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Der Spannungs- und Verformungszustandvon vorgespannten Betonträgernunter Berücksichtigung nichtlinearen WerkstoffverhaltensDissertationzur Erlangung des akademischen GradesDoktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)des Fachbereichs D, Abteilung Bauingenieurwesender Bergischen Universität WuppertalvonDjoko SulistyoausYogyakarta, Indonesien2004

Bergische Universität WuppertalFachbereich D, Abteilung BauingenieurwesenPauluskirchstraße 742285 WuppertalDissertation eingereicht am : 22. September 2003Tag der mündlichen Prüfung : 04. Februar 2004Gutachter: em. Univ.-Prof. Dr.-Ing. B. Kotullaapl. Prof. Dr.-Ing. G. BertrandUniv.-Prof. Dr.-Ing. M. HeldVorsitzender der Prüfungskommission : Univ.-Prof. Dr.-Ing. A. Schlenkhoff

VorwortDie vorliegende Arbeit entstand während meines Studienaufenthalts in derBundesrepublik Deutschland als DAAD-Stipendiat und als WissenschaftlicherMitarbeiter im Fachgebiet Industrielles Bauen / Massivbau bzw. Massivbau undTragkonstruktionen im Fachbereich Bauingenieurwesen der Bergischen UniversitätWuppertal.An dieser Stelle möchte ich mich bei allen sehr herzlich bedanken, die zumGelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Mein besonderer Dank gilt meinemDoktorvater Herrn em. Univ.-Prof. Dr.-Ing. B. Kotulla für die Betreuung, Anregungen,Ratschläge sowie die Übernahme des Referats.In gleicher Weise danke ich Herrn apl. Prof. Dr.-Ing. G. Bertrand und HerrnUniv.-Prof. Dr.-Ing. M. Held für die Anregungen, die Diskussionsbereitschaft,die Unterstützung und die Übernahme der Koreferate.Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten S Vorsitzender des PromotionsausschussesS und Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. A. Schlenkhoff sowie Herrn Dr.-Ing. T.Schlurmann S Vorsitzender bzw. Mitglied der Prüfungskommission S dankeich für die zügige Abwicklung des Promotionsverfahrens.Weiterhin bedanke ich mich bei meinen Kollegen, früheren und heutigenMitarbeiterinnen und Mitarbeitern im Fachgebiet Massivbau und Tragkonstruktionen:Herrn Dr.-Ing. P.-U. Schaefer, Herrn Dipl.-Ing. G. Kaiser, Frau Dipl.-Ing. J. König und Herrn Dipl.-Ing. F. Wieschemeyer für die Hilfsbereitschaft,Lesekorrektur sowie die kritische Durchsicht meiner Arbeit.Herzlicher Dank gebührt ebenso dem DAAD und der Bergischen UniversitätWuppertal für die gewährte Unterstützung.Ganz besonders herzlich danke ich meiner Frau Etik-Mufida Sulistyo undmeinem Sohn Fauzan-C.A. Sulistyo für ihre Geduld, Verständnis und Unterstützung.Wuppertal, den 10. Februar 2004Djoko Sulistyo

InhaltsverzeichnisvInhaltsverzeichnis .......................................... vAbkürzungsverzeichnis ........................................ x1 Einleitung ............................................11.1 Vorbemerkung .........................................11.2 Ziel der Arbeit .........................................42 Stand der Technik .....................................72.1 Allgemeines ...........................................72.2 Zwangmomente infolge Vorspannung .......................82.2.1 Behandlung der Zwangmomente infolge Vorspannungbei der Bemessung ......................................82.2.2 Bekannte Untersuchungen zu Zwangmomenteninfolge Vorspannung ...................................112.3 Momentenumlagerungen ................................192.3.1 Allgemeine Hinweise ...................................192.3.2 Bekannte Untersuchungen zur Momentenumlagerung .........222.4 Erfassung von Zwangmomenten infolge Vorspannungund Berücksichtigung von Momentenumlagerungenin Normenwerken......................................352.4.1 Allgemeine Hinweise ...................................352.4.2 DIN 4227 Teil 1 (1988) und Teil 2 (1984) ..................372.4.3 CEB-FIP Model Code 1990 .............................382.4.4 DIN V ENV 1992 Teil 1-1 (Eurocode 2 Teil 1-1) .............402.4.5 ACI 318 - 99 ..........................................44

viInhaltsverzeichnis2.4.6 DIN 1045-1 (2001) .....................................462.5 Zusammenfassung .....................................493 Numerisches Modell ...................................523.1 Allgemeines ..........................................523.2 Nichtlineare Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen ..........533.2.1 Verschiebung eines Punktes ..............................533.2.2 Dehnung der Stabachse .................................553.2.3 Neigung der Biegelinie .................................573.2.4 Krümmung der verformten Stabachse ......................573.2.5 Dehnung einer beliebigen Stabfaser .......................583.2.6 Anwendung bei Stahlbeton- und Spannbetonträgern ..........593.3 Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix ...................603.3.1 Allgemeine Hinweise ...................................603.3.2 Beschreibung des Balkenelementes ........................613.3.3 Verschiebungsansätze des Balkenelementes .................643.3.4 Dehnung einer beliebigen Elementfaser ....................663.3.5 Herleitung der Steifigkeitsmatrix nach dem Prinzipder virtuellen Arbeit ....................................673.3.6 Auswertung der Elementsteifigkeitsmatrix ..................703.4 Knotenlastvektor infolge Streckenlasten ....................723.5 Reduzierung der Knotenfreiheitsgrade des Elementesdurch statische Kondensation .............................734 Verwendete Werkstoffgesetze ...........................764.1 Allgemeines ..........................................764.2 Beton ...............................................76

Inhaltsverzeichnisvii4.2.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bei Druckbeanspruchung . . . 764.2.2 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bei Zugbeanspruchung ....814.2.3 Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen auf Zug .........844.3 Betonstahl............................................854.4 Spannstahl ...........................................895 Teilverluste der Vorspannkräfte ........................915.1 Allgemeines ..........................................915.2 Zeitunabhängige Vorspannkraftverluste ....................945.2.1 Vorspannkraftverluste infolge Reibung zwischen Spannstahlund Hüllrohr ..........................................945.2.2 Verankerungsschlupf ...................................975.2.3 Elastische Verformungen ................................985.3 Zeitabhängige Vorspannkraftverluste .....................1025.3.1 Schwinden des Betons .................................1055.3.2 Kriechen des Betons...................................1075.3.3 Relaxation des Spannstahls .............................1085.4 Berechnungsmethoden der Teilverluste der Vorspannkräfte ....1115.4.1 Globale Abschätzung der Teilverluste der Vorspannkräfte .....1115.4.2 Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnungder Anteile einzelner Komponenten ......................1125.4.3 Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnungvon Zeitintervallen ....................................1126 Berechnungsprogramm ...............................1146.1 Allgemeines .........................................1146.2 Ablauf des Programms.................................115

viiiInhaltsverzeichnis6.3 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme ..................1206.3.1 Allgemeine Hinweise ..................................1206.3.2 Inkrementelles Verfahren...............................1216.3.3 Iteratives Verfahren ...................................1236.3.4 Inkrementell-Iteratives Verfahren ........................1276.4 Konvergenzkriterien ...................................1287 Nachrechnung experimenteller Untersuchungen /Anwendungsbeispiele .................................1317.1 Nachrechnung experimenteller Untersuchungen .............1317.1.1 Allgemeines .........................................1317.1.2 Versuchsträger von Lin ................................1317.1.3 Versuchsträger von Priestley und Park ....................1367.1.4 Versuchsträger von Taerwe et al. .........................1397.1.5 Zusammenfassung ....................................1437.2 Anwendungsbeispiele .................................1437.2.1 Allgemeines .........................................1437.2.2 Einfeldträger.........................................1447.2.3 Symmetrischer Zweifeld-Durchlaufträger ..................1477.2.4 Unsymmetrischer Zweifeld-Durchlaufträger................1537.2.5 Zusammenfassung ....................................1578 Numerische Untersuchungen ..........................1588.1 Übersicht der untersuchten Systeme ......................1588.2 Auswertung der Ergebnisse für die einzelnen Systeme .......1618.2.1 Allgemeines .........................................1618.2.2 Die Systeme der Serie A ...............................164

Inhaltsverzeichnisix8.2.3 Die Systeme der Serie B ...............................1738.3 Zusammenfassung und Folgerungen aus den Untersuchungen . . 1819 Zusammenfassung ...................................184Literaturverzeichnis .........................................186Anhang A: Vergleich der Ergebnisse der ausgewählten experimentellenVersuche und numerischen Untersuchungen mit denen aus denNachrechnungen.Anhang B: Versuchsdaten der Träger für die numerischen Untersuchungen.Anhang C: Ergebnisse der numerischen Untersuchungen.

xAbkürzungenAbkürzungsverzeichnisLateinische BuchstabenA Fläche (allgemein)A aA cA crArbeit der äußeren KräfteQuerschnittsfläche des BetonsFläche der Wirkungszone des Tension-Stiffening-EffectA gt charakteristische Gleichmaßdehnung des Betonstahls (DIN 10080)A iArbeit der inneren KräfteA pA sbdd 1d maxd pQuerschnittsfläche des SpannstahlsQuerschnittsfläche des BetonstahlsBreitestatische Nutzhöhe eines Querschnitts; DurchmesserAbstand des Schwerpunktes der Zugbewehrung vom gezogenenRandDurchmesser des Größtkornes des BetonzuschlagsAbstand zwischen dem Schwerpunkt der Spannglieder und demSchwerpunkt des Betonquerschnittsd sAbstand zwischen dem Schwerpunkt der Zugbewehrung und demSchwerpunkt des BetonquerschnittsE c1Sekantenmodul des Betons von F c = 0 bis F c = f cmE ci Tangentenmodul des Betons bei F c = 0E cmE pE seElastizitätsmodul des Betons (Mittelwert des Sekantenmoduls beiF c = 0,4@f ck )Elastizitätsmodul des SpannstahlsElastizitätsmodul des BetonstahlsExzentrizität (allgemein)

Abkürzungenxie pExzentrizität der Spannglieder vom Schwerpunkt des Betonquerschnittsf ckf cmf ctkf ctmf pkf p0,1kf tkf tmf ykf ymGG FG F0ghh o = 2A c /uI cK eK skLcharakteristische Druckfestigkeit des BetonsMittelwert der Druckfestigkeit des Betonscharakteristische zentrische Zugfestigkeit des BetonsMittelwert der zentrischen Zugfestigkeit des Betonscharakteristische Zugfestigkeit des Spannstahlscharakteristische Spannstahlspannung an der 0,1%-Dehngrenzecharakteristische Zugfestigkeit des BetonstahlsMittelwert der Zugfestigkeit des Betonstahlscharakteristische Streckgrenze des BetonstahlsMittelwert der Streckgrenze des Betonstahlsständige Einwirkung; SchubmodulBruchenergieGrundwert der Bruchenergiegleichmäßig verteilte Last aus ständigen EinwirkungenGesamthöhe eines Querschnittswirksame Bauteildicke (bei Kriechen und Schwinden)Trägheitsmoment des BetonquerschnittsElementsteifigkeitsmatrixGesamtsteifigkeitsmatrixungewollter Umlenkwinkel der SpanngliederLänge, SpannweitelLänge (allgemein))l sl Schlupflänge des Keilschlupfs beim Vorspannen der SpanngliederM Biegemoment (allgemein)M gBiegemoment infolge ständiger Einwirkungen

xiiAbkürzungenM pM p,dirM p,indM qNNnP d , P kBiegemoment infolge Vorspannungstatisch bestimmter Anteil des Biegemomentes infolge Vorspannungstatisch unbestimmter Anteil des Biegemomentes infolge VorspannungBiegemoment infolge veränderlicher EinwirkungenAnzahl der SpanngliederFormfunktionsmatrixVerhältnis der Elastizitätsmoduln von Stahl und BetonBemessungswert bzw. charakteristischer Wert der VorspannkraftP m,o Mittelwert der Vorspannkraft an der Stelle x im Zeitpunkt t = 0P m,tMittelwert der Vorspannkraft an der Stelle x zum beliebigen ZeitpunkttP oP xVorspannkraft am Spannende (x = 0) unmittelbar nach dem VorspannenVorspannkraft an einer Stelle mit Abstand x zur Spannpresse)P : (x) Vorspannkraftverluste infolge Reibung zwischen Spannstahl undHüllrohr)P ES Vorspannkraftverluste infolge elastischer Verformungen des Bauteils)P ir Vorspannkraftverluste infolge kurzzeitiger Relaxation im Zeitraumzwischen Vorspannen der Spannglieder und Übertragung der Vorspannkräfteauf den Beton)P sl Vorspannkraftverluste infolge Keilschlupf)P t (t) zeitabhängige Vorspannkraftverluste infolge Schwinden und Kriechendes Beton sowie Relaxation des SpannstahlsQQqveränderliche EinwirkungenLastvektor der veränderlichen EinwirkungStreckenlast

AbkürzungenxiiiRKrümmungsradiusR LastvektorR e charakteristische Streckgrenze des Betonstahls (DIN 10080)RH relative LuftfeuchtigkeitR m charakteristische Zugfestigkeit des Betonstahls (DIN 10080)r t , r 100 , r 1000 Relaxationswert des Spannstahls nach t, 100 bzw. 1000 Stunden.rVerschiebungsvektor der Knotenpunkter inf , r supBeiwerte zur Bestimmung des unteren bzw. oberen charakteristischenWertes der Vorspannung P kT()t i )Temperatur in /C während des Zeitraums )t i in Tagent, t o , t s Betonalter des Betons zum betrachteten Zeitpunkt, zum Belastungsbeginnbzw. zum Beginn des Schwindenst 0,Tuu 0 ,v 0u i ,v i ,2 iwirksames Belastungsalteräußerer Umfang eines Querschnitts mit der Fläche Ahorizontale bzw. vertikale Verschiebung eines Punktes der StabachseVerschiebungen bzw. Verdrehung eines Knotenpunktes iu, v, 2 Verschiebungsvektoren der KnotenpunkteVwVolumen (allgemein)Rissöffnungw 1w cxRissöffnung bei Betonzugspannung F c = 0,15 f ctmmaximale RissöffnungAbstand der Nullinie vom gedrückten Querschnittsrand;Länge des Spanngliedsegments vom Spannanker bis zur betrachtetenStellex,y,zx slAchsrichtungen eines rechtwinkligen, rechtsdrehenden KoordinatensystemsEinflusslänge des Keilschlupfs

xivAbkürzungenyz cpAbstand einer Faser vom Schwerpunkt des QuerschnittsAbstand der Spannglieder vom Schwerpunkt des BetonquerschnittsGriechische Buchstaben" Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der verwendetenZementart auf die Kriechzahl des Betons" F Beiwert zur Berücksichtigung der maximalen Zuschlaggröße d max$ Verdrehungswinkel des Querschnitts infolge des Biegemoments$ 1 Beiwert zur Berücksichtigung der Betonfestigkeit$ c Beiwert zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Kriechens$(f cm )Beiwerte zur Berücksichtigung des Einflusses der Betonfestigkeitf cm auf die Grundkriechzahl$ RH Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der relativen LuftfeuchtigkeitRH auf das Endschwindmaß$ sc Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Zementart auf dasSchwinden$ s Beiwert zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Schwindens$(t o )Beiwerte zur Berücksichtigung des Einflusses des Betonalters beiBelastungsbeginn t o auf die Grundkriechzahl$ t Beiwert zur Berücksichtigung der zeitlichen Belastungsart beiBestimmung der Stahldehnung( Schubverzerrung; Summe der gewollten und ungewollten Umlenkwinkel( p Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkung infolge Vorspannung( s Teilsicherheitsbeiwert für Betonstahl und Spannstahl* Verhältnis des umgelagerten Moments zum Ausgangsmoment vorder Umlagerung; Beiwert zur Berücksichtigung der Streckgrenze

Abkürzungenxvund der Duktilität bei Bestimmung der Stahldehnunggg cg c1g cp,ESDehnung (allgemein)BetonstauchungBetonstauchung bei höchster DruckbeanspruchungBetondehnung in Höhe des Spannglieds infolge elastischer Verformungg csoGrundschwindmaßg cs (t,t o ) Schwinden des Betons im betrachteten Zeitraum (t,t o )g ct1g ctuBetondehnung bei F c = 0,9.f ctmBetondehnung bei höchster Zugbeanspruchungg cu Bruchstauchung des Betons (bei einer Spannung F c = 0,5.f cm )g Dg Eg Fg pKonvergenztoleranz für die VerschiebungenKonvergenztoleranz für die EnergieKonvergenztoleranz für die unbalancierten KräfteSpannstahldehnung)g p,ES Dehnungsänderung des Spannstahls infolge elastischer Verformungg pu,kg sg s (f cm )charakteristische Gleichmaßdehnung des SpannstahlsStahldehnung (allgemein)Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der mittleren Betondruckfestigkeit(f cm , in N/mm 2 ) im Alter von 28 Tageng s,mg sr1mittlere StahldehnungStahldehnung im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen beig sr2g sug syg ukErreichen von Betonzugfestigkeit f ctmStahldehnung im Riss unter RissschnittgrößenStahldehnung bei höchster ZugbeanspruchungStahldehnung bei Fließgrenzecharakteristische Gleichmaßdehnung des Betonstahls

xviAbkürzungenFF 0,maxF cF c,g2 Verdrehungswinkel des Stabquerschnitts;planmäßiger Umlenkwinkel des Spannglieds2' oder 6 Krümmung der verformten Stabachse: Reibungsbeiwert zwischen Spannglied und Hüllrohr:' Reibungsbeiwert zwischen Spannglied und Hüllrohr beim Nachlassenoder beim KeilschlupfSpannung (allgemein)maximal zulässige Spannstahlspannung beim SpannvorgangBetonspannung (allgemein)Betonspannung infolge ständiger EinwirkungF c,poF cp,ESBetonspannung in Höhe der Spannglieder infolge Vorspannung P m,oBetonspannung in Höhe des Spannglieds infolge elastischer VerformungF cp,GF cp,Pm,oBetonspannung in Höhe des Spannglieds infolge EigengewichtBetonspannung in Höhe des Spannglieds infolge Vorspannkraftnach der VorspannkraftübertragungF cp,Pi+GiBetonspannung in Höhe des Spannstahls infolge Vorspannkraft P iund Anteil des Eigengewichts G iF p, Po+GSpannung der Spannglieder infolge Vorspannung und ständigerEinwirkung)F p,c+s+r Spannungsänderung in den Spanngliedern infolge Schwinden,Kriechen und Relaxation an der Stelle x zum Zeitpunkt t)F p,r Spannungsänderung in den Spanngliedern infolge RelaxationF sF sr1F srnF ymStahlspannung (allgemein)Stahlspannung beim ersten BetonrissStahlspannung beim letzten BetonrissMittelwert der Streckgrenze des Betonstahls

