Festigkeitsbewertung und FKM Richtlinie Festigkeitsbewertung und ...

Feierabend Academy 2008 

Berner Fachhochschule 

Hochschule für 

Technik und Informatik HTI 

Festigkeitsbewertung und 

FKM Richtlinie 

Beat Schmied 

Lehrbeauftragter Festigkeitslehre & FEM 

beat.schmied@bfh.ch 

Feierabend Academy 2008 - FKM BFH-TI / B. Schmied 

1 

Zu meiner Person 

Haupttätigkeit im eigenen Ingenieurbüro (seit 1993) 

spezialisiert auf Festigkeitsberechnungen 

Seit 2005 Lehrbeauftragter an Berner Fachhochschule im 

Fachbereich Maschinenbau für FEM und Festigkeitslehre 

Festigkeitslehre im Unterricht 

7 Wochenlektionen (ca. 110 L) in den ersten 3 Semestern 

1. Semester: Grundlagen, Grundbeanspruchungsarten 

2. Semester: Vertiefung 

3. Semester: Stabilitätsprobleme und Festigkeitsnachweis 


2

FEM im Unterricht 

ANSYS und ANSYS Workbench für Strukturmechanik 

ANSYS CFX und ANSYS Fluent für Strömungssimulationen 

Einführung in ANSYS Workbench (12 Lektionen) im Rahmen 

der Produktentwicklung im 4. Semester 

Ergänzungsmodul FEM (60 Lektionen) im 6. Semester mit 

Beschränkung auf Strukturmechanik 

Einsatz der FE-Tools in Semester- und Diplomarbeiten 


3 

Inhalt 

1. Einleitung 

Einige allgemeine Ausführungen zu FKM 

2. Statischer Nachweis mit Nennspannungen 

Grundlagen und Ablauf gezeigt an einem stabförmigen, 

ungeschweissten Bauteil (Welle) 

3. Ermüdungsnachweis mit Nennspannungen 

An der gleichen Welle wird der Ablauf für die 1-stufige 

Belastung gezeigt. 


4

Einleitung 





5 

Einleitung 

FKM 

Forschungskuratorium Maschinenbau FKM 

Dienstleistungsorganisation des VDMA 

www.fkm-net.de 

Rechnerischer Festigkeitsnachweis für 

Maschinenbauteile, 5. Ausgabe 2003 

www.fkm-richtlinie.de 

in deutsch und englisch erhältlich 

Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis für 

Maschinenbauteile, 3. Ausgabe 2006 

in deutsch und englisch erhältlich 


6

Einleitung 

Anwendungsbereich der FKM-Richtlinie 

im Maschinenbau und verwandte Bereiche 

rechnerischer Nachweis für stabförmige, flächenförmige und 

volumenförmige Bauteile 

Stähle (auch nicht rostende), Eisengusswerkstoffe, Aluminiumknet- 

und Gusswerkstoffe 

statischer Nachweis und Ermüdungsnachweis (Dauerfestigkeit 

oder Betriebsfestigkeit) 

Nachweis mit Nennspannungen oder örtlichen Spannungen 

(linear-elastische FE-Berechnung) 

nicht geschweisste und geschweisste Bauteile 

normale und erhöhte Temperaturen 

nicht korrosive Umgebung 


7 

Einleitung 

Nicht Bestandteil der Richtlinie 

Die FKM-Richtlinie sagt wenig bis gar nichts über die Art und 

Weise, wie die Spannungen zu berechnen oder zu messen sind. 

Es liegt in der Verantwortung des Ingenieurs die 

relevanten Spannungen zu ermitteln. 

Ebenso ist es dem Ingenieur überlassen, die massgebenden 

Lastfälle korrekt zu definieren und die dabei auftretenden 

Belastungen realitätsnah anzunehmen. 

Die im Nachweis verwendeten Werte müssen mit 

grosser Wahrscheinlichkeit grösser als die real 

auftretenden Belastungen sein. 

Stabilitätsprobleme werden in der Richtlinie NICHT behandelt. 


8

Einleitung 

Zu diesem Referat 

Die Ausführungen beschränken sich auf den Nachweis mit 

Nennspannungen. Der grosse Vorteil der Richtlinie liegt aber, 

meiner Meinung nach, im Nachweis mit örtlichen Spannungen. 

Dies weil damit ein breit anerkanntes Tool zur Beurteilung von 

FEM-Ergebnissen zur Verfügung steht. 

Auch beim Nachweis mit Nennspannungen muss ich mich im 

Rahmen dieses Referats beschränken: 

- stabförmiges, ungeschweisstes Bauteil 

- Scherung vernachlässigt 

- normale Betriebstemperatur 

Für die praktische Anwendung ist ist deshalb unbedingt die 

Richtlinie zu zu konsultieren. 


