Pseudozufallszahlen - Homepage of Stephan Kruegel

PseudozufallszahlenThema Nr. 14 des Seminars ”Ausgewählte Gebiete der Analysis und der linearen Algebra”Annette Schielek, Max-Beckmann-Str. 14, 60599 FrankfurtMatrikel-Nr. 2880312, Studienrichtung Wirtschaftpädagogik, 6. FachsemesterStephan Krügel, Mittelsteig 33, 90596 SchwanstettenMatrikel-Nr. 2657396, Studienrichtung Betriebswirtschaft, 10. FachsemesterINHALTSVERZEICHNISSYMBOLVERZEICHNIS ................................................................................................................................. III1. EINLEITUNG ..............................................................................................................................................12. ZUFALLSZAHLEN.....................................................................................................................................12.1. ECHTE ZUFALLSZAHLEN ............................................................................................................................12.2. PSEUDOZUFALLSZAHLEN ...........................................................................................................................23. GESCHICHTLICHE ENTWICKLUNG...................................................................................................33.1. VERFAHREN ZUR ERZEUGUNG ECHTER ZUFALLSZAHLEN ..........................................................................33.2. VERFAHREN ZUR ERZEUGUNG VON PSEUDOZUFALLSZAHLEN....................................................................43.2.1. Middle-Square-Generator................................................................................................................43.2.2. Algorithmus K (D. E. Knuth) ...........................................................................................................54. LINEARER KONGRUENZ-GENERATOR.............................................................................................55. GÜTE VON PSEUDOZUFALLSZAHLEN: STATISTISCHE TESTS..................................................85.1. CHI-QUADRAT-ANPASSUNGSTEST .............................................................................................................85.2. KOLMOGOROV-SMIRNOFF-ANPASSUNGSTEST .........................................................................................105.3. SERIELLE AUTOKORRELATION .................................................................................................................116. ERZEUGUNG BELIEBIG VERTEILTER ZUFALLSZAHLEN (TRANSFORMATION) ..............116.1. ERZEUGUNG VON ZUFALLSZAHLEN BELIEBIGER (A,B)-GLEICHVERTEILUNGEN .......................................126.2. ERZEUGUNG VON EXPONENTIALVERTEILTEN ZUFALLSZAHLEN ...............................................................126.3. ERZEUGUNG VON NORMALVERTEILTEN ZUFALLSZAHLEN .......................................................................137. ZUFALLSZAHLEN IN DER ANWENDUNG – DIE MONTE-CARLO-METHODE .......................147.1. GRUNDPRINZIP DER MONTE-CARLO-SIMULATION: EIN EINFACHES BEISPIEL ..........................................147.2. ALLGEMEINER ÜBERBLICK: LEITFADEN MONTE CARLO SIMULATION.....................................................15I

7.3. SIMULATION STOCHASTISCHER PROZESSE ...............................................................................................167.4. AUSGEWÄHLTE PRAKTISCHE ANWENDUNGEN IN DEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN..........................198. LATIN-HYPERCUBE-METHODE.........................................................................................................199. FAZIT UND AUSBLICK ..........................................................................................................................2010. LITERATURVERZEICHNIS ..................................................................................................................2111. ANHANG....................................................................................................................................................2311.1. ALGORITHMUS K.................................................................................................................................2311.2. KOLMOGOROV-SMIRNOFF-TEST: RECHENBEISPIEL.............................................................................24II

SymbolverzeichnisX, x Zufallsvariable, bzw. PseudozufallszahlU, u Pseudozufallszahl zwischen 0 und 1mModul, bzw. Teilerµ = E(X) Erwartungswert der Zufallsvariablen Xσ² = Var(X) Varianz der Zufallsvariable Xσρ kU(a;b)N(µ;σ²)E(α)χ²(m)K(n)αStandardabweichungAutokorrelationskoeffizient k-ter OrdnungGleichverteilung im Intervall [a;b]NormalverteilungExponentialverteilungChi-Quadrat-Verteilung mit (m) FreiheitsgradenKolmogorov-Smirnoff-Verteilung für Stichprobe der Größe nIrrtumswahrscheinlichkeitχ² m, 1-α (1-α)-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilungk n, 1-αeF xF xF -1Zh eIINTmoda ≡ b mod m(1-α)-Quantil der Kolmogorov-Verteilungerwartete, theoretische Verteilungsfunktionbeobachtete, empirische VerteilungsfunktionUmkehrfunktionbeobachtete Häufigkeiterwartete HäufigkeitIntervallIntegermoduloa und b kongruent modulo mIII

1. EinleitungBei der Entwicklung der Wasserstoffbombe in den fünfziger Jahren des vergangenen Jahrhundertsließen sich Prozesse im Bereich der Kernfusion nicht experimentell erproben, sondernmussten auf elektronischen Rechenanlagen simuliert werden. Die simulierten Prozessefolgten zum Teil stochastischen Gesetzmäßigkeiten, so dass Zufallsgrößen in die Berechnungeneinfließen mussten.Damit stand man vor dem Problem, woher man die benötigten Zufallsgrößen für die Berechnungennehmen kann. Eine Urne neben den Rechner zu stellen und bei Bedarf jeweils eineZufallszahl zu ziehen und einzugeben, stellt keine befriedigende Lösung des Problems dar.Deshalb ersann man Rechenverfahren, mit denen es möglich wurde, den Rechner selbst Zahlenfolgenerzeugen zu lassen, die sich wie Zufallszahlen verhalten sollten: Die Pseudozufallszahlenwaren entstanden.In den ersten Kapiteln werden Pseudozufallszahlen näher charakterisiert und ihre Eigenschaftendargestellt. Dann verfolgen wir die geschichtliche Entwicklung der Erzeugung von Zufallszahlen(Kapitel 3), erläutern in Kapitel 4 einfachen Algorithmus zur Generierung vonPseudozufallszahlen und weisen auf seine Nachteile hin. In Kapitel 5 geben wir Testverfahrenzur Überprüfung der Güte von Pseudozufallszahlen an. Anschließend beschäftigen wir uns inKapitel 6 mit Verfahren zur Transformation gleichverteilter Pseudozufallszahlen in andereWahrscheinlichkeitsverteilungen. Abschließend folgt die Darstellung der Anwendung vonPseudozufallszahlen in der Monte-Carlo-Methode und ihrer Variante, dem Latin-HypercubeVerfahren (Kapitel 7 und 8).2. ZufallszahlenVon Zufall sprechen wir, wenn es offen ist, ob ein Ereignis eintritt oder nicht, das Ereignisalso eintreten kann, aber nicht eintreten muss. Ein zufälliges Ereignis liegt vor, wenn es auseiner gegebenen Gesamtheit von Bedingungen nicht mit Notwendigkeit folgt, sondern nureine gewisse Wahrscheinlichkeit für seinen Eintritt angegeben werden kann.2.1. Echte ZufallszahlenZufallszahlen sind Zahlen, die aus Zufallsexperimenten gewonnen werden, z.B. Münzwurfoder Würfeln. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:1. Unvorhersehbarkeit: Nur eine Voraussage mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitist möglich.2. Gleichverteilung: Jeder Wert in einem bestimmten Intervall besitzt ungefähr die gleicherelative Häufigkeit.1

