Formelsammlung Ex-II - Explizit kein Copyright, weil das wär ja voll ...

Elektrostatik:
Formelsammlung Ex-II - Explizit kein Copyright, weil das wär ja voll nicht vegan - gehet hin und verkündet die frohe Botschaft - http://physikfreiburg.siteboard.org
Coulomb-Kraft: � F =
q1q2 �r
·
4πɛɛ0r2 r = q1 · � E
Potential: φ(r) =
Q
4πɛɛ0r ⇒ � E = −� ∇φ
Superpositionsprinzip gilt für: � F , � E, φ
��r
2
Spannung: U1,2 = �E · d�s = φ(�r1) − φ( �r2)
�r 1
��r
2
EP ot = �F · d�s = qU
�r 1
�
(Raum-)Ladungsdichte ρ: ρ · dV = Q
V
�
El. Fluss: φel = �Ed�a = EA
A
�
�Ed
A
� A = 1
�
Q
ɛ0
�
Gaußscher Satz: �vd�a = �∇�vdV
A V
Poisson-Gleichung: − ∇ 2 φ = ρ
ɛ0
Im Leiter: � E� = 0, � E⊥ = � E, � EInnen = 0
Kondensator: C = Q
U
EC = 1
2 QU I = C ˙ U
Platten-: E = U Q
=
d ɛ0A
A
C = ɛ0
d
Energiedichte: ℓ = 1 2
ɛ0E
2
EC = ℓAd = 1 2
CU
2
Diel.konst.: Q = Q0 + Qpol = 1
ɛ Q0 CDiel = ɛCVak E = 1
(
ɛ0
Q0
+
����
A
D
Qpol ) =
� ��
A
�
−P
Q0
ɛɛ0A ⇒ � E = 1
(
ɛ0
� D − � P )
lineares Mat.: � D = ɛɛ0 � E P � = αE� α = ɛ − 1
�∇ � E = ρ
ɛ0
�∇ � D = ρ0
�∇ � P = −ρpol ρ = ρ0+ρpol Strom:
Magnetismus:
Stromstärke: I = dQ
dt =
�
�j = nq�v = σ � E
spez.Leitfähigkeit: σ = 1
Widerstand: R = U
�
I
ρ
A
�jd�a = nqAv
� ∇�j = − ∂ρ
Leiter: R = ρ ℓ
∂t
spez. Widerstand: ρ
A
ρ = E
j
Suszeptibilität: �j = χ � F
�
R(t) = χ(t − t ′ )F (t ′ )dt ′ ∼ e − t τ
�
Kontinuitätsgleichung: �jd�a = −
A
d
�
ρdV
dt
V
Leistung: Pel = dEel dq
= U = IU
dt dt
Kirchhoffsche Regeln -Maschen: U0 = �
Uk k
�Bd�s = µ0I �= 0
-Knoten: � I k = 0
�
�
�Bd�s =
�∇ × � Bd�a
C
∂A
A
�∇ × � B = µ0 �j = −∆ � �
A φm = �Bd�a
�∇ � B = � ∇ � A = 0
Vektorpotential: � B = � ∇ × � A
Biot-Savart: � B = µ0
�
I
4π
C
(�r′ − �r) × d�s
|�r ′ − �r| 3
= µ0
� �j ×
4π
V
� ��r ′ − �r � �
|�r ′ dV
− �r| 3
Leiter außen: B(r) = µ0
µ0
I Innen:B(r) =
2πr 2πR2 rI
0
µ0IR
Leiterschleife:B(z) =
2
2 � R2 + z23 ⇒ BZent = µ0I
2R
2
µ0IR
B∞ ≈
2z3 m = πIR 2
mag. Dipol: B(�r) = µ0 3�r(�r. �m) − �mr
4π
2
r5 mag. Moment: �m := I � A Zylinderspule: B = µ0I N
Lorentz-Kraft - Teilchen: � F = q(�v × � B)
- Dünner Draht: F = IB ⊥ℓ
A
L
- Leiterstück: � �
F =
V
(�j × � B)dV
- Zwischen zwei Leitern: F = µ0I1I2L
Massenspektrometer: Fω = m v2
R
Hall-Spannung: U H = − (�j × � B) · d
nq
2πd
R = mv
qB
= IB
nqd
