideale Stellgrößen- und Stellratenbegrenzerfür τ i →∞ergibt [24].Die Aufgabe besteht darin, das System von einem Arbeitspunktin einen anderen Arbeitspunkt zu überführen.Dabei soll der zur Verfügung stehende Stellbereich möglichstgut ausgenutzt werden.Zu diesem Zweck wird eine Zwei-Freiheitsgrade-Struktur nach [11] verwendet, die in Bild 2 dargestelltist. Als Vorsteuerung wird der inversionsbasierte Ansatzfür Systeme unter ausschließlicher Stellgrößenbegrenzungnach [10] aufgegriffen und auf den Fall einerzusätzlichen Stellratenbegrenzung erweitert. Diese Vorsteuerungwird im folgenden Abschnitt beschrieben. DieRegelung dient dann dazu, abweichende Anfangszuständeder Strecke zu berücksichtigen und ist im Falle einer instabilenRegelstrecke unbedingt erforderlich.u isat umax ,i( · )−τ isat vmax ,i( · )˙u a,i1su a,iBild 1 Aktormodell zur Modellierung der Stellgrößen- und Stellratenbeschränkung.Vorsteuerungx s,v−Regleru a,vu a,ru aẋ s =A s x s +B s u aBild 2 Zwei-Freiheitsgrade-Struktur mit inversionsbasierter Vorsteuerungund Regler zur Stabilisierung.x s156

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◮◮◮Dazu müssen die verfügbare Stellgröße und Stellratezwischen Vorsteuerung und Regelung aufgeteilt werden.Dies geschieht im Folgenden anhand der Parameter κ u,iund κ v,i . Damit lauten die Stellbegrenzungen für die Vorsteuerung|u a,v,i |≤κ u,i u max,i , |˙u a,v,i |≤κ v,i v max,i (3)und für die Regelung|u a,r,i |≤(1 – κ u,i )u max,i , |˙u a,r,i |≤(1 – κ v,i )v max,i . (4)Die Aufteilung wird dabei so gewählt, dass alle für dieAnwendung relevanten Anfangszustände durch die Regelungstabilisiert werden können.3 Inversionsbasierte VorsteuerungDie Vorsteuerung wird für das Modell der Streckeẋ s,v = A s x s,v + B s u a,v (5)entworfen. Die Aufgabe besteht nun in der Bestimmungder Steuerfunktion u a,v , die das System von einemArbeitspunkt x s (0) in den Arbeitspunkt x s (T) in derZeitspanne T überführen soll. In [10] wird für diese Aufgabeein inversionsbasierter Vorsteuerungsentwurf fürSysteme mit Stellgrößenbeschränkungen vorgestellt, derim Folgenden erläutert wird.3.1 StellgrößenbeschränkungenDer nun betrachtete Vorsteuerungsentwurf nach [10] istauch für nichtlineare Systeme anwendbar. Aus diesemGrund wird die Methodik anhand dieses allgemeinerenFalles vorgestellt. Das System (1) ist darin als Spezialfallenthalten. Betrachtet wird also ein nichtlineares MIMO-Systemẋ = f(x, u a ), x(0) = x 0 ,y i = h i (x), i = 1,...,m (6)mit u a ∈ R m , x ∈ R n sund den Begrenzungen für u a =[u a,1 ,...,u a,m ] T :u a,i (t) ∈ [u min,i , u max,i ], i = 1,...,m . (7)Nun soll eine Steuerfolge u ∗ a berechnet werden, die dasSystem in einer endlichen Zeit T zwischen den beidenArbeitspunkten (x ∗ 0 , u∗ a,0 )und(x∗ T , u∗ a,T) überführt. Dabeiwird vorausgesetzt, dass das System in den Arbeitspunktenstationär ist, d. h., es giltf(x ∗ 0 , u∗ a,0 ) = 0 und f(x∗ T , u∗ a,T ) = 0 . (8)Für die Ausgänge wiederum giltyk,0 ∗ = h k(x ∗ 0 ), y∗ k,T = h k(x ∗ T ), k = 1,...,m .Die Bestimmung der Steuerfolge kann als Zwei-Punkt-Randwertaufgabe mit den Randbedingungenx(0) = x ∗ 0 , x(T) = x∗ T (9)formuliert werden. Dazu wird vorausgesetzt, dass der Anfangszustanddes Systems x 0 = x ∗ 0 ist. Somit ergeben sichn s Differentialgleichungen mit 2n s Randwertbedingungenfür die n s Zustände x = [x 1 ,...,x ns ] T .3.2 Ein-/AusgangsnormalformDie Ein-/Ausgangsnormalform (E/A-Normalform) einesMIMO-Systems bildet die Basis für den Entwurf der Vorsteuerung.Um sie zu erhalten, wird zunächst der relativeGrad definiert. Das System (6) hat den (vektoriellen) relativenGrad r = [r 1 ,...,r m ] T , wenn∂L j f∂u h k(x) = 0, j = 1,...,r k –1 (10)a,ifür alle i, k∈{1,...,m} gilt und die nichtlineare Entkopplungsmatrix⎡∂L r 1∂u fh 1 (x)a,1 ∂L r 2D(x) =∂u fh 2 (x)a,1 ⎢ .⎣ ∂L r m∂u fh m (x)a,1∂∂u a,2L r 1fh 1 (x) ...∂∂u a,2L r 2fh 2 (x) ....∂L r m∂u fh m (x) ...a,2⎤∂L r 1∂u fh 1 (x)a,m ∂L r 2∂u fh 2 (x)a,m ..⎥∂L r ⎦m∂u fh m (x)a,m(11)für alle relevanten Zustände x regulär ist [12] 1 . Ist diesder Fall, so gilt∂L r k∂u fh k (x) ̸= 0 (12)a,ifür mindestens ein i ∈{1,...,m}. Dabei wird durch denOperator L f die Lie-Ableitung entlang des Vektorfeldes fdargestellt. Ist der relative Grad bestimmt, kann die E/A-Normalform des Systems berechnet werden. Als neueKoordinaten dienen dabei[y T 1 ,...,yT m , ηT ] T = φ(x) (13)mity k = [y k , ẏ k ,...,y (r k–1)k] T= [h k (x), L f h k (x),...,L r k–1fh k (x)] T ,k = 1,...,m und dem ergänzenden Vektorm∑η = φ η (x) ∈ R n s–r ges, r ges = r i .1 Bei einigen MIMO-Systemen ist der (vektorielle) relative Grad nichtdefiniert. Oftmals erlaubt aber eine dynamische Erweiterung die Angabeeines relativen Grades [12].i=1157