3. Unabhängigkeit: Keine Zahl hängt von einer anderen ab.Die Gewinnung von Zufallszahlen unter realen Labor-, bzw. Feldversuchen ist sehr zeitaufwendigund kostenintensiv. Außerdem ist es schwierig, die Versuchsbedingungen konstant zuhalten. Bei manchen Experimenten wird das zu untersuchende Objekt oft beschädigt oderzerstört. Ein Würfel kann sich abnutzen oder die Kugel in einem Roulette-Spiel bekommt eineDelle. Die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bestimmter Ereignisse ändern sich dann.2.2. PseudozufallszahlenPseudozufallszahlen sind Zahlen, die durch einen mathematischen, deterministischen Algorithmuserzeugt werden 1 . Der Computer erzeugt als Zufallszahlengenerator diese Zufallszahlen.Er benötigt nur kurze Generierungszeiten und geringe Speicherkapazitäten. Dass errechneteZahlenfolgen zufällig sein sollen, ist ein Widerspruch in sich. Der Computer simuliertden Zufall, die Zahlenfolgen sind algorithmisch errechnet, sehen aber wie echte Zufallszahlenfolgenaus. Für wissenschaftliche Zwecke genügt es, dass sich die Zahlen „zufällig verhalten“.Sie werden pseudozufällige Zahlenfolgen genannt.Die erzeugten Zufallszahlen müssen gute statistische Eigenschaften aufweisen, sie müssen diegleichen wichtigen Eigenschaften wie echte Zufallszahlen haben 2 :1. Unvorhersehbarkeit: Solange man den Algorithmus nicht kennt, weiß man nicht, welcheZahl als nächstes kommt.2. Gleichverteilung: Die erzeugten Zahlen treten wie echte Zufallszahlen mit der gleichenWahrscheinlichkeit auf. Wenn eine Folge von Zufallszahlen die Werte 0 bis 10annehmen kann, dann erwartet man, dass jeder Wert mit der gleichen Wahrscheinlichkeitvon 1/10 angenommen wird. Nach dem Gesetz der großen Zahlen wird sich derMittelwert der relativen Häufigkeiten dem erwarteten Wert von 1/10 annähern.Aber nicht:3. Unabhängigkeit, da die folgende Zahl aus der aktuellen Zahl errechnet wird.Die Güte der Pseudozufallszahlen misst sich daran, in welchem Grad sie diese Eigenschaftenerfüllen. Man überprüft die Güte durch statistische Tests 3 , z.B. den χ²-Test.Leider ergibt sich aus der Berechnung von Zufallszahlen ein großer Nachteil. Bei jedem Startder Berechnung mit dem gleichen Startwert wird die gleiche Zahlenfolge erzeugt. Diesen Abstandzwischen zwei gleichen Zufallszahlen in einer Folge von Pseudozufallszahlen nennt1 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.2 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3.3 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3.2

man Periode. Die errechneten Zahlenfolgen sind periodisch, d.h. die Wiederholung einer Zufallszahlbedeutet regelmäßig den Start der gesamten, bisher berechneten Zufallszahlenfolgein gleicher Reihenfolge. Man versucht die Periode durch geeignete Wahl des Startwertes undder Parameter zu maximieren 4 .Pseudozufallszahlen finden Anwendung in folgenden Bereichen:1. Naturwissenschaften (z.B. Kernphysik, Thermodynamik)2. Operations Research (z.B. Verkehrsflussprobleme)3. Statistik (z.B. Stichproben als Qualitätskontrolle)4. Mathematik (Gewinnung von Vermutungen)5. Kryptographie (Durch Überlagerung mit einer Zufallsfolge erhält man einen Geheimtext,der durch reproduzierbare Zufallszahlen dekodiert wird)6. Sicherheit und Zuverlässigkeit technischer Anlagen7. Glücksspiele (z.B. Roulette)8. Finanzwelt (z.B. Simulation von Aktienkursverläufen)9. Ästhetik (z.B. Bilder auf dem Bildschirm wirken lebendiger)3. Geschichtliche Entwicklung3.1. Verfahren zur Erzeugung echter ZufallszahlenVor Einführung der Computer musste man zeitraubende Experimente tatsächlich durchführenund die zufälligen Zahlenfolgen notieren. Der französische Naturforscher G. Buffon (1707 –1788) schätzte den Wert der Zahl Pi, indem er Nadeln auf eine gestreifte Fläche warf und dabeizählte, wie oft die Nadeln die Linien berührten (Buffon-Nadel-Experiment) 5 .Im ersten kommerziell hergestellten Computer (Ferranti Mark I) wurden echte Zufallszahlendurch elektrisches Rauschen hergestellt. Man nennt so ein Gerät Rauschgenerator. Im Jahre1955 druckte die RAND Corporation ein Buch mit 1.000.000 Zufallszahlen ab, die durch e-lektrisches Rauschen erzeugt worden waren 6 .Ein weiteres bekanntes Beispiel für einen elektrischen Zufallsgenerator ist der Generator „Ernie“(Electronic Random Number Indicator Equipment). Die Geräuschimpulse von Neonröhrenwerden durch Zähleinrichtungen in Zufallszahlen umgerechnet. Ernie wird verwendet beider staatlichen Lotterie in Großbritannien 7 .4 Vgl. Knuth (1998): S.12.5 Vgl. Hartmann (2004): S. 8.6 Vgl. Hartmann (2004): S. 9.7 Vgl. Hartmann (2004): S. 11.3

Der Vorteil von „echten“ Zufallsgeneratoren ist, dass man „gute“ Zufallszahlen erzeugt. Esgibt keine Periode. Der Nachteil ist, dass es unmöglich ist, die gleichen Zufallszahlen nocheinmal zu erzeugen, sie lassen sich nicht reproduzieren. Außerdem können sich die Wahrscheinlichkeiten,mit denen gewisse Zufallszahlen erzeugt werden, durch den Verschleiß derMaschinen im Laufe der Zeit ändern.3.2. Verfahren zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen3.2.1. Middle-Square-Generator 8Etwa 1946 entwickelte John von Neumann den ältesten algorithmischen Zufallsgenerator.John von Neumann, der einer ungarischen Bankiersfamilie entstammte und während des Nazi-Regimesaus Deutschland in die USA auswanderte, gehörte zu den Physikern der Los-Alamos-Scientific-Laboratory. Während des Zweiten Weltkriegs benötigten die WissenschaftlerInformationen darüber, wie weit Neutronen durch verschiedene Materialien gelangten,um das geeignete Material zur Abschirmung vor den Neutronen zu finden. Man simuliertediese Experimente auf dem Computer. Dieses geheime Projekt bekam den Codenamen„Monte Carlo“. Es ist eine Anspielung auf den für Glücksspiel bekannten Ort. Seitdem wirddiese Methode der Simulation auch „Monte-Carlo-Methode“ genannte. Für diese Simulationbenötigte man sehr viele Zufallszahlen.Man startet mit einer vierstelligen Zahl, quadriert sie und nimmt als nächste Zufallszahl wiederdie mittleren vier Ziffern des Quadrats. Sollte das Quadrat nur aus sieben Ziffern bestehen,so wird die Zahl vorne mit einer Null ergänzt. Der Befehl INT streicht die Stellen hinterdem Komma einer Zahl.1. Wähle vierstelligen Startwert (X o ).2. Setze für i = 1, ... , N:X(i) := INT((x(i – 1)^2 / 100)X(i) := X(i) – INT(X(i) / 10000) * 10000i := i + 1Beispiel: X o = 31233123² = 09753129INT(09753129 / 100) = 97531INT(097531 / 10.000) = 09 * 10.000 = 090000097531 – 090000 = 7531X 1 = 75318 Vgl. Hartmann (2004): S. 12 - 14.4