�τ = �m × � B Epot = − �m � B (m, B konstant)
Faraday-Kraft: � F = � ∇( �m � B) im homogenen ext. B-Feld
Magnetisierung: � M = �m
�∇ ×
V
� M = �j Mag
Permeabilität: �j = �j0 + �j Mag = µ�j0
�B = µ0( � H + � M) = µµ0 � H ∇ � × H � = �j0
Zeitlich veränderliche Felder:
U ind = − d
dt φm Selbstinduktivität L: U ind = −L d
dt I
φm = LI
N
Zylinderspule: L = µ0
2 A
ℓ
EL = 1
2 LI2 Energiedichte: em = 1
B
2µ0
2
Maxwell-Gleichungen:
�∇ � E = 1
�
ρ �Ed�a =
ɛ0
A
1
�
ρdV
ɛ0
V
�∇ × � E = − ∂
�
�B �Ed�s = −
∂t
C
d
�
�Bd�a
dt
A
�∇ � �
B = 0 �Bd�a = 0 ∇ � × B � = µ0
A
�j + 1
c2 ∂ � E
∂t
�
�
�Bd�s = µ0
�jd�a +
C
A
1
c2 �
d
1
�Ed�a c = √
dt
µ0ɛ0
A
Stromkreise
Reihe: R = � Ri 1 � 1
=
C Ci L = � Parallel:
Li 1 � 1
=
R Ri C = � Ci 1 � 1
=
L Li U-quelle: Uaus = U0 − RiI I-quelle: I = I0 − 1
U
Ri Kondensator: τ = RC I0 = U0
R
Ian(t) = I0e − t τ Iaus(t) = −I0e t τ
Spule: τ = L
Ian(t) = U0
R (1 − e− t τ ) Iaus(t) = U0
R e− t τ
Wechelstromkreise: j = −i
U(t) = U0 cos(ωt + ϕ U ) I(t) = I0 sin(ωt + ϕ I )
�f(t) = � A cos(ωt − � k�x) = ˆ � Ae i( � k�x−ωt)
Energiedichte: e = 1
2 ɛ0 � E 2 (t) + 1
�B
2µ0
2 (t)
e = ɛ0E 2 1
0 = B
µ0
2
0
Energiestromdichte (=Poynting-Vektor):
�S = 1
�E ×
µ0
� �k B = I
k
�
�
Intensität: I = �� �
�
S�
= ec = cɛ0E 2
0
R
Strahlungsdruck: P = I
c
Impulsdichte: �π = ɛ0( � E × � B) = 1
c2 � S
Superpositionsprinzip gilt nicht für I
Periodische ebene Wellen: ω = c |k| ⇒ k = 2π
λ
Doppelspalt: Imax für δ = nλ ⇒ δ = d cos(α)
Bragg-Bedingung: 2d sin(α) = mα m, n ∈ N
Metallreflexion: � Erefl = − � Eein �B refl = � Bein Lineare Polarisation:
⎛
⎞
cos( ˜ϕ)
�E = E0 ⎝ sin( ˜ϕ) ⎠ cos(ωt − kz + ϕ)
0
Zirkulare P-: � ⎛
cos(ωt − kz + ϕ)
E = E0 ⎝ cos(ωt − kz + ϕ ± π 2 )
0
⎞
⎠
- Rechtsdrehend: σ +
Linksdrehend: σ −
Elliptische P-: � ⎛
Ex cos(ωt − kz + ϕ)
E = ⎝ Ey cos(ωt − kz + ϕ ± π 2 )
⎞
⎠
0
Fernfeldstrahlung Hertzscher Dipol:
ω
�E =
2
4πɛ0c2 r ((�n × �p0) × �n)e i(kr−ωt)
ω
�B =
2
4πɛ0c3 i(kr−ωt)
(�n × �p0)e
r
⇒ � E = c( � B × �n) (E und B sind in Phase)
�n = �r
r =
�k k
�S = 1
ɛ0c3 [ p0ω 2 sin(θ)
cos(ωt − kr)]
4πr
2 �n
P = p2 0 ω4
12πɛ0c 3
dP
dΩ ∼ sin2 (θ)
Strahlungsleistung beschl. Ladung: P = 2q2
˙v2
3ɛ0c3 In Materie: - Brechungsindex: n = c0
c = √ 1
ɛµ c = √
ɛɛ0µµ0
n, ɛ, c frequenzabhängig
Optik:
HIER KÖNNTE IHRE WERBUNG STEHEN!!
