Innere Energie eines idealen Gases

Innere Energie eines idealen GasesDie innere Energie U ist die Summe der kinetischen Energiesämtlicher Atome. (Wir betrachten hier nur einatomige Moleküle.Bei mehratomigen müsste man noch Rotations- undSchwingungsenergien der Moleküle berücksichtigen.) Wir könnenalso mit N Molekülen schreiben:( ) 1U = N2 m¯v2Oder mit Verwendung von Ēkin = 1 2 m¯v2 = 3 2 kTU = 3 2 NkToderU = 3 nRT (1)2

Berechnungen mit dem ersten HauptsatzDie folgenden Formeln für die Arbeit werden hier ohne Beweisgeliefert.◮ Isothermer Prozess, ideales Gas: Die vom Gas verrichteteArbeit vom Zustand A zum Zustand B (vgl. Abbildung ??)beträgt:W = −nRT ln V BV A(2)◮ Isobarer Prozess, ideales GasW = −p B (V B − V A ) = −p∆V (3)oder mithilfe des idealen Gasgesetzes:(W = −nRT B 1 − V )AV B(4)◮ Adiabatische Expansion oder Kontraktion, ideales GaspV κ = konstant (5)wobei κ = C p /C Vist.

Wärmekapazität für Gase und die Gleichverteilungder EnergieMolare Wärmekapazität für GaseIm Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten, unterscheiden sichbei Gasen die spezifischen Wärmekapazitäten stark, je nachdem obsie bei konstantem Volumen c V oder bei konstantem Druck c pgemessen werden. Häufig benützt man die molaren KapazitätenundQ = nC V ∆TQ = nC p ∆T(konstantes Volumen)(konstanter Druck)wobei n die Anzahl Mol bedeutet. Der Unterschied zwischen C pund C V lässt sich mithilfe des 1. Hauptsatzes verstehen. Wirbetrachten zwei Zustandsänderungen eines Systems wobei beibeiden ∆T um denselben Betrag ansteigen soll. Im Fall derisochoren Zustandsänderung kann keine Arbeit verrichtet werden,da ∆V = 0 ist.

Gemäss dem 1. Hauptsatz gilt folglichQ V = ∆UBeim isobaren Prozess hingegen wird Arbeit vom Systemverrichtet, d.h. es giltW = −p∆Valso gilt insgesamt mit dem 1. HauptsatzQ p = ∆U + p∆VAus den beiden Gleichungen für Q folgt dannQ p − Q V = p∆VUnd mit dem idealen Gasgesetz ∆V = nR∆T/p gilt( ) nR∆TnC p ∆T − nC V ∆T = ppoder gekürztC p − C V = R (6)

Mithilfe der kinetischen Gastheorie kann man C V berechnen. Dabei konstant gehaltenem Volumen keine Arbeit verrichtet wird, gilt∆U = QFür ein einatomiges ideales Gas gilt( ) 1U = N2 m¯v2 = 3 2 nRTDaraus folgt nunoder32 nR∆T = nC V ∆TC V = 3 2 R (7)Da R = 8, 314J/ (mol · K) ist, sagt die kinetische Gastheorie einenWert von C V = 12, 47J/ (mol · K) voraus. Dies ist nahe an denexperimentell bestimmten Werten für einatomige Moleküle wieHelium und Neon (vgl. Tabellen). Ebenso stimmt der berechneteWert für C p gut mit dem Experiment überein.

Gleichverteilungssatz der EnergieDie gemessenen molaren Wärmekapazitäten für Gase nehmen zufür mehratomige Gase. Der Grund liegt in der Möglichkeit derMoleküle sich zu drehen und bei hohen Temperaturen auch umihre Gleichgewichtslagen zu schwingen. Ein zweiatomiges Molekülbeispielsweise kann sich neben der reinen Translation auch noch umzwei verschiedene Achsen drehen (vgl. Abbildung 1). Die Achsedurch die Verbindung der beiden Atome kann weggelassen werden,da das zugehörige Trägheitsmoment im Vergleich sehr klein ist.Abbildung: Ein zweiatomiges Molekül kann um zwei verschiedene Achsenrotieren.

Allgemein kann man nach dem sogenanntenGleichverteilungssatz jedem Freiheitsgrad die Energie 1 2 kTzuordnen. Die durchschnittliche Energie eines einatomigen Gaseswäre also 3 2 kT und diejenige eines zweiatomigen 5 2kT . Somit wäredie innere Energie eines zweiatomigen Gases N ( 52 kT ) = 5 2 nRT.Die Wahrheit ist ein bisschen komplizierter, da z.B. dieRotationsenergien und die Schwingungsenergien erst bei höherenTemperaturen eine Rolle spielen. Bei tiefen Temperaturen sinddiese Bewegungen mehr oder weniger eingefroren. Auch beiFestkörpern kann man mit der Argumentation der Freiheitsgradeauf die Wärmekapazitäten schliessen. Z.B. ist nach Dulong-Petitder Wert der Wärmekapazität von Festkörpern bei hohenTemperaturen nahe bei 3R (vgl. Abbildung 2). Offenbar kann mansagen, dass die Atome in einem Festkörper bei hohenTemperaturen 6 Freiheitsgrade haben (vgl. Abbildung 3).