Dieser einfache Algorithmus ist zwar leicht zu implementieren, doch besteht die Gefahr, dassder Zyklus/Periode sehr klein ist oder auf Null abstürzt 9 . Der Startwert 1944 liefert nach 13Rechenschritten das Ergebnis 0. Der Middle-Square-Generator besitzt deshalb nur noch historischeBedeutung.3.2.2. Algorithmus K (D. E. Knuth) 10Auch der amerikanische Informatik-Professor Donald Knuth hat einen Algorithmus entwikkelt,mit dem er allerdings Schiffbruch erlitt. Dieser Algorithmus sollte nur absolut zufälligeoder wenigstens einen unendlichen Vorrat „unglaublich zufälliger Zahlen“ liefern. Knuthnannte sie „superzufällig“ 11 . Man geht von einer zehnstelligen positiven Zahl X aus. Trotz 13komplizierten Rechenschritten konvergiert der Algorithmus bei manchen Startwerten relativschnell gegen 6 065 038 420. Dieser Wert wiederholt sich dann jeweils nach 44 Iterationsschritten.Knuth meinte daraufhin: „Zufallszahlen sollte man nicht mit einer zufällig gewähltenMethode erzeugen. Etwas Theorie kann nicht schaden.“ Der Aufbau des Algorithmuskann im Anhang unter Punkt 11.1 eingesehen werden.4. Linearer Kongruenz-Generator 12Bessere Ergebnisse liefern die sogenannten Kongruenzgeneratoren, die auch am gebräuchlichstensind. Der Lineare Kongruenz-Generator wurde 1949 von dem amerikanischen MathematikerD. H. Lehmer (1905 – 1991) entwickelt. Diese Methode ist noch ein Bestandteilvieler Zufallsgeneratoren, obwohl es mittlerweile besserer Nichtlineare- und Inverse-Kongruenzgeneratoren gibt.Das Bildungsgesetz des Linearen Kongruenz-Generators lautet 13 :x i+1 = (a * x i + c) mod m (1)Es erinnert an eine lineare Geraden-Gleichung der Form y = mx + b.Beim Linearen-Kongruenz-Generator geht es aber um die Kongruenzrechnung, auch Modulorechnunggenannt: Zwei ganze Zahlen a, b nennt man kongruent modulo m, wenn man bei aund bei b mit Division durch m den gleichen Rest erhält. Man schreibt a ≡ b mod m. Mannennt m den Modul der Kongruenz.9 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.210 Vgl. Knuth (1998): S. 5 f.11 Vgl. Knuth (1998): S. 6.12 Vgl. Hartmann (2004): S. 32 – 37, Knuth (1998): S. 10 - 25.13 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.2.5

Regeln für Kongruenzen:1. Aus a ≡ a’ mod m, b ≡ b’ mod m folgta + b ≡ (a’ + b’) mod m, a b ≡ (a’ b’) mod m2. In einer Kongruenz modulo m darf man eine Zahl a durch eine zu ihr kongruente ersetzen:Statt a = 7 modulo 5 (Rest 2) kann man auch 12, 17, 22 ... wählen, da 12 : 5, 17 : 5 ... Rest 2ergibt.Die Folge x i+1 = (a * x i + c) mod m hängt von 4 ganzzahligen Parametern ab 14 :m>0Multiplikator a, 0 ≤ a < mVerschiebung c, 0 ≤ c < mStartwert X 0 , 0 ≤ X 0 < mMan nimmt einen Startwert, multipliziert mit der Konstanten a, addiert c. Diesen Wert dividiertman durch m. Der Divisionsrest wird als neue Zufallszahl verwendet. Ist c = 0 sprichtman von der multiplikativen Kongruenzmethode 15 .X i+1 ist eine ganze Zahl zwischen 0 und m. Eine Division durch den Modul m bildet die Pseudozufallszahlanschließend auf das Intervall (0,1) ab. Man erhält (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen.Werden die Parameter Startwert X 0 = 7, a = 21, c = 3 und m = 17 gewählt, so erhält man folgendeZufallszahlen, wobei schon nach vier Schritten die Zahl 7 wieder auftritt (Periode) 16 :i X i+1 = (a * x i + c) mod m Z i = X i / m1 21 * 7 + 3 (mod 17) = 14 0,8235292 21 * 14 + 3 (mod 17) = 8 0,4705883 21 * 8 + 3 (mod 17) = 1 0,0588244 21 * 1 + 3 (mod 17) = 7 0,4117655 21 * 7 + 3 (mod 17) = 14 0,823529Tabelle 1: Bildung einer Zufallszahlenfolge (X 0 = 7, a = 21, c = 3 und m = 17)Ein großer Vorteil des Linearen Kongruenz-Generators: Er ist einfach zu programmieren. EinNachteil ist, dass die Perioden, wie man oben an dem Beispiel sieht, sehr kurz sein können. Jenach Wahl der Parameter a, c, m, können sehr unterschiedliche Zahlenfolgen entstehen.Hier sind einige Beispiele für a und m, wobei c = 0 (multiplikative Kongruenzmethode) 17 :14 Vgl. nuth (1998): S. 10.K15 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3.16 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3.6

m a Periode231 216+3 229235 513 233231-1 16807 231Tabelle 2: Beispiele für Periodenlänge bei gegebenen ParameternDie Periode beträgt maximal m, deshalb sollte m eine Zweier- oder Zehnerpotenz sein. Unterfolgenden Voraussetzungen wird die Periode maximal 18 :1. c und m sind teilerfremd2. für jede Primzahl r, die m teilt, ist a-1 ein Vielfaches von r (a-1 ist ein Vielfaches vonp, für alle Primzahlen p, die Teiler von m sind)3. wenn m ein Vielfaches von 4 ist, dann ist auch a-1 ist ein Vielfaches von 4Bei Zahlenfolgen des Linearen Kongruenz-Generators treten oft systematische Fehler auf, dieman zwei-dimensional schnell erkennt. Dieses Verfahren nennt man Visualisierung 19 : Wirfassen aus einer Zahlenfolge X 0 , X 1 , X 2 , ..., X m-1 je zwei aufeinander folgende Zahlen zusammen.Das sind die Koordinaten der Punkte:P 0 = (X 0 ,X 1 ), P 1 = (X 1 ,X 2 ) bis P m-2 = (X m-2 ,X m-1 )Man zeichnet diese Punkte in ein Koordinatensystem. Im Idealfall sollten alle Punkte in diesemGebiet ungefähr gleich verteilt sein, die Dichte der Punktwolke sollte gleich groß sein.Leider treten gerade bei Linearen Kongruenz-Generatoren Muster, z.B. Linien, auf. DieseSchwäche lässt sich nicht beheben, da die Erzeugung der Zufallszahlen von ihren Vorgängernabhängt.17 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.2.2.3.18 Vgl. Knuth (1998): S. 17.19 Vgl. Hartmann (2004): S. 44 - 46.7

