Übungsaufgaben zur Quantenmechanik

Übungsaufgaben zur Quantenphysik, G.Theiser Seite 11. (BW 4, 1.Auflage 1992, S.40, A 3 )Erkläre, warum bei klassischen Objekten die Ortsmessung den Ablauf des Vorganges praktisch nichtverändert!Die Ortsunschärfe x ist bei großen, klassischen Objekten sehr groß und daher ist gemäßUnschärferelation p⋅ x h 2 die Impulsunschärfe p h sehr klein, was den Ablauf nicht2⋅ xnennenswert stört.2. (BW 4, S.41, A 1 )Wiederhole die Größenordnungen der Masse und des Durchmessers von Atom, Atomkern und Elektron!(1) Atom(kern) – Masse: 10 −26 kg , 1u=1,66⋅10 −27 kg(2) Atom-Durchmesser: 10 −10 m=1 Ang(3) Atomkern-Durchmesser: 10 −15 −10 −14 m(4) Elektron-Durchmesser: < 10 −18 m(5) Elektron-Masse: 10 −30 kg3. (BW 4, S.41, A 2 )Mit Hilfe der Heisenbergschen Ungleichung p⋅ x h 2 ( h≈10 −34 Js ) lässt sich derDurchmesser des Wasserstoffatoms im Grundzustand (n=1) abschätzen. Im Grundzustand beträgt dieBindungsenergie des Elektrons 13,6 eV. Aus der klassischen Energie-Impuls-Beziehung p=2⋅m⋅Elässt sich die Größenordnung des Impulses des Elektrons ermitteln. Rechne nach!E=13,6 eV ≈2,17896⋅10 −18 J (TI89) , x= h2⋅p ≈10−34m2⋅2,1⋅10 −24≈2,4⋅10−11p=2⋅10 −30 ⋅2,2⋅10 −18 ≈2,1⋅10 −24 kg⋅ms4. (BW 4, S.41, A 3 )Begründe, warum es bei dieser Abschätzung hinreichend ist, mit der klassischen Energie-Impulsbeziehung zu operieren (und nicht mit der relativistischen)!Die Ruhmasse des Elektrons beträgt 10 −30 kg .E=m⋅c 2 ⇒ E=10 −30 ⋅3⋅10 8 2 =9⋅10 −14 J =561736 eV !Die Bindungsenergie des Elektrons von 13,6 eV ist im Vergleich dazu recht klein und trägt zurGesamtenergie nur unwesentlich bei! Relativistisch müsste gemäß der Formel E 2 =m 0 2 ⋅c 0 4 p 2 ⋅c 02gerechnet werden, was2,0875⋅10 −24 kg⋅msfür den Impuls ergäbe.5. (BW 4, S.41, A 4 )Berechne die Größenordnung von Impuls und Energie eines Elektrons, das im Atomkern eingesperrt ist!Für die Größenordnung des Impulses gilt p≈ h2⋅ xDurchmesser ist. Demgemäß gilt p≈ h2⋅ x = 10−34 kg⋅m2⋅10 −14≈5⋅10−21 s, wobei x≈10 −14 m der Atomkern-Gemäß p=2⋅m⋅E gilt für die Energie E= p22m =5⋅10−21 22⋅10 −30 =1,25⋅10 −11 ≈10 8 eV =10 2 MeV ..

Übungsaufgaben zur Quantenphysik, G.Theiser Seite 26. (BW 4, S.41, A 5 )Begründe mit Hilfe der Unschärfe, dass die Quantenmechanik bei Objekten von der Größe des Atoms zurBeschreibung besser geeignet ist als die klassische Mechanik!Klassische Mechanik: Ort und Zeit, Impuls und Energie kann für jeden Zeitpunkt exakt angegeben werden.Quantenmechanik: Aufgrund der Unschärfe kann kein exakter Aufenthaltsort, keine Bahn, Geschwindigkeitusw. angegeben werden.7. (BW 4, S.41, A 6 )Erkläre, was man aus der Sicht der Quantenmechanik gegen die Meinung einwenden kann, dass einNeutron aus einem Proton und einem Elektron besteht!Die Masse eines Elektrons, das auf den Raum eines Neutrons von d = 10 -15 m eingesperrt wäre, würdefolgende Größe haben (Berechnung analog A 4 ): p≈h2⋅ x = 10−34 kg⋅m 22⋅10 −15≈5⋅10−20 , weiters wäre E= p2s2m =5⋅10−20 =1,4⋅10 −9 J und somit2⋅10 −30m= E 1,4⋅10−9c2=3⋅10 8 2 =1,5⋅10−26 kg , womit die Masse des Elektrons alleine schon wesentlich größer wäreals die des Neutrons bzw. Protons von ca. 10 -27 kg!8. Leite aus der Unschärferelation und der potentiellen Energie im Coulombfeld die Größe derFeinstrukturkonstante (Kopplungskonstante) für die elektromagnetische Kraft her!Jede der 4 fundamentalen Kräfte wird durch virtuelle Teilchen vermittelt, die mit einer bestimmtenWahrscheinlichkeit aus vorhandener Energie erzeugt werden. Ein Maß für diese Wahrscheinlichkeit ist dieFeinstrukturkonstante . Herleitung:(1) Wir gehen aus von der vorhandenen Energie E= h⋅c 0mit der Reichweite r.rDiese Formel erhalten wir aus der vereinfachten Heisenbergschen Ungleichung für Energie und Zeit: E⋅t h 2Vereinfacht lässt sich schreiben: E⋅t≈h . Wir multiplizieren die Gleichung mit c 0:E⋅t⋅c 0≈h⋅c 0 , wobei t⋅c 0=r die Reichweite der Kraft, d.h. des virtuellen Teilchens, darstellt.Also gilt E⋅r≈h⋅c 0 . Diese Gleichung wird durch r dividiert: E≈ h⋅c 0, womit wir obige Formelrerhalten.(2)Mit welcher Wahrscheinlichkeit aus diesem Energiebetrag tatsächlich virtuelle Teilchen entstehen, wirddurch die Kopplungskonstante A beschrieben (die im Falle der elektromagnetischen WechselwirkungFeinstrukturkonstante genannt wird):E= A⋅ h⋅c 0. (Die wirkende Kraft ist dann proportional zu E)rFür die elektromagnetische Kraft lässt sich A durch Vergleich mit der Potentiellen Energie im Coulombfeldzweier Einheitsladungen (z.B. Elektronen , Ladung Q = e) im Abstand r bestimmen:E= e2⋅ 1 4⋅ 0r = A⋅h⋅c 0, woraus A freigestellt werden kann:re 2A=4⋅ 0⋅c 0⋅h =e2_ coul 22⋅ 0⋅c 0⋅h =1,6⋅10−19 ≈0,007278≈ 12⋅ 0⋅c 0⋅h137 . Beachte: h= h2 .Mittels der Kopplungskonstante A lassen sich die „Intensitäten“ der 4 Fundamentalkräfte anschaulichvergleichen (siehe Tabelle im BW !).Rechne mittels TI89 nach und benutze die gespeicherten UNITS!