Quadratische Gleichungen 1 1. Einführung, eigene ... - Mathpoint.ch

qugl_kv.nb 1Quadratische Gleichungen 11. Einführung, eigene Versuche der Problemlösung1.1. Quadratische Gesetzmässigkeiten in Natur und Technika) Freier Fall eines Körpers (ohne Luftwiderstand) in die Tiefe: h(t) = ÅÅÅÅ12 gt2(h = gefallene Höhe nach t Sekunden, g = Erdbeschleunigung = 9.81 m / s 2 ≈ 10 m/s 2 )Beispiel: Nach 4 s beträgt die durchfallene Höhe h(4) = ÅÅÅÅ12•10•16 [m] ≈ 80 [m].Auch der Wurf nach oben und der schräge Wurf -etwa der Strahl eines Springbrunnensgehorcheneinem quadratischen Gesetz.b) Anhalteweg eines Autos: s ≈ 0.3v + 0.01v 2 bei trockener Fahrbahn.Der erste Summand ist der Reaktionsweg, der zweite der Bremsweg.Bei nasser Fahrbahn beträgt der Faktor des hinteren Summanden etwa 0.02,bei Laub, Rollsplit oder Erde 0.04 und bei Eis 0.10.Beispiel: Anhalteweg bei 30 km/h und trockener Fahrbahn: 0.3•30 + 0.01•900 = 18 mAnhalteweg bei 50 km/h und trockener Fahrbahn: 0.3•50 + 0.01•2500 = 40 m.Die Geschwindigkeit des Fahrzeuges geht quadratisch in den Bremsweg ein.Doppelte Geschwindigkeit vervierfacht also den Bremsweg.c) Bogenbrücken und die Seile von Hängebrücken gehorchen dem Gesetz einerquadratischen Funktion. Beispiel: Golden Gate Bridge San Francisco (1937):y = 0.00035x 2 + 84. y = Höhe des Seils über der Brücke, x = Abstand vom einen Pfeiler.Das Dach der Köln-Arena wird von einem Betonbogen getragen, der ebenfalls einemquadratischen Gesetz gehorcht.Printed by Mathematica for Students

qugl_kv.nb 3Lösungen zu den bisherigen Aufgaben:2. Hx - 3L 2 = 16 ï x - 3 = ±4 ï x = 3 ± 4 ï x 1 = 7, x 2 = -13a) x + 2 = ± è!!! 5 ï x 1;2 = -2 ± è!!! 5b) x - 4 = ± è!!! 2 ï x 1;2 = 4 ± è!!! 2c) Hx - 4L 2 = 100 ï x - 4 = ±10 ï x = 4 ± 10 ï x 1 = 14, x 2 = -6d) Hx - 2L 2 = 25 ï x - 2 = ± 5 ï x = 2 ± 5 ï x 1 = 7, x 2 = -34a) [Hx - 3L 2 - 9] + 8 = 0 ó Hx - 3L 2 -1 = 0 ó Hx - 3L 2 = 1 ï x - 3 = ±1 ï x = 3 ± 1ï x 1 = 4, x 2 = 2b) [Hx + 5L 2 -25] + 23 = 0 ó Hx + 5L 2 - 2 = 0 ó Hx + 5L 2 = 2 ï x + 5 = ± è!!! 2ï x 1;2 = -5 ± è!!! 2c) [Hx + 4L 2 -16] + 9 = 0 ó Hx + 4L 2 = 7 ï x + 4 = ± è!!! 7 ï x 1;2 = -4 ± è!!! 75a) kürzen: x 2 - 2x - 3 = 0 ó [Hx - 1L 2 -1]-3 = 0 ó Hx - 1L 2 = 4 ï x - 1 = ± 2ï x = 1 ± 2 ï x 1 = 3, x 2 = -1b) [Hx + 2.5L 2 - 6.25] + 6 = 0 ó Hx + 2.5L 2 - 0.25 = 0 ó Hx + 2.5L 2 = 0.25ï x + 2.5 = ± 0.5 ï x 1 = -3, x 2 = -2c) [Hx + ÅÅÅÅ16 L2 - ÅÅÅÅÅÅ136 ] - ÅÅÅÅÅÅ836 = 0 ó Hx + ÅÅÅÅ16 L2 = ÅÅÅÅÅÅÅ936 ï x + ÅÅÅÅ16 = ± ÅÅÅÅ36 ï x 1 = - ÅÅÅÅ46 = - ÅÅÅÅ2x 2 = ÅÅÅÅ26 = ÅÅÅÅ13d) Hx + cL 2 = d 2 ï x + c = ± d ï x 1;2 = -c ± d3 ,6. a) {-1.45; 3.45} b) {-0.68; 3.68} c){ -4.5; 0.5}Printed by Mathematica for Students