Abbildung 1: Muster 20 für Paare aufeinanderfolgender Pseudozufallszahlen (m = 256)Ebenso ist es möglich, Tripel aus drei hintereinander folgenden Zufallszahlen zu bilden, damitman eine Visualisierung im drei-dimensionalen Raum erreicht.5. Güte von Pseudozufallszahlen: Statistische TestsEchte Zufallszahlen haben die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffenjeder Zahl gleich groß ist. Mit statistischen Tests lässt sich die Güte von zufälligen Zahlenfolgenüberprüfen, ob sie die Eigenschaften der echten Zufallszahlen erfüllen 21 . Man testet dieGleichverteilung (Anpassungstest) und Unabhängigkeit von Pseudozufallszahlen. In der Praxiswerden ungefähr sechs verschieden statistische Tests auf eine Folge angewendet. Wenndie Folge alle Tests besteht, so betrachtet man sie als hinreichend zufällig 22 .5.1. Chi-Quadrat-Anpassungstest 23Der bekannteste Test ist der χ²-Test: Man prüft mit der Nullhypothese, ob auf einem vorabefestgelegten Signifikanzniveau α eine hypothetisch erwartete Verteilungsfunktion F x als eingeeignetes Verteilungsmodell für eine empirisch beobachtete Verteilungsfunktion F x angesehenwerden kann. Die Nullhypothese H 0 : F x = F x wird gegen die Alternativhypothese H A :eF x ≠ F e x getestet.20 Vgl. Schmidt (2003): S. 64.21 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.3.22 Vgl. Hartmann (2004): S. 47.23 Vgl. Eckstein (1999): S. 312 f.8

Man erzeugt n Zufallszahlen X 1 , ..., X n . Durch X i / m = u i entstehen Zufallszahlen zwischen 0und 1. Die Hypothese H o lautet: Die Pseudozufallszahlen u i sind auf dem Intervall (0,1)gleichverteilt (u i ~U(0,1)), i=1, ... n. Das Intervall [0,1) wird in r gleichlange Teilintervalle I 1 ,... I r ( I 1 = [0, 1/r) , … , I r = [(r-1)/r, r/r)) unterteilt. Durch Abzählen, wie viele Zufallszahlen ineinem Teilintervall liegen, erhält man die empirischen Häufigkeiten Z j (u 1 , ..., u n ), also dieAnzahl derjenigen Pseudozufallszahlen, die im Intervall ((j-1)/r , j/r) liegen. In jedem Teilintervallsollten erwartungsgemäß n/r = h e Zufallszahlen liegen, wobei h e ≥ 5 gilt.Man bildet die Differenz zwischen den beobachteten Häufigkeiten Z j und den erwarteten Häufigkeitenh e . Die Differenz wird quadriert, damit die Differenzen immer positiv bleiben unddie Abweichungen sich nicht gegenseitig wieder aufheben. Die absoluten Abweichungen zumbeobachteten Wert werden dann noch gewichtet.χe( Z ( u − h )n2 i i)= ∑ei=1 h2(2)Weil die Testgröße χ² asymptotisch χ² r-1 – verteilt ist, wird bei hinreichend großem n die HypotheseH o abgelehnt, wenn χ² > χ² r-1, 1-α . R-1 ist die Anzahl der Freiheitsgrade.In einer Tabelle, die in vielen Statistikbüchern abgedruckt ist, ist aufgelistet, welchen Wert χ²höchstens annehmen darf, damit wir die Hypothese nicht ablehnen.Beispiel 24 : Man hat n = 100.000 Zufallszahlen, a = 0.05 und r = 10 Teilintervalle. Die Häufigkeitender Zufallszahlen in den Teilintervallen betragen:z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 109995 10045 10127 9816 10130 10040 9890 9858 10083 10016Tabelle 3: Häufigkeiten von 100.000 Zufallszahlen in 10 IntervallenDaraus errechnet man χ² = 10,99 < χ² r-1, 1-α = 16,92 25 . Die Hypothese der (0,1]-Gleichverteilung wird nicht verworfen.24 Vgl. Schmidt (2003): S. 66.25 Vgl. Aus der Tabelle über kritische Werte der χ²-Verteilung.9

5.2. Kolmogorov-Smirnoff-Anpassungstest 26Während der χ² -Test die Übereinstimmung der erwarteten mit der tatsächlichen Verteilungüberprüft und nur auf große Stichproben anwendbar ist, überprüft der Kolmogorov-Smirnoff-Test, inwieweit die hypothetische Verteilungsfunktion F x e (x i ) mit der zu testenden empirischenVerteilungsfunktion F x (x i ) (kumulierte relative Häufigkeiten der Grundgesamtheit) imEinklang steht. Um die Verteilung der Zufallszahlen leichter bestimmen zu können, werdendie Zufallszahlen zuerst der Größe nach sortiert, so dass giltAnhang 11.2).X ≤ X ..., X (siehe BeispielMan stellt dann die Nullhypothese auf, dass sich die empirische mit der theoretischen Verteilung(mit einer festgelegten Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha) deckt:e0 x i x iH : F ( x ) = F( x )HA: Fx( xi) ≠ Fx( xi)eAls Testgröße bedient man sich der maximalen Abweichung zwischen zu testender und theoretischerFunktion. Diese maximale Abweichung besitzt eine definierte Wahrscheinlichkeit,die bei wirklichen Zufallszahlenfolgen auftreten würde. Ziel ist es, diese definierte Wahrscheinlichkeit(kritischer Wert) mit der tatsächlichen zu vergleichen.Es ist zu beachten, dass an jeder Sprungmarke (neuer empirischer Datenpunkt) von F x(x)zwei Abstände zu bestimmen sind: Der Abstand des aktuellen Wertes der empirischen Verteilungzum aktuellen ( ktheoretischen Verteilung.= F ( x ) − F(x ) ) und zum letzten Wert ( k F x ) − F(x ) ) der1 x ii12 ,n2=x(ii−1KnFx( xi) − F(xi)= maxF ( x ) − F(x )xii−1(3)Anschließend wird die Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt, z.B. α = 0, 05 (entspricht einemKonfidenzniveau von 95%). Bei kleinen Stichproben wird die Nullhypothese nicht verworfen,wenn der größte vorkommende Abstand („Prüfgröße“) den tabellierten kritischen Wert nichtüberschreitet. Der kritische Wert für große Stichproben (Grundgesamtheit größer n = 35 Elemente)wird meist nicht mehr tabelliert und muss anhand folgender Formeln approximiertwerden:Alpha 0,1 0,05Approximation für n>351 ∗1,224nTabelle 41 ∗1,358n26 Vgl. Schwarze (1997): Seite 234 f.10

Ein Vorteil des Kolmogorov-Smirnoff-Test ist, dass keine Klassenbildung erforderlich ist.Die Zahlen können direkt für den Test herangezogen werden. Der Test ist also dem χ²-Testimmer dann vorzuziehen, wenn keine Klassenbildung vorliegt. Des weiteren sollte der KSA-Test bei kleinen Stichproben präferiert werden (siehe Beispiel Anhang), da er insbesonderebei Abweichungen in Form der Verteilungsfunktion empfindlicher reagiert. Ein weiteres Positivumist seine Verteilungsfreiheit.5.3. Serielle Autokorrelation 27Die durch den Generator erzeugten Pseudozufallszahlen müssen paarweise unabhängig seinoder etwas einfacher gesagt, frei von Mustern. Durch die serielle Autokorrelation misst mandie Abhängigkeit einer Folge von Zahlen. Idealtypisch wäre eine Korrelation ρ k = 0. Weichtder Korrelationskoeffizient jedoch deutlich von Null ab, so ist mit hoher Wahrscheinlichkeitkeine zufällige Zahlenfolge gegeben.Eine negative Autokorrelation bedeutet, dass auf hohe Werte (des jeweiligen Lags k) überdurchschnittlichhäufig niedrige Werte folgen. Wenn man Zufallspaare mit ähnlichen Wertenerhält, spricht man von positiver Korrelation. Diese Phänomene können bei aufeinanderfolgendeWertepaaren und bei Paaren, die in einer bestimmten Zahlenfolge einen bestimmtenAbstand zueinander besitzen, auftreten.Bei der letztgenannten Erscheinung spricht man von einer seriellen Autokorrelation k-terOrdnung (ρ k ).ρk=n−k∑i=1n−k∑i=1( x − µ ) ∗ ( x − µ )ixn−kn−k∑i=1n−k( xi− µx) ∗∑( xi+k− µx) ∑⎜xi− ⎟ ∗∑i=1i+kx==i=1⎛⎜ x⎝⎛⎝i1 ⎞ ⎛ 1 ⎞− ⎟ ∗ ⎜ xi+k− ⎟2 ⎠ ⎝ 2 ⎠n−k1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ xi− ⎟2 ⎠ i=1 ⎝ 2 ⎠(4)Der Stichprobenmittelwert ergibt sich als µ = ½, da man von Pseudozufallszahlen zwischen 0und 1 ausgeht. Unkorreliertheit bedeutet ρ k = 0. Ein Generator wird also abgelehnt, wenn dievon ihm generierten Zufallszahlenfolgen eine Autokorrelation aufweisen, die signifikant vonNull verschieden ist.6. Erzeugung beliebig verteilter Zufallszahlen (Transformation) 28Bislang wurden (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen (x n / m = u n ) erzeugt. Sie sind die Ausgangsbasisfür die Erzeugung von Zufallszahlen mit beliebigen anderen Wahrscheinlichkeits-27 Vgl. ujarati, S .450-452.G28 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.11

