Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in ... - mehr-davon

31 EinleitungIn diesem Versuch soll die Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Temperaturin Flüssigkeiten gemessen werden. Dazu wird in einem akustischenResonator ein Stehwellenfeld aus Ultraschallwellen erzeugt. Durch Bestrahlungdes Stehwellenfeldes mit Licht ergibt sich ein Streifenmuster, mit Hilfedessen durch Abzählen der Streifen die Schallgeschwindigkeit bestimmt werdenkann.Dieses Verfahren ist bereits im ersten Drittel des letzten Jahrhunderts entstanden.Es zeichnet sich dadurch aus, dass es besonders schnell durchzuführenist und keinen komplizierten Versuchsaufbau benötigt.2 Theorie2.1 LongitudinalwellenAkustische Wellen sind Longitudinalwellen. Bei einer Longitudinalwelle,wie auch zum Beispiel einer Druckwelle, schwingen die Atome in Ausbreitungsrichtungder Welle. Es handelt sich um eine Kompressionswelle, bei derdurch Druckänderungen Kräfte entstehen, die eine Auslenkung der Atomein Ausbreitungsrichtung verursachen.Abbildung 1: Schematische Darstellung einer Longitudinalwelle.Longitudinalwellen treten sowohl in Festkörpern, wie auch in Gasen undFlüssigkeiten auf. Alle Atome in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtunghaben gleiche Amplitude und Schwingungsrichtung. Die einzelnenMoleküle bewegen sich somit vor und zurück, nur der Zustand in der Welle,

4also zum Beispiel die maximale Dichte, wandert nach rechts.Allgemein gilt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelleimmer größer, als die der Transversalwelle ist. Den Effekt der Dichtefluktuationenwerden wir uns in diesem Versuch zu nutze machen: In einem Resonatorwird ein Stehwellenfeld erzeugt, so dass es Bereiche dichteren undweniger dichteren Mediums entstehen, welche stationär im Resonator sind.Das Medium ist im vorliegenden Fall eine Flüssigkeit (reines Wasser bzw.eine 20%ige Ethanol-Lösung). Die Schallgeschwindigkeit ist in Flüssigkeitenstark temperaturabhängig, genau dieses Phänomen soll untersucht werden.2.2 UltraschallMit Ultraschall bezeichnet man Schall oberhalb der menschlichen Hörschwelle,also Schallwellen mit einer Frequenzen zwischen 20 kHz und 1000MHz. Töne noch höherer Frequenz werden als Hyperschall bezeichnet.Unterhalb des für Menschen hörbaren Schalls spricht man von Infraschall.Ultraschallwellen sind elastische, harmonische und dreidimensional laufendeLongitudinalwellen. Sie können sich daher wie bereits oben angesprochen inGasen, Flüssigkeiten und Festkörpern ausbreiten. Ultraschall ist für Menschennicht hörbar, für eine Reihe von Tieren wie Delphine und einige Insektenartenjedoch schon. Fledermäuse können Ultraschall nicht nur hören,sondern auch erzeugen und sich anhand der Echos orientieren.Erzeugung von UltraschallIm Versuch erzeugen wir Ultraschall über den Piezo-Effekt:Durch die gerichtete Verformung einer Materialprobe bilden sich mikroskopischeDipole innerhalb der Elementarzellen. Die Aufsummierung über alleElementarzellen des Kristalls führt zu einer makroskopisch messbarenelektrischen Spannung. Gerichtete Verformung bedeutet, dass der angelegteDruck nicht von allen Seiten auf die Probe wirkt, sondern beispielsweise nurvon gegenüberliegenden Seiten aus.Die Umkehrung dieses Piezo-Effektes machen wir uns zu nutze: Wird eineelektrischen Spannung an den Kristall, auch Piezo-Keramik genannt, angelegt,so verformt sich dieser. Damit kann durch das Anlegen einer Wechselspannungeine mechanische Schwingung erzeugt werden, welche an dieWand eines Gefäßes abgegeben werden kann. Im Versuch wird dieses Gefäßeine mit Flüssigkeit gefüllte Küvette sein.Quarz als UltraschallsenderIn unserem Versuch dient ein schwingender Quarz als Ultraschallsender. Dieelektrische Anregung von Quarzen zu Schwingungen beschreibt der piezo-

