Musterlösungen zu Blatt 10 - Logik und Sprachtheorie ...

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10∀xφ:Sei v beliebige Belegung.Es gilt x/∈ FV(∀xφ). Damit ist ∀xφ(x) ≏ ∀xφ(x). Desweiteren sind dieBelegungen v und w auf allen freien Variablen der Formel gleich. MitKoinzidenz folgt die geforderte Gleichheit.∀yφ (y ̸≏ x):Sei v beliebige Belegung.Falls ein Term t frei einsetzbar ist für die Variable x in der Formel ∀yφ,dann auch in φ für x. Damit ist die (IV) verwendbar und es gilt für geeigneteTerme t:[[∀yφ(t)]] v =1 ⇔ für alle a ∈ A ist [[φ(t)]] v[y↦→a] =1(IV,‡)⇔ für alle a ∈ A ist [[φ(x)]] w(a) =1 ⇔ [[∀yφ(x)]] w =1Bei (‡) ist anzumerken: die (IV) gilt für alle Belegungen, insbesonderealso auch für die Belegung v[y ↦→ a].Dann ist: w(a) := v[y ↦→ a][x ↦→ [[t]] v[y↦→a] ].Da t frei einsetzbar ist in ∀yφ(x) ist y/∈ FV(t). Da x ̸≏ y kann man w(a)mit Koinzidenz ersetzen durch: v[x ↦→ [[t]] v ][y ↦→ a].Damit folgt letzte Äquivalenz.Insgesamt ist das Überführungslemma danit bewiesen.q.e.d.