Die Fibonacci-Spirale

Mathematik/InformatikDie Fibonacci-ZahlenGierhardtFibonacci-ZahlenGeschichteIm Jahre 1202 wurde in Pisa ein Buch über das indischarabischeDezimalsystem von dem italienischen MathematikerLeonardo Fibonacci (1180–1250), auch LeonandoPisano (Leonardo aus Pisa) veröffentlicht. Darin formulierter auch die berühmte Kaninchen-Aufgabe:Zu Beginn eines Jahres gibt es genau ein Paar neugeborenerKaninchen. Dieses Paar wirft nach 2 Monatenein neues Kaninchenpaar und dann monatlich jeweilsein weiteres Paar. Jedes neugeborene Paar vermehrtsich auf die gleiche Weise. Wie viele Kaninchenpaaregibt es nach einem Jahr, wenn keines der Kaninchen vorher stirbt? 1DefinitionDie Fibonacci-Zahlenfolge (a n ) ist wie folgt definiert:⎧⎨ 1 für n = 1a n = 1 für n = 2⎩a n−2 + a n−1 für n > 2Damit erhält man die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .QuotientenInteressant ist die Untersuchung des Quotientenana n−1zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder.Die Untersuchung mit einem Computerprogramm legt die Vermutung nahe,dass dieser Quotient für n → ∞ gegen einen Wert α konvergiert. Wenn man die Konvergenzannimmt, kann man den Wert von α auch berechnen. Nach der Definition derFolge gilta n+2 = a n + a n+1 .1 Der Font cmfib8 des Aufgabentextes stammt von Donald E.Knuth und verarbeitet bei der Angabevon Größenverhältnissen sämtliche Fibonacci-Zahlen bis 233.1

Division durch a n+1 ergibta n+2a n+1=a na n+1+ 1.Nimmt man an, dassa n+2 a n+1lim = lim = α,n→∞ a n+1 n→∞ a nso erhält man die Gleichungα = 1 α + 1bzw. die quadratische Gleichungα 2 = 1 + α bzw. α 2 − α − 1 = 0mit der positiven Lösungα = 1 2 + √14 + 1 = 1 2 + √54 = 1 + √ 52= 1,618033989 . . .Goldener SchnittEine Strecke soll nach dem Verfahren des Goldenen Schnitts geteilt werden. Dann verhältsich die kleinere Teilstreckenlänge zur größeren wie die größere zur Länge der Gesamtstrecke.1 − xxHier muss dann gelten:x1 − x = 1 − x1Dann erhält man nach Multiplikation mit 1 − xx = (1 − x) 2 ⇐⇒ x = 1 − 2x + x 2 ⇐⇒ x 2 − 3x + 1 = 0Als Lösungen erhält manx = 3 2 ± √94 − 1 = 3 2 ± √54 = 1 ± √ 522

SpirallängeFür das oben dargestellte goldenene Rechteck seien die Seitenlängen 1 und φ =1,618033989 . . .. Das nächstkleinere Quadrat hat dann die Seitenlänge φ − 1, was aberwegen der Beziehung φ = 1 + 1 zu 1 vereinfacht werden kann. Dies gilt für alle weiterenQuadrate auch, d.h. die nächstkleinere Seitenlänge a n+1 eines Quadrates ergibt sichφ φjeweils durch Multiplikation der Quadratseitenlänge a n mit 1 : φa n+1 = 1 φ · a n für n > 1.Es gilt damita 1 = 1; a 2 = 1 ( ) 2 ( n−11 1φ ; a 3 = ; · · · a n =φφ)Die Länge eines Viertelkreises v n ist jeweils die Quadratseitenlänge multipliziert mit π 2 .Die Gesamtlänge S der Spirale ist dannS =∞∑v n =i=1∞∑i=1π2 a n = π 2∞∑( ) i−1 1= π φ 2i=1∞∑( i 1φ)i=04

Die Summe ist eine geometrische Reihe, die konvergiert, weil | 1 | < 1. Damit ergibt sichφS = π 12 1 − 1 φWegen φ − 1 = 1 φ= π 2φφ − 1ergibt sich zusammenfassendS = π 2 φ2 = 4,112398173 . . . .Eine nichtrekursive Formel für die Fibonacci-ZahlenDas Verhältnis des goldenen Schnittes ist φ = 1+√ 5= 1,618033989 . . .. φ ist auch Lösung2der quadratischen Gleichung x 2 − x − 1 = 0. Die zweite Lösung istϱ = 1 − √ 52= 1 −(1 + √ 52)= 1 − φ = −0,618033989 . . .Nun seien Potenzen von φ betrachtet (die gleichen Überlegungen gelten dann auch fürϱ. Direkt aus der quadratischen Gleichung folgtφ 2 = 1 + φ.Multiplikation der Gleichung mit φ und Ersetzen von φ 2 liefert jeweilsφ 3 = φ + φ 2 = φ + (1 + φ) = 2φ + 1φ 4 = 2φ 2 + φ = 2(1 + φ) + φ = 3φ + 2φ 5 = 3φ 2 + 2φ = 3(1 + φ) + 2φ = 5φ + 3Man erkennt, dass man jede Potenz von φ als Linearkombination von φ und 1 schreibenkann, wobei die Koeffizienten die Fibonacci-Zahlen (a n ) sind. Mit vollständiger Induktionzeigt man schließlich (ebenso für die zweite Lösung ϱ):φ n+2 = a n+2 φ + a n+1 für alle n ∈ IN.5

ϱ n+2 = a n+2 ϱ + a n+1 für alle n ∈ IN.Subtrahiert man die beiden Gleichungen, so ergibt sich(φ n+2 − ϱ n+2 1 + √ 5= a n+2 (φ − ϱ) = a n+2 − 1 − √ )5 √= a n+2 5,2 2wodurch man die nichtrekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen (Formel von Binet)erhält:⎛(a n+2 = √ 1 (φ n+2 − ϱ n+2) = √ 1 ⎝5 5Indexmäßig vereinfacht erhält man(( )a n = √ 1n (− 51 + √ 521 − √ 521 + √ ) n+2 (5−2) n )1 − √ ) ⎞ n+25⎠2vorerst für n > 2. Für n = 1 und n = 2 bestätigt man sie direkt, so dass die Formeldann für alle Fibonacci-Zahlen gilt.6