Brennweite von Linsen (BL)

Brennweite von Linsen (BL)Blockpraktikum Frühjahr 2011, Universität Tübingenvon Anja Lutz, Jan Becker, Daniel Stopper6. April 20111 Theoretische Grundlagen1.1 Geometrische und WellenoptikGeometrische Optik (auch Strahlenoptik) kann für Berechnungen wie Reexion, Brechung (Linsen, Fernrohre,...)verwendet werden. Der Wellencharakter des Lichts wird vernachlässigt, da die Wellenlänge des Lichts im Vergleichzu den verwendeten Objekten verschwindent gering ist.Das Licht wird als charakteristischer Strahl aufgefasst.Bei Versuchen / Berechnungen wie zum Beispiel den Phänomenen der Beugung oder Interferenz, werden teilweiseObjekte verwendet, die in die Gröÿenordnung der Wellenlängen λ vorstoÿen (vgl. Gitterbreite bei Beugungsversuchen).Hier kann die Wellenlänge nicht mehr als verschwindend gering angesehen werden und es muss auf dieTheorie der Wellenoptik berücksichtigt werden.Licht ist elektromagnetische Wechselwirkung, d.h. es panzen sich abwechselnd E -und B-Felder, welche orthogonalzueinander sind, in eine bestimmte Ausbreitungsrichtung k, welche wiederrum senkrecht zu E -und B-Feld steht,fort. Gibt man diese Orts- und Zeitabhängig an, ist eine Lichtwelle eindeutig beschrieben. Licht wird durch Elektronenemittiert, welche von einem hohen Energieorbital auf ein niedrigeres Wechseln. Dabei verlieren sie Energie,wobei die Energie über die Gleichung E = · f zusammenhängt. Hier erkennt man, dass Elektronen Strahlungder Frequenz f abgeben müssen, damit die Energie kleiner wird. Liegt die damit verknüpfte Wellenlänge λ imsichtbaren Bereich, wird Licht abgegeben. bezeichnet das Planksche Wirkungsquantum und ist eine Konstante.1.2 Snelliusche BrechungsgesetzZwischen den Brechzahlen n 2 und n 1 sowie den Ein- und Ausfallswinkeln α bzw. β existiert folgende Beziehung:1.3 Dünne Linsen 2= sin(α)n 1 sin(β)Bei der dünnen Linse wird die Dicke des Linsenkörpers vernachlässigt. Man führt durch die Mitte der Linse diesogenannte Hauptebene ein. An ihr werden alle Brechungen der Lichtstrahlen vereinfacht dargestellt. Eine dünneLinse ist eine Näherung der dicken Linse, welche zwei Hauptebenen H 1 und H 2 besitzt, bei der dünnen Linse fallendiese jedoch zusammen. Für die Konstruktion der Abbildungen an einer dünnen Linse sind folgende drei Strahlenwichtig:• Ein Strahl welcher parallel zur optischen Achse zwischen Gegenstand (G) und Hauptebene (H) der Linseverläuft. Dieser an der Hauptebene so gebrochen, dass er durch den hinteren Brennpunkt der Linse verläuft.• Der zweite Strahl läuft durch den Hauptpunkt der Linse. Er durchkreuzt keinen Brennpunkt und wird nichtgebrochen.• Der dritte Strahl verläuft gegensätzlich zum ersten: Er durchläuft erst den vorderen Brennpunkt der Linse,er wird dann an der Hauptebene so gebrochen, dass er dann zwischen Hauptebene und Bild (B) parallel zuroptischen Achse läuft.1