MethodenDamit lautet das System in der nichtlinearenNormalform mit k = 1,...,mE/A-y (r k)k= α k (y 1 ,...,y m , η, u a ), (14)˙η = β(y 1 ,...,y m , η, u a ). (15)Die Gleichung (14) stellt dabei die E/A-Dynamik mit derOrdnung r ges dar und Gleichung (15) repräsentiert dieinterne Dynamik des Systems mit der Ordnung n s – r ges .Für den Fall, dass r ges = n s gilt, existiert keine interneDynamik und es handelt sich um ein flaches System mitflachen Ausgängen y k .Schließlich werden auch die Randbedingungen an dieE/A-Normalform angepasst:y k (0) = yk,0 ∗ , y k(T) = yk,T ∗ ,y∗(i) ∣ = 0, (16)t=0,Tη(0) = η ∗ 0 = φ η(x ∗ 0 ), η(T) = η∗ T = φ η(x ∗ T ) (17)mit k = 1,...,m und i = 1,...,r k –1.3.3 SysteminversionAus Gleichung (14) ist ersichtlich, dass die Eingangsgrößenu ∗ a,k direkt auf die höchsten Ableitungen y∗(r k)kderAusgänge wirken. Um Stellgrößenbeschränkungen berücksichtigenzu können, werden nun Funktioneny ∗(r k)k= ˆα k (18)angesetzt. Diese Funktionen werden später so gewählt,dass die Stellgrößenbegrenzungen nicht verletzt werden.Unter der Voraussetzung, dass die nichtlineare EntkopplungsmatrixD(x) für alle relevanten Zuständeregulär ist, wird zunächst die Inverse der E/A-Normalform mit y ∗(r k)k= ˆα k gebildet. Es ergibt sich aus(14)u ∗ a = α–1 (y ∗ 1 , ˆα 1,...,y ∗ m , ˆα m, η ∗ ) (19)mit α –1 = [α 1 –1,...,α–1m ]T . Auf diese Weise lässt sichdie Steuertrajektorie u ∗ a in Abhängigkeit von der Ausgangstrajektoriey ∗ (t), der internen Dynamik η ∗ (t) undder Ansatzfunktionen ˆα = [ˆα 1 ,...,ˆα m ] ermitteln. Dieinterne Dynamik kann berechnet werden, indem die Ausgangstrajektoriein (15) eingesetzt wirdk˙η ∗ = β(η ∗ , y ∗ 1 , ˆα 1,...,y ∗ m , ˆα m), η ∗ (0) = η ∗ 0 , η∗ (T) = η ∗ T(20)Ist die interne Dynamik bestimmt, lässt sich mit Gleichung(19) auch die Steuerfolge u ∗ a berechnen.Die Lösungen von y ∗ (t), η ∗ (t) sowieu ∗ a (t) hängen alsovon der Wahl von ˆα k ab, auf die im nächsten Abschnitteingegangen wird. Für ˆα k werden zusätzliche Randbedingungenaufgestellt, damit die Steuerfolge bei t = 0undt = T stetig ist und die Randbedingungen (16) einhält.3.4 Lösung der RandwertaufgabeUm die Randwertaufgabe mit den n s Differentialgleichungenund 2n s Randbedingungen zu lösen, werden fürden Ansatz der ˆα k -Funktionen n s freie Parameterp k = (p k,1 ,...,p k,qk ),m∑q k = n s (21)k=1benötigt, die in insgesamt m Ansatzfunktionen Ψ k (t, p k ),t ∈ [0, T] vorgesehen werden. Bei der Wahl der Ansatzfunktionenist ebenfalls zu berücksichtigen, dass dieSteuerfolge bei t = 0undt = T stetig ist, d. h., Bedingung(16) erfüllt ist. Die Funktionenq∑ k [ ( t) i+1]tΨ k (t, p k ) = p k,i –T Ti=1(22)erfüllen diese Forderung. Werden diese nun in (19) und(20) eingesetzt, ergibt sich die Stellgrößenfolgeu ∗ Ψ = α–1 (y ∗ 1 , Ψ 1(t, p 1 ),...,y ∗ m , Ψ m(t, p m ), η ∗ ) . (23)Anhand von u ∗ Ψ kann nun überprüft werden, ob die Stellgrößenbeschränkungeneingehalten werden. Wird eineBeschränkung verletzt, müssen die Ansatzfunktionen ˆα kwie folgt umgeplant werden⎧⎨Ψ k (t, p k ), wenn u Ψ,j ∈[u min,j , u max,j ]ˆα k =∀j = 1,...,m,⎩α k (y ∗ 1 ,...,y∗ m , η∗ ,û), sonst(24)für alle k = 1,...,m mit û = [û 1 ,...,û m ] T und⎧⎪⎨ u min,j , wenn u Ψ,j u max,j .(25)Um die Steuerfolge zu berechnen, muss das Randwertproblemmit den ˆα k -Funktionen in Abhängigkeit derParameter p k gelöst werden. Dabei ist die TransitionszeitT im Hinblick auf die Stellgrößenbegrenzungen sozu wählen, dass eine Lösung gefunden werden kann. Istsie zu klein gewählt, so ist das Problem aufgrund derStellgrößenbeschränkung nicht lösbar und T muss vergrößertwerden. Zur Lösung der Randwertaufgabe kanndie MATLAB-Funktion bvp4c [17] verwendet werden.3.5 Ergänzung um Berücksichtigungder StellratenbegrenzungenBetrachtet wird das nichtlineare MIMO-Systemẋ s = f s (x s , u a ), x s (0) = x s,0 ,y s,i = h s,i (x s ), i = 1,...,m . (26)Neben der Stellgrößenbegrenzung soll auch die Begrenzungder Stellrate ˙u a = [˙u a,1 ,..., ˙u a,m ] T berücksichtigtwerden. Dabei wird zur Vereinfachung der Schreibweise158