AbkürzungenxviiNRTT'T pn oFormfunktion für horizontale VerschiebungenFormfunktion für vertikale Verschiebungenmechanische Bewehrungsverhältnisse der Zugbewehrungmechanische Bewehrungsverhältnisse der Druckbewehrungmechanische Bewehrungsverhältnisse des SpannstahlsGrundkriechzahln(t,t o ) Kriechzahl für den betrachteten Zeitraum (t,t o )n RHBeiwerte zur Berücksichtigung des Einflusses der relativen LuftfeuchtigkeitRH auf die Grundkriechzahl

Einleitung 11 Einleitung1.1 VorbemerkungIn Stahlbeton- und Spannbetonkonstruktionen werden häufig statisch unbestimmtgelagerte Tragglieder eingesetzt, wodurch gegenüber statisch bestimmten Systemendie Sicherheitsreserven gegen Versagen gesteigert, die Verformungenreduziert und die Herstellungskosten verringert werden können.Der Durchlaufträger bietet als wichtiges Tragglied gegenüber dem statischbestimmt gelagerten Träger mehrere Vorteile. Unter gleicher Belastungsgrößeund -anordnung treten bei Durchlaufträgern im Gegensatz zu Einfeldträgernkleinere Momente und Durchbiegungen im Feldbereich auf. Sie benötigengeringere Querschnitte, so dass eine Verminderung der Herstellungskosten zuerreichen ist. Bei Spannbetondurchlaufträgern können Kosten gespart werden,wenn die Spannstähle in einem einmaligen Spannvorgang vorgespannt werdenkönnen. Weitere Vorteile sind bei Durchlaufträgern durch die Möglichkeit einerMomentenumlagerung gegeben, welche die Tragfähigkeit des gesamten Tragwerkeserhöhen können.Die Anwendung von Spannbetondurchlaufträgern bringt jedoch auch Nachteile.In einem solchen Tragwerk setzt sich die Spanngliedführung normalerweise ausmehreren parabolischen Segmenten zusammen, welche während des Anspannensgroße Vorspannkraftverluste infolge Reibung hervorrufen. Weitere Nachteilehängen bei der Anwendung von Spannbetondurchlaufträgern mit der aufwendigerenBerechnung zur Beschreibung ihres wirklichkeitsnahen Tragverhaltens

2Einleitungzusammen. Zwei Faktoren, die die Berechnung und Bemessung erschweren, sindZwangschnittgrößen infolge Vorspannung und Momentenumlagerungen infolgenichtlinearen Werkstoffverhaltens. Beide Einflussfaktoren müssen in der Berechnungund der Bemessung von Spannbetondurchlaufträgern entsprechendberücksichtigt werden. Um das wirklichkeitsnahe Beanspruchungsverhalten desTragwerkes zu ermitteln, ohne einen teuren und aufwendigen Laborversuchdurchführen zu müssen, ist die Berechnung der Schnittgrößen unter Berücksichtigungder geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten als praxisgerechterLösungsweg zu sehen.Die Materialkomponenten der Betontragwerke S Beton, Betonstahl und SpannstahlS weisen nichtlineares Materialverhalten auf. Außerdem unterscheiden sichdie Spannungs-Dehnungsbeziehungen des Betons bei Druck- und Zugbeanspruchung.Infolge geringer Zugfestigkeit kann frühzeitig die Rissbildung imBeton einsetzen, welche örtlich zu Steifigkeitsminderungen und bei statischunbestimmten Systemen infolge der Veränderung der Steifigkeitsverhältnissezu Schnittgrößenumlagerungen im gesamten Tragwerk führt. Durch die Rissbildungist ein diskontinuierliches Tragverhalten zu verzeichnen. Diese Erscheinungenverlangen bei der Nachweisführung zur Tragfähigkeit und bei derErmittlung des wirklichkeitsnahen Verhaltens von Betontragwerken eine nichtlineareAnalyse.Im Hinblick auf die Vorteile der Berücksichtigung von Schnittgrößenumlagerungensind hervorzuheben: die Vermeidung von Bewehrungsanhäufungen, eineEntlastung der hochbeanspruchten Druckzone, eine gleichmäßige Ausnutzungund damit gleichmäßige Sicherheit des Tragwerkes. Es ist von Vorteil, denSchnittgrößenzustand unter Annahme wirklichkeitsnaher Werkstoffeigenschaften

Einleitung 3zu berücksichtigen. Neue Sicherheitskonzepte, wie z.B. im Eurocode 2 [1] undDIN 1045-1 [3] eingeführt, lassen ausdrücklich die Bemessung aufgrundnichtlinearer Berechnungen zu.Bei statisch unbestimmten Spannbetontragwerken ruft die Vorspannung üblicherweiseZwangschnittgrößen hervor. Es wird allgemein angenommen, dassdie Zwangschnittgrößen in der Berechnung nach der linearen Elastizitätstheorieberücksichtigt werden müssen, dagegen aber bei der Plastizitätstheorie vernachlässigtwerden können [17, 19, 21, 27]. Eine einfache Trennung der Schnittgrößenanteileinfolge äußerer Lasten und Vorspannung ist bei linear-elastischemMaterialverhalten wegen der Gültigkeit des Superpositionsprinzips möglich. Dieeindeutige Zuordnung ist hingegen für nichtlineares Materialverhalten nicht ohneweiteres durchführbar. Bei experimentellen Untersuchungen kann diese Unterteilunggleichfalls kaum erfasst werden.Im Zustand I ergeben sich in statisch unbestimmt gelagerten Trägern in Abhängigkeitvon der Spanngliedführung zum Teil erhebliche Zwangschnittgrößen.Im Grenzzustand der Tragfähigkeit geht der Träger in den gerissenen undbereichsweise plastifizierten Zustand über. Deshalb stellt sich im Hinblick aufden rechnerischen Biegebruchsicherheitsnachweis die Frage, ob sich mit dendamit verbundenen Steifigkeitsänderungen neben dem statisch bestimmtenMomentenanteil aus Vorspannung auch die Zwangmomente infolge Vorspannungverändern. Es stellt sich die Frage, ob sie gegenüber dem Zustand I in ungünstigwirkender Weise zu- oder abnehmen.Zahlreiche experimentelle und numerische Untersuchungen wurden bereits zumThema Momentenumlagerung sowohl bei Stahlbeton- als auch bei Spannbeton-

4Einleitungtragwerken durchgeführt. Es ist bisher der Einfluss unterschiedlicher Parameterauf die Momentenumlagerung untersucht worden. Demgegenüber befinden sichin der Literatur nur wenige Ergebnisdarstellungen von Untersuchungen über dieZwangschnittgrößen infolge Vorspannung im nichtlinearen Bereich. Die analytischenUntersuchungen werden meistens aufgrund der Plastizitätstheorie durchgeführt,wobei die Momentenentwicklung im nichtlinearen Bereich nur unvollständigerfasst wird. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind teilweisewidersprüchlich hinsichtlich der Entwicklung des Zwangmoments im nichtlinearenBereich. Es besteht außerdem weiterer Klärungsbedarf über die gegenseitigeBeeinflussung von Zwangmomenten und Momentenumlagerung.1.2 Ziel der ArbeitZiel der vorliegenden Arbeit ist es, für Spannbetondurchlaufträger die Entwicklungder Zwangschnittgrößen infolge Vorspannung bis zum Grenzzustand derTragfähigkeit wirklichkeitsnah zu erfassen. Ebenso soll die gegenseitige Wirkungzwischen Zwangmomenten und Momentenumlagerungen ermittelt werden.Eine wirklichkeitsnahe Berechnung des Tragverhaltens setzt die Beachtungsowohl der geometrischen als auch der physikalischen Nichtlinearitäten voraus.Dazu wird die Berechnung unter Berücksichtigung von:- großen Formänderungen,- wirklichkeitsnahem nichtlinearen Werkstoffverhalten,- Rissbildungen in der Form eines verschmierten Modellsdurchgeführt.

Einleitung 5Ausgehend von der nichtlinearen Stabstatik wird ein geometrisch und physikalischnicht-lineares Berechnungsmodell in der Form einer auf Verschiebungsgrößenbasierenden Finite-Element-Berechnung entwickelt. Die Querschnittsabbildungerfolgt mit Hilfe des bekannten Fasermodells. Weil bei vorhandenenLängskräften und aufgrund der Materialnichtlinearität die neutrale Faser und dieSchwerachse beim Balkenquerschnitt nicht zusammenfallen, wird dieser Sachverhaltbei der Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix berücksichtigt. DerEinfluss der nicht konstant verlaufenden Längskräfte auf den nichtlinearen Anteilder Steifigkeitsmatrix wird ebenfalls berücksichtigt. Das nichtlineare Gleichungssystemwird mit einem inkrementell-iterativen Verfahren gelöst.Die effektiven Vorspannkräfte werden unter Berücksichtigung der sowohlzeitunabhängigen als auch zeitabhängigen Spannkraftverluste ermittelt. DieVorspannung wird als äußere Beanspruchung betrachtet, welche sich durchUmlenk- und Ankerkräfte abbilden lässt. Änderungen der Spanngliedkräfteinfolge der Tragwerksverformung und der damit verbundene Einfluss auf denKnotenlastvektor werden für jede Iteration innerhalb einer Laststufe berechnet.Für jede Laststufe wird bei Erreichen des Gleichgewichtszustands die in diesemZustand ermittelte Systemsteifigkeitsmatrix gespeichert. Anschließend werdendie Schnittgrößen infolge der effektiven Vorspannung einschließlich des statischunbestimmten Momentenanteils ermittelt. Hiernach wird die Berechnung mit dernächsten Laststufe fortgesetzt.Die Überprüfung des erstellten Programms erfolgt durch den Vergleich dernumerisch ermittelten Werte mit den Ergebnissen aus Versuchen u.a. von Lin[36], Taerwe et al. [41] und Priestley and Park [43]. Bei guter Übereinstimmungder Verformungscharakteristik kann davon ausgegangen werden, dass die

6EinleitungHerleitung auch für allgemeine Fälle angewendet werden darf.Damit eröffnet das Berechnungsprogramm die Möglichkeit, unabhängig vonaufwendigen Serienversuchen, systematische Untersuchungen über die Entwicklungdes Zwangmoments infolge Vorspannung und Momentenumlagerungen beiSpannbetondurchlaufträgern mit vertretbarem Aufwand wirklichkeitsnahdurchzuführen und den Einfluss der maßgebenden Parameter zu beschreiben.Dabei ist besonders die gegenseitige Beeinflussung des Zwangmoments infolgeVorspannung und der Momentenumlagerung von Interesse.

Stand der Technik 72 Stand der Technik2.1 AllgemeinesDas Verhalten eines Spannbetondurchlaufträgers mit nichtkonkordanter Spanngliedführungwird von Zwangmomenten infolge Vorspannung und von möglichenMomentenumlagerungen beeinflusst. Beide Einflussfaktoren müssen zur Beschreibungdes wirklichkeitsnahen Verhaltens solcher Tragwerke berücksichtigtwerden.Für Spannbetondurchlaufträger im Zustand I ist es allgemein zulässig, dieZwangmomente infolge Vorspannung durch eine Berechnung nach der linearenElastizitätstheorie zu ermitteln. Über die Existenz und die Bedeutung derZwangmomente gibt es dagegen im Zustand II unterschiedliche Auffassungen.Im Abschnitt 2.2 dieses Kapitels werden die wichtigsten Untersuchungen überdie Zwangmomente infolge Vorspannung wiedergegeben. Die Momentenumlagerungenbei Spannbetondurchlaufträgern erhalten seit den fünfziger Jahrenin der Forschung große Beachtung. Es wurden zahlreiche experimentelleUntersuchungen zu diesem Thema durchgeführt. Die bedeutendsten Untersuchungenwerden in Abschnitt 2.3 erläutert.Mit der schnellen Verbreitung von Computern in Forschung und Praxis desBauwesens wurden Computerprogramme zur nichtlinearen Berechnung derStahlbeton- bzw. Spannbetontragwerke entwickelt. Einige rechnerische Untersuchungenwerden in Abschnitt 2.3 wiedergegeben.

8Stand der TechnikDen Normenwerken verschiedener Länder liegen unterschiedliche zulässigeGrenzwerte für die Momentenumlagerung zugrunde. Ebenso werden unterschiedlicheBeschränkungen bei der Behandlung der statisch unbestimmtenWirkung der Vorspannung eingeführt. Die Vorschriften werden im Hinblick aufZwangmomente infolge Vorspannung und auf Momentenumlagerungen inAbschnitt 2.4 behandelt.2.2 Zwangmomente infolge Vorspannung2.2.1 Behandlung der Zwangmomente infolge Vorspannung bei derBemessungZwangmomente treten beim Vorspannen von Spannbetondurchlaufträgern auf,welche keine konkordante Spanngliedführung haben. Größe und Richtung dieserMomente hängen von der Vorspannkraft und der Lage des Spanngliedes ab. DieZwangmomente sind nicht immer vernachlässigbar klein. Im Vergleich zuBemessungsmomenten infolge äußerer Last können sie groß sein und günstigoder ungünstig wirken.Bild 2.1 zeigt das Beispiel von drei zweifeldrigen Spannbetondurchlaufträgernunter gleichmäßig verteilter äußerer Last. Der Unterschied liegt nur in derSpanngliedführung. Träger A wird mit einer konkordanten Spanngliedführungversehen. Infolgedessen tritt hier kein Zwangmoment auf. Die Zwangmomentesind beim Träger B positiv und beim Träger C negativ. Die Berechnung nachlinearer Elastizitätstheorie wird mit dem Programm PCBEC2 [16] durchgeführt.

Stand der Technik 9Bild 2.1 Berücksichtigung des Zwangmoments infolge Vorspannungbeim BemessungsmomentEs ist bekannt, dass die Zwangmomente bei der Berechnung nach linearerElastizitätstheorie in den Bemessungsmomenten berücksichtigt werden sollen.Wenn keine Momentenumlagerungen in den o.g. Träger angenommen werden,ist das Bemessungsmoment eines Querschnittes eine Addition der Anteile infolgeZwängung (M p,ind ) und äußeren Lasten (M g und M q) unter Berücksichtigung derentsprechenden Sicherheitsfaktoren. Beim Träger A ergeben sich die Bemessungsmomenteals Summe der mit Sicherheitsfaktoren multiplizierten Momente

10Stand der Technikinfolge äußerer Lasten. Ein Einfluss von Zwangmomenten infolge Vorspannungist hier nicht vorhanden. Für den Träger B und den Träger C wird das Bemessungsmomentdes Querschnittes demgegenüber vom Zwangmoment beeinflusst.Bei Berücksichtigung des Zwangmoments ist für den Träger B das Bemessungsmomentfür den Querschnittsbereich des Mittellagers kleiner. Demgegenübervergrößert sich beim Träger C das Bemessungsmoment infolge des Zwangmoments,so dass eine größere Tragfähigkeit für den maßgebenden Querschnittgefordert werden muss. Bei Durchlaufträgern sind die im Bereich der innerenLager befindlichen Querschnitte meistens die bemessungsrelevanten Stellen. DerTräger B stellt sich also als ein günstiger Entwurf dar, da das negative Bemessungsmomentim Querschnittsbereich des Mittellagers kleiner ist. Außerdemermöglichen kleinere Unterschiede zwischen Spitzenmomenten im Feld und amMittelauflager eine Ausnutzung der Balkenhöhe durch maximale Spanngliedlage.Diese Vorteile können durch die Berücksichtigung eines günstig wirkendenZwangmoments erzielt werden, welches durch eine zweckmäßig angeordneteSpanngliedführung hervorgerufen wird.Bei der Berechnung nach der linearen Elastizitätstheorie kann das Zwangmomentmittels Superpositionsgesetz berechnet werden. Die Anwendung dieses Prinzipssetzt aber voraus, dass keine Momentenumlagerung im Träger erfolgt. Bei derBerechnung nach dem auf der Plastizitätstheorie basierenden Traglastverfahren,bei dem eine vollständige Momentenumlagerung angenommen wird, hat dasZwangmoment keinen Einfluss auf das Bemessungsergebnis [17, 19, 21, 27, 34].Wenn bei nichtlinearem Verhalten des Tragwerkes nur eine teilweise Momentenumlagerungzu verzeichnen ist, liegen unterschiedliche Auffassungen über dieExistenz und die Bedeutung der Zwangmomente vor [22,23,24,31,32].

