Übungsblatt für die erste Arbeit – Dreiecke

Höhen einzeichnena) Gegeben ist das folgende Dreieck, zeichne jeweils die Höhen ein.b) Welche Besonderheit im Bezug auf die Höhe ergibt sich in einem rechtwinkligen Dreieck?Die Höhen der beiden Seiten, die als Schenkel den rechten Winkel einschließen, sind jeweilsdie Höhen für den zweiten Schenkel. Ist zum Beispiel α ein rechter Winkel, so ist b die Höheder Seite c und c die Höhe der Seite b.

Mittelsenkrechte und Umkreis einzeichnenGegeben ist das folgende Dreieck: a = b = 8 cm; γ = 60°1.) Konstruiere das Dreieck im Heft, welche Art von Dreieck ergibt sich?Es entsteht ein gleichseitigesDreieck, alle Seiten sind8 cm lang, alle Winkel 60°groß.2.) Konstruiere die Mittelsenkrechten, bestimme dabei die Mittelpunkte der Seiten ohne zumessen.3.) Zeichne den Umkreisein.

Winkel halbieren und verdoppelnGegeben sind die folgenden Teile eines Dreiecks:Die Seite b, der Winkel β und die Winkelhalbierende w α1.) Vervollständige das Dreieck, indem du die fehlenden Seiten konstruierst.Hierbei muss nicht gemessen werden!2.) Zeichne die fehlenden Winkelhalbierenden ein und bestimme den Mittelpunkt des Inkreises.

Textaufgaben1.) Klaus steht vor einer Wandtafel und betrachtet diese unter einem Winkel von 90°.Zeichne eine geeignete Wandtafel und gib alle Punkte an, von denen aus man die Wandtafelebenfalls unter einem Winkel von 90° sehen kann.Hier liegt die Lösung im Thaleskreis. Zeichne eine beliebig lange Strecke, die Wandtafel.Konstruiere hierzu den Thaleskreis. Klaus steht auf diesem Kreis.2.) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck, dessen Höhe um 1,5 cm kleiner als die Seite ist!In einem gleichseitigen Dreieck sind die Höhen gleichzeitig die Mittelsenkrechten und dieWinkelhalbierenden. Mit diesem Wissen lässt sich das Dreieck gut konstruieren.1. Die Höhe der Basis istbeliebig wählbar,nehmen wir einfachh a =AH 1 =5 cm2. Die Basis, auf der h asenkrecht steht, mussinsgesamt 1,5 cm längersein, als h a . Dies lässtsich mit einem Zirkelbewerkstellige, dessenRadius (5+1,5)/2 ? 3,25cm ist. Er schneidet dieGerade, die senkrechtzu h a durch H 1 verläuft,in den Punkten B und C.3. Von hier aus kann mannun einfach das Dreieckzuende zeichnen, indemman die Punkte verbindet.3.) In einem Dreieck ist ein Winkel doppelt so groß, wie der zweite Winkel. Der dritte Winkelist um 40° kleiner als der erste Winkel. Wie groß sind die Winkel?Hier kann man ein Gleichungssystem aufstellen, der zweite Winkel sei a groß, dann gilt:2a+a+(2a−40)=180⇔ 5a=220 ⇔ a=44Somit sind die Winkel 88, 44 und 48 Grad groß.4.) In einem gleichschenkligen Dreieck hat ein Winkel das dreifache Maß eines anderenWinkels. Welche Maße können die Winkel haben?In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Nehmen wiran, dass α und β die Basiswinkel sind, dann gilt:1. Die Basiswinkel sind ein drittel von γ:α+ β+γ=180° ⇔α+α+3∗α=180 ° ⇔5α=180 °⇔ α= β=36° ;γ=108 °2. Die Basiswinkel sind 3*γ:α+ β+γ=180° ⇔3∗γ+3∗γ+γ=180°⇔ 7∗γ=180° ⇔γ≈25,71° ; α= β=77,14°