9 

Einleitung 

Rechenbeispiel 

Geometrie 

Durchmesser D 80 mm 

d 60 mm 

Eckradius r 1 mm 

Schnittlasten im Querschnitt 

„statisch“ „dauerfest“ 

Zugkraft Fz 120 kN 60 - 80 kN 

Biegemoment Mb 4 kNm 1.5 kNm (konstant) 

Torsionsmoment Mt 6 kNm 3.0 kNm (schwellend) 

Werkstoff C45 


10 

1





Statischer Festigkeits- 

nachweis mit Nennspannungen 

Beat Schmied 



11 

Statischer Nachweis 

Klassischer Ablauf 

Belastungen und 

Geometrie 

σ z σ 

z σb b ττs s ττt t 

Vergleichsspannung 

σ V 

Sicherheitszahl 

Werkstoff 

σ grenz_probe 

grenz_probe 

Ko-Kennwerte 

σ grenz_Bauteil 

grenz_Bauteil 


12


Ablauf nach FKM 

Beanspruchung 

σ zd σ 

zd σb b ττs s 

Auslastungsgrade 

τ t 

t 

Gesamtauslastungsgrad 

a SKzd a 

SKzd aSKb SKb aaSKs SKs aaSKt SKt Sicherheitszahl 

a SKv 

SKv 

Bauteilfestigkeit 

R mN R 

mN RpN pN 

R m R 

m Rp p 

K SKzd K 

SKzd KSKb SKb KKSKs SKs KKSKt SKt 

σ SKzd σ 

SKzd σSKb SKb τ SKs τ 

SKs 

τSKt SKt 

Probenwerte 

Bauteil- 

Normwerte 

Ko-Faktor 



13 


Massgebende Belastung 

rein rein statische 

Belastung 

Quasi statische 

Belastung 

Lastspitzen 

Extreme Lastspitzen dürfen 

in der Bauteil-Betriebszeit 

nur ganz wenige Male 

vorkommen. Ansonsten ist 

ihre Wirkung auf die 

Ermüdung zu beachten 


14


Kerbwirkung bei statischer Belastung 

In der Fachliteratur steht meist allgemein, dass die Kerbwirkung bei 

statischer Belastung nicht zu berücksichtigen ist. Dies setzt jedoch 

voraus, dass der verwendete Werkstoff ein genügend hohes 

Plastizitätsvermögen besitzt. Gemäss FKM gilt dies nur für: 

Walz- und Schmiedestahl 

Stahlguss 

Späroguss mit einer Bruchdehnung ≥ 12.5% 

Aluminium Knetlegierung mit einer Bruchdehnung ≥ 12.5% 

Sehr starke Kerben (FKM: α k > 3) können auch die duktilen 

Werkstoffe überfordern. Ist eine der Bedingungen nicht erfüllt, hat 

der Nachweis mit örtlichen Spannungen zu führen. 


15 


Werkstoffkennwerte 




Umrechnung der Probenwerte (Zugfestigkeit und Streckgrenze) 

auf die reale Grösse des Bauteils 


16

Statischer Nachweis / Werkstoffkennwerte 

Bauteil-Normwerte 

Als Basis dienen die am Probestab ermittelten Normwerte für die 

Zugfestigkeit (R m_N ) und Streckgrenze (R p_N ). 

Zugfestigkeit 

Streckgrenze 

Kd_m / Kd_p Rm / Rp Rm Kd_m⋅ Rm_N Rp Kd_p⋅ Rp_N Technologischer Grössenfaktor 


Die FKM liefert im Anhang für eine grosse Anzahl Werkstoffe die 

Halbzeug-Normwerte. 


17 

Statischer Nachweis / Werkstoffkennwerte 

Technologischer Grössenfaktor K d 

K d 

K d_p ≈ 0.91 

Vergütungsstahl 

K d_m ≈ 0.96 

Dicke oder ø 

Der Grössenfaktor berücksichtigt 

die im Allgemeinen 

abnehmende Festigkeit bei 

zunehmenden Bauteilabmessungen. 

Er ist für die Zugfestigkeit 

(K d_m ) und die Streckgrenze 

(K d_p ) zu bestimmen. 


18 

2

Konstruktionsfaktor 




Beim statischen Nachweis sind einzig die plastischen Reserven des 

betrachteten Querschnitts (Form, Werkstoff, Beanspruchungsart) 

zu berücksichtigen. 

Zur Erinnerung: die Spannungsberechnung erfolgt in jedem Fall 

linear-elastisch. 


19 

Statischer Nachweis / Konstruktionsfaktor 

Plastizitätsvermögen 

Die plastischen Reserven werden durch 2 Einflussgrössen bestimmt. 