qugl_kv.nb 4Quadratisches Ergänzen - Musteraufgabe4x 2 + 12x - 20 = 0Schritt 1: Erster Koeffizient = 1x 2 + 3x - 5 = 0Schritt 2:Schritt 3:Schritt 3:Binom erzeugen:x 2 + 3x - 5 = 0:2[Hx + 1.5L 2 - 2.25] - 5 = 0ÆkorrigierenVereinfachen:Hx + 1.5L 2 - 7.25 = 0 ó Hx + 1.5L 2 = 7.25Wurzel ziehen: x + 1.5 = ± è!!!!!!!! 7.25 (± nicht vergessen!)x freistellen: x = -1.5 ± "###### ÅÅÅÅÅÅ29è!!!!! è!!!!!29 -3 ± 29= -1.5 ± ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ42=2abc-Formel (auswendig lernen für Teil ohne Formelsammlung)Gleichung: ax 2 + bx + c = 0 ï x 1;2 =-b ±è!!!!!!!!!!!!!!!!! b 2 - 4 acÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ=2 aè!!!!-b ± DÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 aÅÅÅÅD = Diskriminante = b 2 - 4acD>0: 2 LösungenD=0: 1 LösungD

c) Eine Arbeit kann von 2 Maschinen in 7 1 ÅÅÅÅ h erledigt werden. Die modernere Maschinequgl_kv.nb 5Quadratische Gleichungen 2: Anwenden der Formel, Textaufgaben,elegantere Lösungen7. LM 141: 1a, c, e, g, i, 2a, c, e, g, i, 3a, c, g, i, 4c, i, 5a, e, i, 6a, c, i, 7a, c, fKommt die Unbekannte im Nenner vor, ist auf jeden Fall der Definitionsbereich anzugeben.Lösungen: s. Lehrmittel:8. Elegantere Wege als via Formel:8.1. Reinquadratische Gleichungen: Direktes Wurzelziehen. Achtung: 2 Lösungen(±)! LM 136: 1a, e, h, 2a, c, e, f, 3c, f, g, i, 4a, i, 5a, h, i, 6a*8.2. Faktorzerlegung möglich: Fallunterscheidung: jeder Faktor kann einmal 0 sein.LM 141: 8a, c, e, h, 9a, e, iLösungen: s. LehrmittelTextaufgaben:9. LM 143: 1, 2, 3, 7, 9, 14, 17. Lösungen s. Lehrmittel10. Wichtig: Leistungsaufgaben:Ein Bassin kann durch 3 Abflussröhren in 2 h vollständig entleert werden. Wie langehätte jede Röhre allein für die Leerung, wenn die erste Röhre 2 h länger hat als diezweite, aber nur halb so lange wie die dritte?11. a) Die Differenz zweier Zahlen beträgt 7. Subtrahiert man von der grösseren Zahl4 und von der kleineren 6, so ist das Produkt der neuen Zahlen 162.b) Drei natürliche Zahlen unterscheiden sich jeweils um 2. Dividiert man das Produktder beiden kleineren durch die grösste der drei Zahlen, ergibt sich ein 9mal kleinererWert als die Summe der drei Zahlen.c) Gesucht ist ein Bruch. Addiert man zum Bruch seinen Kehrwert und noch 11 ÅÅÅÅÅÅ60 , soerhält man genau 3. Wie heisst der Bruch?12. Beliebte Prüfungsaufgaben:a) Eine bestimmte Arbeit wird von 2 Maschinen in 6h40min erledigt. Wie langehätte jede Maschine alleine, wenn die eine alleine 3h länger hat als die andere allein?b) Ein Bassin kann durch 3 Pumpen zusammen in 10 min gefüllt werden. Ist nur P3eingeschaltet, dauert die Füllung doppelt so lange wie wenn nur P1 läuft. P2 brauchtfür die Füllung allein 10 min weniger lang als P1 allein. Wie lange hätte jede PumpePrinted by Mathematica for Studentsallein für die Füllung?

