FACHARBEIT - eulenherr

Paul Pfinzing GymnasiumHersbruckKollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005FACHARBEITaus der MathematikMATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE KONSTRUKTIONVON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHRENVerfasser: Sebastian UllherrLeistungskurs: MathematikKursleiter: OStR T. BlasslAbgabetermin: 28.01.2005Schriftliche Wertung: _______________Mündliche Wertung: _______________Gesamtwertung (einfach): _______________Gesamtwertung (doppelt): _______________Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________-------------------------------------------------------(Unterschrift des Kursleiters)

-2-Gliederung1. Einleitung 32. Zeitformen und ihr Zusammenhang 32.1. Sternzeit 32.2. Wahre Ortszeit 32.3. Mittlere Ortszeit 43. Bewegung der Erde 53.1. Exzentrizität der Erdbahn 53.2. Schiefe der Ekliptik 83.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung 113.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma 133.5. Erdrotation, Präzession und Nutation 143.6. Die Deklination und der Tagbogen 154. Sonnenuhren 174.1. Definition und Aufgaben 184.2. Sonnenuhrentypen 194.3. Zifferblätter 194.4. Die Analemma auf der Uhr 225. Faszination Sonnenuhr 236. Literaturverzeichnis 247. Selbstständigkeitserklärung 25

-3-1. EinleitungSonnenuhren scheinen heutzutage als Zeitmesser ungeeignet, da sie in Deutschlandbis zu 45 Minuten falsch gehen. Tatsächlich muss man beim Ablesen derZeit an einer Sonnenuhr fast immer beträchtliche Korrekturen vornehmen, umein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Warum Sonnenuhren aber, wenn sie einensolchen Unterschied zur mitteleuropäischen Zeit aufweisen, eigentlich genaurichtig gehen und woher diese Zeitdifferenz kommt möchte ich im folgenden soanschaulich wie möglich erklären.2. Zeitformen und ihr Zusammenhang2.1. SternzeitEin Sterntag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes.Definiton: MeridiandurchgangDer Zeitpunkt, an dem sich aus dem Mittelpunkt des jeweiligenObjekts, dem Erdmittelpunkt und einem Punkt des Längengradsder momentanen Position eine Linie bilden lassen.Das heißt gegenüber der praktisch unbeweglichen Sphäre der Fixsterne findeteine Rotation der Erde um 360° statt. Ein Sterntag dauert bezogen auf Sonnenzeit23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden (s.u.). Dadurch erhöht sich dieWinkelgeschwindigkeit der Sonne (von der Erde aus gesehen) von 15° auf15.04°. Die Dauer eines Sternjahres beträgt 365.26 Tage.2.2. Wahre Ortszeit»Eine Sonnenuhr zeigt stets die wahre Ortszeit, die wirkliche›Sonnenzeit‹, an. Die Beobachtung des Sonnenstandes im Tagesverlaufliefert uns der Ortsstundenwinkel der Sonne, die wahreOrtszeit (WOZ).« [Quelle 1, Seite 38]Die wahre Ortszeit ist für jede geographische Länge (siehe Kasten) verschieden,die geographische Breite spielt dabei keine Rolle.

-5-3. Die Bahn der Erde um die Sonne3.1. Exzentrizität der ErdbahnAbwahre Erdemittlere ErdeAphelaE e·a M RB SonnePeriphelAbbildung A:»Erläuterung der Keplerschen Formel« [nach Quelle 6, Seite 4]Die Erde beschreibt in ihrer Bahn um die Sonne eine Ellipse, in deren einenBrennpunkt sich die Sonne befindet (1. Kepler-Gesetz). Dadurch ergibt sich einenicht konstante Distanz Erde - Sonne, die ihr Maximum in ae⋅a hat. Diezugehörige Position der Erde wird als Aphel, die gegenüberliegende als Periphelbezeichnet. Das Verhältnis ZS zur großen Halbachse a bezeichnet man alsnumerische Exzentizität e . Ihr Wert ist mite= ZSa =1,7⋅10−2 [Quelle 12, Seite 84]sehr gering, was darauf schließen lässt dass sich die Umlaufbahn der Erde umdie Sonne an einen Kreis annähert.Nach dem 2. Kepler-Gesetz überstreicht der von der Sonne nach der Erde gezogeneOrtsvektor in gleichen Zeiten jeweils gleiche Flächen. Da die Bahn abereine Ellipse ist (mit der Sonne in ihrem Brennpunkt), folgt daraus dass dieBahngeschwindigkeit der Erde ebenfalls nicht konstant ist. Sie erreicht imPeriphel ihr Maximum (30,29km/sec) und im Aphel ihr Minimum(29,29km/sec). Die mittlere Bahngeschwindigkeit beträgt 29,79km/sec.

