Euklid, Geometrische Algebra

Euklid, Geometrische Algebravon Michael SchmellingSeminar ”Geschichte der Algebra“bei Prof. Dr. ScribaSommersemester 199405. Mai1

Inhaltsverzeichnis1 Euklid, zur Person 31.1 Die Vorgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Die griechische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Euklid, zur Person . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Euklid, seine Mathematik 72.1 Euklids Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Euklids geometrische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Sätze aus den Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1 Euklid, zur Person1.1 Die VorgeschichteÜber die Person des Euklides gibt es keine gesicherten Berichte. Eine Biographiezu seiner Person zu schreiben, wre schon bei der Angabe seines Geburtsdatumszum Scheitern verurteilt. Es ist sinnvoll eine kurze Abhandlung über die Zeit,bevor Euklid lebte, zu formulieren und dann zu seiner Person und zu seinerArbeit zu kommen, um den Wandel deutlich zu machen, der sich in der Mathematikdurch die Griechen vollzog.Schon sehr lange Zeit, bevor sich die Griechen aktiv an der Entwicklungder Mathematik beteiligten, kannten und benutzten einige Kulturen wie dasalte China, Indien, die Babylonier in Mesopotamien und die Ägypter mathematischeSachverhalte und Lösungsvorschriften. Charakteristisch für den damaligenUmgang mit der Mathematik war das Fehlen von Begründungen fürverwendete Lösungsverfahren (es existieren zumindest keine schriftlichen Überlieferungen)und die enge Verbindung zur praktischen Anwendung bestimmterBereiche, wie Landvermessung, Astronomie und Kalenderrechnung. 1 So war esim alten Ägypten von Nöten, durch mathematische Methoden der Landvermessungdie Besitzrechte der Landeigentümer, welche am Nilufer ihren Grund undBoden hatten, zu klren, nachdem der Nil eine berflutung verursacht hatte, diedie Grundstücksgrenzen verwischte. 2 Gerechnet wurde bei den Ägyptern miteinem Rechenbrett, ähnlich dem der Griechen, während in der altbabylonischenMathematik mit umfangreichen Zahlentabellen gerechnet wurde, die über diedamaligen praktischen Bedürfnisse hinauszugehen scheinen.Die babylonische Mathematik war der ägyptischen überlegen. Die babylonischeermöglichte die Beherrschung einiger algebraischer Probleme, wie Systemesimultaner linearer Gleichungen und gemischt quadratischer Aufgaben in vollerAllgemeinheit, während die ägyptische Algebra auf die Auflösung von Gleichungenersten Grades und rein quadratischen Gleichungen beschränkt war.Desweiteren sei noch zu erwähnen, daß die Babylonier im Gegensatz zu den rnden ”Pythagoräischen Lehrsatz“ verwendeten. Er taucht nicht direkt als Satzauf, aber er wird in konkreten Aufgaben benutzt. Die ägyptische und die babylonischeMathematik ist für die Entwicklung der griechischen Mathematik vongroßer Bedeutung. Die Griechen kannten und benutzten Rechentechniken beiderKulturen. Was die Geometrie angeht, so sahen die Griechen in den Ägypternihre ersten großen Lehrmeister. 31 [1] Seite 82 [3] Seite 8-93 [4] Seite 7-103

