Musterlösungen zu Blatt 10 - Logik und Sprachtheorie ...

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10Musterlösungen zu Blatt 10Zu Aufgabe 41:Beweise das ÜberführungslemmaSei L beliebige Sprache und A = 〈A, . . .〉 beliebige L-Struktur.In dieser Aufgabe wird vorausgesetzt, dass die analoge Aussage für Terme gilt.Dabei ist zu beachten, dass alle Terme immer frei einsetzbar sind. (†)Beh.:Für alle Formeln φ(x) gilt:Für alle Belegungen v, für alle Terme t, die für die Variable x in der Formelφ(x) frei einsetzbar sind, und für die Belegung w := v[x ↦→ [[t]] A v ] gilt:[[φ(t)]] A v = [[φ(x)]] A w(⋆)Beweis.Durch Induktion über Formelaufbau.Ausgewertet wird prinzipiell in der Struktur A; entsprechend wird bei der Bewertungsfunktionauf die Notation der Struktur verzichtet.⊥: Sei v beliebige Belegung. Für alle Terme t ist ⊥(t) ≏ ⊥(x); auch istx/∈ FV(⊥). Damit folgt Gleichheit mit Koinzidenz.s 1 = s 2 : Sei v beliebige Belegung. Mit (†) gilt für die Belegungen s ∈{s 1 ,s 2 }:Damit ist:[[s(t)]] v = [[s(x)]] w[[s 1 = s 2 (t)]] v = [[s 1 (t) =s 2 (t)]] v =1 ⇔ [[s 1 (t)]] v = [[s 2 (t)]] v⇔ [[s 1 (x)]] w = [[s 2 (x)]] w⇔ 1 = [[s 1 (x) =s 2 (x)]] w = [[s 1 = s 2 (x)]] wP (⃗s): Wird analog zu s 1 = s 2 mit (†) gezeigt. Es müssen lediglich n Termeanstelle von 2 Termen betrachtet werden.IV: Die Aussage (⋆) gelte für Formeln φ, ψ.φ → ψ:Sei v beliebige Belegung.Ein Term t ist genau dann für die Variable x frei einsetzbar in der Formelφ → ψ, wenn t für x frei einsetzbar ist in φ und in ψ. Es ist also (IV)anwendbar und es gilt:[[(φ → ψ)(t)]] v = [[φ(t) → ψ(t)]] v = f → ([[φ(t)]] v , [[ψ(t)]] v )(IV )= f → ([[φ(x)]] w , [[ψ(x)]] w ) = [[(φ → ψ)(x)]] w

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10∀xφ:Sei v beliebige Belegung.Es gilt x/∈ FV(∀xφ). Damit ist ∀xφ(x) ≏ ∀xφ(x). Desweiteren sind dieBelegungen v und w auf allen freien Variablen der Formel gleich. MitKoinzidenz folgt die geforderte Gleichheit.∀yφ (y ̸≏ x):Sei v beliebige Belegung.Falls ein Term t frei einsetzbar ist für die Variable x in der Formel ∀yφ,dann auch in φ für x. Damit ist die (IV) verwendbar und es gilt für geeigneteTerme t:[[∀yφ(t)]] v =1 ⇔ für alle a ∈ A ist [[φ(t)]] v[y↦→a] =1(IV,‡)⇔ für alle a ∈ A ist [[φ(x)]] w(a) =1 ⇔ [[∀yφ(x)]] w =1Bei (‡) ist anzumerken: die (IV) gilt für alle Belegungen, insbesonderealso auch für die Belegung v[y ↦→ a].Dann ist: w(a) := v[y ↦→ a][x ↦→ [[t]] v[y↦→a] ].Da t frei einsetzbar ist in ∀yφ(x) ist y/∈ FV(t). Da x ̸≏ y kann man w(a)mit Koinzidenz ersetzen durch: v[x ↦→ [[t]] v ][y ↦→ a].Damit folgt letzte Äquivalenz.Insgesamt ist das Überführungslemma danit bewiesen.q.e.d.