Beanspruchungsart und Querschnittsform 

Bei Biegung und Torsion kann die elastische Grenzlast überschritten 

und damit vorhandene Tragreserven ausgeschöpft 

werden. Wie hoch diese Tragreserven sind, hängt nebst der 

Beanspruchungsart von der Querschnittform ab. � Formzahl K p 

Plastizitätsvermögen des Werkstoffs 

Ob vorgenannte Tragreserven tatsächlich ausgeschöpft werden 

können, hängt ebenfalls vom Werkstoff ab. Je höherfester eine 

Stahl ist, umso kleiner ist seine Bruchdehnung und damit sein 

Plastizitätsvermögen. � Plastizitätszahl des Werkstoffs K w 


20


Plastische Formzahl K p 

K p = 

Traglast 100% plastifiziert 

Traglast 100% elastisch 

Querschnittsform 

Rechteck 

Kreis 

Kreisring 

Zug 

1 

1 

1 

Biegung 

1.5 

1.7 

1.27 

Scherung 


21 

1 

1 

1 

Torsion 

- 

1.33 

Da die Zugbeanspruchung eine konstante Spannung über den Querschnitt erzeugt, 

ist keine Stützwirkung möglich. Bei der Scherung wird sie vernachlässigt. 


Plastizitätszahl des Werkstoffs K w 

Das Plastizitätsvermögen nimmt mit zunehmender Festigkeit ab. 

K w 

R p_max 

≥ 1 

R p 

Werkstoffgruppe 

Stahl, Stahlguss 

Späroguss 

Alu-Knetlegierungen 


22 

1 

R p_max 

1‘050 MPa 

320 MPa 

250 MPa


Plastische Stützzahl & Konstruktionsfaktor 

Für den Nachweis ist der kleinere der beiden Werte zu verwenden. 

Der Minimalwert 1 bedeutet, dass keine Stützwirkung vorhanden 

ist, respektive dass mit keiner gerechnet werden darf. 

Massgebende 

plastische Stützzahl 


np min( Kp , Kw) ≥ 1.0 

K SK 


23 


24 

1 

np Bauteilfestigkeit 




Umrechnung vom Bauteil-Normwert (Zugfestigkeit des fiktiven 

Probezugstabs in realer Bauteilgrösse) auf den Materialgrenzwert 

für die reale Form und die entsprechende Belastung.



Statische Bauteilfestigkeit für jede Beanspruchungsart ermittelt. 

Zug / Druck 

Biegung 

Torsion 

σ SK_zd 

σ SK_b 

τ SK_t 

Rm fσ ⋅ 

KSK_zd Rm fσ ⋅ 

KSK_b Rm fτ⋅ KSK_t Festigkeitsfaktoren 

für Stahl und Alu-Knetlegierung 

fσ = 1 

fτ = 0.577 (nach Mises) 

für GGG 

fσ = 1 (Zug) 

fσ = 1.3 (Druck) 

fτ = 0.65 


25 

Nachweis 




Vergleich der Bauteilfestigkeit mit den berechneten Spannungen. 


26 

3


Sicherheitsfaktoren j m und j p 

Wahrscheinlichkeit 

des Auftretens 

hoch 

gering 

Sicherheit 

gilt gegenüber 

R m 

R p 

R m 

R p 

Stahl und Alu- 

Knetlegierungen 

Schadensfolge 

hoch gering 

1.35 

1.75 

Stahlguss 

und GGG 

Bedingung für Alu-Knetlegierungen und GGG: A 5 ≥12.5% 

Reduzierte Werte anwendbar für zerstörungsfrei geprüfte Gussteile. 


27 

2.0 

1.5 

1.8 


Gesamtsicherheitsfaktor 

R m =595 MPa 

Zugfestigkeit 

σ zul_m 

j m =2.0 

297 MPa 

R p =310 MPa 

Streckgrenze 

σ zul_p 

j p =1.5 

205 MPa 

1.3 

1.6 

1.2 

j ges =2.9 

Schadensfolge 

hoch gering 

2.8 

2.1 

2.55 

1.9 

2.45 

1.8 

2.2 

1.65 

⎛ R m ⎞ 

j ges MAX⎜ j m , j p⋅ 

R 

⎝ p ⎠ 


28


Auslastungsgrade der Einzelspannungen 

Zug / Druck 

Biegung 

Torsion 

a SK_zd 

a SK_b 

a SK_t 

σ zd 

σ SK_zd 

σ b 

σ SK_b 

τ t 

τ SK_t 

⋅ jges ≤ 1 

⋅ jges ≤ 1 

⋅jges ≤ 1 

Der Auslastungsgrad 1.0 bedeutet, dass die geforderte Sicherheit 

genau eingehalten wird. Kleinere Werte bedeuten, dass zusätzliche 

Tragreserven vorhanden sind. 


29 


Gesamt-Auslastungsgrad 

Als letztes ist zu überprüfen, ob die gemeinsame Wirkung aller 

Einzelbeanspruchungen zulässig ist. Dazu wird auf die Vergleichsspannungshypothesen 

zurückgegriffen. Für Stahl ist dies die 

Gestaltänderungsenergie-Hypothese (Mises). 