a) Eine bestimmte Arbeit wird von 2 Maschinen in 6h40min erledigt. Wie langehätte jede Maschine alleine, wenn die eine alleine 3h länger hat als die andere allein?qugl_kv.nb 6b) Ein Bassin kann durch 3 Pumpen zusammen in 10 min gefüllt werden. Ist nur P3eingeschaltet, dauert die Füllung doppelt so lange wie wenn nur P1 läuft. P2 brauchtfür die Füllung allein 10 min weniger lang als P1 allein. Wie lange hätte jede Pumpeallein für die Füllung?c) Eine Arbeit kann von 2 Maschinen in 7 ÅÅÅÅ1 h erledigt werden. Die modernere Maschine2hätte für dieselbe Arbeit alleine 8h weniger lang als die ältere allein. Wie lange hättejede Maschine allein?d) Ein Bassin wird von 2 Pumpen in 3h zur Hälfte gefüllt. P1 benötigt zur Füllung desganzen Bassins 5h länger als P2 allein. Wie lange braucht jede Pumpe allein?e) Ein Verein plant einen Ausflug mit einem Car. Die Kosten belaufen sich pauschal auf840 Fr. Da am Reisetag 4 Mitglieder verhindert sind, erhöhen sich die Kosten proPerson um genau 5 Fr.Wieviele Personen wollten ursprünglich teilnehmen und wieviel bezahlt jede amSchluss mitreisende Person effektiv?f) Ein Verein plant einen Carausflug. Pauschalkosten 1080 Fr. Da am Reisetag 3 weiterePersonen mitkommen, reduzieren sich die Kosten pro Person um 4 Fr.Wieviele Personen wollten ursprünglich teilnehmen und wieviel zahlt jede mitreisendePerson effektiv?10. Leistungsaufgabe: Beliebte Prüfungsaufgabe:x + 2 = Anzahl h 1.Röhre allein, x = Anzahl h 2. Röhre allein, 2x + 4 = Anzahl h 3. Röhre allein2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx + 2 + ÅÅÅÅ2x + 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 x + 4= 1; HN: 2x(x + 2) ï 4x + 4(x + 2) + 2x = 2x(x + 2)ï 10x + 8 = 2x 2 + 4x ï 2x 2 - 6x - 8 = 0 ï x 2 - 3x - 4 = 0ï x 1;2 = 3 ± è!!!!!!!!!!!! 9 + 16ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 ± 5 = 4 oder -1. Nur die Lösung 4 ist sinnvoll:2 2Die Maschinen brauchen allein 6h, 4h und 12 h.11 a) Zahlen: x und x + 7. Gleichung: (x + 3)(x - 6) = 162 ï Die Zahlen lauten15 und 22 oder -5 und -12.x Hx + 2Lb) Gesuchte Zahlen: x, x + 2, x + 4. Gleichung: 9 • ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 3x + 6x + 4ï 9x 2 + 18x = (x + 4)(3x + 6) ï 9x 2 + 18x = 3x 2 + 18x + 24 ï 6x 2 = 24 ï x 2 = 4 ïx = ± 2 (Achtung: ± ) Gültig ist nur +2 (natürliche Zahl gesucht): Die Zahlen heissen 2, 4, 6.c) x = gesuchter Bruch. Gleichung: x + 1 ÅÅÅÅx + ÅÅÅÅÅÅÅ1160= 3. ï Der Bruch lautet5ÅÅÅÅÅÅÅ12oder12ÅÅÅÅÅÅ512a) Leistungsaufgabe: x = Anzahl Minuten M1 allein ö ÅÅÅÅ1xArbeit pro min1x + 180 = Anzahl Minuten M2 allein ö ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Arbeit pro minx + 180Zusammen pro min (Gleichung): ÅÅÅÅ1x + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx + 180 = 1 400ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ oder ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ400 x + 400ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. HN: x(x + 180)x + 180400 (x + 180) + 400x = x(x + 180) ï 800x + 72000 = x 2 + 180x ï x 2 - 620x - 72000 = 0620 ±è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!384400 + 288000620 Printed ± 820 by Mathematica for Studentsï x 1;2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= 720 min (2. Lös. ungültig).2 2Antwort: M1 hätte allein 12 h, M2 15 h.

