Ein Modell zur wirklichkeitsnahen instationären Berechnung von Stahl

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTALINSTITUT FÜR KONSTRUKTIVEN INGENIEURBAUBaustofftechnologie und BrandschutzHeft 10 2002Ein Modell zur wirklichkeitsnaheninstationären Berechnung von Stahl- undSpannbetonstrukturen im TieftemperaturbereichWenfeng GUOHerausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Klingsch

Ein Modellzur wirklichkeitsnahen instationären Berechnungvon Stahl- und Spannbetonstrukturenim TieftemperaturbereichDissertationzur Erlangung des akademischen GradesDOKTOR–INGENIEUR (Dr. –Ing.)desFachbereichs BauingenieurwesenderBergischen Universität WuppertalvonM.Sc. Eng. Wenfeng GUOPekingWuppertal–Deutschland 2001

Dissertation eingereicht am: 10.10.2000Tag der mündlichen Prüfung: 13.07.2001Gutachter:Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Klingsch,Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Harte,Bergische Universität WuppertalBergische Universität Wuppertal

DanksagungDanksagungDie vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiteram Lehrstuhl und Forschungsgebiet Baustofftechnologie und Brandschutz des FachbereichesBauingenieurwesen der Bergischen Universität Wuppertal.Herrn Prof. Dr. –Ing. W. Klingsch möchte ich für seine Betreuung und Förderung dieserArbeit, seine großzügige wissenschaftliche Unterstützung und seine vielen wertvollen Ratschlägesehr herzlich danken.Herrn Prof. Dr. –Ing. R. Harte bin ich für die Übernahme des Referates und für seine zahlreichenAnregungen und Hinweise zu großem Dank verpflicht.Mein Dank gilt auch all denen, die zum Gelingen dieser Arbeit mit beigetragen haben, insbesondereden Kolleginnen und Kollegen für die freundliche Zusammenarbeit, für die vielfältigeUnterstützung und die hilfreichen Ratschläge.Der größte Dank gebührt jedoch meiner Ehefrau Wei für ihr Verständnis und für ihre Unterstützung,die sie mir bei der Erstellung dieser Arbeit entgegen gebracht hat.Wuppertal, im Juli 2001Wenfeng GUO

InhaltsverzeichnisIInhaltsverzeichnisBezeichnungen.................................................................................................................Zusammenfassung..................................................................................................Abstract....................................................................................................................VVIIIIX1 Einleitung................................................................................................................... 11.1 Allgemeines ................................................................................................................ 11.2 Problemstellung........................................................................................................... 11.3 Stand der Forschung ................................................................................................... 31.4 Analyse bislang vorliegender Forschungsergebnisse................................................. 41.5 Zielsetzung der Arbeit ............................................................................................... 52 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbetonim TT–Bereich ........................................................................................................ 72.1 Allgemeines ................................................................................................................ 72.2 Betoneigenschaften ..................................................................................................... 72.2.1 Gefriervorgänge beim Abkühlen von Zementstein und Beton ...................... 82.2.2 Druckfestigkeit von Beton im TT–Bereich ................................................... 92.2.3 Spannungs–Dehnungslinie unter einaxialer Druckbeanspruchung.................... 112.2.4 Spannungs–Dehnungslinie unter einaxialer Zugbeanspruchung.................... 162.2.4.1 Werkstoffverhalten von Beton bei einaxialer Zugbeanspruchung.... 162.2.4.2 Zuwachs der Zugfestigkeit von Beton im TT–Bereich..................... 182.2.4.3 Zuwachs der Bruchenergie von Beton im TT–Bereich.................... 192.2.5 Mehraxiales Werkstoffverhalten von Beton................................................... 242.2.6 Die Querdehnzahl von Beton.......................................................................... 272.2.7 Thermisches Dehnverhalten von Beton im TT–Bereich................................. 272.3 Spann- und Bewehrungstahl........................................................................................ 292.2.1 Festigkeits- und Verformungsverhalten ......................................................... 292.2.2 Temperaturdehnverhalten ............................................................................... 302.4 Der Verbund zwischen Beton und Stahl im TT–Bereich............................................ 30

InhaltsverzeichnisII3 Thermische Materialeigenschaftem ................................................................... 333.1 Vorbemerkungen......................................................................................................... 333.2 Thermische Eigenschaften des Verbundwerkstoffs Stahl- und Spannbeton............... 333.2.1 Temperaturleitvermögen von Beton ............................................................... 343.2.2 Temperaturleitvermögen von Spann- und Bewehrungstahl ........................... 353.2.3 Thermische Eigenschaften von Spaltluft ....................................................... 353.3 Wärmeübergang ......................................................................................................... 373.3.1 Wärmeübergang auf der Kaltschockseite....................................................... 373.3.2 Wärmeübergang auf der Luftseite................................................................... 374 Berechnung des instationären Temperaturfelds.............................................. 394.1 Grundgesetz der Wärmeleitung................................................................................... 394.2 FE–Formulierung der Fourier’schen Differentialgleichung....................................... 405 Strukturanalyse in der FE–Methode ............................................................ 435.1 Charakteristische Bewegungsgleichung zur Problemlösungder temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearität.............................................. 435.2 Elementwahl................................................................................................................ 455.3 Diskretisierung mit dem Mehrschichtenmodell........................................................... 465.4 Implementation............................................................................................................ 486 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton ................................................ 496.1 Vorbemerkungen......................................................................................................... 496.2 Formulierung der Fliess- und Bruchflächeim Haigh–Westergaard–Spannungsraug..................................................................... 496.3 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton......................................................... 516.3.1 Vorbemerkungen............................................................................................. 516.3.2 Der Bruchansatz des 3D–Materialmodells...................................................... 516.3.3 Die elastische Grenzfläche des 3D–Materialmodells...................................... 536.3.4 Die Belastungsfläche des 3D–Materialmodells.............................................. 556.4 Erweiterung des 3D–Materialmodells in den TT–Bereich........................................ 566.5 Die konstitutive Modellierung des Werkstoffverhaltens von Beton.......................... 596.5.1 Die thermodynamische Prinzipien und die Fließregel..................................... 596.5.2 Die konstitutive Modellierung des anisotropenWerkstoffverhaltens von Beton....................................................................... 60

InhaltsverzeichnisIII6.6 Implementierung des 3D–Materialmodells................................................................. 657 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte im TT–Bereich .................. 677.1 Vorbemerkungen......................................................................................................... 677.1 Das Äquivalenzlastverfahren zur Ermittlungder Spanngliedkräfte bei Raumtemperatur.................................................................. 677.3 Modifikation des Äquivalenzlastverfahrens im TT–Bereich...................................... 698 Beispiele zur Verifizierung.................................................................................... 728.1 Übersicht............................................................. ........................................................ 728.2 Berechnung der instationären Temperaturfelder ........................................................ 738.2.1 Vorbemerkungen............................................................................................738.2.2 Die instationäre Temperaturentwicklungvon einseitig vollständig abgekühlten Balken................................................ 738.2.3 Die instationäre Temperaturentwicklung von einseitig lokal abgekühltenPlatten mit und ohne Linerschutz................................................................... 758.3 Statische Berechnung in Kombination mit thermischen Beanspruchungen................ 768.3.1 Grundlgen.......................................................................................................768.3.2 Last–Verformungsbeziehungen der Stahlbetonbalken bei normalerTemperatur und bei homogen tiefer Temperatur –170 °C............................. 778.3.3 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalken beinormaler Temperatur und homogen tiefer Temperatur –60 °C.................... 788.3.4 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Stahlbetonbalken unterder Einwirkung der Temperaturgradienten.................................................... 808.3.5 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalken unterder Einwirkung der Temperaturgradienten.................................................... 818.3.6 Freie Temperaturverformung der Stahlbetonbalken infolge desinstationären Kälteschocks............................................................................. 828.3.7 Schnittgrößen einer Zylinderschaleinfolge Einwirkung von Temperaturgradieten............................................... 849 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter ................................... 889.1 Vorbemerkungen......................................................................................................... 889.2 Konstruktion und 3D–FE–Diskretisierung des Modellbehälters................................ 889.3 Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungender Spannbetonschale des Modellbehälters ............................................................... 89

InhaltsverzeichnisIV9.4 Annahmen für die Analyse des Liner–Leckagefalls.................................................... 919.5 Instationäre Temperaturentwicklung im Leckagefall.................................................. 929.6 Thermische Strukturanalyse des Außenbehälters im Leckagefall................................ 939.6.1 Verformung und Tragverhalten des Außenbehälters im Leckagefall............ 939.6.2 Instationäre Schnittgrößenverläufe des Außenbehälters im Leckagefall....... 949.6.3 Instationäre Spannungsentwicklungen und Rissbildung von Beton.............. 969.7 Zyklische Beanspruchungen im Befüllungs- und Entleerungsvorgang ...................... 1019.7.1 Vorbemerkungen............................................................................................ 1019.7.2 Zyklische Temperaturwechsel im Befüllungs- und Entleerungsvorgang...... 1019.7.2 Instationäre Schnittgrößenverläufe im Befüllungsvorgang............................ 1039.7.4 Instationäre Spannungen und Betonrissbildung im Befüllungsvorgang........ 1059.7.5 Instationäre Schnittgrößenverläufe im Entleerungsvorgang.......................... 1079.7.6 Instationäre Spannungen und Betonrissbildung im Entleerungsvorgang....... 1099.8 Zusammenstellung der FE–Untersuchungsergebnisse................................................. 11010 Zusammenfassung und Ausblick ........................................................................ 112Anlage ............................................................................................................................... 115I. Rechenwerte der entwickelten Stoffgesetzefür Berechnungen im TT-Bereich…………………...................................................... 115II. Instationäre thermische Strukturanalyse von Stahl- und Spannbetonstrukturenim TT-Bereich Berechnung mit ANSYS……………………………………………... 123Literaturverzeichnis ...................................................................................................... 126

BezeichnungenVBezeichnungenSymbol BedeutungDimensionE c Elastizitätsmodul des Betons im Ursprung N/mm²E s Elastizitätsmodul des Stahls N/mm²G f Bruchenergie von Beton beim Zugversagen Nm/m²K I C Rißzähigkeit2 / 3N / mmM Moment Nm/mN Normalkraft N/mR thermodynamische Kraft, assoziiert mit der VerfestigungT Temperatur °Cc p Spezifische Wärmekapazität Wh/kgKf Zylinderdruckfestigkeit von Beton N/mm²cf cst,T temperaturabhängige Spaltzugfestigkeit von Beton im TT–Bereich N/mm²f ct Zugfestigkeit des Betons N/mm²f y Streckgrenze des Stahls N/mm²l charakteristische Länge des Betons mmCtC 0 , C 1 , C 2ZeitpunkteKonstanten des 3D–Materialmodellsr, s, t Koordinaten im lokalen Systemx, y, z Koordinaten im globalen Systemαc,Tαs,Tχχijεcthermische Dehnungszahl des Betons im TT–Bereichthermische Dehnungszahl des Stahls im TT–BereichKrümmung der Spanngliedkurvethermodynamische Kraft, assoziiert mit der TranslationDruckbruchstauchung des Betonsγ spezifische Oberflächenenergie des Werkstoffs Nm/m²0λ Wärmeleitfähigkeit bzw. Konsistenzparameter W/mKµ Reibungsbeiwertρ Dichte kg/m³σ kritische Spannung der Rißentwicklung N/mm²cr

BezeichnungenVIσeäquivalente Spannungσ Hauptspannungen (i = 1, 2, 3)iσijReduzierter SpannungstensorσijωΨKomponenten des Spannungstensors zweiter StufeW/Z–Wertfreie EnergieVektoren und Matrizen[ B]t[ Ce]Knoten{ Fe}Pr{ F }end{ Fe}th{ Fe}{ Fai}nr{ Fi}{ Fa }i[ Ke]Q{ Qe}K{ Q }e{} u{} q{} σ{} εVerzerrungs–Verschiebungs–Matrixspezifische WärmekapazitätsmatrixVektor der wirkenden KräfteVektor der ElementdrückeVektor der KnotenkraftVektor der thermischen BelastungVektor der LastenVektor der Newton–Raphson–KräfteVektor der LastenMatrix der ElementssteifigkeitWärmefluss der QuelleWärmefluss infolge Konvektion am freien RandVerschiebungsvektor der KnotenVektor des WärmeflussesSpannungsvektorVerzerrungsvektorNebenzeichen (Fußzeiger und Kopfzeiger)0 bezogen auf die Normaltemperaturd Schädigunge elastisch(Kopfzeiger) bzw. äquivalent (Fußzeiger)i i-ter Iterationsschritt

BezeichnungenVIIpTtrplastischbezogen auf die aktuelle TieftemperaturPrädiktorzustandAbkürzungenepdiplrefthTTelastoplastische Schädigunginitial bzw. elastischplastischReferenzthermischTieftemperaturZeichen⊗Tensorielles Produkt zweier Vektoren bzw. Matrizen: Skalarprodukt zweier Vektoren bzw. Matrizen∂ x yDifferenzierung von y bezogen auf xσ; C Fettegeschriebene Buchstaben stellen Matrizen oder Tensoren darNicht aufgeführte Bezeichnungen werden am Ort ihres Erscheinens erklärt oder können alsbekannt vorausgesetzt werden.

ZusammenfassungVIIIZusammenfassungDie LNG Stahl- und Spannbetonbehälter sind thermisch und mechanisch beansprucht. Siesind sowohl für Betriebsfälle als auch für Störfälle zu bemessen. Infolge der instationärennichtlinearen Temperaturzustände im Leckagefall und im Befüllungs- und Entleerungsvorgangwird das statisch unbestimmte Tragwerksystem von solchen Bauten temperaturbedingtzwangbeansprucht.Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren zur wirklichkeitsnahen instationärenBerechnung von Stahl- und Spannbetonstrukturen auf der Basis der FE–Methode entwickelt,wobei auf die wesentlichen Einflüsse, wie die temperaturbedingte physikalische Nichtlinearitätvon Komponenten der Stahl- und Spannbetonstruktur, mehraxiales Werkstoffverhalten desBetons und nichtproportionale thermische Zwangbeanspruchung sowie Vorspannungen derSpannglieder usw. besondere Rücksicht genommen werden.In dem entwickelten FE–Modell wird die wirklichkeitsgerechte Formulierung des mehraxialenTragverhaltens für LNG Stahl- und Spannbetonbehälter neben den thermisch instationärenVorgängen insbesondere auch unter Berücksichtigung der temperaturbedingten physikalischenNichtlinearität realisiert. Hierfür ermöglicht das neu erarbeitete 3D–Materialmodell desWerkstoffs Beton sowohl die zutreffende Beschreibung des temperaturbedingten nichtlinearenWerkstoffverhaltens unter dreidimensionalen Beanspruchungen in bezug auf Ver- undEntfestigung im TT–Bereich als auch die numerische Implementierung in konzeptionellerFormulierung der elastoplastischen Schädigung im Rahmen der Kontinuummechanik. Daraufaufbauend können die Spannungszustände der Stahl- und Spannbetonstruktur bestimmt undderen Auswirkung auf das Tragvermögen ermittelt werden, damit sich die Aussagen über dieGrenzzustände der Tragfähigkeit und Sicherheit von LNG Stahl- und Spannbetonbehältern imTT–Bereich erarbeiten lassen. Aufgrund solcher genaueren Untersuchungen besteht die Möglichkeit,wirtschaftlichere und auch werkstoffgerechtere Lösungen für Konstruktion und Ausführungsolcher Bauwerke anzubieten.

AbstractIXAbstractThe LNG (Liquefied Natural Gas) RPC (reinforced and prestressed concrete) tanks are loadedthermally and mechanically. They must be calculated both for operating cases and for breakdowns.The statically indeterminate system of such buildings is loaded unter compulsion dueto the non–linear instationary temperature states in the leakage case and in the process of filland emptiness.Within the framework of present work, a procedure for the realistic instationary computationof RPC structures will be developed on the basis of the FE–method. It is here taken specialregard to essential influences, as temperature-related physical non-linearity of components ofRPC structure, multiaxial material behaviour of the concrete and non-proportional thermalload as well as prestressing of the tendons.The multiaxial mechanical behaviour for LNG RPC tanks is in faith with realisty formulatedin the new FE–model also in particular considering temperature-related physical non-linearitybeside the thermal process. The new 3D–model of material for concrete makes it possibleboth for the analytical description of the temperature-related non-linear material behaviourunder tridimensional loads with respect to hardening or strain–softening at the low temperatureand for the numeric implementation in concept of the elastoplastic damage within theframework of continuum mechanics. The stress states of RPC structure and its effect onto theproperty of bearing can be determined on this basis. In this way, the load-carrying capacityand the safety can be accurate predetermined for the LNG RPC tanks at the low temperature.On account of such more precise investigations is it enable to offer more economical and alsomore material solutions for design and execution of such buildings.

1 Einleitung 11 Einleitung1.1 AllgemeinesDie heutige Energiepolitik hat verantwortungsbewußt darauf abgezielt, die Energieversorgungso weit wie möglich und langfristig durch solche Energieträger sicherzustellen, die zu einermöglichst geringen Umweltbelastung führen und wirtschaftlich genutzt werden können. DasErdgas ist ein weltweit verfügbarer Energieträger, der im Vergleich mit anderen fossilenBrennstoffen durch geringere Umweltbelastung und Klimabeeinflussung charakterisiert ist. Eserfüllt alle wesentlichen Anforderungen, welche an einen Energieträger gestellt werden. ZahlreicheAnalysen und Fachberichte über die Frage zukünftiger Energieversorgung weisen daraufhin, daß ein zunehmender Energiebedarf, der aus Gründen des Klimaschutzes verstärktdurch den kohlenstoffärmeren Energieträger Erdgas gedeckt werden muß, die Wettbewerbsbedingungauf dem Welterdgasmarkt in absehbarer Zukunft noch verschärfen kann [R06].Demzufolge wird Erdgas zunehmend an Bedeutung in der zukünftigen Energiewirtschaft gewinnen.Die Erschließung der Reserven von Erdgas blickt auf eine Entwicklung von mehreren Jahrzehntenzurück: Bereits 1914 wurde ein erstes Patent für Lagerung und Transport von verflüssigtemErdgas – „liquefied natural gas“ – (in englisch LNG) erteilt. Die heutige Transportkettefür Erdgas sieht hauptsächlich ein Abgabeterminal im Erzeugerland, Transportschiffefür die Weiterleitung und ein Empfangsterminal für den Abnehmer vor. Hauptabnehmer vonErdgas ist wegen seiner schwierigen geographischen Lage der Inselstaat Japan. Im europäischenRaum sind Erdgas–Empfangsterminals in Belgien, Frankreich, Spanien und Italien inBetrieb. Andere Beispiele von Empfangsterminals sind große LNG – Speicherbehälter inSüdafrika, Griechenland und Brunei [S05].1.2 ProblemstellungDie Lagerung von LNG – ebenso wie andere verflüssigte Gase – erfolgt in der Regel bei etwaatmosphärischem Druck. Solche verflüssigten Gase sind hierbei als siedende Flüssigkeiten zubetrachten. Der Siedepunkt von LNG liegt bei ca. –165°C, von Ethylen bei ca. –104°C, vonEthan bei ca. –89°C und von Stickstoff bei ca. –196°C. In den zurückliegenden Jahren ent

1 Einleitung 2wickelten sich vielfältige Ansätze verschiedener Sicherheitskonzepte von Speicherbehältern.Gegenüber einschaligen Behältern, welche vorwiegend in Japan aus Gründen der dort herrschendenErdbebensituation unterirdisch gebaut werden [I04], werden heute in Europa dieSpeicherbehälter in der Regel zweischalig ausgeführt, mit Sicherheitsaußenbehältern ausSpannbeton und selbsttragenden Innenbehältern aus tieftemperaturgeeignetem Stahl oderebenfalls aus Spannbeton besteht. Ein neuzeitliches Behälterkonzept mit vorbildlicher Dämmungsowohl für den Normalbetrieb als auch für den Leckagefall ist dem Bild 1.1 [S05] zuentnehmen.1 – Spannbetonaußenbehälter 3 – Wandisolierung 6 – Heizungsrohre2a – Ni-Stahl Innenbehälter 4 – Druckfeste Bodenisolierung 7 – Abgehängte Decke mit Isolierung2b – Spannbetoninnenbehälter 5 – Gasbetonring8 – GründungBild 1.1Speicherbehältersysteme mit selbsttragendem Innenbehälterund Spannbeton–Außenbehälter [S05]Für solche zweischalig ausgeführten Speicherbehälter stellt der kreiszylindrische Innenbehälterdas eigentliche Lagerbehältnis von Flüssiggas dar. Er wird vor seiner ersten Befüllung aufseine Betriebstemperatur langsam und planmäßig abgekühlt und anschließend während dergesamten Betriebsdauer den tiefkalten Temperaturen ausgesetzt. Die Temperaturverteilungüber den Wandquerschnitt ist im Betriebsfall homogen und stationär. Maßgeblich für die Dimensionierungdes Innenbehälters ist deswegen üblicherweise die hydrostatische Belastungaus dem Füllmedium LNG. Dagegen hat der Außenbehälter eine Reihe von Schutzfunktionengegen Leckage, Beschuß, Brand und Flugzeugabsturz usw. zu erfüllen und erhält im Normalbetriebkeine Lasten. Für seine Bemessung sind in der Regel außergewöhnliche Einwirkungenmaßgebend.

1 Einleitung 3Je nach Sicherheitsanspruch lässt sich das Anbringen einer Auskleidung aus Metallfolien –auch "Liner" genannt – auf der Innenseite der Zylinderwand (je nach Linerart) mittels Bolzensoder neu entwickelter Klebstoffe vornehmen. Die geforderte Dichtigkeitsgarantie gegen Diffusionvon LNG wird damit entweder durch den Außenbehälter oder durch den tieftemperaturbeständigenLiner sichergestellt.Außerdem verhindert die zwischen dem Innen- und Außenbehälter angeordnete Wärmeisolierungallseitig das Eindringen von Wärme [F03].1.3 Stand der ForschungDie Anwendung des Stahl- und Spannbetons zur Lagerung von LNG warf bei Entwurf undKonstruktion von Speicherbehältern eine Reihe von schwierigen und neuartigen materialtechnischenund konstruktiven Problemen auf. Im Vergleich zur Raumtemperatur verändern sichdie Materialeigenschaften von Beton, Bewehrung, Spannstahl und Wasser (im Beton) infolgeder Einwirkung tiefer Temperaturen. Dadurch wird eine temperaturbedingte physikalischeNichtlinearität der Werkstoffe, insbesondere beim Beton, verursacht. In dem Zusammenhangmusste zum einen die Verwendbarkeit von derartigen Baustoffen bei tiefkalten Temperaturengeklärt werden. Nach bisherigem Forschungsstand ist es jedoch bereits heute gestattet, grundsätzlichsolche Bauwerke mit herkömmlichen Baustoffen zu errichten. Zum anderen musstedas Trag- und Verformungsverhalten von Bauteilen und Bauwerk sowohl unter dauerndenTieftemperaturen im Betriebsfall als auch bei schockartigen Abkühlungen im Leckagefalluntersucht werden.In den letzten Jahrzehnten sind zahlreiche Arbeiten zu dieser Thematik entstanden. Die Fachliteraturzeigt, dass sich die überwiegende Zahl der Forschungsvorhaben [I03, K05, K07, O01,R03, S03, S07] bislang mit dem Verformungsverhalten bzw. der Rißbildung von lastbeanspruchtenStahlbetonstäben unter mittigem Zug und reiner Biegung im homogenenTT–Bereich beschäftigt hat. Die Querschnitte wurden unter Lastbeanspruchung und im stationärenTemperaturfeld untersucht. Solche Arbeiten orientierten sich an den Randbedingungenvon Innenbehältern im Betriebsfall. Die Arbeiten von Schäper [S05], Welsch [W01] undNguyen [N03] befaßten sich jeweils mit der Beanspruchung und Rißbildung örtlich kältegeschockter,äußerlich ungezwängter Stahlbetonplatten, dem zentrischen Zwang langsam fortschreitendabgekühlter Stahlbetonplattenstreifen und dem Biegezwang einseitig kaltgeschockterStahlbetonplattenstreifen. Die gleichzeitig dabei auftretenden Verformungen wurdenin den Arbeiten von Welsch und Nguyen nicht behandelt. Umfassende rechnerische Un

1 Einleitung 4tersuchungen zur Beanspruchung und Rißbildung von last- und zwangbeanspruchten Stahlbeton-und Spannbetonstäben wurden in der Arbeit von Schnell [S07] durchgeführt. Die Arbeitvon Pusch u. Rostásy [P03] gilt als das systematische Forschungsergebnis in diesem Bereich.Basierend auf einem eindimensionalen Lamellenmodell mit Bernoulli–Hypothese habendie beiden Forscher relevante Beanspruchungskombination von Belastung, Zwangbeanspruchungund Vorspannung nach in [M01] beschriebenen theoretischen Analysen ansatzweiseerforscht.1.4 Analyse bislang vorliegender ForschungsergebnisseDie o. g. Arbeiten hatten das Ziel, die Veränderung von Beanspruchung, Verformung undRißbildung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen in zwei unterschiedlichen Beanspruchungsartenbei tiefer Temperatur zu untersuchen. Zum einen wurden lastbeanspruchte Bauteilebei homogenem Tieftemperaturfeld behandelt – diese Beanspruchung entspricht demBetriebfall des mit LNG gefüllten Innenbehälters. Zum anderen wurden Bauteile untersucht,die infolge Temperaturgradienten bzw. einseitigen Kälteschocks nur thermisch beanspruchtwerden – dies entspricht einem großflächigen, innenseitigen Kälteschock des Außenbehältersals Folge eines Störfalls (Leckage) des Innenbehälters. Es verbleiben jedoch Fragestellungen,welche bislang noch nicht zufriedenstellend gelöst wurden. Diese Probleme sind im wesentlichen:• Bei Störfällen mit Leckagen des Innenbehälters wird der stählerne Innenbehälter reißverschlußartigaufgerissen und es trifft unmittelbar eine Strahlkraft von LNG auf denAußenbehälter. Der Außenbehälter wird großflächig schockartig abgekühlt und zugleichquasi–statisch beansprucht. In dem Zusammenhang wird der Außenbehälternicht nur einen instationären Temperaturzwang sondern auch eine hydrostatische Beanspruchungdurch das Füllmedium LNG erleiden.• Der Innenbehälter eines LNG–Spannbetonbehälter wird vor der ersten Befüllung aufseine Betriebtemperatur –162 °C geregelt abgekühlt. Die Temperaturverteilung überden Wandquerschnitt ist im Betriebfall homogen. Aus betrieblichen Gründen und inStörfällen kann die vollständige Entleerung des Innenbehälters notwendig werden, dereine erneute Befüllung folgt. Es liegt dann eine temperaturbedingt zyklische Beanspruchungdes LNG–Behälters vor. Damit stellt sich die Frage, ob zyklischer Temperaturwechselzu einer Beeinträchtigung der Stahl- und Spannbetonstruktur bzw. Behälterkonstruktionführen kann.