Konstanten/Einheiten:
[Q] = C = As [ � E] = N V
=
As m
[C] = C
= F
V
A
[σ] =
V m
[ � D] = C
m2 [I] = A = C
s
[P ] = V A = W [M] = [H] = A
ɛ0 = 8, 854 · 10 −12 A2 s 4
k =
1
4πɛɛ0
Other shit:
kgm 3
9 Nm2
= 8, 99 · 10
C2 m
Nm
[U] = = V
As
V s
[L] = = H
A
[R] = Ω = V
A
N
[B] = T =
C m s
e = 1, 6021764 · 10 −19 C
−7 V s
µ0 = 4π · 10
m2 A cos(ωt + ϕ) = a ′ cos(ωt) + a ′′ sin(ωt) = Re( Âejωt )
R: ϕU = ϕI C: ϕU − ϕI = π
L: ϕU − ϕI = −
2
π
2
Scheinleistung: P (t) = U(t)I(t) P = 1
�T
U(t)I(t)dt
T
0
⇒ P (t) = U0I0 cos(ωt)(cos(ϕI ) cos(ωt) − sin(ϕI ) sin(ωt) )
� �� � � �� �
Wirkleistung
Blindleistung
⇒ P = U0I0
cos(ϕ)
2
Û
ˆZ = ˆZ R = R ZC ˆ = −
Î
j
ˆZ L = jωL
ωC
Zweitor Ü-funktion: ˆ Ûaus
F (ω) =
Ûein Filter: Hochpass, Tiefpass, Bandpass, Allpass
Grenzfrequenz: A(ωg) = 1
2 A0
grad f =
Elektromagnetische Wellen:
f(x, t) = A cos(ωt − kx + ϕ)
� ∇f div � f = � ∇ · � f rot � f = � ∇ × � f
�
Gaußscher Satz (Mathe): (
Ω
� ∇ · � �
F )d�r = �F d
∂Ω
� A
�
Stokes: (
A
� ∇ · � F )d � �
A = �F d
∂A
�ℓ Filter/2-Tore:
Übertragungsfunktion: ˆ F (ω) = Ûaus
,
Ûein Îein,1 = Îein,2, Îaus,1 = Îaus,2
Amplitudengang : A(ω) = | ˆ F (ω)| ,
Phasengang: ϕ = arctan( ℑ ˆ F
ℜ ˆ F )
Integralbla:
dA = dxdy = rdrdφ dV = r 2 dr sin(θ)dθdφ
�
�∇
Ω
� �
F dV = �F d
∂Ω
� �
A �∇ ×
A
� F d � �
A = �F d
∂A
�ℓ �
�F d
γ
� �t
2
ℓ(t) = (
t1 � F d�ℓ dt )dt
Kugelkoordinaten:
x = r sin(θ) cos(φ) φ ∈ [0, 2π)
y = r sin(θ) sin(φ) θ ∈ [0, π)
z = r cos(θ)
Tera T 10 12
Mega M 10 6
Piko p 10 −12
Mikro µ 10 −6
|Giga G 10 9
|Kilo k 10 3
|Nano n 10 −9
|Milli m 10 −3
= N
Am

Unendlicher homogen geladener Hohlzylinder, Flächenladungsdichte ρ
E-Feld B: q = ρV = πρℓ(r 2 − r 2
q
2 ) 2πrℓE =
ɛ0
E-Feld C: q = ρV = πρℓ(r 2
1 − r2 2 )
Zylinderkondensator der Länge L (Bild wie oben):
ρ = Q
V ⇒ Q = 2πr1Lρ1 ⇒ ρ2 = r1
ρ1
r2
�
�Ed�a = Q
⇒ E2πrL =
ɛ0
ρ22πr2L
⇒ E =
ɛ0
ρ1r1
ɛ0r
�
U =
E-Fluss durch Kreisfläche:
�r
1
ρ2r2
�Ed�s =
ɛ0r
r2 �
φel =
Leiterschleife im B-Feld:
�
F = I
C
C = Q
U
A
= ρ2r2
ɛ0
= 2πɛ0L
ln( r 1
r2 )
�Ed�a = E cos(φ)πr 2
ln( r1
)
r2
�
a
�B × �s = I B sin(φ)ds (F2, F4 : 2φ)
0
τ F1 = τ F3 = 0 ⇒ τ = �r2 × � F2 + �r4 × � F4
Magnetfeld eines zylindrischen Leiters:
Hohl: B: � �
B = 0 C:
�Bd�s = B2πr = µ0I ⇒ B = µ0I
I
Mitte Hohl: A:B2πr = µ0
πr2 πr
2
2 ⇒ B = µ0Ir
2πr2 2
- B:B2πr = µ0I C:B = 0
Voll: A,C:s.o. B:B2πr = µ0(I −
Ringspule der Länge ℓ mit Lücke h und Eisenkern