Stand der Technik 112.2.2 Bekannte Untersuchungen zu Zwangmomenten infolge VorspannungDas Tragverhalten von Spannbetondurchlaufträgern wird seit den fünfziger Jahrenintensiv untersucht. In diesem Abschnitt wird über die wichtigsten experimentellenund numerischen bzw. analytischen Untersuchungen berichtet.Lin und Thornton [17] haben den Einfluss des Zwangmoments infolge Vorspannungauf die Traglast der Spannbetondurchlaufträger sowohl nach derlinearen Elastizitätstheorie als auch nach der Plastizitätstheorie analytischuntersucht. Sie zeigen auf, dass die Vernachlässigung des Zwangmoments beider Ermittlung des Bemessungsmoments im Grenzzustand der Tragfähigkeit nachder linearen Elastizitätstheorie in bestimmten Situationen zu auf der unsicherenSeite liegenden Bemessungsmomenten führen kann. Es wird auch beschrieben,dass das Zwangmoment nicht mehr auftritt, wenn vollständige Momentenumlagerungzu verzeichnen ist, und der Träger infolge der Fließgelenkbildungzum statisch bestimmten Systemen übergeht. Mattock hat diese Aussage in seinerAnmerkung [18] bekräftigt. Zur Behandlung des Zwangmoments infolgeVorspannung bei der Bestimmung der maximal von Spannbetondurchlaufträgernaufnehmbaren Last haben sie folgendes vorgeschlagen: Wenn die Berechnungauf der linearen Elastizitätstheorie basiert, muss das Zwangmoment berücksichtigtwerden. Berechnet man demgegenüber nach der Plastizitätstheorie, bei der einevollständige Momentenumlagerung angenommen wird, darf das Zwangmomententweder berücksichtigt oder vernachlässigt werden, weil die maximal aufnehmbareLast von ihm unbeeinflusst bleibt. Ist die Momentenumlagerung nurteilweise zu verzeichnen, liegt die maximal aufnehmbare Last zwischen demersten und dem zweiten Fall. Abschließend schlugen sie für Spannbetondurchlaufträgerein Näherungsverfahren zur Ermittlung der Traglast vor. Es berücksichtigt

12Stand der Technikdas Zwangmoment infolge Vorspannung, das im Grenzzustand der Tragfähigkeitzunimmt. Das vorgeschlagene Verfahren basiert auf der ‘Load BalancingMethod’, indem keine Momentenumlagerung stattfindet.Das Verhalten von zweifeldrigen Spannbetonträgern haben Mattock et al. [19]experimentell untersucht. Die Träger hatten Plattenbalkenquerschnitte undnichtkonkordante Spanngliedführungen. In diesem Aufsatz wird bestätigt, dassdie Zwangmomente beim Übergang in statisch bestimmte Systeme infolgeFließgelenkbildung nicht mehr auftreten.Bei statisch unbestimmt gelagerten Tragwerken werden Zwangskräfte infolgeVorspannung sowie Zwangskräfte aus anderen Ursachen (z.B. durch Schwindenund Kriechen des Betons, durch Temperaturunterschied) nach Meinung Leonhardts[20] durch den Übergang von Zustand I nach Zustand II in Teilbereichendes Tragwerkes teilweise abgebaut. In [21] wird allerdings erläutert, dass sichZwangmomente infolge Vorspannung anders verhalten als z.B. Zwangmomenteinfolge Stützensenkungen oder Temperaturunterschied. Die Zwangmomenteinfolge Vorspannung sind unabhängig von einer gleichmäßigen Veränderung derSteifigkeit. Es wird in [21] ebenfalls beschrieben, dass beim Übergang zurGrenzlast auch in voll vorgespannten Trägern Risse entstehen. Die Biegesteifigkeitwird im gerissenen Bereich stark vermindert, da die Zuggurte aus Spannstahlweniger steif sind als im Stahlbeton (A p

Stand der Technik 13geometrische als auch physikalische Nichtlinearitäten und basiert auf einerLängskräfte-Biegemoment-Krümmungsbeziehung. Aus den Ergebnissen derUntersuchungen haben sie die Schlussfolgerung gezogen, dass die Zwangschnittgrößeninfolge Vorspannung vom Gebrauchszustand bis zum Traglastzustandkeine signifikanten Änderungen erfahren.Den Einfluss von Zwangmomenten infolge Vorspannung und Momentenumlagerungenauf die Traglast von vorgespannten Stahlbetondurchlaufträgern habenCohn und Frostig [23] untersucht. Die Entwicklung der Zwangmomente infolgeVorspannung wird unter dem Einfluss einer gesteigerten äußeren Beanspruchungmit einem Näherungsverfahren ermittelt. Die direkte Analyse bestimmt aufeinanderfolgendeLasten q 1 , q 2 , ... q u , welche das erste, zweite, ... letzte Gelenk (d.h.maximale Last) hervorrufen. Das zweite Verfahren, die historische Analyse,ermittelt das Tragverhalten der Träger bei inkrementell gesteigerten Lastenzwischen zwei aufeinanderfolgenden Lasten q i und q i+1 . Die Untersuchungsergebnissezeigen, dass die Traglast u.a. von der Größe der Zwangmomente infolgeVorspannung abhängig ist. Daher können die Zwangmomente bei der Nachweisführungvon Querschnitten im rechnerischen Bruchzustand nicht vernachlässigtwerden. Bis zum plastischen Versagen des Tragwerkes bleiben dieZwangmomente bei konstanter Vorspannkraft für verschiedene Laststufenunverändert.Basierend auf dem Superpositionsprinzip hat Cauvin [24] ein Berechnungsmodellentwickelt, um die Wirkung der Vorspannung im nichtlinearen Bereich zuuntersuchen. Die Einflüsse der Vorspannkraft werden als Vorverformungenberücksichtigt. Bei inkrementell gesteigerten äußeren Lasten wird der Trägerzweimal analysiert. Die erste Berechnung ermittelt die aktuellen Einflüsse der

14Stand der TechnikVorspannung durch die Modifizierung der Spanngliedkräfte mit einem vomSteifigkeitsverhältnis abhängigen Faktor. Der weitere Berechnungsschritt wirdzur Ermittlung der Schnittgrößen infolge äußerer Last durchgeführt. Die gesuchtenSchnittgrößen ergeben sich aus der Addition der Ergebnisse beider Berechnungen.Als Folge der Berücksichtigung der Vorspannung in Form einerVorverformung zeigt Cauvin auf, dass sich die Vorspanneffekte einschließlichder Zwangmomente reduzieren, wenn die Systemsteifigkeit der Träger infolgevon Rissbildungen und nichtlinearem Materialverhalten abnimmt.Im Gegensatz zu den Aussagen in [23] zeigt Huber [26], dass die Bruchlastenvom Zwangmoment unabhängig sind. Außerdem zeigt er in [27] auch, dassZwangschnittgrößen beim Erreichen des plastischen Verhaltens des Tragwerkeszu Null werden und die Spannstähle in diesem Zustand wie normale Betonstählewirken.Zimmermann [28] hat ein Berechnungsprogramm entwickelt, welches auf derAnwendung der Momenten-Krümmungs-Beziehung der Querschnitte basiert.Hauptziele der numerischen Forschung waren die Entwicklung eines Verfahrenszur Bestimmung des Spannkraftzuwachses und die Untersuchung des Tragverhaltensvon Stabtragwerken mit Vorspannung ohne Verbund. Die Untersuchungender ohne Verbund vorgespannten Zweifeldträger zeigen folgendeErgebnisse: Bei den Trägern mit rechteckigem Querschnitt und mit niedrigerVorspannkraft gehen die Zwangmomente mit dem Plastifizieren praktisch aufNull zurück, so dass nur noch statisch bestimmte Anteile der Vorspannungwirksam sind. Bei den Trägern mit höherer Vorspannkraft werden die Zwangmomentenicht in dem Maße verringert. Dies hängt damit zusammen, dass bei hoherVorspannkraft die Rotationsfähigkeit des Trägers über der Stütze nicht mehr

Stand der Technik 15ausreicht, um auch im Feld das Plastifizieren zu gewährleisten. Man erkennt beiZweifeldträgern mit Plattenbalkenquerschnitt, dass mit steigender Belastung undmit Beginn der Plastifizierung das Zwangmoment infolge Vorspannung sogarnoch ansteigt.In der Veröffentlichung von Wyche et al. [29] wird gezeigt, dass die Bestimmungvon Momentenumlagerungen für Spannbetondurchlaufträger nach ACI 318-89nicht zutreffend ist, da nur die Momente aus äußeren Lasten umgelagert werdensollen. Bei der linearen Berechnung mit anschließender Momentenumlagerungunterscheidet sich die Behandlung des Zwangmoments im ACI 318-89 vonanderen Normenwerken. Während die meisten Normenwerke eine Umlagerungdes gesamten Moments zulassen, welches aus der Addition der mit entsprechendenSicherheitsbeiwerten multiplizierten Momente infolge Belastung und infolgeVorspannung ermittelt wird, lässt das ACI 318-89 nur die Umlagerung des mitentsprechenden Sicherheitsbeiwerten multiplizierten Moments infolge äußererBelastung zu, bevor der statisch unbestimmte Momentenanteil infolge Vorspannungzu diesem addiert wird. Dieser Sachverhalt wird in der Ausgabe ACI318-95 korrigiert [30].Um eine Näherungsformel zur Bestimmung des Bemessungsmoments imGrenzzustand der Tragfähigkeit unter Berücksichtigung des vorhandenenZwangmoments infolge Vorspannung zu entwickeln, hat Scholz [31] eineanalytische Untersuchung durchgeführt. Die vorgeschlagene Formulierungbeinhaltet einen Zusammenhang zwischen der erforderlichen bzw. vorhandenenDuktilität, dem Biegemoment nach linear-elastischer bzw. plastischer Berechnungund dem Zwangmoment infolge Vorspannung. Es wird angenommen, dass dieBiegemomente nach linear-elastischer Berechnung einschließlich der statisch

16Stand der Technikunbestimmten Anteile infolge Vorspannung beim Übergang des Trägers in einMechanismusversagen linear abnehmen. Dies wird mit dem Steifigkeitsabfalldes Trägers infolge Fließgelenkbildung begründet.Den Einfluss einer Rissbildung auf den statisch unbestimmten Momentenanteilaus Vorspannung haben König und Maurer [32] experimentell untersucht. DieVersuchsergebnisse von zwei vorgespannten Zweifeldträgern zeigen, dass dieZwangmomente infolge Vorspannung durch die Rissbildung beeinflusst werden.Sie werden durch die Rissbildung im Beton aber nicht proportional zum Steifigkeitsabfallabgebaut, sondern wachsen mit zunehmender Rissbildung anfangssogar noch an. Das Verhalten unterscheidet sich deshalb von dem üblicherZwangschnittgrößen infolge geometrischer Verformungen, z.B. infolge Stützensenkung.Für praktische Anwendungen kann der statisch unbestimmteMomentenanteil aus Vorspannung durch den Rechenwert nach Zustand Iangenähert werden.Ein Argument, dass die statisch unbestimmten Schnittgrößen infolge Vorspannungbei Trägern mit konstanter Steifigkeit steifigkeitsunabhängig angenommenwerden können und sie sich daher unter Laststeigerung und Rissbildungnicht verändern, ist nach Wölfel [34] nicht richtig. Die Zwangmomenteinfolge Vorspannung sollen sich unter Steifigkeitsänderung beim Übergang vomZustand I nach Zustand II ändern. Bei statisch unbestimmt gelagerten Bauteilenhängen die Schnittgrößen aus Vorspannung sowohl vom Absolutwert derQuerschnittssteifigkeit als auch von deren Verhältnis im Feld- und Stützbereichab, während die Schnittgrößen aus Lasten nur vom Verhältnis der Steifigkeitenabhängig sind. Zwangmomente infolge Vorspannung über den Zwischenstützenhaben normalerweise positives Vorzeichen und wirken daher günstig, da sie das

Stand der Technik 17Gesamtmoment dort verringern. Dies bedeutet, dass die bisherige Nichtberücksichtigungdes Steifigkeitseinflusses das Stützmoment unter- und das Feldmomentüberschätzt. Zur Berechnung der Schnittgrößen aus Vorspannung wirdfolgendes vorgeschlagen:- Im Gebrauchszustand sollten sie mit den Steifigkeiten des Zustands Iermittelt werden, sofern ein relativ hoher Vorspanngrad gewählt wird. DieSteifigkeitswerte zwischen Zustand I und Zustand II sollten abgeschätzt undangewendet werden, wenn die Tragwerke mit niedrigem Vorspanngradvorgespannt werden. In der Berechnung ist die Vorspannkraft mit demunteren charakteristischen Wert, also mit r inf = 0,9 anzusetzen.- Im Grenzzustand der Tragfähigkeit erscheint das auf der Plastizitätstheoriebasierende Traglastverfahren als das einfachste und zuverlässigste Berechnungsverfahrenzur Schnittgrößenermittlung, sofern das Tragwerk eineausreichende Duktilität besitzt. In diesem Fall verliert die Ermittlung derSchnittgrößen aus Vorspannung seine Bedeutung. Wenn die Voraussetzungfür das Traglastverfahren nicht gegeben ist, sollten die Schnittgrößen untergleichen Annahmen wie für den Gebrauchzustand, jedoch mit entsprechendverminderter Steifigkeit ermittelt werden. Hier ist die Vorspannkraft mitihren charakteristischen Werten, also mit r inf = 0,9 bzw. r sup = 1,1 zu berücksichtigen.Die dargestellte Literaturübersicht über das Zwangmoment zeigt sehr unterschiedlicheMeinungen über die Existenz und die Bedeutung dieses Schnittgrößenanteilsbei nichtlinearem Verhalten des Tragwerkes auf. Während nachLin und Thornton [17] das Zwangmoment infolge Vorspannung im Bruchzustandzunimmt, verringert es sich nach Leonhardt [20 , 21], Cauvin [24] und Scholz[31]. Nach Levi et al. [22], Cohn und Frostig [23] bzw. König und Maurer [32]

18Stand der Technikbleibt es relativ unverändert. Gehen die Träger in statisch bestimmte Systemeüber, tritt dieses Zwangmoment nach Lin und Thornton [17], Mattock et al. [19],Walther [21, Kapitel 24] und Huber [27] nicht mehr auf. Zusammengefasst stelltTabelle 2.1 diesen Sachverhalt im Überblick dar.Tabelle 2.1: Zwangmomente infolge Vorspannung (M p,ind )Nr. Autor Lite-ratur-Nr.JahrE/A/N* 1 )M p,indunverändertM p,indnimmtzuM p,indnimmtabM p,indtritt nichtmehr auf* 2 )1 Mattock et al. 19 1971 - x2 Lin-Thornton 17 1972 A x x3 Leonhardt 20,21 1973 - x4 Levi et al. 22 1983 N x5 Cohn - Frostig 23 1983 A x6 Cauvin 24 1983 N x7 Huber 27 1986 A x8 Zimmermann 28 1988 N x * 3 ) x * 4 )9 Scholz 31 1993 A x10 König/Maurer 32 1993 E x* 1 ) E = experimentell, A = analytisch, N = numerisch * 3 ) Plattenbalkenquerschnitt* 2 ) bei Übergang zum statisch bestimmten System * 4 ) Rechteckquerschnitt

Stand der Technik 192.3 Momentenumlagerungen2.3.1 Allgemeine HinweiseDie Abweichung der tatsächlich auftretenden Momente von den theoretisch nachder linearen Elastizitätstheorie berechneten Momenten wird als Momentenumlagerungbezeichnet [33, 51]. Tichy und Rakosnik [52] beschreiben dieUmlagerung der Kräfte und Momente als einen Vorgang, bei dem sich dieBiegemomente bzw. andere statische Größen infolge Plastifizierung der Werkstoffein den am stärksten beanspruchten Bereichen an diejenigen Stellen desTragwerkes verlagern, an denen sich Plastifizierungen entweder überhaupt nochnicht oder in einem noch geringeren Umfange befinden. Zur Bestimmung derMomentenumlagerung, die sich vor Bruchversagen eines Tragwerkes eingestellthat, wird deshalb eine Analyse benötigt, die ein möglichst wirklichkeitsnahesTragwerkverhalten darstellt.Versagt rechnerisch ein Durchlaufträger mit plastischem Gelenkmechanismus,bei dem die Anzahl der Fließgelenke gleich oder größer als der statische Unbestimmtheitsgradplus eins ist, bezeichnet man die vorhandene Momentenumlagerungals vollständige Momentenumlagerung. Die Versagenslast kann nurerreicht werden, wenn die plastifizierenden Querschnitte eine genügendeRotationsfähigkeit besitzen. Mit Hilfe der plastizitätsorientierten Analyse kanndie Versagenslast ermittelt werden. Hat ein plastifizierender Querschnitt keineausreichende Rotationsfähigkeit zum Erreichen des plastischen Versagensmechanismus,versagt der Träger unter einer Last, die unterhalb der plastischenVersagenslast liegt. In diesem Fall tritt keine vollständige, sondern nur eineteilweise Momentenumlagerung auf. Seine Versagenslast wird vom Grad der

20Stand der TechnikMomentenumlagerung beeinflusst und kann mit Hilfe einer Analyse ermitteltwerden, die das reale Tragverhalten des Bauteils berücksichtigt.Um das Konzept der Momentenumlagerung zu verdeutlichen, zeigt Abbildung2.2 einen zweifeldrigen Durchlaufträger und Diagramme der Momenten-Belastungsbeziehungfür die kritischen Querschnitte, die als potentielle Stellen zurBildung der plastischen Gelenke bezeichnet werden. Der Träger ist symmetrisch,hat eine gleichmäßige plastische Momentenkapazität M plast. und wird mit jeweilseiner Einzellast P in den Feldmitten belastet (s. Bild 2.2.(a)).Bild 2.2.(a) Durchlaufträger und BelastungBild 2.2.(b) Vollständige MomentenumlagerungBild 2.2.(c) Teilweise MomentenumlagerungDieser Träger besitzt drei potentielle Plastifizierungsstellen: Eine im Bereichdes Mittelauflagers (Punkt A) und zwei unter den Einzellasten in Feldmitte(Punkt B). Bild 2.2.(b) zeigt die Momenten-Belastungsbeziehung für vollständige

Stand der Technik 21Momentenumlagerung, wobei beide Punkte A und B ihre Momentenkapazitäterreichen. Im Bild 2.2.(c) wird das Diagramm für teilweise Momentenumlagerungdargestellt. Hier erreicht der Querschnitt A das Moment M plast . Demgegenübererreicht der Querschnitt B dieses wegen mangelnder Rotationsfähigkeit nicht.Um die Momentenumlagerung in einem beliebigen Belastungszustand zuermitteln, muss eine Schnittgrößenberechnung unter Berücksichtigung nichtlinearenTragwerkverhaltens eingesetzt werden. Für die Praxis empfehlen dieneuen Betonnormen (z.B.: [1], [3], [4]) allerdings zur Schnittgrößenermittlungeines Spannbetontragwerkes u.a. eine Berechnung nach der linearen Elastizitätstheoriemit anschließender begrenzter Momentenumlagerung. Eine weitereBeschreibung der Erfassung von Momentenumlagerungen in Normenwerken wirdim Abschnitt 2.4 gegeben.Wie schon erwähnt, hängt der Grad der Momentenumlagerung vom Rotationsvermögender plastifizierenden Querschnitte ab. Die Rotationsfähigkeit ist weiterhinvon vielen Einflussparametern abhängig. Tabelle 2.2 enthält die Rotationsfähigkeitbeeinflussenden Parameter nach Graubner [35], die hier für Spannbetonträgerergänzt werden. Viele der Parameter sind unabhängig voneinander. Daher ist esunmöglich, eine Bestimmung der Rotationsfähigkeit nur unter Berücksichtigungvon ein oder zwei Parametern durchzuführen. Die Einflüsse der Parameter wurdenin den früheren Untersuchungen erforscht, und in diesem Abschnitt werden dieErgebnisse der wesentlichen Untersuchungen wiedergegeben.