verteilungen. Man transformiert die gleichverteilten Zufallszahlen analytisch durch Bildungder Umkehrfunktion F -1 . Die Verteilungsfunktion u n = F(x) ist eine Funktion, die jedem xeinen Wert zwischen 0 und 1 zuordnet. Durch Bildung der Umkehrfunktion x = F -1 (u n ) wirdjedem u n zwischen 0 und 1 ein Wert aus dem Wertebereich von F mit F(x) = F(F -1 (u n )) zugeordnet.Die Transformation kann auch grafisch - man wählt einen y-Wert, zieht eine horizontaleLinie bis zum Kurvenpunkt und fällt dann das Lot auf die x-Achse – oder mittels Nachschlagenin einer Tabelle (Table-look-up) erfolgen 29 .6.1. Erzeugung von Zufallszahlen beliebiger (a,b)-Gleichverteilungen 30Mit Hilfe von (0,1)-gleichverteilten Zufallszahlen werden wiederum gleichverteilte Zufallszahlenim Intervall (a,b) erzeugt. Gegeben ist die Verteilungsfunktion F(x) = (x-a) / (b - a),bzw. u n = F(x) = (x-a) / (b - a). Man löst nach x auf und erhält die Transformationsgleichung:x = a + (b - a) u n (5)Beispiel: Gegeben ist die (0,1)-gleichverteilte Zufallszahl u = 0,4711, die in eine (1,10)-gleichverteilte Zufallszahl transformiert werden soll:x = 1 + (10 - 1) * 0,4771 = 5,23996.2. Erzeugung von exponentialverteilten Zufallszahlen 31Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass zwischen dem Eintretenzweier aufeinander folgender Ereignisse höchsten x Zeiteinheiten vergehen (Beispiel: Lebensdauereiner Glühbirne, Eintreffen von Kunden). Die Dichtefunktion lautet f(x) = µ e -µx , x≥ 0, bzw. f(x) = 0, x < 0. Die Verteilungsfunktion lautet F(x) = 1 - e -µx .Sei nun u n eine in (0,1)-gleichverteilte Pseudozufallszahl und die Zufallsvariable X n hat dieVerteilungsfunktion F(x) = 1 - e -µx , so erhalten wir durch Anwendung der Transformationsmethodeund Auflösung nach x: x n = -1 / µ ln(1 - u n ) eine mit dem Parameter exponentialverteiltePseudozufallszahl.Transformation:F(x n ) = 1 - e -µx nu n = F(x n ) = 1 - e -µx nu n - 1= - e -µx n1 - u n = e -µx nln(1 - u n ) = -µ x nx n = (-1/ µ) ln(1- u n )29 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.1.30 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.2.31 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.3.12

Beispiel: Gegeben ist die (0,1)-gleichverteilte Zufallszahl u = 0,4711, mit µ = 0,5, so erhältman für x:x = (-1 / 0,5) ln(1 - 0,4711) = 1,27396.3. Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen 32Eine einfache analytische Umformung von (0,1)-gleichverteilten Zufallszahlen in normalverteilteZufallsvariablen wie bei der Exponentialverteilung ist nicht möglich. Für die Lösungbenötigt man die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes: Die Summe von n voneinander unabhängigenZufallsvariablen mit beliebigen Verteilungen ist näherungsweise normalverteilt.Wird also aus n Zufallsvariablen die Summe Y n = Σ u n gebildet und hat keine der Variablenu n einen überragenden Einfluss, so strebt für n gegen Unendlich die Verteilungsfunktion vonY n gegen die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung. Sie ist asymptotisch normalverteiltmit den Parametern Σ µ und Σ σ². Für n gegen Unendlich strebt die Verteilung der standardisiertenVariableXnY=n−∑∑µ2σΣµ:Σσ:N*µN*σ(6)gegen die Standardnormalverteilung N(0;1).So erhalten wirX n=∑u n− nµ2nσ(7)Beispiel: Bei n = 12 Zufallszahlen (u 0 , ... u n ) mit µ = ½ und σ² = 1/12 erhält man bereits eingutes Ergebnis, eine gute Realisation einer Standard-Normalverteilung, auch wenn der Wertebereichnur von –6 bis +6 geht. Echt normalverteilte Zufallsvariable haben den Wertebereich(-∞, +∞).1∑ un− 12 ∗Xn= 2 = ∑ un− 612n12(8)32 Vgl. Steinhausen, Kapitel 3.4.4.13

Die standard-normalverteilten Zufallszahlen (x) transformiert man dann durchy = xσ + µ(9)in beliebige (µ,σ²)-normalverteilte Zufallsvariable (y).Beispiel: x = 0,486 (standard-normalverteilt) soll in (0.7,0.16)-normalverteilte Zufallsvariablemit µ = 0,7 und σ = 0,4 transformiert werden:y = 0,486 * 0,4 + 0,7 = 0,89447. Zufallszahlen in der Anwendung – Die Monte-Carlo-MethodeMit der Monte-Carlo-Methode lassen sich zwei große Problemgruppen bearbeiten:• Probleme deterministischer Natur, also Probleme, die eine eindeutige Lösung haben.Beispiele: Integrale, Berechnung der Zahl Pi• Probleme stochastischer Natur, also Probleme, deren Lösung zufällig ist.Beispiel: Risiko eines Wertpapier-Portfolios (Value-at-Risk), Bepreisung exotischer Optionen7.1. Grundprinzip der Monte-Carlo-Simulation: Ein einfaches Beispiel 33Es wird hier die Einsetzbarkeit der Monte-Carlo-Methode bei der Berechnung von Flächenbzw. der Lösung von Integralen demonstriert (deterministische Simulation).Die Fläche eines Kreises lässt sich bekanntlich mit der FormelA = π * r² (10)berechnen. Mit der Monte-Carlo-Methode kann man die Zahl π abschätzen. Dabei wird voneinem Einheitskreis (Radius r = 1) ausgegangen, da hier die Fläche gleich π beträgt. Teilt manden Einheitskreis in Viertel, so beträgt die Fläche des 1. Quadranten π/4. Nun generiert manPseudozufallszahlen zwischen 0 und 1 für die x bzw. y Koordinaten eines Punktes.Ein Punkt kann maximal die Koordinaten P(1,1) besitzen. Die Kreisgleichung im 1. Quadrantendes Einheitskreises lautet x² + y² = 1(Satz des Pythagoras), so dass für alle Punkte innerhalbdes Kreises gelten muss x² + y² ≤ 1.33 Vgl. Steinhausen, Kapitel 1.3.3.14