Addition der gleichartigen 


aσ aSK_zd + aSK_b aτ aSK_s + aSK_t Gesamt-Auslastungsgrad nach 

2 2 

Gestaltänderungsenergie-Hypothese aGH aσ + aτ ≤ 

1 


30


Ermüdungsnachweis Erm Ermüdungsnachweis dungsnachweis mit 

Nennspannungen 

Beat Schmied 






31 

Ermüdungsnachweis 

1-stufige Beanspruchung 

σ m 

±σ a 

σm σa σu σo ∆σo Schwingbreite 

Mittelspannung 

Schwingamplitude 

Unterspannung 

Oberspannung 

R Unterspannung 

Spannungsverhältnis 

Oberspannung 

σ 

u 

σ 

o 


32 

4


Ablaufes nach FKM 

σ mzd 

mzd 

σ azd 

azd 

Beanspruchung 

σ mb 

mb 

σ ab 

ab 


τ ms 

ms 

τ as 

as 

τ mt 

mt 

τ at 

at 


a AKzd a 

AKzd aAKb AKb aaAKs AKs aaAKt AKt Sicherheitszahl 

a AKv 

AKv 


K WKzd K 

WKzd KWKb WKb KKWKs WKs 

σ AKzd σ 

AKzd σAKb AKb ττAKs AKs ττAKt AKt 

Bauteil- 

Normwerte 

KonstruktionsfaktorMittelspannungsfaktorBetriebsfestigkeitsfaktor 

Bauteildauerfestigkeit 


33 


Ablaufes nach FKM 

σ mzd 

mzd 

σ azd 

azd 

Beanspruchung 

σ mb 

mb 

σ ab 

ab 


τ ms 

ms 

τ as 

as 

τ mt 

mt 

τ at 

at 


a AKv 

AKv 

R m 

σ Wzd τ 

Wzd τWs Ws 

K WKt 

WKt 

K AKzd K 

AKzd KAKb AKb KKAKs AKs KKAKt AKt 

K BKzd K 

BKzd KBKb BKb KKBKs BKs KKBKt BKt 


R mN 

mN 

K WKzd K 

WKzd KWKb WKb KKWKs WKs 

σ AKzd σ 

AKzd σAKb AKb ττAKs AKs ττAKt AKt 

Probenwert 

Bauteil- 

Normwerte 

Ko-Faktor 

Mittelspannungsfaktor 

Bauteildauerfestigkeit 

a AKzd a 

AKzd aAKb AKb aaAKs AKs aaAKt AKt Sicherheitszahl 


34 

R m 

σ Wzd τ 

Wzd τWs Ws 

K WKt 

WKt 

K K AKzd KAKb AKb K 

AKzd KAKs K 

AKs KAKt AKt


Werkstoffkennwerte 

Umrechnung des statischen Grenzwerts (Zugfestigkeit) 

auf die Wechselfestigkeit 





35 

Ermüdungsnachweis / Werkstoffkennwerte 

Wechselfestigkeit 

σ w_zd 

τ w_s 

Stahlguss 

fw_σ⋅ Rm fw_τ⋅ σ 

w_zd 

Werkstoffgruppe 

Schmiedestahl, Einsatzstahl 

übrige Stähle 

GGG 

GG 

Als Basis dient die Zugfestigkeit (Bauteil- 

Normwert vom statischen Nachweis). 

Mit Faktoren werden die Festigkeiten für die 

wechselnde Belastung (R=-1) gebildet. 

fw_σ 0.4 

0.45 

0.34 

0.34 

0.3 

0.577 

0.577 

0.577 

0.65 

0.75 


36 

f w_τ 

Wechselfestigkeitsfaktoren 

5






berücksichtigt alle Faktoren, welche die Wechselfestigkeit positiv 

oder negativ beeinflussen 


37 

Ermüdungsnachweis / Konstruktionsfaktor 

Kerbformzahl Kt Die Kerbformzahl K t (α K ) liefert 

die Spannungserhöhung 

infolge einer Kerbe 

gegenüber der 

Nennspannung. 


38 

2.35 

0.75 

6


Kerbempfindlichkeit des Werkstoffs 

Duktile Werkstoffe können die im Kerbgrund wirkenden 

Spannungen lokal durch plastische Verformung teilweise abbauen. 

Dieser Effekt wird analog dem statischen Nachweis mit der 

Stützzahl n berücksichtigt. 

Massgebend für die Stützwirkung ist das Spannungsgefälle im 

Kerbgrund sowie wie beim statischen Nachweis der Werkstoff. 

Je höherfester ein Stahl ist, umso kleiner ist sein Plastifizierungsvermögen 

und umso empfindlicher ist er gegen Kerben. Daraus 

folgt die Regel: 

Ermüdungsprobleme müssen konstruktiv gelöst werden. 

Ein höherfestes Material ist ist selten hilfreich. 


39 


Bezogenes Spannungsgefälle Gσ Es sind zwei Stützwirkungen zu unterscheiden: 

1. Spannungsgradient der Nennspannung 

(ähnlich der plastischen Formzahl Kp beim 

statischen Nachweis) 

2. Spannungsgradient 

2 

infolge der Kerbe 

Allgemeine Definition 

G σ χ 

1 dσ 

⋅ 

σ dy 

max 


40 

1 

Für Fall 1 

G σ ( 

σ ( d 

) ) G τ ( 

τ ( d 

) ) 

2 

d


Spannungsgefälle infolge Kerbe G(r) 

falls t 

d 

Weitere Formen siehe z.B. Roloff Matek TB. 