-6-JOHANNES KEPLER erdachte eine mittlere Erde, die die Sonne auf einer perfektenKreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit umkreist (-> Abbildung A). DieAbweichung der realen Erdbahn von der Bahn der mittleren Erde ist einer derGründe warum Sonnenuhren »falsch« gehen, da Sonnenuhren auf der Basiseiner mittleren Erde arbeiten. Eine Funktion dieser Abweichung würde uns alsoeinen ersten Hinweis auf die Form der Zeitgleichung geben. Nach der Kepler-Gleichung ist E=M e⋅sin E , was sich als z=x y⋅f z ausdrücken lässt.LAGRANGE stellte fest, dass man jede Funktion g z durch eine Serie, die von xund y abhängt, ersetzen kann:g z=g yxg ' y f y x2 2! y g ' y[ f ' y]2 ...Im Falle der Kepler-Gleichung setzen wirz=E ; y=M ; x=e ; f z=sin E; f y=sin M ; g z=zund erhalten:E=M e sinM e22 M sin2 M ...Man kann damit R, den wahren Winkel (dessen Abweichung wir im Bezug aufM erhalten wollen) ausdrücken alsR=M 2e sin M 5 4 e2 sin 2 M ...AnmerkungEine ausführlichere Lösung findet sich in der Arbeit »Equation oftime-- Problem in Astronomy« von M. MÜLLER [Quelle 2, Schritte(28) bis (36)], würde aber den Rahmen einer Facharbeit sprengen.Diese Arbeit wurde im Rahmen eines Wettbewerbes namens »FirstStep to Nobel Prize in Physics« erstellt, ausgezeichnet und veröffentlicht.Die Genauigkeit des 2. Grades reicht dabei für unsere Zwecke aus.

-7-Man kann nun e=1,7⋅10 −2 (s.o.), die numerische Exzentizität der Erdbahneinsetzen und bekommt:R=M 0.034sin M 0.0003sin 2 M ...Nun multiplizieren wir die obige Gleichung mit 180°/ , um Angaben in Gradzu erhalten und teilen durch die Rotationsgeschwindigkeit 0.25067°/min.Dadurch erhalten wir eine Formel für die Abweichung der wahren Erdbahn vonder mittleren Erdbahn in Minuten:M −R≈−7.771sin M −0.068sin 2 M [min]Um die Abweichung in Abhängigkeit vom Tag des Jahres zu bekommen, mussman nun M durch t−1.042⋅0.986 ersetzen. -1,042 ist erforderlich, um den»Startpunkt«, das Periphel, auf der x-Achse auf den 2. Januar um 1 Uhr GMT(Greenwich Mean Time, also MEZ - 1 Stunde) zu verschieben. An diesem Zeitpunktbefindet sich laut dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] die Erde 2005 imPeriphel. Der Faktor 0.986 kommt vom Term 360/365.24, der nötig ist umvom Gradmaß auf Tage zu kommen. Der Graph der entstehenden FunktionE t=−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin2⋅t−1.042⋅0.986 [min]veranschaulicht die Abweichung von einer kreisförmigen Erdbahn:108(t) in Minuten+7.86420-2-4t in Tagen30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360G -6-8-10-7.8-12Abbildung B: »Auswirkungen der Exzentrizität der Erdbahn im Jahresverlauf«

-8-Nach dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] steht die Erde am 5. Juli um 5 Uhrim Aphel. Das entspricht einer Tagesnummer von 186.21. In obige Gleichungeingesetzt ergibt das 0.05 Minuten. Eigentlich müsste das Einsetzen zwar0 Minuten ergeben, die Genauigkeit ist aber trotzdem recht hoch.Der Unterschied der noch vorhanden ist lässt sich vermutlich darauf zurückführen,dass beim U.S. NAVAL OBSERVATORY1. mit exakteren Werten2. unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation (siehe 3.4.)3. nicht nur bis zum 2. Gradgerechnet wird. Um die Abweichung einer Sonnenuhr zu bestimmen reichen dieoben errechnerten Werte allerdings aus. Die meisten Sonnenuhren sind nicht inder Lage so eine kleine Zeitspanne (0.05 Minuten = 3 Sekunden) anzuzeigen.3.2. Die Schiefe der EkliptikBezeichnung: Ekliptik»Die wirkliche Bewegung der Sonne verursacht ein scheinbaresWandern der Sonne entlang der 12 bekannten Tierkreissternbilderum täglich rund 1° von West nach Ost [...] - entgegen der täglichenSonnenbewegung [...]. Somit befindet sich die Sonne in jedemMonat vor einem anderen Sternbild des Tierkreises. Diese scheinbareJahresbahn der Sonne [...] wird als Ekliptik bezeichnet.«[Quelle 1, Seite 33]Auf Sternkarten findet man die Ekliptik oft als gestrichelte Linie. Zusammen mitdem Himmelsäquator (einem zum Erdäquator parallelen Großkreis mit derSonne im Mittelpunkt) bildet sie einen Winkel von 66°33'. Dadurch gibt es beiuns auf der Erde über das Jahr unterschiedliche Tageslängen.Es entsteht also wieder eine Abweichung von der mittleren Erde, die den zweitenAspekt der Zeitgleichung ausmacht. Die Ekliptik schneidet den Himmelsäquatorin zwei Punkten. Einen davon durchläuft die Sonne im Frühling(-> Frühlingspunkt) und einen im Herbst (-> Herbstpunkt). Weil hier die Tageslängeauf der ganzen Erde gleich lang ist, werden sie auch als Äquinoktien bezeichnet.