1 Einleitung 5Die Literaturstudie verdeutlicht, dass ein allgemeingültiges 3D–Berechnungsverfahren zurBehandlung der Stahl- und Spannbetonstruktur unter beliebig kombinierten Beanspruchungenaus äußerer Last und instationärer Temperatureinwirkung mit und ohne Zwangbeanspruchungim TT–Bereich zur Zeit noch nicht existiert. Insbesondere fehlt die Klärung der Fragen desmehraxialen Verhaltens von Stahl- und Spannbetonbehälter unter Berücksichtigung der möglicheninstationären Temperaturentwicklung (nicht nur im Störfall, sondern auch im zyklischenBefüllungs- und Entleerungsvorgang) und der möglichen statischen Belastungs- undLagerungsbedingung im TT–Bereich.Der entwerfende Ingenieur benötigt zur Berechnung von LNG–Behältern nicht nur realistischeSteifigkeitswerte (M−κ−Linien und N–ε–Linien) von Bauteilen und zur Beurteilung derLinerintegrität zutreffende Ansätze für die Bestimmung der Rissbildung, sondern auch dieVorausbestimmung der Tragfähigkeit und Verformung bei mehraxialen Beanspruchungen.Die Antworten auf diese Fragestellungen werden dann zu umfassenden Planungen führen undeinen weiteren Beitrag zur wirtschaftlichen Bauausführung und gleichzeitig zur Vollständigkeitder Bemessung von LNG–Behältern im Betriebs- und Störfall darstellen.1.5 Zielsetzung der ArbeitDie vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, ein allgemeingültiges Berechnungsverfahren inder bewährten Finite–Elemente–Methode für die Berechnung der Stahl- und Spannbetonstrukturunter statischer (einschließlich mehraxialer) Belastung und zugleich gekoppelt mitinstationären thermischen Beanspruchungen zur Verfügung zu stellen. Daher ist es notwendig,ein modifiziertes FE–Programm im Rahmen implizierter Algorithmen zu entwickeln. Indem Programmsystem werden die thermischen und mechanischen Materialkennwerte temperaturbedingteingeführt und das mehraxiale Werkstoffverhalten von Stahl- und Spannbetonwirklichkeitsnah modelliert. Hierbei kann die zu betrachtende Stahl- und Spannbetonstrukturhinsichtlich ihrer möglichen Geometrie durch räumliche Diskretisierung abgebildet werden.Mit dem Programm wird zunächst die generelle Problematik des instationären Temperaturfeldesmit ihren thermischen Randbedingungen untersucht, damit sich die Temperatureinwirkungan die nachfolgende Strukturanalyse koppeln lässt. Daran anschließende Modellstudienzur Simulation des Luftspalts zwischen Liner und Zylinderwand sollen über die Anwendbarkeitder derzeit in der Diskussion befindlichen Näherungsverfahren Aufschluß geben.Die Zunahme der Zugfestigkeit und Bruchenergie von Beton dient als Kriterium für die Erfassungvon Rißbildung und Rißentwicklung von Beton unter instationär thermoschockartigen

1 Einleitung 6Beanspruchungen im TT–Bereich. Auf der Grundlage des Bruchmodells I der Bruchmechanikwird diese entfestigende Zugspannungs–Dehnungs–Linie in bezug auf Zugbruchenergie desBetons bei normaler Temperatur erweiternd im TT–Bereich vervollständigt.Im weiteren wird die instationäre thermische Strukturanalyse für den Verbundwerkstoff StahlundSpannbeton angesichts der temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearität lastschrittweiseiterativ durchgeführt. Hierzu wird das Werkstoffverhalten von Beton mit einemspeziellen 3D–Materialmodell modelliert, welches gemäß den thermodynamischen Energieprinzipienim Rahmen elastoplastischer Schädigung hinsichtlich allgemeiner dreidimensionalerBeanspruchungen konstitutiv entwickelt und in einer Subroutine realisiert wird.Als letzte Behandlung wird die Modifikation des "Äquivalentlastverfahrens" vorgenommen,so dass die Spannkräfte der Spannbetonstruktur und ihre Veränderungen infolge instationärerBetondeformation im TT–Bereich rechnerisch bestimmt werden können. Hierbei wird dieäquivalente Dehnung anstelle der äquivalenten Kraft als Eingabegröße im FE–Modelleingesetzt.In dem entwickelten Programmsystem wird die wirklichkeitsgerechte Formulierung desmehraxialen Tragverhaltens von LNG Stahl- und Spannbetonbehältern neben den thermischinstationären Vorgängen insbesondere auch unter Berücksichtigung der temperaturbedingtenphysikalischen Nichtlinearität realisiert. Darauf aufbauend können die Verformungen derStahl- und Spannbetonstruktur bestimmt und ihre Auswirkung auf das Tragvermögen ermitteltwerden, damit sich die Aussagen über die Grenzzustände der Tragfähigkeit und Gebrauchsfähigkeitder Stahl- und Spannbetonstruktur im TT–Bereich erarbeiten lassen. Aufgrundsolcher genaueren Untersuchungen besteht die Möglichkeit, wirtschaftlichere und auchwerkstoffgerechtere Lösungen anzubieten.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 72 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbetonim TT–Bereich2.1 AllgemeinesWährend die Modellierung von Stahl- und Spannbetonstrukturen unter thermischen und mechanischenBeanspruchungen in allen gängigen FE–Programmen mit vertretbarem Aufwanddurchgeführt werden kann, unterscheiden sich die Programme vor allem in Umfang und Qualitätder Materialmodelle. Zur wirklichkeitsnahen Modellbildung des nichtlinearen Werkstoffverhaltenseiner Stahl- und Spannbetonstruktur liegt im Rahmen der FE–Methode besonderesAugenmerk auf der Formulierung der temperaturbedingt nichtlinearen Stoffgesetze für alleKomponenten des Verbundwerkstoffes Stahl- und Spannbeton im TT–Bereich. Unter demSammelbegriff „Stoffgesetze“ sollen im folgenden all jene Eigenschaften verstanden werden,die zur Formulierung eines Materialmodells benötigt werden, also sowohl temperaturbedingtnichtlineare Festigkeits- und Verformungseigenschaften als auch mit Temperatur verbundeneAusdehnungseigenschaften.Zahlreiche experimentelle Forschungsarbeiten beschäftigten sich mit den Tieftemperatur-Eigenschaften von Beton, Bewehrung und Spannstahl. Es zeigt sich, dass sich bei tiefen Temperaturennahezu alle Materialeigenschaften temperaturabhängig wesentlich verändern. Indiesem Kapitel werden typische Materialeigenschaften von Beton für einaxiale, zweiaxialeoder dreiaxiale Spannungszustände im TT–Bereich gegenüber jenen mit normaler Temperaturerörtert. Ebenso wird die Spannungs–Dehnungs–Beziehung für Bewehrungsstahl angesprochen.Derartige Materialdaten sind Ausgangsbasis zur Formulierung der Stoffgesetze undderen Verifikation, welche der Entwicklung des eigenen 3D–Materialmodells und der entsprechendenkonstitutiven Umsetzung zugrunde gelegt werden.2.2 BetoneigenschaftenDer Werkstoff Beton weist im TT–Bereich charakteristische Materialeigenschaften mit physikalischerNichtlinearität bei statischen Beanspruchungen auf. Bei allseitigem Druck verhältsich Beton zunehmend duktil, bei allseitigem Zug dagegen ausgesprochen spröde. Zum anderennehmen seine Festigkeit, sein E–Modul sowie seine Stauchung mit abnehmender Temperaturzu, und die Spannungs–Dehnungs–Linien verlaufen immer gradliniger.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 8Nachfolgend werden die Gefriermechanismen beim Abkühlen von Zementstein (Beton) erörtert.Im Zusammenhang mit den Gefriervorgängen verändern sich die mechanischen Eigenschaftendes Betons im TT–Bereich erheblich.2.2.1 Gefriervorgänge beim Abkühlen von Zementstein und BetonZu den Gefriervorgängen beim Abkühlen von Zementstein und Beton sind in den letztenJahrzehnten zahlreiche Forschungsarbeiten entstanden so z. B. [S05, W01, W02].Bei abnehmenden Temperaturen ist es vor allem das in den Betonporen unterschiedlicherAbmessung vorhandene, zu hochfestem Eis gefrierende Wasser, welches die grundsätzlichenMaterialeigenschaften des Betons verändert. Aufgrund zahlreicher Versuchsergebnisse erwiessich im TT–Bereich der Feuchtegehalt des Betons als Hauptparameter für Beton, der die mechanischenEigenschaften des Betons stark beeinflußt. Die Porenstruktur eines Betons wirdgegenüber den dichten Zuschlägen von dem hochporösen Zementstein bestimmt. Mit abnehmendenPorenabmessungen kann zwischen Verdichtungsporen, Kapillarporen und Gelporenunterschieden werden. Das Wasser in den Verdichtungsporen ist adsorptiv schwach mit derZementsteinmatrix verbunden und hat sich intensiv an dem Massetransport zwischen Zementsteinund Umgebung beteiligt, wohingegen das Kapillarwasser adsorptiv stark gebunden istund nur langsam bei Lagerung in einer Umgebung mit niedriger relativer Feuchtigkeit verdampft.Die Feuchteverteilung innerhalb der Betonstruktur wird wesentlich durch den Feuchtetransportzwischen Zementstein und Umgebung bestimmt. Dieser Feuchtetransport in demporösen Baustoff Zementstein findet als integraler Prozeß einschließlich Diffusion, Strömung,Kapillarleitung und Effusion usw. statt [K02]. Seine Intensität wird stark durch die Umgebungsbedingungender Bauteile, charakterisiert durch die Parameter Lufttemperatur und relativeLuftfeuchtigkeit beeinflusst.Neben der Phasenumwandlung von Wasser in Eis bei 0 °C unter Atmosphärendruck und einerdamit verbundenen Volumenzunahme um 9,1% können die wesentlichen Erkenntnisse wiefolgt zusammengefasst werden:Der Gefrierpunkt des Porenwassers sinkt wegen des Kapillareffekts mit abnehmenden Porenradien.Die im Porenwasser gelösten Substanzen führen gleichzeitig auch zu einer Gefrierpunkterniedrigung.Solche dynamischen Mechanismen steuern die Gefriervorgänge beim Abkühlenvon Zementstein und Beton in einem relativ breiten TT–Bereich. Bei abnehmendenTemperaturen zeigen sich verschiedene Modifikationen. Wischers u. Dahms [W04] unterscheidenEis I im Temperaturbereich von 0 °C bis –115 °C mit hexagonaler, Eis II im Temperaturbereichvon –115 °C bis –155 °C mit orthogonaler und Eis III im Temperaturbereich

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 9unter –155 °C mit tetragonaler Kristallstruktur. Die Phasenumwandlung von Wasser in Eisund die unterschiedlichen Modifikationen von Eis haben die Veränderungen der thermischenund mechanischen Eigenschaften von Beton zur Folge.Den Gefiervorgang und seine Auswirkung auf die mechanischen Eigenschaften von Betonunterteilen Wiedemann [W02] und Schäper [S05] wie folgt:1. 0 °C > T > -20 °CDas Eis bildet sich zunächst in den größeren Poren. Im Temperaturbereich von –4 °Cbis –16 °C steigt die Druckfestigkeit des Eises Typ I von rd. 2 auf 6 N/mm². Das neugebildete Eis als zusätzliches Festkörperskelett ist in der Lage, Kräfte zu übernehmenund Mikrorisse zu verhindern.2. -20 °C > T > -60 °CDas Eis füllt die größeren Poren vollständig aus und gefriert in den dazwischen liegendenkleineren Poren. Transportphänomene werden zunehmend unterbunden; ein hydraulischerDruck baut sich auf. Die hieraus entstehende Sprengwirkung infolge derPhasenumwandlung kann die Mikrostruktur des Betons insbesondere bei zyklischenTemperaturwechseln schädigen. Nach Angaben von Yamane et al [Y01] steigt dieDruckfestigkeit des Eises bis –14 °C auf 14 N/mm² und bleibt bis –70 °C etwa konstant.3. -60 °C > T > -90 °CIn diesem Temperaturbereich verringert sich das Volumen des Eises stärker als das derZementsteinmatrix. Deswegen füllt das Eis den Porenraum nicht ganz aus und dieSprengwirkung der Eisbildung baut sich dementsprechend ab. Außerdem ist die Temperaturdehnungdes Zuschlags kleiner als die der Zementsteinmatrix, als Folge baut sichzusätzlich eine rißhemmende Vorspannung in der Kontaktzone zwischen Zuschlag undMatrix auf.4. -90 °C > T > -170 °CDas Schrumpfen des Eises gegenüber der Zementsteinmatrix nimmt weiter zu, es kannzu Ablösungen des Eises von der Porenwand kommen, wohingegen der Verbund zwischenMatrix und Zuschlag wegen der „Vorspannungs“ – Effekte weiter verstärkt wird.2.2.2 Druckfestigkeit von Beton im TT–BereichDie Druckfestigkeit von normal gelagertem Beton hängt wesentlich von Mischungsverhältnisund Betonalter ab. Eine umfassende Literaturauswertung zum Festigkeitsverhalten von Betonenim TT–Bereich nahmen Brown u. Bamforth [B07] sowie Welsch [W01] vor. Sie zeigen,

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 10daß der erzielbare absolute Festigkeitszuwachs lediglich von der abnehmenden Temperaturund dem Feuchtegehalt des Betons abhängig ist. Bild 2.1 zeigt eine zusammenfassende Darstellungzahlreicher Versuchsergebnisse in bezug auf den Druckfestigkeitszuwachs in Abhängigkeitvon abnehmender Temperatur und Feuchtegehalt nach [B07].Bild 2.1Druckfestigkeitszuwachsvon Betonim TT–Bereichnach [B07]Zusätzlich ist der von Goto [G02] vorgeschlagenen Näherungsansatz wiedergegeben:⎧⎡12 ⎤ ⎫⎪ ( ) ⎪⎨⎢12 − T + 180 ⎥ * Um∆f c,T= ⎣ 2700 ⎦ ⎬ für⎪⎩ 10,7*U ⎪m ⎭⎧ −120°C < T ≤ 20°C ⎫⎨⎬⎩−196°C < T ≤ 120°C⎭(2.1)mit:∆ f c, TU m– Zuwachs der Druckfestigkeit in N/mm²– Mittlerer Betonfeuchtegehalt in Gew.%Die Darstellung der Untersuchungen von Klingsch [K05] zeigt in Bild 2.2 die gleiche Tendenzdes erzielbaren Festigkeitszuwachses des Betons mit abnehmender Temperatur.400Druckfestigkeitsveränderung [%]35030025020015010050quarzitischer BetonW/Z=0,46Feuchtegehalt100%50%00-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.2 TT–Druckfestigkeit von Beton nach Klingsch [K05](Feuchtigkeit von wassergesättigem Beton = 100%)

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 11Nach Angaben in [S06] lässt sich der Zuwachs der Zylinderdruckfestigkeit des Betons imTT–Bereich formulieren:mit:fc,Tfc,02⎡ ⎛ T + 170 ⎞ ⎤fc,T= fc,0+ 12Um ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥⎢⎣⎝ 190 ⎠ ⎥⎦(2.2)– Temperaturabhängige Zylinderdruckfestigkeit von Beton in N/mm²– Zylinderdruckfestigkeit von Beton bei 20 °C in N/mm²In der vorliegenden Arbeit wird der Ansatz (2.1), dargestellt in Bild 2.3, für die rechnerischeFormulierung des Druckfestigkeitszuwachses verwendet.Zuwachs der Druckfestigkeit [N/mm²]908070605040302010Feuchtegehalt7,5%5,0%2,5%0-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.3Rechenwerte der TT–Druckfestigkeit von Beton2.2.3 Spannungs–Dehnungslinie unter einaxialer DruckbeanspruchungDer Werkstoff Beton weist folgende physikalische Nichtlinearität bei kurzzeitigen statischenund dynamischen Beanspruchungen im Normaltemperaturbereich auf:• Das Druckversagen• Die Nichtlinearität der σ – ε –Linie• Die Festigkeitssteigerung durch mehraxialen Druck im Rahmen einesmehraxialen StoffgesetzesIn Bild 2.4 sind die einaxialen σ – ε –Linien von Beton unterschiedlicher Festigkeit für denDruckbereich dargestellt [D01]. Demnach zeigt Beton im Bereich geringer Beanspruchungenbis zu etwa 30 – 40% der Festigkeit nahezu ein lineares Verhalten. Ab hier zeichnet sich eineVerfestigung bzw. eine anwachsende duktile Eigenschaft bis zu etwa 90 % der Druckfestig-

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 12keit ab. Über diesen Wert hinaus nimmt die Nichtlinearität sehr stark bis zum Erreichen dermaximalen Betondruckspannung zu. Dementsprechend ist das Betonverhalten bei höherenAusnutzungsgraden stark nichtlinear ausgeprägt. Nach dem Überschreiten der Bruchspannungzeigt sich eine von der Betongüte stark abhängige Entfestigung. Je größer die Druckfestigkeitdes Betons ist, desto steiler ist der dazugehörige Festigkeitsabfall. Ein derartiger Spannungsabfalltritt bei dreiaxialen Druckspannungszuständen infolge Umschnürungseffekt nicht auf.Wie Bild 2.5 [D02] zu entnehmen ist, steigt die Festigkeit mit Querdruck erheblich an und dieBruchdehnung nimmt ebenfalls zu.Bild 2.4 Spannungs–Dehnungs–Linien von Betonunter einaxialer Druckbeanspruchung [D01]Bild 2.5 Spannungs–Dehnungs–Linien von Betonunter dreiaxialer Druckbeanspruchung [D02]Bild 2.6 Beton unter einaxialer zyklischer Druckbeanspruchung [S10]Außerdem verhält sich die σ–ε–Linie bei Ent- und Wiederbelastung des Betons gegenüberkurzzeitigen statischen und dynamischen Beanspruchungen nicht nur nichtlinear, sondern esbilden sich Hystereseschleifen [S10] bei mehrfachen Wiederbelastungen, wie dies in Bild 2.6gezeigt wird.Für die analytische Formulierung der obigen einaxialen σ–ε–Linie im Druckbereichkönnen verschiedene Ansätze herangezogen werden. In Bild 2.7 sind zwei oft benutzteAnsätze dargestellt. Die dazugehörigen analytischen Formulierungen sind im folgenden wiedergegeben.Die Saenz–Kurve [S01] wird durch Gleichung (2.3) beschrieben und zur Abbildungder Verfestigung der σ–ε–Linie benutzt. Die Entfestigung wird mit einer Gerade verein-

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 13facht. Dahingegen hat Sargins Ansatz [S02] mit der Gleichung (2.4) sowohl die Verfestigungals auch die Entfestigung approximiert.• Für die Saenz–Kurve [S01]:mit:EBild 2.7 Approximierte einaxiale Druckspannungs–Dehnungs–Linienim Druckbereich [S01, S02]fECc,0c,s= und ≥ 2εc1Ec,s• Für die Sargin–Kurve [S02]:EEEc,0⋅εσ =(2.3)2⎛ Ec,0⎞ ε ⎛ ε ⎞1+⎜ − 2⎟⋅ +E⎜⎟⎝ c,s ⎠ εc1 ⎝ εc1 ⎠c,0c,0c,sc12c,s c1c1σ =2 C(2.4)⎛ E1+⎜⎝ E⋅εε+ (D −1)⋅ (⎞ ε− 2⎟⋅⎠ εεε)⎛ ε ⎞+ D ⋅⎜⎟⎝ εc1⎠⋅ fEc,0mit: = A ≥ 4 / 3Ec,s⎧⎨⎩( 1−A / 2)2< D ≤ A ⋅(A− 2) ⎫⎬0 ≤ D ≤ 1 ⎭für⎧A≤ 2⎫⎨ ⎬⎩2≥ A⎭Bild 2.8 Druckspannungs–Dehnungs–Linie von Beton fürdie Schnittgrößenermittlung in EC2 Teil 1Eine in EC2 Teil 1 gemäß CEB–Model–Code[C02] für die nichtlineareBerechnung zulässige σ–ε–Linie fürden Beton ist dem Bild 2.8 zu entnehmen.Demnach kann der Betonunter kurzzeitiger Beanspruchungohne Langzeitauswirkungen bemessenwerden. Der Verlauf der Arbeitslinieist mit Gl. (2.5) charakterisiert:

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 14Ec,0 ε⋅Ec,sεc1σ =⎛ Ec,01+⎜⎝ Ec,s⎛ ε−⎜⎝ εc1⎞− 2⎟⋅⎠⎞⎟⎠εε2c1⋅fC(2.5)Die drei Ausdrücke eignen sich gleichermaßen zur analytischen Formulierung der σ–ε–Linievon Beton im Druckbereich. Die Form der Kurve kann durch in Grenzen frei wählbare ParameterE c,0 , ε c1 und f c usw. gesteuert werden. Welchem Verfahren letztlich der Vorzug gegebenwird, hängt oftmals einzig und allein von dem gestellten Problem und dem damit verbundenenProgrammieraufwand ab.140-170 °C120Spannung [N/mm²]1008060402020 °C-80 °Cversiegelt gelagerter Beton B 45E c,0 : 28,2 kN/mm²; U m : 5,51%00 1 2 3 4 5Dehnug [ 0 / 00 ]Bild 2.9 Druckspannungs–Dehnungs–Linien [P03]Mit abnehmender Temperatur werden σ–ε–Linien von Beton im Druckbereich zunehmendgeradlinig. Die duktile Eigenschaft des Betons, meßbar als Arbeitsvermögen im Spannungs–Dehnungsverhalten, ist damit geringer gegenüber Beton im normalen Temperaturbereich.Basierend auf den Versuchsergebnissen [P03] lassen sich die σ–ε–Linien für Beton imTT– Bereich wie folgt analytisch ansetzen:T + 170mit: 1≤ n =1+ 190σfcc,T≤ 2ε= 1−(1 −εcc,T)n(2.6)In Bild 2.9 werden solche σ–ε–Linien auszugsweise für versiegelt gelagerten B45 dargestellt.Dabei kann die Formulierung der Druckstauchung in Anlehnung an die Beschreibungen [P05,S06], wie in Bild 2.10 dargestellt, in zwei Temperaturbereichen erfolgen:

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 152⎧ ⎡ ⎛ T + 80 ⎞ ⎤ U ⎫m⎪εc1+⎥ ⎪⎢1− ⎜ ⎟ε = ⎨ ⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎥⎦5c 1,T⎬ für⎪ T + 170 Um ⎪⎪εc1+⎩ 90 5 ⎪⎭4⎧ − 80 ° C ≤ T ≤ 20°C ⎫ (2.7)⎨⎬⎩−170°C ≤ T ≤ −80°C⎭Druckstauchung [ 0 / 00 ]3,532,521,51Feuchtegehalt7,5%5,0%2,5%0,50Druckstauchung bei Normaltemperatur: ε c1 =2,3 0 / 00-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.10 Druckstauchung von Beton im TT–Bereich [P05, S06]Abhängig vom mittleren Feuchtegehalt des Betons wurde der E–Modul von Beton imTT–Bereich in der Arbeit [R03] mit folgenden Ansatz analytisch formuliert:Ec,T= Ec,0+ 4Um⎡ T + 170⎤⎢1− ⎥⎣ 190 ⎦(2.8)E-Modul [N/mm²]8000070000600005000040000Vorlagerung feuchtVorlagerung bei 50% rel. Luftfeuchtigkeitnach Vorlagerung getrocknet bei 105 °C3000020000-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.11 TT–Elastizitätsmodul unterschiedlich feuchter Beton [W02]

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 16In Bild 2.11 sind die Zunahmen des E–Moduls von Beton mit abnehmender Temperatur nachWelsch [W01] zusammengestellt.35000Zunahme des E-Moduls [N/mm²]30000250002000015000100005000Feuchtegehalt7,5%5,0%2,5%0-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.12 Zuwachs des E–Moduls im TT–Bereich nach dem Ansatz (2.9)Basierend auf Bild 2.11 und in Anlehnung an den Ansatz (2.8) wird der Zuwachs desE–Moduls von Beton im TT–Bereich, dargestellt in Bild 2.12, in der vorliegenden Arbeitanalytisch formuliert zu:⎡ T + 170 n ⎤Ec ,T= Ec,0+ 4Um ⎢1− ( )(2.9)⎥⎣ 190 ⎦T + 170mit: 1≤ n =1+ ≤ 2 1902.2.4 Spannungs–Dehnungslinie unter einaxialer Zugbeanspruchung2.2.4.1 Werkstoffverhalten von Beton bei einaxialer ZugbeanspruchungIn Bild 2.13 ist die σ–ε–Linie für Beton im Zugbereich dargestellt [C07]. Es ist zu erkennen,daß der ansteigende Ast weitgehend einem linearen Verlauf entspricht. Nach Erreichen derZugfestigkeit versagt der Beton nicht spröde, sondern folgt einem abfallenden Ast. DiesesVerhalten wird als „Strain Softening“ bzw. Entfestigung bezeichnet.Aufgrund der experimentellen Ermittlung wird die Entfestigung häufig nicht als σ–ε–Linie,sondern als σ–δ–Beziehung definiert, wobei δ die Rissöffnung der Prozesszone bedeutet. Fürdie σ–δ–Beziehung existieren für anwachsende Verformungen eine große Anzahl von Vorschlägen.Sie lassen sich vereinfacht in lineare, bilineare, multilineare und exponentielleFunktionen einteilen.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 17Bild 2.13(a) Spannung–Dehnungs–Linievon Beton im ZugbereichBild 2.13(b) Mögliche Approximationvon Bild 2.13(a)In Bild 2.14 sind einige Vorschläge gegenübergestellt. Die entsprechenden analytischen Ansätzelassen sich im folgenden wiedergeben:• Gopalaratnam [G01]λ−κ⋅δσ ct= f ct⋅e(2.10)mit: λ = 1, 01κ ≈ 0,061µm−1• Cornelissen [C06]+⎡⎛⎢⎜⎛ δ ⎞σ⎢⎜⎜⎟ct= fct⋅ 1+C1⋅⎣⎝⎝ δc ⎠mit: C 1 =3 C 2 =6,93 δ = 160 mcµ3⎞⎟⋅e⎟⎠δ−C2⋅δc−δδc⋅3( 1−C )1⋅e−C2⎤⎥⎥⎦(2.11)• Duda [D02]ct2−( δ / δ ) ( b )( ) ea − δe/ δδ = σ ⋅ + σ ⋅σ (2.12)a,0b,0mit:δ ≈ 20 m ≈ 100 maµ2 ⋅31δbµ σa,o≈ fct σb,0≈ ⋅ fct3Bild 2.14 Vorschläge zur Spannungs–Rissbreite–Beziehung

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 18Tabelle 2.1 Bruchenergie G f [Nm/m²] nach CEB–Model–Code 90ZuschlagG f [Nm/m²]d max [mm] C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C808 40 50 65 70 85 95 105 11516 50 60 75 90 105 115 125 13532 60 80 95 115 130 145 160 175Die Fläche unterhalb der Kurve in Bild 2.13 bzw. 2.14 wird als Bruchenergie G f bezeichnet:Gf=∫ δx=0σ(x)⋅dx(2.13)Da sie weitgehend unabhängig von Probengröße oder Prüfmethode ist, kann die BruchenergieG f als Materialkonstante betrachtet werden. Im CEB–Model–Code 90 [C02] wird der Bruchenergiewertfür verschiedene Betonklassen in Abhängigkeit vom Größtkorndurchmesserdes Zuschlages in Tabelle 2.1 angegeben.Im Konzept der FE–Methode ist es jedoch für das Entfestigungsgesetz zweckmäßig, die Dehnungund nicht die Verformung als Variable zu benutzen. Die Rißöffnung muß daher in eineäquivalente Dehnung ε überführt werden, indem durch eine charakteristische Länge l Cdividiertwird:δε =(2.14)l CNach Angaben von Brameshuber [B06] ergibt sich näherungsweise die charakteristische Längel Cvon Beton zu:lEc,0C= Gf⋅(2.15)2fctAus den Gleichungen (2.14) und (2.15) folgt unmittelbar eine neue Beziehung2fctε =G ⋅Efc,0⋅δbzw.Gf⋅ Eδ =2fctc,0⋅ ε(2.16)Für einen vorgegebenen Verlauf der σ–δ–Beziehung lässt sich mit Hilfe von Gl. (2.16) dasEntfestigungsgesetz als σ–ε–Linie eindeutig erhalten. Dies weist darauf hin, daß bei der Formulierungdes Entfestigungsgesetzes die σ–ε–Linie über einen ähnlichen Verlauf verfügt wiedie σ–δ–Linie.2.2.4.2 Zuwachs der Zugfestigkeit von Beton im TT–BereichWegen der technischen Schwierigkeit bei der direkten Ermittlung der zentrischen Zugfestigkeitbeschränkten sich bislang die Untersuchungen im wesentlichen auf die Prüfung der

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 19Biegezugfestigkeit bzw. Spaltzugfestigkeit. Im TT–Bereich sind die Ergebnisse von Spaltzugversuchenam besten dokumentiert.Von einigen Autoren wird, wie im Normaltemperaturbereich üblich, eine Koppelung derSpaltzugfestigkeit an die Druckfestigkeit vorgeschlagen. Hohberg [H04] schlägt in Anlehnungan den Ansatz von Okada u. Iguro [O01] für die Spaltzugversuche vor, die Veränderungder Spaltzugfestigkeit im TT–Bereich durch zwei Regressionsgeraden anzunähern:f⎧0,049f= ⎨⎩0,008f+ 2,16⎫⎬+ 7,45⎭c,Tcst ,Tfürc,T⎧ + 2°C < T < 24°C ⎫⎨⎬⎩−156°C < T < −18°C⎭(2.17)In der Arbeit von Schäper [S05] wurde für die temperaturabhängige zentrische Zugfestigkeitdes Betons folgender Ansatz verwendet:fct,T⎧⎪= ⎨f⎪⎪⎩ct,0°0,21 fTC−200,21(f0,75(c)cube ,20°C( f − f )ct, −20°Cccube, −120°C)0,75ct,0°C⎫⎪⎬⎪⎪⎭⎧ 0°C < T < 20°C ⎫⎪⎪für ⎨ − 20°C < T < 0°C ⎬ (2.18)⎪⎪⎩−196°C < T < −20°C⎭Nach dem CEB–FIP–Model Code [C02] lässt sich die Spaltzugfestigkeit mit der Betondruckfestigkeitüber den folgenden Ansatz verknüpfen:cst,TT2 / 3c,Tf = c f(2.19)Nach Auswertung zahlreicher Versuchsergebnisse ergeben sich die folgenden Faktoren c Tund c m im TT–Bereich [P03, R03, S06]:c T = 0,30 ~ 0,56; c m = 0,43In Anlehnung an EC2 Teil I wird für das Verhältnis zentrischer Zugfestigkeit zu Spaltzugfestigkeitder Wert von f ct,T /f cst,T = 0,90 angenommen.2.2.4.3 Zuwachs der Bruchenergie von Beton im TT–BereichVorbemerkungenDie einaxiale σ–ε–Linie bei Zugbeanspruchung, insbesondere das Entfestigungsgesetz, istferner das Kriterium für die Erfassung von Rissbildung und Rissentwicklung im TT–Bereich.Aus diesem Grund wird ein Ansatz zur analytischen Formulierung des Entfestigungsgesetzesin bezug auf die Bruchenergie von Beton im TT–Bereich zwingend erforderlich. Die Literaturstudiezeigt, dass die Frage nach einer solchen σ–ε–Linie von Beton im TT–Bereich nochoffen ist. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird ein theoretischer Ansatz für die Berechnungdes Zuwachses der Bruchenergie von Beton im TT–Bereich entwickelt. Darauf aufbau-

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 20end kann die einaxiale σ–ε–Linie bei Zugbeanspruchung im TT–Bereich, insbesondere dasEntfestigungsgesetz, analytisch erfasst werden.Grundlage der BruchmechanikDer physikalische Mechanismus einer Rißbildung besteht darin, daß infolge äußerer und/oderinnerer mechanischer Spannungen die atomaren bzw. molekularen Bindungen des Werkstoffszerstört werden und dementsprechend eine freie Oberfläche bzw. Werkstofftrennung im makroskopischenBereich entsteht. Dadurchverliert der Werkstoff seine mechanischeTragfähigkeit. Bild 2.15 stellt die theoretischeatomare Spannungs–Dehnungs–Linie eines Werkstoffs nach [B05] dar.Bild 2.15 Atomare Spannungs–Dehnungs–Linie [B05]Für jeden Werkstoff gibt es eine von den Bindungskräften abhängige theoretische Bruchspannungσ max , die unter Annahme der Wirkung einer gleichmäßigen Zugbeanspruchung in einemKristallgitter bestimmt werden kann [B05]:E ⋅λσmax=(2.20)2π⋅dDabei stellt der Abstand λ/2 die kleinste Verschiebung dar, bei der die Bindungskraft nullbeträgt. Die beim Zerreißen der Bindung zwischen den Atomen zu leistende Arbeit (schraffierterBereich in Bild 2.15) beträgt [B5]:λ / 2∫ σx=02πxλσmaxmaxsin dx = = 2Dabei wird die Materialgröße γ0als spezifische Oberflächenenergie bezeichnet.πλγ0(2.21)Das bekannte Rissmodell unter der Annahme des elastischen Bruches wurde von Griffith imJahr 1924 [G03] in Verbindung mit seiner energetischen Bruchhypothese eingeführt. DasModell wurde später von Inglis [I01] weiter ausgearbeitet, indem die Berechnung des Spannungsfeldesin einer Scheibe mit der vorgegebenen Rissbreite vorgenommen wurde. OhneBerücksichtigung anderer energetischer Dissipation führte das Modell zu dem bekanntenGriffith–Kriterium für die Rissentwicklung:⎪⎧σcr⎨⎪⎩ σ ⋅⋅ πaπacr⎪⎫⎬ =⎪⎭2Eγ0= KIC(2.22)

