Einige Diskussionen von ln- und e-Funktionen von Peter Nemec 1 ...

2.2 f : Dmax −→ R, x ↦−→ 1 − 8
4+e 2x
1. Maximale Definitionsmenge
4 + e 2x > 4 ∀ x ∈ R =⇒ Dmax = R
2. Grenzwerte an den Rändern von Dmax
limx→−∞(4 + e 2x ) = 4 =⇒ limx→−∞ f(x) = −1
limx→∞(4 + e 2x ) = ∞ =⇒ limx→∞ f(x) = 1
3. Symmetrien
Keine (herkömmlichen) Symmetrien (Punktsymmetrie bzgl. P(ln(2)|0)).
4. Nullstellen
f(x) = 0 ⇐⇒ 1 − 8
4+e2x = 0 ⇐⇒ 4 + e2x = 8 ⇐⇒ 2x = ln(4) ⇐⇒ x = ln(2) =⇒
N(ln(2)|0)
5. Ableitungen
f ′ e (x) = 16 2x
(4+e2x ) 2 , f ′′ (x) = 32 e2x (4−e2x )
(4+e2x ) 3
6. Extrempunkte
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ e 2x = 0 unerfüllbar! =⇒ keine Extrempunkte
7. Monotonieintervalle
f ′ (x) > 0 ∀ x ∈ R =⇒ f ist streng monoton wachsend auf R.
8. Wendepunkte
f ′′ (x) = 0 ⇐⇒ e 2x (4 − e 2x ) = 0 ⇐⇒ e 2x = 4 ⇐⇒ x = ln(2)
x ln(2)
f ′′ (x) + 0 −
=⇒ W (ln(2)|0)
9. Krümmungsintervalle
] − ∞; ln(2)] �, [ln(2); ∞] �
10. Graph
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