-9-Abbildung C: »Wirkung der Schiefe der Erdbahn« [nach Quelle 6, Seite 5]FrühlingspunkteWintersolstitiumSonnedwahre ErdeSommersolstitiumHerbstpunktBAmittlere ErdeDiese zwei Punkte teilen die Ekliptik in zwei Hälften, in dessen einer dieDeklination δ der Sonne immer negativ ist und ihr Minimum hat( ==−23° 27' ) und in dessen anderer die Deklination immer positiv ist undihr Maximum hat ( ==−23° 27' ) .Der Hochpunkt fällt aber nicht wie zu erwarten wäre mit Aphel oder Periphelzusammen, sondern ist bezüglich des Aphels um 12°15' Richtung Frühlingspunktverschoben. Deshalb fällt die Wintersonnenwende (Wintersolstitium)nicht mit dem Periphel- bzw. die Sommersonnenwende (Sommersolstitium)nicht mit dem Apheldurchgang zusammen. Sie liegen etwa 12 Tage und10 Stunden ( 12° 15'⋅365.24 d /360°=12.43 d ≈12 d 10 h ) auseinander.Wie in 3.1. ist unser Ziel eine Funktion haben, die uns die Abweichung von dermittleren Erde in Minuten bei Angabe des Tages liefert. Der erste Schritt bestehtaus der Verlagerung des Anfangspunktes vom Periphel auf den Frühlingspunkt(Äquinoktium -> keine Abweichung).

-10-Die für uns relevante Differenz A-B lässt sich auch (wie bei 3.1.) in einer Reihenentwicklungdarstellen:A−B≈tan 2 /2⋅sin2 L− 1 2 tan4 /2⋅sin4 LL ist dabei die wahre Länge, analog zum wahren Winkel R in 3.1. Beim Einsetzenvon =23.45° erhält man:A−B≈−0.043⋅sin 2 L−0.001⋅sin 4 LAnmerkungWie schon bei 3.1. folgen wir hier in groben Zügen den Argumentationenin »Equation of time-- Problem in Astronomy«[Quelle 2, Schritte (37) bis (40)] und »Analemma, die Zeitgleichung:Warum ist aus unserer Sicht die Sonne sounpünktlich?«[Quelle 6, Seite 6].Analog zu 3.1. multiplizieren wir mit 180°/ und teilen durch 0.25067°/min.Das Ergebnis ist die Formel der Abweichung der wahren Erdbahn von der mittlerenErde in Minuten:A−B≈−9.829 sin 2 L−0.229 sin4 L[min]Um wie in 3.1. auf eine Funktion zu kommen, die die Abweichung in Abhängigkeitvom Tag ausgibt, gehen wir auch exakt so vor wie oben, nur dass der»Startpunkt« nicht auf den 2. Januar sondern auf den Zeitpunkt des Wintersolstitiums(der Zeitpunkt an dem die Erde den höchsten Punkt ihrer Bahn erreicht),der laut U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] der 21. Dezember, 12:42 Uhrist. Hier muss logischerweise die Angabe aus dem Jahr 2004 hergenommenwerden. Die Korrektur ist also +10.507 Tage. Damit gilt also:t =−9.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min]