1.2 Die griechische MathematikDer erste zu erwähnende griechische Mathematiker vor Euklid war Thales vonMilet, der etwa 624 bis 546 v. Chr. lebte. Thales war ebenso ein angesehenerPhilosoph. In der sogenannten hellenischen Mathematik, die von den Anfängenbis hin zu Euklid dauerte, war die Mathmatik mit der Philosophie eng verbunden.Die Leistungen des Thales auf dem mathematischen Gebiet war unteranderem der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieckund der nach ihm benannte Satz, daß der Peripheriewinkel im Halbkreis einRechter ist. Diese und andere Gesetzmäßigkeiten waren schon bei den Babyloniern,vermutlich auch bei den Ägyptern bekannt. Thales jedoch formuliertediese als Lehrsätze und bewies sie. Von Thales wird ferner behauptet, daß er dieSonnenfinsternis vom 28. Mai 585 voraussagte, das heißt natürlich, er berechnetesie und er berechnete die Höhe einer Pyramide mit Hilfe eines Stabes unddessen Schattenlänge. 4 Seiner wissenschaftlichen Neigung wegen wurde Thalesvom Volk, für welches eine derartige Arbeitsweise ungewohnt war, verspottet.Der praktische Nutzen war noch nicht einsichtig. 5Als nächstes sei Pythagoras bzw. der um 530 v. Chr. in Unteritalien gegründeteGeheimbund der Pythagoräer erwähnt. Im Kreise seiner Schüler undAnhänger bildete sich nach dem Tod des Pythagoras, etwa um 500 v. Chr.eine Partei der sogenannten Mathematikoi heraus, die vornehmlich die Mathemata,d.h. die systematisch geordneten Lehrgebiete der im übrigen vorwiegendweltanschaulich-philosophisch und politisch ausgerichteten Lehren des MeistersPythagoras weiterentwickelten. Die Mathemata umfassten die vier LehrgebieteArithmetik, Geometrie, Astronomie und Harmonielehre, also Musiktheorie.Auch für Pythagoras bestand eine sehr enge Verknüpfung zwischen Philosophieund Mathematik, die sich besonders stark durch seine These ”Alles istZahl “ ausdrückt. Pythagoras ursprüngliche These war, die natürlichen Zahlenund deren Verhältnisse seien als alleiniger Schlüssel zum Verständnis derWelt ausreichend. Diese seine These erlitt noch vor seinem Tod einen krisenhaftenZusammenbruch, als die irrationalen Zahlen entdeckt wurden. AlsAusweg wurde von den Pythagoräern eine ”geometrische Algebra“ geschaffen( dieser Name wurde von dem dänischen Mathematikhistoriker H.G. Zeutheneingeführt ), in der Größen als Streckenlängen, Flächeninhalte oder Voluminarepräsentiert werden und die arithmetischen Operationen zwischen ihnen durchgeometrische Konstruktionen erklärt sind. Der tatsächliche Anteil der Pythagoräeran der voreuklidischen Mathematik ist nur sehr ungenau bekannt. Dasliegt zum einen an der Geheimniskrämerei des Bundes und zum anderen daran,daß die Überlieferungen nur mündlich getätigt wurden.Etwa um diese Zeit gab es ebenfalls in Unteritalien eine sogenannte Schuleder Eleaten, von der verschiedene moderne Autoren behaupten, sie habe die Mathematikentscheidend beeinflusst, insofern, als daß sie die Wendung vom Empi-4 [4] Seite 11-125 [1] Seite 134

