Dreigelenkrahmen

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 1Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastAuf den folgenden Seiten wird das Knotenschnittverfahren zur Berechnung statisch bestimmterSysteme am Beispiel eines Dreigelenkrahmens veranschaulicht. Dabei gliedert sich dieBerechnung in folgende Schritte:• Auflagerkräfte: Bestimmung der Auflagerreaktionen• Schnittkraftermittlung: Schrittweise Bestimmung der Schnittgrößen an markanten Punkten• Schnittkraftlinien: Darstellung der Normalkraft-, Querkraft- und MomentenverläufeSystem und BelastungAuflagerkräfteDurch die Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem werden zunächst die vertikalenAuflagerkräfte an den Auflagern A und B ermittelt. Die errechneten Werte werden durch eineweitere Gleichgewichtsbedingung kontrolliert.Σ M A = 0 =⇔5,00 kN/m * 6,00 m * 3,00 m + 20,00 kN * 2,00 m + 10,00 kN * 5,00 m + 10,00 kN * 10,00 m+ 5,00 kN * 6,00 m – V B * 10,00 mV B = 31,00 kNΣ M B = 0 =⇔5,00 kN/m * 6,00 m * 3,00 m + V A * 10,00 m – 20,00 kN * 8,00 m – 10,00 kN * 5,00 m+ 5,00 kN * 6,00 mV A = 9,00 kNDiplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 2Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastKontrolle der vertikalen AuflagerkräfteΣ V = 0 = 31,00 kN + 9,00 kN - 20,00 kN – 10,00 kN – 10,00 kN⇔ 0 = 0Die Zerlegung des Systems in zwei Teilsysteme ermöglichtdie Aufstellung weiterer Gleichgewichtsbedingungen, mitderen Hilfe die horizontalen Auflagerkräfte an denAuflagern A und B ermittelt werden. Auch hier werden dieermittelten Werte durch eine weitere Gleichgewichtsbedingungkontrolliert.Linkes TeilsystemΣ M C = 0 =⇔H A * 6,00 m – 5,00 kN/m * 6,00 m * 3,00 m – 20,00 kN * 3,00 m + 9,00 kN * 5,00 mH A = 17,50 kNRechtes TeilsystemΣ M C = 0 = H B * 6,00 m – 10,00 kN * 5,00 m – 31,00 kN * 5,00 m⇔ H B = 17,50 kNKontrolle der horizontalen KräfteΣ V = 0 = 17,50 kN + 17,50 kN – 5,00 kN/m * 6,00m – 5,00 kN⇔ 0 = 0SchnittkraftermittlungNachdem die Auflagerkräfte eindeutig bestimmt wurden, erfolgt nun die schrittweise Ermittlung derSchnittkräfte an markanten Punkten, wie beispielsweise kurz vor und nach angreifenden Lasten.Schnitt A – 1GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = Q 1 + 5,00 kN/m * 6,00 m – 17,50 kN⇔ Q 1 = – 12,50 kNΣ V = 0 = N 1 + 9,00 kN ⇔ N 1 = – 9,00 kNΣ M = 0 = M 1 + 5,00 kN/m * 6,00 m * 3,00 m– 17,50 kN * 6,00 m⇔ M 1 = 15,00 kNmDiplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 3Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastSchnitt 1 – 2GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 2 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 2 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 2 + ( – 9,00 kN ) ⇔ Q 2 = 9,00 kNΣ M = 0 = M 2 – 15,00 kNm ⇔ M 2 = 15,00 kNmSchnitt 2 – 3GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 3 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 3 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 3 – 9,00 kN ⇔ Q 3 = 9,00 kNΣ M = 0 = M 3 – 15,00 kNm – 9,00 kN * 2,00 m⇔ M 3 = 33,00 kNmSchnitt 3 – 4GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 4 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 4 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 4 + 20,00 kN – 9,00 kN⇔ Q 4 = – 11,00 kNΣ M = 0 = M 4 – 33,00 kNm ⇔ M 4 = 33,00 kNmSchnitt 4 – 5GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 5 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 5 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 5 – ( – 11,00 kN ) ⇔ Q 5 = – 11,00 kNΣ M = 0 = M 5 – 33,00 kNm – ( – 11,00 kN ) * 3,00 m⇔ M 5 = 0,00 kNmDiplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 4Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastSchnitt 5 – 6GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 6 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 6 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 6 + 10,00 kN – ( – 11,00 kN )⇔ Q 6 = – 21,00 kNΣ M = 0 = M 6 + 0,00 kNm⇔ M 6 = 0,00 kNmSchnitt 6 – 7GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = N 7 – ( – 12,50 kN ) ⇔ N 7 = – 12,50 kNΣ V = 0 = Q 7 – ( – 21,00 kN ) ⇔ Q 7 = – 21,00 kNΣ M = 0 = M 7 – 0,00 kNm – ( – 21,00 kN ) * 5,00 m⇔ M 7 = – 105,00 kNmSchnitt 7 – 8GleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = Q 8 + ( – 12,50 kN ) – 5,00 kN⇔ Q 8 = 17,50 kNΣ V = 0 = N 8 + 10,00 kN – ( – 21,00 kN )⇔ N 8 = – 31,00 kNΣ M = 0 = M 8 – ( – 105,00 kNm )⇔ M 8 = – 105,00 kNmZur Kontrolle der Rechnung wird nun ein letzter Schnitt durchgeführt. Hierbei werden die Gleichgewichtsbedingungenauf ihre richtige Lösung hin untersucht.Schnitt 8 – BGleichgewichtsbedingungenΣ H = 0 = 17,50 kN – 17,50 kN ⇔ 0 = 0Σ V = 0 = 31,00 kN + ( - 31,00 kN ) ⇔ 0 = 0Σ M = 0 = – 105,00 kNm + 17,50 kN * 6,00 m⇔ 0 = 0Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 5Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastSchnittkraftlinienDie zuvor ermittelten Schnittgrößen werden abschließend als Schnittkraftlinien dargestellt:Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004

www.statik-lernen.de ► Beispiele ► Dreigelenkrahmen Seite 6Dreigelenkrahmen unter vertikalen und horizontalen Einzellasten sowie horizontaler StreckenlastBerechnung des maximalen Momentes im Bereich A – 1:Nulldurchgang der Querkraftlinie:X 0 = 17,50 kN * ( 6,00 m / ( 17,50 kN + 12,50 kN ) ) ⇔ X 0 = 3,50 mMaximales Moment:M max = 5,00 kN/m * 3,50 m * 1,75 m – 17,50 kN * 3,50 m ⇔ M max = 30,63 kNmDiplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im März 2004