-11-Der zugehörige Graph:10864(t) in MinutenG +9.8 +9.820-2-4t in Tagen30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360-6-8-10-12-9.8 -9.8Abbildung D: »Auswirkungen der Schiefe der Ekliptik im Jahresverlauf«3.3. Ergebnis: Die ZeitgleichungZum Begriff »Zeitgleichung«»Die allgemein verbreitete [Anmerkung: deshalb findet sie auchhier Verwendung] Bezeichnung ›Zeitgleichung‹ wird [...] zurechtkritisiert. Es handelt sich hierbei um keine mathematischeGleichung, sondern lediglich um die Differenz zwischen der wahrenund mittleren Ortszeit.« [Quelle 1, Seite 39]Da wir es bereits geschafft haben die Abweichung von einer mittleren Erde inMinuten, verursacht durch die Exzentrizität der Erdbahn einerseits und derSchiefe der Ekliptik andererseits, in zwei Gleichungen auszudrücken, müssenwir diese beiden nur noch addieren, um die endgültige Zeitgleichung für 2005zu erhalten. Sie lautet folglich:Z t=E tt=−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin 2⋅t−1.042⋅0.9869.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min]

-12-Auch graphisch sieht man schön das Ergebnis der Addition:161412(t) in MinutenG +16.5108G 6420-2-4-6-8+3.9G -6.3t in Tagen30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360-10-12-14-16-14.5-18Abbildung E: »Die Zeitgleichung im Jahresverlauf«Eine Sonnenuhr geht vor, wenn die Zeitgleichung positiv ist und nach, wenn sienegativ ist. Es gibt vier Nullstellen: 18. April, 17. Juni, 1. September und 28. Dezember.An diesen Tagen gehen Sonnenuhren richtig!Lokale Maxima sind der 18. Mai mit 3.9 Minuten und der 5. November mit16.5 Minuten. Lokale Minima sind der 14. Februar mit -14.5 Minuten und der28. Juli mit -6.3 Minuten.

Beispiel-13-Berechnung der wahren Ortszeit am 28.01.2005 um 16 Uhrmitteleuropäischer Zeit (MEZ). Hersbruck hat die geographischeLänge 11.45°. Es ist damit 4∗11.45−15 Minuten von der MEZentfernt. Die Zeitgleichung beträgt am 28. Januar -13.09 Minuten.Um 16 Uhr ist es in HerbruckWOZ =16 halso 15:33 Uhr wahrer Ortszeit!60 min⋅11.45°−15.00°−13.09 min=15 h 33 min15°3.4. Von der Zeitgleichung zur AnalemmaBei aufmerksamer Beobachtung der Sonne fällt auf dass sie nicht jeden Tag um12 Uhr wahrer Ortszeit an der gleichen Stelle steht. Tatsächlich ergibt sich wennman in regelmäßige Abständen immer um die gleiche Uhrzeit ein Foto derSonne macht etwa diese Form:Abbildung F: »Analemma« gefunden aufhttp://www.vittayasart.net/articles/analemma.htmlDiese formtypische liegende Acht bezeichnet man als Analemma. Der Begriffαναλημμα selbst stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet so viel wie»Ausgleich«, also Zeitgleichung [nach Quelle 6, Seite 9]. Im Prinzip haben wirhier also wieder die Zeitgleichung vor uns, nur in anderer Darstellung. Sie veranschaulichtdie oben ausgeführten Effekte noch, weil sie empirisch überprüfbarist.Doch wie kommt man denn von der Zeitgleichung zur Analemma?

-14-Der Weg lässt sich recht einfach in zwei Schritten zusammenfassen:1. Schritt:Eine Linie, auf der die Sonne hin und her wandert. Sie kommt durch diezwischen -23°27' und +23°27' pendelnde Deklination und die darausresultierenden Tagbögen (siehe 3.6.) zustande. Die Neigung derAnalemma ändert sich folglich im Tagesverlauf. Mittags steht siesenkrecht, zum Zeitpunkt des Sonnenauf- bzw. unterganges liegt siewaagrecht.2. Schritt:Entstehung einer liegenden Acht durch die Effekte der Exzentrizität derErdbahn (3.1.) und der Schiefe der Ekliptik (3.2.). Deshalb sieht dieAnalemma auch jedes Jahr anders aus, da sie vor allem durch die Auswirkungender Präzession und der Nutation (3.5.) verändert wird.3.5. Erdrotation, Präzession und NutationPrinzipiell sind drei Bewegungen der Erdachse zu unterscheiden: Die Rotation,die Präzession und die Nutation. Die Dauerfür eine Rotation um 360° beträgt genau24 Stunden Sonnenzeit.Die Nutation hat eine Periodendauer von18.6 Jahren, wodurch die Präzession mal9.3 Jahre beschleunigt und dann wieder9.3 Jahre verlangsamt wird. Die Ursache derNutation liegt in der Neigung der Mondbahnzur Ekliptik um 5.1°.Abbildung G: »Bewegungen derErdachse« [aus Quelle 5.3]Bezeichnung: Präzession der Erde»Durch die Abplattung des Erdellipsoids können die Gezeitenkräftevon Mond und Sonne ein Drehmoment bewirken, das zurPräzession der Erdachse führt. Für eine volle Kegelbewegung benötigtdie Erdachse etwa 25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird auchplatonisches Jahr oder Großjahr genannt.« [nach Quelle 5.3]

