Berechnung von Schmiege- und Gehrungswinkeln bei der ... - math IT

Berechnung von Schmiege- und Gehrungswinkeln beider TrichterzinkungElementargeometrische Betrachtung eines Standardproblems des TischlerhandwerksAndreas de VriesFH Südwestfalen University of Applied Sciences, Haldener Straße 182, D-58095 Hagen, Germanye-Mail: de-vries@fh-swf.deVersion: 9. Mai 20111 Trichterzinkungen im TischlerhandwerkDas Zinken ist eine mehrfache Verzahnung keilförmiger oder gerader Zapfen, die manZinken bzw. Schwalbenschwänze nennt. Man wählt diese Verbindung zum Zusammenbauvon Vollholzflächen, da die so verbundenen Teile ungehindert schwinden und quellen,sich aber nicht werfen können. Die Trichterzinkung gleicht einer abgestumpften Hohlpyramide,deren Grundfläche ein geschlossenes Vieleck ist [S]. Meistens ist die Grundflä-Abbildung 1: Trichterzinkung mit vierseitiger Gehrung. Quelle: [S]che ein Rechteck, siehe Abbildung 1, die Pyramide beschreibt also eine vierseitige Gehrungmit Eckwinkeln von jeweils ε = 90°. Allerdings kann die Grundfläche durchaus mehrereSeiten haben, oft sechs oder acht. Auch muss sie nicht notwendig symmetrisch sein,kann also auch ein unregelmäßiges Vieleck darstellen.Die Problematik der Trichterzinkung existiert auch im Zimmerhandwerk, hier sprichtman vom Schifterschnitt. Ein Schifterschnitt oder auch Doppelgehrungsschnitt ist ein Schnittgleichzeitig mit zwei Winkeln. Dieser Schnitt kommt sehr häufig im Dachbau vor [B].Praktische Probleme beim ZuschneidenSchon beim Zuschneiden muss man die Seiten breiter halten, da die Kanten nach derSchmiege des geneigten Winkels bestoßen werden müssen. Beachtet man die geneigteLage der Seiten nicht, dann wird später die Höhe des Kastens viel niedriger werden alsgeplant. Aus diesem Grunde muss man sich für die Herstellung eines solchen Kastens einenAuf-, Grund- und Seitenriss anfertigen. Der Grad des Winkels an den Hirnholzkantenist bei der Herstellung nicht der gleiche wie der Längsschnitt wiedergibt, da der Schnittrechtwinklig steht; dagegen stoßen die Seitenkanten des Kastens, einer Pyramide gleich,

von beiden Seiten geneigt zusammen. Es ist dabei natürlich gleich, ob man den schrägenKasten stumpf auf Gehrung oder gezinkt zusammenbaut [S].2 Mathematik der TrichterzinkungUm das Problem der Zuschneidung der Begrenzungswände eines Pyramidenstumpfsmathematisch zu untersuchen, müssen wir zunächst einige Bezeichnungen einführen.Wir wollen nur eine der möglichen Eckverbindungen betrachten, alle anderen ergebensich entsprechend.Zur Bezeichnung der relevanten Winkel betrachten wir die Skizze in Abbildung 2. Diebeiden beteiligten Begrenzungswände bilden jeweils ein Trapez, ausgerichtet mit demNeigungswinkel α, und schmiegen sich unter einem Eckwinkel ε aneinander. Der jewei-εOαTrapezσOAbbildung 2: Geometrie der Gehrung. Schematischer Aufriss (oben) und Seitenriss (rechts), sowie daszuzusägende Trapez mit Schmiegewinkel σ und dem Neigungswinkel α der Begrenzungswände. Der Winkelder Sägeblattstellung γ, also der Gehrungswinkel, ist die Hälfte des in die um α gekippte Ebene projiziertenEckwinkels ε.lige Schmiegewinkel σ im Punkt O sei der Winkel der Flächenmschmiege, also derjenigeWinkel, der durch die Neigung zu der rechtwinkligen Kante der Begrenzungswand hinzugefügtwerden muss, um die Begrenzungswände aneinander zu schmiegen. (Mit anderenWorten, σ ist der Innenwinkel des im Punkt O minus 90°). Der entsprechend einzustellendeGehrungswinkel, also der Winkel des Sägeblatts, sei mit γ bezeichnet. Intuitivist sofort klar, dass durch Vorgabe der beiden Winkel α und ε sowohl der Schmiegewinkelσ als auch der Gehrungswinkel γ eindeutig bestimmt sein müssen.Satz 2.1. Sind zwei Begrenzungswände eine Trichterzinkung wie in Abbildung 2 mit dem Eckwinkelε ∈ [0, 180 ◦ ) und dem Neigungswinkel α ∈ [0, 90 ◦ ] gegeben, so lauten der Schmiegewinkelσ und der Gehrungswinkel γσ = arctan(tan ε )2 sin α , γ = 1 (2 arccos 1 − cos2 α sin 2 )ε. (1)1 + cos εBeweis. Die Herleitung der Formel in (1) ist im Anhang angegeben.2

