Von der Spiegelwelt zu den Planetenbahnen - Humboldt-Universität ...

4θv 1pv pr pαv 2v 3BθAbbildung 11: Das Ortsdiagramm mit einem willkürlichgewählten Winkel α.Richtung vonr pv’ ppv pAbbildung 9: Der Winkel ∆v ist im Geschwindigkeitsdiagrammein weiteres Mal zu finden.Richtung vonαBv’ 3v’ 2v’ 1ABθAbbildung 12: Das um 90 ◦ gedrehte Geschwindigkeitsdiagramm.Die Winkelverhältnisse sind mit denen in Abbildung11 identisch.Abbildung 10: Das um 90 ◦ gedrehte Geschwindigkeitsdiagramm.Die Winkelverhältnisse sind mit denen in Abbildung6 identisch.toren ⃗r 1 und ⃗r 2 in Abbildung 6 einschließen. Wählenwir einen willkürlichen Punkt p auf der Bahnkurve imOrtsraum (Abbildung 11), so ist die Richtung des zugehörigenOrtsvektors ⃗r p identisch mit der Richtungder Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des Kreisesund dem Endpunkt des Vektors ⃗v ′ p (Abbildung 12).Der Vektors ⃗v ′ p, stimmt wiederum – von einer 90 ◦ -Drehung abgesehen – mit dem wirklichen Geschwindigkeitsvektor⃗v p am Punkt ⃗v p im Ortsraum überein.Es ist bekannt, dass ⃗v p in einem Punkt p die Tangentean die Bahnkurve bilden muss. Ausserdem stehter senkrecht auf ⃗v ′ p. Daher muss der Schnittpunktdes Vektors ⃗v p mit der Richtung des Vektors ⃗r p imGeschwindigkeitsdiagramm eben jenen Punkt p derBahnkurve ergeben (Abbildung 12). Wie im Anhangplausibel gemacht wird, kann nur die Mittelsenkrechtevon ⃗v ′ p gewählt werden, um eine zusammenhängendeKurve zu erhalten. Alle weiteren Punkte auf demKreis müssen natürlich mit derselben Konstruktionvorschriftbehandelt werden.Ein Vergleich mit Abbildung 4 zeigt die Analogie diesesProblems mit dem aus der Spiegelwelt. Die Mittelsenkrechteentspricht dem Ort des Spiegels. Die Forderungnach gleich langen optischen Weglängen ist geometrischvergleichbar mit der Feststellung, dass alle∆v gleiche Länge besitzen (beides hat einen Kreis zurFolge). Wir können demzufolge durch reinen Übertragfeststellen: Die Bahnkurve ist eine Ellipse.Zu Beachten ist, dass die im Geschwindigkeitsdiagrammentstandene Bahnkurve nur Aussagen über dieForm zulässt. Über die Größe können wir keine Vorhersagetreffen, da die Transformation auf den Ortsraumausschließlich winkelerhaltend ist.