-15-Da die Präzession der Bewegung der Erde um die Sonne sozusagen entgegenwirktund die Umlaufdauer verkürzt, ist sie für die Einzigartigkeit der Zeitgleichungbzw. der Analemma eines bestimmten Jahres verantwortlichSowohl die Auswirkungen der Präzession als auch die der Nutation werden beider Berechnung einer Sonnenuhr in dieser Facharbeit nicht berücksichtigt, dasie auf die korrekte Zeitanzeige auf einer Sonnenuhr einen sehr geringen Einflusshaben.3.6. Die Deklination und der TagbogenAbbildung H: »Tagbögen im Jahresverlauf« [aus Quelle 9, Seite 85]Durch die Erdrotation wandert die Sonne täglich von Osten nach Westen undbeschreibt dabei einen Bogen. Da sich aber die Deklination δ (siehe 3.2., AbbildungC) im Jahresverlauf ändert, ändert sich auch die Tageslänge und damitder Tagbogen der Sonne.AnmerkungBisher stand immer die Sonne im Mittelpunkt des Geschehens. Füreine Sonnenuhr stellt aber der Ort an dem sie aufgestellt wird dasZentrum dar, weshalb wir nun von einem geozentrischen Systemausgehen.Zunächst ist die Kenntnis der Tage nötig, an denen die Sonne in den Solstitien(d.h. dass die Deklination δ ihre Extrema hat) steht. Hier greifen wir wieder aufdas U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] zurück, welches uns für das Sommersolstitiumden 21. Juni um 6:46 Uhr und für das Wintersolstitium den 21. Dezember18:35 Uhr liefert.

-16-Um auch an anderen Tagen des Jahres die Deklination bestimmen zu können,werden wir nun eine Funktion aufstellen, die uns die Deklination in Abhängigkeitvom Tag des Jahres liefert. Da δ am Frühlingspunkt den Wert 0° hat,nehmen wir ihn zunächst als »Startpunkt«. Bis zum Erreichen des Herbstpunktesist δ negativ, danach positiv, also liegt die Verwendung einer negativenSinus-Funktion nahe. Die Multiplikation vom Tag t mit 2 /365.24 führt zurVerlängerung auf Jahresdauer. Damit die Funktion zwischen +23°27' und-23° 27' schwankt muss man sie nur noch mit 23.45° multiplizieren und erhält:t=−sint⋅0.986⋅23.45°Wie bisher bleibt noch, den »Startpunkt« auf das richtige Datum zu verschieben,den 20. März um 12:33 Uhr (Tagesnummer 79.52). Es muss also eineKorrektur von -79.52 erfolgen. Die Funktion lautet dann für 2005:t=−sin t−79.52⋅0.986⋅23.45°Der zugehörige Graph:25 (t) in °+23.4520G15 1050-5-1030 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360t in Tagen-15-20-25-30-23.45Abbildung I: »Die Deklination der Sonne im Jahresverlauf«Neben der Deklination wirkt sich auch die geographische Breite auf den Tagbogenaus. Sie beeinflusst die Höhe h, die maximale und die minimale Mittagshöheh max bzw. h min , sowie die Tageslänge.

