ATLAS MATHEMATIK 4 - vpm

UNTERRICHTEN MIT DEMATLAS MATHEMATIK 4Peter GeeringUnter Mitarbeit von Werner FesslerGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 108.05.2009 8:44:38 Uhr

2Das bietet der ATLAS MATHEMATIK:Den Kindern• Lernbücher „Ich kann Mathematik“ als anregende Sammlung von Aktivitätenund Spielen in denen die Kinder direkt angesprochen werden. Darin könnensie ihr Können zeigen und mehren, sich mit Fragen auseinandersetzen undEntdeckungen machen.• Ein Minimum an didaktischen Materialien, die Kinder auch selbst herstellenkönnen. Meist genügen Alltagsgegenstände, um Mathematik zu begreifen.Den Eltern• Ein Begleitheft für Eltern und Begleitpersonen, das ihnen hilft, das Lernen derKinder zu verstehen und zu unterstützen.• Lernbücher anhand derer die Eltern mitverfolgen können, an welchen Fragenihre Kinder in der Schule arbeiten. Die Bücher enthalten alle notwendigen Informationenin verständlicher Form. Aus der Art der Bearbeitung können dieEltern auf den Lernstand ihrer Kinder schließen.Den Lehrpersonen• Lehrermaterial mit Vorschlägen für Jahresplanungen in thematischen Etappen.• Module = Unterrichtseinheiten für einen offenen und differenzierenden Unterricht,geeignet auch für altersdurchmischte Lerngruppen.• Lernbücher die den Lernstand der Kinder dokumentieren. Sie bilden dieGrundlage für Elterngespräche und helfen bei der Individuellen Förderplanung.• Begleitbogen und Beobachtungsformulare zum Festhalten des Lernstandesjedes Kindes.• Lernzielblätter mit Aufgaben zur Illustration der Lernziele.Mathematische Kompetenzen als BasisIn Form und Inhalt verständlich formulierte Lernziele („Ich kann . . .“) bilden denOrdnungsraster für alle Teile des ATLAS MATHEMATIK. Er dient dazu festzustellen,was Kinder können, wo ihre Lernchancen liegen und welche Fortschritte sie machen.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 208.05.2009 8:44:38 Uhr

VORWORT3Liebe Grundschullehrerin, lieber Grundschullehrer,Kinder kommen mit unterschiedlichen Voraussetzungen in die Schule. Vielfältigist, was sie an Selbst-, Sozial- und Sachkompetenz mitbringen. Findet das Anerkennung,freut es die Kinder. Sie fühlen sich ernst genommen und sind motiviert,etwas zu leisten.Effizienter Unterricht nutzt vorhandene Kompetenzen. Er schafft dadurch Freiraumfür Kinder und Lehrpersonen. Die Kinder können sich auf das konzentrieren,was für sie wirklich wichtig ist. Selbstständig arbeitende Kinder erleichtern es derLehrperson, sich denjenigen zu widmen, die auf ihre Hilfe angewiesen sind.Den Kindern Stück für Stück Verantwortung für ihren Lernweg zu übertragen erfordertVertrauen in ihre Lernfähigkeit, Geduld, wenn sie langsamer lernen, als wires möchten, und eine Unterrichtsorganisation, die auch in größeren Klassen denÜberblick gewährleistet.Unterricht mit dem ATLAS MATHEMATIK erlaubt den Kindern eigene Wege zu gehen.Der Lehrperson stellt der ATLAS MATHEMATIK organisatorische Hilfsmittelzur Verfügung, die ihr den Überblick verschaffen, wo sich die Kinder auf ihren individuellenWegen befinden.Der ATLAS MATHEMATIK enthält eine große Auswahl an Unterrichtsideen (MO-DULEN) für das gesamte Schuljahr. In der ETAPPENPLANUNG finden Sie einen Vorschlag,welche Module Sie in welcher Reihenfolge einsetzen können. Je nach denBedürfnissen und den Interessen der Kinder können Sie davon abweichen. Zu jedemModul und in jeder Etappe finden Sie dazu geeignete Differenzierungsvorschläge.Zu den wichtigsten Lernzielen eines Schuljahres ist in den LERNBÜCHERN eineAuswahl von Modulen so gestaltet, dass sie Kinder direkt ansprechen. So sind dieKinder in der Lage, nach Lust, Interesse und Fähigkeiten ihre Aktivitäten auszuwählenund Verantwortung für ihren Lernweg zu übernehmen. In den Lernbüchernsollen die Kinder Mathematik als etwas Lustvolles erfahren: Einerseits istdie Mathematik ein Werkzeug, das den Kindern die Welt erschließt. Andererseitsentdecken sie innermathematische Strukturen von eigenem Reiz und eigenerSchönheit.Mit Werkzeugen wie dem LERNBEGLEITBOGEN und ab dem 2. Schuljahr den LERN-ZIELBLÄTTERN können Sie feststellen, ob alle Kinder auf einem richtigen Weg sind,ihre mathematischen Fähigkeiten weiterentwickeln und tragfähige Grundlagenfür das Weiterlernen erwerben. So gewinnen Sie die nötige Sicherheit für einekompetente Begleitung der Kinder.Der ATLAS MATHEMATIK ermöglicht individualisierten Mathematikunterricht inanregender und entspannter Atmosphäre. Freuen Sie sich darauf!Peter GeeringGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 308.05.2009 8:44:38 Uhr

4INHALTDer ATLAS MATHEMATIKKreativität im Mathematikunterricht, Erkenntnis und Training …………………………………………………… 5Eigenständig lernenDas Lernbuch 4 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 8Unterricht planen und gestalten mit dem ATLAS MATHEMATIKJahresplanung mit dem Lehrermaterial …………………………………………………………………………………………… 10Lernen begleitenLernbegleitbogen, Lernzielblätter, Beobachtungsbogen ………………………………………………………………… 14Zielorientiert arbeitenDie Ziele des vierten Schuljahres ……………………………………………………………………………………………………… 19Lernmedien und Arbeitsmaterialien …………………………………………………………………………………………………30Lesetipps …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 32Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 408.05.2009 8:44:38 Uhr

ATLAS MATHEMATIK5Der ATLAS MATHEMATIKKreativität im Mathematikunterricht, Erkenntnis und TrainingKinder wollen sich die Welt erschließen. Dazu gehörenZahlen und Operationen ebenso wie Buchstaben und Bücher.Nach heutigem Lernverständnis ist Mathematik soindividuell wie die Sprache: Jeder Mensch baut sie in sichauf. Übereinkünfte regeln und erleichtern den zwischenmenschlichenAustausch.Die Welt „erschließen“ heißt nicht, sie neu zu erfinden.Was andere schon gefunden haben, wird wahrgenommen,verarbeitet und ins eigene Weltbild eingefügt. WasKinder brauchen, das sind Anregungen und die Gelegenheit,sich mit ihnen auseinander zu setzen, sie zu verarbeitenund sie schließlich in den eigenen Wissensbestandeinzubauen. Diese kreative Auseinandersetzung brauchtFreiräume auf dem Papier und in der Zeit. Kreatives Mathematik-Treiben brauchtAnregungen, Raum und ZeitDer ATLAS MATHEMATIK ist eine SAMMLUNG VON FRA-GEN, die Leute aller Alters- und Leistungsstufen herausfordernkönnen. Für Erwachsene, die sich mit Kindern daraufeinlassen, ist die Herausforderung eine doppelte:einmal die Mathematik, die auch sie vor Fragen stellt,dann die Aufgabe, den Überlegungen der Kinder zu folgen.Mit Kindern Mathematik zu treiben ist spannend. Aucheinfache mathematische Fragen können herausfordern –und wie Kinder sie angehen erst recht.In vielen Lehrwerken zur Mathematik wird das Lernen derKinder vorgeplant. Der Grund dafür liegt in der irrigen Annahme,dass der logische Aufbau der Mathematik garnichts anderes zulasse, oder der ebenso falschen Unterstellung,dass freies Lernen in der Mathematik die Kinderüberfordere (wo doch so viele Erwachsene mit ihr nichtklarkommen ...). Die leidige Tatsache, dass viele Erwachsenemit unguten Gefühlen auf ihre (Schul-)Mathematik-Karriere zurückblicken, liegt aber weniger an der Mathematikals an einem Unterricht, der Kindern nichts zutrautund ihnen deshalb ohne Rücksicht auf ihr Vorwissen undihr Denken eine fertige, von Erwachsenen vorgedachteMathematik überstülpt. Wie Kinder denken und wozu siefähig sind zeigt das spannend geschriebene Buch vonSPIEGEL und SELTER (2003):Kinder denken anders, als wir Erwachsene denken, anders,als wir es vermuten, und anders, als wir es gerne hätten.Mathematikunterricht heuteDer Auftrag des Mathematikunterrichts hat sich gewandelt.Durch die Verbreitung der elektronischen Rechengeräte hatder frühere Schwerpunkt, die Kulturtechnik „Rechnen“, anBedeutung verloren. „Mathematische Grundbildung“ ist alsHauptziel an ihre Stelle getreten.Nach PISA bedeutet mathematische Grundbildung: „DerMathematikunterricht sollte anstreben, die folgendendrei Grunderfahrungen zu ermöglichen:• Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehenoder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft undKultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen undzu verstehen,• mathematische Gegenstände und Sachverhalte,repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern undFormeln, als geistige Schöpfungen, als eine geordneteWelt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,• in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,die über die Mathematik hinausgehen, zu erwerben.“Grundsätzlich gewandelt haben sich nicht nur die Ziele,sondern auch die Vorstellungen darüber, was „Mathematik“in der Schule bedeuten soll, und die Art, wie man Mathematiklernt. Mathematische Grundbildung und Rechenfertigkeitsind keine Gegensätze. Die erste schließtdie zweite ein. Grundbildung basiert auf Einsicht. Aberauch Fertigkeiten sind einsichtig und vernetzt leichter zuerwerben und zu erhalten. Effizientes Lernen ist einsichtigund vernetzt.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 508.05.2009 8:44:38 Uhr