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 21Der kritische Wert K I C wird als Bruch- oder Rißzähigkeit bezeichnet. Es ist eine Materialgröße.Das Kriterium weist darauf hin, dass ein Material dann abreißt, wenn die einwirkendeSpannung die kritische Spannung σ cr oder ein vorhandener Riss im Bauteil die kritischeRisslänge a cr überschreitet.Ein anderer Zugang zu den Bruchkriterien der elastischen Bruchmechanik kann durch dieModifikation der im Griffith–Modell benutzten Energiebilanz bei der Rissentwicklung erreichtwerden. Zu ihrer Ableitung kann von einem durch die Kraft F um den Betrag ∆l elastischverlängerten Bauteil mit der Einheitsdicke ausgegangen werden. Für das gerisseneBauteil, auf das die Kraft F wirkt und in dem sich eine Lastangriffspunktverschiebung ∆l einstellt,bewirkt gleichzeitig die Zugspannung eine Vergrößerung des Innenrisses der Länge 2aum den Betrag d(2a). In dem Fall ergibt sich der Wert von Rissausbreitungskraft bzw. EnergiefreisetzungsrateG unabhängig von der Lagerungsart des Bauteils zu:2dWeF dCG = =d(2a) 2 d(2a)(2.23)wobei C = f(l 0 , E, 2a) die mit zunehmender Risslänge anwachsende reziproke Federkonstantedes Systems ist, auch als Nachgiebigkeit bezeichnet. Der kritische Wert G c der Energiefreisetzungsrateheißt Rissausbreitungsenergie und ist ebenso eine Materialgröße.Sowohl Rissausbreitungsenergie G c als auch Rißzähigkeit K c sind als Parameter des elastischenSpannungsfeldes an der Rißspitze verwendbar. Zwischen diesen beiden besteht die folgendeBeziehung [B05]:⎧ 1 2 ⎫⎪ KIC⎪E⎧⎪GIC= ⎨ ⎬ für ⎨⎪1+ υ 2 ⎪ ⎪⎪ KIC⎪⎩⎩ E ⎭den ebenen Spannungszustandden ebenen Dehnungszustand(2.24)Theoretischer Ansatz der Bruchenergie von Beton im TT – BereichDas bisher angenommene elastische Verhalten des Werkstoffs ist eine idealisierte Modellvorstellung.Auch bei makroskopisch sprödem Bruchverhalten führt die Spannungsüberhöhungvor der Rissspitze zu plastischer Verformung bzw. zur Ausbildung einer plastischen Zone.Während der Rissentwicklung im quasispröden Werkstoff Beton wird für den energiedissipativenProzess zwischen plastischer Verformung und neu gebildeter Bruchoberfläche unterschieden.Die Dissipation von beiden Energieformen wird beim Zugversuch an Beton mit derMaterialgröße Bruchenergie G f zusammengefasst.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 22Gemäß der Definitionen der Bruchenergie G f und Rissausbreitungsenergie G IC wird angenommen,dass die beiden Materialgrößen der proportionalen Beziehung folgen:G f = k g G I C (2.25)wobei k g eine temperaturabhängige Konstante darstellt.Mit Hilfe der Gl. (2.22), (2.24) und (2.25) ergibt sich die neue Formulierung der BruchenergieG f für Beton:2kgEλ= bzw.2πdGf2Gf2kgdσ= 2Emax(2.26)Zur Bestimmung der Bruchenergie von Beton im TT–Bereich – gekennzeichnet mit G f,T –lässt sich eine Modifikation der Gleichung (2.26) im Zusammenhang zwischen mikroskopischerStruktur und makroskopisch mechanischer Eigenschaft unter den folgenden Annahmenvornehmen:• Beton gilt als homogener und kontinuierlicher Werkstoff• Das Verhältnis zwischen der Probelänge und dem Abstand der Gitterebenen bleibtunveränderlich im TT–Bereich.• Die theoretische Bruchspannung σmaxund die Zugfestigkeit des Betons sind einanderproportional mit bestimmtem Verhältnis im TT–Bereich.Demgemäß folgen die Beziehungen:undmit:kσ= const.; ÄT = T – T ref( 1− α ⋅∆T)dT= d+ 20°C T(2.27)σmax, T= k σfct, T(2.28)Nach Einführung der Gl. (2.27) und (2.28) in (2.26) ergibt sich die zu ermittelnde BruchenergieG im TT–Bereich zu:f , TGf ,T= 2kgkd( 1− α ⋅ ∆T)f22 + 20°C T ct,Tσ⋅Ec,T(2.29)Lässt sich die BruchenergieGf , Tauf ihren Wert bei Normaltemperatur Gf , 20°C+beziehen,dann ergibt sich die folgende Formulierung:wobeiG und ( T)f , TGf ,Tf (T) ⋅Gf , + 20°C= (2.30)f nach folgenden Gleichungen festgelegt werden können:fG2d+20°Cfct,+ 20°C= (2.31)E2f , + 20°C2kgkσ⋅( T)c, + 20°C( 1− α ⋅∆T)( f / f )Tc,Tct,Tc, + 20°Cct, + 20°C2= (2.32)E / E

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 2332,8Zunahme der Bruchenergie [10 -2 %]2,62,42,221,81,61,41,2C 35/45 6%C 35/45 5%C 25/30 5%C 35/45 4%1-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 2.16 Bruchenergie von Beton im TT – Bereich nach (2.32)9Zugspannung [N/mm²]8765432Beton C 35/45Feuchtegehalt 5%bei +20 °Cbei -80 °Cbei -170 °C100 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4Dehnung [o/oo]Bild 2.17 Zugspannungs–Dehnungs–Linien von Beton im TT–BereichNach Gl. (2.17) ergibt sich die charakteristische LängelC,T(1 − αT⋅ ∆T)lc, + 20°Cl von Beton im TT–Bereich zu:c, T= (2.33a)Aus der Gl. (2.33) ergibt sich eine näherungsweise unveränderliche charakteristische Längel c,T von Beton im TT–Bereich.l c,T l c, +20°C (2.33b)In Bild 2.16 wird die Zunahme der Bruchenergie G f,T von Betons im TT–Bereich in Abhängigkeitvon für unterschiedliche Parameter von Festigkeitsklasse und Feuchtegehalt des Betonsdargestellt.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 24In Bild 2.17 werden die aufgrund der in obigen Analysen gewonnenen vollständigen theoretischenσ−δ–Linien auszugsweise für Beton C35/45 mit einem Feuchtegehalt von 5% schematischdargestellt. Dabei wird der übliche vereinfachte Ansatz einer Graden für die Entfestigungsgesetzegewählt und im Vergleich zu Bild 2.13 (b) ergeben sich die folgenden Definitionen:E = E ;ct,Tc,Tfct,Tεct,T= ;Ect,TfGct,T f ,Tεct,lim, T= + 2 (2.34)Ect,Tfct2.2.5 Mehraxiales Werkstoffverhalten von BetonZum Problem des mehraxialen Betonverhaltens liegt bereits eine kaum mehr überschaubareAnzahl von Veröffentlichungen vor. Andererseits existiert bislang keine Angabe über solcheMaterialeigenschaften im TT–Bereich.Die Anwendung der FE–Methode zur wirklichkeitsnahen Modellierung des Betonverhaltensgeschieht im allgemeinen jedoch mit Hilfe der Kontinuummechanik. Hierzu ist die Kenntnisder Spannungs–Verzerrungszusammenhänge unter zwei- und dreidimensionalen Beanspruchungenfür Beton erforderlich.In Bild 2.18 ist die von Kupfer/Hilsdorf/Rüsch[K12] angegebene,experimentell ermittelte Einhüllendeder auf die einaxiale Druckfestigkeitbezogenen zweiaxialen Festigkeit desBetons dargestellt. Diese symmetrischeKurve ist nahezu unabhängig von Belastungspfad,d.h. von der Art, wie dieBruchspannung erreicht wird.Bild 2.18 Zweiaxiale Versagenskurvevon Kupfer/Hilsdorf/Rüsch [K12]Demnach können die Spannungskombinationen in zweiaxialen Druck, eine Kombination vonZug und Druck sowie zweiaxialen Zug eingeteilt werden, deren Spannungszustände den dreiZonen IV. Quadrant, II./III. Quadrant und I. Quadrant zugewiesen wurden.

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 25Bild 2.19(a) Spannungs–Dehnungs–Linie für zweiaxial belastetenBeton bei zweiaxialem Druck [K12]Bild 2.19(b) Spannungs–Dehnungs–Linie für zweiaxial belastetenBeton bei zweiaxialem Zug [K12]Bild 2.19 (c) Spannungs–Dehnungs–Linie für zweiaxial belastetenBeton bei gleichzeitigem Druck und Zug [K12]Die gleich große zweiaxiale Druckbelastung ( σ11= σ22) führt zu einer Steigerung der Festigkeitvon ca. 16% gegenüber der einaxialen Festigkeit. Bei einem Lastpfad mit σ11 = 2σ22ergibt sich die größte Festigkeitssteigerung mit ca. 25%. Wird der Beton unter einer zweiaxialenSpannungskombination von Druck und Zug beansprucht, ergibt sich eine Abminderung

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 26der aufnahmbaren Druckspannungen. Nach Angabe in [M03] erfolgt das Druckversagen fürLastpfade mit einem Belastungsverhältnisse σ 11 ≤ –12,9σ 22 , während sich für Verhältnisse wieσ 11 ≥ –9,7σ 22 Trennbrüche einstellen.Bild 2.19 zeigt die auf die einaxialen Beanspruchungen bezogenen Spannungs–Verzerrungsdiagrammefür verschiedene Spannungskombinationen. Der Verlauf solcher Versagenskurvenkann nach [K12] näherungsweise durch folgende Ausdrücke beschrieben werden, wobei derParameter a das Verhältnis σ 11 /σ 22 bezeichnet. Die zu einem Hauptspannungsverhältnis zugehörigenvorhandenen zweiaxialen Festigkeiten können dann als Funktion der einaxialenBetonfestigkeit mit dem Parameter a angegeben werden:• Für Druck–Druck Bereich ( ≤ ∧ σ 0)ff2c1c1+3,65a= f2(1 + a)= af2cσ :11022≤⎫⎪⎬⎪⎭• Für Druck–Zug Bereich ( > ∧ σ 0)ff2 c1 t==cσ :11022≤1 + 3 , 28 a2(1 + a )• Für Zug–Zug Bereich ( > ∧ σ 0)ff1t2t= f= fctctfctσ :⎪⎫⎬⎪⎭11022>fc≥0 , 65fc⎫⎪⎬⎪⎭(2.35a)(2.35b)(2.35c)In Bild 2.5 sind typische Spannungs–Verzerrungs–Linien von Beton unter dreiaxialer Belastungdargestellt. Ein Spannungsabfall wie bei einaxialen oder zweiaxialen Spannungszuständen(vgl. Bild 2.4 und 2.19), tritt aufgrund der Umschnürungswirkung bei dreiaxialer Druckspannungkaum oder gar nicht auf.Bild 2.20 Verhalten von Beton unter hydrostatischem Spannungszustand [K04]Bei reinen hydrostatischen Belastungen können experimentell extrem hohe Beanspruchungenerreicht werden, was Bild 2.20 zeigt. Danach ist deutlich zu erkennen, dass der hydrostatische

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 27Belastungsast nichtlinear ist, der Entlastungsast hingegen nahezu linear verläuft. Bei einemdreiaxialen Zugspannungszustand wird in der Regel von einem linearen Verhältnis zwischenSpannung und Dehnung ausgegangen. Experimente mit dreiaxialer Zugbeanspruchung fürNormaltemperatur liegen bislang kaum vor, im TT–Bereich sind keine Ergebnisse bekannt.2.2.6 Die Querdehnzahl von BetonDie Querdehnzahl von Beton variiert gewöhnlich bei Raumtemperatur unter einaxialen Beanspruchungenin einem Bereich von 0,15 bis 0,22. Der Wert bleibt nahezu konstant bis zu etwa80% der Druckfestigkeit. Danach wächst er bis auf einen Wert von ca. 0,40 an [C03]. Im TT –Bereich steigt die Querdehnzahl für wassergesättigten Beton nach Wiedemann [W02] um biszu 50%, nach Okada [O01] um bis zu 35% im Vergleich zu der bei Raumtemperatur an.2.2.7 Thermisches Dehnverhalten von Beton im TT–BereichDas thermische Dehnverhalten von Beton im TT–Bereich setzt sich aus dem überlagertenDehnverhalten des schrumpfenden Betons und des beim Gefrieren zunächst expandierendenBild 2.21 Einfluss des W/Z–Werts auf dasDehnverhalten von Beton [W02]Bild 2.22 Einfluss der Lagerungsbedingung aufdas Dehnverhalten von Beton [W02]Wassers zusammen. Diese komplexen Zusammenhänge wurden systematisch von Scheuermann[S06] und Wiedemann [W02] untersucht. Nach ihren Versuchsergebnissen sind nebendem Feuchtegehalt des Betons darum auch die Parameter signifikant, welche die Porenstruk-

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 28tur des Zementsteins beeinflussen, wie Zementart und W/Z–Wert. Der Einfluss der Abkühlungsgeschwindigkeitauf das Dehnverhalten des Betons wurde nur bei wassergesättigtenBetonen mit signifikanter Auswirkung festgestellt, so dass hieraus resultierende Änderungenim TT–Bereich auch bei Kälteschockbeanspruchungen außer acht bleiben können.In den Bildern 2.21 und 2.22 ist das thermische Dehnverhalten von Beton im TT–Bereichnach unterschiedlich dominierenden Parametern, nämlich Wasserzementwert, Feuchtegehaltdes Betons und Lagerungsbedingung nach [W02] gegenübergestellt.Für baupraktische Stahl- und Spannbetonkonstruktionen liegt der W/Z–Wert unterhalb 0,5.Dementsprechend weist ein Konstruktionsbeton, auch bei dickwandigen Bauten, einen niedrigerenFeuchtegehalt auf als ein wassergesättigter Beton. Aus dem Grund wird in der vorliegendenArbeit davon ausgegangen, dass Beton im TT–Bereich nicht expandiert. Für die numerischenBerechnungen in der vorliegenden Arbeit wird die in [S06] vorgeschlagene Formulierungder thermischen Dehnung von Beton im TT–Bereich, wie in Bild 2.23 dargestellt,angesetzt:ε = α (T − 20)(2.36)c,Tc,Tmit:( 0,088−ω/ 100)⎛ 273 + T ⎞−⎜ ⎟⎝ 6,55ω10⎠6αc,T=* 10 [°C -1 ]−10Bild 2.23 Thermische Dehnung von Beton im TT – Bereich nach (2.36)

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 292.3 Spann- und Bewehrungsstahl2.3.1 Festigkeits- und VerformungsverhaltenBild 2.24 Festigkeits- und Verformungsverhaltenvon Stahl im TT–Bereich [R05]Für die konstruktive Durchbildung von LNG–Behältern sind umfassende Kenntnisse des Verhaltensvon Spann- und Bewehrungsstahl im TT–Bereich erforderlich. Die mechanischen Eigenschaftenvon solchen Werkstoffensind aus zahlreichen Versuchen[E01, F01, R05] – wie in Bild 2.24dargestellt – bekannt. In der folgendenAusführung wird das Wesentlicheüber die analytischen Formulierungenzur Berechnung des Festigkeits-und Verformungsverhaltensvon Spann- und Bewehrungsstahlim TT–Bereich zusammengestellt,welches als Grundlage für die numerischenBerechnungen im Rahmender vorliegenden Arbeit dient.• Elastizitätsmodul E s,TDer Zuwachs des Elastizitätsmoduls von Spann- und Bewehrungsstahl erfolgt nahezu linearund beträgt zwischen 3 und 10% im TT–Bereich. Der E–Modul im TT–Bereich kann mit demfolgenden Berechnungsansatz beschrieben werden [P03, S06]:Es,TEs,0 T + 170= Es,0+ (1 − )(2.37)10 190• Streckgrenze f yDie Steigerungen der Streckgrenze von Spann- und Bewehrungsstahl im TT–Bereich lassensich nach unterschiedlichen Ansätzen für Bewehrungsstahl und Spannstahl beschreiben [S06,R05]:Bewehrungsstahl: Spannstahl:fy,TT + 170= fy,0+ ∆ff(1 − ) (2.38)190fy,TT + 170= fy,0+ ∆ff(1 − ) (2.39)190Die absolute Steigerung beträgt bei Bewehrungsstahl zwischen 300 bis 500 N/mm² und beiSpannstahl zwischen 150 bis 300 N/mm²

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 302.3.2 TemperaturdehnverhaltenDie Temperaturdehnzahl von Spann- und Bewehrungsstahl nimmt im TT–Bereich ab, jedochnicht in dem Maße, wie die von feuchtem Beton. Nichtlegierter Stahl weist eine einheitlicheund stetige Abnahme der Temperaturdehnzahl von 1,15*10 -5 1/°C bei Raumtemperatur bis0,9*10 -5 1/°C bei ca. –175 °C auf, wohingegen die Temperaturdehnzahl von hochlegiertenStählen nur wenig temperaturabhängig ist [R5]. In der vorliegenden Arbeit wird die Temperaturdehnzahlvon Spann- und Bewehrungsstahl nach dem in [S06] vorgeschlagenen Ansatzwie folgt berechnet:1273 + T 7,59 −6αs,T= ( ) * 10(2.40)−63,181*102.4 Der Verbund zwischen Beton und Stahl im TT – BereichVoraussetzung für das Zusammenwirken von Beton und Stahl in einer beanspruchten Stahlbetonkonstruktionist der effektive Verbund zwischen beiden Komponenten. Im allgemeinenwird das Stoffgesetz des Verbundes mit Verbundspannung τ V als Funktion der RelativverschiebungV(x) zwischen dem Stahl und dem umgebenden Beton beschrieben [R02]:2d V(x)2dx4 1+nµ= τV(x)(2.41)dsEsDie konkreten mathematischen Formulierungendes Verbundgesetzes werdenbei Normaltemperatur neben der Betongütevor allem durch den Oberflächencharakterdes Bewehrungsstabes, beschriebendurch die bezogene Rippenfläche,beeinflusst. In den letztenJahrzehnten sind zahlreiche Arbeiten[R04, S06, V01, Y01] zum Thema desVerbundverhaltens von Stahlbeton imTT–Bereich entstanden.Bild 2.25 Verschiebungssprünge währendder Ausziehversuche bei –160 °C [P01]

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 31Charakteristisch traten dabei die Verschiebungssprünge immer wiederholt während des Ausziehvorgangesbei TT–Versuchen auf (Bild 2.25), wohingegen sich stets eine kontinuierlicheVerschiebung während der Ausziehversuche bei Raumtemperatur ergab.Im folgenden wird lediglich die rechnerische Verschiebung im baupraktisch interessierendenBereich der Stabendverschiebungen V 0 von 0,01 bis 0,3 mm zusammengestellt. Die Verschiebungssprüngeunter –160 °C lassen sich hier mit den folgenden Berechnungsansätzenjedoch nicht erfassen.• Einfluß tiefer TemperaturIn Anlehnung an die Arbeiten [R04, S06] lässt sich das Verbundgesetz im TT–Bereich nachfolgendem Ansatz analytisch wiedergeben:B(T)τVT= A(T)∗ V(2.42)Gleichzeitig kann die Verbundfestigkeit bei eintretendem Gleitbruchauf die Zylinderdruckfestigkeit bezogen werden:GτVUTnäherungsweiseτ ≅ 0,47f(2.43)GVUTct70Verbundspannung [N/mm²]6050403020BSt 420/500 RUf R=0,067; d S=16 mmB 45; Lagerung in Folie-170°C-80°C+20°C1000 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35Stabendverschiebung [mm]Bild 2.26 Einfluss der Tieftemperatur auf das Verbundgesetz nach Gl (2.42)Die Koeffizienten A(T) und B(T) des Verbundgesetzes (2.42) sind der Tabelle 2.2 zu entnehmen.Auszugsweise werden hier nur die Werte zweckmäßigerweise für einen B 45 bei Temperaturen+20°C, –80°C und –170°C nach den experimentellen Untersuchungsergebnissen[R04, S06] angegeben, wobei die Versuchsparameter maßgebend sind: Mittige Stablage, Be-

2 Stoffgesetze der Komponenten von Stahl- und Spannbeton 32tonierrichtung in Stablängsrichtung sowie die Prüfkörper–Lagerung in Folie. In Bild 2.26zeigt sich die τ V –V 0 –Linie nach Gl. (2.42).Tabelle 2.2 Koeffizienten des Verbundgesetzes für Beton B45Versuchsparameter T [°C] A (T)[ N/mm (2+B) ] B(T)Mittige Stablage, Betonierrichtung+20 30,30 0,53in Stabrichtung und -80 102,46 0,78Lagerung in Folie -170 128,84 0,66• Einfluss des FeuchtegehaltesDer Einfluss des Feuchtegehaltes von Beton auf das Verbundverhalten im TT–Bereich wurdean wassergelagerten und hallengelagerten Ausziehproben untersucht [P01]. Bild 2.27 stelltwieder die aus den Ausziehversuchen gewonnenen Verbundgesetze dar.Bild 2.27 Einfluss des Feuchtegehaltes auf das Verbundgesetz im TT–Bereich [P01]Aus den Ergebnissen von Ausziehversuchen lässt sich zusammenfassen, dass das Verbundverhaltenvon Stahlbetonen den Stoffgesetzen folgt, denen die Festigkeitseigenschaften vonBeton unterliegen: Verbundfestigkeit und Verbundsteifigkeit steigen mit fallender Temperaturund zunehmender Betonfeuchte an.Über das Verbundverhalten von Spannstählen im Einpressmörtel liegen im TT–Bereich bislangkaum Versuchsergebnisse vor. Wegen des niedrigeren Scherverbundes von erhärtetemVerpressmörtel, der im Vergleich zu Beton keinen groben Zuschlag enthält, ist der Verbundder für die Ringvorspannung in LNG–Behälterschalen mittig eingebetteten Litzenspanngliederschwächer als der Verbund einbetonierter Rippenstähle. Trotzdem kann nach Angabein [P03] die Annahme getroffen werden, dass im TT–Bereich das Verbundverhalten vonSpannstahl im Einpressmörtel verbessert wird gegenüber der Normaltemperatur.

3 Thermische Materialeigenschaften 333 Thermische Materialeigenschaften3.1 VorbemerkungenFür numerische Berechnungen der instationären Temperaturvorgänge muss das Temperaturleitvermögen– ausgedrückt durch die Temperaturleitzahl a – in sämtlichen Temperaturbereichenbekannt sein. Die Temperaturleitzahl ist die funktionale Kopplung mehrerer thermischerMaterialgrößen:λa =(3.1)⋅ ρc pDie Einzelwerte, Wärmeleitfähigkeit λ, spezifische Wärmekapazität c p und Dichte ρ, unterliegensämtlich einer eigenen Temperaturabhängigkeit, deren Ermittlung in den letzten JahrzehntenGegenstand der Forschungen war [C05, L03, W04].3.2 Thermische Eigenschaften des VerbundwerkstoffsStahl- und Spannbeton3.2.1 Temperaturleitvermögen von BetonFür Beton hängen Wärmeleitfähigkeit und spezifische Wärmekapazität von Art und Anteil derverwendeten Zuschlagstoffe, Anteil des Zementsteins, vom Porenanteil und insbesonderevom Porenwasser ab. Infolge Eisbildung von Porenwasser steigt die Wärmeleitfähigkeit imTT–Bereich, hingegen sinkt seine spezifische Wärmekapazität. Bei der analytischen Formulierunghatten Niemann u. Nguyen [N04] in Anlehnung an die Arbeit [K10] folgende Ansätzezur Bestimmung solcher thermischen Materialkennwerte vorgeschlagen:1 1−a=λ (1 − p) ⋅λ + p ⋅λcBZeZeSZuLZu⎡1−p p+ a⎢+⎣ λSλWWL⎤⎥⎦EE(3.2)= c ⋅ G + c ⋅ G + c ⋅ G + c ⋅ G(3.3)mit:c Ze , c Zu , c W , c EG Ze , G Zu , G W , G E– Spezif. Wärmekapazität von Zementstein, Zuschlagstoff, Wasser und Eis– Gewichtsanteil von Zementstein, Zuschlagstoff, Wasser und EisNeben dem Volumenanteil von Poren p wurde zusätzlich ein Volumenanteil a in Gl. (3.2)eingeführt, bei dem sich die Wärmeleitfähigkeiten der Feststoffe und Poren in Richtung des

3 Thermische Materialeigenschaften 34Temperaturgradienten miteinander summieren. Nach Angabe in [N04] beträgt der Volumenanteila ca. 3% und beeinflusst merklich die Wärmeleitfähigkeit von Beton.12Wärmeleitzahl λ [W/mK]Spez. Wärmekapazität c p [10 +2 J/kgK]Temperaturleitzahl a [10 -6 m 2 /s]108642WärmeleitzahlSpez. WärmekapazitätTemperaturleitzahlaCpλ0-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 3.1 Thermische Materialkennwerte von Beton [P03]1210WärmeleitzahlSpez. WärmekapazitätTemperaturleitzahlWärmeleitzahl λ [W/mK]Spez. Wärmekapazität cp [10 +2 J/kgK]Temperaturleitzahl a [10 -6 m 2 /s]8642aλCp0-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 3.2 Thermische Materialkennwerte von Beton [K03]Mangels genauer quantitativer Daten wurden die Steigerung der Wärmeleitfähigkeit und dieAbminderung der spezifischen Wärmekapazität von Pusch u. Rostásy [P03] im TT–Bereichlinear angenommen. Sie lassen sich annäherungsweise wie folgt formulieren:T + 196λ ( T) = λRT+ 2,4 ⋅(1− )216(3.4)T + 196cp(T) = cp. RT− 0,19⋅(1− )216(3.5)

3 Thermische Materialeigenschaften 35Dabei bezeichnen λ RT die Wärmeleitfähigkeit und c p,RT die spezifische Wärmekapazität beiNormaltemperatur T 0 ; die Werte betragen λ T ) = 3,26 W/mK und c p (T 0 ) = 0,29 Wh/kgK.( 0Die Bilder 3.1 und 3.2 zeigen den Verlauf der thermischen Materialkennwerte von Beton fürdie Näherung ρ = const. Werden die Angaben über die Temperaturleitzahl in den Bildern 3.1und 3.2 miteinander verglichen, ergibt sich eine ähnliche temperaturabhängige Tendenz,jedoch liegen die Werte von [P03] im TT–Bereich um bis zu 70% höher als die von [N03].Bei Berechnungen haben die thermischen Materialkennwerte nach [P03] ein entsprechendschnelleres Erreichen des stationären Zustands zur Folge. In dieser Arbeit kommen die Ansätze(3.2) und (3.3) zur Berechnung der instationären Temperaturentwicklung zur Anwendung.3.2.2 Temperaturleitvermögen von Spann- und BewehrungsstahlIm Vergleich mit Beton weist Stahl eine mehrfach höhere Wärmeleitfähigkeit auf. Dies kanndazu führen, daß Spann- und Bewehrungsstahl einen zusätzlichen, gerichteten und lokal konzentriertenWärmetransport bewirkt und demzufolge die Temperaturverteilung erheblich beeinflußtwird. Die Temperaturleitzahl für Stahl zeigt eine ähnliche temperaturabhängige Tendenz[T01], wie dies bereits für Beton galt. Es ergeben sich jedoch unterschiedliche Wertezwischen Stahl und Beton. Infolge solcher Differenzen stellen Stahleinlagen im Inneren einesBetonquerschnitts eine zusätzliche Inhomogenität für die Ermittlung des Temperaturfeldesdar. Versuche, diese Wirkung global zu erfassen, ergaben keine befriedigende Übereinstimmungmit den experimentellen Ergebnissen [N04]. Da jedoch mit guter Näherung dieser Einfluss– zumindest bei Betonquerschnitten mit üblichen Bewehrungsprozentsätzen – vernachlässigtwerden kann, wird im allgemeinen auf eine temperaturabhängig funktionelle Darstellungder Temperaturleitzahl für Stahl verzichtet.In üblichen FEM–Modellen werden die Spann- und Bewehrungsstähle als eindimensionaleStabelemente abgebildet. Dabei wird eine ideale Wärmeübertragung der Stahleinlagen zumbenachbarten Beton angenommen, so dass Stahleinlagen und Beton in Verbindungsknotenüber die gleiche Temperatur verfügen.3.2.3 Thermische Eigenschaften eines LuftspaltesNeben der Dichtigkeitsfunktion hat der generell innenseitig in LNG–Behältern als Dichthautangeordnete Liner auch eine wärmedämmende Wirkung. Bei Kopfbolzenlinern wird dieseWirkung durch das Abheben des Liners von der Betonoberfläche infolge seiner schlagartigenVerkürzung unter schockartiger Kälteeinwirkung verstärkt. Der Luftspalt, der dann entsteht,

3 Thermische Materialeigenschaften 36stellt eine gute Wärmeisolierung dar. Hier spricht man von einem „Polygonalisierungseffekt“.Bild 3.3 zeigt diese Erscheinung schematisch. Nach Angabe von Nguyen [N03] kann die Stärkedes Luftspaltes an lokalen Stellen größer als 1 mm sein.Bild 3.3 Wärmeisolierende Wirkung eines StahlbolzenlinersÜber die thermischen Eigenschaften der Luftspalte liegen keinerlei Versuchsergebnisse vor.Bei Berechnungen im Rahmen der Arbeit wird nach den Angaben [G04] in Bild 3.4 dargestelltenGrößen gearbeitet, da diese mit experimentellen Ergebnissen gut in Einklang gebrachtwerden konnten.3Wärmeleitzahl λ [10 2 W/mK]Spez.Wärmekapazität Cp [10 3 J/kgK]Dichte ρ [kg/m³]Temperaturleitzahl a [10 5 m²/s]2,521,510,50ρλC paDichteSpez. WärmekapazitätWärmeleitzahlTemperaturleitzahl-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 3.4 Thermische Materialkennwerte der LuftspalteIn Gl. (3.6) wird die temperaturbedingte Abhängigkeit solcher physikalischen Größen mathematischwiedergegeben.2ρ = 5e − 5* T − 0,0025*T + 1,262 [kg/m³] (3.6a)λ = 0 ,008*T + 2,43 [10² W/m*K] (3.6b)c p = 1000 [J/kg*K](3.6c)a = 0,01* T + 1,88 [10 m²/s] (3.6d)

3 Thermische Materialeigenschaften 373.3 Wärmeübergang3.3.1 Wärmeübergang auf der KaltschockseiteAus wirtschaftlichen Gründen werden Flüssiggase üblicherweise knapp unter dem Siedepunktgelagert. Bei plötzlicher Berührung mit einem relativ warmen Bauteil wird die Siedetemperaturunmittelbar erreicht. Der Wärmeübergang zwischen Flüssiggasen und Bauteilen kann inder Form von Konvektion, Blasen und Filmsieden infolge Verdampfung der Flüssiggase stattfinden[G04]. Für den bei siedendem Wasser ablaufenden Vorgang wurden Übergangszahlenim Bereich etwa von 300 bis 30.000 W/m²K festgestellt [S05]. Nach Angabe von Höring[H05] liegen Vergleichswerte für tiefkalte Flüssiggase in der gleichen Größenordnung oderdarüber. Zahlreiche Versuchsergebnisse [N02, N03, N04] haben nachgewiesen, dass dieRandbedingung erster Art dort eingesetzt werden kann, wo die Flüssiggase in unmittelbarerBerührung mit der Oberfläche von Bauteilen stehen. Demgemäß werden die instationärenTemperaturberechnungen im Rahmen der vorliegenden Arbeit unter der Annahme T = T LNGauf der Kaltschockseite durchgeführt.3.3.2 Wärmeübergang auf der LuftseiteDer Wärmeübergang zwischen einem Bauteil und der Umgebungsluft erfolgt in der Form vonnatürlicher Konvektion. Mittels des Newton’schen Abkühlungsgesetzes kann der komplexeWärmevorgang pauschal beschrieben werden:mit:qS= −α(T− T )(3.7)T U , T S – Luft- bzw. Oberflächentemperatur in Kα – Konvektionszahl in W/ m²KUSVersuchsergebnisse über die Konvektionszahl α im TT–Bereich liegen bislang nicht vor. Mitfolgenden Ansätzen nach [G04] kann vor allem der komplizierte und problematische Strömungsmechanismusauf der Luftseite des Bauteils theoretisch beschrieben werden:Nun= C∗(Gr⋅Pr)(3.8)mit: αl/λ = Nu Nußelt – ZahlgβTl³/ν = Gr Grashof – Zahl (3.9)ν/a = Pr Prandtl - ZahlDabei sind C und n Konstante, die von den Strömungseigenschaften, insbesondere vom Wärmeübergangbei einer laminaren Strömung oder bei einer turbulenten Strömung abhängen.Ausgehend von (3.8) und (3.9) lässt sich Konvektionszahl α analytisch ansetzen:

3 Thermische Materialeigenschaften 38λα = ∗ C ∗ ( Gr ⋅ Pr) n(3.10)lAnsatz (3.10) weist darauf hin, dass die Konvektionszahl eine funktionale Kopplung mehrererGrößen ist, die von den thermischen Materialkennwerten der Luft, der Geometrie des Bauteilssowie der Temperaturdifferenz zwischen Bauteil und Umgebungsluft bestimmt werden. Außerdemwird es je nach Feuchtgehalt der Luft auf der luftseitigen Oberfläche des Bauteilsdurch Kondensation mehr oder weniger zur Bildung einer Eisschicht kommen, die in einewirklichkeitsnahe Berechnung der instationären Temperaturverteilung mit ihrer wärmeisolierendenWirkung eingehen müsste.Im Rahmen dieser Arbeit wird die Berechnung des Wärmeübergangs auf der Luftseite desBauteils in Anlehnung an die Angaben in [G04, N03] nach der empirischen Formel (3.11) fürdie Konvektionszahl α, dargestellt in Bild 3.5, durchgeführt.109[ +α = 2 ⋅0,25][W/mK] (3.11)( ) ( 1,510−4− ⋅ ⋅20 − TT)Wärmeübergangszahl α [W/m²K]876543210-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Bild 3.5 Wärmeübergangszahl für der Luftseite