A'AZ (Zenit)hOJZ' (Nadir)HorizontSüdenAbbildung J: »Das Horizontsystem«[aus Quelle 0, Seite 22]-17-h ist offensichtlich am größten, wenn dieSonne kulminiert. h max ist die Höhe h, dieam Tag des Sommersolstitiums am wahrenMittag (dem Meridiandurchgang derSonne) erreicht wird. Sie ist mit90°−− zu berechnen. Hier wird auchklar, dass die Sonne nur zwischen Breitenvon 0° und 23°27' im Zenit, also auf einerHöhe von 90° stehen kann.Die Tageslänge muss uns noch interessieren,weil Sonnenuhren nach Sonnenuntergang nur schwerlich funktionieren. sei im Folgenden der Winkelabstand zum Meridian. Aus der sphärischenTrigonometrie erhalten wir (als Formel für die aktuelle Höhe):sin h=sin ⋅sin−cos⋅cos−⋅cos Für den halbenTagbogen gibt das bei sin h=0 und durch cos⋅cos− dividiert:cos =−tan ⋅tan− [nach 8.2]2 ist dann die Länge eines ganzen Tagbogens, also der Winkel, den wir dieSonne im Tagesverlauf überstreichen sehen. 2 /15° ergibt die Tageslänge inStunden. Sie wird zur Zeit des Sommersolstitiums maximal. Bei uns ist derTagbogen dann 241° lang, was einer Tageslänge von 16.07 Stunden entspricht.BeispielHersbruck liegt auf der Breite 49.5°. Am 28. Januar 2005 beträgtdie Deklination 18.17°. Der halbe Tagbogen ist damit:=cos −1 −tan 49.50°⋅tan−18.17°=67.40°Für die Tageslänge ergibt das 67.408°⋅2 h/15.00°=8.99 Stunden.Aus der maximalen Tageslänge lassen sich die frühest und die spätest nötigeStundenlinie auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr schließen. Mit Hilfe der fürjeden Tag berechneten Höhe h lassen sich zudem Datumslinien einzeichnen.

-18-4. SonnenuhrenDa jetzt alle Abweichungen der wahren Erde von der fiktiven mittleren Erde bekanntund für 2005 berechnet sind und wir uns mit der Bewegung der Sonneaus Sicht der Erde auskennen, können wir ab hier von einer mittleren Erde ausgehen.Diese Basis ermöglicht es, eine Sonnenuhr zu verstehen und richtig anzuwenden.4.1. Definition und AufgabenDefiniton: Sonnenuhr»In knappen, aber zutreffenden Worten gibt PROF. DR. G.AULENBACHER das Prinzip einer Sonnenuhr an: ›Die Sonnenuhr istein Instrument, das Funktionen der Sonnenkoordinaten anzeigt.‹Sonnenuhren dienen nicht nur der Zeitanzeige, sondern vermögenauch kalendarische, mathematisch-astronomische (Höhe, Azimut),geographische und sogar astrologische Information zu vermitteln.«[Quelle 1, Seite 43]Eine Sonnenuhr ist also primär nicht ein Werkzeug zur Zeitbestimmung, sonderneher ein »Winkelmesser« für die Sonne. Wir können ihre Höhe (siehe AbbildungI, an der Schattenlänge) und ihren Azimut α (an der Richtung desSchattens) ablesen.Die Aufgabe einer Sonnenuhr heute ist auch in erster Linie nicht die Zeitanzeige,da die Zeit nicht unmittelbar abgelesen werden kann wie etwa von einer Armbanduhr.Um eine Sonnenuhr richtig zu lesen ist Vorwissen oder eine Erklärungnotwendig. Deshalb dient die Sonnenuhr eher als Zierobjekt in vielen Gärtenoder an Hauswänden und ist damit auch heute noch sehr beliebt, wie aucheinige in der Nürnberger Innenstadt (z.B. am Nassauerhaus) zu findendeSonnenuhren beweisen.Im pädagogischen Sinne ist eine Sonnenuhr hervorragend geeignet, mathematischeSachverhalte in Astronomie und Geographie zu veranschaulichen undzu verstehen [nach Quelle 7, Seite 110].

-19-4.2. SonnenuhrentypenAbbildung K: »Bilder von Sonnenuhren« [aus Quelle 1, CD-Rom]Die Namen der Uhren bezeichnen die Lage der Zifferblattebene: das Zifferblatthorizontaler Uhren ist parallel zur Horizontebene, das vertikaler Uhren bildetmit der Horizontebene einen rechten Winkel. Eine äquatoriale Uhr hat ein zumÄquator paralleles Zifferblatt.Der Gnomon (Schattenstab) allerdings muss immer parallel zur Erdachse sein.Nur so kann gewährleistet werden, dass sich der Schatten jeden Tag des Jahresgleichförmig über das Zifferblatt bewegt. Mit der Horizontebene bildet er denWinkel φ, mit der Vertikalebende den Winkel 90°-φ.Es ist also für den Baueiner Sonnenuhr essentiell, die geographische Breite des Ortes zu kennen, andem sie aufgestellt werden soll.Bei der horizontalen und der vertikalen Sonnenuhr handelt es sich um diegebräuchlichsten Sonnenuhrentypen. Während man horizontale Uhrenbeispielsweise in Gärten findet, sind vertikale Uhren für Hauswände optimalgeeignet. Diese beiden Typen bietet außerdem einen höheren Grad an Komplexitätals eine äquatoriale Uhr, deren Zifferblatt sich sehr einfach konstruierenlässt: 1 Stunde enpricht 15°.