≤ 0.25 oder 


41 


Stützzahlen nσ und nτ 

φ 

1 

t 

4⋅ 

+ 2 

r 

t 

b 

2 

≤ 0.25 

sonst φ 0 

Für n τ ist anstelle von R m der Wert 

f W_τ ·R m einzusetzen. 

Für Stahl gilt f W_τ =0.577 (siehe Folie 

Wechselfestigkeit). 

R m = 595 MPa 

Spannungsgefälle 1.26 für Biegung 


42


Kerbwirkungszahl Kf Die Kerbwirkungszahl (häufig β K genannt) 

setzt sich zusammen aus der Kerbformzahl 

und der plastischen Stützwirkung und 

beschreibt die Spannungserhöhung infolge 

einer Kerbe bei einem gegebenen Material. 

Bei der Biegung und Torsion dürfen wegen 

der linearen Nennspannung auch die 

Stützwirkungen des Restquerschnitts n σ (d) 

eingesetzt werden. 

K f_zd 

K f_b 

K f_t 

Kt_zd nσ () r 

Kt_b nσ ()n r ⋅ σ ( d) 

Kt_t nτ ()n r ⋅ τ ( d) 


43 


Oberflächenrauheitsfaktor KR 0.88 

Stahl 

( ) 

K R_τ 1 − f w_τ⋅ 1 − K R_σ 

R m = 595 MPa 

Oberflächenrauheit Rz=12.5 


44 

7


Randschichtfaktor KV Durch Randschichtverfestigung lässt sich die Ermüdungsfestigkeit 

erhöhen. Ohne Verfestigung gilt Kv =1. 

Die Tabellenwerte gelten für Stahlproben mit Durchmesser 30 bis 

40 mm und sind nur informativ. Es sind die Einschränkungen 

und Vorgaben 

Verfahren / Bauteil 

Nitrieren 

Ungekerbt 

1.1 - 1.15 

Gekerbt 

1.3 - 2 

der FKM zu 

konsultieren. 

Einsatzhärten 

1.1 - 1.5 1.2- 2 

Festwalzen 

1.1 - 1.25 1.3 - 1.8 

Kugelstrahlen 

1.1 - 1.2 1.1 - 1.5 

Induktiv-/Flammhärten 1.2 - 1.5 1.5 - 2.5 


45 


Konstruktionskennwerte KWK für Stahl 

Zug / Druck 

Biegung 

Torsion 

K WK_zd 

K WK_b 

K WK_t 

⎛ 1 ⎞ 1 

⎜Kf_zd 

+ − 1 ⋅ 

⎝ 

KR_σ ⎠ 

KV ⎛ 1 ⎞ 1 

⎜Kf_b 

+ − 1 ⋅ 

⎝ 

KR_σ ⎠ 

KV ⎛ 1 ⎞ 1 

⎜Kf_t 

+ − 1 ⋅ 

⎝ 

KR_τ ⎠ 

KV K f Kerbwirkungszahl 

K R Rauheitsfaktor 

K V Randschichtfaktor 


46






Bauteil-Dauerfestigkeit für die vorhanden Konstruktion unter 

Berücksichtigung der tatsächlichen Spannungsverhältnis. 

Allenfalls Umrechnung der Dauerfestigkeit auf die Betriebsfestigkeit 

bei zeitlich variierender Belastung. 


47 

Ermüdungsnachweis / Bauteilfestigkeit 

Bauteil-Wechselfestigkeit 

Zug / Druck 

Biegung 

Torsion 

σ WK_zd 

σ WK_b 

τ WK_t 

σ 

w_zd 

KWK_zd σ w_zd 

K WK_b 

τ 

w_t 

KWK_t Entspricht dem Festigkeitsgrenzwert 

für das 

Bauteil bei wechselnder 

Belastung (R=-1). 


48 

8


Mittelspannungsempfindlichkeit Mσ , Mτ Dieser Faktor bringt zum Ausdruck, wie empfindlich eine 

Werkstoffgruppe auf eine Änderung der Mittelspannung reagiert. 

0.8 

0.6 

Mσ 0.4 

Alu-Knet 

0.2 

0 

0 500 

Stahl 

1000 

. 

1500 

Rm [MPa] 

Mτ fw_τ ⋅. Mσ Feierabend Academy 2008 - FKM BFH-TI / B. Schmied 

49 


Mittelspannungsfaktor KAK 1.05 

1 

0.95 

KAK 0.9 

Biegung 

0.85 

0.8 

2 1.5 1 0.5 0 

Zug 

0.5 1 

Spannungsverhältnis R 

σ 

Torsion 

τ 

Die FKM unterscheidet 4 

sogenannte Überlastfälle. 

Dargestellt ist hier Fall 2; 

bei einer Überlastung 

bleiben die Spannungsverhältnisse 

konstant. 