4 Berechnung des instationären Temperaturfelds 394 Berechnung des instationären Temperaturfeldes4.1 Grundgesetz der WärmeleitungDie Gesetzmäßigkeit des instationären Wärmetransports wurde 1804 von Biot entwickelt.Fourier untersuchte die Beziehung später eingehender und lieferte im Jahre 1822 die mathematischeFormulierung in der Form [G04]:∂T∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞c ρ = ⎜λx⎟ + ⎜λy⎟ + ⎜λz⎟ + q∂t∂x⎝ ∂x⎠ ∂y⎝ ∂y⎠ ∂z⎝ ∂z⎠Q(4.1)Ihre Anwendung auf Stahl- und Spannbeton stellt jedoch nur eine Näherung dar, da sich infolgeder Stahleinlagen und einer damit verbundenen Differenz der Temperaturleitzahlen zwischenBeton und Stahl eine örtliche Temperatursenke bildet und insbesondere neben derWärmeleitung eine Feuchtigkeitsdiffusion mit gegenseitiger Beeinflussung abläuft. Thermodynamischwären hier also zwei miteinander gekoppelte Vorgänge zu unterscheiden, diedurch ein System von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen zu beschreiben sind. Fürtechnische Probleme kann jedoch in der Regel eine solche Aufgabe auf das Lösen der Differentialgleichung(4.1) reduziert werden [K06]. Des weiteren sind Stoffwerte c , ρ, λ keineKonstanten, sondern temperaturabhängige Variablen. Sie werden zusätzlich auch durch diethermischen Randbedingungen in einer temperaturabhängigen Funktion beschrieben.Im wesentlichen erfaßt die Fourier’sche Differentialgleichung (4.1) den Wärmetransportdurch Wärmeleitung innerhalb eines Körpers. Am freien Rand des Körpers kann so z.B. durchKonvektion zusätzlich ein Wärmeübergang stattfinden, welcher als Randbedingung beim Lösendieser Differentialgleichung eingearbeitet werden muß. Bei der hier betrachteten Schockkühlungliegt ein instationärer Vorgang vor, zu dem der Zustand des Anfangszeitpunktes bekanntsein muß. Außerdem können drei Arten von Randbedingungen auftreten:• Bei der Randbedingung erster Art wird am freien Rand S die Temperatur*TS= T vorgeschrieben. Dies trifft im Bereich des Kälteschocks weitgehend zu,wo das Kältemittel LNG im unmittelbaren Kontakt mit der Oberfläche des Bauteilssteht.• Die Randbedingung zweiter Art besteht in der direkten Angabe eines Wärmeflus-

4 Berechnung des instationären Temperaturfelds 40ses durch den freien Rand. Die mathematische Formulierung gilt in der Form:mit: n – Normalrichtung des RandesqS∂T= −λ(4.2)n∂nwobei der Wärmefluss q s pro Zeit und die Oberfläche ebenso wie die Normalrichtungdes Randes nach außen positiv gerechnet ist. Mangels quantitativer Informationenzum Wärmefluss kommt diese Randbedingung bei der Behandlungdes Kälteschocks in der vorliegenden Arbeit nicht zur Anwendung.• Die Randbedingung dritter Art beschreibt ebenfalls einen Wärmefluß durch denfreien Rand, jedoch findet der Wärmeübergang in der Form von Konvektion zwischenBauteil und der Umgebung statt. Als Ansatz wird das Newton’sche Abkühlungsgesetzbenutzt:mit:qS= −α(T− T )(4.3)T U , T S – Medium bzw. Oberflächentemperatur in Kα – Wärmeübergangszahl in W/ m²KUSDamit wird vor allem der Wärmeübergang auf der Luftseite des Bauteils beschrieben. AnalytischeLösungen der Differentialgleichung (4.1) liegen nur für einfache Sonderfälle vor. DieAuswertung der Differentialgleichung kann daher in der Regel nur numerisch erfolgen, wobeisowohl die bestimmten thermischen Randbedingungen in Zeit- und Ortsabhängigkeit als auchdie thermischen Stoffwerte temperaturabhängig wirklichkeitsnah berücksichtigt werdenkönnen [K06]. Als leistungsfähiges Verfahren wird heute überwiegend die FE–Methodebenutzt.4.2 FE–Formulierung der Fourier’schen DifferentialgleichungDie Formulierung der Fourier’schen Differentialgleichung (4.1) im Rahmen der FE – Methoderepräsentiert nichts anderes als die numerische Darstellung der Erhaltung der Energie innerhalbeines betrachteten differentialen Kontrollelements gemäß dem ersten Hauptsatz derThermodynamik. Demnach gilt zum einen die Gl.(4.4) als die allgemeine Form zur Erfassungder instationären Temperaturverteilung eines Bauteils infolge einer Wärmeleitung mit dreiOrts- und einer Zeitvariablen:∂TTρ c + { L} { q} = &&& q(4.4)∂tmit: { q }– Vektor des Wärmeflusses

4 Berechnung des instationären Temperaturfelds 41& q&– Intensität der Wärmefreisetzung pro Volumen- und Zeiteinheit{ }L T⎧ ∂= ⎨⎩∂x,∂∂y,∂ ⎫⎬ – Vektor Operator∂z⎭Zum anderen stellt das Fourier’sche Gesetz die Formulierung der Beziehung zwischen Vektordes Wärmeflusses und Temperaturgradient dar [A02]:mit: [ D]0yy0zz{ q} −[ D]{ L}Tλxx0 0= 0 λ 0 – Matrix der Wärmeleitungλxxλyy,λ, λzz= (4.5)– Wärmeleitfähigkeit in der x-, y-, und z- Richtung des ElementsIn Kombination der Gl. (4.4) und (4.5) ergibt sich eine neue numerische Darstellung der Fourier’schenDifferentialgleichung :∂TTρ c = { L} ([ D]{ L}T) +&&& q(4.6)∂tIn der Gleichung sind drei Arten von Randbedingungen zu berücksichtigen:• Bestimmte Temperatur in der Fläche S1• bestimmter Wärmefluss durch die Fläche S2*T = T(4.7)T*{ q} { n} −q= (4.8)• Wärmeübergang in der Form von Konvektion über die Fläche S3T{ q} { n} −α ( T − T )= (4.9)Nach Multiplikation der Gl. (4.6) mit einer virtuellen Temperaturänderung unter Berücksichtigungder obigen Randbedingungen von (4.7) bis (4.9) lässt sich eine Integration über dasVolumen des betrachteten Elements durchführen. Anschließend wird eine zweckmäßige Formulierungfür FE–Methode geliefert:∫∫volS2⎛ ∂T⎜ρcδT+⎝ ∂t*δTqdT{ L} ( δT)[ D]{ L} T d( vol)( S ) + δTα( T − T) d( S ) + δTqd&&& ( vol)2∫S3mit: vol – Volumen des Elementsδ T = δT x, y, z, t – eine virtuelle Temperatur( )TUT⎞⎟⎠U3S=∫vol(4.10)Zur weiteren Behandlung wird hier für das zu ermittelnde Temperaturfeld eine AnsatzfunktionT eingeführt, die aus den N Knotentemperaturen T ~ T ~i=i( t)an den Knoten des FE–Netzesund N Formfunktionen N N ( x, y, z)i=ibesteht:

4 Berechnung des instationären Temperaturfelds 42T{ N} { T ~ }T = (4.11)Die Ansatzfunktion wird so gewählt, dass die Randbedingung erster Art von vornherein erfülltwerden kann.In dem hier betrachteten instationären Fall wird eine numerische Zeitintegration erforderlich.In bezug auf Gl. (4.11) wird diese Zeitintegration mit Hilfe eines Zeitinkrements δ t berechnet:∂ T T=∂t( t + ∆t) − T( t)δtbzw.TδT= { δ } { N}T ~(4.12a)(4.12b)An jedem Knotenpunkt entsteht ein Fehler, der über das Volumen des Elements integriertwird und dadurch im Gleichgewicht bleibt. Die Forderung, daß der Gesamtfehler verschwindensoll, führt zu einem Gleichungssystem zur Bestimmung der Knotentemperaturen:⎧t ∂ ⎫ta tbQ Kbzw. [ C ] + ([ K ] + [ K ]){ T ~ } = { Q } + { Q } + { Q }mit:eT ~⎨ ⎬⎩ ∂t⎭eeeeS e(4.13)[ B ] = { L}{ N} TtT[ Ce] = ρ∫c{ N}{ N} d( vol)voltaT[ Ce] = ∫ [ B] [ D][ B] d( vol)voltbT[ Ce] = ∫ αT{ N}{ N} d( S3)S 3Q{ Q } = ∫&eq&vol{ N} d( vol)K{ Qe} = ∫ TUαT{ N} d( S3)S 3S{ Q } { N} q*d( S )e= ∫S 22– spezifische Wärmekapazitäts–Matrix– totale Wärmeleitungs–Matrix– Wärmefluss der Quelle– Wärmefluss infolge Konvektion über den freien Rand– äußerer Wärmefluss, von außen durch Heizung oder Kühlungeines freien Randes zugeführtAlle Werte auf der rechten Seite sind entweder aus dem vorherigen Schritt oder aus denRandbedingungen bekannt. Da in der vorliegenden Arbeit die thermischen Stoffwerte temperaturabhängigsind, wird Gl. (4.13) nichtlinear. Dementsprechend ist eine zusätzliche Iterationsschleifeerforderlich, bei der das anfängliche, mit linearen Stoffwerten berechnete Ungleichgewichtdes Wärmeflusses ausgeglichen wird. Bei der folgenden Berechnung mit demFE – Programmsystem ANSYS® wird die Zeitintegration mit der Newmark–Methode und dieInteration mit dem Newton–Raphson–Verfahren durchgeführt [A02].

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 435 Strukturanalyse in der FE–MethodeIn den 60er Jahren wurde mit den Arbeiten von Ngo u. Scordelis [N01] und Rashid [R01] derGrundstein für den Einsatz der FE–Methoden für die Berechnung von Stahlbetonstrukturengelegt. Im deutschen Sprachraum wurden bereits seit den 70er Jahren wesentliche Beiträgez.B. [K03, S04] zur numerischen Modellierung des mechanischen Verhaltens des WerkstoffsBeton und des Verbundwerkstoffs Stahlbeton sowie zu Finite–Elemente–Analysen von Stahlbetonkonstruktionengeleistet. Die FE–Methode ist heute zweifellos ein praktisch bewährtesund allgemein anerkanntes Verfahren zur Lösung des Problems der Strukturmechanik, Temperaturfeldberechnungund gekoppelter Felderanalyse. Außer größerer Flexibilität bei derErfassung komplizierter Tragwerksgeometrie ist diese Methode durch ihre besondere Eignungzur Erfassung des nichtlinearen Werkstoff- und Tragwerksverhalten gekennzeichnet, was beiphysikalischer und geometrischer Nichtlinearität von Bedeutung ist.Im folgenden werden nur diejenigen Grundlagen diskutiert, die zur numerischen Umsetzungder nachfolgenden Abschnitte resp. der temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearitätvon Spann- und Stahlbetonstruktur unbedingt erforderlich erscheinen. Für die anderen Eigenschaften,ermittelt über die FE–Methode, sei auf das ausführliche Schrifttum[A02, B01, Z01]verwiesen.5.1 Charakteristische Bewegungsgleichung zur Problemlösungder temperaturbedingten physikalischen NichtlinearitätDie Berechnung der Verformung einer Struktur aus physikalisch nichtlinearen Werkstoffenunter statischen oder dynamischen Lasten erfolgt aus einem nichtlinearen Gleichungssystemdurch abschnittsweise Linearisierung in inkrementell aufgebrachten Lastschritten. Ausgehendvon einem bekannten Gleichungssystem zum Zeitpunkt t wird die Lösung für einen Zeitpunktt + ∆tgesucht. Dabei bezeichnet ∆ t das Inkrement der Zeit, mit dem die Änderung derLastkonfiguration verbunden ist. Da man für die hier diskutierte Problemstellung nicht anSchwingungsproblemen interessiert ist, vernachlässigt man die strukturellen Trägheitsterme.Gemäß dem Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt sich in dem Fall die charakteristische Gleichungfür den Betrag der Verschiebungen eines Elements zu [A02]:pr nd th[ K ]{ u} { F } + { F } + { F }e= (5.1)eee

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 44Tmit: [ K ] = ∫ [ Bvol] [ C][ ]prT{ F } = ∫ [ Nn] { P}Fläche Pnd{ Fe}thT th{ F } = ∫ [ B] [ C]{ εvol}eB d(vol)ed(FlächeP)ed(vol)– Matrix der Elementssteifigkeit– Vektor der Flächenlasten– Vektor der Knotenkraft– Vektor der thermischen BelastungHierbei wird die Operatormatrix[ B]aus den Ableitungen der Verschiebungsansätze gebildet,{ } [ B] d{ u} ed ε =(5.2)thwährend sich der thermische Dehnungsvektor { ε } für willkürliche Temperatur nach folgenderGleichung bestimmen läßt:th{ } = ( T − T )[ α α α 0 0 0] Tε (5.3)Re fmit: T – aktuelle TemperaturT ref – ReferenztemperaturSobald die Knotenverschiebungen ermittelt sind, lassen sich die Spannungen für jeden beliebigenPunkt des Elements angeben:{ } = [ C] ({ ε} − { ε }) + { σ }0x0yzσ (5.4)Für den linearen bzw. elastischen Werkstoff ergibt sich die Inverse der Elastizitätsmatrix [ C]als:[ C ]−1⎡ 1/Ex⎢⎢−νxy/E⎢−νxy/E= ⎢0⎢⎢ 0⎢⎣ 0−νxy−ν/Exy−νxy/E000/E−νxy−ν/Exy−νxy/E00 1/G00/E0000xy00001/G0xy000001/G⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦xy– Elastische MatrixBasierend auf der vorigen Temperaturfeldanalyse werden die aktuellen Knotentemperaturenin die konstitutive Elastizitätsmatrix [ ]thC und den thermische Dehnungsvektor { }ε eingelesen.Dadurch wird die Kopplung der thermischen Beanspruchung an die bevorstehendeStrukturanalyse realisiert.Bei der hier diskutierten Problemstellung kann die lineare Abhängigkeit von Gl. (5.1) nichtmehr aufrechterhalten werden. Statt dessen tritt eine temperaturbedingte physikalische Nichtlinearitätin der betrachteten Struktur auf. Bei den temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearitätsproblemenwird die dazugehörige Steifigkeitsmatrix [K e ] in Gl. (5.1) somit gesteuert,indem die nichtlinearen Werkstoffgesetze in die konstitutive Matrix [ C ] einfließen. Dementsprechendist die exakte Lösung von Gl. (5.1) in der vorliegenden Arbeit nur in Ausnahmefällenmöglich. Für allgemeine Fälle ist es erforderlich, die temperaturbedingte physikalischeNichtlinearität des Werkstoffs bei der numerischen Ermittlung der Steifigkeitsmatrix [K e ]

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 45wirklichkeitsnah zu berücksichtigen, ohne die bereits entwickelte numerische Gleichung (5.1)zu verändern. Darüber hinaus muß in pfadabhängigen nichtlinearen Berechnungen der unbekannteLösungspfad vom Lösungsalgorithmus genügend genau abschritten werden.Über die Grundlage der FE–Methode zur Lösung der Gl. (5.1) so z. B. Lösungsalgorithmender Newton–Raphson–Methode, Konvergenzkriterien und isoparametrische Formulierung derfiniten Kontinuumelemente usw. sei auf das ausführliche Schrifttum [A02, A03, B01, B03,Z01] verwiesen.5.2 ElementwahlÜblicherweise wird die gesamte betrachtete Stahl- und Spannbetonstruktur in endliche großeFinite Elemente aufgeteilt, um die Gleichung in das bekannte FE–System überzuführen. Wieim linearen Fall wird für jedes Element eine Ansatzfunktion für die Verschiebung bei gegebenerElementgeometrie eingeführt. Ausgehend von den Ansatzfunktionen werden die Gleichgewichtsbedingungenin Matrizengleichungen auf Elementebene resp. globale Matrizengleichungfür die Knoten übergeführt. Man erhält so schließlich die linearisierte Matrizendifferentialgleichungin der Form von Gl. (5.1).Bild 5.1 Beton- und Stahleinlagenelemente in bezug auf ein globales KoordinatensystemIn der vorliegenden Arbeit wird das dreidimensional isoparametrische 8–Knoten–Kontinuumselementmit trilinearem Geometrie- und Verschiebungsansatz zur Diskretisierung

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 46räumlicher Betonstrukturen verwendet. Demgegenüber setzt sich die diskrete Struktur derSpann- und Bewehrungsstahleinlagen aus eindimensionalen isoparametrischen 2–Knoten–Stabelementen mit linearem Ansatz für Geometrie und Verschiebung zusammen.In Bild 5.1 wurden die beiden Elemente im lokalen Koordinatensystem in bezug auf ein globalesKoordinatensystem schematisch dargestellt. Die zugehörigen Ansatzfunktionen zurGeometrie- und Verschiebungsinterpolation werden in Tabelle 5.1 in bezug auf die lokalenKoordinaten r, s, t angegeben. Für das dreidimensionale Betonelement gelten die Ansatzfunktionenfür die acht Elementknoten (i = 8) mit drei Knotenverschiebungen als:Tabelle 5.1 Ansatzfunktion des SolidelementsKnoten ( i)Koordinaten (r, s, t) AnsatzfunktionI -1, -1, -1 ( 1−r)( 1−s)( 1−t) / 8J +1, -1, -1 ( 1+r)( 1−s)( 1−t) / 8K +1, +1, -1 ( 1+r)( 1+s)( 1−t) / 8L -1, +1, -1 ( 1−r)( 1+s)( 1−t) / 8M -1, -1, +1 ( 1 − r)( 1−s)( 1+t) / 8N +1, -1, +1 ( 1 + r)( 1−s)( 1+t) / 8O +1, +1, +1 ( 1 + r)( 1+s)( 1+t) / 8P -1, +1, +1 ( 1 − r)( 1+s)( 1+t) / 8Für das Stabelement mit zwei Elementknoten (i = 2) und ebenfalls jeweils drei Knotenverschiebungengilt hingegen:N I12= ( 1−s)und N J( 1+s)1= (5.5)25.3 Diskretisierung mit dem MehrschichtenmodellInfolge der instationären Temperaturentwicklung werden Eigen- und Zwangsspannungen innerhalbdes Schalenquerschnitts des Behälters so stark und intensiv aufgebaut, dass eine fortlaufendeRissbildung in Ring- und Meridianrichtung der Betonschale im Zug der schockartigenAbkühlung verursacht werden kann. Neben der Standsicherheit muss die Dichtigkeit derBetonschale in einem solchen Störfall nachgewiesen werden. Nach Angabe von Harte [H02]ist es notwendig, dass die hinreichende Flüssigkeitsdichtigkeit durch eine verbleibende Restdruckzoneim Beton von mindestens 100 mm gewährleistet werden kann.

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 47Basierend auf dem Mehrschichtenmodell [H02, K08, Z02] wird in der vorliegenden Arbeitein diskretes Mehrschichtenmodell zur Abbildung bzw. für die Diskretisierung der Stahl- undSpannbetonstruktur benutzt, mit dem das Werkstoffverhalten von Stahl- und Spannbeton insbesonderedes dissipativen Prozesses (so z.B. Rissbildung von Beton und eventuelles Fließenvon Stahleinlagen) wirklichkeitsnah modelliert werden können.In dem neuen Mehrschichtenmodell werden Stahl- und Spannbetonschalen der Behälter in derradialen Richtung mehrfach unterteilt und beliebig orientierte Stahleinlagen, sowohl Betonstahlals auch Spannglieder, als isoparametrisches 2–Knoten–Stabelemente idealisiert. DieStahleinlagen verhalten sich einaxial elastoplastisch kinematisch [A02, C04] mit dreidimensionalenVerschiebungsmöglichkeiten, während sich das Betonverhalten mit dem im nachfolgendenKapitel erarbeiteten 3D–Materialmodell beschreiben lässt. Aufgrund besserer Verbundeigenschaftenim TT–Bereich als bei Raumtemperatur wird beim Verbund von einerstarren Verbindung zwischen Beton- und Stahleinlagenelement ausgegangen. Dadurch kannder Verbundwerkstoff Stahl- und Spannbeton durch eine einfache Überlagerung von verschiedenenMaterialsteifigkeiten seiner Komponenten realisiert werden.Das neue diskrete Mehrschichtenmodell wird in Bild 5.2 schematisch dargestellt. Im Vergleichzum „Sandwichmodell“, in dem die Bewehrungslagen als zweidimensionale Stahlschichtenin Betonelementen verschmiert wurden, lassen sich hier alle Stahleinlagen als eindimensionaleStabelemente mit beliebiger Orientierung diskret betrachten. Der Vorteil dieserBehandlungsweise ist besonders bei der Abbildung der Spannglieder für die Spannbetonstrukturzu ersehen, bei denen die Vorspannungen im allgemeinen mit dem "Äquivalentlastverfahren"simuliert werden müssen. Diese Vorgehensweise wird in Kapital 7 detailliertdiskutiert.Bild 5.2 Diskretisierung der Stahl- und Spannbetonstrukturmit dem neuen Mehrschichtenmodell

5 Strukturanalyse in der FE–Methode 485.4 ImplementationDie räumliche Diskretisierung der Stahl- und Spannbetonstruktur mit dem neuenFE–Mehrschichtenmodell, der Realisierung des Werkstoffgesetzes für Beton- und Spannstahlsowie der Implementierung des im Kapitel 6 entwickelten 3D – Materialmodells für denWerkstoff Beton gelingt mit Hilfe des FE–Programmsystems ANSYS ® . Das Programmsystembietet für die nährungsweise numerische Lösung und die Analyse von Anfangsrandwertproblemender Kontinuummechanik zahlreiche Möglichkeiten im Pre-, Solution- und Postprocessingan. Als Beispiele seien hier die einfache Generierung und Vernetzung logischerStrukturen im Preprozessor und die zahlreichen Auswertungs- und Darstellungsmöglichkeitenvon numerischen Ergebnissen im Postprozessor hervorgehoben.Für die FE–Modellabbildung der Betonstruktur werden die Solidelemente für Strukturanalyseund Temperaturberechnung benutzt. Mit den Elementen lassen sich die Betonstruktur einschließlichLuftspalte dreidimensional diskretisieren. Hierbei gilt die gleiche Netzdichte sowohlfür die Temperaturfeldanalyse als auch für die Strukturanalyse, so dass die bei derFE–Temperaturberechnung ermittelte Knotentemperatur unmittelbar an die nachfolgendeStrukturanalyse gekoppelt werden kann. Weiter werden Bewehrungsstahl und Spanngliedermit Stabelement unter Berücksichtigung des temperaturbedingten elastoplastischen kinematischenWerkstoffverhaltens modelliert.Dank der offenen Algorithmusstruktur von ANSYS ® wird die Einbindung des entwickelten3D–Materialmodells in den Berechnungsablauf (Solutionprozessor) mit Hilfe einer Subroutinerealisiert. In der Subroutine wird im Konzept der elastoplastischen Schädigung im Rahmender Kontinuummechanik ein geeigneter Algorithmus zur Berechnung der konstitutiven Matrix[ C ] und der inelastischen Verzerrungsinkremente usw. für den nächsten Zeitschritt inFORTRAN programmiert. Der implizite Algorithmus wird in jedem Zeitschritt für jedes Elementdurchlaufen und anschließend in den Berechnungsablauf am Ende eines jeden Zeitschrittsfür jedes Element integriert.Im nachfolgenden Kapitel wird das 3D–Materialmodell für den Werkstoff Beton im Konzeptder elastoplastischen Schädigung der Kontinuummechanik unter Berücksichtigung der temperaturbedingtenphysikalischen Nichtlinearität behandelt. Ebenso wird auch die Methodologiefür die numerische Integration der konstitutiven Beziehung des Materialmodells erörtert.

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 496 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton6.1 VorbemerkungenIm allgemeinen ist das Tragverhalten von normgemäß bewehrten Stahl- und Spannbetonkonstruktionentatsächlich durch eine Vielzahl von mehr oder weniger regelmäßig verteilten Risseninfolge der geringen Zugfestigkeit des Betons geprägt. Diese Rissbildung führt zur Abminderungdes E–Moduls und hat dementsprechend eine Reduzierung der Steifigkeit desTragwerks zur Folge. Außerdem weist der Werkstoff Beton die ausgeprägte physikalischeNichtlinearität bei höherer Druckbeanspruchung auf. Zur wirklichkeitsnahen Modellbildungsolchen physikalisch nichtlinearen Betonverhaltens stehen im Rahmen der Kontinuummechanikund der FE–Methode verschiedene Modelle zur Verfügung, die gruppenweise beschriebenwerden können [C04, K09]. Darunter sind die bekanntesten und für die Baupraxis nützlichenElastizitätsmodelle für die zyklischen zweiaxialen Beanspruchungen sowie für die dreidimensionaleBerechnung mit den Namen von Darwin u. Pecknold [D01] und Ottosen [O02] verbunden,die sich bei Scheibenelementen für die Modellierung der Schubwände von erdbebenbeanspruchtenStahlbetonhochhäusern [K09] und bei der dreidimensionalen Simulation von„Sandia–Behältern“ unter Beanspruchung von innerem Druck [B02] bewährt haben. Allerdingseignen sich die meisten dieser Materialmodelle nur für eine begrenzte Klasse von Spannungspfadengut zur Beschreibung des Werkstoffverhaltens. Für allgemeinere Spannungspfadeführen sie hingegen auf inakzeptable Unterschiede zwischen experimentell festgelegtemund rechnerisch beschriebenem Werkstoffverhalten.In der vorliegenden Arbeit wird ein 3D–Materialmodell für Beton im Konzept elastoplastischerSchädigung im Rahmen der Kontinuummechanik hinsichtlich allgemeiner Spannungspfadebearbeitet. Hierbei wird zum einen das anisotrope Betonverhalten unter Berücksichtigungder temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearität wirklichkeitsnah erfasst; zumanderen lässt sich auch bei Behandlung anisotropen Werkstoffverhaltens eine isotrop symmetrischeFE–Matrixformulierung erhalten.6.2 Formulierung der Fliess- und Bruchflächeim Haigh–Westergaard–SpannungsraumDas Materialmodell für den Werkstoff Beton soll einen Zusammenhang zwischen beliebigenSpannungen und Verzerrungen bis hin zur Angabe einer Grenzspannungskombinationbeschreiben. Die Formulierung des Fliess- und Bruchkriteriums dient dazu, das Betonverhal-

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 50ten für beliebige Belastungspfade insbesondere in mehraxialen Spannungszuständen analytischzu erfassen. In der Regel erfolgt die Darstellung eines solchen Kriteriums in ähnlicherForm und mit vergleichbaren Mitteln wie die Fließbedingungen zäher Werkstoffe oder körnigerMaterialien. Wie in Bild 6.1 dargestellt, handelt es sich hierbei im Hauptspannungsraumstets um offene oder geschlossene Flächen mit mindestens dreifach symmet- rischem Querschnittsenkrecht zurhydrostatischen Achse.Bild 6.1 Typische Darstellung desFliess- und Bruchkriteriumsfür den Werkstoff Beton imHauptspannungsraumZur Vereinfachung dermathematischen Beschreibung inder vorliegenden Arbeit wird dasFliess- und Bruchkriterium für Beton im Haigh–Westergaard–Spannungsraum formuliert,wonach sich die Spannungszustände in einen hydrostatischen Anteil σ o , der Volumenänderungverursacht, und einen deviatorischen Anteil bzw. eine oktaederische Scherspannung τ o ,die zur Gestaltänderung und letztendlich Gefügezerstörung führt, zerlegen lassen:mit:3 3J3J = cos3θ=3 / 22J2I11σ0= = ( σ1+ σ3 3τ0=2J /3 =2f ( σ0, τ0, θ , k 1 , k 2 , ... ) = 0 (6.1)2+ σ )222[(σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) ]/91322wobei die freien Parametern ki(i = 1, 2, ...) nach Versuchsergebnissen zu bestimmen sind.331Bild 6.2 AllgemeineDarstellung des FliessundBruchkriteriumsim Haigh–Westergaard–SpannungsraumWie in Bild 6.2 dargestellt, sind zwei spezielle Schnitte für die geometrische Darstellung derdreifach symmetrischen Fliess- und Bruchflächen im Spannungsraum erforderlich: Zum einen

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 51ist es der zur hydrostatischen Achse bei σ 0 = const. senkrecht geführte Schnitt mit den entsprechendenPolarfiguren; zum anderen ist es der Meridianschnitt der Zustandsfläche mit einerEbene, welche die hydrostatischen Achse enthält. Im zweiten Fall ist der zum deviatorischenVektor t 0 in der π–Ebene gehörende Polarwinkel θ mit anzugeben. Die Ebenen, dieaußer der hydrostastischen Achse zugleich auch eine Koordinatenachse enthalten, schneidenzwei wichtige Leitkurven mit der Zustandsfläche ab, nämlich die „dreiaxiale Druckkurve0θ = 60 “, für dieσ 1 = σ 2 > σ 3(6.2a)gilt und die „dreiaxiale Zugkurveσ0θ = 0 “ mit1> σ2= σ3(6.2b)6.3 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton6.3.1 VorbemerkungenInfolge der Ähnlichkeiten der mathematischen Formulierung führen die Darstellungen derFliess- bzw. Bruchkriterien in bezug auf elastisches Verhalten und duktiles Fliessen sowiefinalen Bruch von Beton stets zu ähnlichen geometrischen Flächen im Spannungsraum, unterden sich jeder mechanische Werkstoffzustand von Beton bereits eingestellt hat. Im wesentlichenstellen alle Flächen, sowohl die elastische Grenzfläche als auch die Fliess- und Bruchfläche,den Energiezustand gegenüber dem im Ursprungspunkt dar. Der Unterschied liegt nurdarin, dass durch die elastische Grenzfläche der elastische Bereich getrennt beschrieben wird,während der energetische Dissipationsprozeß in einer Form von plastischer Verformung oderRissbildung usw. beim Fliessen bzw. Bruch stattfindet.6.3.2 Der Bruchansatz des 3D–MaterialmodellsDer Bruchansatz des 3D–Materialmodells baut auf der Formulierung von Podgórski [P04]auf. Er ist vergleichsweise mathematisch einfach zu handhaben und beschreibt die experimentellgewonnenen Ergebnisse gut. Basierend auf den Bruchkriterien von Ottosen [O02] undWillam; Warnke et al. [W03] konstruierte Podgórski die Bruchfläche aus einer trigonometrischbeschriebenen Polarfigur mit der parabelförmigen Zug- und Druckkurve:C2 0 1 0 0 0=2τ + C Pτ− C + σ 0(6.3)⎛ 1⎞mit: P = cos⎜arccosαJ− β⎟ ⎝ 3⎠

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 52die nunmehr ein stetiges, überall konvexes Modell ergeben. Dabei sind die fünf KonstantenC 2 , C 1 , C 0, α und β lediglich von den Stoffgesetzen des Betons abhängig.0,40,20-0,2-0,4-0,6-0,8-1Betondruckfestigkeitfc=30,7 N/mm 2experimentelle Werte [K12]Bruchansatz des 3D-ModellsBruchkriterium [P04]σ 1 /f cσ 2 /f c-1,2-1,4-1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4Bild 6.3 Vergleich der Bruchansätze mit VersuchsdatenTabelle 6.1 Der Bruchansatz des 3D–Materialmodells für den Werkstoff BetonSpannungszustand und Bruchfestigkeitσo/ fcτ0/ fcθ1 Einaxialer Druck (0, 0, –f c ) –0,333 0,471 60°2 Einaxialer Zug (f ct , 0, 0) 3 2f = 0,3 0,1/ 3 f3c0,141/f 0°cctf c3 Zweiaxialer Druck (0, –f cb , –f cb ) f cb =1,1625f c 0,773 0,547 0°4 Dreiaxialer Zug (f ttt , f ttt , f ttt ) f ttt =f3ct 0,3 /0 0°5 Dreiaxialer Druck –2,500 2,000 60°f cHinsichtlich der Fragestellung kann das Bruchkriterium durch freie Wahl der charakteristischenmehr- und einaxialen Festigkeiten, anders als von Podgórski, bestimmt werden.Dadurch lässt sich das Bruchkriterium mit den jeweiligen experimentellen Ergebnissen besserabgleichen. In der vorliegenden Arbeit werden für die Formulierung des Bruchansatzes des3D–Materialmodells die folgenden charakteristiaschen Werte herangezogen, die auf denzweiaxialen Versuchen von Kupfer et al. [K12] und den dreiaxialen Druckversuchen vonMünchen [G05] basieren. Im weiteren wird die einaxiale Zugfestigkeit standardmäßig nachGl. (2.19) bestimmt, während sich die dreiaxiale Zugfestigkeit nach dem Rankine’schen Kriterium[C04] festlegen lässt. Alle Festigkeitswerte sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. Die guteÜbereinstimmung des eigenen 5–P Bruchansatzes mit den experimentellen Versuchsdatenvon Kupfer et al. [K12] ist dem Podgórski Bruchkriterium in Bild 6.3 gegenübergestellt.