22Stand der TechnikTabelle 2.2: Einflussgrößen auf die Rotationsfähigkeit [35]EinflussartMaterialQuerschnittSystemVorspannungModellbildungParameter- Betonzusammensetzung und Betonfestigkeit- Stahlsorte und Stahlfestigkeit- Verbund zwischen Beton und Stahl- Querschnittsgeometrie- Querschnittsabmessungen- Längsbewehrungsprozentsatz- Druckbewehrungsanteil- Stababstand, Stabdurchmesser, Betondeckung- Bügelabstand, Bügeldurchmesser- Normalkraftbeanspruchung- Zeiteinflüsse, Dauerbeanspruchung- Systemabmessungen, Trägerschlankheit- Schubschlankheit, Versatzmaß- Lastart, Lastanordnung- Breite der Lastübertragungsbereiche- Verhältnis Verkehrslast/Gesamtlast- Belastungsgeschwindigkeit- Zwangmomente infolge Vorspannung- Grad der Vorspannung- Art der Vorspannung (mit/ohne Verbund)- Versagenskriterien, Sicherheitskonzept- Iterationsverfahren, Berechnungsmodell2.3.2 Bekannte Untersuchungen zur MomentenumlagerungSeit den fünfziger Jahren werden Untersuchungen zur Momentenumlagerung inSpannbetondurchlaufträgern durchgeführt. Meistens werden die Einflüsseverschiedener Parameter auf die Momentenumlagerung untersucht, sowie dasTragwerkverhalten der Träger unter Biegebeanspruchung bei Vernachlässigungder Schubeinflüsse oder auch die Frage nach dem Grad der erzielten Momentenumlagerung.

Stand der Technik 23Außerdem versuchte man auch die auf der Plastizitätstheorie basierendenBerechnungsmethoden bei Stahlbeton- und Spannbetontragwerken anzuwenden,um das nichtlineare Tragverhalten zu ergründen. Von der Momenten-Krümmungsbeziehungder kritischen Querschnitte ausgehend wurden vereinfachteBerechnungsmethoden für Durchlaufträger aus Stahlbeton und Spannbetonentwickelt. In der letzten Zeit verwenden viele Forscher mit Hilfe der leistungsstarkgewordenen Computertechnologie die Finite-Elemente-Berechnungsmethode,um das wirklichkeitsnahe Verhalten des Betontragwerks zu untersuchen.In diesem Abschnitt werden aus der Literatur bekannte Untersuchungenzur Momentenumlagerung in Spannbetondurchlaufträgern vorgestellt.2.3.2.1 Experimentelle Untersuchungen zur MomentenumlagerungDer Laborversuch von Lin [36] gehört zu den frühesten experimentellen Untersuchungenan Spannbetondurchlaufträgern. Hauptziel der Versuche war, dieAnwendbarkeit der Plastizitätstheorie zur Berechnung von Spannbetondurchlaufträgernzu untersuchen und die Genauigkeit der Berechnung nach der linearenElastizitätstheorie bis zur Rissbildung zu überprüfen. Unter statischer Belastungwurden zwei symmetrische zweifeldrige Spannbetonträger getestet. Beide Balkenhatten konkordante Spanngliedführungen. Somit traten keine Zwangmomenteinfolge Vorspannung auf. Während der Balken A nur Spannstahl enthielt, wurdeim Balken B neben dem Spannstahl auch Betonstahl eingesetzt. Dabei wurdefestgestellt, dass sich die Träger bis zu einem der Gebrauchslast entsprechendenBelastungszustand linear elastisch verhielten. Unter den Belastungszuständenzwischen der Gebrauchslast und der Risslast wichen die Durchbiegungen vonden nach linearer Elastizitätstheorie berechneten Werten geringfügig ab. Dieser

24Stand der TechnikSachverhalt wurde mit der nichtlinearen Spannungs-Dehnungsbeziehung desBetons begründet. Bei höheren Lasten wurden die Abweichungen immer größer.Wegen des zugelegten Betonstahls bog sich der Träger B weniger durch alsBalken A und konnte die rechnerische plastische Versagenslast erreichen,während Balken A nur 94% seiner theoretischen Versagenslast erreichte. Einevollständige Momentenumlagerung trat beim Träger B auf, demgegenüber nureine teilweise Momentenumlagerung beim Träger A. Weil es in den Trägern keineZwangmomente infolge Vorspannung gab, konnte der Einfluss der Zwangmomenteauf die Momentenumlagerung nicht untersucht werden.Ein Laborversuch mit 4 symmetrischen Zweifeld-Spannbetonträgern und einemsymmetrischen dreifeldrigen Spannbetonträger mit Kragarmen an beiden Endenwurde vom Guyon [37] durchgeführt. Alle Balken hatten einen Rechteckquerschnittund wurden mit nicht konkordanter Spanngliedführung vorgespannt. Diezweifeldrigen Balken wurden durch gleiche Einzellasten in den Feldmitten biszum Bruch belastet, während der dreifeldrige Balken durch eine Einzellast mittigin jedem Innenfeld und je einer Einzellast am Ende der Kragarme beanspruchtwurde. Es wurde beobachtet, dass alle Träger die volle Momentenumlagerungenerreichen konnten. Aufgrund der Ergebnisse bekräftigte Guyon die Anwendbarkeitder Plastizitätstheorie für Spannbetondurchlaufträger und schlug eineBerechnungsmethode zur Ermittlung der Bruchlast vor, die auf den Kompatibilitätsbedingungenbasiert.Drei symmetrische dreifeldrige Spannbetonträger wurden von Macchi [38]untersucht. Die Träger wurden mit zwei in kleinem Abstand nebeneinander undin der Mitte des Mittelfeldes angreifenden Einzellasten bis zum Bruch belastet.Die Träger besassen eine rechteckige Querschnittsform und neben dem Spann-

Stand der Technik 25stahl auch zusätzliche Betonstahlbewehrung. Die Endfelder aller Träger hattendie gleichen Spannweiten. Ziel der Untersuchung war es, den Grad der Momentenumlagerungnach der Rissbildung bis zum Bruch des Trägers zu bestimmenbzw. die Gültigkeit der Plastizitätstheorie für Spannbetondurchlaufträger zuüberprüfen. Die Versuchsergebnisse zeigten, dass die Versagenslasten für alleBalken die die nach der Plastizitätstheorie berechneten Traglasten nicht erreichten,und nur teilweise Momentenumlagerungen auftraten. GeringfügigeMomentenumlagerungen wurden vor der Rissbildung beobachtet. Die Anwendungder Plastizitätstheorie im Spannbeton stellt daher nach Meinung Macchiseine Näherungsmethode dar, wobei in vielen Fällen die Tragfähigkeit desTragwerkes überschätzt wird.Versuchsergebnisse von 21 symmetrischen zweifeldrigen Spannbetonträgernwurden von Mallick in [39] veröffentlicht. Es handelte sich um einen Plattenbalkenund drei Balken mit umgekehrter Plattenbalkenquerschnittsform, währendalle anderen eine rechteckige Querschnittsform besassen. Die Träger wurden mitzwei Einzellasten beansprucht, die mit gleichen Abständen vom Zwischenauflagerentfernt angeordnet waren. In 15 Balken konnte eine vollständige Momentenumlagerungbeobachtet werden, während bei drei Balken nur eine teilweiseMomentenumlagerung erfolgte und drei andere ohne Bildung eines plastischenGelenks versagten. Es wurde bestätigt, dass zusätzliche Betonstahlbewehrungin den kritischen Stellen die Rotationsfähigkeit des Querschnitts vergrößert undsomit dem Erreichen der vollständigen Momentenumlagerung dienlich ist.Allerdings traten große Risse in den plastifizierten Bereichen auf, und Mallickmachte darauf aufmerksam, dass bei der Bemessung von Spannbetonträgern unterBerücksichtigung der Momentenumlagerung ein Grenzwert zur Momentenumlagerungeingesetzt werden muss, damit die Verformungen des Trägers unter

26Stand der TechnikGebrauchslast nicht zu groß werden. Im Aufsatz von Mallick und Sastry [40] wirdauch berichtet, dass bei 27 dreifeldrigen und 12 zweifeldrigen getesteten Spannbetonträgernmeistens vollständige Momentenumlagerung erreicht werdenkonnte.In [19] werden die Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen von Mattocket al. dargestellt. Bei diesen Laborversuchen wurden über drei Auflager durchlaufendeSpannbetonplattenbalken mit jeweils vier in jedem Feld angeordnetenEinzellasten bis zum Versagen beansprucht. Alle drei Träger hatten nicht konkordanteSpanngliedführungen; ein Träger (CB1) wurde mit nachträglichemVerbund, die anderen (CU1 und CU2) wurden ohne Verbund vorgespannt. DieTräger CU1 und CU2 hatten einen bedeutenden Anteil zusätzlicher Betonstahlbewehrung.Der mit Verbund vorgespanntene Träger verhielt sich unter dengleichmäßig gesteigerten Lasten überwiegend linear-elastisch. Nur in der letzteninkrementellen Laststufe wich er plötzlich vom linear-elastischen Verhalten ab.Demgegenüber entfernte sich das Verhalten der Träger CU1 und CU2 von dennach der linear-elastischen Theorie berechneten Werten schon unter relativkleinen Lasten. Die aus den Versuchergebnissen abgeleiteten Stützmomenteerreichten bei Träger CB1 70,6%, bei Träger CU1 56,2% und bei Träger CU269,1% der nach der Elastizitätstheorie unter gleichem Belastungszustandberechneten Werten. Die zusätzliche Betonstahlbewehrung in den Trägern CU1und CU2 trug zum besseren Verformungs- bzw. Rissverhalten bei.Moucessian und Campbell [42] haben zwei dreifeldrige Spannbetondurchlaufträgeruntersucht. Ähnlich wie die Balken von Macchi [38] hatten beide Trägereine rechteckige Querschnittsform mit beachtlichem Anteil an Betonstahlbewehrung.Sie wurden mit nicht konkordantem Spanngliedverlauf vorgespannt und

Stand der Technik 27mit einer Einzellast in der Mitte des Mittelfelds quasi-statisch belastet. ImGegensatz zu den Ergebnissen aus Macchis Versuch [38] zeigen die Untersuchungsergebnisseeine vollständige Momentenumlagerung in beiden Trägern.Dies kann auf die vorhandene Schubbewehrung zurückgeführt werden, die denBeton umschließt und damit seine Bruchdehnung erhöht.Eine umfangreiche Untersuchung zum Tragverhalten von Spannbetondurchlaufträgernwurde von Taerwe et al. [41] durchgeführt. Unter den Bedingungen vongleicher Systemgeometrie und Belastung umfassten die Versuche volle oderteilweise Vorspannung, Anwendung von Normal- bis Hochleistungsbeton undVorspannung mit oder ohne Verbund. Der Serienversuch bestand aus sechszweifeldrigen Trägern mit gleichen Spannweiten von 9,60 m (s. Tabelle 2.3),wobei der Balken CB1-N5B als Referenzbalken angesehen wurde. Die Betonträgerwurden nach der Erhärtung des Betons im Alter von 14 Tagen vorgespanntund im Alter von 28 Tagen untersucht. Die Belastungen waren quasi-statisch inForm von vier Einzellasten für jedes Feld angeordnet (s. Bild 2.3).Der Querschnitt des Balkens CB5-N5BT hatte am unteren Rand eine kleinereFlanschbreite als die anderen und näherte sich einem Plattenbalkenquerschnitt.Mit dieser Form waren die Zwangmomente infolge Vorspannung bei gleicherSpanngliedführung wie im Referenzbalken CB1-N5B größer und der Querschnitthatte eine um 25% kleinere Druckzone im Mittelstützbereich. Unter diesenBedingungen wurde die Rotationsfähigkeit des Querschnitts über dem Mittelauflagerverringert und damit eine kleinere Momentenumlagerung erzielt.

28Stand der TechnikTabelle 2.3: Untersuchte Spannbetonträger von Taerwe et al. [41]BezeichnungAnzahl derStahllitzenmit oder ohneVerbundQuerschnittsformBetonfestigkeitsklassevolle o. teilw.VorspannungCB1-N5B I 5 m.V Normal volle Vorsp.CB2-N3B I 3 m.V Normal teilw.Vorsp.CB3-N5U I 5 o.V Normal volle Vorsp.CB4-M7B I 7 m.V Medium volle Vorsp.CB5-N5BT T 5 m.V Normal volle Vorsp.CB6-H9B I 9 m.V Hochleistung volle Vorsp.

Stand der Technik 29Es wurde beobachtet, dass der teilweise vorgespannte Träger CB2-N3B eine umfast 50% kleinere Risslast als der Referenzbalken hatte. Infolge der größererVorspannkräfte und der höheren Zugfestigkeiten des Betons bei den TrägernCB4-M7B und CB6-H9B waren die Risslasten größer. Während alle anderenTräger mit einem allmählich fortschreitenden Betonbruch im unterem Rand desMittelauflagers nach der Rissbildung versagten, trat ein plötzlicher Schubbruchbeim ohne Verbund vorgespannten Träger CB3-N5U unter maximaler Last auf.Unter Annahme einer vollständigen Momentenumlagerung wurden die rechnerischmaximal aufnehmbaren Lasten ermittelt. Die im Versuch auf den TrägerCB1-N5B, CB2-N3B und CB4-M7B aufgebrachten Lasten erreichten bzw.überschritten diese Werte geringfügig. Aufgrund dieser Erkenntnisse zogen dieAutoren die Schlussfolgerung, dass in den Balken vollständige Momentenumlagerungenauftraten. Die maximalen Lasten in den Trägern CB3-N5U, CB5-N5BT und CB6-H9B erreichten, wie erwartet, kleinere Werte als die rechnerischenLasten, und zwar in den Größenordnungen von 96%, 97,6% und 93,4%.2.3.2.2 Analytische und numerische Untersuchungenzur MomentenumlagerungEin Berechnungsverfahren zur Untersuchung der Momentenumlagerung inSpannbetonträgern wurde von Priestley und Park [43] basierend auf derMomenten-Krümmungs-Beziehung entwickelt. Diese Beziehung wird für einebestimmte Segmentlänge des Balkens mit konstant angenommenem Momentermittelt. Unter Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons auf Zug zwischenden Rissen wird der Krümmungsmittelwert des betrachteten Segments berechnet.