6Kreative Aktivitäten und SpieleEntsprechend den Zielen und den heutigen Erkenntnissenbezüglich des Lernens enthält der „Atlas Mathematik“:• Aktivitäten zur Entwicklung von Erkenntnissen undVorstellungen.Kennzeichen: Anregungen zur Auseinandersetzungmit Fragen und zu kreativen Tätigkeiten, die „Lernspuren“hinterlassen.• Trainingseinheiten für Fertigkeiten.Kennzeichen: Beliebige Wiederholbarkeit, oft inSpielform. Gute Lernspiele sind einfach in den Regelnund im Material, sind im Schwierigkeitsgrad breitvariierbar und bieten ein intensives Training.Die Handlungsschritte werden dazu in einer Stellentafelnotiert. Die Seiten 34 bis 37 enthalten Beispiele dazu, bildenaber natürlich keinen Ersatz für die Eigentätigkeit derKinder, sondern sollen diese anregen.Verteilen können die Kinder auch ohne Kenntnis des Einmaleinsbereits im Kindergarten. Auch für ein an dieHandlung angelehntes Verfahren der schrittweisen Divisionist die Beherrschung des Einmaleins nicht eine zwingendeVoraussetzung. Es ist im Gegensatz zu den reinformalen Verfahren auch Kindern mit Defiziten oder Lernschwierigkeitenin Mathematik zugänglich.Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 34 Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 36Beispiele von Aktivitäten(Lernbuch 4 „Ich kann Mathematik“, Seiten 34 – 37)Die Division gilt als schwierigste Rechenoperation. Dabeiist den Kinder das gerechte Verteilen sehr vertraut. Siewissen auch, dass es je nach dem aufgeht oder etwas übrigbleibt.Rechenverfahren zur Division können direkt aus demhandelnden Verteilen oder Aufteilen abgeleitet werden.Aktivitäten und produktive Übungen ausdem „Atlas Mathematik“ erleichternBeobachtungen über den Lernstand der Kinder.Die Übungen lassen sich dem Lernstanddes Kindes auf einfache Weise anpassen.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 608.05.2009 8:44:38 Uhr

ATLAS MATHEMATIK7Beispiel einer Trainingseinheit(Lernbuch 4, Seite 62)Das Ziel der Trainingseinheiten ist Sicherheit.Spielformen an Stelle der üblichen „Einweg-Arbeitsblätter“bieten viele Vorteile:• Sie sind repetitiv in zweierlei Hinsicht: Im Spiel wirdeine Aufgabe (Summe bilden) mit großer Häufigkeitausgeführt. Das Spiel als Ganzes kann beliebig oftwiederholt werden, auch in späteren Schuljahren. Jeeinfacher und bekannter das Spiel ist, desto bessergeht das. Das ist wichtig, weil Fertigkeiten ohneanhaltendes Üben wieder verloren gehen.• Sie benötigen keine mathematikfremde Verpackungzur Motivation (Es geht nur um die Summe dreierZahlen). Damit können die Kinder im Spiel ihrwachsendes Können erkennen – und sich daranerfreuen und motivieren. Die originelle Gestaltungund Garnitur von Arbeitsblättern ist für Schwächereoft ein Lernhindernis.• Sie lassen sich im Schwierigkeitsgrad leicht denBedürfnissen der Lernenden anpassen und allmählichsteigern. Die Anpassung und Steigerung kannvon den Lernenden selbst vorgenommen werden.• Sie motivieren zur gegenseitigen Kontrolle – was dieIntensität der Rechentätigkeit natürlich erhöht.• Sie geben den Kindern Gelegenheit, bei den Spielregelnihre Kreativität zu zeigen, indem sie dieseautonom ändern oder selbst welche neu erfinden.• Spiele kommen meist ohne schriftliche Aufzeichnungaus. Das erschwert den Überblick über den Stand derKlasse. Es ist deshalb sinnvoll, die Kinder ab und zuihre Spielrunden protokollieren zu lassen. Damit odermit Varianten, die das Notieren der Rechnungenverlangen, wird auch das Schreiben und das Darstellenvon Rechnungen geübt.Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, Seite 62 In guten Lernspielen kommt der repetitiveCharakter eines Fertigkeitstrainingsbesser zum Ausdruck als in gedrucktenAufgabenserien.Einfachste Spielformen trainieren sehreffizient und sind praktisch kostenlos.Es gibt Kinder, die Rechenpäckchen aus Büchern oder aufRechenblättern sehr gerne bearbeiten. Andere möchtendas hie und da auch einmal versuchen. Wenn sie das freiwilligund ohne Zwang tun, ist das durchaus positiv zuwerten. Man muss ihnen dazu die Gelegenheit gebenund entsprechende Aufgaben zur Verfügung stellen.Eine sinnvolle und kreative Variante zu Rechenpäckchenzu kommen besteht darin, dass die Kinder selbst welchezusammentragen und austauschen. Anregungen dazufinden sie im „Atlas Mathematik“ an verschiedenen Orten.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 708.05.2009 8:44:39 Uhr

8Eigenständig lernenDas Lernbuch 4Als Leitidee hinter den Modulen steht die Vorstellung vonselbstbestimmtem eigenständigem Lernen. Zu den wichtigstenLernzielen wurden deshalb in den LernbüchernICH KANN MATHEMATIK Module so aufbereitet, dass siedie Kinder direkt ansprechen.In den Lernbüchern wurden die Module nicht als Lehrganglinear geordnet, sondern nach Zielen gruppiert. Damitwird unterstrichen, dass die in der Unterrichtsplanungvorgeschlagene Reihenfolge nicht zwingend ist.Es ist ausdrücklich erwünscht, dass Kinder in dafür geeignetenArbeitsphasen und zu Hause nach Lust und Launeauswählen. Entgegen der verbreiteten Meinung ist dieFreiheit beim Mathematiklernen sehr groß. Es ist die Mathematikselbst, die immer wieder zeigt, wenn etwasnoch fehlt, die Lernende zurückholt, wenn sie sich zu weitvorwagen. Werden alle im Lernbuch aufgenommenenModule im Laufe des Schuljahres bearbeitet – was ohneZeitdruck möglich ist – ist auch die Abdeckung der Lernzielegewährleistet.Aufgaben im traditionellen Format mit Feldern, in denendie Ergebnisse eingetragen werden sollen, fehlen in denLernbüchern weitgehend. An ihrer Stelle sind Anregungenzu kreativen Tätigkeiten und produktive Übungsformenzu finden. In diesen wählen die Kinder selbst Zahlenoder generieren sie mit einem Zufallsgenerator (Würfeloder Zahlenkarten). Die Inhalte des Lernbuchs repräsentierendie wichtigsten Ziele. Viele Zugänge sindmöglich. Die innere Logik der Mathematikgarantiert, dass eine von Neugier undInteresse geleitete Arbeit zu einemsinnvollen Ganzen führt.Übersichtsseite aus dem Lernbuch 4 Lernbuch 4 ICH KANN MATHEMATIK, S. 60Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 808.05.2009 8:44:39 Uhr

ATLAS MATHEMATIK9In den Lernbüchern erscheinen auch bekannte Aufgabenund Übungen in einem neuen Gewand:• Der Text spricht die Kinder immer direkt an: mit derFrage, der Beschreibung und dem Ziel. Alle zurBearbeitung notwendigen Informationen stehen aufden Blättern, ebenso die Ziele. Sie sind in einer denKindern zugänglichen Sprache geschrieben, das heißtin einer Sprache, die im Verlauf der Arbeit mit denModulen erworben wird. Auch Fachbegriffe wie„Addition“,„addieren“ usw. gehören dazu.• Mit den Lernbüchern arbeiten zu können ist ein Zielfür die ganze Schulzeit: selbstständig mathematischenFragen nachgehen zu können. Bei Schulbeginnist das schon vom Textverständnis her noch nicht derFall und auch für die folgenden Jahre gilt: Diemeisten Kinder benötigen mehr oder weniger Hilfedazu von Lehrpersonen, Eltern, Geschwistern oderBetreuungspersonen.• Die Lernbücher sind kein „Einwegmaterial“, dasbearbeitet und weggelegt wird. Die festgehaltenenÜberlegungen, Rechnungen und Ergebnisse erinnernspäter an gewonnene Erkenntnisse. Viele Übungenerscheinen als Spiele, die immer wieder gespieltwerden können.Lernbestand und FörderplanungDas Lernbuch ist mehr als ein Arbeitsbuch. Dank seinerStruktur geben die bearbeiteten Seiten mit den zugehörigenEigenproduktionen der Kinder ein Bild ihres Lern-• Die Module sind im Lernbuch thematisch nach Zielengeordnet und können in unterschiedlicher Reihenfolgebearbeitet werden.• Die Seiten der Module enthalten viel freien Raum, derzu Notizen und Zeichnungen einlädt. Auf „motivierendeFüll-Illustrationen“ wird absichtlich verzichtet.Die Fragen sind Motivation genug.Die Seiten des Lernbuchs 4 enthalten Texte,die sich in ihrer Form an die Kinder richten.Es wird aber immer noch davon ausgegangen,dass die Seiten mit den Kindern gelesenund erarbeitet werden.Die ins Lernbuch aufgenommenen Beispiele von Kindernsind keine nur nachzuvollziehenden Muster. Sie sollen zuDiskussionen und eigenen, neuen Beispielen anregen.Beispiel Titelbild: Passen wirklich 120 l in eine Badewanne?Wie viel müsste man pro Tag trinken, um die Badewannezu leeren?stands. Diese Produkte zusammen mit den noch offenenSeiten bilden auch die Grundlage für eine individuelleFörderplanung. Der Begleitbogen zum Lernbuch ergibtfür die Lehrerin ohne großen Aufwand ein Mathematik-Profil des Kindes.Ausschnitt aus dem Begleitbogen zum Lernbuch 4Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 908.05.2009 8:44:42 Uhr

10Unterricht planen und gestaltenJahresplanungIn Etappen durch das SchuljahrIn der im ATLAS MATHEMATIK vorgeschlagenen Unterrichtsplanungsind die Schuljahre in ETAPPEN gegliedert.Größen und Zuordnungen werden vorteilhaft mit anderenThemen verbunden, können aber auch in eigenenEtappen bearbeitet werden. Die Geometrie wird in derJahresübersicht separat aufgeführt. Sie ist an keine Reihenfolgegebunden und kann an beliebiger Stelle in denZeitplan eingebaut werden.Da die arithmetischen Fertigkeiten immer wieder ge-pflegt werden müssen, ist es sinnvoll dafür regelmäßigZeit zu reservieren, beispielsweise jeden Tag einmal nachder Pause eine kurze Übung. Unter FITNESS sind dazuÜbungen und Spiele zusammengestellt.Abweichungen in der Reihenfolge der Etappen, die sichaus Fragen oder Aktivitäten der Kinder ergeben, sindmöglich. Sie werden von der Fachlogik automatisch wiederkorrigiert: Fehlen Voraussetzungen, ist das eine Motivation,diese nachzuholen. Kommt etwas zu früh und dieKinder sind überfordert, verlieren sie rasch ihr Interesseund kehren gerne auf den „Normalpfad“ zurück. HabenEtappenFitnessGrößenZuordnungenmit großenZahlenumgehenE1große Zahlen lesen,schreiben, rundenxGeldE2 mit Hohlmaßen umgehen Hohlmaße TabellenE3 addieren und subtrahieren xdezimaleGrößenE4 schriftlich multiplizieren x Längenmultiplizierenund dividierenauf PapierE5 mit Tabellen arbeiten xGewichte,Geld, LängenTabellenE6 schriftlich dividieren x GeldOperationen inSachsituationenund TextenerkennenE7 vergrößern und verkleinern Längen TabellenE8E9Größen multiplizierenund dividierenmit Sachsituationen undTexten arbeitenxLängen,HohlmaßeZeit, GeldTabellenbeschreibenund zeichnenG1G2Bilder und Musterbeschreiben und entwerfenmit Geodreieckund Zirkel zeichnenxLängenMusterGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1008.05.2009 8:44:42 Uhr