ischen und Konkreten zum Abstrakten hin vorangetrieben haben. In der Schuleder Eleaten traten zum ersten Mal Widerspruchsbeweise auf. Diese Beweistechnikverlangt, sich zumindest zeitweise einen Sachverhalt vorzustellen, der inWirklichkeit unmöglich, also keiner Veranschaulichung fähig ist. Ohne Zweifelhat dies die Schärfe mathematischer Beweise erheblich gefördert. In dieser Zeitgewann die Mathematik an Wertschätzung in der engagierten Öffentlichkeit,denn es wurde der Mathematik eine gewisse erzieherische und allgemeinbildendeFunktion zugesprochen. 6Als nächster sei Platon genannt, welcher allerdings wohl mehr Philosophals Mathematiker war. Platon gründete 389 v. Chr. in Athen eine eigene Akademie.Platon maß der Mathematik für die Ausbildung, die er vertrat, einenhohen Wert bei. Er sah ihren Hauptzweck darin, die für die Leitung des ihmvorschwebenden Idealstaates bestimmte Elite einer Art intellektuellen Trainingszu unterwerfen und dabei gleichzeitig zum Schönen und Guten zu erziehen. Allerdingshat Platon offensichtlich keinen eigenen Beitrag zum mathematischenWissen geleistet. 7Ein weiterer Mathematiker, der dem Kreise Platons angehörte, war Eudoxosvon Knidos, der von etwa 408 bis 355 v. Chr. lebte. Eudoxos hatte auch alsAstronom, Geograph und Arzt einen bedeutenden Rang. Von ihm wurde dieProportionstheorie für den allgemeinen Größenbegriff der geometrischen Algebraund der sogenannten Exhaustionsmethode zum Beweis von Volumenformelnfür krummflächig begrenzte Körper entwickelt. Eudoxos war der erste, der einenexakten Beweis des zuerst von Demokrit von Abdera (460 - 371 v. Chr.) gefundenenSatzes zur Berechnung des Volumens einer Pyramide führte.Ebenfalls zum Kreise Platons gehörte Theaitetos. Er lebte um 417 bis 368.Theaitetos wird die Entwicklung der Konstruktion der fünf regulären Polyedermit Zirkel und Lineal zugesprochen. Wahrscheinlich hat Theaitetos das Oktaederund das Ikosaeder erstmals gefunden, ebenso wie den Beweis, daß es keineweiteren regulären Polyeder gibt. 81.3 Euklid, zur PersonWie eingangs erwähnt gibt es von Euklid, dem Elementenschreiber, wie er seitArchimedes schlechthin genannt wird, keine gesicherten berlieferungen. EinigeHistoriker vermuten sogar, daß Euklid garn nicht existiert hat, sondern nurein Pseudonym einer Gruppe von Mathematikern gewesen sei, die im Museionin Alexandria gearbeitet haben. Das Museion von Alexandria wurde unterPtolemaios I gegründet. Es war aus heutiger Sicht ein Zwischending zwischenUniversität und Akademie, eine wissenschaftliche Einrichtung, die sowohl derForschung und Lehre als auch der Repräsentation der Herrscher diente. DasMuseion verfügte über Hörsäle, Arbeitsräume, Speisesäle, Gästezimmer, einer6 [1] Seite 11-137 [1] Seite 14-158 [1] Seite 15-16, 185

Sternwarte, einen botanischen und einen zoologischen Garten, vor allem aberüber eine riesige Bibliothek, 9 welche in der Blütezeit über ca. 740.000 Buchrollenverfügte und 47 v. Chr. durch einen Brand zerstört wurde. 10Aus den berlieferungen aus dieser Zeit geht hervor, daß Euklid zwischen 360und 280 v. Chr. gelebt haben muß und seine Werke vermutlich um 300 v. Chr.entstanden sind. Vermutlich wurde Euklid auf eine Empfehlung des Demetriosvon Phaleron nach Alexandria gerufen. Daher ist anzunehmen, daß er aus Athenkam, was allerdings noch nichts über seine Herkunft oder Nationalität aussagt.Die These, daß Euklid aus einer der beiden großen athenischen Philosophenschulenoder aus beiden hervorging, wird sehr stark durch sein Werk gestützt,das überall Spuren sowohl der platonischen Philosophie als auch der aristotelischenMethodologie trägt und überdies eine enge Vertrautheit des Verfassers mitden Theorien von Eudoxos und Theaitetos beweist. Die Ansichten der Historikerüber die Stellung des Euklid im Museion von Alexandria gehen auseinander.Einige behaupten, Euklid wäre Rektor gewesen, andere sagen, daß er wohl mitdem Museion in Verbindung gestanden hatte, jedoch nicht in einer offiziellenStellung. 11Lange Zeit ist Euklid mit dem athenischen Philosophen Euklid von Megara,welcher um 450 bis um 380 v. Chr. lebte und ein Schüler des Sokrates war,identifiziert worden. Das wurde jedoch 1572 von dem Euklidübersetzer und -bearbeiter Commandino wegen zeitlicher Widersprüche zurückgewiesen.Alle überlieferten Informationen über die Person des Euklid stammen vonspätantiken oder islamischen Schriftstellern. So schrieb der Mathematiker Papposum 320 n. Chr. in der Einleitung zum siebten Buch seiner berühmten Enzyklopädieüber Euklid : ”Er war von mildester Gesinnung und, wie es sichgeziehmt, wohlwollend gegen jeden, der, und wärs noch so wenig, die mathematischenDisziplinen zu fördern vermochte, in keiner Weise gehässig, sondern imhöchsten Grad rücksichtsvoll“. 12 Weiter schreibt Pappos über Euklid, daß dieserabsichtlich hinter seinem Werk zurückgetreten sei und so wenig wie möglichan den überkommenen Theorien geändert habe. Nach heutigen Erkenntnissenhat Euklid in seinen Elementen ganze Kapitel nach Inhalt und Stil frühererMathematiker übernommen.Der makedonische Schriftsteller Joannes Stobaios schrieb im 5. Jahrhundertn. Chr. in der folgenden berühmten Anekdote 13 : ”Ein Mensch, der bei EuklidUnterricht in der Geometrie zu nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er denersten Satz der Elemente kennengelernt hatte : ≫ Was habe ich nun davon, daßich das weiß ? ≪ Euklid rief seinen Sklaven und sagte : ≫ Gib dem Mannedrei Obolen, denn er studiert, um Profit zu machen !≪“ Diese kleine Geschichtesollte die uninteressierte Haltung Euklids an praktischen Anwendungen der9 [1] Seite 24-2510 [5] Seite 2911 [1] Seite 25-2612 [6] Seite 613 [1] Seite 26-276