50


Bauteil-Dauerfestigkeit für beliebiges R 

Mit dem Faktor K AK wird von der Wechselfestigkeit (Mittelspannung 

= 0 � K AK = 1) auf die vorhandene Mittelspannung 

umgerechnet. Je höher die Mittelspannung ist, um so 

empfindlicher der Werkstoff ist, um so stärker wird die 

Spannungsamplitude reduziert. 

Zug / Druck 

Biegung 

Torsion 

σ 

AK_zd 

KAK_zd⋅σ WK_zd 

σ 

AK_b 

KAK_b⋅σ WK_b 

τ 

AK_t 

KAK_t⋅τ WK_t 


51 


Bauteil-Betriebsfestigkeit 


52


Bauteil-Betriebsfestigkeit 

Die zeitlich variierende Belastung wird mit dem Betriebsfestigkeitsfaktor 

berücksichtigt. Auf diesen wird an dieser Stelle nicht weiter 

eingegangen. 

σ 

BK_zd 

KBK_zd⋅σ AK_zd 

σ 

BK_b 

KBK_b⋅σ AK_b 

τ 

BK_t 

KBK_t⋅τ AK_t 


53 


Nachweis 




Vergleich der Bauteilfestigkeit mit den ermittelten Spannungen. 


54

Ermüdungsnachweis / Nachweis 

Sicherheitsfaktor j D 

regelmässige Inspektion 

nein 

ja 

Stahl und Alu- 

Knetlegierungen 

Schadensfolge 

hoch gering 

1.5 1.3 

1.35 1.2 

Stahlguss 

und GGG 

Schadensfolge 

hoch gering 

2.1 1.8 

1.9 1.7 

Bedingung für Alu-Knetlegierungen und GGG: A 5≥12.5%. Für 

kleinere Werte ist ein Zuschlag vorzunehmen. 

Reduzierte Werte anwendbar für zerstörungsfrei geprüfte Gussteile. 


55 

Ermüdungsnachweis / Nachweis 

Auslastungsgrad 

Die Berechnung erfolgt analog dem statischen Nachweis. Jede 

einzelne Beanspruchungsart muss wiederum für sich einen 

Auslastungsgrad ≤ 1 aufweisen. Die gleiche Bedingung muss auch 

der Gesamtauslastungsgrad erfüllen. 

Auch die buchstabengetreue Befolgung der FKM-Richtlinie 

entbindet den Berechnungsingenieur nicht von der 

Verantwortung, die Ergebnisse kritisch zu beurteilen. 


56 

9

Feierabend Academy 2008 BFH-TI 

FKM - Nachweis 

Statischen Festigkeitsnachweis 

Geometrie 

Grosser Durchmesser D := 80⋅mm Kleiner Durchmesser d := 60⋅mm Eckradius r := 2⋅mm Maximale Spitzenbelastungen im Querschnitt 

Zugkraft Fz := 120⋅kN Biegemoment 

Mb := 4kN ⋅ ⋅m 

Torsionsmoment Mt := 6kN ⋅ ⋅m 

1. Spannungsberechnung 

Flächenkennwerte 

π 

Querschnittsfläche Az 4 d2 := ⋅ 

Az 2.83 10 3 

× mm 2 

= 

π 

Axiales Widerstandsmoment Wb 32 d3 := ⋅ 

Wb 2.12 10 4 

× mm 3 

= 

π 

Polares Widerstandsmoment Wt 16 d3 := ⋅ 

Wt 4.24 10 4 

× mm 3 

= 


Zug σz := 

Fz Az σz = 42 MPa 

Mb Biegung σb := σ 

W 

b = 189 MPa 

b 

Mt Torsion τt := τ 

W 

t = 141 MPa 

t 

Einzelspannungen in Vektor στ rech := 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

Freizeit Academy 2008 / BFH-TI / B. Schmied 05.06.2008 / 1 

σ z 

σ b 

τ t 

⎞ 

⎟ 

⎠

2. Bauteil-Normwerte 

Proben-Normwerte für C45 

Zugfestigkeit Rm_N := 620⋅MPa Streckgrenze Rp_N := 340⋅MPa Technologischer Grössenfaktor für D = 80 mm 

Zugfestigkeit Kd_m := 0.96 

Streckgrenze Kd_p := 0.91 


Zugfestigkeit Rm := Kd_m⋅Rm_N Rm = 595 MPa 

Streckgrenze Rp := Kd_p⋅Rp_N Rp = 309 MPa 

3. Konstruktionsfaktor 

Plastische Formzahlen für Querschnitt und Belastung 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

Kp := 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1.0 

1.7 

1.33 

Plastizitätszahl des Werkstoffs 

Grenzwert für Stützwirkung Rp_max := 1050⋅MPa Plastische Stützzahl und Konstruktionsfaktor 