ATLAS MATHEMATIK11sie etwas wieder vergessen, wird es nochmals neu thematisiert.Zeit dafür ist genug.Aus der Anzahl der Etappen lässt sich eine durchschnittlichezeitliche Dauer von zwei bis drei Wochen errechnen.Wie lange die einzelnen Etappen aber bearbeitet werdensollen, hängt von der Klasse ab.Zum Einstieg in eine Etappe sollte man den Kindern Gelegenheitgeben zu zeigen, was sie mitbringen. Erst wennman das weiß, können sie mit Fragen und Antwortenrichtig herausgefordert werden.Bringen die Kinder viel mit, gewinnt man entsprechendZeit, um auf ihre Ideen einzugehen, sich auf Experimentemit ihnen einzulassen. Bringt die Mehrheit der Kinder nurwenig mit, konzentriert man sich auf das Grundlegendeund hat so reichlich Zeit dafür. Mit Drängen kann man dieEntwicklung der Kinder nicht beschleunigen, man kannnur das Angebot ihren Bedürfnissen anpassen.Module: Bausteine für das LernenZu jeder Etappe gehört ein Angebot von Modulen (Unterrichtseinheiten),das alle Ziele der Etappe abdeckt. JedesModul geht von einer Frage aus, mit der die Lernendendirekt angesprochen werden.Wenn möglich und sinnvoll sind auf allen ModulkartenHinweise zur inneren Differenzierung aufgeführt: Hilfenfür über- und Erweiterungen für unterforderte Kinder.Zunächst bietet man allen Kindern in der Klasse dieselbenModule an. Schon bald zeigt sich jeweils, welcheKenntnisse – auch im Lesen und Schreiben – die Kindermitbringen, wo ihre Interessen sind, was sie erwarten,worauf sie sich freuen, wovor sie Angst haben.Wenn die Kinder ihre Umgebung kennen gelernt haben,mit dem Material vertraut sind und erste Erfahrungen inder Zusammenarbeit mit den anderen Kindern gemachthaben, kann man einzelne Module auch Gruppen, Partnerkindernoder einzelnen Kindern anbieten. Die Kinderkönnen dann Spiele oder Aufgaben, die sie gemacht haben,an andere weitergeben. Sie tun das gern, wenn dieAufgabe, das Spiel, ihnen gefallen hat. Sie lernen dabei,indem sie ihren eigenen Lernprozess nachvollziehen undsich verständlich ausdrücken müssen.Modulkarte Schriftlich multiplizieren aus Etappe 4„Schriftlich multiplizieren“Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1108.05.2009 8:44:43 Uhr

12Etappenziele erreichen:Etappenkommentar und EtappenplanFür die permanente Beobachtung und Standortbestimmungder Kinder im Hinblick auf das Erreichen der Lernzielebietet der ATLAS MATHEMATIK zu jeder Etappe zweiHilfsmittel: den Etappenkommentar und den Etappenplan.Der ETAPPENKOMMENTAR beschreibt, worum es in derEtappe geht. Er geht aus von der Perspektive der Lernenden(wie berührt sie das Thema der Etappe?), enthält dieZiele der Etappe und schließlich Hinweise für die Lehrperson(s. auch Abb. auf S. 11).Im ETAPPENPLAN findet man zu jeder Etappe eine Übersichtüber die zugehörigen Module (s. Abb. auf S. 13).Neben dem benötigten Material, der Sozialform, demModultyp und dem Anforderungsniveau ist zu jedem Moduldas wichtigste Lernziel (z. B. „Zahlen in Faktoren zerlegen“)und die den Lernprozess anregende Eingangsfrage(z. B. „Welche Produkte sind gleich?“) angegeben. Eine Erklärungder Abkürzungen findet sich bei den Etappen aufder CD-ROM.mathematische Kompetenzen,die in der Etappeangesprochen werdenSchwerpunkte der Arbeit und BeobachtungZiele derEtappeDie fett gedruckten Fragenerleichtern das Beobachtender Kinder.Aus dem Etappenkommentar zur Etappe 4 „Schriftlich multiplizieren“Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1208.05.2009 8:44:44 Uhr

ATLAS MATHEMATIK13ModuleMaterialSozial–formen TypAnforderungenM0730LB 4, S.32Multiplizieren auf der StellentafelWie weit kommst du in 1000 Schritten?Arbeitsheft,MessbandEAA BMultiplikationen auf die Stellentafel übertragenGM0722LB 4, S.38Schriftlich multiplizierenWie kannst du schriftlich multiplizieren?Taschenrechner,Stellentafel,Zahlenkarten bis 100EAPAA BMultiplikationsschritte erklärenG/EM0723LB 4, S.46Stellen-EinmaleinsWie viele Nullen hat das Ergebnis?Taschenrechner,Stellentafel,Einmaleins-Tabelle,EAA Bdas Stellen-Einmaleins verstehen und anwendenGM0392Gleiche ProdukteWelche Produkte sind gleich?Schreibzeug,ArbeitsheftTaschenrechnerEAA BZahlen in Faktoren zerlegenG/E/ZM0728LB 4, S.52Multiplikationen überschlagenMultiplikationen überschlagenTaschenrechnerEAA BWie kannst du Multiplikationen überschlagen?GAusschnitt aus dem Etappenplan zur Etappe 4 „Schriftlich multiplizieren“Aus dem Etappenplan wird auch ersichtlich, ob es zu demModul passende Seiten im Lernbuch gibt.Während die Kinder mit der Arbeit an den einzelnen Modulenbeschäftigt sind, können sie einzeln zur Standortbestimmungbeobachtet werden:• Wer macht was?• Wer ist wie weit?• Wer ist überfordert?• Wer ist unterfordert?Aus der permanenten Beobachtung und der Standortbestimmungergeben sich gleichzeitig Anhaltspunkte fürdie weitere Planung:• Welche Module aktivieren die Kinder besonders?• Welche kommen nicht an?• Braucht ein Kind die im Modul angebotene Hilfe, eineAlternative, ein Erweiterungsangebot?• Welche neuen Module können eingeführt werden?Besondere Auffälligkeiten, denen man auf den Grund gehenmuss, wie auch positive Feststellungen können stichwortartigim Etappenplan notiert werden.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1308.05.2009 8:44:45 Uhr

14Lernen begleitenLernbegleitbogen, Lernzielblätter, BeobachtungsbogenDer Lernbegleitbogen als LernhilfeAlle Lernziele eines Schuljahres sind im Lernbegleitbogenzusammengefasst. Als Begleitbogen der Schülerinnenund Schüler ist er auch die Grundlage für eine individuelleFörderplanung. Der Lernbegleitbogen ist in erster Linieein Beobachtungsbogen. Er dient der positiven Beobachtung:als Hilfsmittel um festzustellen, was ein Kind allesschon kann – mitbringt oder gelernt hat. Er ist kein Pflichtenheft,weder für das Kind noch für die Lehrperson.Vieles bringen die Kinder schon mit, anderes werden sie lernen.Die zwei Felder rechts dienen der „Buchhaltung“. In derersten Spalte kann das jeweilige Lernziel abgehakt werden;in der Spalte dahinter ist Platz für einen Kommentar.Der Lernbegleitbogen erscheint auf den ersten Blick vielleichtetwas zu umfangreich und es stellt sich die Frage,wie solche Bögen für eine ganze Klasse ausgefüllt werdenkönnen. Dazu muss man sich bewusst sein, dass die Bögendas ganze Jahresprogramm enthalten – und entsprechenddas ganze Jahr zur Verfügung steht, sie auszufüllen. Konzentriertman sich in jeder Etappe auf wenige Fragen – undin jeder Lektion auf einzelne Kinder –, können diese Beobachtungenin einer Pause oder nach Schulschluss ohne großenAufwand schnell eingetragen werden.Für Elterngespräche garantiert mir der Lernbegleitbogen– zusammen mit Arbeiten der Kinder – eine aussagekräftigeGrundlage und ersetzt mir weitgehend eine besondereVorbereitung der Gespräche.Ausschnitt aus dem LernbegleitbogenZahlen mit Zahlen umgehen G E ZZahlen lesen undschreibengroße Zahlen lesen und schreibenZahlen rundenin großen Schritten zählenZählen, Zahlen ordnengroße Zahlen ordnengroße Zahlen auf dem Zahlenstrahl anzeigenAnzahlen und MaßzahlenerfassenBeziehungen zwischenZahlen erkennengroße Mengen und Größen schätzengroße Zahlen vergleichenAusschnitt aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1408.05.2009 8:44:45 Uhr

ATLAS MATHEMATIK15LernzielblätterIm Lernbegleitbogen sind die beobachtbaren Lernzielestichwortartig formuliert.Die Aufgaben der Lernzielblätter zeigen, wie das Ziel zuverstehen ist. Aus den Lernzielblättern wird außerdemdeutlich, was grundlegend wichtig und was wünschenswertist.Wo möglich, ist auf den Blättern Platz für das Bearbeitender Aufgaben frei gelassen. Dieser wird aber nicht immerausreichen. Das Arbeitsheft ist deshalb immer in die Arbeitmit einzubeziehen.Die Aufgaben mit grundlegendenAnforderungensind immer ausformuliertDie Blätter sind grundsätzlich„nach oben offen“.Lernzielblatt „Operationen auf Papier sicher ausführen“Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1508.05.2009 8:44:45 Uhr

