Euklidischen Algorithmus und Kettenbrüchen

Der EUKLIDISCHE AlgorithmusDer SubtraktionsalgorithmusEs sind zwei ganze Zahlen a und b gegeben. Von der größeren wird die kleinereoder ein Vielfaches so oft wie möglich subtrahiert. Es bleibt dann ein 'Rest' –noch unterhalb der kleineren Zahl.Das wird mit der ursprünglich kleineren Zahl und dem 'Rest' solange wiederholt,bis das Verfahren mit dem 'Rest' null abbricht.Der letzte von null verschiedene Rest ist dann der ggT der beiden Ausgangszahlen.70 200-14070 60- 6010 60- 6010 0Begründung:Beim Subtrahieren bleibt der ggT erhalten – man kann ihn nämlichausklammern.(1) ggT(a,b) = ggT(a-b,b)7· 10 20· 10- 14· 107· 10- 6· 101010(20-14)· 10-6·106·100Geometrisch kann der Subtraktionsalgorithmus als Wechselwegnahme gedeutet werden:Die Seiten a und b eines Rechteckssollen als Vielfache einer gemeinsamenMaßeinheit m (Längeneinheit) dargestelltwerden. Dazu wird die kürzere Seite sooft wie möglich auf der längerenabgetragen. Wenn ein 'Rest' bleibt,wirddieser entsprechend auf der ursprünglichkürzeren Seite abgetragen. Dies wirdsolange wiederholt, bis das Verfahren'aufgeht'.Die Länge der Strecke, die man zuletzt erhalten hat, ist das gesuchte gemeinsame Maß m.Zwei Strecken a und b mit einem solchen gemeinsamen Maß m nennt man kommensurabel.EUKLIDISCHER AlgorithmusDie wiederholte Subtraktion der gleichen Zahl kann man durch eineDivision mit Rest ersetzen. Im Grunde werden hier also nur die Reste beider Division der größeren durch die kleinere Zahl berechnet. Das wird mitdem Rest und der jeweils kleineren Zahl solange wiederholt, bis man denRest 0 erhält. Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der ggT der beidenAusgangszahlen.200=7070=6060=10216Rest 60Rest 10Rest 0

KettenbrücheSetzt man die Rechenschritte aus dem EUKLIDISCHEN Algorithmus Zeile für Zeile ein, erhältman einen Kettenbruch:200=702 +70=601 +60=1066070106020070= 2 +60 1= 2 + =70 702 +601= 2 +101+60111+6Der Kettenbruch hat das Anfangsglied 2. Die fettgedruckten Zahlen unter den Bruchstrichenheißen Teilnenner. Man kann sie direkt aus dem Rechenschema zum EUKLIDISCHEN Algorithmusablesen!Man kann jede rationale Zahl in einen abbrechenden Kettenbruch entwickeln, weil der EUKLI-DISCHE Algorithmus immer ein Ende hat. Der ungünstigste Fall ist, dass Zähler und Nennerdes Ausgangsbruches teilerfremd sind. Dann läuft das Verfahren bis zum kleinstmöglichenggT, nämlich 1.Umgekehrt beschreibt jeder abbrechende Kettenbruch eine rationale Zahl. Man kann ihn jawieder in einen (gewöhnlichen) Bruch zurückverwandeln.Kettenbrüche und der TaschenrechnerDen Euklidischen Algorithmus braucht man nicht schriftlich durchzuführen, wenn man übereinen Taschenrechner mit einer INT-Taste und einem Speicher verfügt. INT ist die Abkürzungvon INTEGER (= ganze Zahl). Beim Drücken dieser Taste werden alle Nachkommastellender angezeigten Zahl abgeschnitten, also die nächstkleinere ganze Zahl berechnet. Diesentspricht der Gaußklammerfunktion y = [x].Zur Berechnung der Teilnenner wird wie folgt vorgegangen:STOINT-RCL=±1/xSTOSpeichern der BruchzahlTeilnenneranzeigeEUKLIDISCHER AlgorithmusUm aus den Teilnennern den Ausgangsbruch (in dezimaler Darstellung) zu berechnen, werdendie Teilnenner, beginnend mit dem letzten, nach folgendem Schema verarbeitet:(t)1/x+;(t)=letzten Teilnenner eingebennächsten Teilnenner eingeben(Zwischen-)Ergebnisanzeige

Kettenbrüche als beste NäherungenDie Kettenbruchentwicklung kann auch vorzeitig abgebrochen werden. Man erhält dann eineoptimale Näherung für den Ausgangsbruch.Z. B. soll in einem Planetarium das Verhältnis 1355 : 946 der Umlaufszeiten zweier Planetenmit Zahnrädern nachgebildet werden. Da jedoch nur Zahnräder mit höchstens 100 Zähneneingebaut werden können, muss man das exakte Verhältnis so genau wie möglich annähern.Dazu wird der Kettenbruch nach dem 1., 2., usw. Teilnenner abgeschnitten. Man erhält soNäherungsbrüche, die immer genauer das gegebene Verhältnis annähern:1,432346723...1,5 1. Näherungsbruch:1355946 = 1 + 12 +1,428... 2. Näherungsbruch:1,4324... 3. Näherungsbruch:1,432343... 4. Näherungsbruch:3_210 __713 +15 +18 +13Hier liefert der 3. Näherungsbruch die Lösung, weil beim 4. bereits die Maximalzahl von 100Zähnen überschritten wäre. Der Fehler ist dabei kleiner als 10 -4 ! Diese Näherung ist sogar indem Sinn optimal, dass kein Bruch mit Nenner unterhalb 37 näher an 135553 __37434 ___303liegt als5337 .946Solche Näherungsbrüche liefern 'bessere' Werte als Dezimalbrüche, weil man wenigerSchreibaufwand braucht. Ein gleich 'guter' Dezimalbruch müsste hier immerhin den Nenner10000 haben.Die Näherungsbrüche, die man der Reihe nach bei einer Kettenbruchentwicklung erhält, sindabwechselnd zu groß und zu klein, liegen aber immer dichter am Ausgangsbruch.nichtabbrechende KettenbrücheMan kann auch nichtabbrechende Kettenbrüche konstruieren, z. B:g = 1+1+1111+1+LEinen solchen nichtabrechenden Kettenbruch kann man nicht in eine rationale Zahlverwandeln!