30Stand der TechnikMit Ergebnissen aus den experimentellen Versuchen wurden die Berechnungsresultatenach dem vorgeschlagenen Verfahren verglichen. Dabei wurde eine guteÜbereinstimmung für die Werte der Durchbiegungen und Biegemomente festgestellt.Wie im Abschnitt 2.2.2 schon erwähnt, untersuchte Zimmermann [28] mit Hilfeeines auf der Momenten-Krümmungsbeziehung basierenden Berechnungsverfahrensdas Tragverhalten von Stabtragwerken mit Vorspannung ohneVerbund. Die grafischen Darstellungen der Last-Momenten-Beziehung deruntersuchten Spannbetondurchlaufträger zeigten eine deutliche Momentenumlagerungnach der Rissbildung in den Feld- und Mittelstützenbereichen. Beidem Träger mit rechteckiger Querschnittsform waren die Momente aus Vorspannungunter steigenden äußeren Beanspruchungen relativ unverändert.Demgegenüber nahmen sie bei dem Träger mit dem Plattenbalkenquerschnittunter steigender Belastung zu. Dieses wurde mit einer anderen Steifigkeitsverteilungals bei den Trägern mit rechteckigem Querschnitt und mit dem größerenSpanngliedabstand von der Stabachse im Feldbereich begründet.Mit einem nichtlinearen Finite-Elemente-Programm hat Qian [44] die Bestimmungfür Momentenumlagerungen im Eurocode 2 Teil 1-1 [1] überprüft.Nach Eurocode 2 Teil 1-1 Abschnitt 2.5.3.4 dürfen die maximalen Biegemomentebei der Schnittgrößenberechnung nach der linearen Elastizitätstheorie mitanschließender beschränkter Momentenumlagerung für bestimmte Traggliederohne die Überprüfung der Rotationsfähigkeit des kritischen Querschnitts abgemindertwerden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d für Betonfestigkeitsklassen bis zu C35/45,δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d für Betonfestigkeitsklassen größer als C35/45,

Stand der Technik 31δ ≥ 0,70 für hochduktilen Stahl,δ ≥ 0,85 für normalduktilen Stahl,wobei δ Verhältnis des umgelagerten Moments zum Moment vor derUmlagerung ist.Mit dem Programm wurde die erforderliche plastische Rotation für die verschiedenenBetonfestigkeitsklassen unter vorgegebenem Grad der Momentenumlagerungermittelt. Die Berechnungsergebnisse zeigen, dass die oben genanntenBestimmungen von Eurocode 2 gegenüber der Kompatibilitätskontrolle nachder entwickelten Methode auf der unsicheren Seite liegen. Aufgrund dieserErkenntnisse werden folgende Gleichungen vorgeschlagen:für Betonfestigkeitsklassen ≤ C35/45: δ ≥ 0,41 + 1,96 x/d mit x/d ≤ 0,30,für Betonfestigkeitsklassen > C35/45: δ ≥ 0,53 + 1,96 x/d mit x/d ≤ 0,24,für alle Fälle darf δ nicht kleiner als 0,85 sein.Mit den empfohlenen Formeln wird die Abminderung des maximalen Momentsjedoch auf 15% begrenzt.Um die Momentenumlagerung in Spannbetontragwerken numerisch zu untersuchen,benutzte Mo [45] eine vereinfachte Momenten-Krümmungs-Beziehung deskritischen Querschnitts. Die verwendete Momenten-Krümmungs-Beziehung isttrilinear. Die erste Gerade verbindet den Ursprungspunkt und das um 15% erhöhteRissmoment (M r ). Dieser zweite Punkt bildet zusammen mit dem Fließmoment(M s ) und der dazugehörigen Krümmung die zweite Gerade. Die letzte Geradewird durch das Fließ- und das Bruchmoment (M u ) mit jeweils dazugehörigerKrümmung bestimmt (s. Bild 2.5). Mit der vorgeschlagenen Gleichung zurÜberprüfung der Verträglichkeitsbedingungen im Spannbeton sowie der trilinearenMomenten-Krümmungs-Beziehung wurde die Entwicklung der Momentein den kritischen Querschnitten ermittelt. Ein Vergleich zwischen den Ergebnissenaus den experimentellen Untersuchungen von Lin [36] und denen aus demvorgeschlagenen Berechnungsverfahren zeigte gute Übereinstimmung.

32Stand der TechnikM r= 1. RissmomentM r ′ = 1,15 ⋅ M rM s = FließmomentM u = Bruchmomentκ = KrümmungBild 2.5 Trilineare Momenten-Krümmungs-Beziehung nach [45]Ähnliche trilineare Momenten-Krümmungs-Beziehungen wurden auch von Königet al. [46] angewendet, um die vorhandene plastische Rotationsfähigkeit kritischerQuerschnitte eines Spannbetontragwerkes zu ermitteln. Mit der vorgeschlagenenBerechnungsmethode wurden die Einflüsse der Bruchdehnung des Betons, derSchlankheitsverhältnisse des Trägers und des Vorspanngrades auf plastischeRotationsfähigkeit untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass eine größere Bruchdehnungdes Betons sowie größere Schlankheitsverhältnisse des Trägers einehöhere plastische Rotation erzeugen. Demgegenüber ist die plastische Rotationbei höherem Vorspanngrad kleiner. Es wurde festgestellt, dass die Duktilität bzw.größere Verformbarkeit eines Querschnitts nicht immer eine höhere Momentenumlagerungliefert, da hierfür ebenfalls noch andere Voraussetzungen erfülltwerden müssen.

Tabelle 2.4.a: Experimentelle Untersuchungen zur Momentenumlagerung in SpannbetonträgernNr. Autor Lit.-NrJahr Vorspannart Querschnittsform Anzahl Schematische Darstellung Momentenumlagerung1 Lin 36 1955 konkordant; mit nachtr.VerbundA=nur SpannstahlB=auch BetonstahlRechteck A=1B=1A-teilweiseB-vollständige2 Guyon 37 1955 nicht konkordantmit nachträglichem Verbundzusätzl. BetonstahlbewehrungRechteck 41vollständige3 Macchi 38 1957 nicht konkordantmit nachträglichem Verbundzusätzl. BetonstahlbewehrungRechteck 3 teilweise4 Mallick 39 1962 konkordantmit nachträglichem Verbundzusätzl. BetonstahlbewehrungPlattenbalkenUmg.PlattenbalkenRechteck1317meistvollständige5 Mattocket al.19 1971 nicht konkordantCB1=mit nachtr.VerbundCU1,CU2=ohne Verbund + zus.BetonstahlbewehrungPlattenbalken 3 vollständige6 MoucessianCampbell42 1988 nicht konkordantmit nachträglichem Verbundzusätzl. BetonstahlbewehrungRechteck 2 vollständige7 Taerwe et al. 41 1995 Volle u. teilweise Vorspannung;mit u. ohne VerbundI-BalkenPlattenbalken51CB1,2,4=vollst.CB3,5,6=teilw.

Tabelle 2.4.b: Numerische Untersuchungen zur Momentenumlagerung in SpannbetonträgernNr. Autor Lit.-Nr Jahr verwendete Ansätze Untersuchungsergebnisse1 Priestley & Park 43 1972 Momenten-Krümmungsbeziehungen.Nichtlineare Werkstoffverhalten.Berücksichtigung der Zugversteifung (TSE)Volle und teilweiseMomentenumlagerungen werdenbeobachtet.2 Zimmermann 28 1988 Momenten-Krümmungsbeziehungen.Nichtlineare Werkstoffverhalten.Vorspannung ohne VerbundMomentenumlagerungen nach derRissbildung werden beobachtet.3 Qian 44 1992 Nicht lineares FEM-Programm (FEMAS) Überprüfung der Regelungen in EC2Teil1 für die Momentenumlagerungohne Nachweis der Rotationsfähigkeitdes Querschnitts.4 Mo 45 1993 Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehungen(Trilinear).Teilweise Momentenumlagerungenwerden festgestellt.5 König et al. 46 1993 Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehungen(Trilinear).Größere Verformbarkeit einesQuerschnitts liefert nicht immer einehöhere Momentenumlagerung.

Stand der Technik 352.4 Erfassung von Zwangmomenten infolge Vorspannung undBerücksichtigung von Momentenumlagerungen in Normenwerken2.4.1 Allgemeine HinweiseEntsprechend dem Fortschritt in der Forschung im Bereich des nichtlinearenTragverhaltens von Betonkonstruktionen wurden die Vorschriften zur Behandlungder Zwangmomente infolge Vorspannung und der Einfluss der Momentenumlagerungenin den Normenwerken auf den neuesten Stand der Technikgebracht. Die Erfassung des Sachverhalts erfolgt aber auf unterschiedliche Weise.Während bei neueren Normenwerken [1, 3, 4, 9] die Annahme von Momentenumlagerungenbei Spannbetondurchlaufträgern zugelassen ist, verzichten ältereNormengenerationen [5, 12] darauf.In den Normenwerken sind sowohl die maximalen Werte zur Begrenzung derzulässigen Momentenumlagerung als auch die angegebenen Parameter, die dieGröße der Umlagerung bestimmen, unterschiedlich. Dieser Sachverhalt wird inTabelle 2.5 aufgelistet. Aufgrund der in den Normenwerken angegebenenParameter, die die Momentenumlagerung bestimmen, und der unterschiedlichenSicherheitskonzepte ist ein direkter Vergleich der Vorschriften zur Momentenumlagerungnicht möglich.Wie im Abschnitt 2.2 gezeigt, sind die Zwangmomente infolge Vorspannunggleich Null, wenn die Träger infolge Fließgelenkbildung in statisch bestimmteSysteme übergehen (d.h., daß hier vollständige Momentenumlagerung stattfindet).Die Vorschriften für die Momentenumlagerung in den Normenwerken empfehlen

36Stand der Technikbisher allerdings keine Änderung der Werte der Zwangmomente, d.h. dievollständige Größe der Zwangmomente aus der auf linearer Elastizitätstheoriebasierenden Berechnung soll angesetzt werden, obwohl eine begrenzte Momentenumlagerungzugelassen wird. Unterschiedliche Sicherheitsbeiwerte fürSchnittgrößen aus Vorspannung, z.B. γ P = 0,9 für günstige und γ P = 1,2 fürungünstige Wirkung nach Eurocode 2 Teil 1 [1], beruhen nicht auf der Änderungder Schnittgrößen aus Vorspannung infolge Steifigkeitsänderung des Tragwerks,sondern dienen dazu, die Unsicherheiten in der Abschätzung der Vordehnungabzudecken [34].Tabelle 2.5: Vorschriften zur Momentenumlagerung in den NormenwerkenNr. Normenwerk Land AusgabeLit.-Nr.MomentenumlagerungbestimmendeParameterzulässigeMomentenumlagerung1 DIN 4227 Teil 1 Deutschland 1988 5 - -2 DIN 4227 Teil 2 Deutschland 1988 6 - 15%3 DIN 1045 - 1 Deutschland 2001 3 x/d, f t /f y , f c , ε su ≤ 30%4 Eurocode 2 T1-1 Europa 1992 1 x/d, f t /f y , f c , ε su ≤ 30%EC 2 T1-1 (2 nd Draf) Europa 2001 x/d, f t /f y , ε cu , ε su ≤ 30%5 CEB MC 1990 - 1990 9 x/d, f t /f y , f c , ε su ≤ 25%6 ACI 318-99 USA 1999 4ω, ω′, ω p , d s , d p , f c≤ 20%7 AASHTO USA 1983 12 - -Hinweise: x/d = Verhältnis der Höhe der Druckzone im Grenzzustand der Tragfähigkeit nach der Umlagerungzu der Nutzhöhe des Querschnitts (≡ Bezogene Druckzonenhöhe)f t /f y = Verhältnis der Zugfestigkeit zu der Streckgrenze des Betonstahlsf c= Druckfestigkeit des Betonsω = A s /bd ⋅ f y /f cε su = Stahldehnung bei höchster Zugbeanspruchungω′ = A s ′/bd ⋅ f y /f c ε cu = Bruchstauchung des Betonsω p = A p /bd p ⋅ f p /f cd s = Abstand zwischen dem Schwerpunkt der Bewehrung und dem Druckrandd p = Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Spanngliedes und dem Druckrand

Stand der Technik 37Außerdem gibt es bei der Formulierung der Momentenumlagerung auch keineBedingungen zur direkten Berücksichtigung des Gebrauchszustandes. Eine zuhoch angenommene Momentenumlagerung verletzt gegebenenfalls die Bedingungendes Gebrauchszustandes (z.B.: Spannungs-, Rissbreiten- und Verformungsbegrenzungen).Deshalb sollten die Vorschriften verfeinert werden, wobei dieBedingungen des Gebrauchszustandes bei der Formulierung der Momentenumlagerungberücksichtigt und die eingesetzten Werte des Zwangmoments imGrenzzustand der Tragfähigkeit unter Beachtung des Grades der Momentenumlagerungberechnet werden müssen.2.4.2 DIN 4227 Teil 1 [5] und DIN 4227 Teil 2 [6]Die Zwangschnittgrößen infolge Vorspannung sind bei voll bzw. beschränktvorgespannten Tragwerken nach DIN 4227 Teil 1 [5] mit dem Beiwert γ P = 1,0im Bruchzustand zu berücksichtigen. Für teilweise Vorspannung nach DIN 4227Teil 2 [6] beträgt der Beiwert γ P = 1,0 für günstige und γ P = 1,5 für ungünstigeWirkung der Zwangschnittgrößen.Die Momentenumlagerungen sind in DIN 4227 Teil 1 [5] nicht ausdrücklichgeregelt. Nach Abschnitt 11.1.(4) dieser Norm dürfen die Schnittgrößen imrechnerischen Bruchzustand aber auch unter Berücksichtigung der Steifigkeitsverhältnisseim Zustand II ermittelt werden. Zur Ermittlung der Schnittgrößenbei teilweise vorgespannten Stahlbetontragwerken nach DIN 4227 Teil 2Abschnitt 7.2 gelten die Verfahren nach DIN 1045 [8] Abschnitt 15, die auf derElastizitätstheorie beruhen. Bei Durchlaufträgern, die die vorgeschriebenen

38Stand der TechnikVoraussetzungen erfüllen (üblicher Hochbau, Stützweite bis 12 m und gleichbleibendeBetonquerschnitte), dürfen nach DIN 1045 [8] die Stützmomenteinfolge von Lasten bis zu 15% ihrer Höchstwerte vermindert oder vergrößertwerden, wobei die Gleichgewichtsbedingungen bei der Bestimmung der zugehörigenFeldmomente eingehalten werden müssen. Bei der Ermittlung derBemessungsmomente für teilweise Vorspannung im Bruchzustand unter Berücksichtigungder Momentenumlagerung werden die Zwangmomente also nicht mitumgelagert.2.4.3 CEB-FIP Model Code 1990 [9]Der CEB-FIP Model Code ist eine moderne und fortschrittliche Mustervorschrift,die den neuesten Stand der Forschung enthält. Sie beeinflusst nachhaltig inunterschiedlichem Grad die Stahlbeton- und Spannbetonnormen vieler Länder[47]. In der letzten Ausgabe 1990 dieser Vorschrift [9] werden folgende vierBerechnungsverfahren zur Ermittlung der Schnittgrößen eines Betontragwerkesvorgestellt:- nichtlineare Berechnungsmethode,- lineare Berechnungsmethode,- lineare Berechnungsmethode mit beschränkten Umlagerungen,- plastische Berechnungsmethode.Bei der Berechnung nach dem nichtlinearen Verfahren wird das physikalischeWerkstoffverhalten realistischer dargestellt und entspricht den Annahmen zurBemessung der Querschnitte. Nach CEB-FIP MC90 [9] soll dieses Verfahrenals Referenz für andere weniger genaue Berechnungsverfahren dienen.

Stand der Technik 39In den Berechnungen sowie Nachweisführungen des Grenzzustandes derTragfähigkeit soll die statisch unbestimmte Wirkung aus Vorspannung nach CEB-FIP MC90 [9] mit unterschiedlichen Sicherheitsbeiwerten berücksichtigt werden.Für günstige Wirkungen, d.h. die Zwangschnittgrößen infolge Vorspannunghaben ein den Schnittgrößen aus äußeren Lasten entgegengesetztes Vorzeichen,beträgt der Beiwert γ P = 1,0. Demgegenüber ist γ P = 1,1 für ungünstige Wirkungvorgeschrieben. Während der Beiwert γ P = 1,0 bezogen auf den unteren charakteristischenWert der Vorspannkraft P k,inf eingeführt werden soll, bezieht sich dieAnwendung des Beiwerte γ P = 1,1 auf den oberen charakteristischen Wert derVorspannkraft P k,sup .Setzt man für ein Tragwerk, in dem hochduktile Stähle verwendet werden, dielineare Berechnungsmethode mit anschließenden Umlagerungen ein, dürfen diemaximalen Momente aus dem linearen Berechnungsverfahren abgemindertwerden. Es wird vorausgesetzt, dass die Momente in anderen Querschnittengleichzeitig erhöht werden müssen, um die statischen Gleichgewichtsbedingungeneinzuhalten. Für gerade Balken in der horizontalen Lage soll der Abminderungsfaktor(δ) die Bedingungen nach Tabelle 2.6 erfüllen. In der Tabelle ist x/d dierelative Höhe der neutralen Linie des kritischen Querschnitts. Nach dieserMustervorschrift wird also die Abminderung der höchsten Momente bei derMomentenumlagerung in den Durchlaufträgern auf maximal 25% begrenzt.