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◮◮◮x s anstelle von x s,v und u a anstelle von u a,v verwendet. Esgilt also˙u a,k (t) ∈ [v min,k , v max,k ], k = 1,...,m , (27)u a,k (t) ∈ [u min,k , u max,k ], k = 1,...,m . (28)Angesichts der Ausführungen des vorigen Abschnitts istes naheliegend, auch der zusätzlichen Stellratenbegrenzungdurch Umplanen der Ansatzfunktion zu begegnen.Dazu findet das Aktormodell (2) Verwendung, wodurcheine Begrenzung des Aktoreingangs u aufu k ∈[u min,k , u max,k ], k = 1,...,m (29)erforderlich wird. Durch das Umplanen der Ansatzfunktionenwird sichergestellt, dass (27) und(29) erfüllt sind.Ist dies der Fall, wirken sich die Sättigungsfunktionen in(2) nicht aus und die Differentialgleichung des Aktormodellslautet˙u a = –Tu a + Tu , u a (0) = u a,0 . (30)Zur Durchführung des Vorsteuerungsentwurfs wird nunder erweiterte Zustandsvektor x = [x T s , uT a ]T ∈ R n mitn = n s + m verwendet und das erweiterte Systemẋ = f(x, u), x(0) = x 0 ,y i = h i (x), i = 1,...,m (31)mit[ ]fs (xf(x, u) = s , u a ), h–Tu a + Tui (x) = h s,i (x s ) (32)gebildet. Die Erweiterung des Systems muss auch beiden Randbedingungen berücksichtigt werden. Für x s sinddiese wiederum durch (9) gegeben. Hinzu kommen jedochdie Bedingungenu a (0) = u ∗ a,0 , u a(T) = u ∗ a,T (33)für das Aktormodell. Insgesamt ergeben sich also dieRandbedingungen[ ][ ]x(0) = x ∗ x0 = ∗s,0xu ∗ , x(T) = x ∗ T = ∗s,Ta,0u ∗ . (34)a,TLösung der RandwertaufgabeDie Steuerfolge u ∗ Φ kann wieder nach der Transformationdes Systems in die E/A-Normalform und unter Verwendungder Ansatzfunktionen (22) bestimmt werden.Dabei ist zum einen zu beachten, dass bei Bildung derE/A-Normalform bzw. bei der Berechnung des relativenGrades das erweiterte System (31) mit dem neuen Eingangsvektoru anstelle von u a verwendet werden muss.Zum anderen gilt für die Parameter der Ansatzfunktionnun aufgrund des erweiterten Zustandsvektorsm∑p k = (p k,1 ,...,p k,qk ), q k = n . (35)k=1Mit Hilfe der Beziehungu ∗ Ψ = α–1 (y ∗ 1 , Ψ 1(t, p 1 ),...,y ∗ m , Ψ m(t, p m ), η ∗ ) (36)kann die benötigte Stellgröße berechnet werden. Aufgrundder zusätzlichen Stellratenbegrenzung erfolgt nundas Umplanen der Ansatzfunktion gemäß⎧Ψ k (t, p k ) , wenn u Ψ,j ∈[u min,j , u max,j ],⎪⎨∧˙uˆα k =a,j ∈[v min,j , v max,j ],∀j = 1,...,m ,⎪⎩α k (y ∗ 1 ,...,y∗ m , η∗ ,û), sonst.(37)Zur Berechnung von ˙u a,j wird Gleichung (30) verwendet.Unter Verwendung der inversen E/A-Transformation[ ]xsx = = –1 ( [y Tu1 ,...,yT m , ηT ] T) (38)akann u a und somit zusammen mit u ∗ Ψ auch ˙u a ermitteltund zum Umplanen der Ansatzfunktion herangezogenwerden. Dazu muss û so berechnet werden, dass wederdie Stellgrößen- noch die Stellratenbeschränkung verletztwird. In einem ersten Schritt wird zunächst û so modifiziert,dass die Stellgrößenbegrenzung eingehalten wird,d. h.,⎧⎪⎨ u min,j , wenn u Ψ,j u max,jmit j = 1,...,m. Anschließend wird die Einhaltung derStellratenbegrenzung überprüft. Dazu wird abhängig vonũ die modifizierte Steuerfolge û berechnet gemäß⎧⎪⎨ v min,j /τ j + u a,j , wenn ˙u a,j v max,j .Die Stellrate ˙u a,j kann hierbei unmittelbar aus (30) ermitteltwerden, da u a mit Hilfe der inversen Transformationx = –1 ([y T 1 ,...,yT m , ηT ] T ) berechnet werden kann. Nunkann die Steuerfolge bestimmt werden, indem wiederumdas Randwertproblem mit den ˆα k -FunktioneninAbhängigkeitder Parameter p k gelöst wird.Dabei ist zu beachten, dass für den Vorsteuerentwurfdie Stellbegrenzungen angepasst werden müssen. Es giltim vorliegenden Fall u a,k (t) ∈ [–κ v,k u max,k , κ v,k u max,k ]und˙u a,k (t) ∈ [–κ v,k v max,k , κ v,k v max,k ]mitk = {1, 2, ..., m}.Bemerkung 1. Wird der Eingang u des Aktormodells (2)gemäß (39) auf±u max,i beschränkt, so wird nach einigenIterationen der Funktion bvp4c auch der Aktorausgangbeschränkt sein. Eine deutliche Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeitlässt sich erzielen, wenn vor demUmplanen gemäß (40) noch der Ausgang u a des Aktormodellsbzgl. der Stellgröße beschränkt wird.159