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 536.3.3 Die elastische Grenzfläche des 3D–MaterialmodellsDie Existenz des unelastischen Bereichs von Beton wurde durch zahlreiche Arbeiten in Verbindungmit unmittelbar mikroskopischer Beobachtung der Rissfortpflanzung bestätigt. Beispielhaftzeigen dies die Spannungs–Dehnungs–Linien für die einaxialen Druckbeanspruchungenbeim normalen Mischungsverhältnis des Betons. Danach kann die elastische Grenzemit etwa vierzigprozentiger Druckfestigkeit als gute Näherung betrachtet werden, welche inEC 2 Teil I standardisiert wurde. Über diese Grenze hinaus verhält sich Beton unelastisch biszum Bruchversagen.Bild 6.4 Experimentelle Kurven vonBruch und Rissgrenze [L01]Bild 6.5 Entwicklung der Verbund- und Gefügerissebei ein- und dreiaxialer Druckbeanspruchung [K11]Die elastischen Grenzfläche im Spannungsraum analytisch zu beschreiben, stellt ein äußerstschwieriges Problem infolge des anisotropen Betonverhaltens dar. Bislang existieren wenigeexperimentelle Ergebnisse für die analytische Formulierung der elastischen Grenzfläche imSpannungsraum. Trotzdem haben Launay u. Gachon [L01] die elastische Grenze und dasAuftreten der Rissbildung mit den Kurven in hydrostatischer Ebene, dargestellt in Bild 6.4,wiedergegeben. Diese Arbeit kann als erste qualitative Beschreibung der Gefügelockerungbzw. der elastischeb Grenzfläche für Beton im dreiaxialen Druckbereich betrachtet werden.Davon ausgehend fällt die elastische Grenze im Zug–Zug–Bereich und Zug–Druck–Bereichnahezu mit der Bruchkurve zusammen und dementsprechend findet keine Verfestigung statt.Dahingegen verhält sich Beton im Druck–Zug–Bereich und Druck–Druck–Bereich über dieelastische Grenze hinaus insbesondere mit hohen Umschnürungsbeanspruchungen unelastischbis zum Versagen. Die Untersuchungen von Krishmawamy [K11] gelten als die quantitativeVerallgemeinerung der einaxialen Nichtlinearität auf beliebige, mehraxiale Druckzustände. In

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 54Bild 6.5 ist die lastabhängige Entwicklung der Verbund- und Gefügerisse dem Belastungsgradbei ein- und dreiaxialer Druckbeanspruchung – für letztere bei konstantem Spannungsverhältnisbis zum Bruch – gegenübergestellt.Basierend auf diesen experimentellen Untersuchungen kann die elastische Grenzfläche des3D–Materialmodells für den Werkstoff Beton analytisch beschrieben werden:2γ τ + Pτ− γ + γσ 0(6.4)2 0C10 0 0=400Einaxialer Druckbelastungspfad• – Bruchpunkt:[ C 0 /(C 1 P), –C 2 (C 0 /C 1 P) 2 ]τ03002001k100P c,40%finale Bruchkurveelastische Grenzkurve5000-50-100−σ0-150EinaxilerZugbelastungspfad-100-200-300ZweiaxialerDruckbelastungspfadBild 6.6 Meridianschnitt der elastischen GrenzflächeHierbei kann die Suche nach den Konstanten γ 2 , γ 0 , und γ in Gl. (6.4) auf eine „mathematische“Aufgabenstellung reduziert werden, wonach die parabelförmige Leitkurve der elastischenGrenzfläche unter die drei Bedingungen• Verlaufen durch den Bruchpunkt: [τ 0 , σ 0 ] = [C 0 /(C 1 P), –C 2 (C 0 /C 1 P)²]• identische Tangente mit der Bruchleitkurve in diesem Bruchpunkt• Verlaufen durch die elastischen Grenzpunkte, die etwa einer vierzigprozentigenBruchbelastung bei einaxialen Druckbelastungspfaden entsprechen.wie folgt bestimmt werden kann:2(C1P)⎛ 2 ⎞ 2⎜ f ⎟c,yC1Pcfc,y2C03−−3γ =⎝ ⎠22⎛ (C1P)⎞⎛2 ⎞ 1C ⎜2f ⎟⎜ +c,y− C0−2C⎟03⎝⎠⎝⎠ 21 1γ0= C0γ+ C02 222⎛ (C1P)⎞ (C1P)γ2=⎜ + C2γ −2C⎟⎝ 0 ⎠ 2C021f61f3c,yc,y(6.5a)(6.5b)(6.5c)

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 55mit :P c⎛ 1⎞= cos⎜arccos( −α)− β⎟ ⎝ 3⎠In Bild 6.6 wird die elastische Grenzfläche der Bruchfläche gegenübergestellt. Mit der elastischenGrenzfläche wird der Bereich, in dem sich Beton bei allseitigem Zug und unter niedrigemDruck elastisch verhält, von dem hohen Druckbereich mit ansteigender Umschnürungswirkunghinreichend analytisch abgetrennt.6.3.4 Die Belastungsfläche des 3D–MaterialmodellsDie Verfestigung von Beton im vorliegenden 3D–Materialmodell ist in Hinsicht auf denSpannungszustand ungleichmäßig, da sich die Belastungsfläche entlang der hydrostatischenAchse bewegt und zugleich expandiert. Unter Annahme der mathematischen Ähnlichkeit mitder elastischen Grenzfläche bzw. finalen Bruchfläche ergibt sich die Belastungsfläche in bezugauf die äquivalente Spannung σezu:2C2( σe) τ0+ C1Pτ0+ C0( σe) + (kασe+ kβ) σ0= 0 (6.6)In zwei extremen Fällen muss die Belastungsfläche am Rand mit der elastischen Grenzflächebzw. Bruchfläche zusammenfallen. Die gesuchten Konstanten k α und k β können dementsprechendmit den folgenden Randbedingungen:kασe+ kβ= γσe= fc,yfürkασe+ kβ= 1σe= fc(6.7)zu1 − γγfc− fc,ykα= und kß=f c− f c,yfc− fc,y(6.8)bestimmt werden. Außerdem verläuft die Belastungsfläche durch den Bruchpunkt [τ 0 , σ 0 ] =[C 0 /(C 1 P), –C 2 (C 0 /C 1 P)²] und hat auch die gleiche Tangente wie die Bruchfläche Unter diesenBedingungen kann die Belastungsfläche auf die folgende Form übergeführt werden:F⎡(C2P)⎢⎣ 2C1+ C0(k222(kβ−1)+ C2kβ⎥τ0+ C1Pτ0β+ 1) + kβσ0⎦0 02e=⎡(C2P)⎤2 1k + C2k⎥ 0+ C0k+ k σ02Cτα αα α020( σ , τ , θ) =− σ 0⎢⎣⎤⎦(6.9)Das endgültige 3D–Materialmodell (6.9) wird in Bild 6.7 dargestellt. Im Vergleich zu anderenFliessmodellen für Beton [C04, P02] zeichnet sich hier das 3D–Materialmodell durch seineüberall konvexe Regularität und Kontinuität aus. Zugleich wird kein neuer Figurparametereingeführt.

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 56Einaxialer Druckbelastungspfad400300• – Bruchpunkt:[ C 0 /(C 1 P), -C 2 (C 0 /C 1 P) 2 ]τ 02001k100P c,40%−σ 0finale Bruchkurveelastische GrenzkurveBelastungskurve 2Belastungskurve 10500-50-100-150EinaxilerZugbelastungspfad-100-200-300ZweiaxialerDruckbelastungspfadBild 6.7(a) Meridianschnitt des 3D-Materialmodells im Spannungsraum,σ1.τuτu,tBruchrandτu,cτcτi,cττiPθτt60 0 oτi,tFliessdomäneElas. GrenzrandElas. Domäne,σ2,σ3Beliebiger Spannungszustand Pmit Koordinaten (σ 0 , τ 0 , θ)Bild 6.7(b) Deviatorische Abschnitte des 3D–Materialmodells mit s 0 < –C 2 (C 0 /C 1 P) 26.4 Erweiterung des 3D–Materialmodells für den TT–BereichGegenüber dem normalen Temperaturbereich nehmen die Festigkeit, der E–Modul sowie dieStauchung von Beton mit abnehmender Temperatur im TT–Bereich zu und die Spannung–Dehnungs–Linien verlaufen immer geradliniger. Diese temperaturbedingte physikalischeNichtlinearität kann typisiert z. B. durch Spannungs–Dehnungs–Linien nach Bild 6.8schematisch dargestellt werden.

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 58τ 0150100Zugkurve θ = 0°Bruchkurveela. GrenzkurveDeviatorische Spannung [N/mm²]50050100150Druckkurve θ = 60°- σ02000-20-40-60-80-100Hydrostatische Spannung [N/mm²]Bild 6.9 (b) 3D-Materialmodell bei T = -80 °Cτ0 150Deviatorische Spannung [N/mm²]10050050100Zugkurve θ = 0°Druckkurve θ = 60°- σ01502000 -20 -40 -60 -80Hydrostatische Spannung [N/mm²]-100Bild 6.9 (c) 3D-Materialmodell bei T = -170 °CII. Die elastische Grenze nimmt mit Absenkung der Temperatur bis –170 °C proportionallinear zu.Daraus folgt die analytische Formulierung für die Bestimmung einaxialer elastischer Grenzenim TT–Bereich bis T = –170 °C:fe c, −170°C− 0,4fcfc,T=(20 − T) + 0,4fc(6.10)190Unter den vorstehenden Annahmen kann das oben entwickelte 3D–Materialmodell für denTT–Bereich übernommen werden, ohne dabei seine wesentlichen Eigendaten zu verändern.Als Beispiel werden die Druck- und Zugleitkurven in Bild 6.9 auszugsweise für einen versiegeltenBeton mit der Druckfestigkeit 50 N/mm² schematisch dargestellt.

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 596.5 Die konstitutive Modellierung des Werkstoffverhaltens von Beton6.5.1 VorbemerkungenDie konstitutive Modellierung des anisotropen Betonverhaltens hat in der Ingenieurmechanikgroße Bedeutung nicht nur im Belastungsprozess, sondern insbesondere auch im Bereich desNachbruches erlangt [A01, C01, F02, H01, K08, M02, P02]. In Rahmen dieser Arbeit wirddas anisotrope Betonverhalten auf der Basis des oben entwickelten 3D–Materialmodells imKonzept elastoplastischer Schädigung im Rahmen der Kontinuummechanik konstitutiv modelliert.Hierbei kontrolliert das 3D–Materialmodell sowohl die plastische Verfestigung vonBeton im Druckbereich (σ 0 < 0) als auch das elastische Verhalten im Zugbereich(σ 0 0),während sich das quasispröde Betonverhalten nach dem Zugbruch durch die kinematischeSchädigung steuern lässt.6.5.2 Die thermodynamischen Prinzipien und die FliessregelIm Rahmen der phänomenologischen Betrachtungsweise kann die freie Energie des WerkstoffsBeton unter Berücksichtigung der Schädigung mathematisch beschrieben werden:1 e e pΨ = Cijklåijεkl+ S( εij,Vk)(k=1, 2,····,k ) (6.11)2Hierbei charakterisiert die innere Variable V k (k=1, 2,····,k ) das irreversible bzw. energiedissipativeBetonverhalten so z.B. die plastische Verzerrung und die ungleichmäßige Verfestigung.Der Elastizitätstensor C ijkl stellt sich als andere unabhängige innere Variable zur Kontrolledes mechanischen Bruches dar. Diese Betrachtungsweise wurde zuerst von Oritz [O03]zur analytischen Erfassung der Betonschädigung infolge der Rissbildung und der damit verbundenenDegradierung der Werkstoffsteifigkeit vorgeschlagen.An dieser Stelle tritt naturgemäß die Dissipationsgleichung zur Kontrolle der energetischenDissipation ein, die nach dem thermodynamischen Entropieprinzip in der Form der Clausius–Duhem–Ungleichheit [L02] nicht negativ sein darf:φ =12( V) V&≥ 0ó D& pó + ó å + A(k=1, 2,···.,k) (6.12)ijijklklijijkkkDabei wird D ijkl als Nachgiebigkeitstensor bezeichnet und die thermodynamische Kraft A k(k=1, 2,····,k ) ist mit der inneren Variabel V k assoziiert.Gemäß dem Prinzip der maximalen Schädigungsdissipation wird gefordert, dass sich die Dissipationswerteφ im thermodynamischen Raum (σ ij , A k ) entweder im maximalen Punkt oderim kritischen befinden müssen. Im Rahmen dieser Arbeit wird die assoziierte Lagrange’funktionzur Lösung des Zwangsproblems herangezogen:

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 61Aufgrund des irreversiblen bzw. pfadabhängigen Betonverhaltens muss die konstitutive Beziehungfür die unelastischen Verzerrungen und den Nachgiebigkeitstensor in Ratenform dargestelltwerden. Die differentielle konstitutive Beziehung ergibt sich entsprechend in der Inkrementformzu:bzw.ijijklpd( dε− dε)dσ = C(6.18)ijepdijklmit: σ = { σ , σ , σ , σ , σ σ }ij x y z xy yz,klklkldσ = C dε(6.19)epdCijkl- Tangentiale Steifigkeitsmatrix elastoplastischer SchädigungzxZur konstitutiven Umsetzung des 3D–Materialmodells werden zusätzlich zwei thermodynamischeKräfte σ e und χ ij (A k mit k=2) in den Spannungsraum eingeführt. Hierbei kontrolliertdie äquivalente Spannung σ e die ungleichmäßige Verfestigung des Betons (σ 0 < 0), währenddie Translation des Fliesszentrums χ ij als andere thermodynamische Kraft zur Steuerung derkinematischen Entfestigung nach Zugbruch (σ 0 0) gilt. Gegenüber den beiden thermodynamischenKräften stehen die inneren Variabelejeweilig mit σ e und χ ij assoziiert sind.pεeund α ij (V k mit k=2) im Zusammenhang, dieDie ungleichmäßige Verfestigung im Druckbereich ( ó o< 0 )Bei einaxialer und mehraxialer Druckbeanspruchung wird das duktile Betonverhalten durchdie ungleichmäßig verfestigende Fliess- bzw. Belastungsfunktion, dargestellt in Bild 6.7, gekennzeichneten.In diesem Fall hat die Belastungsfläche die folgende Formulierung:στ2⎡(C2P)⎢⎣ 2Cθ =⎤2 1(kβ−1)+ C2kβ⎥τ0+ C1Pτ0+ C0(kβ+ 1) + kβσ0⎦ 22⎡(C2P)⎤2 1⎢ kα+ C2kα⎥τ0+ C0kα+ kασ0⎣ 2C0⎦ 20f ≡ F( , , ) −σ 00 0e=(6.20)Die Konsistenzbedingung schreibt vor, dass sich jeder Spannungszustand während der Verfestigungimmer in der Belastungsfläche befinden muss:∂f∂fdf = dσij+ dσe= 0(6.21)∂σ ∂σijeIn Verbindung mit Gl. (6.19) ergibt sich Gl.(6.24) entsprechend zu:∂Fdσepdf = dσij− dεe= 0(6.22)p∂σ dεije∂Fbzw. df = dσij− HVerf.λ = 0(6.23)∂σij

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 62mit:HHVerf .ppe∂F∂F= Hp– Verfestigungsmodul∂σ ∂σijepejidσ= Hp(σe)=– plastischer Moduldεdε = dεdε– Definition der äquivalenten plastischen DehnungpijpijDabei wird die äquivalenteσe− εpe− Beziehung in der Regel auf die–Linie des einaxialenDruckexperiments zurückgeführt und lässt sich somit kalibrieren.pσ − εNach Einführung der Gl. (6.19) in (6.23) ergeben sich die Rate der Konsistenzparameter unddie Evolution der plastischen Verzerrungsinkremente entsprechend zu:λ =HdεpijVerf .∂F∂σ∂F= λ∂σijC∂F+∂σijijklijdεCklijkl∂F∂σ=HmnVerf .∂F∂σCklmnst∂F+∂σij∂Fdε∂σCijijklst∂F∂σDie konstitutive Beziehung (6.19) wird dann zweckmäßig ausgedrückt als:mit:Cepijkl= Cijklijpep( Cijkl− Cijkl) dεkl= Cijkldεklkl(6.24a)(6.24b)dσ =(6.25)∂F∂σ−HmnVerf .Cmnkl∂F+∂σijCCijstijkl∂F∂σst∂F∂σklDie Degradierung der Werkstoffsteifigkeit infolge plastischer Verzerrungen wird somit durchdie plastische tangentiale SteifigkeitsmatrixepCijklberücksichtigt.Die kinematische Schädigung nach dem Zugbruch ( ó 0≥ 0 )Gegenüber duktilem Betonverhalten im Druckbereich (σ 0 < 0) tritt die Entfestigung nachZugbruch sofort auf. Der SteifigkeitsmatrixEntfestigung degradiert erhalten.edCijklwird infolge der Betonschädigung bei derIn diesem Fall nimmt die Schädigungsfläche die nachstehende Form ein:mit:ijij2f ( σ ) = (C τ + C Pτ+ σ ) − f 0(6.26)ijij u,2 0 u,1 0 0 ct=σ = σ − χ – reduzierter Spannungstensor

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 63Dabei steuert die Entfestigungsvariable χ ij die Translation der Schädigungsfläche im Spannungsraum.Die strenge Einhaltung von Druckers Stabilitätspostulaten verlangt eine assoziierte Fliessregel.Bei einer Verwendung der nichtassoziierten Fliessregeln ist jedoch auf jeden Fall gesichert,dass keine fortschreitende Energiegewinnung im System beschrieben wird. Das heißt,dass mit der nichtassoziierten Fließregel neben dem plastischen Fliessen weitere energetischeDissipation, wie z. B. die Energieumwandlung bei der Bildung einer neuen Oberfläche währendder Betonrissbildung, berücksichtigt werden kann. Andererseits wird die Rissbildungvon Beton nicht nur allein durch Zugspannungen verursacht, sondern auch von Schubspannungskomponentenabhängig beeinflusst. Zur Berücksichtigung eines solchen Phänomenswird das Schädigungsmodell im Rahmen der Arbeit dadurch erarbeitet, dass Ziegler’s Entfestigungsregelstatt der Prager’s zur Steuerung des kinematischen Schädigungsprozesses in dieKonsistenzbedingung eingesetzt wird. Gegenüber dem von Meschke u. Mang [M02] ausgearbeitetenModell, wo das Rankine’sche Versagenskriterium hauptsächlich im Rahmen der Plastizitätfür die ebenen Spannungszustände unter Vernachlässigung der Schubspannung untersuchtwurde, wird hier eine größere Energiedissipation als mit dem assoziierten kinematischenEntfestigungsgesetz Prager’s gesichert. Die wichtigsten Eigenschaften der Entfestigungsregelwerden mit Hilfe des in Bild 6.10 dargestellten Modells veranschaulicht.Translation nach der Prager–RegelOOP: cdådTranslation nach der Ziegler–RegelS′( ó + dó)dOO : a( ó − ÷ ) dεZO Pn rS ( ó)O ZO ( ó)Bild 6.10 Fliessflächen infolge verschiedener FliessregelnDie Formulierung der Entfestigungsregel nach Ziegler ist angegeben als:ij( − χ )dχ = dµ σ(6.27)Dabei hängt der positive Faktor d µ vom äquivalenten Verzerrungsinkrement ab:ijij

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 65F FD&∂ó⊗ ∂óijkl= λ∂Fó: óDie konstitutiven Beziehungen wird dann zumit:Cedijkl= Cijkl∂F∂σ−HmnEntf .Cmnkl∂F+∂σijedijklij(6.36b)dσ = C dε(6.37)ijCCijstijkl∂F∂σst∂F∂σklDadurch wird die Degradierung der Werkstoffsteifigkeit infolge der Schädigung im Zugbereichmit der SteifigkeitsmatrixedCijklberücksichtigt.6.6 Implementierung des 3D–MaterialmodellsIm Rahmen der Arbeit wird das 3D-Materialmodell in der Strategie des Return–Mapping–Algorithmus[A02, S08]implementiert. Im Vergleich zu anderen Algorithmen für dieImplementierung der Materialmodelle ist diese Methode durch eine besonders große Effizienzund unbedingte numerische Stabilität gekennzeichnet. Die Erweiterung des 3D–Materialmodells im TT–Bereich wird durch Einlesung der aktuellen Temperatur des zubetrachtenden Betonelements realisiert, welche in der vorhergehenden Temperaturberechnungermittelt wurde. In diesem Zusammenhang werden die temperaturabhängigen Stoffgesetze,welche für die Formulierung der Belastungsfläche f(s, A, T) = f(s T , A T ) erforderlich sind, imZeitpunkt t n+1 berechnet und danach innerhalb der Zeitintervalle [t n , t n+1 ] konstant gehalten.Dadurch wird die temperaturbedingte physikalische Nichtlinearität von Betonwirklichkeitsnah berücksichtigt.T ,n + 1 T,n+1Zuerst wird der Prädiktorzustand ( ó trtr, A ) für die Zeitintervalle [t n , t n+1 ] durch „Einfrieren“des elastoplastischen Schädigungszustandes mit allen bekannten Variablen im Zeitpunktt n definiert. Die aktuellen Spannungen lassen sich durch die Projektion des Prädiktorzustandesim elastischen Bereich bekommen:mit:åe,trT,n+1= åT,n+1− åó = C å(6.38)+tre,trpd T ,n 1 T,n T,n+1T,nDie anderen Variablen werden entsprechend definiert als:trpσ = H ( ε ) im Druckbereich σ 0 (6.39)+e T,n 1pe T, n0

6 Das 3D–Materialmodell des Werkstoffs Beton 66Die konstitutive Beziehung im Zeitpunkt t n+1 wird diskret formuliert als:−1mit: CT,n + 1= DT,n + 1pd[ å ]ó (6.41)T ,n + 1= Cn+1 T,n+1− åT,n+ 1unter den diskreten elastoplastischen Schädigungsbedingungen bzw. den Be- und Entlastungsbedingungen:f ( óT,n+1,At,n+1) ≤ 0(6.42a)λ+T ,n+ 1≥ 0,λT,n+1f ( óT,n+1,AT,n 1) = 0(6.42b)welche vorschreiben, dass sich am Ende jedes Zeitintervalls [t n , t n+1 ] der zugelassene Spannungszustandentweder innerhalb oder in den Belastungsflächen befinden muss. Wird dietrBelastungsbedingung (6.42) seitens dieser Prädiktorspannung ( ó ,verletzt, so werden in einem weiteren Schritttró undAtrT,n 1T ,n+1A +) (A = σ e , χ ij )trT,n 1+auf die Belastungsfläche projiziert.In Anwendung des impliziten Return–Mapping–Algorithmus zusammen mit der assoziiertenFliessregel (6.19) ergibt sich:∆åpdT,n+1= λT,n+1n∂F∂ó+ 1(6.43)Einsetzen der Gl. (6.43) in die konstitutive Beziehung (6.41) für das Ende des Zeitpunkts n+1,und Erfüllung der Belastungsbedingung führen zuóT,n+1= ótrT,n+1− λT,n+1CT,n+1n+1∂f:∂ó(6.44)Die ungleichmäßige Verfestigung bzw. die Translation der Belastungsfläche und der Nachgiebigkeitstensorergeben sich, korrigiert durch diese konvergierten Werte, folglich zu:n+1 n+1pp tr∂f∂fεe= ε + λT,n+1 e T,n+1 T,n+1:(6.45a)∂σ ∂σbzw. σ = ( )im Druckbereich σ 0 (6.45b)H p e pεT,n+ 1eT,n+10

7 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte aus der Vorspannung 677 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte im TT–Bereich7.1 VorbemerkungenIm allgemeinen gelten zwei Berechnungsverfahren, das Äquivalenzlastverfahren und dasÄquivalenzdeformationsverfahren, für Vorspannung mit nachträglichem Verbund und fürVorspannung ohne Verbund mit Spanngliedern innerhalb des Betonquerschnittes bei Normaltemperatur[B04],mit denen die auf die Betonstruktur ausgeübten Spanngliedkräfte analytischerfaßt und anschließend die Schnittgrößen infolge Vorspannung weitergehend rechnerischbestimmt werden können.Nach dem Verankern der Spannglieder treten in der Regel Spannkraftänderungen auf. Die vonSpanngliedern auf die Betonstruktur ausgeübten Kräfte verändern sich auch innerhalb derBenutzungszeit durch Spanngliedkraftänderungen, welche zeitunabhängig oder zeitabhängigsein können. Zu den zeitunabhängigen Änderungen gehören dabei die be- und entlastungssowietemperaturbedingten Betondeformationen, wohingegen die zeitabhängigen Spannkraftänderungendurch Schwinden und Kriechen des Betons sowie Relaxation des Spannstahlsverursacht werden.In diesem Kapitel wird eine Modifikation des Äquivalenzlastverfahrens basierend auf deralgorithmischen Grundlage der FE–Methode vorgenommen. Hierbei wird ein numerischesBerechnungsverfahren für die Ermittlung von u.a. räumlich gekrümmten Spanngliedern aufdie Betonstruktur ausgeübten Kräfte im TT–Bereich entwickelt. Dadurch wird die Spannkraftänderunginfolge temperaturbedingter Betondeformationen und die zusätzliche Zwangskraftin den Spanngliedern numerisch berücksichtigt.7.2 Das Äquivalenzlastverfahren zur Ermittlungder Spanngliedkräfte bei RaumtemperaturDas Konzept des Äquivalenzlastverfahrens zur Berücksichtigung der Vorspannung von gekrümmtenFlächentragwerken unter Einschluß der ebenen Sonderfälle beruht auf demSchnittprinzip der Mechanik. Dabei werden die Spannglieder aus dem Tragwerk gedanklichherausgeschnitten und die von ihnen auf den Beton ausgeübten Kräfte, welche im Zusammenhangmit den zusätzlichen Auflagerkräften beim statisch unbestimmten System ein

7 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte aus der Vorspannung 68Gleichgewichtssystem darstellten, in arbeitsäquivalente Knotenkräfte umgerechnet. Dementsprechendwirkt jedes Spannglied über Verankerungs-, Reibungs- und Umlenkkräfte auf daszugehörige Tragwerk ein. Zur Bestimmung des Spannkraftverlaufs infolge Vorspannens unterBerücksichtigung der Reibung zwischen dem Spannglied und dem Hüllrohr dient in der Regeleine Erweiterung der klassischen Euler’schen Seilreibungsgleichung für räumlich gekrümmteSpannglieder [H03].In Bild 7.1 werden die auf ein infinitesimales Bogensegment ds des räumlich gekrümmtenSpanngliedes wirkenden Kräfte dargestellt, wobei die mathematische Beschreibung dieserallgemeinen räumlichen Kurve PQ abhängig von einem Parameter t bekannt ist.Bild 7.1 Geometrische Darstellung der auf ein Bogenelementdes Spanngliedes wirkenden KräfteUnter Annahme der Zunahme der Spannkraft F = F( s)mit wachsender Bogenlänge s ergibtsich beim Einhalten des Gleichgewichts der Kräfte die Beziehung:FQ= F emit: FPF( s = s P) FQ= F s = s Qs x = f ( t) , y = f ( t) , z f ( t)= ; ( )( )x y=zPsQµ χds= - Bogenlänge des Spanngliedes'' '' ''( f ( t) , f ( t) , f ( t))∫sP2d sχ = =2 x y z- Krümmung der Spanngliedkurvedtµ - Reibungsbeiwert zwischen Spannglied und Hüllrohr(7.1)Bei FE–Diskretisierungen des Spanngliedes kann man die Schnittpunkte P und Q mit denKanten eines Betonelements zusammenfallen lassen. Unter der Voraussetzung, dass dieSpannkraft in einem der beiden Punkte bekannt ist, kann man mit Hilfe der Gl. (7.1) eindeutigdie Spannkraft im anderen Punkt bestimmen. Wird das Spannglied von beiden Enden vorgespannt,dann sind die beiden Ankerkräfte F = F( s = s 0)und F F( s = )A A== bekannt. SieBs Bstellen die Startwerte zur Berechnung des Spannkraftverlaufes in allen Schnittpunkten des

7 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte aus der Vorspannung 69Spannglieds mit den Elementknoten dar. Der Vorteil des Äquivalenzlastverfahrens ist nichtnur bei Bestimmung des Verlaufs der Spanngliedkraft zu ersehen. Es ermöglicht auch eineeinfache Erfassung der längs des Spannglieds wirkenden Reibungs- bzw. Verbundkräfte undder in Normalrichtung wirkende Umlenkkraft:FFn( )'' '' ''( s) F( s) χ = F( s) χ fx( t) , fy( t) , fz( t)dF( )( s)x − = F ( s)= (7.2)=n(7.3)dsRµ7.3 Modifikation des Äquivalenzlastverfahrens im TT–BereichBasierend auf der numerisch strukturierten Matrixgleichung (5.1) und zugleich mit Hilfe dermodifizierten Lagrange’schen Formulierung können die Elementmatrix und der Lastvektorfür Spannglieder ohne Berücksichtigung dynamischer Einwirkungen im folgenden wiedergegebenwerden:Ta nr[ K ] u = { F } − { F }i∆ (7.4)iTIn der neuen Formulierung setzt sich die tangentiale Steifigkeitsmatrix [ ]der Elementsteifigkeit[ Ki] und der Matrix der Spannungssteifigkeit[ Si] zusammen:[ K ] [ K ] + [ S ]iiiiK aus der Matrix= (7.5)TTmit: [ K ] = [ B ] [ D ][ B ] d( vol)und [ S ] = [ G ] [ τ ][ G ] d( vol)i∫iiiwährend sich der Vektor der resultierenden Kräfte in folgender Form ergibt:nrT[ Fi] = ∫ [ Bi] { σi} d( vol)i∫iiii(7.6)Dabei lässt sich die Matrix [ G i ]aus der Formfunktion des Elementes ableiten und stellt [ τ i ]eine Matrix der Cauchy–Spannungen {σ i } im globalen Koordinatenssystem dar [A02].Im allgemeinen kommt bei der Diskretisierung der räumlich ausgeführten Spannglieder dasisoparametrische 2-Knoten-Stabelement zur Anwendung, welches über einen linearen Ansatzsowohl für die Geometrie und als auch für die Verschiebung verfügt. Somit ergibt sich dieSpannungssteifigkeitmatrix für Spanngliedelemente [A02]:⎡ 0 0 0 0 0 0 ⎤⎢⎥⎢0 1 0 0 −10⎥(7.7)F ⎢ 0 0 1 0 0 −1⎥[ S l] = ⎢⎥L ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥⎢ 0 −10 0 1 0 ⎥⎢⎥⎣ 0 0 −10 0 1⎦

7 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte aus der Vorspannung 70mit:AE εinF={Fn-1für die erste IterationA – Querfläche des Spanngliedes; E – E–Modul des Spanngliedesfür jede kommende IterationDabei dienen die initialen Dehnungen ε in als Eingabegrößen für jedes Spanngliedelement undkönnen vorher unter Berücksichtigung des Spanngliedverlaufes sowie der Anker- und Reibungskräfteermittelt werden.Der Residualkraftvektor in Gl. (7.4) ergibt sich zu:a nrT el{ F } ( F ) − { F } = AE( ε − ε )amit: { F } T [ ] TlAEεn−10 0 1 0 0nr{ F } AEε[ −10 0 1 0 ] Tl= (7.8)l= - Lastvektorell n 10l=−- Vektor der Newton–Raphson–KräfteDie rechnerische Bestimmung des Termsnn−1Tεnin Gl. (7.8) unterscheidet zwei Fälle. Für einelineare Analyse oder die erste Iteration einer nichtlinearen Newton–Raphson–Analyseentspricht diesthmit: ε = α ( T − T )nT,nαT,nTTnrefnrefT th inεn= εn− ε(7.9)- thermischer Dehnungskoeffizient der Spannglieder bei Temperatur T n- Temperatur des Spanngliedelements in laufender Iteration- Referenztemperaturdagegen für jede folgende Iteration einer Newton–Raphson–Analyse:mit lediglich thermischem Dehnungsinkrement :mit:∆εαT, n, αT,n−1Tn, Tn− 1thn= αT,nε = ∆ε(7.10)Tnthn( T − T ) − α ( T − T )nrefT,n −1n−1- thermischer Dehnungskoeffizient des Spannstahlsref(7.11)- die Temperatur des Spanngliedelements in jetziger und letzter IterationFür eine lineare Analyse oder die erste Iteration einer nichtlinearen Newton–Raphson–Analysefolgt die elastische Dehnung der Form:elth inεn= εn− εn+ ε(7.12)während für jede folgende Newton–Raphson–Iteration die elastische Dehnung entsprechendder folgenden Gleichung bestimmt wird:εeln= εeln−1+ ∆ε − ∆εth− εpl(7.13)mit:L - totale Dehnungu - Knotenverschiebung des Elements längs der Achse= ∆u / L - Dehnungsinkrementpl∆ε- plastisches Dehnungsinkrementεn= u /∆ε

7 Numerische Behandlung der Spanngliedkräfte aus der Vorspannung 71Basierend auf dem Dehnungszustand des Spanngliedelements lassen sich Spannung undSpannkraft längs der Spanngliedachse ermitteln:elσ = Eε(7.14)F = Aσ(7.15)Im Vergleich zum herkömmlichen Äquivalenzlastverfahren dient die Vordehnung, d.h. dieinitiale Dehnung des Spanngliedelements, anstelle der äquivalenten Kräfte als Eingabegrößefür das algorithmische Konzept. Die aus der Vordehnung resultierende Kraft wird alsSpanngliedkraft über Knoten weiter an die Betonelemente übertragen. Durch diese Modifikationwird die Spannbetonstruktur als ein integriertes Gleichgewichtssystem ohne gedanklicheHerauslösung des Spannglieds betrachtet. Dadurch wird die Interaktion zwischen Spanngliedernund Beton unter Berücksichtigung der Spannkraftänderungen infolge der instationärenAbkühlung im TT–Bereich wirklichkeitsnah numerisch ermitteln.