⎞ 

⎠ 

Rp_max Kw := K 

R 

w = 1.84 

p 

Werkstoff hätte höheres Plastifizierpotential als Querschnitt. Somit gelten die K p -Werte. 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

np := Kp KSK 1 

:= K 

n 

SK = 

p 


⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1 

0.59 

0.75 

⎞ 

⎠

4. Bauteilfestigkeit 

Festigkeitsfaktoren 

Normalspannungen fσ := 1 

Schubspannungen fτ := 0.577 


⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

5. Nachweis 

⎛ 

fσ ⎜ 

fσt⋅ Rm f f 

σt := ⎜ σ ⎟ στ SK := στ 

K 

SK = 

SK 

fτ ⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

595 

1012 

457 

Sicherheitsfaktoren für hohe Wahrscheinlichkeit und grosses Schadensausmass 

Bezüglich Zugfestigkeit jm := 2.0 

Bezüglich Streckgrenze jp := 1.5 

Massgebender 

⎛ Rm⎞ Sicherheitsfaktor jges := max⎜ jm , jp⋅ j 

R 

ges = 2.9 

p 

Auslastungsgrade für einzelne Spannungsarten 

Auslastungsgrad gesamt 

⎝ 

στ rech 

aSK := ⋅ j 

στ 

ges 

SK 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

aSK = 

Normalspannungen aσ := aSK1 + aSK2 aσ = 0.74 

Schubspannungen aτ := aSK3 aτ = 0.89 

2 2 

Gesamt nach Mises av := aσ + aτ av = 1.16 

Die Gesamtauslastung liegt über 1. Die geforderte Sicherheit bezüglich Streck- grenze ist damit nicht 

eingehalten und beträgt bloss noch ca. 1.3 statt 1.5. Bezüglich Bruch ist die Sicherheit 2 jedoch 

gewährleistet. 


⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

MPa 

0.21 

0.54 

0.89 

⎞ 

⎠

Ermüdungsfestigkeitsnachweis 

Maximale Spitzenbelastungen im Querschnitt 

Zugkraft Fz_min := 60⋅kN Fz_max := 80⋅kN Biegemoment konstant Mb := 1.5⋅kN⋅m Torsionsmoment schwellend Mt := 3kN ⋅ ⋅m 

1. Spannungsberechnungen 


Zug σa_z := 

Fz_max − Fz_min 2A ⋅ z 

σa_z = 4 MPa 

Biegung 

(Biegewechsel der Welle) 

Mb σa_b := σ 

W 

a_b = 71 MPa 

b 

0.5⋅ Mt Torsion τa_t := τ 

W 

a_t = 35 MPa 

t 

Einzelspannungen in Vektor στ a_rech := 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

σ a_z 

σ a_b 

Spannungsverhältnisse 

Fz_max Rrech := ⎜ ⎟ 

−1 

⎟ 

0 

Rrech = 

2. Bauteil-Normwerte 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

τ a_t 

F z_min 

Zugfestigkeits-Normwert aus statischen Nachweis Rm = 595 MPa 

Bauteil-Normwerte für Wechselbeanspruchung (R=-1) 

Zug/Druck-Wechselfestigkeitsfaktor fw_σ := 0.45 

Schub-Wechselfestigkeitsfaktor fw_τ := 0.577 

Zug/Druck-Wechselfestigkeit σw_zd := fw_σ⋅Rm σw_zd = 268 MPa 

Schub-Wechselfestigkeit τw_zd := fw_τ⋅σw_zd τw_zd = 155 MPa 

⎛ "Zug" ⎞ 

⎜ 

"Biegung" 

⎜ 

⎝ "Torsion" ⎠ 

σw_zd ⎜ 

στ σ 

w := ⎜ w_zd ⎟ 

⎜ 

τ 

⎝ w_zd ⎠ 


⎛ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

0.75 

−1 

0 

⎞ 

⎠

3. Konstruktionsfaktor 

Kerbformzahl 

Verhältniszahlen für Diagramme 

Kerbformzahlen aus Diagrammen 

⎛ "Zug" ⎞ 

⎜ 

"Biegung" 

⎜ 

⎝ "Torsion" ⎠ 

Spannungsgefälle 

Gefälle infolge linearem 

Spannungsgradient 

Konstante 

Gefälle infolge der Kerbe 

Stützzahlen 

Konstanten für Stahl 

Stützzahl infolge Durchmesser 

für Biegung und Torsion 

d 

D 0.75 = 

Kt := 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2.7 

2.35 

2.1 

⎞ 

⎠ 

r 

= 0.2 

0.5⋅( D − d) 

siehe Referat und 

FKM-Richtlinie 

2 

Gστ_d := G 

d 

στ_d 0.03 mm 1 − 

= 

1 

φ := φ = 0.091 

0.5⋅( D − d) 

4⋅ 

+ 2 

r 

2.3 

Biegung Gσ_b := ⋅( 

1 + φ) 

G 

r 

σ_b 1.26 mm 1 − 

= 

1.15 

Torsion Gτ_t := G 

r 

τ_t 0.58 mm 1 − 

= 

aG := 0.5 bG := 2700 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

get_nστ ( G, Rm) 

:= exp ← − aG ⎞ 

⎠ 

Rm 

+ 

bG⋅MPa nσ 1 G⋅mm 10 exp 

← + ⋅ if G ≤ 

1 

mm 

4 exp 

1 + Gmm ⋅ ⋅10 

otherwise 

( ) 

nσ_d := get_nστ Gστ_d , Rm nσ_d = 1.03 

( ) 