MethodenBemerkung 2. In [10] werden neben Stellgrößenbegrenzungenauch Begrenzungen der Ausgangsgrößenberücksichtigt. Dies ist natürlich auch bei der vorgestelltenErweiterung möglich und kann in analoger Weiseerfolgen. Hierzu sei auf [10] verwiesen.4 Weich-strukturvariable RegelungIn der Zwei-Freiheitsgrade-Struktur dient die Regelungdazu, den Fehlerzustand e x = x s – x s,v zu stabilisieren, derdurch die Differentialgleichungė x = ẋ s – ẋ s,v= A s x s + B s (u a,v + u a,r )–ẋ s,vbeschrieben wird. Einsetzen von x s = e x + x s,v ergibtė x = A s e x + B s u a,r + A s x s,v + B s u} {{ a,v}–ẋ s,v (41)ẋ s,v= A s e x + B s u a,r . (42)Folglich ist die Aufgabe der Regelung, die Ruhelage e x = 0des Systems (42) zu stabilisieren.Für SISO-Systeme mit linearer Dynamik, dieausschließlich einer Stellgrößenbeschränkung |u a,i |≤u max,i unterworfen sind, wird in [1; 2] die weichstrukturvariableRegelung mittels impliziten Ljapunov-Funktionen (iWSVR) angegeben. Bei ihr wird durchVariation der Reglerparameter in Abhängigkeit vom Systemzustanddie Stellgrößenbegrenzung gut ausgenutzt,was kurze Ausregelzeiten ermöglicht. Eine weitere Verbesserungdes Ausregelverhaltens ist durch die zusätzlicheVerwendung sättigender Regelgesetze erreichbar [18].Auch im Falle einer zusätzlichen Stellratenbeschränkungweist eine iWSVR Vorteile auf. Für die obengenannten Versionen wurde in [15] eine sättigendeweich-strukturvariable Regelung für Systeme unterStellgrößen- und Stellratenbegrenzung angegeben. Wiein [14] gezeigt, hat diese klassische Version jedoch denNachteil, dass für Systeme mitn∑Re {λ i (A)} > 0,i=1wobei λ i (A) den i-ten Eigenwert der Strecke A bezeichnet,kein Regler entworfen werden kann. In [14] wirdeine modifizierte Selektionsstrategie vorgestellt, die diesenNachteil vermeidet. Im Rahmen dieses Beitrags wird dasVerfahren aus [14] auf MIMO-Systeme und zusätzlicheStellratenbegrenzungen erweitert.[ Zunächst ] wird der erweiterte Zustandsvektor x =xTs u T Ta eingeführt. Es ergibt sich das Gesamtsystemẋ = Ax + Bsat vmax(K1 x + Tsat umax (u) ) , (43)[ ] [As BA =s0, B = , K0 0I]1 = [ 0 T ] (44)mit A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , K 1 ∈ R m×n und n = n s + m.4.1 Regelungsnormalformfür lineare MIMO-SystemeFür den Entwurf eines weich-strukturvariablen Reglersstellt sich die Regelungsnormalform als vorteilhaftheraus. Im Falle von MIMO-Systemen werden verschiedeneNormalformen in [21] vorgestellt. Eine ausführlicheBetrachtung findet sich ebenfalls in [20]. Dazu wird vorausgesetzt,dass die SteuerbarkeitsmatrixM b = [ B AB A 2 B ... A n–1 B ] (45)den Rang n besitzt. Unter Verwendung der Strategie dergleichlangen Ketten [21] ergibt sich zunächstP Gl =[b 1 , b 2 , ..., b m , Ab 1 , ..., Ab m ,...,A k1–1 b 1 ,..., A km–1 b m ], (46)wobei b i die i-te Spalte der Eingangsmatrix B =[b 1 b 2 ,...,b m ] bezeichnet. Die Matrix P Gl muss invertierbarsein. Daher werden nur Spalten A i b i hinzugefügt,wenn dadurch der Rang von P Gl vergrößert wird undA i–1 b i bereits hinzugefügt wurde. Gilt rang(P Gl ) = n, werdenkeine weiteren Spalten hinzugefügt. Anschließendwird die Inverse P –1Glberechnet, aus welcher die TransformationsmatrixƔ wie folgt gewonnen werden kann⎡ˆp T ⎤ρ 1ˆp T ρ 1A.⎡ˆp T ⎤ˆp T ρ11A k 1–1Gl = ˆp T 2⎢ ⎥→ Ɣ =ˆp T ρ 2⎣ . ⎦.. (47)ˆp T ˆp T ρn2A k 2–1.ˆp T ρ m⎢ . ⎥⎣ . ⎦ˆp T ρ mA k m–1P –1Darin entspricht ρ i dem Spaltenindex von A ki–1 b i in (46).Mit der Transformation ˜x = Ɣ x ergibt sich die transformierteDarstellung mit der Systemmatrix⎡⎤0 1 0 ... 0 0 ... 0. . .. . . . 0 ... 1 0 ... 0–a 1,1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ –a 1,nà =. ..0 ... 0 0 1 0 ... 0. ⎢ .. . . . .⎥⎣ 0 ... 0 0 ... 1 ⎦–a m,1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ –a m,n160

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◮◮◮und der Eingangsmatrix⎡⎤0 ... 0..0 ... 01 ˜b 1,2 ˜b1,3 ... ˜b1,m0 0 ... 0. .˜B =0 0 ... 0.0 1 ˜b2,3 ... ˜b2,m.0 ... 0 0⎢.. .⎥⎣0 ... 0 0 ⎦0 ... 0 1Dabei bezeichnet ∗ Elemente, die im Allgemeinen vonNull verschieden sein können. Beispiele hierfür werdenin [23] angegeben. Im Rahmen der nun folgenden Ausführungenwerden die Vektorena j = [ a j,1 a j,2 ... a j,n] Tmit j ∈{1, 2, ..., m} benötigt. Das Ergebnis der Transformationhängt mit der Anordnung der Spalten b iin B zusammen. Da die Nummerierung der Eingängefrei wählbar ist, ist eine spaltenweise Umsortierung derEingangsmatrix stets möglich, so dass jedes steuerbareSystem in die obige Darstellung transformiert werdenkann.4.2 Implizite strukturvariable RegelungDie zugrunde liegende Idee einer weich-strukturvariablenRegelung ist die Variation des Reglers im Verlauf des Ausregelvorgangsin Abhängigkeit eines Auswahlparametersv ∈ (0, v]. Im MIMO-Fall lautet das Regelgesetz⎡k T 2,1 (v) ⎤⎢u = K 2 (x) = –K 2 (v)x = – ⎣.k T 2,m (v)⎥⎦ x . (48)Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann v = 1 festgelegtwerden. Jedem Regelkreis Â(v) = A – BK(v) wird einkontraktiv invariantes Gebiet