Wissenschaft deutlich machen und ihn als Mensch darstellen, für den die Wissenschaftalles war. 14Eine weitere berühmte Anekdote über Euklid wurde von Proklus Diadochus,der um 450 n. Chr. Nachfolger des Plato in der Leitung der Akademie,d.h. Rektor der Universität Athen war, in seinem Euklidkommentar abgefasst.Er schrieb : ”Nicht viel jünger als diese ( Hermotimos, der Kolophoner undPhilippos, der Schüler Platons ) ist Euklides, der die Elemente verfasste, wobeier vieles, was vom Eudoxos herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte,vieles, was Theaitet begonnen, vollendete und außerdem so manches, was früherohne rechte Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Unddieser Mann lebte unter dem ersten Ptolemaios, denn Archimedes, dessen Lebenszeitsich an die des ersten Ptolemaios anschließt, erwähnt des Euklid, undzwar erzählt er : Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht zur Geometrieeinen bequemeren Weg gäbe als die Elemente. Jener aber antwortete : ≫Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg. ≪ Er ist also jünger alsdie Schüler des Platon und älter als Eratosthenes und Archimedes, denn diesewaren Zeitgenossen, wie Eratosthenes irgendwo sagt. Aus dem Grundsatz warer ( Euklid ) Platoniker und in der platonischen Philosophie zu Hause.“ 15Außer Zweifel steht der starke Einfluß, den Euklid über Jahrtausende auf dieMathematik hat. Dies wird auch durch ußerungen von van der Waerden deutlich,welcher in seinem 1956 erschienenen Buch ”Erwachende Wissenschaft“ schreibt: ”Und wirklich, Eukleides hat durch seine hervorragenden didaktischen Qualitätendiesen Ruhm in vollem Masse verdient. Er ist der größte Schulmeister,den die Geschichte der Mathematik kennt.“ Euklids Elemente sind durch Jahrtausendehindurch als mustergültige Lehrbücher der Schulgeometrie anzusehen.Schulgeometrie heißt in England ”Euclid“. Die eigendliche Genialität des Euklidlag also offenbar weniger in seiner Fähigkeit als Mathematiker sondern vielmehrim didaktischen Bereich. 162 Euklid, seine Mathematik2.1 Euklids WerkeDie Elemente ( griechisch: stoicheia ) sind das Hauptwerk des Euklid. Sie bestehenaus dreizehn Büchern. Aus dem Kommentar von Proklus ist bekannt,daß es schon mindestens drei Verfasser von Elementen vor Euklid gegeben hat.( Hippokrates von Chios, ca. 440 v. Chr. ; Leon, ca. 370 v. Chr. und Theudiosvon Magnesia, ca. 340 v. Chr. ). Von deren Inhalt ist allerdings nichts überliefert.Vermutlich sind die älteren ”Versionen“ der Elemente, sofern sie inhaltlicheinander ähnlich waren, deshalb verloren gegangen, weil man nur noch der neu-14 [6] Seite 615 [6] Seite 516 [7] Seite 321-3227