Der Computer generiert nun mit den Pseudozufallszahlen sehr viele Punkte. In der Realitätkönnen diese Punkte mit Regentropfen verglichen werden, die gleichverteilt auf eine Flächevon einem Quadratmeter auftreffen. Diese liegen manchmal außerhalb, meistens innerhalbdes Kreisviertels.Abbildung 2: Das Einheitsquadrat und ¼ des Einheitskreises wirdmit künstlich erzeugten Punkten „beschossen“.Das sind die sogenannten „Treffer“. Der Anteil der Treffer im Verhältnis zu den Punkten, dieaußerhalb des Viertelkreises liegen, konvergiert für eine große Anzahl von Punkten näherungsweisegegen die Fläche des Kreisviertels π/4 (Zentraler Grenzwertsatz, Bernoulli). Multipliziertman die Zahl mit 4, so erhält man eine Annäherung an π. Für diese Berechnung benötigtman schon eine sehr große Anzahl von Pseudozufallszahlen.Wie man sieht hängt der Erfolg eines derartigen statistischen Experiments von der Güte derverwendeten Zufallszahlen ab, die in diesem Fall gleichverteilt sein müssen. Diese Tatsacheunterstreicht die Bedeutung der Testverfahren für Pseudozufallszahlen und damit für die Qualitäteiner Monte-Carlo-Simulation.7.2. Allgemeiner Überblick: Leitfaden Monte Carlo SimulationDie folgende Übersicht rekapituliert die wichtigsten Schritte der Vorgehensweise:1) Generierung der für einen Monte Carlo Schrittnötigen Pseudo-Zufallszahlen, die zwischen 0 und 1gleichverteilt sind.2) Transformierung der gleichverteilten Pseudo-Zufallszahlen in die gewünschte Verteilung.Ein Monte Carlo Schritt entspricht dem Auftreffeneines simulierten Punktes. Hierzu sind zwei Zufallszahlennötig (x-Koordinate, y-Koordinate).Zur Berechnung des Verhältnisses der Kreisflächebenötigt man gleichverteilte Zufallszahlen, in diesemFall würde die Transformation also entfallen.15

3) Durchführung eines Monte-Carlo-Schrittes mit deneben erzeugten Zufallszahlen.Der Punkt (x-y-Paar) trifft auf die Gesamtfläche auf.4) Messen der interessierenden Größen. Feststellen, ob der Punkt im Kreis aufgetroffen ist odernicht („Hit-or-Miss“).5) Vielfaches Wiederholen der Schritte 1 bis 4 (solange,bis genügend Systeme für eine ausreichendeStatistik zur Verfügung stehen)6) Endauswertung: Interessierte Größe je nach Simulationsziel(Mittelwerte, Quotient etc.) zusammenfassen.Zur Berechnung der Kreisfläche müssen ausreichendviele Punkte simuliert werden, z.B. 10.000 WiederholungenBerechnung des Verhältnisses aus den auf der Kreisflächeaufgetroffenen Punkte und der Gesamtanzahl allersimulierten Punkte7.3. Simulation stochastischer ProzesseEine stochastische Simulation bedient sich der Zufallszahlen, um zeit- bzw. zufallsabhängigeProzesse zu simulieren. Wird der aktuelle Wert des Prozesses dabei ausschließlich von seinemVorgängerwert beeinflusst, so spricht man von einem sog. Markov-Prozess 34 .In den Finanzwissenschaften bedient man sich des Markov-Prozesses, um mögliche zukünftigeAktienkursbewegungen zu modellieren, mit anderen Worten, um Marktszenarien zu generieren.Dabei geht man davon aus, dass sich Aktienkurse über die Zeit zufällig bewegen. Inder Kapitalmarktforschung begründet man dies mit dem Argument der „schwachen Markteffizienz“.Der Anwendungsschwerpunkt liegt meist auf der Bestimmung der Verteilung des Aktienkurseszu bestimmten zukünftigen Zeitpunkten 35 36 . Anhand dieser Verteilung kann beispielsweisefestgestellt werden, mit welchem Verlust man mit z.B. 95% Wahrscheinlichkeit rechnenmuss, wenn man einen bestimmten Zeitraum in einer Aktie investiert ist.Die Entwicklung einer Aktienkursbewegung kann mit Hilfe eines Wiener-Prozesses 37 (auchBrown’sche Bewegung) dargestellt werden, der einen Mittelwert von Null und eine Standardabweichungvon 1 aufweist. Es ergibt sich eine sog. diskrete arithmetische Brown‘sche Bewegungals Kursprozess 38 :dS= µ S dt + σ S dz = µ S dt + σ S ε dt(11)S: Aktienkursµ: mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestmentsε: standard-normalverteilte unabhängige Zufallsvariable34 Vgl. Deutsch in Eller (1998): S. 272, Neftci (2001): S.53 f.35 z.B.: Bei einer Option interessiert man sich für die Verteilung des Aktienkurses am Laufzeitende, bei der täglichen Value-at-Risk Berechnungim Risikomanagement von Wertpapierpositionen für die Verteilung des Aktienkurses am Folgetag.36 Vgl. Schwendner/ Martin/Papies (2002) S. 279.37 Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2001), S.55-63.38 Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2001), S.55-63; Montagna/Nicrosini/Moreni (2002), S.5 f.; Wilmott (2002), S. 101-118.16

Die meisten Theorien gehen jedoch von einem kontinuierlichen Renditeprozess 39 aus, waseine Transformation der Gleichung in einen stetigen Kursprozess (geometrische Brown‘scheBewegung) erforderlich macht. Von großer Bedeutung ist hier Ito’s Lemma (Satz aus der stochastischenAnalysis 40 ), mit dem diese Transformation von statten geht. Es ergibt sich:ST⎝= S ∗ et⎛2⎞⎜σ⎟µ − 2 ∗ t⎠( T − ) + σε T −t(12)T: Zeithorizontt: aktueller Zeitpunktµ: mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestmentsσ: mittlere erwartete Rendite des Aktieninvestmentsε: standard-normalverteilte unabhängige ZufallsvariableMit dieser Formel ist es möglich, potenzielle zukünftige Kursverläufe zu erzeugen, mit derenHilfe sich zufällige Kurse in Abhängigkeit von der Erzeugung von standard-normalverteiltenZufallszahlen simulieren lassen. Sie ist die Grundlage für die Simulation mittels Monte-Carlo-Methode.Beispiel: Bepreisung einer exotischen Option (Asiatische Option)Um ein Gefühl für die Anwendungsrelevanz von Monte-Carlo-Simulationen zu bekommen,wird im Folgenden demonstriert, wie der Preis einer asiatischen Option durch stochastischeSimulation ermittelt werden kann.Asiatische Optionen sind auch unter dem Namen „Average Option“ bekannt, was ihr Funktionsprinzipbereits sehr gut beschreibt: Der Wert am Verfalltag bestimmt sich aus der Differenzdes arithmetischen Durchschnitts des Aktienkurses in einem bestimmten Zeitraum wenigerdem Ausübungspreis.Ganz allgemein gesprochen hängen Optionspreise vom Erwartungswert ihres Auszahlungsprofilsbezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Aktienkurses am Laufzeitende, bzw.wie vom gesamten Kursverlauf („Kurspfad“) bis Laufzeitende ab. 43Da hier wegen der Durchschnittsrechnung alle Kurse bis zum Laufzeitende relevant sind (sog.„Pfadabhängigkeit“ der Option), stellt sich die Aufgabe, den gesamten zukünftigen Kursverlaufmit Monte-Carlo zu simulieren.41 4239 Das impliziert für die folgende Eigenschaften: Aktienrenditen sind normalverteilt, Aktienkurse sind lognormalverteilt.40 Vgl. Sandmann (2001): S. 47 f.41 Beispiel in Anlehnung an: Wilmott (2003), S. 221.42 Bepreisung unter der Annahme einer dividendenfreien Aktie.43 Vgl. Taleb (1997): S. 27 f.17