G(v) zugeordnet, welchesmittels der Funktion g(x, v)G(v) = { x ∈ R n : g(x, v) < 0 } (49)definiert wird. Die Gebiete G(v) werden infinitesimaldicht geschachtelt, d. h., G(v – ɛ) ⊂ G(v) gilt für ein beliebigkleines ɛ > 0. Der dem Gebiet zugeordnete ReglerK(v) wird beim Eintritt der Trajektorie in das GebietG(v) aktiviert, d. h., wenn x(t) auf dem Rand des Gebietes∂G(v) = { x ∈ R n : g(x, v) = 0 } liegt, weshalb derAuswahlparameter v durch die Gleichungg(x, v) = 0 (50)implizit definiert ist. Ist die Selektionsstrategie (50) hinsichtlichv eindeutig lösbar, ist jedem Zustand x ∈ G(1)eindeutig ein Regler K(v) zugeordnet. Des Weiteren istg(x, v) so zu wählen, dass der geschlossene Regelkreisstabil ist. Die zuvor genannten Bedingungen sind erfüllt,falls der folgende Satz aus [3] erfüllt ist.Satz 1 ([3]). Die Differentialgleichung ẋ = f(x) mit derRuhelage x = 0 besitze für jeden Anfangswert aus einerUmgebung U 1 des Ursprungs eine stetige und eindeutigeLösung. Es existiere in einer MengeH = {(v, x) :0

Methodenin welchem die Zustandsrückführung H(v) nicht sättigt, mit i = {1, 2, ..., m}.DieVektorena ′ i werden in rekursiverh T 1,i (v) = â′ 1,i T D –1 (v)–a ′ iT ⎡, (55)a T ⎤ ⎡h T 2,i (v) = â′ 2,i T D –1 (v)– ( 1y T ⎤ ⎡a ′ i – k T 1,i), (56)a T i,1 â T G = ⎢ ⎥⎣k T 2,i (v) = â′ ∗,i T D –1 (v)–τ –1 ( )2. ⎦ , Y y T i,1 Q ⎤i,2i = ⎢ ⎥⎣ . ⎦ = â T i,2⎢. ⎥ (61)⎣ . ⎦i a′ Ti – k 1,i , (57) a T my T i,m â T i,m Qdie Menge V = {v ∈ N m : v i ∈{1, 2, 3}} sowie MatrizenΔ(v,W 1 , W 2 , W 3 ) =diag {δ(v 1 –1),δ(v 2 –1),...,δ(v m –1)} W 1Weise beginnend mit a ′ m gewählt:a ′ m = a m ,a ′ m–1 = a m–1 – ˜b m–1,m a ′ m ,+diag{δ(v 1 –2),δ(v 2 –2),...,δ(v m –2)} W 2+diag{δ(v 1 –3),δ(v 2 –3),...,δ(v m –3)} W 3 (53).m∑a ′ i = a i – ˜b i,j a ′ j . (58)j=i+1mit W i ∈ R m×n und{1, falls j = 0,In analoger Weise ergeben sich die Vektoren â ′ k,m :δ(j) =0, falls j ̸= 0â ′ k,m = â k,m ,benötigt. Nun kann der folgende Satz angegeben werden:â ′ k,m–1 = â k,m–1 – ˜b m–1,m â ′ k,m ,Satz 2. Gegeben sei das System (44), das Regelgesetz (48).und die Selektionsstrategie (51). Falls ein Polynom γ (v)m∑mit γ (v) > 0 für alle v ∈ [v min 1], eine Matrix R 1 ≻ 0 undâ ′ k,i = â k,i – ˜b i,j â ′ k,j (59)virtuelle Zustandsrückführungen H 1 (v), H 2 (v) existieren,so dassj=i+1mit k = {1, 2, ∗}. Durch die Wahl von H 1 (v), H 2 (v) undNR 1 + R 1 N ≺ 0,(54a)K 2 (v) entsprechend (55)–(57) wird es möglich, die Bedingungen(54b) unabhängig vom Selektionsparameter vR(v) ( A + BΔ ( v, H 1 (v), K 1 + TH 2 (v),darzustellen.K 1 + TK 2 (v) )) + ( A+BΔ ( Der folgende Satz gibt Entwurfsbedingungen für einev, H 1 (v),strukturvariable Regelung an, die einen Entwurf mittelsK 1 + TH 2 (v), K 1 + TK 2 (v) )) konvexer Optimierung erlauben.TR(v) ≺ 0,Satz 3. Gegeben sei das System (44), das Regelgesetz (48)∀v ∈ (0, 1], ∀v ∈ V (54b) mit der Reglermatrix (57), den Hilfsreglern (55), (56) unddie Selektionsstrategie (51). Falls Matrizen Q ≻ 0, Y 1 , Y 2und G(v) ⊆ L vmax (H 1 (v)) ∩ L umax (H 2 (v)) mit N =und Y ∗ existieren, so dassdiag(–k 1 , ..., –1, –k 2 , ..., –1, –k m , ...,–1) gilt, dann stabilisiertder Regler (48) mit der Auswahlstrategie (51) die QN + NQ ≺ 0,(60a)Ruhelage x = 0 des Systems (44).( ) ( ) T– ( )A + BG Q + Q A + BG BΔ v,Y1 ,TYBeweis. Der Beweis findet sich in Anhang A.1. □2 ,TY ∗–Δ ( ) Tv,Y 1 ,TY 2 ,TY ∗ B T ≺ 0, (60b)Bemerkung 3. Aufgrund der Terme v –k iim Regelgesetz,können für kleine Werte von v numerische Problemeauftreten. Deshalb wird ein Minimalwert v min > 0 festgelegt.für alle v ∈ V,[]Sobald dieser Wert erreicht ist, wird die konstante vmax,j 2 – γ (v)s 1,j(v) ỹ T 1,j – a′ jT D –1 (v)QZustandsrückführung K 2 (v min ) verwendet.ỹ 1,j – QD –1 (v)a ′ jQ∈ Σ n+1 [v],(60c)4.3 Konvexer Reglerentwurf[ u2Die Bedingungen aus Satz 2 sind noch nicht für einen effizientenReglerentwurf anwendbar. Durch eine geschickte2,j – QD –1 (v)ã ′ ∈ Σmax,j– γ (v)s 2,j (v) ỹ T 2,j – ã′ j T D –1 ](v)QỹjQ[v],Wahl der Reglermatrizen H 1 (v), H 2 (v) und K 2 (v) lässt(60d)sich die Entwurfsaufgabe aber als konvexes Optimierungsproblems k,j ∈ Σ[v], ∀k ∈{1, 2}, ∀j ∈{1, 2, ..., m} (60e)formulieren. Eine solche für den Entwurfgünstige Darstellung ergibt sich durch die Wahlmit ã ′ j = τ j–1 (a ′ j – k 1,j),162

