Formelblatt Finanzmathematik

Mathematik 1Prof. Dr. K. Melzerkarin.melzer@hs-esslingen.dehttp://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.htmlInhaltsverzeichnis1 Finanzmathematik 11.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Folgen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Arithmetische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Reihen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Artithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Zins- und Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung) . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität) . . . . . . . . . . 51

1 FINANZMATHEMATIK 2II. Finanzmathematik1 Finanzmathematik1.1 Folgen und Reihen1.1.1 Folgen allgemeinGrundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen sind Folgen und Reihen.Folge . . . Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle Zahl zugeordnet wird. Schreibweise:{a k } = {a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . }Die a k heiÿen Glieder der Folge.1.1.2 Arithmetische FolgeDie Dierenz zweier benachbarter Glieder ist konstant: a n+1 − a n = d (d = const.) für alle nDies ist äquivalent zua n+1 = a n + da n = a 0 + nd(rekursive Darstellung) und somit {a n } = {a 0 , a 0 + d, a 0 + 2d, a 0 + 3d, . . . } bzw.(explizite Darstellung)1.1.3 Geometrische FolgeDer Quotient zweier benachbarter Glieder ist konstant:a n+1a n= q (q = const.) für alle nDies ist äquivalent zua n+1 = a n · q (rekursive Darstellung) und somit {a n } = {a 0 , a 0 q, a 0 q 2 , a 0 q 3 , . . . } bzw.a n = a 0 · q n(explizite Darstellung)1.1.4 Reihen allgemeinReihe . . . Summe von Gliedern einer Folge.Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen.Endliche Reihe . . . Summe von endlich vielen Gliedern einer Folge.n∑s n := a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + · · · + a n =k=0a kUnendliche Reihe . . . Summe von unendlich vielen Gliedern einer Folge. Der Wert einer unendlichenReihe wird durch den Grenzwert ihrer Teilsummen bestimmt:∞∑n∑s := a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + · · · = a k = limk=0a kn→∞k=0Eine Reihe heiÿt konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen konvergiert. In diesem Fall heiÿt derGrenzwert Summe der Reihe.Eine Reihe heiÿt divergent, wenn der Grenzwert nicht existiert (d.h. Grenzwert ist ±∞ oder Wertder Teilsummen wechselt zwischen endlich vielen Werten).1.1.5 Artithmetische ReiheSumme von Zahlen einer arithmetischen Folge.s n =n∑a k = a 0 + (a 0 + d) + (a 0 + 2d) + (a 0 + 3d) + · · · + (a 0 + nd) =k=0Es gilt: s n =n∑k=0a k = n + 1 (a 0 + a n )2n∑(a 0 + kd)k=0

1 FINANZMATHEMATIK 41.2.2 RentenrechnungRente . . . regelmäÿige Einzahlungen (oder Auszahlungen) in gleichbleibender Höhe.E E EE E E EE✲Einzahlung am Jahresbeginn (vorschüssig)Einzahlung am Jahresende (nachschüssig)Nachschüssige Rente:Endwert einer nachschüssigen Rente nach n Jahren,regelmäÿige Einzahlung R, Zinsfaktor q:Barwert einer Rente, die n Jahre nachschüssig gezahlt wirdmit konstanter Jahresrate R und Zinsfaktor q = 1 + p%:Vorschüssige Rente:Endwert einer vorschüssigen Rente nach n Jahren,regelmäÿige Einzahlung R, Zinsfaktor q = 1 + p%:Barwert einer Rente, die n Jahre vorschüssig gezahlt wirdmit konstanter Jahresrate R und Zinsfaktor q = 1 + p%:K n = R qn − 1q − 1K 0 = R qn − 1q n (q − 1)K n = R q qn − 1q − 1K 0 = Rq n − 1q n−1 (q − 1)1.3 Tilgungsrechnung• Die Tilgungsrechnung ist ein Sonderfall der Rentenrechnung, bei der ein Kredit aufgenommenund dieser später in einem oder (meistens) mehreren Teilbeträgen zurückgezahlt wird, wobeizusätzlich Zinszahlungen zu leisten sind.• Man unterscheidet Ratentilgung und Annuitätentilgung.1.3.1 Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung)Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen.gegeben: Darlehenshöhe SZinssatz i = p%LaufzeitN Jahreberechnet: Tilgungsrate T = S N (konst.)Restschuld nach k Jahren S k = S − k · T = S − k S ( NZinsen im k-ten Jahr Z k = i · S k−1 = i · S − (k − 1) S )NGesamtzahlung im k-ten JahrA k = T k + Z kDie Gesamtbelastung A k nimmt jährlich ab, da die gezahlten Zinsen weniger werden.Tilgungsplan:Jahr Restschuld Tilgung Zins Gesamtzahlung0 S − − −1 S − S NT = S NZ 1 = i S A 1 = T + Z 12 S − 2 S NT = S NZ 2 = i ( )S − S NA 2 = T + Z 2...N S − N S N = 0 T = S NZ N = i ( )S − (N − 1) S NA N = T + Z N

1 FINANZMATHEMATIK 51.3.2 Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität)Die Gesamtzahlung A (Annuität) bleibt jedes Jahr konstant; das Verhältnis zwischen Tilgung undZinszahlung ändert sich. Der Tilgungsbetrag zu Beginn ist oft wesentlich niedriger als gegen Ende.Die Annuitäten lassen sich als Rente auassen, deren Barwert dem Kreditbetrag entspricht.gegeben: Darlehenshöhe SZinssatz i = p%LaufzeitN Jahreberechnet: Annuität (Gesamtzahlung pro Jahr) A = S q N 1 − q1 − q N (konst.)Tilgungsplan:Restschuld nach k JahrenZinsen im k-ten JahrTilgungsrateS k = S k−1 q − A = S q k − A 1−qk1−qZ k = i · S k−1T k = A − Z kJahr Annuität Zinsen Tilgung Restschuld(konst.) (= A - Zins) = Restschuld Vorjahr − Tilgung0 − − − S1 A Z 1 = S i T 1 = A − Z 1 S 1 = S − (A − S i) = S q − A2 A Z 2 = S 1 i T 2 = A − Z 2 S 2 = S 1 q − A...N A Z N = S N−1 i T N = A − Z N S N = S N−1 q − A = 0