Analytische Geometrie - walter-braun.ch

NEUE SCHULE ZÜRICH Mathematik RepetitoriumAnalytische GeometrieFundamentum / 33-34, 41-42, 45-48Vektoren Definition, Addition, Multiplikation mit einem Skalar (kollineare Vektoren) F/33 a1 Vektoren im Koordinatensystem: Darstellung mit Komponenten a a2a32 2 2 Länge eines Vektors (= Norm eines Vektors): a a a 1 2 a3 Vektor zwischen zwei Punkten: , kurz: „Spitze minus Anfangspunkt“yPQx Einheitsvektor: Vektor der Länge 1. Speziell: e 1, e 2 , e 3Streckenmittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks xMittelpunkt der Strecke PQ: MSchwerpunkt des Dreiecks ABC:P x2 xSQA/y xSkalarprodukt zweier Vektoren3PB y2 xQCz/P z2Q 1 oder rM (rP rQ)2 1 / ... /... oder rS (rA rB rC) 3Das Skalarprodukt ist eine Operation zweier Vektoren, welche eine Zahl (Skalar) ergibt.Das Skalarprodukt ist nicht eine "anschauliche" Grösse, dafür aber sehr nützlich! Fürdas Skalarprodukt gibt es zwei Formeln: Skalarprodukt aus den Beträgen und dem Zwischenwinkel: a b a b cos Skalarprodukt aus Komponenten: a b a1b1 a2b2 a3b3Durch Gleichsetzung erhält man schliesslich die Formel für den Zwischenwinkel :Für normalstehende Vektoren ist das Skalarprodukt 0.Rep08_Analytische Geometrie.docx W. Braun Version 25.01.13 / Seite 1 von 4

NEUE SCHULE ZÜRICH Mathematik RepetitoriumGeraden in der x-y-EbeneExplizite Form der Geradengleichung:y mx qPunkt-Steigungsform: y y0 m(x x0)Neigungswinkel (= Steigungswinkel) einer Geraden: m = tan m2 m1Zwischenwinkel zweier Geraden: tan , für 90°1m mNormalstehende Geraden: m2111 (negativer Reziprokwert)mKoordinatenform (implizite Form): Ax By C 0, A dabei ist n ein Normalenvektor zur Geraden. B Spezielle Geraden: x-Achse: y = 0, y-Achse: x = 0AxBy CHessesche Normalenform (HNF): 02 2A BAbstandsformel: d = Abstand des Punktes P 1 (x 1 /y 1 ) von der Geradend Ax1 ByVektorform (Parameterform), gilt auch im RaumyA21 B C22P 00Px= Ortsvektor des laufenden Punktes= Ortsvektor des festen Punktes= Richtungsvektort = ParameterAufgaben mit Geraden in der x-y-Ebene Schnitt zweier Geraden: Gleichungssystem lösen Dreieckswinkel: Winkelformel des Skalarproduktes, Vektoren vom Scheitel aus nehmen!Unbedingt Skizze anfertigen Gerade um einen gegebenen Abstand d parallel verschieben: mit Abstandsformel(HNF), 2 Lösungen Winkelhalbierende zweier Geraden: mit Abstandsformel (HNF), 2 Lösungen Spiegelung eines Punktes an einer Geraden: Lot, Fusspunkt, Vektor abtragenRep08_Analytische Geometrie.docx W. Braun Version 25.01.13 / Seite 2 von 4

NEUE SCHULE ZÜRICH Mathematik RepetitoriumKreisMittelpunktsform:222( x u) (y v) r mit Mittelpunkt M(u/v) und Radius r22Implizite Form: x y ax by c 0,mit quadratischer Ergänzung zur Mittelpunktsform.Tangente im Kreispunkt P 0 : Der Vektor MP 0 ist ein Normalenvektor der Tangente.Seine Komponenten sind also schon die Koeffizienten der Koordinatengleichung. Manmuss nur noch die Konstante bestimmen, indem man die Koordinaten P 0 einsetzt.Tangenten durch P ausserhalb des Kreises:Abstandsmethode oder Diskriminantenmethode oder ThaleskreismethodeVektorprodukt zweier VektorenDer Produktvektor a b steht senkrecht auf den Vektoren a und b . Sein Richtungssinnist durch die „Rechte-Hand-Regel“ bestimmt. Seine Länge ist gleich der Fläche des vonden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms.Beachte: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, aber es gilt: ab b aGeraden im RaumSie können nur mir der Vektorform beschrieben werden (siehe oben).Gegenseitige Lage zweier Geraden im Raum: schneidend (Richtungsvektoren nicht kollinear, genau ein gemeinsamer Punkt) windschief (Richtungsvektoren nicht kollinear, keine gemeinsamen Punkte) parallel (kollineare Richtungsvektoren, keine gemeinsamen Punkte) zusammenfallend (kollineare Richtungsvektoren, alle Punkte gemeinsam)Vorgehensweise zur Bestimmung der gegenseitigen Lage:Richtungsvektoren sindkollinearPunkt der einen Geraden bei der andernGleichung einsetzen.Ergibt ein Gleichungssystem mit3 Gleichungen und 1 Unbekannten.nicht kollinearTerme der Geradengleichungengleichsetzen.Ergibt ein Gleichungssystem mit3 Gleichungen und 2 Unbekanntenlösbar nicht lösbar lösbarnicht lösbarzusammenfallend parallel schneidend windschiefRep08_Analytische Geometrie.docx W. Braun Version 25.01.13 / Seite 3 von 4

NEUE SCHULE ZÜRICH Mathematik RepetitoriumGleichungen der EbeneKoordinatenform (implizite Form): Ax By Cz D 0, A dabei ist n Bein Normalenvektor der Ebene.C Vektorform (Parameterform): r ua vbr 0Aus den Vektoren und kann mit dem Vektorprodukt ein Normalenvektor berechnetwerden, mit dessen Komponenten man eine Koordinatengleichung findet.Gegenseitige Lage von EbenenZwei Ebenen können eine Gerade gemeinsam haben (Schnittgerade), parallel sein oderzusammenfallen (alle Punkte gemeinsam).Bei sich schneidenden Ebenen kann der Schnitt- oder Zwischenwinkel berechnet werden.Dazu bestimmt man den spitzen Winkel der beiden Normalenrichtungen.EEDSchnittgerade s(erscheint als Punkt)D(Mit dem Betrag des Bruchs stellt man sicher, dass man den spitzen Winkel bekommt.)Durchstossen einer Geraden mit einer EbeneGerade hEbene EPBerechnung des Winkels :Man berechnet zuerst den spitzen Hilfswinkel zwischen der Normalenrichtung der Ebene Eund der Richtung der Geraden g:Berechnung des Durchstosspunktes P:Dann mit Ergänzen: .Liegt die Gleichung für die Ebene in Vektorform vor, so setzt man die Terme der Vektorgleichungengleich und löst das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekanntenfür den Parameter der Geradengleichung. Andernfalls setzt man die Komponentenaus der Geradengleichung für x, y und z der Vektorgleichung ein und löst die lineareGleichung.Rep08_Analytische Geometrie.docx W. Braun Version 25.01.13 / Seite 4 von 4