sten Version Beachtung schenkte. 17 Es folgt eine bersicht, die den Umfang derElemente zeigt :Die Elemente EuklidsBuch Inhalt inhaltl. Anzahl derNr. Herkunft Defini- Proposi- davontionen tionen Konstruktionsaufgaben1. ebene Geometriebis Satz desPythagoras 23 48 146. u. 5. Jh.2. elementare v. u. Z.,geometrische insbes.Algebra Pythago- 2 14 2räer, ion.Naturphi-3. Kreislehre losophen 11 37 64. Dem Kreis ein- u.umbeschriebeneVielecke 7 16 165. Proportionenlehre Eudoxos 18 24 -6. Anwendungen vonBuch 5 auf ebeneGeometrie ? 5 33 107. Theorie der 22 39 6+2’8. natürlichen Pythago- - 27 2+2’9. Zahlen räer - 36 2+2’10. quadratischeIrrationalitäten Theaitetos 29 117 2511. elementare z.T. wieStereometrie 1-4 28 39 512. Volumen Eudoxos - 18 2+1’13. reguläre Polyeder Theaitetos - 19 6Zählung nach Cl. Thaer’ Bei den jeweils hinzugefügten Aufgaben handelt es sich um Propositionen, diebei Cl. Thaer nicht formal als Aufgaben ausgewiesen, aber sachlich als solche zubetrachten sind.Entnommen aus [1] Seite 34.17 [1] Seite 328

Die DataEs ist mit sehr hoher Warscheinlichkeit anzunehmen, daß ”Die Data“ von Euklidverfasst wurden, da sie sich inhaltlich sehr eng an die Elemente anschließen. DieData beinhalten am Anfang zwölf Definitionen, in denen u.a. erklärt wird, wannein ( geometrisches ) Objekt der Größe nach bzw. der Gestalt nach bzw. derLage nach gegeben ist. Den Hauptteil bilden 94 Propositionen, die fast alle diefolgende Form haben : Wenn gewisse Objekte in der und der Weise gegebensind, dann ist ein gewisses anderes ( von ihnen abhängiges ) Objekt in der undder Weise gegeben. Z.B.:Satz 39 : Sind alle Seiten eines Dreiecks der Größe nach gegeben, so ist dasDreieck der Gestalt nach gegeben.Zu jeder Proposition wird eine Begründung angegeben, die im allgemeinen aufentsprechende Sätze aus den Elementen verweist. 18ber die Teilung von FigurenDiese Werk behandelt Aufgaben, gegebene Dreiecke, Parallelogramme, Trapeze,und in einem Fall einen Kreis, durch jeweils eine zu konstruierende Gerade inTeilfiguren zu zerlegen, die eine gegebene Form haben oder deren Flächeninhaltein einem gegebenen Verhältnis stehen. Z.B.:19 : Ein gegebenes Dreieck ABC mittels einer durch den inneren Punkt D diesesDreiecks gehenden Geraden in zwei f lächengleiche Teilstücke zu zerlegen. 19Die drei Bücher über PorismenDiese Werke sind verloren. Nach Pappos enthielten sie 171 Propositionen und38 Hilfssätze. Es wird vermutet, daß die Porismen Euklids eine Anzahl tieferliegenderCharakterisierungen von Geraden und Kreisen als geometrische Ortebeinhalteten. 20Eine weitere Schrift von Euklid über Flächen im Raum als geometrische Orte,soll ebenfalls existiert haben, ist aber verloren gegangen. Zwei Schriften, dieebenfalls verloren sind, sind Pseudaria, in der es um mathematische Trugschlüsseund Fehler geht, und Konika, bestehend aus vier Büchern, die die Kegelschnittlehrebehandeln.Die Optika ist im griechischen Orginaltext und einer um 370 von Theon redigiertenFassung erhalten. Dieses Werk behandelt die Lehre von der Perspektive.Die Katoptrik behandelt die Theorie der Spiegel.Phaenomena ist eine weitere erhaltene Schrift. Es ist ein Werk über die elementaretheoretische Astronomie ( Drehung der Himmelskörper, Auf- und Untergangder Teile der Ekliptik ).Vermutlich hat Euklid noch zwei weitere Werke verfasst. Eines über dieElemente der Musik, also Harmonielehre mit dem Namen Sectio canonis undein Werk über Mechanik, von dem zur Zeit drei Fragmente bekannt sind. 2118 [1] Seite 5819 [1] Seite 6320 [1] Seite 65-6621 [1] Seite 55-589