1.4 LinsengleichungMan bezeichnet die Strecke zwischen Gegenstand und Hauptebene (1. Hauptebene bei einer dicken Linse) als g.Die Gegenstandshöhe wird mit G bezeichnet. Die Brennweiten f i sind die Strecken zwischen Brennpunkt(e) undHauptebene(n). Die Brennweiten links und rechts der Linse sind nur gleich, wenn jeweils links und rechts der Linsedas gleiche Medium herrscht. Der Weg zwischen Hauptebene (bzw. zweiter Hauptebene bei dicker Linse) wird mitb bezeichnet. Die Bildhöhe ist B.Mithilfe der Strahlensätze lässt sich folgende Gleichung herleiten:D := 1 f = 1 b + 1 gLiegen mehrere Linsen hintereinander so wird die Brechkraft D nicht einfach addiert, man muss noch einen Korrekturtermberücksichtigen, sofern der Abstand der Linsen nicht zu vernachlässigen ist (dies ist in vorliegendemVersuch aber der Fall)wobei d den Abstand der Linsen bezeichnet.D ges = D 1 + D 2 − D 1 D 2 d1.5 Bilder einer dünnen Sammel / Zerstreuungslinse (bei versch. Abständen)2

1.5.1 Sammellinse auÿerhalb der doppelten Brennweite1.5.2 Zerstreuungslinse auÿerhalb der doppelten Brennweite3

1.5.3 Sammellinse zwischen doppelter Brennweite und einfacher Brennweite1.5.4 Zerstreuungslinse zwischen doppelter Brennweite und einfacher Brennweite4

1.5.5 Sammellinse innerhalb der einfachen Brennweite1.5.6 Zerstreuuungslinse innerhalb der einfachen Brennweite5

1.6 Dicke LinseBei einer dicken Linse ist die Dicke nicht vernachlässigbar dünn. Dadurch werden 2 Hauptebenen zur Darstellungder Brechung nötig. Lichtstrahlen werden Analog zur Brechung an der dünnen Linse konstruiert. Da aber meistensdie Hauptebenen nicht bestimmbar sind, wird zur Berechnung von Bildweite o.Ä. die Methode von Bessel benötigt.Hierbei wird bei Konstantem Abstand e zwischen Schirm und Gegenstand die Linse bzw. das Linsensystem solangeverschoben, bis ein scharfes Bild auf dem Schirm zu erkennen ist. Dies ist genau an zwei Stellen der Fall. DiesenAbstand nennt man a. Damit ergibt sich die Brennweite wie folgt, unabhängig von der Lage der Hauptebenen:1.7 Sphärische Aberrationf = 1 4· (e −a2e )Sphärische Aberration ist ein Schärfefehler. Je weiter auÿen man die Strahlen der Linse betrachtet, desto stärkerwerden sie gebrochen. Im Endeekt führt dies dazu, dass sich die Strahlen nicht alle in einem Punkt treen, dassBild erscheint unscharf. Mögliche Lösungen neben einer teuren asphärischen Linse ist die Korrektur mit Farbltern.Die einzelnen Bilder werden dann wieder mit einem Computeralgorithmus zusammengesetzt (oft in der Astronomieverwendet).2 Versuchsdurchführung2.1 Versuchsaufbau / DurchführungAuf einer optischen Bank wurde eine Linse, eine Lampe (der Gegenstand) und einen Schirm aufgebracht. Im erstenVersuchsteil wurde die Postion der Linse nicht verändert. Es wurden jeweils fünf Bilder bestimmt, bei denen derGegenstand ausserhalb der doppelten Brennweite bzw. zwischen der doppelten und der einfachen Brennweite steht.Dabei haben wir die Gegenstandweite und die Bildweite gemessen. Im zweiten Versuchsteil wurde nach der Methodevon Bessel die Brennweite der groÿen Sammellinse bestimmt, im nächsten Versuchsteil die eines Linsensystems.Zuletzt wurde die spährische Aberration einer Sammellinse nach Bessel für die Rand- bzw. Zentralstrahlen einerSammellinse bestimmt.3 Auswertung3.1 Kleine Sammellinse; variable Bild / GegenstandweiteGegenstandweite g[m] Bildweite b[m] Brennweite f[m] Brechkraft D[1/m]0,293 0,1285 0,089 11,240,321 0,1212 0,088 11,360,4185 0,1101 0,087 11,490,238 0,1431 0,089 11,240,221 0,1595 0,0923 10,80,156 0,3309 0,106 9,430,177 0,229 0,0998 10,020,138 0,9211 0,12 8,330,16 0,3051 0,105 9,520,79 0,2201 0,0987 10,13Arithmetrisches Mittel für f : f = 0, 0975m. Der zufällige Fehler ergibt sich mir der Standardabweichung desMittelwerts s fwie folgt:Der Faktor 2 ergibt sich aus der Student-Verteilung.∆f zuf = 2 · s f√10= 2 · s f= 0, 0067m6

