Folgen und ihre Darstellungen - Rudolf-Web.de

Mathematik Oberstufe - Analysis
Folgen und ihre Darstellungen
1. Beispiel einer Folge
Gegeben seien die Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ...
Über die Platzziffer kann man nun eine Funktion definieren:
1 → 1 2 → 4 3 → 9 4 → 16 ... n → n²
Allgemein erhält man auf diese Weise eine Funktion a: n → n²,
die auf den natürlichen Zahlen definiert ist. Eine solche Funktion nennt man eine Folge.
2. Definition von Folgen
Definition: Eine Funktion a: n →→→→ a (n) mit
der Definitionsmenge IN heißt Folge.
Schreibweise:
Bei einem Folgenglied schreibt man statt a(n)auch kurz an.
Für die gesamte Folge schreibt man (an).
a(1) = a1 (1.Folgenglied), a(2) = a2 (2.Folgenglied) ... a(n) = an (n-tes Folgenglied)
3. Der Graph einer Folge
Weil der Definitionsbereich einer Folge nur aus natürlichen Zahlen besteht, hat eine Folge
einen anderen Graphen, als ihn eine Funktion im allgemeinen
hat:
Beispiel: Als Beispiel nehmen wir die Folge "Verkaufspreise"
für eine Software-Lizenz:
Eine Lizenz bekommt man für 200 €.
Zwei Lizenzen kosten 400 €,
bei drei Lizenzen gibt es Mengenrabatt, sie kosten 550 €,
vier Lizenzen 650 €
und fünf bekommt man für 700 € ...
Der Graph der Folge sieht dann so aus wie rechts dargestellt:
Übung: Stelle die Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... graphisch dar.
4. Explizite Darstellung von Folgen:
Eine Folge kann auf zwei Arten definiert werden, nämlich explizit und rekursiv:
Man definiert eine Folge explizit, indem man eine Formel angibt, aus der ein bestimmtes
Glied von (an) sofort berechnet werden kann.
Bsp.: = 13 − 3⋅
n
a n
Das 18. Folgenglied lautet: a = 13 − 3⋅18
= −41
18
2
Übung: Bestimme das 12. Folgenglied der Folge bn = ( −n)
+ n − 3 (ab n = 1)
5. Rekursive Darstellung
Bei der rekursiven Definition gibt man das erste Glied der Folge an (a0 oder a1), sowie
zweitens eine Formel, mit der man aus einem beliebigen Glied (an) das nachfolgende Glied
(an+1) berechnen kann.
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Bsp.: a 1 = 10; an+
1 = an
− 3
Um das 18. Folgenglied auszurechnen, berechnet man das 1., dann das 2., dann das 3., ..., dann
das 17. und damit das 18.:
a1
= 10; a2
= a1
− 3 = 10 − 3 = 7;
a3
= a2
− 3 = 4;
a4
= 1;
a5
= −2;...;
a17
= −38;
a18
= −38
− 3 = −41
Übung: Bestimme die ersten 7 Folgenglieder der Folge ; b = b + 2n
b0 = 2 n+
1 n
6. Geometrische Folgen
Folgen, der Art: 24, 12, 6, 3, ..., bei denen jeweils mit einer konstanten Zahl multipliziert wird,
heißen geometrische Folgen.
Rekursive Darstellung: a a = a ⋅ q
Explizite Darstellung:
Bsp.: 24, 12, 6, 3, ... � rekursiv:
a0 = ; n+1
n
n
an = a ⋅ q (ab n = 0)
a 1
0 = 24; an+
1 = an
⋅ ; explizit: ( ) 2
n
an
= 24 ⋅ 1 (ab n = 0)
2
Übung:
a) Bestimme die ersten 5 Folgenglieder der geometrischen Folge mit a = 3 und q = 2.
b) Bestimme das 25. Folgenglied der geometrischen Folge mit a = -2 und q = -2.
c) Bestimme die rekursive und explizite Darstellung dieser geometrischen Folge: -3,6,-12,24, ...
7. Arithmetische Folgen
Folgen, der Art: 24, 20, 16, 12, ..., bei denen jeweils mit einer konstanten Zahl addiert wird,
heißen arithmetische Folgen.
Rekursive Darstellung: a a = a + q
a0 = ; n +1 n
Explizite Darstellung: an = a + q ⋅ n (ab n = 0)
Bsp.: 24, 20, 16, ... � rekursiv: a 0 = 24; an+
1 = an
− 4 ; explizit: an = 24 − 4⋅
n (ab n = 0)
Übung:
a) Bestimme die ersten 5 Folgenglieder der arithmetischen Folge mit a = 3 und q = 2.
b) Bestimme das 25. Folgenglied der arithmetischen Folge mit a = -2 und q = -2.
c) Bestimme die rekursive und explizite Darstellung dieser arithmetischen Folge: -3,6,15,24, ...