-20-4.3. ZifferblätterDas gerade genannte Zifferblatt E der äquatorialen Uhr muss nämlich in dieHorizontebene E' bzw. die Vertikalebene E'' projeziert werden. Von der Ost-West-Linie abweichende vertikale Sonnenuhren werden von der Ebene E'''vertreten.E''E'''Et'''M''t''SüdM'Mφt'tRαWestNordT SE'OstAbbildung L: »Zifferblätter einer Sonnenuhr« [Quelle 4, Seite 230]Der Abbildung ist zu entnehmen: tan t '= ∣RS∣∣RM '∣und ∣RS∣=∣RM∣⋅tan tDie Neigung des Gnomons ist die geographische Breite φ, also gilt:∣RM∣=∣RM '∣⋅sin und damit tan t '=sin ⋅tan tt ist der Stundenwinkel (z.B. 30°=2 h⋅360°/24 h für 14 Uhr).Entsprechende Überlegungen für t'' (bei M'') führen zu: tan t ' '=cos⋅tan t

-21-Für den Fall, dass eine vertikale Uhr nicht genau nach Süden ausgerichtet istsondern um den Winkel α abweicht, entnimmt man der Abbildung L:tan t ' ' '= ∣RT∣∣RM ' '∣Da der Winkel RTM '=180°−90°−−t ' ist gilt nach dem Sinussatz:∣RM '∣⋅sin t '∣RT∣⋅sin [90°−t '−]=∣RM '∣⋅sin t ' und folglich ∣RT∣=cost '−Nach der Abbildung L: ∣RM ' '∣=∣RM '∣⋅tan ∣RM '∣⋅sin t ' tan t ' ' ' =∣RM '∣⋅tan ⋅cost ' − =sin t 'tan ⋅cos t '⋅cos sin t '⋅sin cos t ' = sin t 'tan t ' ; tan t '=sin ⋅tan t tan t ' ' '= 1tan ⋅cos tan ⋅sin sin ⋅tan tsin ⋅tan t tan t ' ' '=tan ⋅cos tan ⋅sin ⋅sin ⋅tan t ; Es gilt : sin tan =coscos tan t ' ' '=cos ⋅cot tsin ⋅sin [nachQuelle 4, Seite 231]Jetzt kann man Zifferblätter horizontaler und beliebig abweichender vertikalerUhren konstruieren. Der Winkel α darf dabei weder 90° noch 270° sein, weilsonst der Gnomon in der Zifferblattebene läge. φ muss kleiner als 90° sein, wassinnvoll ist da man am Nordpol ohnehin nicht wüsste in welche Richtung maneine vertikale Sonnenuhr ausrichten sollte. Eine Sonnenuhr mit entsprechendkonstruiertem Zifferblatt zeigt uns nun die wahre Ortszeit an.BeispielMan möchte die Linie für 16 Uhr auf einer horizontalen Uhr zeichnen,das entspricht einem t von 60° ( 60°=4 h⋅360° /24 h ). Da dieUhr in Hersbruck aufgestellt wird ist φ gleich 49.5°.t '=tan −1 sin 49.5°⋅tan 60°=52.8°Die Mittagslinie (Südlinie) und die 16 Uhr Linie müssen also einenWinkel von 52.8° bilden, welchen man nun antragen kann.

-22-4.4. Die Analemma auf der UhrJeder Sonnenuhr ein Tabellenwerk beizulegen, um stets die exakte Zeit errechnenzu können ist jedoch sehr unpraktisch. Deswegen wenden wir an dieserStelle unsere Kenntnisse aus 3.4. an: wenn die Sonne nämlich im Jahresverlaufam Himmel die Form der Analemma beschreibt, muss es doch auch möglichsein, eben diese auf das Zifferblatt zu übertragen. Die folgende Abbildung Mzeigt das Ergebnis:Abbildung M: »Zifferblatt einer analemmatischen Horizontaluhr« [Java-Applet»Analemma Sundial Applet« von JÜRGEN GIESEN, zu finden unter Quelle 8.1]Die Länge des Gnomons (hier 10cm) ist anders als bei normalen horizontalenUhren festgelegt und wird bei der Berechnung des Zifferblattes berücksichtigt.Bei obiger Grafik fällt zudem auf, dass die 12 Uhr Analemma nicht genau überder Mittagslinie liegt. Das kommt daher, dass in dieser Grafik bereits derLängenunterschied 15°-11.45° berücksichtigt wurde, damit die Sonnenuhr nichtdie mittlere (!) Ortszeit sondern die mitteleuropäische Zeit anzeigt.