c) x = gesuchter Bruch. Gleichung: x + 1 ÅÅÅÅx + ÅÅÅÅÅÅÅ1160= 3. ï Der Bruch lautet5ÅÅÅÅÅÅÅ12oder12ÅÅÅÅÅÅ5qugl_kv.nb12a) Leistungsaufgabe: x = Anzahl Minuten M1 allein ö ÅÅÅÅ17Arbeit pro minx1x + 180 = Anzahl Minuten M2 allein ö ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Arbeit pro minx + 180Zusammen pro min (Gleichung): ÅÅÅÅ1x + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx + 180 = 1 400ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ oder ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ400 x + 400ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. HN: x(x + 180)x + 180400 (x + 180) + 400x = x(x + 180) ï 800x + 72000 = x 2 + 180x ï x 2 - 620x - 72000 = 0620 ±è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!384400 + 288000620 ± 820ï x 1;2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅ = 720 min (2. Lös. ungültig).Antwort: M1 hätte allein 12 h, M2 15 h.b) x = Anzahl min P1 allein, x - 10 = Anzahl min P2 allein, 2x = Anzahl min P3 allein.Leistungen pro min: P1: ÅÅÅÅ1x Bassin; P2: 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 10 ; P3: ÅÅÅÅÅÅÅ12 x .10Gleichung für 10 min: ÅÅÅÅÅÅÅx + 10ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 10 + ÅÅÅÅÅÅÅ1010= 1 oder ÅÅÅÅÅÅ2 x x + 10ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 10 + ÅÅÅÅ5x = 1Lösungen: 30 min, 20 min, 60 min.c) x = Anzahl h ältere M allein ö Leistung ÅÅÅÅ1xArbeit pro h1x - 8 = Anzahl h neuere M alleiln ö Leistung ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 8Arbeit pro h7.5Zusammen in 7.5 h: ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1. Es folgt: ältere allein 10h, neuere allein 6 h.d) 15 h und 10 h.x + 7.5x - 8e) x = Anzahl P. ursprünglich geplant ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ840x= urspr. Kosten pro Personx - 4 = Anzahl P. effektiv ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ840x - 4= Kosten pro Person effektivGleichung: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ840x + 5 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ840x - 4. Es folgt: x = 28. Urspr. wollten 28 P. teilnehmen.840Der effektive neue Betrag pro Person beträgt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 35 Fr.x - 4f) Analoges Vorgehen. Urspr. 27 Personen. Eff. Betrag 36 Fr.13. Zinseszinsaufgaben und Arbeiten mit dem "Zoomfaktor" q:a) Ein Geschäftsmann beginnt mit einem Kapital von 2000 € einen Briefmarkenhandel. DenGewinn des ersten Jahres schlägt er voll zum Kapital. Im zweiten Jahr gewinnt er einen gleichhohen Prozentsatz, wodurch das Kapital auf 2645 € anwächst. Wieviele Prozente hat er jährlichgewonnen?b) Eine Baumaschine hat einen Anschaffungswert von 24000 €. Sie wurde zweimal mit demgleichen Prozentsatz abgeschrieben und hat zur Zeit einen Wert von 16335 €. Wieviele Prozentebeträgt der Abschreibungssatz?c) Zu den 11000 € Guthaben eines Sparkontos wird am Ende des Jahres der Jahreszinsgutgeschrieben. Gleichzeitig erfolgt ein Barbezug von 1770 €. Nach dem zweiten Jahr wird derJahreszins erneut gutgeschrieben, so dass nun das Guthaben 10700 € beträgt. Wie hoch war derüber beide Jahre konstante Zinssatz?Lösungen:a) Statt mit dem Zinsfuss p arbeiten wir mit dem Zoomfaktor q. Dies ist eine zentrale und wichtigeIdee!Beispiel: Wachstum p = 4% ï Das Kapital Printed by ver-1.04-facht Mathematica for Students sich jedes Jahr: q = Zoomfaktor = 1.04.Beispiel 2: Abschreibung p = 2% ï Zoomfaktor q = 0.98 (kleiner als 1 = Verkleinerung)