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◮◮◮undỹ k,m = y k,m ,ỹ k,m–1 = y k,m–1 – ˜b m–1,m ỹ k,m ,.ỹ k,i = y k,i –m∑˜b i,j ỹ k,j (62)j=i+1sowie N = diag(–k 1 , ..., –1, –k 2 , ..., –1, –k m , ...,–1) gilt,dann stabilisiert der Regler (48) mit der Auswahlstrategie(51) die Ruhelage x = 0 des Systems (44).Beweis. Der Beweis findet sich in Anhang A.2.Bemerkung 4. In [14] wurde die Bedingung G(v) ⊂L(h T (v)) mit Hilfe eines Satzes aus [26] sichergestellt.Dies ist auch im vorliegenden Fall möglich. Zwecks einerkompakteren Darstellung wird hier die Formulierung alsSOS-Bedingung gewählt.Satz 3 erlaubt es, den Entwurf eines weichstrukturvariablenReglers auch im MIMO-Fall alskonvexes Optimierungsproblem zu formulieren. Dabeiist noch zu gewährleisten, dass das Gebiet möglicherAnfangszustände X 0 innerhalb der größten EllipseG(1) liegt. Es ist also sicherzustellen, dass x T R 1 x –1 < 0, ∀x ∈ X 0 gilt. Wird für X 0 ein Polyeder verwendet,ergibt sich mit Hilfe des Schur-Komplements darausunmittelbar[ ] 1 xT0,i≻ 0, i = {1, 2, ..., N} , (63)x 0,i Qwobei x 0,i die N Eckpunkte des Polyeders sind. Nun istnoch eine konvexe Gütefunktion zu wählen. Hier kannbeispielsweise die Abklingrate des mit dem Regler K 2 (1)geregelten Systems verwendet werden.Definition 1 ([6]). Die Abklingrate eines Systems ẋ = Âxist definiert als das größte δ, sodasslimt→∞ eδt ‖x(t)‖ = 0für alle Trajektorien x(t) gilt.Ist für ein bestimmtes δ die LMI( A + BG) Q + Q( A + BG) T– BTY∗ –Y T ∗ TBT ≺–2δQ (64)erfüllt, ist δ eine untere Abschätzung der Abklingrate. Einschnelles Ausregelverhalten ergibt sich aus der LösungvonOptimierungsproblem 1:Maximiere δ so, dassY 1 ,Y 2 ,Y ∗ ,Q≻0(60a)–(60e), (63), (64).Dieses Optimierungsproblem ist mit Hilfe einer Bisektionin δ auf einfache Weise lösbar. Im Rahmen dieser□Arbeit wurde das Interface YALMIP [22] zusammenmit dem Solver Sdpt3 [25] verwendet. Beim Entwurfist zu beachten, dass für die Verwendung in der Zwei-Freiheitsgrade-Struktur die Stellbegrenzungen angepasstwerden müssen. Es gilt ˙u a,k (t) ∈ [–(1 – κ v,k )v max,k ,(1–κ v,k )v max,k ]undu a,k (t) ∈ [–(1 –κ u,k )u max,k ,(1–κ u,k )u max,k ]mit k = 1,...,m.5 BeispielUm die Effektivität des Verfahrens zu demonstrieren,wird das linearisierte Modell eines Airbus A300 [7] alsBeispiel verwendet. Es lautet⎡⎤– 0,275 2,682 – 0,067 0– 0,994 – 0,125 – 0,003 0,074ẋ s = ⎢⎥⎣ 0,365 – 6,695 – 1,004 0 ⎦ x s– 0,002 0 1 0⎡⎤0,094 – 2,1690 0,038+ ⎢⎥⎣ 0,611 1,190 ⎦ u a ,0 0[ ]0 1 0 0y s =x s ,0 0 0 1wobei der Ausschlag des Querruders u a,1 und desSeitenruders u a,2 jeweils einer Stellgrößen- und Stellratenbegrenzungunterliegt. Die Stellgrößenbegrenzungensind |u a,1 |≤30π/180 rad, |u a,2 |≤25π/180 rad unddie Stellraten sind auf |˙u a,1 |≤30π/180 rad s –1 und|˙u a,2 |≤25π/180 rad s –1 begrenzt. Des Weiteren ist x s,1 dieSchiebewinkelgeschwindigkeit in rad s –1 , x s,2 der Schiebewinkelin rad, x s,3 die Rollrate in rad s –1 und x s,4 derRollwinkel in rad. In Anhang A.3 ist das sich aus derZustandserweiterung x = [x T s uT a ]T ergebende System inder Regelungsnormalform angegeben.Die Aufteilung des Stellbereichs zwischen inversionsbasierterVorsteuerung und Regler erfolgt mitκ u,i = κ v,i = 0,6 mit i = 1, 2. Demnach stehen 60 Prozentder Stellgröße bzw. Stellrate für die Vorsteuerungzur Verfügung. Zunächst wird das System in die E/A-Normalform transformiert. Mit Hilfe des in Abschnitt 3beschriebenen Verfahrens wird eine Trajektorie undeine Steuerfunktion für den Arbeitspunktwechsel vony s,0 = 0 nach y s,T = [0 30π/180] T berechnet. Beim Vorsteuerungsentwurfwird davon ausgegangen, dass derAnfangszustand x s (0) = 0 ist.Zum Entwurf des strukturvariablen Reglers wird{X 0 = x s :|x 1 |≤ 2π180 , |x 2|≤ 2π180 , |x 3|≤ 5π180 , |x 4|≤ 14π }180als Gebiet möglicher Anfangszustände angesetzt. Außerdemwird v min = 0,1 als untere Grenze für den163

MethodenAuswahlparameter verwendet. Sowohl für das Aktormodellder Vorsteuerung wie auch der Regelung wird vonu a,0 = 0 ausgegangen. Diese Wahl ist sinnvoll, da dasAktormodell als Teil der Vorsteuerung bzw. der Regelungerachtet wird und ein Anfangszustand u a,0 ̸= 0über Nebenbedingung (63) in Optimierungsproblem 1den Reglerentwurf zusätzlich beschränkt. Zur Simulationder Regelung wird der Fall eines vom Anfangszustandder Vorsteuerung unterschiedlichen Anfangszustandesx s (0) = [–2π/180 2π/180 –5π/180 –14π/180] Tder Strecke betrachtet. In Bild 4 ist der resultierende Ausregelvorgangmit den zugehörigen wirksamen Stellgrößenu a,i und Stellraten ˙u a,i dargestellt. Bild 5 zeigt die von derVorsteuerung bzw. der Regelung aufgebrachte Stellgrößebzw. Stellrate. Durch