3 ErgebnisseFür den speziellen Fall α = 0, also einen Trichter ohne Neigung, ergeben die Formeln in(1) genau σ = 0 und()γ = 1 2 arccos 1 − sin2 ε1 + cos εcos 2 ε{ }} {= 1 2 arccos cos ε + 1 − sin 2 ε= ε 1 + cos ε 2 .Für den neigungsfreien Fall ist also der Gehrungswinkel die Hälfte des Eckwinkels. Imanderen Extremfall der Neigung α = 90 ◦ folgt sofort σ = ε 2und γ = arccos 1 = 0,d.h. für den Fall, dass beide Wände flach in der Bezugsebene liegen, ist die Schmiege dieHälfte des Eckwinkels und die Gehrung ist Null. In Tabelle 1 befinden sich einige mitden Formeln berechnete Wertekombinationen der beteiligten Winkel. Die Werte für dieSägeblatteinstellungen für die vierseitige Gehrung stimmen recht genau mit den in [L]angegebenen Tabellenwerten überein.Tabelle 1: Nach Formel (1) berechnete Werte für Schmiegewinkel σ und Gehrungswinkel γ in Abhängigkeitvon Neigung α und Eckwinkel ε.Neigung Eck Schmiege Gehrung Eck Schmiege Gehrung Eck Schmiege Gehrungα ε σ γ ε σ γ ε σ γ0 90 0,00 45,00 120 0,00 60,00 135 0,00 67,505 4,98 44,78 8,58 59,62 11,88 66,9810 9,85 44,14 16,74 58,53 22,74 65,4815 14,51 43,08 24,15 56,77 32,00 63,1820 18,88 41,64 30,64 54,47 39,55 60,2525 22,91 39,86 36,20 51,71 45,58 56,8630 26,57 37,76 40,89 48,59 50,36 53,1435 29,84 35,40 44,81 45,19 54,16 49,1840 32,73 32,80 48,07 41,56 57,20 45,0545 35,26 30,00 50,77 37,76 59,64 40,7950 37,45 27,03 53,00 33,83 61,60 36,4355 39,32 23,93 54,82 29,78 63,18 32,0060 40,89 20,70 56,31 25,66 64,44 27,5165 42,19 17,39 57,50 21,47 65,44 22,9870 43,22 14,00 58,43 17,23 66,21 18,4275 44,01 10,55 59,13 12,95 66,79 13,8380 44,56 7,05 59,62 8,65 67,19 9,2385 44,89 3,53 59,91 4,33 67,42 4,6290 45,00 0,00 60,00 0,00 67,50 0,00A Anhang: Herleitung der Formeln (1)Betrachten wir die Begrenzungswand, die in Abbildung 2 mit „Trapez“ bezeichnet ist.Rotiert man das Trapez um die Mittellinie seiner Auflage auf der Basisebene als Achse, soüberstreichen die rechte Begrenzungsgrade des Trapezes und die rechtwinklig zur Achsegedachte Kante die Seitenflächen eines Tetraeders OABC, siehe Abbildung 3 links. Fürgegebene Werte α und ε sind somit die Punkte D und E eindeutig bestimmt. Beschränktauf das Tetraeder ergibt sich damit die Skizze in Abbildung 3 rechts, mit σ = ∢ DOE.Nehmen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass die Längen der StreckenOA und OC Eins sind, also |OA| = |OC| = 1 ist, so gilt|AC| = √ 2.3