qugl_kv.nb 8Lösungen:a) Statt mit dem Zinsfuss p arbeiten wir mit dem Zoomfaktor q. Dies ist eine zentrale und wichtigeIdee!Beispiel: Wachstum p = 4% ï Das Kapital ver-1.04-facht sich jedes Jahr: q = Zoomfaktor = 1.04.Beispiel 2: Abschreibung p = 2% ï Zoomfaktor q = 0.98 (kleiner als 1 = Verkleinerung)Gleichung für a) 2000 • q 2 = 2645 ï q = "########## ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ26452000= 1.15 p = 15%.b) 24000q 2 = 16335 ï q = "############ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1633524000= 0.68 ï Abschreibsatz = 32%c) (11000•q - 1770)•q = 10700 ï 11000q 2 - 1770q - 10700 = 0 ï 1100q 2 - 177q - 1070 = 0.ï q =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!177 ± 31329 + 4708000 177 ± 2177ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ22002200= 1.07 (zweite L. ungültig). ï p = 7%.Merkzettel:Zinseszins- und Abschreibaufgaben: Arbeiten Sie wenn möglich mit dem Zoomfaktor q stattmit dem Zinsfuss p. Beispiele: p = 4% Zinswachstum ö q = 1.04. p = 2% Abschreibung öq = 0.98.Weitere Zinsaufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen: LM 156Weitere Textaufgaben: LM 157, 158.Prost-Formel, Turnierformel, Handshake-Formel:Anzahl =n Hn - 1LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2.Quadratische Gleichungen 3: Produkt = 0 ô Jeder Faktor kann einmal0 sein. Kernidee: "Bitte kein x verlieren!"14.a) x 2 + 9x = 0 b) (y - 6)(7 - 2y) = 0 c) x 2 - 5x = 0d) z 2 - 3z - 28 = 0 e) a 2 + 54 - 15a = 0Lösungen:a) Fall1: x = 0. Fall 2: x = -9 b) Fall1: y = 6. Fall 2: y = 3.5c) Wichtig: Ausklammern: x(x - 5) = 0. Fall 1: x= 0, Fall 2: x = 5.d) Faktorisieren: (z - 7)(z + 4) = 0. Fall 1: z = 7, Fall 2: z = -4.e) x 2 = a ï x = è!!! a oder x = - è!!! a (2 Lösungen!)Merkzettel:1) Wenn in einer Gleichung "x durchläuft": a x 2 + bx = 0, so darf nicht einfach durch x dividiertwerden, da man sonst eine Lösung verliert. Vielmehr muss x ausgeklammert werden:x (ax + b) = 0. Fall 1: x = 0. Fall 2: ax + b = 0 ï x = - ÅÅÅÅba ï ¯ = {0, - ÅÅÅÅba }Dieser Fall kommt an der Maturprüfung häufig vor.Printed by Mathematica for Students2) Wenn ein Ausdruck faktorisiert werden kann, führt dies zur Lösung, ohne dass man die

Merkzettel:qugl_kv.nb1) Wenn in einer Gleichung "x durchläuft": a x 2 9+ bx = 0, so darf nicht einfach durch x dividiertwerden, da man sonst eine Lösung verliert. Vielmehr muss x ausgeklammert werden:x (ax + b) = 0. Fall 1: x = 0. Fall 2: ax + b = 0 ï x = - ÅÅÅÅba ï ¯ = {0, - ÅÅÅÅba }Dieser Fall kommt an der Maturprüfung häufig vor.2) Wenn ein Ausdruck faktorisiert werden kann, führt dies zur Lösung, ohne dass man dieabc-Formel benötigt: Beispiel: 14d.Quadratische Gleichungen 4: Anzahl Lösungen15. Wieviele Lösungen haben folgende Gleichungen?a) 6x 2 - 19x + 10 = 0 b) x 2 - 5x + 6.25 = 0 c) x 2 + 2x + 8 = 0Lösungen:15a) D = 361 - 240 > 0 ï 2 Lösungen b) D = 25 - 25 = 0 ï 1 Lösungc) D = 4 - 32 ≤ 0 ï keine LösungQuadratische