den Einsatz der strukturvariablenRegelung gelingt es, das System in den neuen Arbeitspunktzu überführen obwohl der Anfangszustand, aufdessen Basis die Vorsteuerung berechnet wurde, vom tatsächlichenAnfangszustand der Strecke deutlich abweicht.Dabei wird der verfügare Stellbereich von u a,1 sehr gutausgenutzt.ua,v,i/radua,r,i /rad˙ua,v,i /rad s −10,40,20−0,200,20,10−0,100,20−0,2−0,402224446t/s6t/s6t/s888u a,v,1u a,v,210u a,r,1u a,r,210˙u a,v,1˙u a,v,210121212y2/rad0,40,20−0,2−0,400,5246t/s2-DOF RegelungVorsteuerung81012˙ua,r,i /rad s −10,200˙u a,r,1˙u a,r,2−0,22 4 6 8 10 12t/sBild 5 Verlauf der wirksamen Eingangsgrößen u a,v,i der Vorsteuerungund u a,r,i der Regelung sowie die zugehörigen Stellraten ˙u a,v,i und ˙u a,r,i .Es wurde für die verfügbare Stellgröße- bzw. Stellrate die Aufteilungκ u,i = κ v,i = 0,6 mit i = 1, 2 gewählt.ua,i /rad˙ua,i/rad s −10−0,50,50−0,50246t/su a,1u a,2˙u a,1˙u a,20 2 4 6 8 10 12t/sBild 4 Verlauf des Ausregelvorgangs für einen Arbeitspunktwechselauf y s,T = [0 30π/180] T mit Anfangszustand x s = [–2π/180 2π/180–5π/180 – 14π/180] T der Strecke. Die Vorsteuerung wurde für einenAnfangszustand x s (0) = 0 berechnet. Das obere Bild zeigt dabei dengeplanten Verlauf von y 2 (gestrichelt) und den tatsächlichen Verlauf.Darunter sind die Stellgrößen- und Stellratenverläufe dargestellt.810126 ZusammenfassungIn diesem Beitrag wird eine Zwei-Freiheitsgrade Regelungfür lineare Systeme unter Stellgrößen- und Stellratenbegrenzungenvorgestellt. Dazu wird ein inversionsbasierterVorsteuerungsentwurf für Systeme unter ausschließlichenStellgrößenbeschränkungen auf eine zusätzlicheStellratenbegrenzung erweitert. Außerdem wurde eineErweiterung der weich-strukturvariablen Regelung aufMIMO-Systeme mit zusätzlichen Stellratenbegrenzungenvorgestellt und in der Zwei-Freiheitsgrade Struktur verwendet.AAnhangA.1 Beweis von Satz 2Beweis. Es ist zu beweisen, dass die Bedingungen ausSatz 2 die Bedingungen von Satz 1 sicherstellen.Zunächst werden die Bedingungen 1–3 aus Satz 1 betrachtet.Um Bedingung 1 zu überprüfen, wird diefür quadratische Formen gültige Abschätzung x T x ·λ max (R(v)) ≥ x T R(v)x verwendet [5]. Aus der Auswahl-164

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◮◮◮strategie (51) folgt x T R(v)x = 1. Für den Grenzwertx → 0 ergibt sich dann1limx→0 xT x ≥ limx→0 λ max (R(v(x))) = 0 , (65)weshalb lim x→0 λ max (R(v(x))) = ∞ gilt. Nun wird gezeigt,dass λ max (R(v)) mit R(v) = D –1 (v)R 1 D –1 (v) genaudann gegen Unendlich strebt, wenn v → 0 + gilt. AusR 1 ≻ 0 folgt für alle v ∈ (0, 1]0 < λ max (R(v)) < ∞ . (66)Gemäß [5] giltλ max (R(v)) ≥ λ min (R 1 )λ min (D –2 (v)). Daλ min (D –2 (v)) = v –2 für alle v ∈ (0, 1] gilt, ergibt sich derGrenzwertlimv→0 + λ max(R(v)) ≥ λ min (R 1 ) · limv→0 + v–2 = ∞ . (67)Aus (66) und(67) folgt λ max (R(v)) →∞ genau dann,wenn v → 0 + . Daraus folgt wiederum zusammen mit(65), dass für x → 0 der Grenzwert v → 0 + ausx T R(v)x = 1 resultiert und Bedingung 1 aus Satz 1 isterfüllt.Im nächsten Schritt wird Bedingung 2 betrachtet. Fürx ̸= 0 ergibt sichlimv→0 xT D –1 (v)R 1 D –1 (v)x ≥λ min (R 1 )·x T x·lim+ } {{ }v–2 ,v→0 +>0 } {{ }=∞weshalb für alle x ∈ G 1 \{0}, lim v→0 + g(x, v) = ∞ > 0gilt.Der Grenzwert für v → 1 – folgt aus der Definition desGebietes G(v): lim v→1 – g(x, v) = g(x,1)< 0. Demnach istBedingung 2 für alle x ∈ G(1) erfüllt.Um Bedingung 3 zu prüfen, wird die partielle Ableitungvon g(x, v) nachv,∂g(x, v)∂v= 1 v xT D –1 (v)(NR 1 + R 1 N)D –1 (v)x , (68)betrachtet. Diese ist endlich für alle (v, x) ∈ (0, 1] × G 1 \{0} und negativ falls die Matrix NR 1 + R 1 N negativ definitist. Letzteres wird durch (54a) sichergestellt.Schließlich ist noch Bedingung 4 zu überprüfen. Dazuwird g(x, v) nach der Zeit abgeleitet und gefordert, dassdiese zeitliche Ableitung negativ ist. Dies führt zu∂g(x, v)= ẋ T R(v)x + x T R(v)ẋ∂t= x T (A T R(v)+R(v)A)x +2x T (R(v)Bsat vmax K1 x+Tsat umax (K 2 (v)x) ) < 0 . (69)Ungleichung (69) ist sicher erfüllt, falls (54b) undG(v) ⊆ L vmax (H 1 (v)) ∩ L umax (H 2 (v)) erfüllt sind. Dieskann durch Herleiten einer oberen Grenze für ∂g(x, v)/∂tgezeigt werden. Für eine detaillierte Herleitung wird aufden Beweis von Satz 1 aus [15] verwiesen.□A.2 Beweis von Satz 2Beweis. Aufgrund der Wahl von H 1 (v), H 2 (v)und K 2 (v) lassen sich die Terme  v,1 (v) = A +BΔ ( v, H 1 (v), K 1 + TH 2 (v), K 1 + TK 2 (v) ) in (54b) unabhängigvom Selektionsparameter darstellen, es gilt ähnlichwie im SISO Fall v,1 (v) = 1 v D(v) v,1 D –1 (v)mit⎡⎤0 1 0 ... 