16Wie können diese Blätter eingesetztwerden?• Aus dem Etappenplan und dem Etappenkommentarwird deutlich, welche Lernziele in der Etappe angesprochenund erreicht werden sollen. Die dazupassenden Lernzielblätter können einzelnen Kindern,von denen vermutet wird, dass sie die Aufgabenschon lösen können, schon vor der Bearbeitung derEtappen im Unterricht gegeben werden. Wenn dasder Fall ist (was immer wieder vorkommt), könnendiesen Kindern andere Aufgaben gestellt werden,solche, die sie herausfordern. So können Unterforderungen,Langeweile und Störungen vermiedenwerden.• Im Laufe der Arbeit kann man jenen, die das Zielerreicht haben (Lernbegleitbogen!), die Aufgaben zurBestätigung geben.• Diejenigen Kinder, denen gewisse Kompetenzen nochfehlen, bedürfen unterstützender Hilfe. Ihnen werdendie Aufgaben zu den Lernzielen erst später gegeben,wenn sie dazu bereit sind, als Bestätigung und alsKontrolle.Die Lernzielaufgaben sind nicht als Prüfungsaufgabengedacht und sollen auch nicht als solche missbrauchtwerden.Mit diesem flexiblen Einsatz der Lernzielaufgaben erreichtman, dass alle Kinder erleben: „Ich kann das“, wasim Lernbegleitbogen als Ziel enthalten ist. Die grundlegendenAnforderungen sollen alle erfüllen können, wennauch zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die Aufgaben miterweiterten Anforderungen bieten potenziell unterfordertenKindern Gelegenheit, ihr Können zu zeigen, undeinen Anreiz, sich vertiefter mit den Themen auseinanderzu setzen.Selbst wenn Kinder lesen können, bedürfen die Lernzielaufgabeneiner sorgfältigen Einführung. Vor allem amAnfang kann es sein, dass Kinder den mathematischenSachverhalt zwar verstanden haben und beherrschen,dass sie aber noch nicht in der Lage sind, den Text einerAufgabe richtig zu interpretieren und selbstständig zuentscheiden, ob sie die Aufgabe bearbeiten können. Es istdeshalb sinnvoll, dass man mit den Kindern Beispiele erarbeitet,sei es mit einzelnen Kindern, sei es mit allen. Bestehtder Eindruck, dass Kinder fähig sind, mit den Aufträgenzu arbeiten, werden sie ihnen angeboten. Der Lernbegleitbogen bietet eine solideGrundlage für Gespräche mit Eltern. DieLernzielaufgaben zeigen auch den Eltern,wie die Kompetenzen des Bogens zu verstehensind, was ihr Kind schon kann und wasnoch nicht.BeobachtungsbogenIm Unterricht stellen sich immer wieder die Grundfragen:„Was können die einzelnen Kinder? Wo steht die Klasseals Ganzes? Wie bekomme/behalte ich den Überblick?“Der Beobachtungsbogen zum ATLAS MATHEMATIK enthältauf seinen etwas mehr als zwanzig Zeilen die wichtigstenKompetenzen (z. B. „Zahlen lesen und schreiben“),an denen in allen Schuljahren auf unterschiedlichem Niveaugearbeitet wird – und viel Raum, um sich Notizendazu machen zu können.Die Kompetenzen sind in allen Teilen des ATLAS MATHE-MATIK (Planungsunterlagen, Lernbücher) gleich ausgewiesenund mit Bildsymbolen gekennzeichnet. Arbeitetein Kind an irgendeinem Auftrag, können es selbst unddie Lehrperson unmittelbar sehen, welche Kompetenz dabeigezeigt und beobachtet werden kann.Beispiel: Spielen Kinder „Potz 1000“ (Lernbuch 3 S.56/57) inder einfachsten Form, können sie dreistellige Zahlen addierenund die Differenz der Summe zu 1000 bilden. Auf demBeobachtungsbogen kann das auf der Zeile „Operationensicher ausführen“ eingetragen werden.Beobachtungen zu einzelnen Kindern können auch aufEinzelblätter notiert und in Mappen gesammelt werden.Ein Beobachtungsbogen auf jeder Mappe ermöglicht mitwenig Mehraufwand eine Kontrolle über die Beobachtungen.Die Einträge auf der Liste zeigen ein Kompetenzprofilmit Stärken und Schwächen und dienen als Grundlage füreine Beurteilung.Die Einträge auf den Beobachtungsbogen können auf einemÜbersichtsblatt für die Lerngruppe zusammengetragenwerden und liefern so eine gute Grundlage für einezielorientierte Unterrichtsplanung, die vom aktuellenLernstand ausgeht.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1608.05.2009 8:44:47 Uhr

ATLAS MATHEMATIK17Beobachtungsbogen Mathematik PrimarstufeDatenbank (in Planung)In der Datenbank sind alle Module der Etappen enthalten.Darüber hinaus bietet die Datenbank eine ganze Reihevon Zusatzfunktionen:• Zu vielen Modulen sind zusätzliche Kommentare undKopiervorlagen vorhanden.• Zu vielen Modulen sind Dokumente aus dem Unterrichthinterlegt. Bilder aus den Klassenzimmern undkommentierte Dokumente von Lernenden gebeneinen Eindruck, wie das Modul eingesetzt werdenkann und welche Ergebnisse erwartet werdenkönnen bzw. welche möglich sind.• Zu jeder Etappe gibt es ein Differenzierungsangebotmit weiteren Modulen, die das Grundangebotergänzen oder gegen Module des Grundangebotsausgetauscht werden können.• Im Suchfenster können Module gezielt nach verschiedenenKriterien gesucht werden: nach Zielen, nachStichwörtern, nach Materialien und nach Titeln,Nummern und Textstellen.• Die Datenbank bietet die Möglichkeit, für jedes Kindeinen Lernplan mit einer Liste individuell zusammengestellterModule auszudrucken. Im Lernplan kanndas Kind seine Meinung zu den Modulen notierenund eine Einschätzung der eigenen Fähigkeitenvornehmen. So kann es allmählich Verantwortung fürsein Lernen übernehmen. Es führt Buch über dasGetane, stellt fest: „Ich kann ...“, was sein Selbstvertrauenstärkt und die Motivation erhöht. Der Lehrpersonermöglichen die Eintragungen im Lernplangezieltes Nachfragen und weitere Einblicke in dieDenkweise der Kinder. Möglicherweise hat ein Kindeine Aufgabe, die ihm nicht gefallen hat, nichtverstanden. Die Hilfe der Lehrkraft erleichtert es demKind, das Problem nochmals anzugehen. Nimmt dasKind am Elterngespräch teil, kann es mit demLernplan und seinen Unterlagen den Eltern zeigen,wo es steht.• Die Angaben auf den Modulkarten können verändertwerden, neue Module können erfasst und an Kolleginnenund Kollegen weitergegeben werden. Fürdiese Arbeiten steht ein Eingabeformular zurVerfügung.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1708.05.2009 8:44:47 Uhr

18Ausschnitt aus der Übersicht Lernbücher 1–4Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1808.05.2009 8:44:48 Uhr

ATLAS MATHEMATIK19Zielorientiert arbeitenDie Ziele des vierten SchuljahresDas vierte Schuljahr ist ein Jahr der Bilanz. Vielerorts werdenin diesem Schuljahr die Weichen für die schulischeZukunft gestellt. In ihrer Arbeit mit dem Lernbuch dokumentierendie Kinder, was sie wie gut verstanden habenund wo ihre speziellen Interessen liegen. In ihrer ganzenArbeit liegt ihr Leistungsausweis – nicht nur in isoliertenTestarbeiten. Die Begleitbogen zu den Lernbüchern unddie Lernbegleitbogen der Schuljahre geben Auskunft überden Lernstand der Kinder und bilden eine gute Grundlagezu Beratung der Eltern in Übertrittsfragen.Im vierten Schuljahr wird vieles aus den früheren Jahrenwieder aufgegriffen und in neuen Zusammenhängen vertieft.Im Besonderen sind das• der Aufbau des Dezimal-Stellenwertsystems im Zusammenhangmit• den großen Zahlen,• den Rechenverfahren,• den Einheiten dezimaler Größen,• dem Rechnen mit dezimalen Größen• das Kopfrechnen• Einspluseins und Einmaleins ausgeweitet aufbeliebige Stufenzahlen,• beim Überschlagen (im Kopf!)• das schrittweise Rechnen• im Kopf,• auf Papier, mit oder ohne Stellentafel,• das Prinzip Sicherheit vor GeschwindigkeitAls neue Schwerpunkte kommen hinzu• der Umgang mit runden (gerundeten) Zahlen,• die Verfahren der schriftlichen Multiplikation undDivision,• das überschlagende Rechnen in allen GrundoperationenDer Unterricht im vierten Schuljahr ist allgemein bildend,alle Kinder sollen davon profitieren können, vom lernbehindertenbis zum hochbegabten. Alle mathematischenInhalte werden deshalb von Handlungs- und Alltagsbezügenausgehend entwickelt, bewegen sich dann aber auchschon in abstraktere Gefilde. Ein besonderes Augenmerkist deshalb darauf zu richten, dass sich die Kinder nur soweit vorwagen, dass sie die „Bodenhaftung“ nicht verlieren,die Rechenverfahren nur so weit formalisieren, wiesie sie noch verstehen können. Für das Ziel, jederzeit etwasausrechnen zu können, reicht das.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 1908.05.2009 8:44:49 Uhr

