Erzwungene Schwingungen

Erzwungene SchwingungenWir hatten als Bewegungsgleichung der gedämpften freien Schwingung:m&x+ rk x&+ Dx =0Wir nehmen an, dass unser Oszillator (z.B. Feder oder Pendel) der Eigenfrequenzω 0 durch eine harmonische Kraft mit der Frequenz ω Eangeregt wird:FE=F0cosωEtDie Kräftegleichung ändert sich daher zum&x+ r x&k+Dx=F0cosωEtDiese Gleichung hat eine spezielle Lösung der Form( ω − α)x = x cos tADurch Einsetzen findet man die Amplitude x A des Oszillators und denPhasenwinkel α:F0xA=2 2 2 2 2m ω − ω + r ωE( )20α = arctanmErωkE2 2( ω − ω )0EE

Wir betrachten die Amplitude x A in Abhängigkeit von der Erregerfrequenzω E . Mitr k= 2δund F0= ma gilt für xm0A :xA=2 2 2 2 2( ω − ω ) + 4δω0aE0EIn der folgenden Darstellung ist die Amplitude der Schwingung (nachdem Einschwingvorgang) in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz aneinem speziellen Beispiel dargestellt:Resonanzkurvef 0 = 1 Hz, F 0 = 1N, δ = 0,5 s -1Amplitude / cm1816141210864200 0,5 1 1,5Erregerfrequenz / Hz2Aus der Grafik geht hervor, dass die Amplitude der Schwingung einMaximum hat, wenn die Erregerfrequenz gleich der Frequenz der freienSchwingung ist. Die oben abgebildete Kurve heißt Resonanzkurve,die Bedingungω0= ω E heißt Resonanzbedingung

Im folgenden diskutieren wir noch den Phasenwinkel α in Abhängigkeitvon der Erregerfrequenz. Der Phasenwinkel α entspricht der Phasenverschiebungzwischen Erreger- und Oszillatoramplitude.α =arctan2δωE2 2( ω − ω )0EFür denselben Parametersatz, wie im Falle der Resonanzkurve, erhältman:Phasenverschiebung zwischen Erreger und Oszillator180160140Phasenwinkel / Grad1201008060402000 0,5 1 1,5Erregerfrequenz / Hz2f > f 0= °α 90 Resonanzα 180Erreger in Phase mitOszillatorGegenphasigeSchwingung

Gespeicherte Energie im ResonanzfallWird ein Oszillator zu erzwungenen Schwingungen angeregt, so wirdEnergie vom Erreger auf den Oszillator übertragen. Diese Übertragungist besonders effektiv im Resonanzfall. Welche Energie auf denOszillator übertragen wird, hängt dabei insbesondere von der Dämpfungab. Da die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit wächst, ist diemaximale Geschwindigkeit des Oszillators und damit seine kinetischeEnergie durch die Dämpfung begrenzt. Ist die Reibungskraft –rvgleich der angreifenden Kraft F 0 = ma 0 , so erhält man für v:v =Fr0=a02δWir vergleichen dieses Ergebnis mit der maximalen Geschwindigkeitdes Pendels im Resonanzfall. Mit( ω − α)x&= −xω sin tAEEerhält manv=maxx AωEMit xA( ωE= ω0)=a02δωEergibt sich schließlich das oben bereits überlegte Ergebnis:vmaxa0= 2 δDamit erhält man aus der Beziehung für die kinetische Energie einenAusdruck für die im Oszillator im Resonanzfall gespeicherte mechanischeEnergie:2m aE = 028 δ