0 0 ... 0. . .. . . . 0 ... 1 0 ... 0â T v,v 1 v,1 =. ..0 ... 0 0 1 0 ... 0.. . .⎢.. . ... .⎥⎣0 ... 0 0 ... 1⎦â T v,v mmit⎧⎨â 1,i , wenn v i = 1,â v,vi = â 2,i , wenn v i = 2,⎩â ∗,i , wenn v i = 3.Nach Einsetzen von R(v) und Multiplikation mit Q = R –11wird aus (54b) Bedingung (60b). Des Weiteren ist dieBedingung G(v) ⊆ L vmax (H 1 (v)) ∩ L umax (H 2 (v)) sicherzustellen,wonach |h T 1,j (v)x|≤v max,j und |h T 2,j (v)x|≤u max,jfür alle x ∈ G(v) undj = {1,...,m} gelten muss. Die maximaleStellgröße bzw. Stellrate innerhalb von G(v) ergibtsich zusup |h T k,j√h (v)x| = T k,j (v)R–1 (v)h k,j (v), k = {1, 2} .x∈G (v)Demnach müssen die Ungleichungenv 2 max,j – hT 1,j (v)R–1 (v)h 1,j (v) ≥ 0, ∀v ∈ [v min ,1]mit j ∈{1,...,m} erfüllt sein. Unter Verwendung des Polynomsγ (v), welches die Bedingung γ (v) > 0 für allev ∈ [v min , 1] erfüllt, ergibt sich mit Hilfe der verallgemeinertenS-Prozedur [13]v 2 max,j – γ (v)s 1,j(v)–h T 1,j (v)R–1 (v)h 1,j (v) ≥ 0,wobei s 1,j (v) ∈ Σ[v] ist. Mit Hilfe des Schur-Komplements [6] lässt sich dies auch ausdrücken als[ v2max,j– γ (v)s 1,j (v) h T 1,j (v) ]∈ Σ n+1 [v]h 1,j (v) R(v)165

Methodenmit j ∈{1,...,m}. Einsetzen von h T 1,j(v) gemäß ihrer Definitionund die Kongruenztransformation mit [ ]1 00 D(v)ergibt[]vmax,j 2 – γ (v)s 1,j(v) â ′ 1,j T – a ′T j D(v)â ′ 1,j – ∈ Σ n+1 [v].D(v)a′ j R 1Schließlich führt die beidseitige Multiplikation mit [ ]1 00 Qzusammen mit den Substitutionen (61) zu(60c). Der Beweisvon (60d) erfolgt in analoger Weise. Als Polynomγ (v) kann beispielsweise γ (v) = (v – v min )·(1 – v) verwendetwerden.□A.3 Beispielsystem in RegelungsnormalformAn dieser Stelle wird das System aus Abschnitt 5 in derRegelungsnormalform nach [21] angegeben:⎡Ã =⎢⎣0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0,7661 –0,9729 0 –17,0997 –2,82350 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0,1570 0,0127 0 –3,4195 –0,4310[ 0 0 0 0 0 1˜B =0 0 1 0 0 0] T,[ –0,0949 0 0 2,1638 0,0383 0˜C =0,6111 0 0 1,1889 0 0].⎤,⎥⎦DanksagungWir danken den Reviewern für deren Anregungen, diesehr zur Verbesserung des Artikels beigetragen haben. DesWeiteren bedanken wir uns für die Förderung des Forschungsvorhabensdurch die Konrad-Adenauer-Stiftung.Literatur[1] J. Adamy, „Strukturvariable Regelungen mittels impliziterLjapunov-Funktionen“, VDI Fortschrittsberichte, Reihe 8, Nr. 271,(1991).[2] J. Adamy, A. Flemming, „Soft Variable Structure Control:A Survey“, Automatica 40 (2004), Nr. 11, S. 1821–1844.[3] J. Adamy, „Implicit Lyapunov Functions and Isochrones of LinearSystems“, IEEE Transactions on Automatic Control 50 (2005),S. 874–879.[4] A. Bateman, Z. Lin, „An Analysis and Design Method for LinearSystems under Nested Saturation“ Systems and Control Letters 48(2003), S. 41–52.[5] D. S. Bernstein, „Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulaswith Application to Linear System Theory“ Princeton UniversityPress, (2005).[6] S. Boyd, L. E. Ghouli, E. Feron, V. Balakrishnan, „Linear MatrixInequalities in System and Control Theory“ Philadelphia SIAM(1994).[7] R. Brockhaus, „Flugregelung“ Springer Verlag, 2. Auflage, (2001).[8] M. 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Klaus Kefferpütz promoviert amFachgebiet Regelungstheorie und Robotik der TUDarmstadt im Bereich nichtlineare Regelungen.Hauptarbeitsgebiet: Systeme mit Stellgrößen- undStellratenbeschränkungenAdresse: TU Darmstadt, FB Elektro- und Informationstechnik,FG Regelungstheorie und Robotik,Landgraf-Georg-Str. 4, 64283 Darmstadt,E-Mail: kkefferp@rtr.tu-darmstadt.de166

Zwei-Freiheitsgrade-Regelung◭◭◭Dipl.-Ing. Carlo Ackermann promoviert am Institutfür Automatisierungstechnik und Mechatronikder TU Darmstadt. Hauptarbeitsgebiet:Regelung der Querdynamik von Kraftfahrzeugen.Adresse: TU Darmstadt, FB Elektro- und Informationstechnik,FG Regelungstechnik undProzeßautomatisierung, Landgraf-Georg-Str. 4,64283 Darmstadt,E-Mail: cackermann@iat.tu-darmstadt.deProf. Dr.-Ing. Jürgen Adamy ist Leiter des FachgebietesRegelungstheorie und Robotik im FachbereichElektro- und Informationstechnik der TUDarmstadt. Hauptarbeitsgebiete: Regelungsverfahren,Computational Intelligence, autonomemobile Roboter.Adresse: TU Darmstadt, FB Elektro- und Informationstechnik,FG Regelungstheorie und Robotik,Landgraf-Georg-Str. 4, 64283 Darmstadt,E-Mail: adamy@rtr.tu-darmstadt.de167