20Zahlen Ich kann mit Zahlen umgehen G E ZZahlen lesenund schreibengroße Zahlen lesen und schreibenZahlen rundenin großen Schritten zählenZählen, Zahlen ordnengroße Zahlen ordnengroße Zahlen auf dem Zahlenstrahl anzeigenAnzahlen undMaßzahlen erfassengroße Mengen und Größen schätzenBeziehungen zwischengroße Zahlen vergleichenZahlen erkennenAusschnitt „Zahlen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrZahlenMit großen, „runden“ Zahlen umgehenVorstellungen von Zahlen sind vom Zahlenraum abhängig.Mengen mit bis 5 Elementen können wir ungeordnet,bis etwa 10 geordnet direkt erkennen. D.h. wir haben entsprechendeMengenbilder visuell gespeichert. Zahlen bis100 können wir bündelnd erfassen. Für sie kennen wirviele Beispiele aus dem Alltag. Größere Zahlen werdenzunehmend abstrakter, werden schlecht lesbar (Beispiel9628234) und entziehen sich der direkten Vorstellung, essei denn sie werden gerundet (Beispiel 9 000 000). Zahlenin Tabellen bedeuten oft „Tausend“ oder „Millionen“.Diese Zehnerpotenzen bekommen dabei den Charaktervon Größeneinheiten.Zur Kompetenz im Umgang mit großen Zahlen gehört:• Sie in angepasster Genauigkeit lesen und speichern.Nur so können Operationen überschlagend ausgeführtwerden.Beispiel: 14 995 lesen als „etwa 15 000“• Mit einer der Situation angepassten Genauigkeit arbeiten.Beispiel 14 995 + 2 950 lesen und überschlagen als15 000 + 3 000 = 18 000• Sich ihren Platz in der Stellentafel vorstellen.Beispiel „3 Millionen“ ist eine 3 mit 6 Nullen• Typische Repräsentanten kennen.Beispiel Die Stadt Berlin hat etwa3 ½ Millionen Einwohner.Große Zahlen können verschiedene Qualitäten haben.Oft sind sie gerundet, manchmal aber auch nicht. ZweiBeispiele zeigen unterschiedliche Bedeutungen von3 000:„Am Umzug haben 3 000 Personen teilgenommen.“„Dem Kinderheim wurde ein Check über 3 000 überreicht.“Beim ersten Beispiel ist die Zahl eine Schätzung. Die Nullenin „3 000“ machen die 3 zu Tausendern, haben aberkeine weitergehende Bedeutung. Die Aussage bleibt auchbei 2 863 oder 3 128 Teilnehmern richtig. Eigentlich müssteer lauten „Es haben ungefähr 3 000 Leute teilgenommen.“Beim zweiten Beispiel sind es exakt 3 000. Geldbeträgekönnen zwar auch ungefähr angegeben werden.Die Hand wechseln können aber nur konkrete, exakteSummen.Bemerkungen zu den Zielenim LernbegleitbogenZahlen lesen und schreibenVielziffrige Zahlen sind optisch schwierig zu erfassen. Diezugehörigen Zahlwörter sind lang und recht kompliziert.Deshalb werden die Ziffern von rechts durch Abständeoder Punkte in Dreiergruppen eingeteilt. Diese Schreibweiseerleichtert auch das Bilden der Zahlwörter.Beispiel: 82264975 = 82.264.975 = 82 264 975Mehrere Zahlen können besser verglichen werden, wennsie rechtsbündig untereinander geschrieben werden.Handschriftlich ist das nicht ganz einfach. Es braucht dazueine „Stellentafel im Kopf“.Im Alltag ist von großen Zahlen oft nur deren Größenordnungvon Interesse. Dazu genügt es, die höchsten Stellenzu erfassen und zu lesen.Beispiel: 82 264 975 wird als „82 Millionen“gelesenin Ziffern geschrieben 82 000 000Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2008.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK21Das heißt nichts anderes, als dass Zahlen beim Lesen abgerundetwerden. Die Nullen in 82 000 000 machen ausder 82 die Millionen. Es sind keine „exakte“ sondern Rundungsnullen.Beispielhafte Module:• Wie groß ist die Zahl 82264975? (Lernbuch 4, S. 10)• Welche Nachbarn hat eine Zahl? (Lernbuch 4, S. 12)• Was merkst du dir? (Lernbuch 4, S. 14)• Wie liest du die Preise? (Lernbuch 4, S. 16)Zählen, Zahlen ordnenBeim Zählen von (Spiel-)Geld in großen Scheinen wird derUmgang mit großen Zahlen geübt. Große Zahlen lassensich auf dem Zahlenstrahl nur ungefähr lokalisieren – einGrund mehr, mit gerundeten Zahlen zu arbeiten. Mit dengroßen Zahlen verschwindet beim Zahlenstrahl der Anfangspunkt:Meist werden nur je nach Bedarf ganz verschiedeneAusschnitte verwendet (z.B. in grafischen Darstellungen).Als Bild für die Ordnung der Zahlen dient auch die Stellentafel.Sie zeigt die Größenordnungen der Zahlen.Beispielhafte Module:• Welche Nachbarn hat eine Zahl? (Lernbuch 4, S. 12)• Wer bekommt die größte Summe? (Lernbuch 4, S. 18)• Wie zählst du? (Lernbuch 4, S. 19)• Monopoly (Spiel)• Wo liegen die Zahlen auf dem Strahl? (Lernbuch 4, S. 20)Anzahlen und Maßzahlen erfassenFür Zahlen größer als 1 000 gibt es im Alltag nur wenigkonkrete Beispiele (z.B. 2 000 Blatt Kopierpapier sind 4 Paketeà 500 Blatt). Die Einwohnerzahl des Wohnorts kannman zwar einer Statistik entnehmen, sich aber außer beisehr kleinen Ortschaften nur ein sehr vages Bild davonmachen (man stelle sich „50 000 Einwohner“ vor). Fürgroße Zahlen geht es deshalb darum, sich neben persönlichenRepräsentanten (Kopierpapier) auch Strategien fürbildhafte Vergleiche anzueignen (1 000 000 Blatt Kopierpapierergeben einen Stapel von 1 000 x 10 cm = 100 m)Beispielhafte Module:• Wie groß ist eine Million? (Lernbuch 4, S. 22)Beziehungen zwischen Zahlen erkennenBei kleinen Zahlen ist der „Unterschied“ gleichbedeutendmit der Differenz. Zum Vergleich großer Zahlen ist aberoft das Verhältnis der Zahlen aussagekräftiger als die Differenz.Beispiel Zwei Städte mit 3 000 000 und 3 200 000Einwohnern sind praktisch gleich groß.Sie sind aber dreimal so groß wie eine Stadt mit1 000 000 Einwohnern.Beispielhafte Module:• Wie kannst du Zahlen vergleichen? (Lernbuch 4, S. 24)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2108.05.2009 8:44:49 Uhr

22Operationen Ich kann Operationen verstehen und ausführen G E ZZahlen zerlegenOperationen mitHandlungen undSituationen verbindenRechengesetze formulieren,als RechenhilfeverwendenZahlen auf Stellenzahlen ergänzenin Zahlen Vielfache erkennenMultiplikationen auf die Stellentafel übertragenDivisionen auf die Stellentafel übertragenMultiplikationsschritte erklärenDivisionsschritte erklärendas Stellen-Einmaleins verstehen und anwendenAdditionen überschlagenSubtraktionen überschlagenMultiplikationen überschlagenOperationensicher ausführenDivisionen überschlagenZahlen auf Papier addierenZahlen auf Papier subtrahierenZahlen auf Papier multiplizierenZahlen auf Papier dividierenOperationen in Zusammenhängenerkennenund anwendenGrundoperationen in Sachsituationen erkennen und anwendenGrundoperationen in Texten erkennen und anwendenAusschnitt „Operationen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrOperationen: Überschlagen im Kopf, rechnenauf PapierÜberschlagenIm Zeitalter der elektronischen Rechengeräte bedeutetarithmetische Kompetenz die Fähigkeit, überschlagend(Kopf-)rechnen zu können. Das Überschlagen ist anspruchsvollerals das mechanische Ausführen von schriftlichenAlgorithmen, weil es sowohl ein Zahl- als auch einOperationsverständnis voraussetzt.Wichtig ist die Größenordnung des Resultats und nichtdas akribische Einhalten von Rundungsregeln. Es mussdaher mit einer gewissen Lockerheit vollzogen werdenkönnen und für viele Aufgaben auch genügen. Sonstbleibt es ein widerwillig vollzogener Zusatz zur „richtigen“Rechnung.Rechnen auf Papier: multiplizieren und dividierenBeim Rechnen auf Papier geht es darum, Operationen mitgroßen Zahlen in geeignete Schritte zu zerlegen. Von denKindern einsichtig selbst entwickelte Verfahren werdenüblicherweise als „halbschriftliche“ bezeichnet. Diesengegenüber stehen schriftliche Normalverfahren, die mitdem Ziel der schnellen Ausführbarkeit bei minimalemSchreibaufwand entwickelt worden sind. Ihre Kompaktheit,Komplexität und Willkür machen sie aber schwerdurchschaubar, vor allem dann, wenn zwischen ihnen undden selbst entwickelten Verfahren kein einsichtiger Zusammenhangbesteht. Die Willkür der Normalverfahrenzeigt sich unter anderem darin, dass in verschiedenenLändern unterschiedliche Verfahren tradiert und vorgeschriebenwerden bzw. in der Vergangenheit verlangtworden sind.In den Lernbüchern wird das schrittweise Rechnen mitStellenwerten als universelles halbschriftliches Verfahrenangeboten. Es dient auch einem vertieften Verständnisunseres Stellenwertsystems. Die schriftlichen Verfahrenwerden dann aus den halbschriftlichen als optimierteSchreibweisen abgeleitet.Mit kleineren Zahlen können aus Sachsituationen schrittweiseMethoden entwickelt werden, die auf die Stellentafelübertragen zu (halb-)schriftlichen Algorithmen führen.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2208.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK23Alle Grundoperationen werden in drei Stufen entwickelt– mit Sachsituationen verbundenes Rechnen(in einem erweiterten Sinn „handelnd“)– schrittweises Rechnen in der Stellentafel(„halbschriftlich“)– Rechnen mit verkürzter Schreibweise(„schriftlich“)Im Lernbuch 3 (Seiten 36-43) wird für das Addieren undSubtrahieren ein Weg vom manipulativen Rechnen aufdem Rechenbrett zu den schriftlichen Verfahren gezeigt.Im Lernbuch 4 (Seiten 32-45) sind es entsprechende Wegefür das Multiplizieren und Dividieren. Dabei kommt alsneue Schwierigkeit dazu, dass durch die additive Zerlegungder Zahlen in Stellenwerte die Operationen gemischtwerden: Die schrittweise Multiplikation bestehtaus Multiplikationen und Additionen, die schrittweise Divisionaus allen vier Grundrechenarten.Die traditionellen Normalverfahren bestehen aus einemkomplexen Gemisch der Grundrechenarten. Die etwasdavon abweichenden Verfahren im Lernbuch 4 wurdenmit zwei Hauptabsichten entwickelt:• Die Endformen der Verfahren sind verkürzte Schreibweisender schrittweisen Rechnungen. Als Leitschnurdafür, wie weit die Kinder ihre Schreibweisen individuellverkürzen dürfen, dient ihre Sicherheit beimRechnen. Diese bleibt immer oberstes Ziel.• In den Verfahren werden die verschiedenen Grundrechenartenmöglichst getrennt. So bleiben sie nachvollzieh-und kontrollierbar.Bei der Multiplikation (Lernbuch 4, Seiten 32/33, 38-41)werden deshalb zuerst alle Multiplikationsschritte ausgeführtund die Überträge in den entsprechenden Spaltennotiert. Dann werden alle Teilprodukte inklusive Überträgeaddiert. Diese im Schriftbild etwas aufwändigere Darstellunghat gewichtige Vorteile:• Das fehleranfällige Zwischenspeichern und Addierenvon Überträgen fällt weg.• Es genügt eine einzige schriftliche Addition, die vonden Multiplikationen ganz getrennt ist.• Alle Teilrechnungen des Einmaleins bleiben sichtbarund können nachträglich kontrolliert werden. Fehlerkönnen einfach lokalisiert werden.Bei der Division (Lernbuch 4, Seiten 34-37, 42-45) lassensich die Teiloperationen nicht völlig entflechten. Die ausführlicheNotation der Subtraktionen wird deshalb beibehalten.Die einzige Verkürzung besteht dann darin, dass dieTeilquotienten direkt in die erste Zeile geschrieben werden.Damit verbunden ist der Nachteil, dass immer direkt diegrößtmöglichen Teilquotienten ermittelt werden müssen.Beim schrittweisen Rechnen ist das nicht notwendig.Operationen im Lernbuch 4Die Lernbuchseiten zu den Operationen erläutern diese ineiner gedrängten Form, gedacht als Zusammenfassungeiner Erarbeitung mit den Kindern und als Verständnishilfefür Eltern und Begleiter.Bemerkungen zu den Zielen im LernbegleitbogenZahlen zerlegenDie Wechselgeld-Situation ist eine der wenigen Gelegenheiten,bei denen im Alltag noch im Kopf gerechnet wird.Verlangt wird dabei eine Vertrautheit im Umgang mitgroßen Zahlen und das schrittweise Ergänzen auf dienächsten Stufenzahlen. Werte von Geldscheinen werdenadditiv zerlegt.Beim Dividieren im Kopf und auf Papier (93 : 8) ist dasgrößte Vielfache des Divisors (8) gesucht, das im Dividenden(93) Platz findet. Wer das nicht aus dem Einmaleinsdirekt abrufen kann (88 = 11 · 8), zerlegt den Dividendenschrittweise in bekannte Vielfache des Divisors (93 = 40+ 40 + 8 = 5 · 8 + 5 · 8 + 1 · 8 = 11 · 8). Einmaleins und Einsdurcheinsmüssen zwar „warm gehalten“ werden(Übungen dazu finden sich in den Lernbüchern 2 und 3),bei der Division können sie aber durch geeignete Zerlegungsschritteumgangen werden.Beispielhafte Module:• Wie viel Wechselgeld bekommst du? (Lernbuch 4, S. 28)• Welche Faktoren ergeben welche Produkte?(Lernbuch 4, S. 30)Operationen mit Handlungen und Situationen verbindenDie schriftliche Addition und die schriftliche Subtraktionkönnen direkt aus entsprechenden Manipulationen aufdem Rechenbrett (Lernbuch 3, S. 36-39) abgeleitet werden.Bei der Multiplikation und der Division braucht eseinen Zwischenschritt. Situationen des bündelnden Vervielfachens,des Teilens und Aufteilens führen über dasschrittweise Rechnen und seiner Notierung in der Stellentafelzu schriftlichen Algorithmen.Beispielhafte Module:• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch4, S. 32)• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2308.05.2009 8:44:49 Uhr