40Stand der TechnikTabelle 2.6: Abminderungsfaktor δ nach CEB-FIP MC90 [9]StahlsortenHochduktiler BetonstahlSpannstahl bei Vorspannung mit VerbundHochduktiler BetonstahlSpannstahl bei Vorspannung mit VerbundHochduktiler BetonstahlSpannstahl bei Vorspannung mit VerbundBetonfestigkeit bzw.TragwerksartC12 bis C35C40 bis C60DurchlaufträgerUnverschiebliche RahmenAbminderungsfaktor(δ)δ ≥ 0,44 + 1,25 x/dδ ≥ 0,56 + 1,25 x/d0,75 ≤ δ ≤ 1,00Hochduktiler BetonstahlSpannstahl bei Vorspannung mit VerbundVerschiebliche Rahmen 0,90 ≤ δ ≤ 1,00Spannstahl bei Vorspannung ohne Verbund C12 bis C60 δ ≥ 0,75 + 1,25 x/d0,90 ≤ δ ≤ 1,002.4.4 DIN V ENV 1992 Teil 1-1 (Eurocode 2 Teil 1-1) [1]Viele Bestimmungen des CEB Model Codes 1990 [9] werden im Eurocode 2Teil 1 [1] übernommen. Wie auch im CEB MC90 [9] vorgeschrieben, dürfenfolgende Berechnungsmethoden nach Eurocode 2 Teil 1 [1], je nach untersuchtemGrenzzustand und Art des Bauteils, für die Schnittgrößenermittlung verwendetwerden:(1) Lineares Berechnungsverfahren, das auf der Elastizitätstheoriebasiert.(2) Lineares Berechnungsverfahren mit anschließender begrenzterMomentenumlagerung.(3) Nichtlineare Berechnungsverfahren.(4) Verfahren nach der Plastizitätstheorie.Die Berechnungsmethoden (2) bis (4) sind grundsätzlich gleichwertig, wobei dasnichtlineare Werkstoffverhalten von Stahlbeton und Spannbeton konsequent

Stand der Technik 41berücksichtigt wird. Sie unterscheiden sich in erster Linie im Ausnutzungsgraddes Umlagerungsvermögens des Tragwerkes.Die Zwangschnittgrößen infolge Vorspannung werden nach EC2 Teil 1 [1] inGrenzzuständen der Tragfähigkeit mit dem Sicherheitsbeiwert γ P = 0,9 fürgünstige oder γ P = 1,2 für ungünstige Fälle berücksichtigt. Nach der Anwendungsrichtlinie[2] bzw. den Bemessungshilfsmitteln [13] zu EC2 Teil 1 ist beigünstiger bzw. ungünstiger Wirkung auch die Vereinfachung γ P = 1,0 zulässig.Diese Vereinfachung gilt sowohl für die Schnittgrößenermittlung im Grenzzustandder Tragfähigkeit nach dem linearen Berechnungsverfahren, wobei dieVorspannkraft als Bemessungswert P d anzusetzen ist, als auch für die Querschnittsbemessungen,bei denen folgende Bedingungen eingehalten sind:- Im Grenzzustand der Tragfähigkeit dürfen nicht mehr als 25% desgesamten Spannstahlquerschnitts in der Druckzone liegen.- Die Spannung im Spannstahl, der der gezogenen Querschnittsseite amnächsten liegt, überschreitet (f p0,1k / γ s ).Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, sollte für alle Spannglieder imbetrachteten Querschnitt der Wert γ P = 0,9 verwendet werden.Im Hinblick auf die Berücksichtigung der statisch unbestimmten Wirkung derVorspannung bei der Querschnittsbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeitschreibt EC2 folgende Regelungen vor:- Wenn die Schnittgrößen auf der Grundlage der Plastizitätstheorieermittelt werden, wobei eine hinreichende Duktilität vorausgesetzt wird,dürfen nach EC2 Teil 1 Anhang 2 Abschnitt A2.5.2 die Zwangschnittgrößeninfolge Vorspannung vernachlässigt werden.- Werden die Schnittgrößen nach einem der Verfahren (1) bis (3) ermittelt,

42Stand der Techniksind die Zwangschnittgrößen infolge Vorspannung zu berücksichtigen.Weil diese Wirkungen empfindlich gegenüber der Streuung der Vorspannkraftsind [47], sollten sie mit ihrem charakterischen Wert P k unddem Beiwert γ P = 1,0 eingesetzt werden [1, 13, 34].Durch die oben aufgelisteten Berechnungsverfahren (2) bis (4) ist eine größereSchnittgrößenumlagerung im Grenzzustand der Tragfähigkeit in Abhängigkeitder Rotationsfähigkeit des Tragwerkes sowie der notwendigen Duktilität zulässigals bei anderen Normenwerken. Nach Berechnungsverfahren (2) werden dieextremalen Stützmomente mit einem Beiwert δ abgemindert. Zur Erfüllung derGleichgewichtsbedingungen müssen die Feldmomente gleichzeitig entsprechenderhöht werden. Die für die Umlagerung erforderliche Rotationsfähigkeit istallerdings zu überprüfen. Auf einen Nachweis der Rotationsfähigkeit im maßgebendenQuerschnitt darf bei folgenden Traggliedern verzichtet werden, wennsie die Bedingungen der Tabelle 2.7 erfüllen:- Durchlaufträger mit einem Verhältnis der Spannweiten von benachbartenFeldern größer als 0,5 und kleiner als 2,- Riegel von unverschieblichen, nicht vorgespannten Rahmen und Bauteilen,die vorwiegend auf Biegung beansprucht werden.Tabelle 2.7: Abminderungsfaktor δ nach Eurocode 2 Teil 1 [1]Betonfestigkeitsklassebzw. StahlsorteC12/15 bis C35/45C40/50 bis C50/60Hochduktiler StahlNormalduktiler Stahlδδ ≥ 0,44 + 1,25 x/dδ ≥ 0,56 + 1,25 x/dδ ≥ 0,70δ ≥ 0,85

Stand der Technik 43In Tabelle 2.7 ist x/d das Verhältnis zwischen Höhe der Druckzone im Grenzzustandder Tragfähigkeit nach der Umlagerung und der Nutzhöhe des Querschnitts.Zur Berechnung von δ ist also eine Iteration erforderlich. Spanngliedermit sofortigem Verbund werden als normalduktiler und Spannglieder mitnachträglichem Verbund als hochduktiler Stahl angenommen. Die Momente, beidenen eine Umlagerung angenommen wird, sind bei einer linearen Berechnungmit anschließender Umlagerung unter Berücksichtigung des statisch unbestimmtenAnteils der Vorspannung zu ermitteln.Während DIN 1045 [8] eine Momentenumlagerung von Stütz- zum Feldbereichsowie vom Feld- zum Stützbereich zulässt, enthält Eurocode 2 Teil 1 [1] dazukeine Angaben. Die Abminderungsfaktoren δ in der Tabelle 2.7 werden unterAnnahme einer Abminderung des Stützmoments hergeleitet [48]. Deshalb reichendiese nach Litzner [47] nicht aus, um die Rotationsfähigkeit im Fall einerUmlagerung von den Feldern auf die Stützquerschnitte zu beurteilen. NachGrasser et al. [49] sind sie hingegen für alle kritischen Querschnitte anwendbar,also in der Regel sowohl für die Stützmomente als auch für die maximalenFeldmomente.Im Eurocode 2 Teil 1-1 2 nd Draft (Ausgabe Januar 2001) werden die Regelungendieser Sachverhalte geringfügig geändert (s. Tabelle 2.8).

44Stand der TechnikTabelle 2.8: Änderungen nach Eurocode 2 Teil 1-1 2 nd Draft (Ausgabe Januar 2001)EC2 Teil 1-1 (1992) EC2 Teil 1-12 nd Draft (2001)Sicherheitsbeiwerte zur Berücksichtigungder statisch unbestimmten Wirkungaus Vorspannung imGrenzzustand der Tragfähigkeit:- für günstige Wirkung- für ungünstige WirkungBehandlung der statisch unbestimmtenWirkung aus Vorspannung bei derQuerschnittsbemessung im Grenzzustandder Tragfähigkeitbei Schnittgrößenermittlung nach:- dem linear elastischen Verfahren- der Plastizitätstheorie- dem nichtlienaren VerfahrenAbminderungsfaktor δ bei Momentenumlagerungohne rechnerischer Nachweisder Rotationsfähigkeit- für Beton C12/15 bis C35/45- für Beton C40/50 bis C50/60- für hochduktilen Stahl- für normalduktilen Stahlγ p = 0,9γ p = 1,2berücksichtigtdarf vernachlässigtberücksichtigtδ ≥ 0,44 + 1,25 ⋅ x/dδ ≥ 0,56 + 1,25 ⋅ x/dδ ≥ 0,70δ ≥ 0,85γ p = 1,0γ p = 1,3berücksichtigtals zusätzliche plastischeRotation berücksichtigtals zusätzliche plastischeRotation berücksichtigtFür alle Betonfestigkeit(bis C90/105)gilt:⎛ 0,0014⎞xδ ≥ 04 , + ⎜06, + ⎟ ⋅⎝ ε ⎠ dδ ≥ 0,70δ ≥ 0,80cu2.4.5 ACI 318-99 [4]ACI 318-99 [4] enthält unterschiedliche Bestimmungen für die Momentenumlagerungbei Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Unter gleichen Bedin-

Stand der Technik 45gungen ist der Umlagerungsgrad des Spannbetontragwerks kleiner als der desStahlbetontragwerks. Die Stützmomente aus linear elastischer Schnittgrößenberechnungdürfen für Spannbetontragwerke nach ACI 318-99 [4] mit folgendemUmlagerungsfaktor vergrößert oder verkleinert werden (Gl. 2.1):⎛ d ⎞⎜ ωp+ ( ω− ω′) ⎟δ = ⎜d p1−⎟ ⋅ 20%⎜ 036 , ⋅β⎟1⎜⎟⎝⎠(2.1)In dieser Gleichung sind ω p , ω und ω′ die mechanischen Bewehrungsverhältnissevon Spannstahl, Betonstahl im Zugbereich bzw. Betonstahl im Druckbereich.d p und d s stellen die Abstände des Spannstahls bzw. Betonstahls zum Druckranddar. Die Betonfestigkeit wird durch den Beiwert β 1 berücksichtigt. DieMomentenumlagerung darf durchgeführt werden, wenn der Wert von ω p bzw.(ω p + d/d p ⋅(ω − ω′) bzw. (ω pw + d/d p ⋅(ω w − ω w ′) für den betrachteten Querschnittnicht größer ist als 0,24 β 1 .Nach ACI 318-1989 sowie den vorherigen Ausgaben sind die Zwangschnittgrößeninfolge Vorspannung mit dem Sicherheitsbeiwert γ P = 1,0 im Bruchzustandzu berücksichtigen. Zur Ermittlung der Bemessungsmomente wird dieserSchnittgrößenanteil zu den Momenten infolge der äußeren Lasten addiert. DieMomente infolge der äußeren Beanspruchungen müssen vorher mit den entsprechendenSicherheitsbeiwerten multipliziert und dürfen anschließend mit obengenanntem Faktor umgelagert werden. In dieser Bestimmung der Momentenumlagerungwerden die Zwangschnittgrößen infolge Vorspannung offenbar nichtmit umgelagert. Wie im Abschnitt 2.2.2 schon erwähnt, zeigen Wyche et al. in[29], dass diese Regelung unlogisch ist. Durch ihre analytische Studie wird

46Stand der Techniknachgewiesen, dass nach dem ACI 318-1989 der Momentenumlagerungsgradeines Querschnittes von seinen Zwangmomenten infolge Vorspannung abhängigist. Unterschiedliche Werte der Zwangmomente liefern unterschiedliche Momentenumlagerungen,obwohl die Querschnittsgeometrie und das Werkstoffverhaltengleich bleiben. Ab der Ausgabe ACI 318-1995 wird die Regelung zu diesemSachverhalt verbessert, indem die Momentenumlagerung auf die Summe derBiegemomente aus den äußeren Beanspruchungen und den unbestimmtenWirkungen der Vorspannung vorgenommen wird.2.4.6 DIN 1045-1 [3]DIN 1045-1 [3] lässt die im CEB MC 90 [9] und im Eurocode 2 Teil 1 [1] zurSchnittgrößenermittlung benannten Verfahren auch zu. Außerdem umfasst dieseneue Normengeneration die Anwendung von unbewehrtem Beton, Stahlbetonund Spannbeton sowohl mit Leichtbeton als auch mit Normalbeton bis zurFestigkeitsklasse C 100/115.Im Gegensatz zu beiden Normen ([1] und [9]) , in denen die Mittelwerte derMaterialeigenschaften beim nichtlinearen Verfahren der Schnittgrößenermittlungund die Bemessungswerte bei der anschließenden Querschnittsbemessungverwendet werden, geht man in DIN 1045-1 [3] vom rechnerischen Mittelwert(f R ) der Baustoffeigenschaften sowohl für die Schnittgrößenermittlung als auchfür die anschließende Querschnittsbemessung aus. Hiernach werden die Stahlfestigkeitenrechnerisch erhöht und die Betonfestigkeiten rechnerisch reduziert(s. Tabelle 2.9).

Stand der Technik 47Tabelle 2.9: Rechnerische Mittelwerte der Baustoffeigenschaften nach DIN 1045-1 [3]Baustoffeigenschaftenrechnerischer MittelwertStreckgrenze des Betonstahls f yR = 1,1 ⋅ f ykZugfestigkeit des hochduktilen Betonstahls f tR = 1,08 ⋅ f yRZugfestigkeit des normalduktilen Betonstahls f tR = 1,05 ⋅ f yRStreckgrenze (0,1 %-Dehngrenze) des Spannstahls f p0,1R = 1,1 ⋅ f p0,1kZugfestigkeit des Spannstahls f pR = 1,1 ⋅ f pkDruckfestigkeit des Betons (von C12/15 bis C50/60) f cR = 0,85 ⋅ α ⋅ f ckDruckfestigkeit des Betons (von C55/67 bis C100/115) f cR = 0,85 ⋅α⋅f ck /γ′ cDer Bemessungswert des Tragwiderstands R d wird ebenso mit diesen rechnerischenMittelwerten der Baustoffeigenschaften ermittelt:Rd1= ⋅ R(fcR ; fyR ; ftR ; fp0,1R ; fpR )γRDabei ist γ R der Teilsicherheitsbeiwert für den Systemwiderstand:γ R = 1,3 für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen undγ R = 1,1 für außergewöhnliche Bemessungssituationen.Die Einwirkungen infolge Vorspannung werden nach DIN 1045-1 [3] mit demTeilsicherheitsbeiwert γ p = 1,0 sowohl für günstige als auch für ungünstigeSituationen berücksichtigt. Dieser Wert ist identisch mit dem Wert aus derRichtlinie zur Anwendung von Eurocode 2 [2].Bei dem elastisch-linearen Berechnungsverfahren mit anschließender begrenzterMomentenumlagerung werden die plastischen Verformungsfähigkeiten vonBetonbauteilen bei der Schnittgrößenermittlung in gewissen Grenzen berücksich-

48Stand der Techniktigt. Das Verfahren darf aber nur für die Nachweise im Grenzzustand derTragfähigkeit verwendet werden. Zur Sicherstellung der für die Momentenumlagerungerforderlichen Rotationsfähigkeit der Querschnitte ist- entweder ein rechnerischer Nachweis der Rotationsfähigkeit durchzuführen- oder für bestimmte Tragwerksarten eine Begrenzung der bezogenen Druckzonenhöhex/d im Grenzzustand der Tragfähigkeit nach Tabelle 2.10 einzuhalten.Tabelle 2.10: Abminderungsfaktor δ nach DIN 1045-1 [3]StahlsortenBetonfestigkeitsklassenbis C50/60 ab C55/67und LeichtbetonHochduktiler Betonstahl undSpannstahl bei Vorspannung mitnachträglichem bzw. ohne VerbundNormalduktiler Betonstahl undSpannstahl bei Vorspannung mitsofortigem Verbundδ ≥ 0,64 + 0,8 (x d /d)δ ≥ 0,70δ ≥ 0,64 + 0,8 (x d /d)δ ≥ 0,85δ ≥ 0,72 + 0,8 (x d /d)δ ≥ 0,80δ = 1,0(keine Momentenumlagerungzugelassen)Die Begrenzung der x d /d - Werte in der Tabelle 2.9 gilt nur für folgende Tragwerksarten:- Durchlaufträger mit einem Stützweitenverhältnis benachbarter Felder0,5 < l eff,1 / l eff,2 < 2,0,- Riegel von unverschieblichen Rahmen,- sonstige vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile.Im Allgemeinen darf keine Umlagerung bei verschieblichen Rahmen und beiunbewehrten Betonkonstruktionen vorgenommen werden. Die zulässige Momentenumlagerungfür die Eckknoten unverschieblicher Rahmen ist auf δ = 0,90begrenzt.

Stand der Technik 492.5 ZusammenfassungDie Überprüfung der Literatur zum Stand der Technik dieser Thematik zeigtunterschiedliche Meinungen. Die bekannten Untersuchungen zur Entwicklungder Zwangmomente infolge Vorspannung liefern unterschiedliche Ergebnisse.Bei Steigerung der äußeren Beanspruchungen über die Gebrauchslast hinaus biszur rechnerischen Bruchlast nehmen die Zwangmomente ab oder zu, oder siebleiben unverändert. Wenn die statisch unbestimmt gelagerten Spannbetontragwerkeinfolge Plastifizierung in statisch bestimmte Systeme übergehen, tretenkeine Zwangmomente mehr auf.Eine unterschiedliche Behandlung der statisch unbestimmten Wirkung ausVorspannung zeigen auch die zur Zeit gültigen Normenwerke. Dieser Schnittgrößenanteilwird in den meisten Normen mit einem Sicherheitsfaktor γ p = 1,0im Grenzzustand der Tragfähigkeit berücksichtigt (s. Tabelle 2.11).Die neue Normengeneration [1, 3, 4] lässt eine Momentenumlagerung fürSpannbetontragwerke zu, wobei die Zwangmomente infolge Vorspannung mitumgelagert werden. Sie berücksichtigen hiermit den Einfluss des nichtlinearenTragwerkverhaltens auf die Zwangmomente infolge Vorspannung. UnterschiedlicheSicherheitsbeiwerte für die Vorspannkraft γ p sind jedoch keine Sicherheitsfaktorenfür die Veränderung der Zwangmomente, sondern dienen zum Abdeckender Ungenauigkeiten bei der Abschätzung der Vordehnung bzw. der Anfangswerteder Vorspannkraft.

50Stand der TechnikTabelle 2.11: Vergleich der Sicherheitsbeiwerte γ p zur Berücksichtigung der statisch unbestimmtenWirkung aus Vorspannung im Grenzzustand der TragfähigkeitNormen AusgabeSicherheitsbeiwerte γ p fürgünstige Wirkung ungünstige WirkungDIN 4227 Teil 1 1988 1,0 1,0CEB MC 90 1990 1,0 *) 1,1 **)EC 2 Teil 1-1 1992 0,9 1,2NAD zu EC2 1992 1,0 1,0ACI 318 1999 1,0 1,0EC 2 Teil 1 2 nd Draft 2001 1,0 1,3DIN 1045-1 2001 1,0 1,0*) bezogen auf P k,inf **) bezogen auf P k,supEbenso unterschiedlich sind die Ergebnisse aus den Untersuchungen zur Momentenumlagerung.Die erreichte Momentenumlagerung ist entweder vollständig,teilweise oder sogar Null. Vollständige Momentenumlagerungen wurden inmehreren Versuchen beobachtet, wobei die Bedingungen zum Erreichen einervollständigen Momentenumlagerung in diesen Laborversuchen meistens günstigerals in der Praxis waren. Die Versuchsanordnungen haben normalerweise kleinereSpannweiten-Querschnittshöhen-Verhältnisse als die in der Praxis gebräuchlichenVerhältnisse von mehr als 20. Außerdem hatten die Träger meistens eine rechteckigeQuerschnittsform und wurden mit konzentrierten Lasten beansprucht.Nach Morrice & Lewis [50] ist die Wahrscheinlichkeit gering, dass eine vollständigeMomentenumlagerung bei praxisüblich verwendeten Spannbetonträgernmit Plattenbalkenquerschnitten und mit gleichmäßig verteilten Lasten erreichtwerden kann. Durch nichtlineare analytische sowie numerische Untersuchungenkönnen die Beschränkungen der Laborversuche, wie z. B. die von der Praxisabweichenden Merkmale, überwunden werden.