5elektrische Effekt. Nimmt man einen Kristall, der so geschnitten ist, dasszwei Flächen senkrecht auf die polare Achse stehen, und legt an diese eineWechselspannung an. Der Kristall wird so zu elastischen Schwingungenangeregt, die je nach anregender Frequenz unterschiedliche Amplituden aufweisen.Ein Maximum der Auslenkung erhält man, wenn die anregende Frequenzmit der Eigenfrequenz des Kristalls übereinstimmt. Für die Schwingungsrichtungergeben sich je nach Anregung zwei Möglichkeiten. Entwederschwingt der Kristall in Richtung der polaren Achse, oder aber senkrecht zudieser und auch zur optischen Achse. Mit Hilfe dieser Methode kann man beiQuarzstäben je nach Anregungsrichtung die folgenden Ultraschallfrequenzenerreichen:ν 1 = 269000Länge Hz oder ν 2 = 283900Dicke Hz.Im Versuch verwenden wir ein Quarzsender mit einer Frequenz von ν =2, 4 MHz.2.3 Schallgeschwindigkeit in FlüssigkeitenGanz allgemein gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Schallwellenin Flüssigkeiten die Beziehungc =√ κϱ ,wobei ϱ die Dichte und κ das Kompressibilitätsmodul der Flüssigkeit ist.Mit dem Volumen V und dem Druck p ist dabei das Kompressibilitätsmoduldefiniert durch1κ := − 1∆p · ∆VV .Wir erkennen also, dass die Schallgeschwindigkeit c nicht nur von der Dichteϱ, sondern auch von der Temperatur T abhängt. Dies liegt daran, dassmit der Temperatur neben der Dichte auch das Volumen V und damit dasKompressibilitätsmodul variiert.Bei der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Wasser mit Ultraschallinterferometerngibt es grundsätzlich zwei verschieden Vorgehensweisen:Bei der ersten Möglichkeit bestimmt man die Anzahl an halben Wellenlängenλ/2 innerhalb einer bestimmten Schallstrecken durch Verschieben des Reflektorsund wertet der Resonanzpunkte über die Rückwirkung auf demschallerzeugendem Quarz mit Hilfe eines Oszillographen aus. Dabei werdendie Resonanzen durch maximale Amplituden auf dem Schirm sichtbar. DiesesPrinzip untersuchen wir im folgenden Versuch 213: Messung von PhasenundGruppengeschwindigkeit mit Ultraschall.