24Rechengesetze formulieren, als Rechenhilfe verwendenAus Sachsituationen entwickelte Rechenverfahren werden„verselbstständigt“, d.h. von den Sachsituationen gelöstund aus der Dezimalschreibweise der Zahlen in derStellentafel begründet. Optimierte Schreibweisen ergebendann daraus die „schriftlichen“ Verfahren.Beispielhafte Module:• Wie kannst du schriftlich multiplizieren?(Lernbuch 4, S. 38)• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)Operationen sicher ausführen„Sicher rechnen“ ist nicht gleichbedeutend mit „fehlerfreirechnen“. Ein Taschenrechner führt Operationen fehlerfreiaus. Die Sicherheit für ein richtiges Resultat ergibtsich aber erst durch eine Überprüfung, sei es durch einenÜberschlag oder eine zweite Rechnung. Zum überschlagendenRechnen gehören ein Gefühl für Größenordnungenund spezielle Rechenstrategien. Überschlagen istweit mehr als nur „etwas weniger genau rechnen“.Beispielhafte Module zum Überschlagen:• Wie kannst du Additionen überschlagen?(Lernbuch 4, S. 48)• Wie kannst du Subtraktionen überschlagen?(Lernbuch 4, S. 50)• Wie kannst du Multiplikationen überschlagen?(Lernbuch 4, S. 52)• Wie kannst du Divisionen überschlagen?(Lernbuch 4, S. 54)Beispielhafte Module zum Rechnen auf Papier:• Wie lauten deine Rechnungen (die zu „Schnapszahlen“führen)? (Lernbuch 4, S. 56)• Wie ergeben sich die kleinsten Unterschiede? (Lernbuch4, S. 58)• Wie bekommst du das größte Produkt? (Lernbuch 4,S. 60)• Wie geht es weiter? (Lernbuch 4, S. 61)• Findest du Divisionen ohne Rest? (Lernbuch 4, S. 62)• Welche Rechnung ergibt das größte Ergebnis? (Lernbuch4, S. 63)Operationen in Zusammenhängen erkennen und anwendenOperationen sollen in Sachsituationen helfen, Fragen zubeantworten und Erkenntnisse zu gewinnen. Für die Kinderist das am einsichtigsten, wenn die Sachsituationenihnen ein persönliches Anliegen oder ihnen zumindestvertraut sind. Muster können nur anregen. Die für die Kinderbedeutungshaltigen Fragen müssen von ihnen selberkommen.Sachaufgaben sind für viele Kinder mit Schwierigkeitenverbunden, die mit der Rechenkompetenz nichts zu tunhaben. Die beiden wichtigsten Hürden sind:• Sachaufgaben sind oft in einer „Sachaufgabensprache“geschrieben. Texte dieser Sorte sind auf ein Minimumverkürzt. Schlüsselwörter haben genau definierteBedeutungen. Wichtige Randbedingungenstehen zwischen den Zeilen.• Die den Aufgaben zugrunde liegenden Sachsituationensind den Kindern nicht vertraut. Oder wennschon, dann sind die dazu gestellten Fragen fern vonden für Kinder realen Sachfragen. Die sachliche Richtigkeiteines Resultats ist für sie deshalb nur schwerabzuschätzen.Beispielhafte Module:• Was benötigt dein Lieblingstier? (Lernbuch 4, S. 64)• Woraus besteht eine Sachaufgabe? (Lernbuch 4, S. 66)• Welche Informationen brauchst du? (Lernbuch 4, S. 68)• Wie geht die Geschichte weiter? (Lernbuch 4, S. 70)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2408.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK25GrößenZu EinheitenBeispiele angeben,Einheiten umrechnenGrößen schätzenund messenMit GrößenangabenoperierenIch kann mit Größen die Welt erfassenzu Hohlmaßen Beispiele angebenHohlmaße in Nachbareinheiten umrechnenBruchteile von Größen in kleineren Einheiten angebenRauminhalte vergleichenRauminhalte schätzen und bestimmenmit Rauminhalten rechnenGrößen addieren und subtrahierenGrößen multiplizierenGrößen dividierenG E ZAusschnitt „Größen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrGrößen: Rauminhalte, Grundoperationen mitdezimalen GrößenLängen und Gewichte können direkt verglichen werden.Als neue dezimale Maße kommen jetzt die Hohlmaßedazu, bei denen das nicht mehr möglich ist. Sie sind vielschwieriger zu vergleichen und zu schätzen und nur nochindirekt zu messen.Die Stellentafeln (Lernbuch 4, S. 98, siehe auch Lernbuch3, Seite 90) sind das Hilfsmittel beim Operieren mit dezimalenGrößen. Sie erleichtern ein allenfalls notwendigesUmrechnen der Einheiten oder machen es bei der Additionund Subtraktion ganz überflüssig. Gleichzeitig vertiefensie das Verständnis für das Stellenwertsystem.Bemerkungen zu den Zielen im Lernbegleitbogenzu Einheiten Beispiele angeben, Einheiten umrechnenWie bei den bereits bekannten Längen und Gewichtengeht es auch bei den Hohlmaßen für die Kinder darum,sich eine Sammlung von Repräsentanten für die verschiedenenMaßeinheiten zuzulegen um mit ihnen vertraut zuwerden. Da sich aber bei den Hohlmaßen diese Repräsentantennur schwer vergleichen lassen (es gibt ganz verschiedeneBehälter mit je 100 ml Inhalt, eine Flasche von100 ml ist nur schwer als Hundertfaches eines Zentimeterwürfelszu erkennen), gehört zu einer guten Vorstellungeine ganze Reihe von Repräsentanten für je ein Hohlmaß.Beispielhafte Module:• Wie viel ist 1 ml, 1 cl? (Lernbuch 4, S. 76)• Was bedeuten die Anschriften? (Lernbuch 4, S. 80)• Wie viele Milliliter enthält ein Meterwürfel? (Lernbuch4, S. 82)• Welche Bruchteile von Größen kennst du? (Lernbuch4, S. 84)Größen schätzen und messenDas Vergleichen und Schätzen von Rauminhalten beschränktsich in der Grundschule auf Gefäße, die den Kindernvertraut sind (Flaschen, Getränkepackungen, Schachteln,...). Die generelle Vergleichsstrategie ist das Umgießenvon Flüssigkeiten oder schüttbaren Inhalten. Gemessenwird durch den Vergleich mit Gefäßen bekannten Inhalts.Beispielhafte Module:• Wo ist mehr drin? (Lernbuch 4, S. 86)• Wie viel Wasser ist im Brunnen? (Lernbuch 4, S. 88)mit Größenangaben operierenDas Operieren mit allen Größen ist ganz eingebettet indas Sachrechnen. Als universales Hilfsmittel dienen dieStellentafeln (Lernbuch 4, S. 98/99) der dezimalen Größen.Diese sollen bei Bedarf immer zur Verfügung stehen.Allgemeine Regeln zur Multiplikation und zur Divisionwerden zwar formuliert, sind aber nicht direkt Ziel desUnterrichts.Beispielhafte Module:• Wie viel Wasser verbrauchst du pro Tag? (Lernbuch 4,S. 90)• Wie kannst du Größen addieren und subtrahieren?(Lernbuch 4, S. 92)• Welche Einheit passt? (Lernbuch 4, S. 94)• Wie viele Flaschen kannst du füllen? (Lernbuch 4, S. 96)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2508.05.2009 8:44:49 Uhr