Gleichungen 5: Nichtlineare Gleichungssysteme16. x 2 + y 2 = 5 17. x + 2y = 17 18. y = 2x 2 - 4x3x - 4y = 5 xy = 30 y = x 2 + 5Lösungen:16. Bei gemischt quadratisch / linearen System kommt stets das Einsetzungsverfahren zum Zug:y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 x - 5 einsetzen in Gl. 1: x4 2 H3 x - 5L2+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= 5 ó 16x16 2 + 9x 2 - 30x + 25 = 80 ó25x 2 -30x - 55 = 0 ó 5x 2 - 6x - 11 = 0 ï x 1;2 = 6 ± è!!!!!!!!!!!!!!!!! 36 + 220ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ10ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 ± 1610= 2.2 oder -1.Zugehörige y: 0.4 bzw. -2.17. x = 17 - 2y ï (17 - 2y) y = 30 ï -2y 2 + 17y - 30 = 0 ï 2y 2 - 17y + 30 = 0ï y 1;2 =17 ± è!!!!!!!!!!!!!!!!!! 289 - 240ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ17 ± 744= 6 oder 2.5. Zugehörige x: 5 bzw. 12.18. Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an: 2x 2 - 4x = x 2 + 5 ó x 2 - 4x -5 = 0ï x 1;2 = 4 ± è!!!!!!!!!!!!!! 16 + 20ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 ± 62= 5 oder -1. Zugehörige y: 30 bzw. 6.Printed by Mathematica for Students

qugl_kv.nb 10UebungsprüfungZeit 40 Minuten. Keine Hilfsmittel. Wurzeln stehen lassen.1. Lösen Sie mit der Methode des quadratischen Ergänzens:a) x 2 + 16x - 80 = 0 b) 3x 2 - 4x = 72. Zerlegen Sie in Faktoren und lösen Sie dann mit Fallunterscheidungen:2x 2 - 7x - 15 = 03. Lösen Sie nach freier Lösungsmethode:a) 2x 2 - 31x + 117 = 0 b) x(x - 7) - 6(x - 9) = 14c) x - 8 + ÅÅÅÅÅÅÅ15x = 0 d) 7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 3 + 5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 1 = 12e) 4x 2 - 4ax + a 2 = b 24.x 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 6 - 6 xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 - x = 1Lösungen: ¯ =1. a) {4; -20} b) { ÅÅÅÅ7 ; -1} 2.{ 5; -1.5}3è!!!!!!15 ± 513. a) {9; 6.5} b) {8; 5} c) {5; 3} d) { ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ} e) { ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa ± b } 4. {5; 1}6 2Printed by Mathematica for Students

qugl_kv.nb 11Selbsttest Lernziele1. Sie kennen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und können sie"buchstabenfrei" anwenden2. Sie wissen, dass eine Gleichung, in der "x durchläuft": ax 2 + bx = 0 mit Ausklammerngelöst wird: x(ax + b) = 0. Dann wird in einer Fallunterscheidung jeder Faktor einmal0 gesetzt.3. Die reinquadratische Gleichung x 2 = c hat zwei Lösungen: x = ± è!!! c4. Sie können gegebenenfalls Gleichungen durch Faktorisieren lösen und in einerFallunterscheidung der Reihe nach jeden Faktor 0 setzen.5. Wachstums- und Abschreibprozesse: Sie kennen die Methode mit dem Wachstumsfaktor("Zoomfaktor") und den Zusammenhang zwischen Zinsfuss p und Zoomfaktor q.7. Sie können Leistungsaufgaben mit den entsprechenden Gleichungen lösen. Sie wissen,dass man neben "x = Anzahl Stunden..." auch die Leistung " ÅÅÅÅ1xArbeit pro Stunde"notieren muss und dass in der Gleichung mit diesen Leistungen gerechnet wird.8. Sie wissen, wie man die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung überprüft.Sie können die Diskriminante ausrechnen. D>0: 2 Lösungen, D= 0: 1 Lösung,D