Abbildung: Molekulare Wärmekapazitäten von Festkörpern als Funktionder Temperatur.Abbildung: Die Atome in einem kristallinen Festkörper können um ihreGleichgewichtslagen schwingen, als wären sie mit Federn verbunden. InWirklichkeit sind es natürlich elektrische Kräfte.

Wärmetransport: Wärmeleitung, Konvektion,WärmestrahlungMan unterscheidet drei Arten von Wärmeübertragung:Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung. In den meistenFällen sind aber alle drei Arten gleichzeitig wirksam. Wirbesprechen nun kurz die drei verschiedenen Wärmetransporte.

WärmeleitungVon Wärmeleitung spricht man, wenn in einem Material durch einTemperaturgefälle ein Wärmefluss stattfindet. Man kann sich dabeivorstellen, dass molekulare Zusammenstösse dafür verantwortlichsind. Am heisseren Ende bewegen sich die Moleküle schneller undstossen so an die benachbarten Gitteratome, welche sich zuerstlangsamer bewegen. Dadurch werden diese angeregt undschwingen schlussendlich auch schneller. Bei Metallen sind es dieLeitungselektronen, welche sich mehr oder weniger frei zwischenden festen Gitteratomen bewegen, die diese Funktion übernehmen.Experimentell findet man, dass der Wärmestrom durch einen Stoffproportional zur Temperaturdifferenz an seinen Enden ist. Er hängtzudem von der Form und Grösse des Körpers ab.

Aus Experimenten findet man∆Q∆t = λAT 1 − T 2lwobei A die Querschnittsfläche des Objekts und l die Distanzzwischen seinen beiden Enden ist, die die Temperatur T 1 und T 2haben.(8)

λ ist eine Konstante, die sogenannte Wärmeleitfähigkeit. Sie isteine Materialkonstante und hängt von der Temperatur ab (s.Abbildung 4). Sie ist in Tabellen angegeben.Abbildung: Wärmeleitung zwischen zwei Flächen der Temperatur T 1 undT 2 .

Materialien mit grossem λ sind gute Wärmeleiter, sie leiten dieWärme schnell. Die meisten Metalle gehören dazu. Merkregel:Gute elektrische Leiter sind im allgemeinen auch gute Wärmeleiter.Materialien mit kleinem λ sind gute Isolatoren. Beispiele dafür sindFiberglas und Daunen. Die Luft ist auch ein ausgezeichneterIsolator. Nur liegt das Problem darin, dass sie an einer Oberflächein Ruhe sein sollte. Gibt es z.B. durch Wind einen Austausch derLuft mit neuer, kalter Luft, so stellt sich keine isolierende Wirkungein. Die Kleidung beispielsweise wärmt hauptsächlich wegen desUmstandes, dass sie Luft einschliesst, welche dann als Isolator dieKörperwärme bewahrt.

Für Baumaterialien wird der sogenannteWärmeübertragungswiderstand R angegeben, welcher definiert istdurchR = l λwobei l die Dicke und λ die Wärmeleitfähigkeit bedeutet.(9)

KonvektionVon Konvektion spricht man, wenn ein Wärmeaustauschstattfindet in Form von Austausch von Gasteilchen oderFlüssigkeitsteilchen zum Teil auch über grosse Entfernungen. Z.B.steigt warme Luft über einer Wiese auf und kalte Luft fliesst aneinem Abhang morgens hinunter. Das ganze meteorologischeWettergeschehen fusst auf Konvektionsströmungen, d.h.Luftströmungen. Auch erwärmtes Wasser steigt auf und kannsomit bei Heizungssystemen eingesetzt werden, indem die Wärmevon Heizkörpern im ganzen Haus abgegeben wird.

Der Faktor e ist der Emissionsgrad, eine materialspezifische Zahlzwischen 0 und 1. Sogenannte schwarze Körper, wie etwa einStück Holzkohle oder ein inwendig schwarz bemalter Hohlraum,haben einen Emissionsgrad nahe 1. Dagegen haben hell glänzendeoder verspiegelte Oberflächen einen Emissionsgrad von nahezu 0.Jeder Körper emittiert nicht nur Strahlung, sondern absorbiert sieauch. Dabei gilt: ”Je besser ein Körper absorbiert, destobesser strahlt er auch ab.”

Hat ein Körper eine Umgebung mit hohem Emissionsgrad (nahe 1)und mit der Temperatur T 2 , so gilt für die Nettoleistung desKörpers∆Q∆t = eσA(T 4 1 − T 4 2 ) (11)Somit gibt es bei unterschiedlichen Körpern ein Nettoenergiestromvom einen zum anderen, ausser sie haben dieselbe Temperatur.Dann befinden sie sich im thermischen Gleichgewicht.Will man z.B. die Energieflussdichte der Sonne berechnen aufeinen Körper auf der Erde, so benützt man die Tatsache, dass etwa1350 W/m 2 als Leistung pro m 2 auftrifft. Die Atmosphäreabsorbiert je nach Witterung bis zu etwa 70 Prozent. Bei einemschönen, klaren Tag erreicht etwa 1000 W/m 2 den Erdboden. EinKörper mit Emissionsgrad e und Fläche A absorbiert etwaQ∆t = (1000W/m2 )eAcosθ (12)wobei der Winkel θ zwischen der Flächennormalen und deneintreffenden Sonnestrahlen ist.