2.2 Euklids geometrische AlgebraSeit der dänische Mathematikhistoriker H.G. Zeuthen 1886 die Bezeichnung geometrischeAlgebra für die charakteristische Weise der Griechen einführte, algebraischeSachverhalte mittels geometrischer Darstellung der Größen und daraufbezogenen geometrischen Beweisen zu behandeln, ist in der Literatur die Interpretationvorherrschend, die griechischen Mathematiker hätten nach der Entdeckunginkommensurabler Streckenpaare, die von den Babyloniern übernommeneAlgebra retten wollen und sie darum auf einen geometrischen Größenbegriffgegründet. Ob dem so war, sei dahingestellt. Die Frage, wozu die Griechendie Algebra überhaupt brauchten, lässt sich einzig sinnvoll damit erklären, daßdie Griechen damit befähigt waren, kompliziertere geometrische Sachverhalteanalytisch behandeln zu können.Die erste Stelle in den Elementen, an der in klarer Form die algebraischeCharakterisierung eines geometrischen Sachverhaltes auftritt, ist der Satz desPythagoras am Ende des ersten Buches ( nebst dem vorbereitenden Kathetensatz), welcher offenbar als Einstieg bzw. Motivation für das 2. Buch genutztwird, welches der geometrischen Algebra gewidmet ist.Die wesentliche Beschränkung der geometrischen Algebra liegt in der Beschränkungauf Produkte von höchstens drei Streckenfaktoren ( die dann alsVolumina zu deuten sind ) und in der Addierbarkeit von nur gleichdimensionalenGrößen. So ist z.B. eine Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 in dergeometrischen Algebra sinnlos, da man ein Rechteck px nicht zu einer Streckeq addieren kann. 222.3 Sätze aus den ElementenEin typischer Satz aus dem 2. Buch Euklids Elementen ist der Satz 2 :2Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so sind die Rechtecke aus der ganzenStrecke und beiden einzelnen Abschnitten zusammen dem Quadrat über derganzen Strecke gleich. Euklid beweist das so :Man teile die Strecke AB beliebig, im Punkte C. Ich behaupte, daß AB ∗ BC +BA∗AC = AB 2 . Man zeichne nämlich über AB das Quadrat ADEB und ziehedurch C CF ‖AD oder BE. Hier ist Pgm. AE = AF + CE; AE ist nun AB 2 .Und AF ist BA ∗ AC; denn es wird von DA, AC umfaßt, und AD = AB. UndCE ist AB ∗ BC; denn BE = AB. Also sind BA ∗ AC + AB ∗ BC = AB 2 ✷22 [1] Seite 49-5110