Stützzahlen infolge Kerbe Biegung nσ_r := get_nστ Gσ_b , Rm nσ_r = 1.20 

Kerbwirkungszahlen 

Zug 

Biegung 

Torsion 

( ) 

Torsion nτ_r := get_nστ Gτ_t , fw_τ⋅Rm nτ_r = 1.18 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 

⎡⎛ 

1 ⎞ ⎤ 

⎢⎜ 

⎥ 

n 

⎢⎜ 

σ_r ⎟ ⎥ 

⎢⎜ 

1 ⎟ ⎥ 

Kf := ⎢⎜ 

nσ_r⋅n ⎟⋅ 

Kt⎥ K 

σ_d 

f = 

⎢⎜ 

⎢⎜ 

⎢⎜ 

⎣⎝ 

1 

nτ_r⋅nσ_d Freizeit Academy 2008 / BFH-TI / B. Schmied 05.06.2008 / 5 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2.25 

1.89 

1.72 

⎞ 

⎠

Oberflächenrauheit 

Rauheit Rz := 12.5 ⋅µm 

Konstante aR_σ := 0.22 

Konstante Rm_N_min := 400⋅MPa Rz Rm get_KR_σ( k) 

:= 1 − k⋅aR_σ⋅ log⎜ 

⋅log⎜2⋅ 

⎝ µm⎠ 

⎝ 

Rm_N_min Rauheitsfaktor für Normalspannung KR_σ := get_KR_σ( 1) 

KR_σ = 0.89 

Rauheitsfaktor für Schubpannung KR_τ := get_KR_σ( fw_τ) KR_τ = 0.93 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

Konstruktionsfaktoren 

KR := 

Randschichtfaktor KV := 1 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

4. Bauteilfestigkeit 


⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

Mittelspannungsempfindlichkeit 

Werkstoffkonstanten für Stahl 

Mittelspannungsempfindlichkeit 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

K R_σ 

K R_σ 

K R_τ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ K 

⎛ 1 

WK ⎜Kf 

+ − 1 

⎞ 1 

:= ⋅ 

K 

KR_σ K 

WK = 

V 

⎝ 

στ w 

στ WK := στ 

K 

WK = 

WK 

aM := 0.35 bM := −0.1 

⎠ 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2.38 

2.02 

1.85 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

113 

133 

84 

Normalspannung Mσ aM 10 3 − 

Rm := ⋅ ⋅ + b 

MPa 

M 

Mσ = 0.108 

Schubspannung Mτ := fw_τ⋅Mσ Mτ = 0.063 


⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

MPa

Mittelspannungsfaktor 

für Überlastungsfall 2 

(Spannungsverhältnis 

bleibt konstant) 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

get_KAK( Rσ, Mσ) 

:= 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

1 + Mσ⋅ 1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 Rσ + 

1 − Rσ 

⎞ 

⎠ 

1 Mσ 

+ 

3 

1+ Mσ 

1 Mσ ⎛ 1 + Rσ 

+ ⋅⎜ 

3 1 − Rσ 

3 + Mσ 

⎝ 

( ) 2 

3⋅1 + Mσ 

⎞ 

⎠ 

if 

if 

otherwise 

( ) 

( ) 

( ) 

get_KAK Rrech1 , Mσ Rσ ≤ 0 

( Rσ > 0) 

∧ Rσ < 0.5 

K get_K 

AK := AK Rrech2 , Mσ KAK = 

get_KAK Rrech3 , Mτ Bauteil-Dauerfestigkeit mit vorhandenen Spannungsverhältnissen 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

Bauteilbetriebsfestigkeit 

Für konstante 

sinusförmige 

Belastung 

Nachweis 

στ AK KAK⋅στ WK 

→ 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 

:= στ AK = 

⎛ 

( ) 

Sicherheitsfaktor jD := 1.5 

1 

KBK := 

⎜ 

1 

⎜ 

1 

στ BK ( KBK⋅στ AK) 

→ 

⎯⎯⎯⎯⎯ 

:= στ BK = 

Auslastungsgrade für einzelne Spannungsarten 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

"Zug" 

"Biegung" 

"Torsion" 

⎞ 

⎠ 

Auslastungsgrad gesamt 

⎝ 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

( ) 

95 

133 

79 

95 

133 

79 

στ a_rech 

aBK := ⋅ j 

στ 

D 

aBK = 

BK 

Normalspannungen aσ := aBK1 + aBK2 aσ = 0.86 

Schubspannungen aτ := aBK3 aτ = 0.67 

2 2 

Gesamt nach Mises av := aσ + aτ av = 1.09 

Die Gesamtauslastung liegt wiederum über 1. Die geforderte Sicherheit bezüglich Ermüdungsbruch 

ist somit reduziert. 


⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

0.84 

1.00 

0.94 

MPa 

MPa 

0.06 

0.80 

0.67 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠

Festigkeitsbewertung und FKM Richtlinie Festigkeitsbewertung und ...

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