26Geometrie Ich kann unseren Raum und was drin ist beschreiben G E ZFiguren und Körper erkennenund beschreibenLagebeziehungenbeschreibengeometrische Formen in der Umwelt erkennen und benennenFormen der Umwelt geometrisch beschreibenKarten und Pläne interpretieren und nutzenPläne lesen und zeichnenBewegungen beschreiben Bewegungen in der Vorstellung vollziehen („Kopfgeometrie“)Geometrische Größenmessen und berechnenWerkzeuge undVerfahren einsetzenFlächeninhalte vergleichen, schätzen und bestimmenRauminhalte vergleichen, schätzen und bestimmenmit Zirkel, Lineal und Geodreieck umgehenKörper bauen und nachbauenAusschnitt „Geometrie“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrGeometrie: Geometrische Sprache, Kopfgeometrie„Vorstellungen“ und „Modelle“ sind oft räumlich-geometrischerNatur. In der Schulmathematik z.B. der Zahlenstrahlfür die Ordnung der Zahlen, Körper für Hohlmaße,symmetrische Muster für Abbildungen. Geometrie istauch als Lernhilfe für andere Gebiete hilfreich, wenn geometrischeBegriffe und Verfahren in der Grundschule inspielerisch-lustvollem Zusammenhang erlebt werden. Einbesonderes Gewicht hat in diesem Sinne die Kopfgeometrie,das Beantworten geometrischer Fragen im Kopf, dassich Bewegen „in der Vorstellung“.Bemerkungen zu den Zielen im LernbegleitbogenFiguren und Körper erkennen und beschreibenDas geometrische Vokabular ist Teil der Umgangssprache.Beim Beschreiben von Bildern werden geometrische Begriffevon Kindern spontan verwendet. Davon ausgehendkönnen diese diskutiert und in ihrer Bedeutung vielleichtetwas präzisiert werden. Eine exakte mathematische Definitionist noch nicht das Ziel des Unterrichts.Beispielhafte Module:• Welche Formen kannst du im Bild erkennen? (Lernbuch4, S. 102)• Wie kannst du ein Bild „in Worte fassen“? (Lernbuch4, S. 104)• Was stellt dein Geometriebild dar? (Lernbuch 4, S. 106)Lagebeziehungen beschreibenDas sich Zurechtfinden auf Karten und Plänen gehört zurKopfgeometrie. Es ist eine Fähigkeit für den Alltag auchim Zeitalter der Navigationsgeräte. Kartenmaßstäbe sindModelle für den Zahlenstrahl.Beispielhafte Module:• Wie weit ist es von Berlin nach Paris? (Lernbuch 4, S. 108)• Wo steht dein Pult im Zimmer? (Lernbuch 4, S. 110)Bewegungen beschreibenWege in Gedanken abzulaufen, Varianten zu vergleichenund zu optimieren fördert die Vorstellung vom durchlaufenenRaum. Als Wege eignen sich Routen im Schul- oderWohnquartier, Schulausflüge wie auch gedankliche Wegeauf geometrischen Körpern.Beispielhafte Module:• Welche Reihenfolge wählst du? (Lernbuch 4, S. 112)geometrische Größen messen und berechnenFlächen- und Rauminhalte werden durch Belegen oderAusschöpfen bestimmt oder angenähert. Das Lernziel istdas Verständnis dieses Prinzips. Berechnungsformelnbleiben späteren Schuljahren vorbehalten. Durch den Vergleichvon Schachteln mit entsprechenden Würfelgebäudenwird die Formel zur Inhaltsberechnung von Quadernempirisch hergeleitet ohne sie abstrakt zu fassen.Beispielhafte Module:• Wie viele Blätter decken deinen Tisch? (Lernbuch 4, S. 114)• Welchen Rauminhalt haben Schachteln? (Lernbuch 4,S. 116)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2608.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK27Werkzeuge und Verfahren einsetzenIm kreativen Umgang mit Zeichendreieck und Zirkel erfahrendie Kinder den Reiz von ästhetischen Bildkompositionenaus Strecken und Kreisen. Die Lust an dieser Ästhetikbildet den Anreiz zu genauem und sauberemZeichnen.Beispielhafte Module:• Welches ist dein schönstes Streckenbild? (Lernbuch 4,S. 118)• Welches ist dein schönstes Kreisbild? (Lernbuch 4,S. 120)• In was für einem Haus wohnst du? (Lernbuch 4,S. 122)Zuordnungen Ich kann Zusammenhänge erkennen und nutzen G E ZFunktionen undRelationen erkennenund beschreibenFigurenfolgen undAbbildungen erkennenund beschreibenZuordnungenverschieden darstellenEigenschaften der Proportionalität formulierenproportionale Zuordnungen erkennen und ausnützenebene Muster fortsetzen und erzeugensymmetrische Muster erzeugenFiguren vergrößern und verkleinernZuordnungen aus Texten in Tabellen darstellenproportionale Zuordnungen in Tabellen darstellenAusschnitt „Zuordnungen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrZuordnungen: ProportionalitätenDen Kindern sind Beispiele von proportionalen Zuordnungenvertraut, ebenso deren Darstellung in Tabellen.Nun wird der Blick auf die Eigenschaften dieser Tabellengelenkt. Wie kann man sie geschickt ergänzen (Lernbuch4, S. 126-129)? Es geht nicht um eine Theorie der Proportionalität(früher auch „Dreisatz“), sondern darum, dass Tabellenbewusster als Werkzeug zum Lösen von Sachproblemenund Sachaufgaben eingesetzt werden können.Ebenfalls um Proportionalitäten geht es beim Vergrößernoder Verkleinern von Bildern, bei der Arbeit mit Plänenund Landkarten.Bemerkungen zu den Zielen im LernbegleitbogenFunktionen und Relationen erkennen und beschreibenBei Proportionalitäten gibt es verschiedene Möglichkeitendie zugehörige Tabelle zu ergänzen und zu erweitern.Die Kinder setzen sich damit anhand von Beispielenauseinander und verwenden die ihnen einleuchtendstenMethoden.Beispielhafte Module:• Welche Beziehungen bestehen in einer Tabelle? (Lernbuch4, S. 126)• Welche Werte kommen in die leeren Felder? (Lernbuch4, S. 128)• Wie groß sind die Distanzen in Wirklichkeit? (Lernbuch4, S. 130)Figurenfolgen und Abbildungen erkennen und beschreibenDie Ebene kann mit beliebigen Vierecken lückenlos überdecktwerden. Aus dieser Tatsache lassen sich viele Eigenschaftenvon Vierecken entdecken.Scherenschnitte ergeben symmetrische Figuren und bildenzugleich ein breites Übungsfeld zur Kopfgeometrie:Wie muss ich falten und schneiden, damit ein gewünschtesMuster entsteht?Beispielhafte Module:• Mit welchen Vierecken kannst du die Ebene auslegen?(Lernbuch 4, S. 132)• Wie musst du falten, wie schneiden? (Lernbuch 4, S. 136)• Wie kannst du ein Bild vergrößern? (Lernbuch 4, S. 138)Zuordnungen verschieden darstellenEin universelles Rezept zum Lösen von Sachaufgaben ist,bekannte Werte in Tabellen darzustellen und diese dannzu ergänzen oder fortzusetzen.Stichproben zu gewinnen und dann daraus größere Wertehochzurechnen ist eine verbreitete Methode aus derStatistik. Die Kinder wenden sie an, um begründeteSchätzwerte zu erhalten.Beispielhafte Module:• Kommt die Feuerwehr zu früh? (Lernbuch 4, S. 140)• Wie viele Autos fahren vorbei? (Lernbuch 4, S. 142)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2708.05.2009 8:44:49 Uhr

28Mathematisieren: Schreibweisen und VerfahrenMathematisieren Ich kann Sachverhalte übersetzen und darstellen G E ZSachverhaltemathematischausdrückendas Stellenwertsystem verstehen und verwendenRechenwege und -verfahren erläutern und begründennach Anweisung zeichnen, Zeichnungen diktierenzu Operationen passende Situationen und Handlungen findenMathematischeModelle verwendenStrukturen erkennenund beschreibenschriftliche Grundoperationen als Algorithmen erkennen undbeschreibengeometrische Begriffe zur Beschreibung der Umwelt benutzenAnalogien in Operationen erkennen und beschreibenAnalogien bei der Bezeichnung von Größen erkennen und beschreibenAusschnitt „Mathematisieren“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrBemerkungen zu den Zielen im LernbegleitbogenIm Lernbuch sind die Module nach Sachkompetenzen geordnet.Die Methodenkompetenz „Sachverhalte übersetzenund darstellen“ wird dabei quer durch alle Inhaltehindurch immer wieder gefordert und gefördert.Sachverhalte mathematisch ausdrückenZur Entwicklung der mathematischen Sprache stehen imvierten wie im dritten Schuljahr im Zentrum:• Zahlschreibweise: Im Dezimal-Stellenwertsystemwerden Zahlen aus Vielfachen von Zehnerpotenzenzusammengesetzt – und beim Operieren wieder auseinandergenommen. Dezimale Größen werden jenach Lage der „Einerstelle“ verschieden benannt.• Rechenverfahren: Operationen mit größeren Zahlenwerden in gleichartige Schritte zerlegt. „halbschriftlich“entwickeln die Kinder Verfahren und Schreibweisen.Vom Rechnen in der Stellentafel ausgehendlernen die Kinder die historischen Rechenverfahren(Algorithmen) kennen.• Geometrie als Sprache: Geometrische Begriffe werdenauch in der Umgangssprache verwendet. Ein engerBezug zwischen Umgangs- und Fachsprache wirdangestrebt.Beispielhafte Module:• Wie groß ist die Zahl 82264975? (Lernbuch 4, S. 10)• Was merkst du dir? (Lernbuch 4, S. 14)• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,S. 38)• Wie kannst du ein Bild „in Worte fassen“? (Lernbuch4, S. 104)Mathematische Modelle verwendenAb dem dritten Schuljahr dient die Stellentafel als wichtigstesHilfsmittel zum Verständnis von Zahlen, Rechenverfahrenund Größen. Bei Unsicherheiten kann sie immerwieder herangezogen werden. Mit Längen undGewichten werden die Verhältnisse in der Stellentafel illustriert.Aus Sachsituationen werden Verfahren zur Multiplikationund Division entwickelt.Beispielhafte Module:• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch4, S. 32)• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)• Welche Formen kannst du im Bild erkennen? (Lernbuch4, S. 102)Strukturen erkennen und beschreibenDas Verständnis der Rechenverfahren beruht auf derWahrnehmung von Analogien: Zahlen werden so zerlegt,dass die Rechnung auf Schritte des Einspluseins oder Einmaleinsreduziert wird. Beim (halbschriftlichen) Rechnenin Schritten wird das noch deutlicher als bei den schriftlichenVerfahren. Im Unterricht ist es deshalb sinnvoll, vordem Rechnen auf der Stellentafel das Rechnen in Schrittenaus dem Lernbuch 3 (S. 46/47) wieder aufzugreifenund fortzusetzen. Auch Analogien bei Größenbezeichnungenwerden auf Stellentafeln gut sichtbar.Beispielhafte Module:• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,S. 38)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2808.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK29• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)• Wie geht es weiter? (Lernbuch 4, S. 61)• Was bedeuten die Aufschriften? (Lernbuch 4, S. 80)• Wie viele Milliliter enthält ein Meterwürfel? (Lern-buch 4, S. 82)Problemlösen: Schrittweise vorgehenProblemlösen Ich kann mit Schwierigkeiten und Problemen umgehen G E ZSachverhalte mathematischausdrückenLösungen durch operatives Verändern von Zahlenwertenfindenein reales (physikalisches) Modell benutzen oder herstellenOperationen in einfachere Schritte zerlegenAuswahlmöglichkeiten durch Ausschluss verringernnach bereits gelösten ähnlichen Problemen suchenWerkzeuge auswählenund einsetzenDurch SelbstkontrollenSicherheit gewinnenZahlen und Zwischenergebnisse notieren, halbschriftlichrechnenRechenregeln zur Vereinfachung einsetzenÜberschlagsrechnung machenverschiedene Rechenwege als Kontrolle nutzenFehler vergleichen und nach persönlichen FehlermusternsuchenAusschnitt „Problemlösen“ aus dem Lernbegleitbogen für das vierte SchuljahrBemerkungen zu den Zielen im LernbegleitbogenOb ein Kind „mit Schwierigkeiten und Problemen umgehen“kann, hängt weitgehend vom Vertrauen des Kindesin seine Fähigkeiten und vom förderlichen Klima in derKlasse und im Elternhaus zusammen. Das Kind muss sichdarauf verlassen können, dass es bei Fehlern oder Missverständnissennie bloßgestellt wird, dass erfolglose Versucheund Irrtümer als Selbstverständlichkeit zu seinemLernen gehören.Unabhängig von den Inhalten wird die Problemlösekompetenzdurch „forschendes Lernen“ gefördert, dem derganze ATLAS MATHEMATIK verpflichtet ist. Die Kinder genießenso viel Freiheit wie möglich und bekommen so vielUnterstützung wie sie nötig haben. Sie sollen herausgefordert,aber nicht überfordert werden.Problemlösestrategien auswählen und anwendenBeispielhafte Module:• Wie kannst du schriftlich multiplizieren? (Lernbuch 4,S. 38)• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)• Was benötigt dein Lieblingstier? (Lernbuch 4, S. 64)Werkzeuge auswählen und einsetzenBeispielhafte Module:• Wie weit kommst du mit 1 000 Schritten? (Lernbuch4, S. 32)• Wie verteilst du etwas? (Lernbuch 4, S. 34)• Wie zählst du Portionen ab? (Lernbuch 4, S. 36)• Wie kannst du Größen addieren und subtrahieren?(Lernbuch 4, S. 92)• Welche Einheit passt? (Lernbuch 4, S. 94)• Wie viele Flaschen kannst du füllen? (Lernbuch 4, S. 96)durch Selbstkontrollen Sicherheit gewinnenBeispielhafte Module:• Wie kannst du schriftlich dividieren? (Lernbuch 4, S. 42)• Wie viele Nullen hat das Ergebnis? (Lernbuch 4, S. 46)• Wie kannst du Additionen überschlagen? (Lernbuch4, S. 48)• Wie kannst du Subtraktionen überschlagen? (Lernbuch4, S. 50)• Wie kannst du Multiplikationen überschlagen? (Lernbuch4, S. 52)• Wie kannst du Divisionen überschlagen? (Lernbuch 4,S. 54)Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 2908.05.2009 8:44:49 Uhr

