Kapitel 4 (pdf, 149KB)

Zu Aufgabe 4.1.(a)und(b)und(c)und(d)undZu Aufgabe 4.4. Der Wertebereich ist die Menge aller Tupel ,so dass . Für istfallsfallsfallsZu Aufgabe 4.6. Für ist genau dann, wenn in derMengeliegt, alsoFerner ist

Graphische Darstellungen für und :10.90.80.70.6P[T ! r]0.50.40.30.20.101 2 3 4 5 6 7 8 9 10r0.40.350.30.25P[T = k]0.20.150.10.0500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10k

Zu Aufgabe 4.7. Ein heuristisches Argument: Wir betrachten eine Urne mit weißenKugeln und zwei Personen, A und B. Person A zieht rein zufällig Kugeln ohneZurücklegen und markiert sie mit ‘A’. Person B zieht rein zufällig Kugeln und markiertdiese mit ‘B’. Dabei wissen die beiden Personen nicht, was die jeweils anderetun wird oder getan hat. Aus Sicht von Person A ist die Anzahl der Kugeln mit doppelterMarkierung nachverteilt, während sie aus Sicht von Person Bnachverteilt ist.Zu Aufgabe 4.8. SeiDann istAndererseits kann man induktiv zeigen, dassfür beliebige und , dennFolglich ist

Anmerkung. Die untere Schranke kann man noch deutlich verfeinern. FüristFolglich istZu Aufgabe 4.10. Füristgenau dann, wennAlso ist monoton wachsend auf der Menge und streng monoton fallendauf, wobeiDie Maximalstelle von ist eindeutig, falls . Im Fallesind und die beiden Maximalstellen von .

Zu Aufgabe 4.11.(a) Jedes Tupel kann man durch das Paar darstellen, wobeiGenauer gesagt ist eine bijektive Abbildung von nach, undDemnach ist(b–c) Bei dieser Aufgabe werden erfahrungsgemäß Folgen mit zu hohen Werten vonerzeugt. Für ergeben sich folgende P-Werte:24 25 26 27 28 29 30 310.612 0.500 0.388 0.284 0.196 0.126 0.076 0.043Zu Aufgabe 4.13. MitistZunächst berechnen wir :0 1 2 3 40.09 0.30 0.37 0.20 0.04Dann ergibt sich :0 1 2 3 4 5 60.027 0.135 0.279 0.305 0.186 0.060 0.008

Zu Aufgabe 4.14.(a) Es istUnabhängigkeit vonFerner ist(b) Für mit ist

Die bedingte Verteilung von , gegeben dass , ist also die Laplace-Verteilung auf .(c)Zu Aufgabe 4.15. Fürist

Zu Aufgabe 4.16. Der hier beschriebene Rekonstruktionsalgorithmus berechnet induktivfür eine Permutation von , so dassInsbesondere ist . Man erhält aus ,indem man alle Komponenten , die größer oder gleich sind, um Einserhöht. (“ drängt sich zwischen die Zahlen .”)fürAlgorithmusInvRelRanksfor to dofor to doif thenend ifend forend forend InvRelRanks.Zu Aufgabe 4.17. Sei die Menge der Zeitpunkte, an denen das beste undzweitbeste Objekt auftreten; das heißt,. Gesucht ist nuneine Stoppregel , so dass .Man kann elementar ausrechnen, dass für die speziellen Strategien gilt:Dabei ist die triviale Strategie, stets das erste Objekt zu wählen, und mit wähltman stets das vierte Objekt. Die Strategie hat also die gewünschte Eigenschaft.Man kann sogar zeigen, dass sie für das gegebene Problem optimal ist.

Zu Aufgabe 4.18. Einerseits istDesweiteren gilt für beliebige und mit:für alleDies zeigt, dass im Falle vongilt:für alleEine einfachere Überlegung für Teil (b): Bedingt man auf das Ereignisfür alle , dann ist die Wahl der Menge gleichbedeutend mit der reinzufälligen Auswahl einer Mengemit genauElementen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass, ist also gleich derWahrscheinlichkeit, dass. Nach Teil (a) ist letztere WahrscheinlichkeitgleichMächtigkeit der MengeAnzahl der möglichen Elemente

Zu Aufgabe 4.19. Für Teil (a) kann man folgende Induktionsformel verwenden:Zu Teil (b): Mit den sequentiellen Rängengilt:für alle genau dann, wennBekanntlich sind die Zufallsvariablenstochastisch unabhängig, undist gleichverteilt auf . Folglich istfür allewobeiund