�
NI =
�
2πr
I
π(r 2 1 − r2 2 ) π(r2 − r 2
2 ))
�Bd � A = 0 ⇒ µ0Hgap = µµ0H Kern
ℓ − h
�Hd�r = HKern(ℓ−h)+Hgaph = Hgap(h+
µ )
NI
⇒ Hgap = µHKern = µ
ℓ + h(µ − 1)
Bgap = µ0Hgap
B Kern = µµ0H Kern
Mgap = 0 M Kern = (µ − 1)H Kern
Induktion in quadratischer Leiterschleife, Draht: I(t) = I0 sin(ωt)
Uind = − d
�
dt
= − µ0I0aω
2π
U ind = −L dI
�Bd � A = − µ0 d
2π
dt
dt I(t)
�a
0
b+a �
b
b + a
ln( ) cos(ωt)
b
µ0 b + a
⇒ L = a ln( )
2π b
1
r drdz
Bewegende Leiterschleife im Magnetfelder mit konstantem Gradient,
B(x) = B0x
�
φ =
A
�dy
�Bd�a = dy
0
′
x+dx �
B(x
x
′ ) = B0dxdy(x + dx
2 )
U = RI = dφ
dt = B0dxdyv ⇒ I = B0dxdyv
R
P = I 2 R = F v ⇒ F = B0dx 2 dy 2 v
Verschiebungsstrom im Kondensator mit I(t) = I0 cos(ωt) und
Q(0) = 0
I = dQ
dt ⇒
Q(t) �
dq =
0
�
A
� t
0
�Ed�a = E(t)A = Q(t)
Selbstinduktion im Koaxialkabel
�
φ =
A
R
I(t ′ )dt ′ ⇒ Q(t) = I0
ω sin(ωt)
ɛ0
⇒ E(t) = I0 sin(ωt)
ɛ0ωA
∂E(t) I0
ID = ɛ0 =
∂t A cos(ωt)
�
C
= B2πr ′ = µ0I
�ℓ
r+d �
�Bd�a = dz dr
0 r
′ B = µ0ℓ d
ln(1 +
2π r )I
UInd = − dφ
dt
= − µ0ℓ
2π
Wheatstone-Brücke mit Spannungsfrequenz ω
Rx, R2 ↦→ ∞, Û ˆZx
ˆZ3
B = 0 : =
ˆZ2
ˆZ4
d dI
ln(1 + )
r dt
ˆZ3 = R3, ˆ Z4 = R4
ˆZx =
1
,
jωCx
ˆ Z2 =
1
⇒ Cx =
jωC2
R4
C2
R3
mit Rx, R2: 1
=
ˆZx
1
+ jωCx
Rx
1
ˆZ2
= 1
+ jωC2
R2
Balanced: 1
+ jωCx =
Rx
R4
(
R3
1
+ jωC2)
R2
Impedanz bei U(t) = U0 cos(ωt):
ˆZ = ˆ Z R + ˆ Z LC = ˆ Z R +
1
1
ˆZ
+
L
1
ˆZ C
= R + j
1
1 − 1
ωL ωC
P = Re( 1
Û
2
Î∗ ) = 1 2 1 1 2 R
U0 Re( ) = U
2 ˆZ
0
2 R2 + 1
( 1
ωL −ωC)2
Poynting Vektor im zylindrischen Leiter mit spez. Leifähigkeit σ:
Innen: � E = U
ℓ �ez
Filterkram:
�B = µ0Ir
2πIR2 �eϕ I = σ � E � A = σUπR2
ℓ
�S = 1
�E ×
µ0
� B = − U 2 σr
�er
2ℓ2 Oberfläche: r = R außen: � �
S = 0
P = �Sd � �
A = S dA = S2πRL
ÛR2 = Ûe
ˆZ R2
ˆZ C1 + ˆ ZR2 ÛC2 = Ûe
ˆZ C2
ˆZ R1 + ˆ ZC2 Ûa = ÛC −
2 ÛR2 ˆF (ω) =
−j
Ûa ωC
=
Ûe R − j
R
−
R −
ωC
j
ωC
= 1 − jωCR
1 + jωCR
�
�
A(ω) = � ˆ �
�
F (ω) � = 1
Generator: Spule mit N Wendungen und Drehfrequenz f
A = ab sin(2πft) φm = BNA U(t) = − dφm
EM-Dipol:Abstand r1, Winkel θ1 zur Dipolachse, misst E0(r1, θ1).
Bei r2, θ2:
E ∼ sin( θ
r ) ⇒ E0(r2, θ2) = E0(r1, θ1) r1
sin(θ2)
r2
e(r2, θ2) = ɛ0E 2 (2) e(2) = 1
2 e(2)
�
�
�� �
�
S�
(r2, θ2, t) = cɛ0E 2 (r2, θ2, t) = cɛ0(E0(2) cos(ωt+ϕ0)) 2
...mit Frequenz ν:
E0(r) ∼ 1
r
I(2) = S = 1
2
cɛ0E 2
0 (2)
dt
E0 = cB0 ⇒ B0(r2) = r1E0(r1)
rmax = r1E0(r1)
E 0min
cr2