Übungsblatt 2 vom 18.04.2013

Übungen zurPhysik der kondensierten Materie IIProf. Dr. D. Grundler SS 2013Blatt 2Abgabe der bearbeiteten Aufgaben (max. in Zweiergruppen) bis Donnerstag, 25.04.2013, als pdfoder in Papierform in Absprache mit dem jeweiligen Betreuer der Übungsgruppe. Besprechungder Aufgaben in der Woche vom 29.04.13 - 03.05.2013. Die Übungsgruppen 2, 2b, 3 am Mi,01.05. nden nicht statt (Maifeiertag). Bitte hier in dieser Woche auf die übrigen Übungsgruppenausweichen (Di, 14-15.30 Raum C.3203; Do, 12.15-13.45, Raum C.3201; Do, 10.15-11.45C.3202).Aufgabe 2.1: De Haas-van Alphen-EektDurch Anlegen eines Magnetfeldes B an ein Metall werden Elektronen im k-Raum senkrechtzu B auf Kreisbahnen mit diskreten Energiewerten gezwungen (Landau-Quantisierung):E n = (n + 1 2 )¯hω cmit der Zyklontronfrequenz ω ca) Berechnen Sie - in Abhängigkeit der Stärke des Magnetfeldes B - die Fläche S im k-Raum senkrecht zu B, die von der Kreisbahn des n-ten Landau-Levels umschlossenwird!Im dreidimensionalen Fall bleibt die Bewegung der Elektronen parallel zu B unverändertund die Eletronen bewegen sich im k-Raum auf Landau-Zylindern mit Orientierung parallelzu B. Mit Änderung des Magnetfeldes B überstreichen diese Landau-Zylinder nundie Fermi-Kugel des Metalls, was zu Oszillationen der inneren Energie U und damit zumessbaren Oszillationen der Magnetisierung M = ∂U/∂B führt (De Haas - van Alphen-Eekt). Diese Methode eignet sich hervorragend zum Vermessen von Fermi-Flächen vonMetallen.Abbildung 1: Fermi-Fläche von Gold innerhalb der ersten Brillouin-Zone

) Begründen Sie qualitativ, warum nur extremale Schnittächen mit der Fermi-KugelS extr ⊥ B im k-Raum maÿgeblich für die Oszillationen sind!c) Es sei nun S eine extremale Schnittäche durch die Fermi-Kugel senkrecht zu B.Berechnen Sie die Periode ∆(1/B), für die zwei benachbarte Landau-Level n undn + 1 im k-Raum dieselbe Fläche S umschlieÿen!d) Betrachten Sie das Elektronengas von Gold als ein System freier Elektronen undbestimmen Sie, welche Gröÿe für die Extremaläche der Fermikugel von Gold indieser Näherung zu erwarten ist! (Ladungsträgerdichte von Gold: n = 5.90·10 22 cm −3 )e) Das Experiment liefert für ein in [001]-Richtung eines Gold-Einkristalls orientiertesMagnetfeld Oszillationen mit der Periode ∆(1/B) = 1.95 · 10 −5 T −1 . Weist das Magnetfeldin [111]-Richtung, werden zwei sich überlagernde Oszillationen mit Periodenvon ∆(1/B) = 2.05 · 10 −5 T −1 und ∆(1/B) = 6.0 · 10 −4 T −1 beobachtet. BerechnenSie jeweils die Gröÿe der Extremalächen S und interpretieren Sie die Ergebnisseanhand der abgebildeten Fermi-Fläche von Gold!Aufgabe 2.2: Magneto-Transport von ElektronenIm Leitungsband eines Halbleiters können Elektronen als unabhängige Teilchen mit Ladunge und eektiver Masse m ∗ aufgefasst werden. Die Bewegungsgleichung eines solchenElektrons im elektromagnetischen Feld kann geschrieben werden alsm ∗ dvdt = −eE − ev × B − v m∗ τwobei τ die mittlere Streuzeit und v die Geschwindigkeit des Elektrons ist.Es sei B = B 0 e z sowie n und j Dichte und Stromdichte der Elektronen.a) Im stationären Fall gilt E = ρ · j. Leiten Sie einen Ausdruck für den Widerstandstensorρ her!b) Bestimmen Sie die Mobilität µ im Fall B = 0! (µ ist deniert durch v = µE)Mit Hilfe moderner Epitaxieverfahren kann man sehr dünne Halbleiterschichten (< 1nm)unterschiedlicher Materialien auf ein Substrat aufbringen. Durch diese Technik ist es u.a.möglich, zweidimensionale Elektronengase herzustellen. In einem Experiment sollen Elektronendichten 2D und Mobilität µ einer solchen Probe bestimmt werden, die ein zweidimensionalesElektronengas enthält. Hierzu wurde die Probe in der in Abb 2 gezeigtenGeometrie für Transportmessungen präpariert (Hall-Bar-Geometrie). Die gestreiften Bereichestellen ohmsche Kontakte zur Probeäche (grau) dar.(1)c) Nach Anlegen eines Magnetfeldes von B 0 = 1.0 T senkrecht zur Probe wird zwischenKontakt 1 und 4 ein Strom von 100 nA injiziert und zwischen 2 und 6 eine Spannungvon 200 µV gemessen. Bestimmen Sie hieraus die Elektronendichte der Probe n 2Din [cm −2 ]!d) Nun wird das Magnetfeld abgeschaltet, der Strom von 100 nA zwischen Kontakt 1und 4 wird aber beibehalten. Zwischen den Kontakten 2 und 3 wird nun eine Spannungvon 6.0 µV gemessen. Berechnen Sie die Mobilität µ der Probe! Vergleichen Sieden erhaltenen Wert mit dem typischer Metalle bei Raumtemperatur (µ ≈ 50 cm2 )! Vs