An dieser Stelle kommt die im letzten Abschnitt vorgestellte Formel zur Erzeugung zufälligerKursbewegungen zum Einsatz. Man geht in mehreren Schritten vor:1) Generierung der für einen Monte-Carlo-Schritt nötigen Pseudo-Zufallszahlen, die zwischen 0 und 1 gleichverteiltsind.2) Festlegung der Prämissen. Aktienkurse folgen einem Random Walk mit Drift. An dieser Stelle ist lediglichrelevant, dass diese Tatsache normalverteilte Aktienrenditen impliziert. Die anderen Parameter (Volatilitätder Aktie, mittlere erwartete Aktienrendite, risikoloser Zins zur Barwertberechnung) können empirisch ermitteltoder subjektiv geschätzt werden.3) Generierung von gleichverteilten Zufallszahlen im Intervall [0;1].4) Transformieren der Zufallszahlen in die Standardnormalverteilung.5) Einsetzen der transformierten Zufallszahlen in den Random Walk mit Drift, Berechnung der simuliertenKurszeitreihe.6) Berechnung des durchschnittlichen Kurses der simulierten Kurszeitreihe.7) Berechnung der Auszahlung am Laufzeitende: max[Durchschnittskurs – Basispreis; 0].8) Stetige Diskontierung des Auszahlungsbetrags auf heute; speichere diesen Betrag.9) Führe die Schritte 1 bis 7 weitere 250 Mal 44 durch.10) Ermittle den Mittelwert aus allen 250 Simulationen: Er entspricht dem „fairen Wert“ der Asiatischen Option.Auf diese Weise wurde der Preis einer analytisch komplex zu bewertenden exotischen Optionunter Verwendung von Pseudozufallszahlen in Verbindung mit der Monte-Carlo-Methodeermittelt.Abbildung 3: Generierung von 250 Szenarien eines Kursverlaufs zur Bestimmung des Preiseseiner asiatischen Option (Startwert: 100, Laufzeit 1 Jahr, Volatilität 20% p.a., mittlereerwartete Rendite 5% p.a., Zeitintervall 0.01 ).44 250 Simulationsschritte sind in der Monte-Carlo Welt eigentlich zu wenig (Fehlertoleranz). Aufgrund der Begrenzung der Excel-Tabellenkalkulation auf 256 Spalten bietet sich diese Anzahl jedoch aus Gründen der Übersichtlichkeit und damit des besseren Verständnissesan.18

7.4. Ausgewählte Praktische Anwendungen in den WirtschaftswissenschaftenKempf/Günther 45 schlagen vor, Monte-Carlo beim Risikomanagement von Kapitalanlagegesellschafteneinzusetzen. Im Besonderen handelt es sich dabei um die Berechnung der RisikokennzahlValue-at-Risk („VaR“), dem absoluten Geldbetrag, der mit vorgegebener Wahrscheinlichkeitden maximalen Verlust in einem bestimmten Zeitraum entspricht.Dr. H.-P. Deutsch 46 geht des weiteren darauf ein, dass auch Adressenausfallrisiken (Bonitätsrisiken)mittels stochastischer Simulation adäquat modelliert werden können.Elsas/El-Shaer/Theissen 47 simulieren im Rahmen einer Studie zur Validität des Capital AssetPricing Modells (kurz CAPM) einen „idealen“ Markt mittels Monte-Carlo. Das CAPM basiert– wie die meisten ökonomischen Modelle – auf Annahmen. Beispielsweise wird davon ausgegangen,dass Aktienrenditen normalverteilt sind oder sich Wertpapiere alleine mit ihremsystematischen Risiko („Beta-Risiko“) bepreisen lassen. Durch das Schaffen einer Idealwelt,in der alle diese Annahmen erfüllt sind und das anschließende Anwenden des Modells wirdeine Aussage über dessen tatsächliche Brauchbarkeit möglich.8. Latin-Hypercube-Methode 48Die Latin-Hypercube-Methode, die maßgeblich von Dr. Ronald Iman 49 Anfang der achtzigerJahre entwickelt wurde, zählt zu den Stratified Sampling Methoden. Hier wird die Verteilungin disjunkte Intervalle unterteilt, die alle dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit aufweisen. Ausallen diesen Intervallen werden gleich viele Zufallszahlen (ohne Zurücklegen) gezogen. DieseAbwandlung der Monte-Carlo-Simulationen durch Klassenunterteilung („Stratified Sampling“)liefert bereits mit wenigen Simulationsschritten aussagekräftige Ergebnisse.Im Gegensatz zur Monte-Carlo-Methode wird bei dieser Vorgehensweise erst ein Intervallzufällig ausgewählt. Das Ziehen einer Zufallszahl aus diesem Intervall geschieht dann wiederumzufällig. Die Pseudozufallszahl muss sich nicht in der Klassenmitte des Intervalls befinden.Dieses Verfahren führt dazu, dass vor allem Randverteilungen besser repräsentiertwerden. Der Vorgang wird solange wiederholt, bis aus jedem Intervall ein Zufallswert vorliegt.Man erhält mit der Latin-Hypercube-Methode trotz weniger Durchläufen präzisere Zufallsstichprobenals bei der herkömmlichen Monte-Carlo-Methode, da die gesamte Verteilunggleichmäßiger erfasst wird.45 Vgl. Kempf/Günther (2001): S. 60.46 Vgl. in: Eller, Roland (1998): S. 304.47 Vgl. Elsas/El-Shaer/Theissen (2003): S.7 f.48 Vgl. Bayer (1999): S.9 f.49 Dr. Ronald Iman, Sandia National Laboratories, Albuquerque, New Mexico.19

Abbildung 4: Die Abbildung zeigt eine Verteilung, die in 20 disjunkte, gleichwahrscheinlicheIntervalle aufgespalten wurde, um das Latin-Hypercube Verfahrenanzuwenden.9. Fazit und AusblickEs wurde gezeigt, dass Pseudo-Zufallszahlen aus der heutigen Welt nicht mehr wegzudenkensind. In Kombination mit Simulationsmethoden helfen sie dabei, verschiedenste Problemstellungen,u.a. Fragestellungen der Wirtschaftswissenschaften zu verstehen und zu lösen, dennviele dieser realen Probleme enthalten Zufallskomponenten. Am Beispiel der Berechnung vonPi wurde klar, dass sogar Fragen beantwortet werden können, die eigentlich gar nichts mitdem Zufall zu tun haben.Die Qualität der erzeugten Zahlen ist dabei von zentraler Bedeutung, was dazu geführt hat,das auch heute noch an „besseren“ Generatoren (Algorithmen) gearbeitet wird. Interessant istaber auch die Tatsache, dass viele der Generatoren, Test- und Transformationsverfahren ausder Anfangszeit der Simulationstechnik noch heute aktuell sind.Die Einsatzmöglichkeit der in dieser Arbeit vorgestellten Instrumente hängt heute vor allemvon der Leistungsfähigkeit der Computer ab, die - wie die Vergangenheit lehrt – sehr schnellsteigt. Dr. H.-P. Deutsch beschreibt die Zukunft der Anwendung von Zufallszahlen anschaulich:„Viele führende Wissenschaftler gehen davon aus, dass die Computersimulation in naherZukunft die wichtigste aller Methoden in den Naturwissenschaften sein wird, wichtiger alsExperiment oder Theorie.“ 50 2050 Vgl. Deutsch in Eller (1998): S. 304.