8 Beispiele zur Verifizierung 728 Beispiele zur Verifizierung8.1 ÜbersichtSelbstverständlich sind Programmsysteme, die das reale Tragverhalten der Strukturen simulierensollen, stets an experimentellen Ergebnissen zu überprüfen und zu verifizieren. Dadurchkönnen solche Berechnungsverfahren für die praktische Anwendung allseitig abgesichertwerden. Nach heutigem Stand der FE–Methode ist es durchaus vertretbar, Methoden – nichtkonkrete Ergebnisse – auf komplexe Strukturen zu übertragen, wenn sie mit dem Experimentam Einzelbauteil oder einer Teilstruktur in überzeugender Weise und systematisch übereinstimmen.Die nachfolgenden FE–Berechnungen an experimentellen Versuchen sollen nicht dazu dienen,detaillierte Aussagen zum allgemeinen Bauteilverhalten beizutragen, da diese in der Literatur[I03, N02, N03, P03, P05, S03, S07] ausreichend publiziert sind. Die durchgeführtenFE–Berechnungen sollen vielmehr dazu dienen, das neu entwickelte FE–Modell einschließlichder getroffenen Annahmen über temperaturabhängige thermische und mechanische Stoffgesetzesowie der Algorithmen und insbesondere auch des neuen Materialmodells fürTT–Bereiche an vorhandenen Versuchen zu verifizieren. Zweckmäßig werden die Problemeso ausgewählt, dass möglichst unterschiedliche statische Beanspruchungen in der Koppelungmit thermischer Einwirkung an Stahl- und Spannbetonstrukturen getestet und die dazugehörigethermische Strukturanalyse mit FE–Methode durchgeführt werden. Folgende Problemewerden für die Vergleichsrechnungen solcher numerischen Simulationen herangezogen:• Beispiele für die TemperaturberechnungenBeispiel 8.1.1Beispiel 8.1.2Instationäre Temperaturentwicklung von einseitig vollständigabgekühlten Balken.Instationäre Temperaturentwicklung von einseitig lokal abgekühltenPlatten mit und ohne Linerschutz.• Beispiel für die statischen Berechnungen unter verschiedenentemperaturbedingten EinwirkungenBeispiel 8.2.1Last–Verformungsbeziehungen der Stahlbetonbalken bei normalerTemperatur und bei homogen tiefer Temperatur (–170 °C)Beispiel 8.2.2Beispiel 8.2.3Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalken beinormaler Temperatur und bei homogen tiefer Temperatur (–60 °C)Momenten–Krümmungsbeziehungen der Stahlbetonbalken unterder Einwirkung des Temperaturgradienten.

8 Beispiele zur Verifizierung 73Beispiel 8.2.4Beispiel 8.2.5Beispiel 8.2.6Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalken unterEinwirkung des Temperaturgradienten.Freie Temperaturverformung der Stahlbetonbalken unter Einwirkungder instationären Temperaturentwicklung.Schnittgrößen einer Zylinderschale infolge Einwirkung des Temperaturgradienten.8.2 Berechnung der instationären Temperaturfelder8.2.1 VorbemerkungenUm den Temperaturzwang in Spannbetonbehältern zu untersuchen, wurden Balkenversuchebzw. Plattenversuche unter einseitig, vollständig oder lokal begrenzter schockartiger Abkühlungauf sehr tiefe Temperaturen durchgeführt [N03, P03, P05, W02]. Darunter spiegelten dieexperimentellen Arbeiten von Rostásy u. Pusch [P03, P05] und Niemann [N03] solche Versuchebeispielhaft wieder. Das Kühlmedium war flüssiger Stickstoff (LN 2 ) mit T = –196 °C. DieBauteile wurden unmittelbar mit diesem Kühlmedium schockartig abgekühlt. Dabei wurdendie instationären Temperaturverteilungen über den Querschnitt des Bauteils und zeitlicheTemperaturverläufe an einzelnen diskreten Punkten untersucht.8.2.2 Die instationäre Temperaturentwicklungvon einseitig vollständig abgekühlten BalkenDie erste vorgenommene FE–Berechnung behandelt einen nicht linergeschützten, einseitigvollständig abgekühlten Balken mit Rechteckprofil von 400*200 mm. Die entsprechendenexperimentellen Untersuchungen wurden am Institut für Baustoffe, Massivbau und Brandschutzder Technischen Universität Braunschweig durchgeführt und sind in [P03, P05] wiedergegeben.Die Versuchskonfiguration und Abmessung der Balken sowie Materialkennwertekönnen Bild 8.1 und Tabelle 8.1 entnommen werden.Bild 8.1 Versuchsbalken [P03]Das Bild 8.1 zeigt den Vergleich zwischen Versuch und FE–Berechnung für die ausgewählteKühlzeit. Es ist deutlich zu erkennen, dass mit dem FE–Modell eine gute Beschreibung derinstationären Temperaturentwicklungen infolge einseitiger schockartiger Abkühlung gelingt.

8 Beispiele zur Verifizierung 74Tabelle 8.1 MaterialkennwerteBewehrungVersuchskörperType µ 1 =µ 2 [%]TemperaturT [°C]Lagerung Beton W/Z–WertBalken BSt 420/500/RU 0,50 instationär versiegelt B 45 0,60Kalteschockseite (-196 °C)500,10 StdAbstand von der Abkühlungsseite [mm]100150200250300350B 45;versiegelteLagerungExperimentFE-Berechnung[P03, P05]20,52 Std10,25 Std0,33 Std0,50 Std3,70 Std400-200 -175 -150 -125 -100 -75 -50 -25 0 25Temperatur [°C]Bild 8.2 Die instationäre TemperaturentwicklungDie Temperaturentwicklung infolge einseitiger schockartiger Abkühlung der Betonbalken mitversiegeltem B 45 lässt sich wie folgt beschreiben:Kurz nach Kühlbeginn stellen sich sehr steile Temperaturgradienten ein. Während dieser Zeitherrscht über nahezu die gesamte Dicke des Versuchskörpers noch die Raumtemperatur. DieBetonoberfläche ist nach sehr kurzer Zeit auf die Eigentemperatur des Flüssigstickstoffs von–196 °C abgekühlt. Aufgrund dieser Beschaffenheit kann die erste Randbedingung auf derKälteschockseite für FE–Berechnungen getroffen werden. Mit zunehmender Kühldauer wirdder Gradient flacher. Die Temperaturänderung wird zum Inneren des Versuchskörpers hinimmer langsamer. Der stationäre Endzustand ist nach ca. 20 Stunden erreicht. Die Temperaturverteilunginnerhalb des Querschnitts ist zu diesem Zeitpunkt nahezu geradlinig und dieTemperatur an der Unterseite beträgt ca. –120 °C.

8 Beispiele zur Verifizierung 758.2.3 Die instationäre Temperaturentwicklung von einseitig lokal abgekühltenPlatten mit und ohne LinerschutzUm den Temperaturzwang in Spannbetonbehältern zu untersuchen, wurden auch Plattenversuchemit und ohne Linerschutz unter einseitiger, lokal begrenzter schockartigerTT–Beaufschlagung an der Ruhr Universität Bochum durchgeführt [N03]. Die Versuchsanordnungwurde in Bild 8.3 schematisch dargestellt.Bild 8.3 Schematische Darstellung der Versuchsanordnung [N03]Die Ergebnisse der FE–Berechnung sind in der Form von zeitlichen Temperaturverläufen inPlattenoberseite, Plattenmitte und Plattenunterseite in Bildern 8.4 und 8.5 wiedergegeben. Eszeigte sich, dass eine gute Übereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung für linerlosePlatten unter Berücksichtigung der thermischen Nichtlinearitäten erzielt werden konnte.250Instationäre Temperaturentwicklung [°C]-25-50-75-100-125-150LuftseitePlattenmitteB45; W/Z=0,43in 65% r.F. gelargertExperimentFE-Berechnung[N02, N03]-175-2000 1 2 3 4 5 6 7 8Abkühlungszeit [Std]Bild 8.4 Plattenversuche ohne Linerschutz

8 Beispiele zur Verifizierung 7625Luftseite0Instationäre Temperaturentwickelung [°C]-25-50-75-100-125-150KalteschockseiteB 45; W/Z=0,43Lagerung in 60 % r.F. LuftExperimentFE-Berechnung[N02, N03]-175-2000 1 2 3 4 5 6 7 8Abkühlungszeit [Std]Bild 8.5 Plattenversuche mit LinerschutzWie in Bild 8.5 zu erkennen, ist die Übereinstimmung zwischen den gemessenen und berechnetenTemperaturen deutlich schlechter als bei einer Platte ohne Kopfbolzenliner. Ursachehierfür ist der Einfluss des Luftspalts unter dem Liner. Im FE–Rechenmodell wird derLuftspalt mit der konstanten Dicke des Luftelements abgebildet.Tatsächlich öffnet sich der Luftspalt zunächst schlagartig beim Eintreten des Kälteschocks.Anschließend schließt er sich aber wieder mit fortschreitender Durchkühlung des Bauteils.Dieser Effekt wird am Verlauf der Oberseiten- und Unterseitentemperatur auch verdeutlicht:die berechnete Temperatur simuliert eine stärkere Isolierwirkung als die Messungen nach ca.2 Stunden nach dem Eintreten des Kälteschocks zeigen. Messung und Berechnung zeigen dieerhebliche Auswirkung des Luftspalts.8.3 Statische Berechnung in Kombination mit thermischen Beanspruchungen8.3.1 GrundlagenDie Beanspruchungen von Stahlbeton- und Spannbetonstrukturen infolge mechanischer Belastungund der thermischen Einwirkung aus einseitigem Kälteschock bestehen aus folgendenTeilen: Spannungen infolge Lasten und planmäßiger Vorspannung, Zwangspannungen undEigenspannungen. Unter der Einwirkung eines Temperaturprofils resultieren Längsdehnungaus gleichmäßiger Temperatur T m und Krümmung aus linearer Temperatur-

8 Beispiele zur Verifizierung 77differenz bzw. Temperaturgradienten T zw sowie die infolge des nichtlinearen Temperaturprofilsverursachten Eigenspannungen. Bild 8.6 zeigt die allgemeine Zerlegung eines instationärenTemperaturprofils und die thermischen Beanspruchungen über den Querschnitt infolgedes nichtlinearen Temperaturprofils.Bild 8.6 Thermisch bedingte Zwangsbeanspruchungeninfolge nichtlinearer Temperaturverteilung8.3.2 Last–Verformungsbeziehungen der Stahlbetonbalken bei normalerTemperatur und bei homogen tiefer Temperatur –170 °CIn dem folgenden Beispiel werden die zwei veröffentlichten Stahlbetonbalken aus einer Serienachgerechnet, die von Iványi u. Schäper [I03] experimentell getestet wurden. Diese Versuchezeigten die Tragfähigkeit tiefkalter Balken im Vergleich zu den Balken bei normalenTemperaturen. Die Abmessungen der Betonbalken und die Anordnung der Bewehrung sind inBild 8.7 dargestellt. Eine Nachrechnung liegt jedoch in der Arbeit [I03] nicht vor.Bild 8.7 Versuchsbalken an der Universität Essen nach [I03]

8 Beispiele zur Verifizierung 78Der Versuchskörper wurde im Stickstoffbad „eigenspannungsfrei“ innerhalb des Querschnittshomogen bis –170 °C durchgekühlt. Während des Versuchsablaufes wurde die Versuchskörpernach Herausnahme aus dem Stickstoffbad der natürlichen Erwärmung überlassen.Aus dem Vergleich der Last–Verformungsdiagramme in Bild 8.8 ist zu erkennen, dass keine"Versprödung" der tiefkalt geprüften Balken gegenüber Normaltemperatur auftritt.360320280Experiment [I03]FE-Berechnung240Tiefe Temperatur -170 °CLast [kN]200160120Raumtemperatur 20 °Cmax f = 21 mm804000 5 10 15 20 25Durchbiegung [mm]Bild 8.8 Last–Verformungsdiagramm der Balken8.3.3 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalken beinormaler Temperatur und homogen tiefer Temperatur – 60 °CDas Beispiel entstammt den Arbeiten von Sato [S03]. In den Arbeiten wurde eine Reihe vonexperimentellen Untersuchungen an wassergelagerten Biegebalken bei normaler und tieferTemperatur durchgeführt, wobei hauptsächlich die Einflußfaktoren Temperatur, Bewehrungsgrad,Stabdurchmesser und Vorspannung auf deren Auswirkung auf Rißmomente, Rißabstand,Rißbreite und Krümmung untersucht wurden. Zweckmäßig wird hier eine Serie vonSpannbeton–Versuchbalken bei tiefer Temperatur gegenüber normaler Temperatur herangezogen.Die Versuchsbalken sind mitsamt der Bewehrungsanordnung in Bild 8.9 dargestellt.Bei den TT–Versuchen wurden die Balken vollständig von einer Kühlbox umgeschlossen.Versuche wurden bei einer Temperatur von – 60 °C durchgeführt. Bild 8.10 zeigt die Versuchsanordnungschematisch.

8 Beispiele zur Verifizierung 79Bild 8.9 Versuchsbalken mit Bewehrungsanordnung nach [S03]Bild 8.10 Schematische Darstellung der Versuchungsanordnung0,20,180,160,14bei Temperatur -bei normalerTemperaturMoment [MNm]0,120,10,080,060,040,020Versuchsbalken mit zentrischerVorspannung Pv=-0,4 MN nach [S03]ExperimentFE-Berechnung[K07]Zustand II [S07]0 20 40 60 80 100 120 140Krümmung [10 -7 /mm]Bild 8.11 Momenten–Krümmungsbeziehung der Spannbetonbalken bei NT und TTIn Bild 8.11 sind die Ergebnisse von FE–Berechnungen den experimentell gemessenen Wertengegenübergestellt, wobei die Nachrechnungen von König u. Schnell [K07, S07] auch miteinbezogen werden. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Ergebnisse von FE–Berechnungeneng „parallel“ zu den experimentellen Kurven innerhalb des Bereiches verlaufen, welcher beieiner tiefen Temperatur von – 60 °C von den Nachrechnungswerten von König et al. [K07]

8 Beispiele zur Verifizierung 80und Schnell [S07] und bei normaler Temperatur mit dem Zustand II und der experimentellenKurve begrenzt wurde. Die Momenten–Krümmungskurven der FE–Berechnungen stimmensehr gut mit den Versuchen überein. Sie liefern genauere Angaben über das Bauteilverhalten.Damit kann festgestellt werden, dass die Auswirkung von Vorspannung auf das Bauteilverhaltengut simuliert werden kann und die Zuverlässigkeit der FE–Berechnung durch planmäßigeVorspannung nicht verändert wird.8.3.4 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Stahlbetonbalkenunter der Einwirkung der TemperaturgradientenZur Untersuchung, wie sich Stahlbetonbauteile bei Einwirkung von Temperaturgradientenverhalten, wurde eine Reihe experimenteller Versuche von Sato, Aoyagi u. Kanazu [K01,S03] durchgeführt. Dabei wurden Stahlbetonbalken (b/d/l=20/40/220 cm) aus hochfestemBeton hergestellt, die liegend in den in Bild 8.12 gezeigten Rahmen eingebaut wurden. DieVersuchsbalken wurden statisch bestimmt gelagert. Die durch Temperaturgradienten entstehendeVerkrümmung wurde durch Einleitung äußerer Kräfte zur Balken – Schwerlinie mittelseines Hebelarms von 273 cm ausgeglichen. Die Angaben zum Versuch konnten weitgehendaus der Literatur entnommen werden. Auszugsweise sind die Versuchsdaten in Tabelle 8.2aufgelistet.Bild 8.12 Versuchsrahmen nach [K01]Tabelle 8.2 MaterialkennwerteVersuchs-BewehrungTemperaturVorspannkraftDruckfestigkeitE–ModulNr. d S [mm] µ 1 =µ 2 [%]T [°C]P V [MN]f W,N.T [MN/m²]E b,N.T [MN/m²]L–2 16 1,0 T.G. 0 68,18 36500Verglichen werden die eigenen Ergebnisse mit den von Sato, Aoyagi, Kanazu [K01, S03]veröffentlichten Versuchsergebnissen und mit einer Nachberechnung von Schnell [S07] an

8 Beispiele zur Verifizierung 81der TH Darmstadt, der dafür ein Lamellenmodell mit Differenzenverfahren benutzte. Werdendie experimentellen und rechnerischen Momenten–Krümmungskurven in Bild 8.13 miteinanderverglichen, so lässt sich eine recht gute Übereinstimmung zwischen Versuchsergebnissenund FE–Berechnung feststellen. Nach Angabe in [K01] haben sich im Fall des Versuchsüberhaupt nur drei Risse auf der 2,20 m langen Messstrecke gebildet. Dies wurde besondersdeutlich durch die Unstetigkeiten gekennzeichnet, bei denen die Risse auftraten. Diese Übereinstimmungzeigt nicht nur im eng parallelen Verlaufen der FE–Berechnung zu den experimentellenErgebnissen sondern erstaunlicherweise auch im nahezu Zusammenfallen mit erstenzwei Kniepunkten.0,10,08Versuchsbalken mit StahlbetonVorspannung PV=0(Versuchs -Nr. L - 2 )Biegemoment [MNm]0,060,040,02Experiment [K01]FE-BerechnungTH-Darmstadt [S07]00 20 40 60 80 100 120Temperturdifferenz [°C]Bild 8.13 Momenten–Krümmungsbeziehung von Versuchsbalken ohne Vorspannung8.3.5 Momenten–Krümmungsbeziehungen der Spannbetonbalkenunter der Einwirkung der TemperaturgradientenDie Berechnung der Spannbetonbalken unter Einwirkung des Temperaturgradienten ist ebensoein gutes Beispiel zur Überprüfung des neuen Modells bei thermisch und mechanisch gekoppelterNichtlinearität. Der Versuch entstammt den genannten experimentellen Arbeitenvon Sato, Aoyagi u. Kanazu [K01, S03]. Geometrie und Materialkennwerte können dem Bild8.14 und Tabelle 8.3 entnommen werden, wobei angevoutete Balkenenden dafür sorgen, daßaußerhalb der Meßstrecke keine Risse auftreten.

8 Beispiele zur Verifizierung 82Tabelle 8.3 MaterialkennwerteVersuchs- Bewehrung Temperatur Vorspannkraft Druckfestigkeit E–ModulNr. d S [mm] µ 1 =µ 2 [%] T [°C] P V [MN] f W,N.T [MN/m²] E b,N.T [MN/m²]L–4 16 1,0 T.G. –0,4 65,88 36200Der Vergleich von experimentellen mit berechneten Werten wird in Bild 8.15 gegenübergestellt.Bei der FE–Berechnung ergibt sich ebenfalls eine sehr gute Übereinstimmung vonneuem Modell mit den Versuchsergebnissen.Bild 8.14 Versuchsbalken mit Vorspannung nach [S03]0,120,1Versuchsbalken mit zentrischerVorspannung Pv=-0,4MN (Versuchs- Nr. L -4)Biegeoment [MNm]0,080,060,040,02Experiment [S03]FE-BerechnungTH-Darmstadt [S07]00 20 40 60 80 100 120Temperturdifferenz [°C]Bild 8.15 Momenten–Krümmungsbeziehung von Versuchsbalken mit Vorspannung8.3.6 Freie Temperaturverformung der Stahlbetonbalkeninfolge des instationären KälteschocksUm die Leistungsfähigkeit des neuen entwickelten FE–Modells unter Berücksichtigung instationärtemperaturbedingter physikalischer Nichtlinearität weitergehend zu verifizieren, wirdein weiterer Stahlbetonbalken unter vollständig einseitiger schockartiger Abkühlung numerischuntersucht. Dieses Beispiel entstammt den Versuchen am Institut für Baustoffe, Massiv-

8 Beispiele zur Verifizierung 83bau und Brandschutz der Technischen Universität Braunschweig, die schon von Pusch u.Rostásy [P03, P05] mit Hilfe des Differenzenverfahrens unter Berücksichtigung der TheorieII. Ordnung nachgerechnet wurden. Die Versuchskonfiguration und Abmessung der Balkensowie Materialkennwerte können dem Bild 8.1 sowie der Tabelle 8.1 entnommen werden.6Freie Krümmung κ [10 -5 /cm]54321Experiment [P03]FE-BerechnungTU Brauschweig [P05]StahlbetonB 45 ; µ1=µ2=0,50%versiegelte Lagerung00 3 6 9 12 15 18 21 24Abkühlungszeit [Std]Bild 8.16 Freie Krümmung von Versuchsbalken infolge einseitigen Kälteschocks-1,6-1,4Freie Mittendehnung [ o /oo]-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2Stahlbeton:B 45; µ1= µ2=0,50%versiegelte LagerungExperiment [P03]FE-BerechnungTU Braunschweig [P05]0,00 3 6 9 12 15 18 21 24Abkühlungszeit [Std]Bild 8.17 Freie Mittendehnung der Versuchsbalken infolge einseitigen KälteschocksIn dem Beispiel verläuft die Temperaturverteilung über den Querschnitt des Versuchskörpers– wie in Bild 8.2 dargestellt – nicht nur instationär, sondern nichtlinear. Wegen der statischbestimmten Lagerung des freien Versuchskörpers entstand keine Zwangspannung. Trotzdem

8 Beispiele zur Verifizierung 84wurden auch hohe Eigenspannungen infolge des nichtlinearen begrenzten Anteils, wie inBild 8.6 dargestellt, hervorgerufen. Selbstverständlich konnten solche Eigenspannungen nurdurch Rißbildung abgebaut werden. Die freie Krümmung und die freie Mittendehnung derVersuchsbalken infolge einseitigen Kälteschocks werden in Bild 8.16 und 8.17 abhängig vonder Abkühlungszeit aufgezeigt.Die Nachberechnung von Pusch u. Rostásy [P03] benötigt eine spezielle Bestimmungsgleichunganhand der Bernoulli–Hypothese „Ebenbleiben der Querschnitte“, um das Gleichgewichtvon Schnittgrößen zu erfassen. Dagegen kommt die FE–Berechnung des neuen Modellsohne eine zusätzliche Angabe zur Festlegung des Gleichgewichts an jedem Querschnitt aus,da das neue Modell von einem vollständigen kontinuummechanischen Ansatz ausgeht. Diefreien Verformungskurven stimmen sehr gut mit dem Versuch überein und liefern darübergenauere Angaben. Mit dem Beispiel ist deutlich festzustellen, dass die Verformungen desBauteils unter instationär temperaturbedingter Einwirkung realistisch mit dem neuenFE–Modell erfasst werden können.8.3.7 Schnittgrößen einer Zylinderschale infolge Einwirkungdes TemperaturgradientenNachdem die FE–Modelle und Algorithmen in den vorangegangenen Abschnitten getestetwurden, werden nun die Untersuchungen an komplexeren Behälterstrukturen in überzeugenderWeise vorgenommen. Im Vergleich zu statisch bestimmt gelagerten Versuchskörpern –wie z.B. die in den obigen Beispielen simulierten Stahlbetonbalken und -platten – werdenStahl- und Spannbetonbehälter rotationsymmetrisch ausgeführt und bildet damit ein statischunbestimmtes Tragwerksystem. Im Leckagefall wird das Tragverhalten solcher Stahl- undSpannbetonstrukturen im wesentlichen durch die Verhinderung der von thermischen Verformungenverursachten Zwangschnittgrößen beeinflußt. Die numerische Simulation derthermisch und mechanisch gekoppelten Vorgänge setzt sich hier zum Ziel, das neue FE–Modell an einem solchen exemplarisch ausgewählten Behälter zu verifizieren, der vonMárkus [M01] mit der klassischen Biegetheorie berechnet wurde, um prinzipielle Aussagenüber die Tragfähigkeit von Stahl- und Spannbetonbehältern unter thermischer Beanspruchungerhalten zu können. Damit wird die Anwendung des neuen FE–Modells an solchenkomplexeren, dreidimensional beanspruchten Betonstrukturen abgesichert.