6In unserem Versuch wird jedoch auf eine elektrische Darstellung der Resonanzenverzichtet und eine optische Methode bevorzugt. Hierbei wird dasPhasengitter mit parallelem Licht beleuchtet und so eine Abbildung desGitters auf einem Schirm erzeugt. Das Bild der stehenden Ultraschallwellezeigt sich dann auf dem Schirm als Streifenmuster, wobei jeder Streifen derLänge λ/2 entspricht (siehe hierzu auch Abschnitt 2.4). Wichtig hierbei ist,dass man den Schirm so einstellt, dass eine exakte Abbildung der Ultraschallwelleerreicht wird, denn dann kann man aus der Streifenanzahl aufder Meßstrecke direkt die Anzahl λ/2 auf der Schallstrecke ablesen, weil derStreifenabstand ja genau λ/2 entspricht.Auf diesem Wege lässt sich also eine Absolutbestimmung der Wellenlängebei einer genau bestimmten Temperatur durchführen. Hierbei ist es wichtig,dass man bei der Auszählung des Streifenbildes der Schallwelle sehrsorgfältig vorgeht und gleichzeitig eine Schallquelle mit exakt vorgegebenerFrequenz zur Verfügung hat.2.4 Beugung am UltraschallgitterIst die Resonatorlänge L bzw. die Frequenz der Wellen und damit die Wellenlängeλ so eingestellt, dass die Resonatorlänge ein ganzzahliges VielfachesN der halben Wellenlänge ist, erzeugt man eine Resonanz im Resonator. DieResonanzbedingung lautet alsoN · λ2= L. (1)Bestrahlen wir nun das ortsfeste Wellenmuster mit einem parallelen Lichtstrahl,so wird das Licht an den Orten verschiedener Dichte verschiedenstark gebeugt. Der Grund dafür ist, dass dichtere Medien auch einen höherenBrechungsindex haben, welches sich auf die Intensitätsverteilung auswirkt.Dadurch entsteht hinter der Küvette ein Bild mit hellen und dunklen Streifen.Diesen Effekt, bei dem man das Bild direkt hinter der Küvette (alsoim Nahfeld) betrachtet, nennt man Hiedemann-Effekt. Hier werden dieMaxima und Minima der Brechungsindexe beobachtet.Weiterhin gibt es noch den Debye-Sears-Effekt, bei dem man das Beugungsbildim Fernfeld betrachtet. Hier werden also Maxima und Minima derInterferenz betrachtet und es entsteht ein Interferenzstreifenmuster.Messung der Schallgewindigkeit mit Hilfe des Hiedemann-EffektsWir erhalten immer dann ein Stehwellenfeld bzw. Resonanz, wenn die Resonanzbedingung(1) erfüllt ist. Verändert man nun entweder die ResonatorlängeL oder die Wellenlänge λ, so verschwindet auch die Resonanzund damit das Stehwellenfeld bzw. damit das Streifenmuster. Eine Wellenlängenänderungkann man auf zwei verschiedene Arten bewirken:

7Als ersten kann man die Frequenz ν ändern, so dass sich bei konstanterSchallgeschwindigkeit c die Wellenlänge λ ändern muss, da stetsλ =c νgilt. Die zweite Möglichkeit ist, die Temperatur T zu ändern und damit dieSchallgeschwindigkeit c. Genau dies werden wir im Versuch durchführen. Dadie Frequenz durch den Ultraschallsender konstant gehalten wird, ergibt sicheine Wellenlängenänderung bei unterschiedlichen Temperaturen.Aus der Resonanzbedingung (1) und der Beziehung λ = c/ν erhalten wirfür die Schallgeschwindigkeitc = 2 · ν · LN . (2)Dabei ist wieder L die Resonatorlänge und N die Anzahl der gezähltenWellenmaxima im Interferenzstreifenmuster. Diese Formel dient zur Absolutmessungder Schallgeschwindigkeit.2.5 Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in WasserWassermoleküle bilden Wasserstoffbrückenbindungen aus, so dass es zur Aggregatbildungvon Wassermolekülen kommt. Die großen Zwischenräume zwischenden einzelne Molekülen bewirken eine Erhöhung der Kompressibilität,wodurch die Schallgeschwindigkeit absinkt.Abbildung 2: Schematische Darstellung der Schallgeschwindigkeit in unterschiedlichenEthanol-Wasser-Lösungen.