30Lernmedien für jedes KindAus dem 2. und 3. Schuljahr bekannt• Zahlenkarten von 0 bis 100• Lernkartei zum Einmaleins• Stellenwertzahlenkarten• Stellentafel für Größen (Kopien vom Lernbuch S. 100)• Arbeitsheft• MatheboxGrundausstattung: Würfel (Spielwürfel, Zehnerwürfel),Lineal 15 oder 20 cm, Zahlenkarten bis 100,Geodreieck, neu: Zirkel• Neu: TaschenrechnerFertigkeiten werden auch im vierten Schuljahr in vielenspielerischen Übungen aus den ersten drei Schuljahrengepflegt und gefestigt. Das dazu notwendige Materialmuss deshalb weiterhin zur Verfügung stehen.Stellentafel (Poster oder Schreibunterlage)Die Stellentafel ist so wichtig für das Verständnis der Zahlenund Operationen, dass sie den Kindern längere Zeitvor Augen stehen sollte, sei es als Poster an der Wand oderals Schreibunterlage. Als Hilfe bei Unsicherheiten solltesie immer greifbar sein.Tausender-AlbumDas Tausender-Album ist im Lernbuch 3 integriert. Es zeigtden Aufbau des Tausenders aus zehn Hundertern unddient als „Gerüst“ für viele Aktivitäten. Auf den leerenRückseiten ist Raum für die Beispiele der Kinder zu deneinzelnen Hundertern.Stellenwert-ZahlenkartenStellenwert-Zahlenkarten bieten einen Übergang von derStellentafel zur Ziffernschreibweise von Zahlen. Farbenfür die Stellen sind unnötig – sie können sogar hinderlichsein: Auf die Stelle, d. h. auf die Anzahl der Endnullen undnicht auf die Farbe muss geachtet werden.Mit Hilfe der Stellenwert-Zahlenkarten können Zahlenauf der Stellentafel schrittweise in die Zifferndarstellungübersetzt werden. Umgekehrt können mehrstellige Zahlenmit den Stellenwert-Zahlenkarten in einzelne Stellenwertezerlegt werden.Arbeitsmaterialien im KlassenzimmerAus dem 2. und 3. Schuljahr bekannt• Poster „Einmaleins-Tabelle“, „Reihen auf demZahlenband“, „Stellentafeln für Größen“ (sind fürgewisse Kinder immer noch eine Hilfe)• Lernkartei Rechen- und Textaufgaben (wird erweitertund ergänzt)Weitere Materialien im KlassenzimmerWanduhr, Wandkalender, Geobretter, Bauklötze, Waagen,Messbänder, Hohlmaße (Litergefäß mit Skala, Dezilitermaß),Spielgeld (große Scheine), Zahlenkarten (großeScheine)Lernkartei Rechen- und SachaufgabenFür die Klasse können Rechen- und Sachaufgaben aufKarteikarten (DIN A6) geklebt und geschrieben werden.Die Aufgaben können z. B. aus alten Büchern kopiert undvon den Kindern selbst aufgeklebt werden. Die Ergebnisseder Aufgaben kommen auf die Rückseite. Mit der Zeit entstehtso eine Trainingskartei, die immer wieder verwendetwerden kann.Je vier Aufgaben zu den Grundoperationen auf einer Karteikartesind eine ideales Trainingsmaterial für dieÜbungsstunden. Wichtig sind die kleinen Portionen (vierAufgaben). Das Ziel ist immer, alle Aufgaben einer Karterichtig zu rechnen. Damit wird gezeigt, dass es primär wederum die Geschwindigkeit noch um die Ausdauer geht.Wer gerne rechnet, kann sich natürlich in der Menge dernacheinander richtig gerechneten Karten und auch in derRechengeschwindigkeit steigern. Es ist aber nicht Pflichtfür alle.Sachaufgaben finden sich ebenfalls in alten Büchern. Vonden Kindern selbst geschriebene gehören aber auchdazu.Poster „Stellentafeln für Größen“Dieses Poster zeigt die Verhältnisse der gebräuchlichendezimalen Größen. Die Leerfelder unter den Einheitensind für eigene Beispiele (Repräsentanten) der Kinder gedacht.Gebrauchsanleitung_4_Korr.indd 3008.05.2009 8:44:49 Uhr

ATLAS MATHEMATIK31Stellentafeln für GrößenLängen1000 km 100 km 10 km 1 km 100 m 10 m 1 m 1 dm 1 cm 1 mmGewichte1 t 100 kg 10 kg 1 kg 100g 10 g 1 g 100 mg 10 mg 1 mgHohlmaße1000 m 3 100 m 3 10 m 3 1 m 3 100 l = 1hl 10 l1 l(dm 3 )1 dl 1 cl1 ml(cm 3 )Flächen1 km 2 10 ha 1 ha 10 a 1 a 10 m 2 1 m 2 10 dm 2 1 dm 2 10 cm 2 1 cm 2 10 mm 2 1 mm 2Fußballfeld64 aGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 3108.05.2009 8:44:49 Uhr

32LesetippsErichson, Christa: Von Giganten, Medaillen und einem regenWurm, Donauwörth 2003: VPM/Auer, ISBN 978-3-403-10003-4Erichson, Christa: Von Null bis Zett, Mathematik nachschlagen,Donauwörth 2008: Lernbuchverlag, ISBN 978-3-403-11600-4Floer, Jürgen: Mathematik Werkstatt, Lernmaterialienzum Rechnen und Entdecken Weinheim 1996: Beltz, ISBN978-3 407-62198-6Hengartner, Elmar / Hirt, Ueli / Wälti, Beat: Lernumgebungenfür Rechenschwache bis Hochbegabte, Zug 2006:Klett & Balmer, ISBN 978-3-264 83656-1Hirt, Ueli / Wälti, Beat: Lernumgebungen im Mathematikunterricht,Seelze 2008: Kallmeyer, ISBN 978 3-7800-8024-0Lorenz, J.H. / Radatz, H.: Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht,Hannover 1993: Schroedel, ISBN 978-3-507-34044-2Radatz, H. / Rickmeyer, K.: Handbuch für den Geometrieunterrichtan Grundschulen, Hannover 1991: Schroedel,ISBN 978-3-507-34040-4Radatz, Hendrik: Impulse für den Mathematikunterricht,Hannover 2007: Schroedel, ISBN 978-3-507-34037-4Rasch, Renate: Denk- und Sachaufgaben, wie Kinder mathematischeAufgaben lösen, Seelze 2003: Kallmeyer,ISBN 978-3-7800-2033-8Rasch, Renate: Offene Aufgaben für individuelles Lernenim Mathematikunterricht Seelze 2007: Lernbuchverlag,ISBN 978-3-403-11272-3Ruf, Urs / Gallin, Peter: Dialogisches Lernen in Sprache undMathematik, Band 2, Seelze 2005: Kallmeyer, ISBN 978-3-7800-2007-9Ruf, Urs / Gallin, Peter: Dialogisches Lernen in Sprache undMathematik, Band 1, Seelze 2005: Kallmeyer, ISBN 978-3-7800-2006-2Schipper, W. / Dröge, R. / Ebeling, A.: Handbuch für denMathematikunterricht 4. Schuljahr, Hannover 2000:Schroedel, ISBN 978-3-507-34053-4Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterrichtan Grundschulen, Hannover 2009: Schroedel, ISBN978-3-507-34064-0Schütte, Sybille: Mathematiklernen in Sinnzusammenhängen,Stuttgart 1994: Klett, ISBN 978-3-12-196202-0Selter, Christoph / Spiegel, Hartmut: Wie Kinder rechnen,Leipzig 1997: Klett, ISBN 978-3-12-199098-6Senftleben, Hans-Günter: Aufgabensammlung für dasgroße Geobrett, Hamburg 2001: Rittel, ISBN 978-3-936443-01-1Spiegel, Hartmut / Selter, Christoph: Kinder & Mathematik:Was Erwachsene wissen sollten, Seelze 2003: Kallmeyer,ISBN 978-3-7800-5238-4Sundermann, Beate / Selter, Christoph: Beurteilen undFördern im Mathematikunterricht, Berlin 2006: Cornelsen,ISBN 978-3-589-05077-2Wittmann, E.Ch./Müller, G.N.: Handbuch produktiver RechenübungenBand 2, Stuttgart 1992: Klett, ISBN 978-3-12-199092-4© 2009 verlag für pädagogische medien (vpm), Donauwörthin Kooperation mit dem Erhard Friedrich Verlag, SeelzeGebrauchsanleitung_4_Korr.indd 3208.05.2009 8:44:49 Uhr