10. LiteraturverzeichnisEckstein, Peter P.: Repetitorium Statistik, Wiesbaden, 1999, S. 311 – 323Eller, Roland (Hrsg.): Handbuch des Risikomanagements, Stuttgart, 1998Franke, Jürgen/Härdle, Wolfgang/Hafner, Christian: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte,Berlin, 2001Gujarati, Damodar: Basic Econometrics, New York, 2003Hartmann, Stefan: Schüler-SimuLab, Kurs 1, Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen, Forschungszentrumcaesar, Bonn, 2004, online unter:http://www.caesar.de/uploads/media/skript-kurs1.pdf (19.04.2005)Kempf, Arno/Günther, Carsten: Risikomanagement bei Kapitalanlagegesellschaften – Einganzheitlicher Risikoansatz, Frankfurt, 2001Knuth, Donald E.: The Art of Computer Programming, Volume 2, Seminumerical Algorithms,Addison-Wesley, Don Mills, Ontario, 1998, S. 1 - 194Montagna, Guido / Nicrosini, Oreste / Moreni, Nicola: A Path Integral Way to Option Pricing,in: Physica A (Elsevier Science), Heft 310, 2002, S.450-466Neftci, Salih N.: Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, New York, 2000Sandmann, Klaus: Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte, Berlin, 1999Schmidt, Prof. Dr. Volker: Markov-Ketten und Monte-Carlo Simulation, Universität Ulm,2003, online unter:http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss03/markov/skript/skript.html(19.04.2005)Schwarze, Jochen: Grundlagen der Statistik, Herne/Berlin, 1997Schwender, Peter/Martin, Stephan/Papies, Simon: Transparentes Monte Carlo Verfahren zurRisikosteuerung im Aktienderivatebereich, in: Die Bank, Heft (2002), S. 276-28821

Steinhausen, Prof. Dr. Detlef: Kapitel 1 Einführung, Fachhochschule Münster, online unter:http://www.fh-muenster.de/fb9/person/steinha/buch/Kapitel1.htm (19.04.2005)Steinhausen, Prof. Dr. Detlef: Kapitel 3 Die Erzeugung von Zufallszahlen, FachhochschuleMünster, online unter:http://www.fh-muenster.de/fb9/person/steinha/buch/kapitel3.htm (19.04.2005)Taleb, Nassim: Dynamic Hedging, New York, 1997, S. 403-408, S.415-424, S.459-477Wilmott, Paul: Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, New York, 2003, S. 101-136,S. 355-36622

11. Anhang11.1. Algorithmus KDer folgende Algorithmus beschreibt, auf welche Weise eine zehnstellige positive Zahl Xverändert wird 51 :K1. [Zufällige Wahl der Anzahl Iterationsschritte] Y sei die „Milliardenstelstelle“ von X. DieSchritte K2 bis K13 werden nun genau Y + 1 mal durchgeführt.K2. [Zufälliger Sprung zu einem Iterationsschritt] Z sei die „Hundertmillionstelstelle“ von X.Gehe zum Iterationsschritt K(3 + Z).K3. [Sorgt dafür, dass X ≥ 5 000 000 000 ] Falls X < 5 000 000 000 gilt, dann setze X = X + 5000 000 000.K4. [„Mitten-Quadrat-Generator“] Siehe oben, nur diesmal mit zehn Stellen statt mit vier,also: Nehme das Quadrat von X und wähle davon die mittleren zehn Stellen als neues X.K5. [Multiplikation] Multipliziere X mit 1 001 001 001 und wähle von dem Ergebnis die letztenzehn Stellen als neues X.K6. [Pseudo-Komplement] Falls X < 100 000 000 gilt, setze: X = X + 9 814 055 677. Andernfallssetze: X = 10 000 000 000 -X.K7. [Vertauschung der Hälften] Vertausche die ersten fünf Ziffern der zehnstelligen Zahl Xmit den letzten fünf Ziffern.K8. [Multiplikation 2] Mache das gleiche wie in K5.K9. [Verkleinerung der Ziffern] Verkleinere jede der Ziffern von X, die nicht gleich 0 sind,um eins.K10. [Modifizierung mit 99 999] Falls X < 100 000 gilt, setze: X = X 2 + 99 999. Andernfallssetze: X = X - 99 999.K11. [Normierung] Falls X < 100 000 000 gilt, dann setze X = 10 · X und wiederhole diesenSchritt.K12. [Modifizierter „Mitten-Quadrat-Generator“] Multipliziere X mit X-1 und wähle vondem Ergebnis die mittleren zehn Stellen als neues X.K13. [Wiederholung? ] Falls Y > 0 gilt, dann erniedrige Y um 1 und kehre zu Schritt K2 zurück.Wenn Y = 0 gilt, dann ist der Algorithmus beendet. Das aktuelle X ist das nächste Gliedder „zufälligen“ Zahlenfolge.51 Vgl. Hartmann (2004): S. 16 f.23

11.2. Kolmogorov-Smirnoff-Test: Rechenbeispiel 52Im diesem Beispiel wurden 10 Zufallszahlen im Intervall [0;1] erzeugt (kleine Stichprobe). Eswird auf Gleichverteilung getestet. Die Zufallszahlen werden zuerst der Wertigkeit nach sortiert,um deren Verteilungsfunktion(x) F xnachzubilden (Spalte 3 der Tabelle). Spalte 4 enthältdie theoretische kumulierte Häufigkeitsverteilung angetragen.Die Notwendigkeit, zwei Abstandsmaße k 1 (Spalte 5) und k 2 (Spalte 6) zu ermitteln, wird inder folgenden Abbildung nochmals graphisch für das Beispiel verdeutlicht.Abbildung 5Der maximale Wert aus k 1 und k 2 ist 0,163. Der tabellierte kritische Wert für das 95%-Konfidenzniveau lautet c (alpha=5%) =0,409.Da k 28 = 0,163 < 0,409 ist die Nullhypothese, dass die Zufallszahlen aus einer Gleichverteilungstammen, nicht zu verwerfen.iErzeugte ZufallszahlenkumulierteHäufigkeitZufallszahlenTheoretische kumulierteHäufigkeit derGleichverteilungk 1 k 21 0.022 2.20% 10.00% 0.078 0.1002 0.126 12.65% 20.00% 0.074 0.0263 0.151 15.06% 30.00% 0.149 0.0494 0.298 29.81% 40.00% 0.102 0.0025 0.536 53.56% 50.00% 0.036 0.1366 0.537 53.68% 60.00% 0.063 0.0377 0.739 73.94% 70.00% 0.039 0.1398 0.863 86.34% 80.00% 0.063 0.1639 0.890 89.04% 90.00% 0.010 0.09052 Beispiel in Anlehnung an Schwarze (1997)24