Stand der Technik 51Ebenfalls unterschiedlich ist die Berücksichtigung der Momentenumlagerungin den Normenwerken. Während beim EC2 Teil 1-1[1], bei der DIN 1045-1 [3]und beim ACI 318-99 [4] die Momentenumlagerung für Spannbetontragwerkezugelassen ist, enthält die ältere Normengeneration wie z. B. die DIN 4227 Teil1 [5] und der AASHTO [12] keine Bestimmungen für die Momentenumlagerung.Der Grad der Momentenumlagerung kann nach den gültigen Vorschriften aneinem kritischen Querschnitt bestimmt werden. Der Umlagerungsgrad istallerdings in jeder Norm von unterschiedlichen Parametern abhängig.Weitere experimentelle sowie nichtlineare analytische bzw. numerische Untersuchungensind daher für Spannbetondurchlaufträger notwendig, um möglicheVeränderungen der Zwangmomente infolge Vorspannung im Grenzzustand derTragfähigkeit und die Momentenumlagerung besser erfassen zu können.

52Numerisches Modell3 Numerisches Modell3.1 AllgemeinesDie Untersuchung des nichtlinearen Tragverhaltens von Spannbetonträgern istGegenstand der vorliegenden Arbeit, wobei die Entwicklung des Zwangmomentsinfolge Vorspannung und der Momentenumlagerung im nichtlinearen Bereichals Schwerpunkte betrachtet werden. Um das Verhalten eines schlanken Spannbetonträgerswirklichkeitsnah ermitteln zu können, müssen sowohl physikalischals auch geometrisch nichtlineare Einflüsse berücksichtigt werden.Unter Berücksichtigung der nichtlinearen Spannungs-Dehnungsbeziehungen derverwendeten Werkstoffe, des Aufreißens des Querschnittes sowie des zeitabhängigenWerkstoffverhaltens (Schwinden und Kriechen des Betons, Relaxationdes Spannstahles) werden die physikalisch nichtlinearen Einflüsse erfasst. Indieser Arbeit wird der nichtlineare Einfluss infolge Rissbildung in der Form einesverschmierten Modells berücksichtigt. Das Modell wird durch eine Modifizierungder Spannungs-Dehnungsbeziehung des Betonstahles im Computerprogrammimplementiert. Der Einfluss des zeitabhängigen Werkstoffverhaltens auf dieVorspannkräfte wird nach den Vorschriften des CEB MC90 [9] ermittelt.Unter dem Begriff der geometrischen Nichtlinearität ist eine Berücksichtigungder Auswirkungen von Nichtlinearitäten auf die Verträglichkeitsbedingungenzu verstehen. Diese Bedingungen verknüpfen die Verzerrungen mit den Verschiebungeneines Tragwerkes. Bei der Berechnung nach der Theorie 1.Ordnungwird die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen im unverformtenAnfangszustand ermittelt. Die verwendeten Verträglichkeitsbedingungen bleiben

Numerisches Modell 53bei der Ermittlung der Steifigkeitsmatrix linear. Ebenso werden bei der Berechnungnach der Theorie 2.Ordnung die linearen Verträglichkeitsbeziehungenverwendet. Im Gegensatz zur Theorie 1.Ordnung wird hier die Formulierung derGleichgewichtsbedingungen im verformten Zustand durchgeführt. Bei derBerechnung unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearitäten kanndie Ermittlung der Zustandsgrößen entweder auf den unverformten Anfangszustandoder auf den verformten letzten Zustand bezogen werden. Bei dem erstenFall spricht man von der totalen Lagrangeschen Formulierung, und der zweiteFall wird als umgeformte Lagrangesche Formulierung bezeichnet.3.2 Nichtlineare Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen3.2.1 Verschiebung eines PunktesBei ebenen Problemen hat jeder Punkt eines Stabkontinuums zwei Freiheitsgrade,und zwar die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y). Das dreidimensionale Stabkontinuumwird üblicherweise in der Stabtheorie durch eine mit Querschnittenbelegte Stabachse ersetzt. Die Stabquerschnitte sind im unbelasteten Anfangszustandeben und stehen senkrecht zur unverformten Stabachse. Die Verschiebungender Punkte eines Querschnittes sollen zunächst durch die Verschiebungsgrößendes zugehörigen Punktes der Stabachse ausgedrückt werden. Hierzu wirddie erste Bernoulli-Hypothese verwendet, die besagt, dass die Querschnitte auchnach der Verformung des Stabes eben sind (Hypothese vom Ebenbleiben derQuerschnitte). Damit ergibt sich für die Verdrehung des Stabquerschnitts zunächst(s. Bild 3.1):θ(x,y) = θ(x) (3.1)

54Numerisches ModellHier sind die Verformungen infolge Biegung und Schub zusammengefasst, also:θ(x) = β(x) + γ(x) (3.2)wobei: β(x) die Verdrehung des Querschnitts infolge des Biegemoments ist, undγ(x) die über den Querschnitt konstant angenommene Schubverzerrung.Außerdem wird angenommen, dass die Querschnittsform bei der Verformungunverändert bleibt, damit y = y.Für die Verschiebungen eines Punktes P(x,y) gilt:in x-Richtung: u P(x,y) = u 0 (x) - y ⋅ sin θ(x) (3.3)in y-Richtung: v P(x,y) = v 0 (x) - y + y ⋅ cos θ(x) = v 0 (x) + y ⋅ [cos θ(x) - 1] (3.4)Bild 3.1 Verschiebung eines PunktesNach der zweiten Bernoulli-Hypothese liegen die Querschnitte auch nach derVerformung senkrecht zur verformten Stabachse (Normalenhypothese). DieseHypothese beruht auf der Vernachlässigung der Schubverzerrungen (γ), derenEinfluss auf die Durchbiegung schlanker Balken, zu denen in der Regel auch dieSpannbetonträger zählen, erfahrungsgemäß klein und daher vernachlässigbar ist[53, 54, 55]. Hieraus ergibt sich:θ(x) = β(x) (3.5)

Numerisches Modell 55Dies ist keine Identität, sondern resultiert aus der Vernachlässigung der Schubverzerrungen.Wenn die Verdrehung θ(x) nicht zu groß angenommen wird, so dass sin θ(x) ≈θ(x) und cos θ(x) ≈ 1 sind, dann ergibt sich:u P(x,y) = u 0 (x) - y ⋅ θ(x) (3.6)v P(x,y) = v 0 (x) (3.7)Im nächsten Abschnitt werden genaue Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungennach Rothert und Gensichen [56] dargestellt.3.2.2 Dehnung der StabachseEin Element dx der Stabachse hat nach der Verformung die LängeDehnung der Stabachse beträgt:dx − dx dxε= = −1dx dxdx . Die(3.8)Für sehr kleine dx entnimmt man aus dem Bild 3.2 die geometrische Beziehung:( dx ) = ( dx + du) + ( dv)2 2 2Diese Gleichung wird mit (dx) -2 multipliziert:(3.9)2 2 2⎛ dx⎞⎛1 du ⎞ dv⎜ ⎟ = ⎜ + ⎟ + ⎛ ⎝ dx⎠⎝ dx⎠⎝ ⎜ ⎞⎟dx⎠(3.10)dxdx2 2⎛1 du ⎞ dv= ⎜ + ⎟ + ⎛ ⎝ dx⎠⎝ ⎜ ⎞⎟dx⎠(3.11)

56Numerisches ModellBild 3.2 Verformungen eines BalkenelementsGleichung (3.11) wird in (3.8) eingesetzt. Dann erhält man die gesuchteDehnungs-Verschiebungs-Beziehung der Stabachse:2 2⎛ ⎞ε= ⎜ + ⎟ + ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞1 du dv⎟dx dx⎠−1(3.12)Eine Reihenentwicklung anstelle des Wurzelgliedes führt zu:⎛ε= + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎛ ⎠⎝ ⎜ ⎞⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎜⎟ +⋅⋅⋅⎝1 du2 2 4 2 21 dv 1 du dv 1 dv 1 du dv ⎞dx 2 dx 2 dx dx 8 dx 2 dx dx⎠⎟⎠− 1(3.13)oder:2 2 4 2 2du 1ε= + ⎛ ⎝ ⎜ dv⎞1⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ du⎞⎟ ⎛ ⎠⎝ ⎜ dv⎞1⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ dv⎞1⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ du⎞⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ dv⎞⎟ +⋅⋅⋅dx 2 dx 2 dx dx 8 dx 2 dx dx⎠(3.14)

Numerisches Modell 57Durch eine Einschränkung bei der Annahme der Verdrehungen darf folgenderNäherungswert für die Dehnung der Stabachse angewendet werden [57]:du 1ε= + ⎛ ⎝ ⎜ dv⎞⎟dx 2 dx⎠2(3.15)Für die im konstruktiven Bauingenieurwesen vorkommenden nichtlinearenProbleme liefert dieser Näherungswert hinreichend genaue Ergebnisse [57].3.2.3 Neigung der Biegelinie (θ)Aus Bild 3.2 ergibt sich für die Neigung der Biegelinie:dv dv / dxtanθ= =dx + du (dx + du) / dxdv / dxθ= arc tan1+du/dxdv / dx=1 + du/dx(3.16)(3.17)oder mit einer Reihenentwicklung für arc tan:dv / dx 1⎛dv / dx ⎞θ= − ⎜ ⎟ +⋅⋅⋅(3.18)1 + du/dx 3⎝1+du/dx⎠dv / dxFür kleine Verdrehungen gilt die Näherung θ ≈ tan θ. Also: θ≈ .1 + du/dx33.2.4 Krümmung der verformten Stabachse (θ′)Die Krümmung ist die erste Ableitung der Neigung der Stabachse nach x, also:

58Numerisches Modelldθ =dx⎛d⎜arctan⎝dv / dx1+du/dxdx⎞⎟⎠=2d v⎛1+ du ⎞dx dx - d u dv2⎜ ⎟⎝ ⎠ 2dx dx2⎛ du⎞dv⎜ + ⎟ + ⎛ 2⎝ dx⎠⎝ ⎜ ⎞1⎟dx⎠2(3.19)3.2.5 Dehnung einer beliebigen StabfaserEine beliebige Stabfaser der Länge dx im Abstandder Verformung die Länge( )yvon der Stabachse hat nachR−y ⋅dθ. Die Dehnung der Faser ist dann:(R −y)dθ−dxθε == (R −y) d −dxdx 1Dies bedeutet für die Dehnung der Stabachse:θε = εy 0= R d −dx 1=und damit für die Dehnung einer beliebigen Faser:θε= ε−y d dx(3.20)(3.21)(3.22)mit ε aus Gleichung (3.12) und dθ/dx aus Gleichung (3.19).Nach [58, 59, 60] darf man mit Hilfe des Näherungswertes für die Dehnung derStabachse nach Gl.(3.15) folgende Näherung für die Dehnung einer beliebigenFaser anwenden:ε( x,y)2 2du 1 dv= + ⎛ y d v2dx 2 ⎝ ⎜ ⎞⎟ −dx⎠dx(3.23).Hierbei wird angenommen, dass die Verzerrungen sehr klein gegenüber Einsbleiben sollen. Diese Annahme wird von Stahlbeton- und Spannbetontragwerkenauch im Versagenszustand erfüllt [70].

Numerisches Modell 593.2.6 Anwendung bei Stahlbeton- und SpannbetonträgernIn der Elastizitätstheorie wird auch bei geometrisch nichtlinearen Betrachtungenals Bezugsachse normalerweise die Schwerpunktachse des Stabes gewählt. Hierdient die Schwerpunktachse als Referenzlinie für die Berechnung. Für Werkstoffemit nichtlinearem Verhalten wie Stahlbeton und Spannbeton ist dagegen die alleinmit der Stabgeometrie festgelegte Schwerpunktbezugsachse nicht mehr gegeben;vielmehr stellt sich eine geometrie- und belastungsabhängige Verschiebung derSchwerpunktachse ein [71], welche aus der Verteilung des E-Moduls über dieQuerschnittshöhe ermittelt werden kann (s.Bild 3.3). Da die Lage der Querschnittsschwerpunktein Stablängsrichtung belastungsabhängig ist, ist sie für eineTheorie gerader Stabelemente als Referenzlinie ungeeignet. Es wird daher einebeliebige gerade Referenzlinie als Bezugachse gewählt. Wichtig ist hier dieAnnahme, dass die Beschreibung des Elementverformungsverhaltens (Bernoulli-Hypothese) von der Wahl der beliebigen, geraden Bezugsachse unbeeinflusst ist.Die Steifigkeitsmatrix wird bezogen auf die Referenzlinie ermittelt. In dervorliegenden Arbeit werden ausschließlich schlanke, gerade Spannbetonträgerbehandelt, die sich in einer Ebene befinden, wobei alle Versagensarten außer demBiegeversagen durch geeignete Maßnahmen ausgeschlossen sind.

60Numerisches Modell(a) Lineares Werkstoffverhalten (b) Nichtlineares WerkstoffverhaltenBild 3.3 Verschiebung der Schwerpunktachse.3.3 Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix3.3.1 Allgemeine HinweiseEs werden nur prismatische Balkenelemente betrachtet, die über die ganze Längeaxial symmetrisch sind. Unter diesen Voraussetzungen und den Annahmen ausAbschnitt 3.2 existiert wiederum ein axialer Spannungszustand. Der vollkommeneVerbund zwischen Beton und Stahl wird angenommen, so dass die Verschiebungsansätzefür jedes Element stetig sind. Es wird die totale LagrangescheFormulierung zur Beschreibung der Bewegungen bzw. der Verformungenangewendet. Bei dieser Formulierung werden alle Größen auf die unverformteAusgangslage bezogen. Die x- und y-Achse bilden ein lokales kartesischesKoordinatensystem (s. Bild 3.4).

Numerisches Modell 61In dieser Arbeit wird ein Schichtelementmodell angewendet. Jedes Balkenelementwird in mehrere Beton- und Stahlschichten unterteilt. Anhand der Spannungs-Dehnungsbeziehung der verwendeten Werkstoffe werden die Spannungen derFasern aus dem Dehnungszustand hergeleitet. Ebenso wird der Elastizitätsmodulder Fasern für die Berechnung der Elementsteifigkeit ermittelt. Die Anwendungdes Modells zur Untersuchung von Betontragwerken ist z.B. in den Arbeiten vonPecknold/Schnobrich [61], Van Gruenen [62], Chan [63] und Kristjansson [64]für Stahlbetonschalen, -scheiben bzw. -platten, und von Kang [65] , Eibl/-Rezepies [66], Spanke [67], Hufendiek [68] für Spannbeton- und Stahlbetonträgererfolgreich angewendet worden.Bei der Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix wird ein Spannglied als eine‘Stahlschicht’ betrachtet, die mit dem Abstand e parallel zur x-Achse des lokalenKoordinatensystems liegt. Hierbei ist e der Mittelwert der Exzentrizitäten desSpanngliedes in dem betrachteten Element (s. Bild 3.4). Entsprechend derAnnahme im Abschnitt 3.2.1, dass die Querschnittsform bei der Verformungunverändert bleibt, sind die Exzentrizitäten des Spannglieds e für alle Bewegungszuständedes Elementes konstant.3.3.2 Beschreibung des BalkenelementesIm Gegensatz zu den im Bereich der linearen Elastizitätstheorie abgeleitetenBalkenelementen mit sechs Freiheitsgraden [z.B. in 59] muss hier wegen derzugrunde liegenden physikalischen Nichtlinearität ein Balkenelement mit höhererAnzahl an Freiheitsgraden eingeführt werden. Nach Weiler [69] können dietatsächlichen Verläufe der Verzerrungen in den Stabtragwerken aus Stahlbeton

62Numerisches Modellbzw. Spannbeton durch vollständige quadratische Polynome angenähert werden.In seiner Arbeit wird deshalb ein Balkenelement mit 3 Knotenpunkten und 9Freiheitsgraden vorgeschlagen. Beide Endknotenpunkte haben jeweils 3 Freiheitsgrade:horizontale Verschiebungen, vertikale Verschiebungen und Verdrehungen.Der Mittelknotenpunkt hat ebenfalls 3 Freiheitsgrade: horizontale Verschiebungen,vertikale Verschiebungen und eine erste Ableitung der horizontalen Verschiebung.Die horizontalen Verschiebungen werden hier mit einem Polynom3. Grades und die vertikalen Verschiebungen mit einem Polynom 4. Gradesbeschrieben. Während die Ermittlung der Schnittgrößen unter Berücksichtigungder Verformungen durchgeführt wird, erfolgt die Berechnung der Steifigkeitsmatrixnach linearen Verträglichkeitsbeziehungen.Timm [70] entwickelte ein Balkenelement mit 3 Knotenpunkten und 8 Freiheitsgraden,nämlich 3 horizontale und 3 vertikale Verschiebungen in allen Knotenpunktenund 2 Verdrehungen in den Endknotenpunkten. Während die horizontalenVerschiebungen hier durch einen quadratischen Ansatz ausgedrückt werden,wird ein Polynom 4. Grades zum Ausdruck der vertikalen Verschiebungenverwendet. Die Berechnung der Steifigkeitsmatrix wird unter Berücksichtigungdes nichtlinearen Anteils der Verträglichkeitsbeziehungen durchgeführt.Balkenelemente für Spannbeton- bzw. Stahlbetontragwerke mit linearem Ansatzfür Längsverschiebungen wie in [59] sind z.B. in den Arbeiten von Kang [65]und Backes [72] zu finden. Die Verwendung dieser Ansätze führt nach Meinungvon Weiler [69] zu Unstetigkeiten im Verlauf der Verzerrungen und Schnittgrößenan den Elementgrenzen. Das Erzielen guter Ergebnisse erfordert eine sehrfeine Elementeinteilung. Um die Unstetigkeiten von Schnittgrößen zu vermindern,schlug Backes [72] eine Ermittlung der Steifigkeitsmatrix und der

Numerisches Modell 63Schnittgrößen durch numerische Integration über die Elementlänge vor. Die obenangesprochenen Unstetigkeiten des Dehnungsverlaufes an den Elementgrenzensind dagegen weiterhin vorhanden, weil diese von der numerischen Integrationnicht berührt werden. Nach Vismann [73] können Unstetigkeiten vermiedenwerden, in dem die Verzerrungen ε(x,o) und κ(x) der Stabachse durch Polynomegleichen Grades beschrieben werden. Die Anwendung der Polynome, die in [69]und [73] verwendet werden, ist nur möglich, wenn ausschließlich der lineareAnteil der Verträglichkeitsbeziehungen berücksichtigt wird (Theorie 2.Ordnung).In dieser Arbeit wird ein Balkenelement mit 3 Knotenpunkten und 9 Freiheitsgradenverwendet. Jeder Knotenpunkt hat gleiche Freiheitsgrade: eine horizontaleVerschiebung, eine vertikale Verschiebung und eine Verdrehung (s. Bild 3.4).Dies hat erhebliche programmorganisatorische Vorteile [74]. Die gewonnene 9x9-Elementsteifigkeitsmatrix wird anschließend mit statischer Kondensation in eine6x6-Matrix überführt, um die Bandmatrix des Gesamtsystems klein zu halten.Die Ermittlung der Steifigkeitsmatrix und der Schnittgrößen erfolgt durchnumerische Integration über die Elementlänge.