CCDTrapezAEBED|OC| = 1ασBαε2OεAε2OAbbildung 3: Beziehungen des Schmiegewinkels σ, des Eckwinkels ε, und des Neigungswinkels α. Rotiertman das Trapez um seine Auflageachse, so vergrößert sich der Schmiegewinkel σ, so dass er einen Schnittdurch das Tetraeder OABC ausfüllt.Da nach Konstruktion ∢ODE ein rechter Winkel ist, gilt dies auch für die Projektion∢ OAB = 90 ◦ . Daher ist |ED| = |DO| tan σ und, mit dem Sinussatz im Dreieck CDO,Mit dem Strahlensatz folgt damit|DO|sin 45 ◦ = |CD||CD|, d.h. |DO| = √ .sin α 2 sin α|CD||AC| = |ED| |DO| tan σ=|AB| tan ε 2=|CD| tan σ√ ,2 sin α tanε2oder tan σ = tan ε 2sin α, also die erste Gleichung in (1). Gemäß der Skizze in Abbildung 4schneiden sich die beiden Einheitsnormalen PQ und RQ der Begrenzungswände unterdem Winkel ε ′ = ∢ PQR, während die Projektion dieses Winkels auf die Ebene des Bezugssystemsden Eckwinkel ε = ∢ PSR ergibt. Da die Normalen jeweils die Länge 1 ha-PSQRαAbbildung 4: Projektion des Eckwinkels ε ′ = ∢ PQR bezüglich der Wandbretter auf den Eckwinkel ε =∢ PSR im Bezugssystem.ben, also |PQ| = |RQ| = 1 gilt, ist einerseits die Länge |PR| im Dreieck PSR mit demKosinussatz [1] durch die Gleichung|PR| 2 = 2 (1 − cos ε ′ ) (2)gegeben. Andererseits ist das projizierte Dreieck PSR gleichschenklig und es gilt nach demSinussatz [1]sin ε|PR| = sin(90◦ − ε 2 )|PS|d.h.|PR| = |PS| sin εcos ε . (3)2Da ε ′ auf ε projiziert wird, ist ∢ QSP ein rechter Winkel; da ferner ∢ SPQ = α, ist |PS| =cos α, ergeben damit (2) und (3), nach Umstellung nach |PR|,12 |PR|2 = 1 − cos ε′2 = cos2 α sin 2 ε2 cos 2 ε ,42

oder(ε ′ = arccos1 − cos2 α sin 2 ε2 cos 2 ε2). (4)√Da für den Gehrungswinkel γ = ε′2 gilt, folgt mit der Halbwinkelformel cos ε 2 =die zweite Gleichung in (1).Literatur[1] Zeidler, E. (Hrsg.): Teubner Taschenbuch der Mathematik. Teil 1. Leipzig : B. G. Teubner, 19961+cos ε2Web-Quellen[B] http://www.1-2-do.com/wissen/index.php/Schifterschnitt – Robert Bosch GmbH, Wissensdatenbank 1-2-do.com: Definition des Schifterschnitts [letzter Abruf 2011-05-01][D] http://www.dga-soft.de/handbuch/de/node145.html – Benutzerhandbuch der DGA-Soft: Beschreibung desSchifterschnitts am Pyramidenstumpf mit unterschiedlichen Neigungen. [letzter Abruf 2011-05-01][K] http://www.caro-keilig.de/trichterzinken.html – Matthias Keilig (2005): “Einen Trichter zinken” [letzterAbruf 2011-05-01][L] http://www.woodworking.de/cgi-bin/holzbearbeitungsmaschinen/webbbs_config.pl/ noframes/read/ 45363 –Bernhard Loos (2008): Blogeintrag im Handwerkerforum woodworking.de mit der Kopie einer Tabellevon Sägeblatteinstellungen für Verbundgehrschnitte bei verschiedenen Neigungen [letzter Abruf2011-05-01][S] http://www.schreiner-seiten.de/verbindungen/v_zinkung-trichter.php – Anschauliche Beschreibung derTrichterzinkung für Vierertrichter (Pyramidenstumpf) [letzter Abruf 2011-05-01]5