8 Beispiele zur Verifizierung 85In Bild 8.18 wird die zu untersuchende Behälterstruktur schematisch dargestellt, die aus[M01] entnommen wurde. Wie bei den klassischen Berechnungen werden hier Behälter miteinem Verhältnis von H/R = 3zugrunde gelegt, wobei der RadiusR = 3,00 m beträgt.T a =0°CT i =20°C900cmZ30cmBild 8.18 Betonbehälter unterEinwirkung von Temperaturgradientennach [M01]300cm300cmDie Dicke der Zylinderschale h wird mit h = 0,40 m konstant über die Höhe angenommen.Diese Zylinderschale wird mit Boden monolithisch ausgeführt angenommen. Im Vergleichzum Bauzustand war die Temperatur der Schaleninnenseite um 20 K höher. Die daraus resultierendenSchnittgrößen bestimmt werden. Die Materialkennwerte sind: α T = 10 -5 /K, µ = 1/6und E = 21000 N/mm².In der Aufgabestellung handelt es sich um die Bestimmung der Schnittgrößen infolge Einwirkungvon stationären Temperaturgradienten. In Gl. (8.1) werden die Beziehungen zwischenSchnittgrößen und Verschiebungen sowie Einwirkungen aus Temperatur mathematisch dargestellt.In Kombination mit anderen Gleichgewichtsbedingungen lässt sich das Gleichungssystem(8.1) lösen. Damit sind alle unbekannten Ringnormalkraft N θ , Ringbiegemoment M θ undMeridianbiegemoment M Z eindeutig bestimmbar. Über weitere Einzelheiten sei auf Márkus[M01] verwiesen.NMMϕϕz⎡ w dv= D⎢+ µ⎣ a dz−2⎡ d w= K⎢µ− 2 12⎣ dz2⎡dw= K⎢− 2 12⎣ dz( 1 + µ )( + µ )( + µ )α⎤αTTm⎥⎦∆TαThT∆Th⎤⎥⎦⎫⎪⎪⎪⎤⎥⎬⎦⎪⎪⎪⎪⎭(8.1)

8 Beispiele zur Verifizierung 86mit:v – Verschiebung in Meridianrichtung w – Verschiebung in Richtung FlächennormalenD2– Dehnsteifigkeit Eh ( 1 − µ ) K32– Biegesteifigkeit Eh 12 ( 1−µ )T m – Mittlere Temperatur ÄT – TemperaturdifferenzFür die FE – Berechnung erfolgt zum ersten die räumliche 3D–Diskretisierung der Zylinderschale.Durch Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften muss der Vorgang nur an einem abgeschnittenenStreifen der Zylinderschale über die Zylinderhöhe vorgenommen werden. DieZylinderschale wurde in Richtung der Flächennormalen mit zehn und in der Meridianrichtungmit 108 voll integrierten dreidimensionalen 8–Knoten–Solidelementen abgebildet. WeitereNetzstudien wurden hier nicht durchgeführt. In Bild 8.19 sind die entsprechenden numerischenErgebnisse den klassischen Berechnungen der Biegetheorie [M01] gegenübergestellt.Die Übereinstimmung der FE–Berechnung mit der Biegetheorie zeigt, dass mit dem neuenFE–Modell ebenfalls eine gute Vorherbestimmung der Tragfähigkeit für symmetrische Bauwerkeerzielt werden kann.9,08,1Höhe der Zylinderschale [m]7,26,35,44,53,62,71,80,9Biegetheorie [M01]FE-Berechnung0,0-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800Ringkraft [kN/m]Bild 8.19(a) Verlauf der Ringkraft N q über die Zylinderhöhe

8 Beispiele zur Verifizierung 879,08,17,2Höhe der Zylinderschale [m]6,35,44,53,62,71,80,90,0Biegetheorie [M01]FE-Berechnung-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0Ringbiegemoment [kNm/m]Bild 8.19(b) Verlauf des Ringbiegemoments M q über die Zylinderhöhe9,08,1Biegetheorie [M01]FE-Berechnung7,2Höhe der Zylinderschale [ m ]6,35,44,53,62,71,80,90,0-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30Meridianbiegemomente [kNm/m]Bild 8.19(c) Verlauf des Meridianbiegemoments M z über die Zylinderhöhe

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 889 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter9.1 VorbemerkungenDie vorstehenden Verifizierungen an den vorhandenen experimentellen Untersuchungen habendie geeignete Modellierung zum Werkstoff- und Bauteilverhalten von Stahl- und Spannbetonstrukturenim TT–Bereich bestätigt. Diese Erkenntnisse sind jedoch nicht vollständigund nicht uneingeschränkt auf LNG–Spannbetonbehälter übertragbar. Die Lagerungsbedingungendes statisch unbestimmten Systems eines realen LNG–Behälters sind mit den Versuchenan stab- und plattenförmigen Bauteilen nicht zutreffend zu beurteilen, auch werden diekomplizierten mehraxialen Spannungszustände des Spannbetonbehälters bei solchen einfachenVersuchsdurchführungen außer acht gelassen.Die Literaturstudie ergab, dass Veröffentlichungen über experimentelle Untersuchungsergebnissean einem Stahl- und Spannbetonbehälter im TT–Bereich bislang offenbar nicht existieren.Für die instationäre Strukturanalyse unter Berücksichtigung verschiedener thermischerRandbedingungen liegen für Stahl- und Spannbetonbehälter gleichfalls kaum Aussagen vor.Die nachfolgend präsentierten Simulationen haben das Ziel, das durch vorstehende Verifizierungenabgesicherte FE–Modell an einem LNG–Modellbehälter exemplarisch anzuwenden.Anhand des Modellbehälters werden die instationären Spannungszustände und die Schnittgrößenverläufeunter Berücksichtigung der möglichen Rißbildung numerisch untersucht.Nachzuweisen ist, dass die berechneten instationären Zwangsschnittgrößen von der Stahl- undSpannbetonkonstruktion aufgenommen und die von einem solchen Bauwerk geforderte Tragfähigkeitund Sicherheit im TT–Bereich gewährleistet werden können.9.2 Konstruktion und 3D FE–Diskretisierung des ModellbehältersDer zu untersuchende LNG–Modellbehälter ist rotationssymmetrisch aufgebaut. Für den Innenbehälterwird das Verhältnis H/R = 1/1,5 zugrunde gelegt, wobei die Höhe des InnenbehältersH=3,00 m beträgt. Die Dicke der Zylinderschale sowohl für den Innenbehälter alsauch für den Außenbehälter wird mit h = 0,30 m konstant über die Höhe angenommen. DieBodenplatte des Innenbehälters hat ebenfalls eine Dicke von 0,30 m, während für den Außenbehältereine Dicke von 0,50 m festgelegt wird. Der Eckbereich zwischen der Zylinderschale

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 89und der Bodenplatte wird biegsteif monolithisch ausgebildet. Die anderen Abmessungen unddie Konstruktionsdetails des Spannbetonbehälters sind dem Bild 9.1 entnommen.Bild 9.1 Konstruktionsaufbau des LNG – Modellbehälters nach [S05]Bei dem verwendeten Beton handelt es sich um einen B 45 mit einem W/Z–Wert von 0,45.Die Zylinderschale des Innen- und Außenbehälters wird in Ring- und Meridianrichtung zentrischmit Spanngliedern St 1570/1770 vorgespannt. Unter Berücksichtigung der zulässigenSpannstahlspannung ergibt sich der Spannstahlbewehrungsgrad µ z,1 = 0,50% in Ringrichtungund µ z,2 = 0,20% in Meridianrichtung konstant über die gesamte Höhe des Modellbehälters.Die Bodenplatte ist nicht vorgespannt. Als schlaffe Bewehrung dient BSt 500/550. Der Bewehrungsgradfür die Zylinderschalen beträgt 2*0,75% in Ring- und Meridianrichtung. Dergleiche Wert gilt für die Bodenplatte in radialer und tangentialer Richtung.Auf der Innenseite des Außenbehälters, wo mit größerer Verformung und entsprechenderRissbildung infolge des instationären Kälteschocks im Leckagefall zu rechnen ist, wird zurGewährleistung der Dichtigkeit gegen LNG–Diffusion ein Kopfbolzenliner verwendet. Aufder Innenseite des Innenbehälters wird ein geklebter Folienliner aufgebracht. Es sei hier daraufhingewiesen, dass der allgemein baupraktisch verwendete 3 mm starke Kopfbolzenlinerneben seiner thermischen Isolierwirkung infolge der durch den „Polygonalisierungseffekt“gebildeten Luftspalte insbesondere auch die Schnittgrößen aufnehmen kann. Sein Beitrag amTragvermögen des LNG–Behälters wird jedoch für den Modellbehälter in der vorliegendenArbeit nicht berücksichtigt.Die räumliche 3D–FE–Diskretisierung des Modellbehälters und die thermischen und mechanischenFE–Untersuchungen erfolgen unter Ausnutzung der vorliegenden Rotationssymmtriezur Behälterachse für ein Segment der Zylinderschale und Bodenplatte. Für dieFE–Modellierung des Segments werden die 8–Knoten–Solidelemente für die Strukturanalyse

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 90und die Temperaturberechnung mit jeweils 2*2*2 Integrationspunkten benutzt. Bewehrungsstahlund Spannglieder wurden mit dem Stabelement modelliert. Sowohl für die Temperaturberechnungals auch für die thermische Strukturanalyse wurde die gleiche Netzdichte gewählt,so dass die bei der FE–Temperaturberechnung ermittelte Knotentemperatur unmittelbaran die nachfolgende Strukturanalyse gekoppelt werden kann. Die Zylinderschale wird inRichtung der Flächennormalen und Meridianrichtung durch voll integrierten 8–Knoten–Solidelementemit 50 mm Kantenlänge diskretisiert. Da die Bodenplatte im Innenbereich nicht soausgeprägt thermisch beansprucht wird wie die Zylinderschale, nimmt die Kantenlänge derElemente in der radialen Richtung verhältnismäßig zu, so dass sie in der Mitte der Bodenplatte100 mm beträgt. Weitere Netzstudien werden hier nicht durchgeführt.9.3 Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungender Spannbetonschale des ModellbehältersDer Kälteschock infolge Leckage führt zu starken temperaturbedingten Zwangsspannungeninnerhalb des Spannbetonquerschnitts der Zylinderschale. Die Behinderungen der Dehnungenund Krümmungen durch die relativ „wärmere“ Bodenplatte führen zu instationär temperaturbedingtenZwangsnormalkräften und Zwangsbiegemomenten in Ringrichtung.Zugleich wird die Zylinderschale des Außenbehälters in Meridianrichtung biegezwangbeansprucht,während sich ihre Mittendehnung frei entfalten kann. Im Befüllungs- und Entleerungsvorgang,in dem die Temperaturentwicklungen bei weitem nicht so ausgeprägt wie imLeckagefall sind, werden jedoch die Schnittgrößenverläufe und die Spannungsentwicklungenmaßgeblich instationär beeinflusst und ist es dementsprechend mit der Schädigung der Betonschalezu rechnen. Mit den instationär thermischen Strukturanalysen ist der Nachweis derTragfähigkeit des Außenbehälters im Leckagefall und des Innenbehälters im zyklischen Befüllungs-und Entleerungsvorgang möglich. Hauptaugenmerk gilt hierbei den instationärenSchnittgrößenverläufen und Spannungsentwicklungen sowie der Rissbildung der Betonschalenach dem Kälteschock bzw. im Kalt- und Warmfahren.In Bild 9.2 werden die Schnittgrößen und die Betonrissbildungen innerhalb Querschnitte derSpannbetonschale schematisch dargestellt. Anhand der Biegetheorie der Rotationsschalen[M01] ergeben sich die diskretisierten Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungeninnerhalb des Querschnitts für die Spannbetonschale in der vorliegenden Arbeit zu:• RingnormalkraftNθund RingbiegemomentMθ:Nθh / 2R + hnAußenlagesV∫ σθsds= ∫ σθdx= ∑ σθ,i∆x+ µ h σθ,i+ µZhσθ(9.1a)−h/ 2Ri=1i=Innenlage= ∑

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 91Mθ==h / 2∫σ−h/ 2n∑i=1σθssds =R + h∫Rσθ(x − Rc)dxAußenlagesθ, ixi− Rc)∆x+ µ h ∑ σθ,i(xi− Rc)i=Innenlage( (9.1b)• Meridianbiegemoment M z :Mz=h / 2∫−h/ 2i=1σzs(1 +sRc)sds =R + h∫Rσ (x − R )nxxi= ∑ σ∑ σz(xi− Rc)RAußenlageisz,i( xi− Rc)∆x+ µ h, iRci=InnenlagezcxRcdxc(9.1c)mit: n = 6 - die Anzahl der Knoten h - Dicke der ZylinderschaleR c = 3,1 m - Mittenradius der Zylinderschale R - Innenradius der Schale∆x- Breite des Betonelements 50 mmwobei das Moment positiv ist, wenn es an der Schaleninnenfläche Zugspannungen erzeugt.Das entsprechende Auswertungsprogramm wurde in FORTRAN programmiert und auf derMacroebene im „Postprocessing“ des Programmsystems ANSYS ® durchgeführt. In Verbindungmit der Ausgabe der Spannungen und geometrischen Größen lassen sich die Normalkräfteund Biegemomente eindeutig bestimmen.Bild 9.2 Schnittgrößen innerhalb eines Querschnitts der Spannbetonschale9.4 Annahmen für die Analyse des Liner–LeckagefallsDie Leckage des Innenbehälters kann durch einen kleinen Riss verursacht sein, durch welchendas tiefgekühlte Füllmedium LNG austritt und es zur langsamen Füllung des Ringspaltesführt. In dem Fall wird der Außenbehälter somit sowohl nicht rotationssymmetrisch instationärthermisch als auch hydrostatisch durch das Füllmedium LNG belastet.

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 92Im ungünstigsten Fall, der für die FE–Untersuchungen zugrunde gelegt wird, bleibt dieBodenplatte außerhalb des Ringspaltbereiches beim großflächigen Kälteschock der Zylinderschale„warm“. Die Dauer der LNG–Flutung wird unter Annahme einer raschen Füllung desRingspaltes vernachlässigt. Die Flutungshöhe und die Rohdichte von LNG werden zur hydrostatischenLastannahme als H LNG = 3,00 m und ρLNG= 700 kg/m³ angesetzt.9.5 Instationäre Temperaturentwicklung im LeckagefallFür den mit Kopfbolzenliner geschützten Außenbehälter ergibt sich die Wärmeübertragungbeim Kälteschock im Leckagefall für die Komponente unter dem Füllmedium LNG – Kopfbolzenliner– Luftspalt – Betonbehälter – Umgebungsluft. Hierbei kann die Temperatur aufder „kalten“ Innenseite infolge der Überspülung von LNG durch die thermische Randbedingungerster Art mit T = –162 °C bestimmt werden, während sich der Wärmeübergang auf der„warmen“ Außenseite des Außenbehälters durch die Randbedingung dritter Art in der Formvon Konvektion zwischen Außenbehälter und Umgebungsluft beschreiben lässt. Ferne wirddie Anfangstemperatur des Außenbehälters unter der Annahme perfekter Wand- und Bodenisolierungals + 20 °C gleich der Umgebungstemperatur angesetzt.Die Berechnung der Temperaturentwicklung innerhalb der Querschnitte der Behälterbauteileerfolgte mit einer Luftspaltdicke von ca. 1,0 mm, was bei der Nachrechnung der experimentellenUntersuchung [N03] in Kapitel 8.1.2 gut übereinstimmend simuliert wurde. Die Temperaturentwicklungenfür die Zylinder- schale an der Bodenplatte zeigt Bild 9.4. Nach ca. 24Stunden Kühlzeit istnäherungsweise der stationäreEndzustand erreicht, was dieBilder 9.3 und 9.4 erkennen lassen.[ °C ]Bild 9.3 Temperaturverteilungnach 24 Stunden Kälteschockim Leckagefall

9 FE–Untersuchungen an einem LNG - Modellbehälter 93Instationäre Temperaturentwicklung [°C]50250-25-50-75-100-125Abstand des Knotens zur InnenseiteAußenseite25 cm20 cm15 cm10 cm5 cmInnenseit-1500 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.4 Instationäre Temperaturentwicklung der Betonschale an der Bodenplatte9.6 Thermische Strukturanalyse des Außenbehälters im Leckagefall9.6.1 Verformung des Außenbehälters im LeckagefallUnter der Einwirkung des Kälteschockes zieht sich die Zylinderschale zusammen. Im Eckbereichsind die Verformungen infolge Behinderung durch die relativ „warme“ Bodenplatteaußerhalb des Ringspaltbereiches nur zum Teil möglich. Die maximale Verformung des Außenbehälterswurde mit 4,371mm in radialer Richtung nach24 Stunden berechnet, wasdem Bild 9.5 entnommen wird.[ mm ]Bild 9.5 Radiale Verformungdes Außenbehälters nach 24Stunden Kälteschock im Leckagefall

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 949.6.2 instationäre Schnittgrößenverläufe des Außenbehälters im LeckagefallIn den Bildern von 9.6 bis 9.8 werden die instationären Entwicklungen der Ringnormalkräfteund der Ring- und Meridianbiegemomente im Leckagefall unter Berücksichtigung des hydrostatischenDrucks des LNG–Füllmediums über die gesamte Höhe der Zylinderschale3,0Höhe der Zylinderschale [m]2,52,01,51,00,5t = 0t = 1 Stdt = 3 Stdt = 6 Stdt = 12 Stdt = 24 Std0,0-400 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800Ringkraft N θ [kN/m]Bild 9.6 Instationäre Ringnormalkräfte N q im LeckagefallHöhe der Zylinderschale [m]3,02,52,01,51,0t = 0t = 15 Mint = 30 Mint = 1 Stdt = 3 Stdt = 6 Stdt = 12 Stdt = 24 Std0,50,0-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Ringbiegemoment M θ [kNm/m]Bild 9.7 Instationäre Ringbiegemomente M q im Leckagefall

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 953,02,5Höhe der Zylinderschale [m]2,01,51,00,5t = 0t = 1 Stdt = 3 Stdt = 6 Stdt = 12 Stdt = 24 Std0,0-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160Meridianmoment M z [kNm/m]Bild 9.8 Instationäre Meridianbiegemomente M z im Leckagefallschematisch dargestellt. Die unstetige Veränderung in den Schnittgrößenverläufen zur untersuchtenKühlzeit an manchen Stellen der Zylinderschale ist hierbei auf die Rissbildung derBetonschale und die damit verbundenen Steifigkeitsabminderungen zurückzuführen. DieSchnittgrößenverläufe sind durch die folgenden Merkmale gekennzeichnet:• Im Bereich der Fußeinspannung überwiegen die positiven Ringnormalkräfte infolge derVerformungsbehinderung durch die Bodenplatte. Im Abkühlungsvorgang nehmen dieZwangsnormalkräfte zu und führen zum Durchreißen der Betonschale im Eckbereichvon der Bodenplatte bis Schalenhöhe H Z = 639 mm (Bild 9.6).• Nach 3 Stunden Abkühlung erreichen die Ringbiegemomente ihren maximalen Wertvon 167 kN*m/m in der Schalenhöhe H Z = 1,511m. Mit fortschreitender Abkühlung fallensie jedoch auf ihr Minimum in dem stationären Endzustand ab. Infolge Betonrissbildungin Ringrichtung führt die Steifigkeitsabminderung der Betonschale zu einer Verringerungder Ringnormalkraft und des Ringbiegemoments im Eckbereich (Bild 9.7).• In der frühen Abkühlungsphase bis zu ca. 3 Stunden Kühlzeit herrschen über die gesamteHöhe der Zylinderschale die positiven Meridianbiegemomente. Mit fortschreitenderKühlung fallen die Meridianbiegemomente nur an der Bodenplatte und am oberenRand in der negativen Richtung ab. Im Mittenbereich der Zylinderschale werden dieQuerschnitte jedoch unter zunehmend positiveren Meridianbiegemomenten rein biegebeansprucht.Dabei wird die Betonschale in der Schalenhöhe H Z = 1,011 m am stärkstenbeansprucht (Bild 9.8).

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 969.6.3 Instationäre Spannungsentwicklung und Rissbildung von BetonVorbemerkungenDie mehraxialen Spannungszustände der Zylinderschale werden unter Berücksichtigung derBetonrissbildung am Modellbehälter für den Leckagefall numerisch untersucht. Infolge Benutzungdes 2*2*2 integrierten 3D–8–Knoten Volumenelmentes bei der Diskretisierung derZylinderschale ergeben sich die Betonspannungen als Intergralwerte durch die Verbindungder Spannungsordinaten an den Integrationspunkten.Instationäre Spannungen und Betonrissbildung in RingrichtungAnhand der vorstehenden Schnittgrößenverläufe können die instationäre Spannungsentwicklungund die Betonrissbildung in Ringrichtung in bezug auf die Schalenhöhe und die Dauerdes Kälteschocks in den folgenden Bereichen, dargestellt in Bild 9.9, analytisch beschriebenwerden:• Eckbereich von der Bodenplatte bis H Z = 639 mm• Übergangsbereich von H Z = 639 mm bis H Z = 1,039 m• Zylinderbereich von H Z = 1,039 m H Z = 3,000 mBild 9.9 Rissbereich und Risstiefe der Betonschale in RingrichtungIm Eckbereich dürften sich als Folge des Kälteschocks im wesentlichen nur Durchrisse bilden.Im Vergleich zum Durchreißen der Betonschale an der Bodenplatte nach 5 Stunden Kälteschocktritt Betonriss in der Schalenhöhe H Z = 611 mm erst nach 17 Stunden Kälteschocküber den gesamten Querschnitt auf, was den Bildern 9.10 und 9.11 entnommen werden kann.

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 976,0Instationäre Betonspannungen [N/mm²]4,02,00,0-2,0-4,0Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm3,9 cm-6,00 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.10 Instationäre Betonspannungen innerhalb des Querschnitts in H z = 08,06,0Instationäre Betonspannungen [N/mm²]4,02,00,0-2,0-4,0-6,0-8,0-10,0Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm3,9 cm-12,00 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.11 Instationäre Betonspannungen innerhalb des Querschnitts in H Z = 611 mmIm Übergangsbereich wird die Verformung der Zylinderschale mit zunehmendem Abstand zuder Bodenplatte nicht so stark wie im Eckbereich behindert. Demzufolge werden die Zwangsspannungenabgemindert. Wie in Bild 9.12 dargestellt geht die Risstiefe in der SchalenhöheH Z = 639 mm auf ca. 261 mm zurück und fällt mit zunehmendem Abstand zur Bodenplatteab. Bei H Z = 1,011 m beträgt die Risstiefe nur noch ca. 89 mm (Bild 9.13).

FE–Untersuchungen an einem LNG– Modellbehälter 9810,08,0Instationäre Betonspannungen [N/mm²]6,04,02,00,0-2,0-4,0-6,0-8,0-10,0-12,0Abstand von Innenseite28,9 cm26,1 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm3,9cm0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.12 Instationäre Betonspannungen innerhalb des Querschnitts in H Z = 639 mmInstationäre Betonspannungen [N/mm²]10,05,00,0-5,0-10,0Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm18,9 cm11,1 cm8,9 cm3,9 cm-15,00 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.13 Instationäre Betonspannungen innerhalb des Querschnitts in H Z = 1,011 mIm Zylinderbereich wird die Betonschale nach etwa einstündigem Kälteschock ca. 61 mm inRingrichtung aufgerissen. Diese Einrisstiefe verbleibt unverändert bei weiterer Abkühlung.Dementsprechend verbleibt eine Restdruckzone von mindestens 211 mm über die gesamteHöhe des Bereichs.Parallel zur stärksten Schädigung der Betonschale in der Form von Durchreißen werden dieStahleinlagen in Ringrichtung auch im Eckbereich im Leckagefall im höchsten Maß zwangbeansprucht.Bild 9.14 zeigt die Spannungsentwicklungen von Stahleinlagen innerhalb zweier

FE–Untersuchungen an einem LNG– Modellbehälter 99Querschnitte in diesem Bereich. Unmittelbar nach Kühlbeginn werden die Spannungen imBewehrungsstahl in der Innenlage zunehmend positiv. Dahingegen wird der Bewehrungsstahlin der Außenlage zunächst druckbeansprucht. Nach etwa zweieinhalbstündiger Kühlung werdendie Stahldruckspannungen durch den anwachsenden Zugzwang abgebaut und im weiterenVerlauf entstehen nur noch Zugspannungen. Wegen der zentrischen Position nimmt die Zugspannungim Spannstahl schneller als die im Bewehrungsstahl zu, in der Außenlage jedochlangsamer als in der Innenlage. Es wird festgestellt, dass die Stahleinlagenspannung sowohlfür Bewehrungsstahl als auch für Spannstahl an keiner Stelle die Streckgrenze überschreitet250,0Spannungen der Stahleinlagen [N/mm²]200,0150,0100,050,00,0-50,0-100,0- bei H Z = 0... bei H Z = 60 cm0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]AußenlageInnenlageSpannstahlAußenlageInnenlageSpannstahlBild 9.14 Instationäre Stahleinlagenspannungen innerhalb der Querschnittein H Z = 0 und H Z = 600 mmInstationäre Spannungen und Betonrissbildung in MeridianrichtungIn Vergleich zur Betonrissbildung in Ringrichtung wird die Betonschale in Meridianrichtungnur beschränkt beschädigt. Nach den FE–Untersuchungen ergibt sich ein unterer Bereich vonFußeinspannung bis zu Schalenhöhe H Z = 1,639 m, in dem die Betonschale unregelmäßigeingerissen wird. Dahingegen wird die Betonschale im oberen Bereich, von der SchalenhöheH Z =1,639 m bis zum oberen Rand des Außenbehälters, mit gleichmäßiger Einrisstiefe bis ca.111 mm waagerecht aufgerissen wird.Wie Bild 9.15 zeigt, befindet sich der tiefste meridianale Einriss mit ca. 189 mm in der SchalenhöheH Z = 1,011 m. Mit zunehmender Entfernung von dieser Stelle geht die Einrisstiefeauf ca. 111 mm zurück. Im Bereich der Bodenplatte ist die Betonschale jedoch frei von Ein-

FE–Untersuchungen an einem LNG– Modellbehälter 100rissen. In Bild 9.16 werden die instationären Betonspannungen innerhalb des Querschnitts inder Schalenhöhe H Z = 1,011 m schematisch dargestellt. An dieser Stelle wird die Betonschalestets unter zunehmend größtem Meridianbiegemoment beansprucht und am stärksten in Meridianrichtungbeschädigt. Nach 14 Stunden Kälteschock wird die Betonschale bis zu 189 mmtief eingerissen und es verbleibt eine Restdruckzone von mindestens ca. 111 mm.Bild 9.15 Rissbereich und Risstiefe der Betonschale in MeridianrichtungInstationäre Betonspannungen [N/mm²]10,05,00,0-5,0-10,0-15,0Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm21,1 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm-20,00 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.16 Instationäre meridianale Betonspannungen innerhalb des Querschnittesin H Z = 1,011 mDie Stahleinlagenspannung innerhalb des Querschnitts sowohl für Bewehrungsstahl als auchfür Spannstahl, dargestellt in Bild 9.17, überschreitet an keiner Stelle die Streckgrenze, ob-

FE–Untersuchungen an einem LNG– Modellbehälter 101wohl die Spannstahlzugspannung durch Überlagerung des Zugzwangs infolge Betonrissbildungsprungartig zunimmt.175,0Spannungen der Stahleinlagen [N/mm²]150,0125,0100,075,050,025,00,0-25,0AußenlageInnenlageSpannstahl-50,00 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25Dauer des Kälteschocks [Std]Bild 9.17 Instationäre meridionale Stahleinlagenspannungen innerhalb des Querschnittsin H Z = 1,000 m9.7 Zyklische Beanspruchungen im Befüllungs- und Entleerungsvorgang9.7.1 VorbemerkungenBei jedem Befüllungs- und Entleerungsvorgang eines LNG-Spannbetoninnenbehälters resultiereninstationär temperaturbedingte Zwangsschnittgrößen innerhalb des Querschnitts derZylinderschale. Solche thermischen Beanspruchungen können nur kontrolliert werden, indemdas allmähliche Anfahren an die Betriebs- bzw. Normaltemperatur mit möglichst kleinenGradienten über die Wanddicke durch Steuerung der Wandtemperatur erreichen wird. Vorjedem weiteren Kalt- bzw. Warmfahren wird die jeweilige Temperatur auf der Innenseite desInnenbehälters so lang konstant gehalten, bis sich die Temperaturen von Außen- und Innenseiteeinander angeglichen haben.9.7.2 Zyklische Temperaturwechsel im Befüllung- und EntleerungsvorgangIn Anlehnung an der Arbeit von Welsch [W01], in dessen experimenteller Versuchsdurchführungdie Abkühlung einer 200 mm dicke Spannbetonplatte mit einer Geschwindigkeit von imMittel 4,4 K/h erfolgt, wird in der vorliegenden Arbeit eine Geschwindigkeit von 5 K/h –

FE–Untersuchungen an einem LNG– Modellbehälter 102sowohl für das Kaltfahren als auch für das Warmfahren – zugrunde gelegt. Mit dieser praktischrealisierbaren Geschwindigkeit wird die Temperatur auf der Innenseite des Innenbehältersinnerhalb von 36 Stunden von Normaltemperatur +20 °C auf die Betriebtemperatur–162 °C langsam herabgebracht. Um eine stationär homogene Temperaturverteilung innerhalbdes Querschnitts des Innenbehälters zu gewährleisten, erfolgt die 24 stündige Durchkühlungbei der Temperatur von –162 °C. Die Erwärmung im Entleerungsvorgang dauertebenso 36 Stunden. Danach wird die Temperatur bei +20°C für weitere 36 Stunden gehalten,bis der Innenbehälter den stationär homogenen Zustand bei Normaltemperatur +20 °C wiedererreicht hat.Temperatur [°C]40,020,00,0-20,0-40,0-60,0-80,0-100,0-120,0-140,0-160,0-180,0Abstand von Innenseite20 cm15 cm10 cm5 cmInnenseite0 20 40 60 80 100 120 140Dauer des Befüllungs- und Entleerungsvorgangs [Std]Bild 9.18 Zyklische Temperaturverläufe im Befüllungs- und EntleerungsvorgangGradienten [K/mm]0,50,40,30,20,10,0-0,1-0,2-0,3-0,4Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm3,9 cm-0,50 20 40 60 80 100 120 140Dauer des Befüllungs- und Entleerungsvorgangs [Std]Bild 9.19 Instationäre Temperaturgradienten innerhalb des Betonquerschnitts

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 103Bild 9.18 zeigt die instationären Temperaturentwicklungen innerhalb des Querschnitts derZylinderschale in dem Temperaturzyklus. In Bild 9.19 sind die Temperaturgradienten über dieSchalendicke innerhalb des Querschnitts schematisch aufgetragen. Die Darstellung in denbeiden Bildern verdeutlicht, dass die Temperaturverläufe in der Anfang- und Endphase relativstark gekrümmt sind. In fortlaufender Abkühlung fallen die Temperaturgradienten nach demErreichen ihrer maximalen Werte nach 21 Stunden Kühlzeit und in 36 Stunden Warmfahrenwieder ab. Aufgrund solcher instationären Zustände, in denen die Temperaturdifferenz bzw.der Temperaturgradient bei weitem nicht so ausgeprägt wie im Leckagefall ist, wird jedochdie Zylinderschale temperaturbedingt zwangbeansprucht. Dadurch werden die Schnittgrößenverläufeund die Spannungsentwicklungen maßgeblich instationär beeinflusst und ist es dementsprechendmit Rissbildung der Betonschale zu rechnen.9.7.3 Instationäre Schnittgrößenverläufe im BefüllungsvorgangIm Befüllungsvorgang wirkt die Abkühlung auf der gesamten Innenseite des Innenbehälters.Dementsprechend führt der infolge geringerer Verformungsbehinderung schwächer resultierendeTemperaturzwang nur zur beschränkten Schädigung der Spannbetonstruktur des Innenbehälters.In den Bildern von 9.20 bis 9.22 werden die Schnittgrößenverläufe im Befüllungsvorgangdargestellt, welche durch die folgenden Merkmale gekennzeichnet sind:3,02,5Höhe der Zylinderschale [m]2,01,51,00,5t = 0t = 4 Stdt = 7 Stdt = 10 Stdt = 21 Stdt = 36 Stdt = 39 Stdt = 42 Stdt = 60 Std0,0-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200Ringkraft N θ [kN/m]Bild 9.20 Instationäre Ringkräfte N q im Befüllungsvorgang

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 104Höhe der Zylinderschale [m]3,02,52,01,51,00,5t = 0t = 4 Stdt = 7 Stdt = 10 Stdt = 21 Stdt = 36 Stdt = 39 Stdt = 42 Stdt = 50 Stdt = 60 Std0,0-20 0 20 40 60 80 100 120 140Ringmoment M θ [kNm/m]Bild 9.21 Instationäre Ringbiegemomente M q im BefüllungsvorgangHöhe der Zylinderschale [m]3,02,52,01,51,00,5t = 0t = 4 Stdt = 7 Stdt = 10 Stdt = 21 Stdt = 36 Stdt = 39 Stdt = 42 Stdt = 50 Stdt = 60 Std0,0-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140Meridianbiegemoment M Z [kNm/m]Bild 9.22 Instationäre Meridianbiegemomente M Z im Befüllungsvorgang• Nach dem Erreichen ihres maximalen Gradienten nach 21 Stunden Kühlzeit fallendie Schnittgrößen, sowohl in Ringrichtung als auch in Meridianrichtung, wieder ab.Im homogenen Temperaturzustand bei –162 °C gehen sie auf die gleichen Wertewie im stationären Zustand bei der Anfangstemperatur von +20 °C zurück.• Infolge Einrissens der Betonschale in Ringrichtung von der Fußeinspannung bis zuSchalenhöhe H Z = 661 mm findet die Steifigkeitsabminderung statt, welche ihrer-

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 105seits zu einer Verringerung der Ringnormalkraft und des Ringbiegemoments führt.In der Schalenhöhe H Z = 211 mm wird die Betonschale am stärksten beschädigt.• In Meridianrichtung wird die Betonschale dagegen innerhalb des Bereichs von derSchalenhöhe H Z = 611 mm bis H Z = 1,689 m beschädigt. An der Stelle H Z = 861mm ergibt sich die maximale Einrisstiefe.9.7.4 Instationäre Spannungen und Betonrissbildung im BefüllungsvorgangBei der geregelten Abkühlung im Befüllungsvorgang wird der Innenbehälter im wesentlichenschwächer als der Außenbehälter im Leckagefall zwangbeansprucht. Erst nach 11 StundenKühlzeit wird der Innenbehälter nur weniger als 89 mm in Ringrichtung in der SchalenhöheH Z = 211 mm eingerissen. Dementsprechend verbleibt die Restdruckzone von mindestens211 mm. In Meridianrichtung wird die Betonschale in der Schalenhöhe H Z = 861 mm amstärksten beschädigt. Die Einrisstiefe beträgt jedoch weniger als 139 mm. Dieser Wert ist um50 mm geringer als der des tiefsten Einrisses bei H Z =1,011 m im Leckagefall.In den Bildern 9.23 und 9.24 werden die instationären Betonspannungen innerhalb der beidenQuerschnitte in bezug auf die größte Ringkraft in der Schalenhöhe H Z = 211 mm und dasgrößte Meridianbiegemoment in H Z = 861 mm exemplarisch dargestellt, wo die Betonschalejeweils in Ring- und Meridianrichtung im Befüllungsvorgang am stärksten beschädigt wird.Betonspannungen [N/mm²]8,06,04,02,00,0-2,0-4,0-6,0Abstand von Innenseite28,9 cm23,9 cm18,9 cm13,9 cm8,9 cm3,9 cm-8,00 8 16 24 32 40 48 56 64Dauer des Kaltfahrens [Std]Bild 9.23 Instationäre Betonspannungen in Ringrichtung innerhalb desQuerschnitts in H Z = 211 mm im Befüllungsvorgang