8. Weitere Folgen-Typen:
• Die Folge der geraden Zahlen: 0, 2, 4, 6, ...: explizit: an = 2n
(ab n = 0)
• Die Folge der ungeraden Zahlen: 1, 3, 5, 7, ...: explizit: an = 2 n + 1 (ab n = 0)
• Die Folge der Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, ...: explizit:
2
an = n (ab n = 1)
n
• Die alternierende Folge 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...: explizit: a n = (−1)
(ab n = 0)
• Die Folge, bei der immer größere Zahlen addiert werden:
a. 1, 2, 4, 7, 11, 16 ... (also: a0 = 1; a1 = 2; a2 = 4, ...)
rekursiv: zuerst wird 1 addiert: 1+1 = 2 bzw. a0 + 1 = a1; dann wird 2 add.: 2 + 2 = 4
bzw. a1 + 2 = a2; dann 3: 4 + 3 = 7 bzw. a2 + 3 = a3; ...: � a0 = 1; an
+ 1 = an
+ ( n + 1)
b. 1, 2, 5, 10, 17, ... (also: a0 = 1; a1 = 2; a2 = 5, ...)
rekursiv: die ungeraden Zahlen werden addiert. +1,+3,+5: a0 + 1 = a1; a1 + 3 = a2;
a2 + 5 = a3 � a0 = 1; an
+ 1 = an
+ ( 2n
+ 1)
;
2
explizit: immer um 1 größer als eine Quadratzahl: an = n + 1 (ab n = 0)
Übung:
a) Bestimme eine Darstellung dieser Folge: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65 ...
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b) Bestimme eine Darstellung dieser Folge: 1, 8, 27, 64, 125...
c) Bestimme eine Darstellung dieser Folge: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, 128 ...
d) Bestimme eine Darstellung dieser Folge: 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57...
9. Weitere Tipps zu Folgen
Um das rekursive Bildungsgesetz herauszubekommen,
• bildet man die Differenzen der Folgenglieder
2, 5, 10, 17, 26 � Differenzen: 3, 5, 7, 9 (ungerade Zahlen)
� an+ 1 − an
= 2 n + 1 � a1 = 2; an
+ 1 = an
+ ( 2n
+ 1)
1, 6, 16, 31, 51 � Differenzen: 5 = 1 . 5, 10 = 2 . 5, 15 = 3 . 5, 20 = 4 . 5
� an+ 1 − an
= 5n
� a1 = 1; an+
1 = an
+ 5n
• oder den Quotienten der Folgenglieder
3, 6, 18, 72, � Quotienten: 2, 3, 4
a
� n+ 1 = n + 1�
a1 = 3; an
+ 1 = an
⋅ ( n + 1)
an
Übung:
a) Bestimme das rekursive Bildungsgesetz zu 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 ...
b) Bestimme das rekursive Bildungsgesetz zu 0, 1, 3, 7, 15, 31 ...
c) Bestimme das rekursive Bildungsgesetz zu 5, 10, 40, 320, ...
10. Von der expliziten zur rekursiven Darstellung
• Explizit: an = 2n
� 0, 2, 4, 6, ... � jeweils +2: a ; a = a + 2
• Explizit:
0 = 0 n+
1 n
2
an = n � 0, 1, 4, 9, 16 ... � Differenzen: 1, 3, 5, 7, �
a0 = 0; an
+ 1 = an
+ ( 2n
+ 1)
−n
• Explizit: an
= 2 � 1 , 1 ; 1 ; 1 ... � Quotienten: 1 ; 1 , 1 � a
1
2 4 8
2 2 2 0 = 1; an+
1 = an
⋅
2
• Explizit: = 2 −1
n
a n �0, 1, 3, 7, 15, ...� Differenzen: 1 = 2 0 , 2 = 2 1 , 4 = 2 2 , 8 = 2 3 �
n
a0 = 0; an+
1 = an
+ 2
Übung:
a) Bestimme die rekursive Darstellung zu = 2 n + 1
2
b) Bestimme die rekursive Darstellung zu an = n −1
c) Bestimme die rekursive Darstellung zu ( ) n −
an
= − 2
3
11. Von der rekursiven zur expliziten Darstellung
Das ist häufig ein schwieriges Unterfangen. Oft erkennt man nach einigen Folgengliedern das
Bildungsgesetz:
• a ; a = a + 3:
arithmetische Folge � = 3 + 3⋅
n (ab n=0)
0 = 3 n+
1 n
an •
n
a0 = 3; an+
1 = 2⋅
an
: geometrische Folge � an = 3⋅ 2 (ab n=0)
•
n
a0 = 3; an+1
= −an
� 3, -3, 3, -3: alternierende Folge: a n = ( −1)
⋅3
(ab n=0)
• a 1 = 1; an+
1 = 2n
+ an
� 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43 � ??