76Vergrößerung v (m)5432100,2 0,4 0,6 0,8Gegenstandsweite g (m)Die durchgezogene Linie stellt wie gewünscht den Verlauf von v =3.2 groÿe Sammellinse; Brennweite und Brechkraftf dar, die Einzelwerte g−f v = b . gAbstand Bild-Gegenstand e[m] Abstand der scharfen Positionen a[m] Brennweite f[m] Brechkraft D[1/m]0,50 0,1849 0,1079 9,2680,525 0,2265 0,1068 9,3630,55 0,2545 0,108 9,2590,6 0,3101 0,1097 9,1160,65 0,3692 0,11 9,091Für f ergibt sich f = 0, 1084m Für den zufälligen ∆f ergibt sich ∆f = 0, 00154m. Dieser wurde wie in (3.1)mithilfe der Standardabweichung des Mittelwerts berechnet, welcher nun noch mit dem enstprechenden Student-Faktor gewichtet wurde (2,57 nach Taschenbuch der Mathematik und Physik).Das arithemtrische Mittel der Brechkraft ergibt D = 9, 22 1 m. Der zufällige Fehler wird analog zu f berechnet undergibt ∆D = 0, 131 1 m7

3.3 Brennweite der Linsenkombination; Brennweite der StreuungslinseAbstand Bild-Gegenstand e[m] Abstand der scharfen Positionen a[m] Brennweite f[m] Brechkraft D ges [1/m]0,50 0,123 0,117 8,5470,525 0,1648 0,118 8,4750,55 0,201 0,119 8,4030,6 0,2667 0,120 8,3330,65 0,3282 0,121 8,264Für den Mittelwert von f ergibt sich f = 0, 119m. Der zufällige Fehler ist ∆f = 0, 00182. Berechnet wie in (3.2).Der Mittelwert der Brechkraft ist D ges = 8, 40 1 . Fehler nach 2,57·s √ Dm 5ist ∆D ges = 0, 13 1 mDaraus ergibt sich mit D ges = D 1 + D 2 und D 1 = 9, 22 1 m :D 2 = D ges − D 1 = 8, 40 − 9, 225 = −0, 825 1 mDer zufällige Fehler ergibt sich nach Gauss mit ∆D 2 = 0, 185 1 m .3.4 spährische AberrationAbstand Bild-Gegenstand e[m] Abstand der scharfen Positionen a[m] Brennweite f zentral [m]0,65 0,4062 0,0990,6 0,3539 0,09780,55 0,2552 0,09790,525 0,2701 0,09650,50 0,2439 0,0953Abstand Bild-Gegenstand e[m] Abstand der scharfen Positionen a[m] Brennweite f Rand [m]0,50 0,2522 0,0930,525 0,2884 0,09160,55 0,3119 0,09330,6 0,3654 0,09430,65 0,4163 0,0958Somit ergeben sich f zentral = 0, 0973m und damit der zufällige Fehler∆f zentral = 0, 00164m sowie f Rand = 0, 0936mund damit der zufällige Fehler∆f Rand = 0, 00180m. Daher ergibt sich die sphärische Aberration mit∆ = f Rand − f zentral = −0, 0037mDer zufällige Fehler der sphärischen Aberration ergibt sich nach Gauÿ mit ∆∆ = 0, 00244m.8

3.5 Galilei- und Kepler-Fernrohr3.5.1 Galilei-Fernrohr3.5.2 astronomisches Fernrohr9