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 1066,04,02,0Betonspannungen [N/mm²]0,0-2,0-4,0-6,028,9 cm23,9 cm-8,018,9 cm-10,013,9 cm-12,0Abstand von Innenseite11,1 cm6,1 cm-14,00 8 16 24 32 40 48 56 64Dauer des Kaltfahrens [Std]Bild 9.24 Instationäre meridionale Betonspannungen innerhalbdes Querschnitts in H Z = 861 mm im BefüllungsvorgangWie in Bild 9.25 zeigt, steigen die absoluten Werte der Stahleinlagenspannungen innerhalbder beiden Querschnitte unmittelbar nach Kühlbeginn an. In fortlaufender Abkühlung werdensie jedoch nach dem Erreichen ihrer maximalen Werte abgebaut.Stahleinlagenspannungen [N/mm²]120,0100,080,060,040,020,00,0-20,0-40,0-- Meridianrichtung bei H Z = 85 cm... Ringrichtung bei H Z = 20 cmAußenlageInnenlageSpannstahlAußenlageInnenlageSpannstahl-60,00 8 16 24 32 40 48 56 64Dauer der Abkühlung [Std]Bild 9.25 Instationäre Stahleinlagenspannungen innerhalb der Querschnittein H Z = 200 mm und H Z = 850 mm im Befüllungsvorgang

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 1079.7.5 Instationäre Schnittgrößenverläufe im EntleerungsvorgangDie thermische Beanspruchungsart im Entleerungsvorgang ergibt sich durch das Warmfahrendes Innenbehälters mit der gleichen Geschwindigkeit wie bei den Untersuchungen des Befüllungsvorganges.Statt Abkühlung steht jetzt die Erwärmung auf der Innenseite des durchgekühltenInnenbehälters im Vordergrund. In Anlehnung an Bild 9.20 können für die o. a. Temperaturverläufedie resultierenden Schnittgrößen innerhalb der Querschnitte des Innenbehälterserrechnet werden.In ähnlicher Vorgehensweise werden die instationären Schnittgrößenverläufe des Entleerungsvorgangsin den Bildern von 9.26 bis 9.28 schematisch dargestellt, welche durch diefolgenden Merkmale gekennzeichnet sind:• Nach dem Erreichen ihres maximalen Temperaturgradienten beim 36 StundenWarmfahren fallen die Schnittgrößen in Ring- und Meridianrichtung wieder ab. Imhomogenen Temperaturzustand bei +20 °C gehen sie auf die gleichen Werte wie beider Anfangstemperatur von +20 °C bzw. bei der Durchkühlung auf –162 °C zurück.3,0Höhe der Zylinderschale [m]2,52,01,51,00,5t = 0t = 9 Stdt = 18 Stdt = 27 Stdt = 36 Stdt = 38 Stdt = 45 Stdt = 54 Stdt = 72 Std0,0-500 -250 0 250 500 750 1000 1250 1500Ringnormalkraft N θ [kN/m]Bild 9.26 Instationäre Ringkräfte N q im Entleerungsvorgang• Der Innenbehälter wird stets unter negativen Ringbiegemomenten beansprucht. ImEckbereich oberhalb der Fußeinspannung bis zur Schalenhöhe H Z = 511 mm und imRandbereich von H Z = 2,761 m bis zum freien Rand des Innenbehälters wirken positiveRingnormalkräfte. Die Überlagerung von Ringnormalkraft und Ringbiegemomentführt zur Rissbildung der Betonschale innerhalb der beiden Bereiche. Dement-

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 108sprechend ist eine Steifigkeitsabminderung des Innenbehälters die Folge. Im Bereichder Bodenplatte wird die Betonschale am stärksten beschädigt.• In Meridianrichtung wird die Zylinderschale überwiegend unter reinen negativenMeridianbiegemomenten beansprucht. Über der gesamten Höhe der Zylinderschaletritt jedoch keine Rissbildung auf.Höhe der Zylinderschale [m]3,02,52,01,51,0t = 0t = 9 Stdt = 18 Stdt = 27 Stdt = 36 Stdt = 38 Stdt = 45 Stdt = 54 Stdt = 72 Std0,50,0-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Ringmoment M θ [kNm/m]Bild 9.27 Instationäre Ringbiegemomente M q im Entleerungsvorgang3,0Höhe der Zylinderschale [m]2,52,01,51,00,5t = 0t = 9 Stdt = 18 Stdt = 27 Stdt = 36 Stdt = 38 Stdt = 45 Stdt = 54 Stdt = 72 Std0,0-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40Meridianmoment M Z [kNm/m]Bild 9.28 Instationäre Meridianbiegemomente M Z im Entleerungsvorgang

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 1099.7.6 Instationäre Spannungen und Betonrissbildung im EntleerungsvorgangIm Entleerungsvorgang resultieren Zugspannungen in der Außenseite und Druckspannungenan der Innenseite des Innenbehälters. Es ist daher nicht auszuschließen, dass Zugspannungenbzw. Zugeigenspannungen die Zugfestigkeit des Betons überschreiten. Dies bedeutet außenseitigeRissbildung des Innenbehälters im Entleerungsvorgang.6,04,0Betonspannungen [N/mm²]2,00,0-2,0-4,0-6,0-8,0Abstand von Außenseite3,9 cm8,9 cm11,1 cm16,1 cm21,1 cm26,1 cm-10,00 10 20 30 40 50 60 70 80Dauer des Warmfahrens [Std]Bild 9.29 Instationäre Betonspannungen innerhalb des Querschnittsan der Bodenplatte im Entleerungsvorgang40Satheinlagensspannungen [N/mm²]3020100-10-20-30-400 10 20 30 40 50 60 70 80Dauer des Warmfahrens [Std]AußenlageInnenlageSpannstahlBild 9.30 Instationäre Stahleinlagenspannungen innerhalb des Querschnittsan der Bodenplatte im Entleerungsvorgang

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 110Die vorstehenden Schnittgrößenverläufe im Entleerungsvorgang verdeutlichen, dass derQuerschnitt des Innenbehälters im Bereich der Bodenplatte durch die Überlagerung vonRingkraft und Ringbiegemoment am stärksten zugzwangsbeansprucht. In den Bildern 9.29und 9.30 werden die instationären Spannungen in Ringrichtung sowohl für Beton als auch fürStahleinlagen innerhalb des Querschnitts an der Bodenplatte schematisch dargestellt. Die Darstellungzeigt, dass der Betonquerschnitt nach 33 Stunden Warmfahren mindestens 89 mmjedoch nicht über 111 mm von außen nach innen eingerissen wird. Nach dem Erreichen desmaximalen Gradienten beim 36 Stunden Warmfahren werden die Spannungen sowohl fürBeton als auch für Stahleinlagen mit weiterer Erwärmung rasch abgebaut.9.8 Zusammenstellung der FE–UntersuchungsergebnisseDie bisherigen numerischen Untersuchungen an dem LNG–Modellbehälter zeigen, dass anstellevon experimenteller Versuchsdurchführung das Werkstoff- und Konstruktionsverhaltensvon LNG–Spannbetonbehältern mit dem neuen FE–Modell wirklichkeitsnahe numerischsimuliert werden kann. Mit genauen Angaben über Werkstoffgesetze können die Temperaturverläufeund die daraus resultierenden Zwangsschnittgrößen sowohl in Leckagefällen als auchin Befüllungs- und Entleerungsvorgängen neben den instationär thermischen Vorgängen insbesondereauch unter Berücksichtigung der temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearitätzutreffend ermittelt werden. Basierend auf vorstehenden FE–Untersuchungen lassen sichdie folgenden Aussagen über das Tragvermögen und die Gebrauchsfähigkeit der LNG–Spannbetonbehältern im TT–Bereich erarbeiten:• Der mit Stahl- und Spannbeton konstruktiv aufgebaute LNG–Behälter kann die von einemsolchen Bauwerk geforderte Tragfähigkeit und Sicherheit im TT–Bereich sowohl im Liner –Leckagefall als auch im Befüllungs- und Entleerungsvorgang ausreichend gewährleisten.• Die FE–Untersuchungsergebnisse verdeutlichen, dass die Stahleinlagen in Ringrichtungim Leckagefall im Eckbereich in hohem Maß zwangsbeansprucht werden. Im allgemeinenliegt die resultierende Zugbeanspruchung von Bewehrungs- und Spannstahl jedoch unterhalbseiner Streckgrenze im TT–Bereich. Ein konstruktives Versagen infolge der Brüche vonStahleinlagen kann demnach ausgeschlossen werden.• Der biegesteif monolithisch ausgebildete Eckbereich zwischen Zylinderschale und Bodenplatteist die schwächste Stelle des Außenbehälters im Leckagefall. Infolge der großen

9 FE–Untersuchungen an einem LNG–Modellbehälter 111Ringnormalkräfte kann die Betonschale bis zur gewissen Höhe oberhalb der Fußeinspannungdurchgerissen werden. Mit zunehmendem Abstand von der Bodenplatte werden die Zwangsspannungenabgemindert. Dahingegen wird die Betonschale in Meridianrichtung nur beschränktbeschädigt. Die Dichtigkeit gegen LNG–Diffusion wird in dem Fall in besonderemMaß durch den angebrachten Liner gewährleistet.Für den LNG–Modellbehälter ergibt sich im Leckagefall der Eckbereich mit Durchreißen derBetonschale in Ringrichtung von der Fußeinspannung bis zur Schalenhöhe H Z = 639 mm. Dertiefste meridianale Einriss befindet sich in H Z = 1,011 m und beträgt ca. 189 mm.Die Verhinderung von Durchreißen bzw. die Rissbeschränkung kann durch z. B. Erhöhungder zentrischen Vorspannung oder Einbau der Wandfußdämmung erreicht werden.• Im Befüllungs- und Entleerungsvorgang kann der Innenbehälter mit vorgegebener Geschwindigkeitkontrolliert langsam kalt- und warmgefahren werden, ohne dabei die Stahl- undSpannbetonstruktur des Innenbehälters stark zu beeinträchtigen. Bei der geregelten Abkühlungim Befüllungsvorgang führen die schwachen resultierenden Zwangsschnittgrößen zurinnenseitigen Rissbildung, sowohl in Ringrichtung als auch in Meridianrichtung, mit beschränkterEinrisstiefe in gewisser Schalenhöhe der Betonschale. Dementsprechend verbleibtausreichende Restdruckzone. Im Warmfahren des Entleerungsvorgangs wird der Innenbehälterin Ringrichtung durch die Überlagerung von Ringnormalkräften und Ringbiegemomentenim Eckbereich und im Randbereich des Innenbehälters stark zugzwangsbeansprucht. Im Bereichder Bodenplatte wird die Betonschale von außen nach innen am stärksten beschädigt.Bei zyklischer Temperaturbeanspruchung des LNG–Modellbehälters mit der Geschwindigkeitvon 5,0 K/h wird die Betonschale des Modell-Innenbehälters in der Schalenhöhe H Z =850 mm in Meridianrichtung durch Abkühlung am stärksten beschädigt und die innenseitigeEinrisstiefe beträgt 89 bis 111 mm. Demgegenüber tritt die Rissbildung während Erwärmungim Eckbereich und Randbereich des Innenbehälters in Ringrichtung auf. Dabei ergibt sich dertiefste außenseitige Einriss von 89 bis 111 mm an der Stelle der Fußeinspannung.Bei der ingenieurgemäßen Bemessung des Innenbehälters stellt die Optimierung des Bewehrungs-bzw. Vorspanngrads in bezug auf die Wanddicke und die Geschwindigkeit des KaltundWarmfahrens damit eine wichtige Aufgabe dar.

10 Zusammenfassung und Ausblick 11210 Zusammenfassung und AusblickStarke Beschädigungen von Behältern infolge der instationären Tieftemperatureinwirkungzeigten, daß sich Behälterbauwerke viel komplexer verhalten, als in den heute üblichen Vorschriftenberücksichtigt wird [S09]. Beim Störfall einer Leckage verhalten sich Stahl- undSpannbetonbehälter, hervorgerufen durch instationäre und schockartige Abkühlung, in besonderemMaße temperaturbedingt physikalisch nichtlinear. Ihr Tragverhalten wird in hohemMaß durch enorme temperaturbedingte Zwangsschnittgrößen innerhalb der Zylinderschaleund Bodenplatte beeinflußt. Quantitative Aussagen darüber liegen aber heute kaum vor. Dahersind Untersuchungen bzw. numerische Simulationen, die eine wirklichkeitsnahe Betrachtungsolchen Tragverhaltens erlauben, von besonderem Interesse.Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde ein Berechnungsverfahren auf der Basis derFE–Methode entwickelt, wobei auf die wesentlichen Einflüsse, wie die temperaturbedingtephysikalische Nichtlinearität von Komponenten des Verbundwerkstoffs Stahl- und Spannbeton,mehrachsiges Werkstoffverhalten des Betons sowie nichtproportionale thermischeZwangsbeanspruchung, besondere Rücksicht genommen wurde.Das entwickelte 3D–Materialmodell für den Werkstoff Beton ermöglichte sowohl die zutreffendeBeschreibung des Werkstoffverhaltens unter mehraxialen Beanspruchungen als auchdie analytische Formulierung seiner temperaturbedingten physikalischen Nichtlinearität imTT – Bereich. In dem Zusammenhang kontrolliert das konstitutiv umgesetzte Materialmodelldie plastische Verfestigung des Betons im Druckbereich, während das quasispröde Betonverhaltennach dem Zugbruch durch die kinematische Schädigung gesteuert wurde. Dadurchwurde die einfache Modellbildung von gerissenem Beton gemäß der thermodynamischenEnergieprinzipien in konzeptioneller Formulierung der elastoplastischen Schädigung als auchin algorithmischer Hinsicht realisiert, ohne dabei die generelle Struktur des elastoplastischenWerkstoffmodells zu verändern.Mit dem Mehrschichtmodell können die zu untersuchenden Stahl- und Spannbetonstrukturenüber die Bauteildicke hinsichtlich der instationären Temperaturentwicklung und der damitverbundenen physikalischen Nichtlinearität diskretisiert werden, während sich der beliebigorientierte Betonstahl und die Spannglieder als Stabelemente idealisieren lassen. Dadurchkann der Verbundwerkstoff Stahl- und Spannbeton durch eine einfache Überlagerung der verschiedenenMaterialsteifigkeiten seiner Komponenten realisiert werden. Diese Behandlungs-

10 Zusammenfassung und Ausblick 113weise ist besonders bei der Abbildung der Spannglieder für die Spannbetonstruktur von großerBedeutung.Im weiteren wurde der innere thermische Zwang zwischen Beton und Spanngliedern bzw. dieVeränderung der Spanngliedkräfte infolge der instationären Abkühlung durch die Modifikationdes Äquivalenzlastverfahrens im TT–Bereich berücksichtigt.Ferner dienen sowohl die zunehmende Zugfestigkeit als auch die entfestigende Spannungs–Dehnungs–Linie als Kriterium für die Erfassung von Rißbildung und Rißentwicklung desBetons unter instationär thermoschockartigen Beanspruchungen im TT–Bereich. Im RißmodellI im Sinne der Bruchmechanik wurde die entfestigende Zugspannungs–Dehnungs–Liniein bezug auf Zugbruchenergie des Betons bei normaler Temperatur für den TT–Bereich vervollständigt.Anhand von ausgewählten Beispielen wurden die wesentlichen Komponenten des neuentwickelten FE–Modells, d.h. Elemente, Stoffgesetze, Materialmodell sowie Algorithmusder thermomechanischen gekoppelten Analyse und das Zeitintegrationsverfahren, auf ihreAnwendbarkeit und Grenzen überprüft und verifiziert. Zugleich wurden die Einsatzmöglichkeitendieser modernen nichtlinearen FE–Berechnungsmethode demonstriert.In einem der Schwerpunkte der Verifizierung wurden mit dem entwickelten Programm systematischmehrere Stahl- und Spannbetonbauteile, welche die Zylinderwand der Behälterbzw. ihre Abschnitte wiederspiegeln, rechnerisch untersucht, um erste numerische Erkenntnisseüber die instationäre Temperaturentwicklung, das Tragverhalten im TT–Bereich und dieStandsicherheit derartiger Bauteile zu erlangen.Untersucht wurden Bauteile, deren thermische Beanspruchungen sich in der homogenenTieftemperatur sowie den Temperaturgradienten und der instationären schockartigen Abkühlungunterschieden. Bei den thermomechanischen gekoppelten Untersuchungen wurden dieBauteile zuerst einem Tieftemperaturfeld ausgesetzt, das entweder die homogene Tieftemperatur,die Temperaturgradienten oder den instationären Kälteschock erzeugt. Im Anschluß andiese thermische Beanspruchung wurde die statische Belastung der Bauteile bis zum Eintretendes Versagens simuliert. Die numerisch ermittelte Temperaturentwicklung und Tragfähigkeitvon Bauteilen wurden mit experimentellen Versuchen der internationalen Fachliteratur verglichen.Festgestellt werden konnte dabei, daß die numerischen Untersuchungen mit dem Experimentam einzelnen Stahl- und Spannbetonbauteil sowohl thermisch als auch mechanisch inüberzeugender Weise und systematisch übereinstimmten.

10 Zusammenfassung und Ausblick 114Um die Übertragbarkeit auf mindestens zweiachsig beanspruchte Behälter zu testen, wurdeein Behälter unter Einwirkung eines Temperaturgradienten rechnerisch untersucht und weitergehendmit der Biegetheorie verglichen. Eine im wesentlichen gute Übereinstimmung zwischender numerischen und der theoretischen Lösung konnte festgestellt werden.Bei einem Leckagefall erleidet der LNG–Außenbehälter einen Kälteschock, der zu hohentemperaturbedingten Zugzwangsschnittgrößen innerhalb der Zylinderwand und der Bodenplatteinfolge behinderter Dehnung und Krümmung führen kann. Aufgrund der zyklisch instationärenZustände im Befüllung- und Entleerungsvorgang, in denen die Temperaturdifferenzbzw. der Temperaturgradient bei weitem nicht so ausgeprägt ist wie im Leckagefall,wird jedoch die Zylinderinnenschale temperaturbedingt zwangsbeansprucht. Durch die FE–Untersuchungen an einem Modellbehälter wurde nachgewiesen, daß die aus instationären Temperatureinwirkungenresultierenden Zwangsschnittgrößen sowohl im Leckagefall als auch imBefüllung- und Entleerungsvorgang von der Stahl- und Spannbetonkonstruktion des LNG–Behälters aufgenommen und dementsprechend die von solchem Bauwerk geforderte Tragfähigkeitund Sicherheit des Spannbetonbehälters im TT–Bereich gewährleistet werden kann.Abschließend sollen folgende Bemerkungen angefügt werden:Im Leckagefall des LNG – Behälters wird die Dichtigkeit gegen LNG – Diffusion in besonderemMaß durch den angebrachten Liner gewährleistet. Das Durchreißen bzw. die Rissbildungin Ringrichtung im Eckbereich des Außenbehälters kann durch Ergreifen von Maßnahmen –z. B. Erhöhung der zentrischen Vorspannung oder Einbau der Wandfußdämmung usw. beeinflusstwerden. Bei der Bemessung des Innenbehälters sollte der Bewehrungs- bzw. Vorspanngradin bezug auf die Wanddicke und die Geschwindigkeit für das Kalt- und Warmfahrenoptimiert werden, damit die Rißfreiheit bzw. Rissbeschränkung für den Innenbehälter gewährleistetwerden.Für eine baupraktische Anwendung sollte die Entwicklung eines adaptiven Verfahrens zurVerringerung möglicher Diskretisierungsfehler zum Inhalt haben. Damit verbunden ist dieweitere Entwicklung der "Substrukturtechnik" erforderlich, um möglichst nicht auf komplexeStahl- und Spannbetonstrukturen zurückgreifen zu müssen und um damit Rechenzeit undSpeicherkapazität zu sparen.

Anlage 115I. Rechenwerte der entwickelten Stoffgesetzefür Berechnungen im TieftemperaturbereichStoffgesetze von BetonDruckfestigkeitFormel 2.1 (Seite 10):⎧⎡12 ⎤ ⎫⎪ ( ) ⎪⎨⎢12 − T + 180 ⎥ * Um∆f c,T= ⎣ 2700 ⎦ ⎬ [N/mm²]⎪⎩ 10,7*U ⎪m ⎭⎧ −120°C < T ≤ 20°C ⎫⎨⎬⎩−196°C < T ≤ 120°C⎭Diagramm 2.3 (Seite 11):DruckstauchDruckstauchungFormel 2.7 (Seite 15):2⎧ ⎡ ⎛ T + 80 ⎞ ⎤ U ⎫m⎪εc1+⎪⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ε = ⎨ ⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎥⎦5c 1,T⎬ für⎪ T + 170 Um ⎪⎪εc1+⎩ 90 5 ⎪⎭⎧ − 80°C ≤ T ≤ 20°C ⎫⎨⎬⎩−170°C ≤ T ≤ −80°C⎭

Anlage 116Diagramm 2.10 (Seite 15):E-ModulFormel 2.9 (Seite 16):⎡ T + 170E,T= Ec,0+ 4Um ⎢1− (⎣ 190T + 170mit: 1≤ n =1+ ≤ 2 190nc)⎤⎥⎦[N/mm²]Diagramm 2.12 (Seite 16):

Anlage 117Druckspannungs-Dehnungs-LinienFormel 2.6 (Seite 14):σcε= 1−(1 −f εc,TDiagramm 2.9 (Seite 14):cc,T)nT + 170mit: 1≤ n =1+ 190≤ 2ZugfestigkeitFormel 2.19 (Seite 19):cst,TT2 / 3c,Tf = c f [N/mm²]mit : f ct,T /f cst,T = 0,90 und c T = 0,30 ~ 0,56; c m = 0,43Diagramm:

Anlage 118BruchenergieFormel 2.30 (Seite 22):Gf ,Tf (T) ⋅Gf , + 20°C= [Nm/mm²]mit: f ( T)=Diagramm 2.16 (Seite 23):( 1− α ⋅∆T)( f / f )TEc,T/ Ect,Tc, + 20°Cct, + 20°C2Zugspannungs-Dehnungs-LinienFormel 2.34 (Seite 24):E = E ;ct,Tc,Tfct,Tεct,T= ;Ect,Tεct,lim, T=fEct,Tct,TG+ 2ff ,TctDiagramm 2.17 (Seite23):

Anlage 119Thermische DehnungFormel 2.36 (Seite 28):εc,Tmit:= αc,T(T − 20)( 0,088−ω/ 100)⎛ 273 + T ⎞−c⎜ ⎟ * 10⎝ 6,55ω10⎠6α,T=[°C -1 ]−10Diagramm 2.23 (Seite 28):Stoffgesetze von StahlStreckgrenzeBewehrungsstahl:Formel 2.38 (Seite 29):fy,TT + 170= fy,0+ ∆ff(1 − ) [N/mm²]190Spannstahl:Formel 2.39 (Seite 29):fy,TT + 170= fy,0+ ∆ff(1 − ) [N/mm²]190

Anlage 120Diagramm:E-ModulFormel 2.37 (Seite 29):Es,0 T + 170Es,T= Es,0+ (1 − ) [N/mm²]10 190Diagramm:Thermische DehnungFormel 2.40 (Seite 30):εc,T= αc,T(T − 20)273 + T 7,59 −6mit: αs,T= ( ) * 10 [°C -1 ]−63,181*101

Anlage 121Diagramm:Thermische Kennwerte von BetonFormeln 3.4, 3.5 und 3.1 (Seite 34 und 33):T + 196λ( T) = λRT+ 2,4 ⋅(1− )216- WärmeleitfähigkeitT + 196cp(T) = cp. RT− 0,19⋅(1− )216- spezifische Wärmekapazitäta =λ⋅ ρ- Temperaturleitzahlc pDiagramm 3.1 (Seite 34): λ T ) = 3,26 W/mK; c p (T 0 ) = 0,29 Wh/kgK.( 0

Anlage 122Thermische Kennwerte für LuftspalteFormel 3.6 (Seite 36):2ρ = 5e − 5* T − 0,0025*T + 1,262[kg/m³]λ = 0 ,008*T + 2,43[10² W/m*K]a = 0,01* T + 1,88[10 m²/s]Diagramm 3.4 (Seit 36):3c p = 1000 [J/kg*K]Wärmeleitzahl λ [10 2 W/mK]Spez.Wärmekapazität C p [10 3 J/kgK]Dichte ρ [kg/m³]Temperaturleitzahl a [10 5 m²/s]2,521,510,5ρλC paDichteSpez. WärmekapazitätWärmeleitzahlTemperaturleitzahl0-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20Temperatur [°C]Konvektionszahl a auf der LuftseiteFormel 3.11 (Seite 38):[ 1,510T 0,25]−4⋅ ⋅ +α = 2 ⋅ 20 − T( ) ( )Diagramm 3.5 (Seite 38):[W/mK]

Anlage 123II.Instationäre thermische Strukturanalyse von Stahl- undSpannbetonstrukturen im TT-BereichBerechnung mit ANSYS1. Datenfluss der instationären thermischen StrukturanalyseThermal AnalysisJobname.RTHLDREAD, TEMPStructural AnalysisJobname.RST2. Elementtypen und MaterialnummernElementtype (ET):- Temperaturberechnung:• Solid70 (8-Knoten) Beton• Link33 (2-Knoten) Betonstahl bzw. Spannglieder• Solid70 (8-Knoten) Luftspalt- Strukturanalyse:• Solid65 (8-Knoten) Betonstruktur• Link8 (2-Knoten) Betonstahl bzw. SpanngliederNummerierung der Materialien (Mat)• 1 Beton• 2 Betonstahl• 3 Spannglieder• 4 Luftspalt3. Durchführung der instationären thermischen StrukturanalyseErster Schritt: instationäre TemperaturfeldberechnungPreprocessor:Temperaturabhängige thermische Kennwerte mit Mat-Nr.:- Dichte

Anlage 124- Wärmeleitzahl- Spezifische WärmekapazitätDiskretisierung der Betonstruktur- Knoten: Knoten-Nr; Kartesische Koordinatensystem (X, Y, Z)Zylindrisches Koordinatensystem (r, θ, Z)- Elemente: Element-Nr; Knoten; ET; Mat;Thermische Randbedingung:- Bestimmte Temperatur- KonvektionSolutionprozessor:Lösungstype: transiente BerechnungAktivieren der Effekte von ZeitintegrationPostprocessor:Jobname.rth (Extension „RTH“ – Abkürzung von „result of thermal analysis“)Zweiter Schritt: Strukturanalyse mit gekoppelten TemperaturfeldernPreprocessor:Temperaturabhängige Stoffgesetze mit Mat-Nr.Temperaturabhängige Materialmodelle mit Mat-Nr.- für BetonTB, CONCR ! Betonmodell mit Mat.-Nr. 1- für BetonstahlTB, BKIN ! Bilinear kinematisches Modell mit Mat.-Nr. 2- für SpanngliederTB, BKIN ! Bilinear kinematisches Modell mit Mat.-Nr. 3Diskretisierung der zu analysierenden Stahl- und Spannbetonstruktur- Knoten: Gleiche Netzdichte wie für die Temperaturberechnung- Elemente: Ersetzen der thermischen Elemente (Solid70, Link33)durch die Elemente für Strukturanalysen (Solid65, Link8)Aufbringen der statischen LastSolutionprozessor:Lösungstype: StatikKopplung der thermischen Beanspruchung:LDREAD, TEMP, ,JOBNAME, ,TIME, , RTHPostprozessor:Jobname.rst (Extension „RST“ – Abkürzung von „result of strctural analysis“)

Anlage 1254. Räumliche Diskretisierung und zeitliche IntegrationRäumliche Diskretisierung – max. Elementgröße 100 mmIn der FEM-Terminolgie hat der Begriff Modellgenerierung gewöhnlich eine enger gefassteBedeutung, nämlich das Generieren der Knoten und Elemente, die die räumliche Abmessungund den Zusammenhang des realen Systems darstellen.Im Vergleich zur exakten mathematischen Lösung ergibt sich ein numerischer Fehler infolgeder diskreten Modellgenerierung. Dieser Diskretisierungsfehler kann i. d. R. mit einer kleinenNetzdichte minimiert werden. Die Netzverfeinerung bedeutet zugleich auch die Steigerungdes numerischen Aufwandes bei der Lösung.Angesichts der Genauigkeit der Lösung und des numerischen Aufwandes wurde im Rahmender vorliegenden Arbeit die maximale Elementgröße auf 100 mm Kantelänge festgelegt.Dabei gilt die gleiche Netzdichte sowohl für die Temperaturfeldanalyse als auch für dieStrukturanalyse, so dass die bei der FE–Temperaturberechnung ermittelte Knotentemperaturunmittelbar an die nachfolgende Strukturanalyse gekoppelt werden kann.Zeitliche Integration – max. Zeitschritt 300 sBei der instationären Temperaturberechnung bestimmt die Zeitschrittgröße die Genauigkeitder Lösung: je kleiner der Wert, desto größer die Genauigkeit. Ein Anhaltswert für die Zeitschrittvorgabezum Starten (IST) kann mit der folgenden Formel berechnet werden [A02]:2δIST =4awobei δ die Länge der wärmeübertragenden Strecke eines Elements in Richtung des Wärmestromsund a die Temperaturleitzahl ist. Für Beton beträgt die Temperaturleitzahl a beiNormaltemperatur ca. 7 mm/s (Siehe Bild 3.1). Gemäß der obenstehenden Formel ergibt sichder maximale Zeitschritt für die maximale Elementgröße 100 mm zu:2100IST = ≈ 357s4*7Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde der maximale Zeitschritt IST = 300 s festgelegt.

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In der Schriftenreihe des Lehr- und Forschungsgebietes Baustofftechnologie und Brandschutz,Institut für Konstruktiven Ingenieurbau, Bergische Universität Wuppertal sind bishererschienen:Heft 1:Heft 2:Heft 3:Heft 4:Heft 5:Heft 6:Friedrich-Wilhelm Wittbecker: Gesamttragverhalten thermisch instationärbeanspruchter Stahlverbundkonstruktionen, 1987Bernd Haegermann: Zum Einfluss der Nachbehandlung und der Lagerungauf die Betonqualität unter besonderer Berücksichtigung der Frost-Tausalz-Widerstands, 1987Ulrich Hamme: Zum Gesamttragverhalten stählerner Stabwerke während undnach einer thermisch instationären Beanspruchung, 1990Ulrich Neum: Ein Prüfverfahren auf Ultraschllbasis zur Lokalisierungäußerlich nicht erkennbarer Holzschädigung, 1990Hartlev Liebchen: Untersuchung zur Wirkungsweise von Straßenschwellen aufdas Fahrzeugverhalten, 1991Burkhard König: Historische gusseiserne Stützen – Ein zerstörungsfreiesBeurteilungsverfahren für die Belastbarkeit bei Normaltemperatur undfür den Brandfall, 1995Heft 7: Deltlef Mamrot: Zur Komplexität des Verlaufs von Bränden in Bauwerken –Sensitivitätsanalyse, 1998Heft 8: Sayed Saleh Attia: Performance of Fire Design of Columms by Eurocodes 2, 4– Investigation in the use of Level 1 and Level 2, 1999Heft 9:Friedrich-Wilhelm Wittbecker: Zur szenarioabhängigen Ermittlung undBeurteilung des brandtechnologischen Materialverhaltens, 2000