10Flüssigkeit in der Küvette erhitzt und zu jedem stattfindenen Resonanzwechseldie zugehörige Temperatur notiert. Bei der ∆m-ten ResonanztemperaturT m hat sich die Anzahl der halben Wellenlängen im Resonator der Länge Lum ∆m geändert. Das bedeutet, dass sich die Streifenzahl auf dem Schirmder Länge l um ±∆m · l/L geändert hat. Damit sind auf dem Schirm beider Temperatur T m genaun = n 0 ± ∆m l LStreifen zu sehen. Somit ergibt sich nach Gleichung (3) die Schallgeschwindigkeitc bei der Temperatur T m zuc Tm =2 · l · νn 0 ± ∆m l L. (4)Um nun die Länge L der Küvette berechnen zu können, stellen wir Gleichung(4) nach L um und können mit Hilfe der zweiten Absolutmessung Lberechnen, da wir wissen, wieviel Resonanzwechsel zwischen der ersten undder zweiten Absolutmessung stattgefunden haben. Es gilt also∣ L =∆m · c Tm · l ∣∣∣∣.2 · ν · l − n 0 · c TmSetzen wir die Werte aus Tabelle 1 und ∆m 1 = 20 bzw. ∆m 2 = 15 ein, soerhalten wir L 1 = 14, 29 cm für erste Messreihe und L 2 = 12, 5 cm für diezweite Messreihe. Diesen großen Unterschied können wir uns nicht erklären,da wir die Resonatorlänge zwischen den beiden Messreihen vermutlich nurim Millimeterbereich geändert haben.Wir nehmen vorsichtshalber einen Fehler von σ L = 0, 01 m an. Mit denweiteren Fehlern σ ν = 2000 Hz und σ n0 = 1 erhalten wir den Fehler fürdie temperaturabhängige Schallgeschwindigkeit durch das Gesetz der Fehlerfortpflanzung.Dieser berechnet sich durch√( ) 2 ( ) 2 ( ) 2σ cTm = σν2 ∂cTm+ σL2 ∂cTm+ σn ∂ν∂L2 ∂cTm0.∂n 0Unsere Messdaten und Ergebnisse sind in Tabelle 2 im Anhang zusammengefasst.In Abbildung 4 ist die Schallgeschwindigkeit in den beiden Flüssigkeitenin Abhängigkeit von der Temperatur graphisch aufgetragen. Wir gehenvon einem Fehler von σ Tm = ±2 ◦ C für die Temperatur aus, da der Temperaturreglernicht exakt ist und es sehr schwer war den genauen Zeitpunktzu ermitteln an dem das Streifenmuster am schärfsten zu sehen war.

11Abbildung 4: Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur.4.3 Interpretation der ErgebnisseDie Auftragung der Schallgeschwindigkeit in Wasser deckt sich mit den unterAbschnitt 2.5 beschriebenen Erwartungen. Im Bereich bis 70 ◦ C steigtdie Schallgeschwindigkeit in reinem Wasser monoton mit der Temperaturan. Einen genauen Scheitelwert können wir nicht bestimmen, da wir nichtwissen, ob die Streifenzahl bis zur zweiten Absolutmessung tatsächlich konstantabgenommen hat. Ist dies nicht der Fall, so sind die berechneten Wertefür die Schallgeschwindigkeit nicht korrekt.Bei der 20%igen Ethanol-Lösung scheint der Graph linear zu verlaufen. Lediglichbei niedrigen Temperaturen beobachtet man eine Abflachung derKurve, die durch den Einfluss des Wassers hervorgerufen wird.5 DiskussionZu diesem Versuch ist zu sagen, dass wir ihn als sehr interessant empfundenhaben. Denn man bedient sich einfacher Hilfsmittel und misst damit auf unkompliziertemWege komplizierte Zusammenhänge. Leider können wir zumBeispiel die Anomalie der Schallgeschwindigkeit im Wasser nur grob erklärenund versuchen eine Begründung zu finden. Was die Fehlerquellen in diesemExperiment angeht, lässt sich als erste und wahrscheinlich größte nennen,