Vielleicht kommt aber auch ein spontaner Einfall: Die Folge hängt mit den
Quadratzahlen zusammen: 1 = 1 2 - 0, 3 = 2 2 - 1; 7 =3 2 – 2; 13 = 4 2 – 3 ... �
2
an = ( n + 1)
− n (ab n = 0)
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a n

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Übung:
a) Bestimme die explizite Darstellung zu a ; a = a − 2
0 = 1 n+
1 n
b) Bestimme die explizite Darstellung zu a
1
0 = 5; an+
1 = an
⋅
2
c) Bestimme die explizite Darstellung zu a0 = 1; an+
1 = −2⋅
an
d) Bestimme die explizite Darstellung zu a0 = 1; an
+ 1 = an
+ 2n
+ 2
12. Mehrfach rekursive Folge – die Fibonacci-Folge
Die zukünftigen Folgenglieder brauchen nicht nur vom direkt vorhergehenden Folgenglied
sondern können auch von mehreren vorhergehenden Folgengliedern abhängen.
Ein berühmtes Beispiel dazu ist die Fibonacci-Folge: a 0 = a;
a1
= b;
an+
2 = an+
1 + an
.
a0 = 0;
a1
= 1;
an+
2 = an+
1 + an
⇒ a2
= a1
+ a0
= 0 + 1 = 1;
a3
= a2
+ a1
= 1+
1 = 2;
Bsp.:
a4
= 3;
a5
= 5;
a6
= 8;
a7
= 13;
a8
= 21;
a9
= 34...
Übung:
a) Bestimme die ersten 10 Folgenglieder der Fibonacci-Folge mit a = -1 und b = 1.
b) Bestimme die rekursive Darstellung zu 2, 2, 4, 6, 10, 16, ...
13. Andere mehrfach rekursive Folgen
Es gibt natürlich auch andere Formen: a 0 = 0 , a1
= 1;
a2
= 1;
an+
3 = 2 ⋅ an
+ an+
1 − an+
2
Übung:
a) Bestimme die ersten fünf Folgenglieder der oben angegebenen Folge.
b) Bestimme die ersten fünf Folgenglieder dieser Folge a 0 = 0 , a1
= 1;
an+
2 = 2 ⋅ an
+ an+
1
c) Bestimme die rekursive Darstellung der Folge 13, 2, 11, -9, 20, -29, 9, ...
d) Bestimme die rekursive Darstellung der Folge 0, 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, ...
14. Zusatz: Graphische Folgen
Folgen können auch zu Beschreibung von Figuren eingesetzt werden
a) Cantorstaub
n = 0: Zeichne eine Strecke der Länge 24 cm;
n+1: Nimm die n-te Figur, und radiere das mittlere Drittel weg.
b) Sierpinski-Dreieck:
n = 0: Zeichne ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 12 cm.
n = 1: Verbinde in obigem Dreieck die Mittelpunkte der Seiten und färbe dieses innere
Dreieck mit einer Farbe deiner Wahl.
n+1: Nimm die n-te Figur und verfahre mit allen nichtgefärbten Dreiecken wie bei n = 1.
c) Kochkurve:
n = 0: Zeichne eine Strecke der Länge 24 cm.
n = 1: Ersetze das mittlere Drittel der Strecke durch zwei Strecken derselben Länge, so dass
sich zusammen mit der ersetzen Strecke ein gleichschenkliges Dreieck ergeben hätte.
n+1: Verfahre mit allen Strecken der n-ten Figur wie bei n = 1.
Übung:
a) Zeichne diese Figuren (bis n = 4)
b) Bestimme bei obigen Figuren eine Folge, die die Seitenlängen angibt.
c) Bestimme beim Sierpinski-Dreieck eine Folge, die den nichtgefärbten Flächeninhalt angibt.
Quellen: www.educeth.ch/mathematik/material/grenzverhalten, www.mathematik.net/folgen und home.t-online.de/home/raddy/folgen.pdf
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