A C BD FE 23Euklid beweist also die Gleichung (a+b) 2 = a(a+b)+b(a+b), wenn a das ersteund b das zweite Teilstück der Geraden, die a + b lang ist, rein geometrisch.Ein weiterer, interessanter Satz ist der 4. Satz im 2. Buch :4Teilt man eine Strecke, wie es gerade trifft, so ist das Quadrat über der ganzenStrecke den Quadraten über den Abschnitten und zweimal dem Rechteck ausden Abschnitten zusammen gleich.Euklid zeigt :Man teile die Strecke AB beliebig, in C. Ich behaupte, daß AB 2 = AC 2 +CB 2 + 2 ∗ AC ∗ CB. Man zeichne nämlich über AB das Quadrat ADEB, zieheBD, ferner durch C CF ‖AD oder EB und durch G HK‖AB oder DE.Da CF ‖AD, und BD sie schneidet, so ist der äußere Winkel CGB dem innengegenüberliegenden ADB gleich (I,29). Aber ADB = ABD, da die SeiteBA = AD (I,5); also ist auch ̸ CGB = GBC (Ax.1), so daß auch die SeiteBC = derSeiteCG (I,6). Andererseits ist CB = GK (I,34) und CG = KB;also ist auch GK = KB (Ax.1); also ist CGKB gleichseitig. Ich behaupte,daß es auch rechtwinklig ist. Da nämlich CG‖BK [und die gerade Linie CBsie schneidet], so sind ̸ KBC + GCB = 2R. (I,29). KBC ist aber ein Rechter;also ist auch BCG ein Rechter (Ax.3); daher sind auch die gegenüberliegendenWinkel CGK, GKB Rechte (I,34). CGKB ist also rechtwinklig. Die Gleichseitigkeitist oben bewiesen. Also ist es ein Quadrat, und zwar über CB. Ausdemselben Grunde ist auch HF ein Quadrat, und zwar über HG, d.h. überAC (I,34); HF, KC sind also AC 2 , CB 2 . Da ferner Pgm. AG = GE (I,43)und AG = AC ∗ CB, weil GC = CB, so ist auch GE = AC ∗ CB, alsoAG + GE = 2 ∗ AC ∗ CB. Man hat aber auch AC 2 , CB 2 , nämlich HF, CK; alsosind HF +CK +AG+GE = AC 2 +CB 2 +2∗AC ∗CB.HF, CK, AG, GE bildenaber zusammen ADEB, d.h. AB 2 . Also ist AB 2 = AC 2 + CB 2 + 2 ∗ AC ∗ CB✷23 [2] Seite 34-3511

A C BHKG D F E2424 [2] Seite 35-3612

2.4 Quadratische GleichungenDie Lösung quadratischer Gleichungen lässt sich geometrisch wie folgt konstruieren: Die Gleichung liegt in der Form q = x 2 +2. 1 2px vor. Wenn die Fläche q = a2als Quadrat gegeben ist, dann läßt sich √ ( p 2 )2 + a 2 sofort als Hypothenuse desrechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten p 2und a konstruieren, und wenn manax✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏❇ a 2 = qdavon p 2 abzieht, erhält man x.Diese Konstruktion wird beim Betrachten der Formelp2p2x = p 2 ± √( p 2 )2 + qleicht verständlich. 2525 [4] Seite 60-6113

Literaturliste[1] Peter Schreiber, ”Euklid“, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leibzig,1987, 1. Auflage[2] Clemens Thaer, ”Die Elemente von Euklid 1. Teil“, Akademische VerlagsgesellschaftmbH. Leibzig, 1933[3] C. A. Bretschneider, ”Geometrie und die Geometer vor Euklides“ B.G. TeubnerVerlag Leigzig 1870, Nachdruck 1968[4] Oskar Becker, ”Das mathematische Denken der Antike“, Vandenhoeck &Ruprecht, Göttingen, 1957[5] ”Familien Lexikon 1“, Isis Verlag AG, Chur/Schweiz, 1991[6] K. Fladt, ”Euklid“, Technische Bücherei Otto Salle Verlag Berlin, 1927[7] Van der Waerden, ”Erwachende Wissenschaft“, Birkhäuser Verlag Basel undStuttgart, 195614