12dass wir uns beim Auszählen der hellen und dunklen Streifen verzählt habenkönnten, da es, wie schon erwähnt, bei der zweiten Absolutmessung schwierigwar die Streifen auszuzählen. Dies lag daran, dass es Schwierigkeiten gabdie Temperatur bei dieser Messung konstant zu halten. Zudem ist der Temperaturreglernicht genau, was jedoch für die Auswertung nicht sonderlichrelevant ist.Die ungenaue Längenbestimmung des Reflektors führt dazu, dass unsereMessergebnisse keinesfalls repräsentativ sind und nur beispielhaften Charakterhaben. Trotz mehrmaliger Ergebniskontrolle konnten wir unseren Fehlernicht finden. Für eine genauere Längenbestimmung könnte man eventuellnoch eine weitere Absolutmessung bei konstanter Temperatur aber unterschiedlichenFrequenzen durchführen.Allerdings gibt es noch andere Faktoren, die die Messergebnisse verfälschthaben können. So nehmen wir an, dass sich die Kompressibilität vom Wasserin unserem Messbereich mit steigener Temperatur immer verringert hat,was aber noch nachzuweisen wäre. Hierzu müssten noch weitere Absolutmessungenbei unterschiedlichen Temperaturen durchgeführt werden. Dieswürde jedoch mit einem sehr hohen Arbeitsaufwand verbunden sein.Verbesserungsvorschläge zum VersuchsaufbauDer Stecker, der den Heizregler mit der Heizung verbindet, hat wahrscheinlicheinen Wackelkontakt; dieser sollte behoben werden.Eigene KommentareAuf Grund wiederholter Missverständnisse weisen wir darauf hin, dass dieeigenen Kommentare nur für die Praktikanten bzw. für den Autor des Protokollsgedacht sind und vom korrigierenden Assistenten nach Möglichkeitüberlesen werden sollten![Ja, das war dann Messung der Schallgeschwindigkeit in Wasser Teil 1. Rechtkurzer und netter Versuch, nur war das ewige Steifen ansehen bzw. erahnenmal nur so semispannend und die dämliche Heizung funktionierte auchnicht so recht. Literaturmappe gabs nicht, war aber auch nicht schlimm,Vorgängerprotokolle waren sicherlich sowieso besser.] Daniel[Der Versuch war interessant, die zugrundeliegende Theorie gut verständlich.Leider konnte man bei hohen Temperaturen nicht mehr so genau sagen,wann das Streifenmuster scharf zu sehen war. Die Heizung sollte wirklichmal repariert werden, es war sehr schwer die Temperatur bei der zweitenAbsolutmessung konstant zu halten.] Hauke

136 Anhang6.1 Ergebnisse der VerlaufsmessungenWasser∆m T m [ ◦ C] c Tm1 22.4 ± 2 1478.6 ± 9.22 23.3 ± 2 1481.8 ± 9.23 24.5 ± 2 1485.0 ± 9.34 25.2 ± 2 1488.2 ± 9.45 26.0 ± 2 1491.4 ± 9.56 27.3 ± 2 1494.7 ± 9.67 28.7 ± 2 1497.9 ± 9.78 30.2 ± 2 1501.2 ± 9.89 31.8 ± 2 1504.5 ± 9.910 33.5 ± 2 1507.8 ± 10.111 35.4 ± 2 1511.1 ± 10.212 37.2 ± 2 1514.4 ± 10.413 39.2 ± 2 1517.8 ± 10.614 41.3 ± 2 1521.1 ± 10.815 43.6 ± 2 1524.5 ± 11.016 46.1 ± 2 1527.9 ± 11.217 49.2 ± 2 1531.3 ± 11.418 52.8 ± 2 1534.7 ± 11.619 56.9 ± 2 1538.2 ± 11.920 62.4 ± 2 1541.6 ± 12.1Wasser+Ethanol (20%)∆m T m [ ◦ C] c Tm1 34.7 ± 2 1600.4 ± 10.82 40.5 ± 2 1596.1 ± 10.93 44.6 ± 2 1591.9 ± 11.04 48.3 ± 2 1587.7 ± 11.15 52.2 ± 2 1583.5 ± 11.26 55.4 ± 2 1579.4 ± 11.37 58.2 ± 2 1575.2 ± 11.58 61.3 ± 2 1571.1 ± 11.69 63.5 ± 2 1567.0 ± 11.810 65.8 ± 2 1563.0 ± 11.911 68.3 ± 2 1558.9 ± 12.112 70.6 ± 2 1554.9 ± 12.313 72.8 ± 2 1550.9 ± 12.514 75.2 ± 2 1546.9 ± 12.715 77.2 ± 2 1542.9 ± 12.916 – –17 – –18 – –19 – –20 – –Tabelle 2: Ergebnisse der Verlaufsmessungen.