-23-Stellt man eine hoizontale Sonnenuhr an einem Ort auf, für dessen Breite sienicht gemacht wurde, kann man dies durch Schrägstellen um die Breitendifferenz(so dass der Gnomon wieder parallel zur Erdachse steht) korrigieren.[nach 10, Seite 27] Für vertikale Uhren würde das auch funktionieren, allerdingssteht man hier in den meisten Fällen vor einem praktischen Problem: eineHauswand um wenige Grad zu neigen.5. Faszination SonnenuhrAuch wenn Sonnenuhren schon viele Jahrhunderte im Einsatz sind, haben siedoch nichts von ihrer Faszination verloren. Nahezu endlos viele Möglichkeiten,Gnomon und Zifferblatt kreativ zu gestalten, gepaart mit Unverständnis, das diemeisten Leute Sonnenuhren entgegenbringen, machen diese Faszination aus.Die Konstruktion ist mit relativ einfachen praktischen Methoden möglich.R. SOLER, der Leiter der mallorcinischen Sonnenuhrenvereinigung beweist diesauf der sonnen(uhren)reichen Insel Mallorca mit einigen sehenswerten Uhren[nach Quelle 1, CD-Rom].Da die wichtigsten »mathematischen Grundlagen für die Konstruktion einerSonnenuhr« nun erarbeitet sind, zum Abschluss noch 2 Fotos besonders erwähnenswerterSonnenuhren: Die »Mittagskanone«, bei welcher mittags durch einBrennglas eine Kanone gezündet wird und die »Digitale Sonnenuhr«, die mitHilfe von 2 gemusterten Schichten das Sonnenlicht nur in Ziffern durchlässt.Weitere Fotos finden sich auf der beigelegten CD-Rom im Verzeichnis »Bilder«.Abbildung N: »Mittagskanone«und »Digitale Sonnenuhr« [aus Quelle 1, CD-Rom]

-24-6. Literaturverzeichnis[0] RENÉ R. J. ROHR, »Sundials - History, Theory and Practice«, Totonto 1970[1] ARNOLD ZENKERT, »Faszination Sonnenuhr«, Frankfurt 2002― Inhalt der CD-Rom auf der dieser Arbeit beigelegten CD: ZenkertCD/[2] M. MÜLLER, »Equation of time-- Problem in Astronomy«Internetseite: http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html― auf der CD: Quellen/mueller.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004[3] U.S. NAVAL OBSERVATORY, »Earth's Seasons Equinoxes, Solstices, Perihelion,and Aphelion«Internetseite: http://aa.usno.navy.mil/data/docs/EarthSeasons.html― auf der CD: Quellen/EarthSeasons.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004[4] H.-G. BIGALKE, »Kugelgeometrie«, Frankfurt/Berlin/München 1984[5] WIKIPEDIA, Internetseite aufgerufen am 29.12.2004:[5.1] »Längengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4ngengrad― auf der CD: Quellen/Laengengrad.htm[5.2] »Breitengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/Breite― auf der CD: Quellen/Breitengrad.htm[5.3] »Präzession« http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession― auf der CD: Quellen/Praezessiom.htm[5.4] »Nutation« http://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_%28Astronomie%29― auf der CD: Quellen/Nutation.htm[6] CHRISTIAN STRUTZ, »Analemma, die Zeitgleichung: Warum ist aus unsererSicht die Sonne so unpünktlich?«Internetseite: http://www.schulphysik.de/strutz/zeitgl.pdf― auf der CD: Quellen/zeitgl.pdfo.J., aufgerufen am 03.01.2005[7] LOTZE/SCHNEIDER, »Wege in der Physikdidaktik Band 5«, Erlangen 2002[8] JÜRGEN GIESEN, Internetseite aufgerufen am 18.01.2005:[8.1] »Analemma Sundial Applet« http://www.geoastro.de/analemma/― auf der CD: Quellen/Geoastro.htm Applet: quellen/geoastro.zip[8.2] »Length of Day« http://www.jgiesen.de/astro/solarday.htm― auf der CD: Quellen/lengthofday.htm[9] DAVID H. LEVY, »Abenteuer Astronomie«, Stuttgart 1997[10] HEINRICH GÖRING, »Die Sonnenuhr«, Arnsberg 1864[11] Barth/Mühlbauer/Nikol/Wörle, »Mathematische Formeln undDefinitionen«, München 1998[12] HAMMER/HAMMER, »Physikalische Formeln und Tabellen«, München 2002[13] ALBERT E. WAUGH, »Sundials - Their Theory and Construct.«, New York 1973

-25-7. SelbstständigkeitserklärungIch erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nurdie im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.Happurg, den 27.01.2005_______________________