64Numerisches ModellBild 3.4 Balkenelement3.3.3 Verschiebungsansätze des BalkenelementesVerschiebungsvektoren der Knotenpunkte sind:in x-Richtung: u = {u 1 ,u 2 ,u 3 } T (3.24)in y-Richtung: v = {v 1 ,v 2 ,v 3 } T (3.25)Verdrehungen: θ = {θ 1 ,θ 2 ,θ 3 } T (3.26)Für das Element ergibt sich damit: r = {u 1 , v 1 , θ 1 , u 2 , v 2 , θ 2 , u 3 , v 3 , θ 3 } T (3.27)Die horizontale Verschiebung eines beliebigen Punktes beim eindimensionalenBalkenelement hängt nur von den horizontalen Verschiebungen der Knotenpunkteab. Als Verschiebungsansatz wird daher das Lagrangesche Polynom ausgewählt :

Numerisches Modell 653n() ()ux = ∑ Lix⋅ui = 1i(3.28)Die Werte vonL n i () xkönnen z.B. [75] entnommen werden. Für das hierverwendete 3-Knoten Balkenelement ist n=3. Nach der analytischen Ermittlungund der Einführung von ξ = x/L erhält man:u (x) = (1-3 ξ + 2 ξ 2 ) ⋅ u 1 + (2 ξ 2 - ξ) ⋅ u 2 + 4(ξ - ξ 2 ) ⋅ u 3 (3.29)oder:u (x) = φ ⋅ r (3.30)mit: φ = {(1 - 3 ξ + 2 ξ 2 ), 0, 0, (2 ξ 2 - ξ), 0, 0, 4(ξ - ξ 2 ), 0, 0} (3.31)Für die Ansatzfunktion der vertikalen Verschiebungen v(x) muss sichergestelltwerden, dass die ersten Ableitungen von v(x) stetig und damit die Verschiebungenund Verdrehungen in den Elementgrenzen verträglich sind. Die entsprechendeFormfunktion ist das Hermitesche Polynom [75]:3() ∑H1() i ∑H2()v x = x ⋅ v + x ⋅ v′ii= 1i = 1wobei:⎛ nd( Li() x⎜ )x=xiH1i()x = 1−2⋅ −⎜ dx⎝H23( )i() ( i) Ln 2x = x−x ⋅ i()xii⎞⎟⎟ ⋅⎠( )( x x ) L ( x)i i n 2(3.32)(3.33)(3.34)Die analytische Auswertung der Gl. (3.32) ergibt:v (x) = (24 ξ 5 - 68 ξ 4 + 66 ξ 3 - 23 ξ 2 + 1)⋅v 1 + L(4 ξ 5 - 12 ξ 4 + 13 ξ 3 - 6 ξ 2 + ξ)⋅θ 1 +(-24 ξ 5 + 52 ξ 4 - 34 ξ 3 + 7 ξ 2 )⋅v 2 + L(4 ξ 5 - 8 ξ 4 + 5 ξ 3 - ξ 2 )⋅θ 2 +(16 ξ 4 - 32 ξ 3 + 16 ξ 2 )⋅v 3 + L(16 ξ 5 - 40 ξ 4 + 32 ξ 3 - 8 ξ 2 )⋅θ 3 (3.35)

66Numerisches Modelloder:v (x) = ψ ⋅ r (3.36)mit:ψ = { 0, (24 ξ 5 - 68 ξ 4 + 66 ξ 3 - 23 ξ 2 + 1), L(4 ξ 5 - 12 ξ 4 + 13 ξ 3 - 6 ξ 2 + ξ),0, (-24 ξ 5 + 52 ξ 4 - 34 ξ 3 + 7 ξ 2 ), L(4 ξ 5 - 8 ξ 4 + 5 ξ 3 - ξ 2 ),0, (16 ξ 4 - 32 ξ 3 + 16 ξ 2 ), L(16 ξ 5 - 40 ξ 4 + 32 ξ 3 - 8 ξ 2 ) } (3.37)3.3.4 Dehnung einer beliebigen ElementfaserDie Verschiebungen eines Punktes der Elementachse sindin x-Richtung: u 0 (x) = φ ⋅ r (3.38)in y-Richtung: v 0 (x) = ψ ⋅ r . (3.39)Der Verlauf der Verschiebungen der Elementachse kann so durch die Knotenverschiebungenausgedrückt werden:f = ⎧ ⎨ u0⎫ ⎬⎭ r N r, (3.40)⎩ v= ⎧ ⎨ ϕ ⎫ ⎬⎭ ⋅ = ⋅⎩ ψ0wobeiN = ⎧ ϕ⎫ ⎨ ⎬⎭⎩ ψdie Formfunktionsmatrix ist.In Bild 3.5 ist der Verlauf der Formfunktionen dargestellt.Aus Gleichung (3.23) ergibt sich die Dehnung einer beliebigen Faser desBalkenelementes zu:() x () x 1 dv () x202du0ε( x,y)y d v0= − + ⎛ (3.41)dx dx 2 ⎝ ⎜ ⎞⎟dx ⎠oder:ε(x,y) = φ ,x ⋅ r - y ⋅ ψ ,xx ⋅ r + ½ ⋅ r T ⋅ ψ T ,x ⋅ ψ ,x ⋅ r (3.42)2

Numerisches Modell 67oder:ε(x,y) = B ⋅ r + ½ ⋅ r T ⋅ C T ⋅ C ⋅ r (3.43)mit:B = [ φ ,x - y ⋅ ψ ,xx ] (3.44)C = ψ ,x (3.45)3.3.5 Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix nach dem Prinzipder virtuellen ArbeitIn einer nichtlinearen Berechnung wird die Elementsteifigkeitsmatrix in Abhängigkeitvon den Belastungszuständen an den jeweils aktuellen Stand derElementlage bzw. des Werkstoffverhaltens angepasst. Die Steifigkeitsmatrixeines Elements wird in diesem Abschnitt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit

68Numerisches Modellhergeleitet.Die virtuelle Arbeit der Knotenpunktkräfte R J ist:δA a = δr T ⋅ R J (3.46)Die zugehörige virtuelle Arbeit der inneren Kräfte lautet:δA= δε ⋅σ⋅dVi∫VT(3.47)Da die virtuelle Arbeit der am Element wirkenden äußeren und inneren Kräftegleich sein muss:δA a = δA i (3.48)folgt hieraus:T J T∫δr ⋅ R = δε ⋅σ⋅dVV(3.49)Gleichung (3.43) wird in Gleichung (3.49) eingesetzt. Dann ergibt sich:T J 1∫T T( 2)δr ⋅ R = δ B⋅ r+ ⋅r ⋅C ⋅C⋅r ⋅σ⋅dVVoder:T Jδr ⋅ R =T T1δr ⋅B ⋅σ ⋅dV+ T Tδr ⋅C ⋅C⋅r⋅σ⋅dV∫V∫2VT(3.50)(3.51)Die Gleichung (3.51) gilt für alle beliebigen Variationen der Knotenverschiebungenδr. Folglich kann man schreiben:∫J T1 TR = B ⋅σ⋅dV + C ⋅C ⋅r ⋅σ⋅dVV∫2V(3.52)Mit der allgemeinen Spannungs-Dehnungs-Beziehung σ = E⋅ε, worin ε dieDehnung nach der Gleichung (3.43) und E der Elastizitätsmodul des Materialsist, ergibt sich der Zusammenhang zwischen inkrementellen KnotenpunktkräftendR J und inkrementellen Verschiebungen dr zu:

Numerisches Modell 69J∫TdR = B ⋅E⋅B⋅dV.dr + B ⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅dV⋅dr +V∫VT∫VT T T∫TC ⋅C⋅r⋅E⋅B⋅dV.dr + C ⋅C⋅r⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅dV⋅drVTT(3.53)oder:J ⎛ TT T TdR = ⎜∫B ⋅E⋅B⋅dV+ ∫B ⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅dV+⎝∫VVVTTT T ⎞C ⋅C⋅r⋅E⋅B⋅dV+ ∫C ⋅C⋅r⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅dV⎟ ⋅ dr⎠V(3.54)oder:JdR = K ⋅dre(3.55)mit:K = K + K (r) + K (r )e e1 e2 e3e1 = ∫T⋅ ⋅ ⋅VT T Te2K B E B dV∫2TK (r) = B ⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅ dV+ C ⋅C⋅r⋅E⋅B⋅dVVK (r ) = C ⋅C⋅r⋅E⋅r ⋅C ⋅C⋅dVe32 T∫VTT∫V(3.56)(3.57)(3.58)(3.59)K e ist die Elementsteifigkeitsmatrix, die sowohl die materiellen als auch diegeometrischen Nichtlinearitäten berücksichtigt. Die inkrementelle KnotenpunktkraftdR J umfasst den inkrementellen Knotenlastvektor infolge von Einzellastenin den Knotenpunkten dP und infolge von äquivalenten Knotenkräften dQ ausden Streckenlasten am Element.

70Numerisches Modell3.3.6 Auswertung der ElementsteifigkeitsmatrixDie Integration in den Gleichungen (3.57), (3.58) und (3.59) zur Ermittlung derElementsteifigkeitsmatrix K e erfolgt numerisch nach dem Gauß-Verfahren. Eineanalytische Auswertung z.B. von K e1 (Gl.3.57) ergibt die im Bild (3.6) dargestellte9x9-Matrix. E A , E S und E I in der Gleichung (3.60) sind die Koeffizienten,die vom Elastizitätsmodul E abhängen (s. Gl. (3.61)-(3.63)). Wenn dieElastizitätsmoduln der Fasern in beiden Richtungen des lokalen Koordinatensystemsnach den Dehnungszuständen variieren (also f(x,y)), müssen sie in x undy Richtung integriert werden. Es wird hier angenommen, dass der aus demMittelwert der Dehnung (ε) ermittelte E-Wert den Mittelwert von E für die ganzeLänge der Schicht darstellt. Also wird die Integration von E nur für Schichtenin y-Richtung des Elements durchgeführt. Der Mittelwert von ε für jede Schichtwird nach dem Gauß-Integrationsverfahren ermittelt.Die Koeffizienten E A , E S und E I werden durch die Integration über den Querschnittberechnet:nc∫ ∑ ∑E = E⋅ dA= E ⋅ A + E ⋅AA ci ci si siA i= 1i=1ncnsE =− E⋅y⋅ dA=− E ⋅y ⋅A − E ⋅y ⋅AS ci ci ci si si siA i= 1i=1n c n s22cI = ∫ ⋅ ⋅ = ∑ ci ⋅ ci ⋅ ci + ∑ si ⋅ si ⋅ siA i= 1i=1ns∫ ∑ ∑E E y dA E y A E y A(3.61)(3.62)(3.63)E s und E c sind die Elastizitätsmoduln des Betonstahls und des Betons, derenWerte von den Dehnungen der Schicht abhängen und aus den Spannungs-Dehnungs-Beziehungen der Werkstoffe ermittelt werden.

Bild 3.6 Matrix K e1 K e1 = (3.60)v 1EI qL1EI qL20 v 3EI qL3u 1 v 1 q 1u 2 v 2 q 2u 3 v 3 q 373EELA4 2LS3 E LS 13EELLA− 4 2S ESL− 8 3ELA0 0 u 1E4 2S 5092 EI 1138 EL 35 3L 35 2LI4 2ES − 1508 EI 242 EL35 3L 35 2LI− 8 2ES − 3584 EI 1920 EIL 35 3L 35 2L3 E S 1138 EI 332L 35 2L 35ELI ES− 242 EI 38L35 2L 35EI L− 4 E S− 896LEI 32035 2L 3513EELS ES 47LA2L3EE− 4LA2 3LS E SL− 8 3ELA0 0 u 2E− 4 2S− 1508 EI L 35 3 − 242 EL 35 2LI− 4 2ES 5092 EI L 35 3 − 1138 EI EL 35 28 2L− 3584 EI − 1920 ELLIvLS35 3 35 2 2ES 242 EI 38L35 2L 35EI L3 E S− 1138LEI 33235 2L 35EI L− 4 E S 896LEI 32035 2L 35− 8 3EELLA− 8 2S− 4 E SL− 8 3ELAE8 2LS− 4 E LS 163ELA0 0 u 30 − 3584EI 35 3 − 896 EIL 35 2L0 − 3584EI 896 EI35 3L 35 2L07168 EI35 3L01920 EI 32035 2L 35EI 0 − 1920LEI 32035 2L 35EI 12800 0L35

72Numerisches Modell3.4 Knotenlastvektor infolge StreckenlastDie Komponenten der Lastvektoren von Streckenlasten im Element können unterAnwendung der gleichen, bei der Ermittlung der Steifigkeitsmatrix verwendetenFormfunktionen berechnet werden. Die Ergebnisse bezeichnet man als konsistenteLastvektoren. Alternativ können diese auch mit der ‘lumped method’ ermitteltwerden, wobei die tatsächliche Verteilung der Streckenlast durch einen knotenorientiertenWert ersetzt wird. Die Konsistenz-Methode liefert genauere Verschiebungenund Spannungen, obwohl die Elementverteilung gröber ist [58].Unter Annahme einer linear veränderlichen Elementbelastung (s. Bild 3.7) undmit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit ergibt sich folgender Elementlastvektor:L∫Q= N ⋅q⋅dx0T(3.64)mit: Q = {Q 1x , Q 1y , Q 1 θ , Q 2x , Q 2y , Q 2 θ , Q 3x , Q 3y ,Q 3 θ} T und N = ⎧ ϕ⎫ ⎨ ⎬⎭⎩ ψBild 3.7 Streckenlast im Element⎡qqq = − ⎢⎡1 ξ ξ 0 0⎤⎢⎣ −⎥ ⋅ ⎢0 0 1 ξ ξ⎦⎢q⎢⎣qxmit ξ=Lx1x2y1y2⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Numerisches Modell 73Die analytische Berechnung des Integrals in der Gl. (3.64) führt zu folgendemErgebnis:70 0 0 0 0 0 140 0 0T⎡⎤ ⎡ q⎢L 0 0 0 70 0 0 140 0 0⎥ ⎢qQ = ⎢⎥ ⋅ ⎢420 ⎢ 0 79 5L 0 19 −2L 0 112 −8L⎥⎢q⎢⎥ ⎢⎣ 0 19 2L 0 79 − 5L 0 112 8L ⎦ ⎣qx1x2y1y2⎤⎥⎥⎥⎥⎦(3.65)3.5 Reduzierung der Knotenfreiheitsgrade des Elements durchstatische KondensationUm höheren Berechnungsaufwand und größeren Speicherbedarf zu vermeiden,ist es zweckmäßig, schon bei der Ermittlung der Steifigkeitsmatrix auf derElementebene die Verformungsfreiheitsgrade des Elements so weit wie möglichzu reduzieren. Dies kann durch Eliminierung der Verschiebungskomponenteninnerer Knoten geschehen . Das Verfahren bezeichnet man als statische Kondensation.Bei dem hier verwendeten Element sind die Knotenverschiebungen desStabmittelknotens u 3 , v 3 und θ 3 zu eliminieren.In der Elementebene gilt das Gleichgewicht:K e ⋅ r e = R e (3.66)wobei: K e = Elementsteifigkeitsmatrix nach Gl.(3.56),r e = Verschiebungsvektor der Elementknoten nach Gl.(3.27),R e = Elementlastvektor infolge Belastung im Element sind.

74Numerisches ModellDie Matrix r e in der Gl.(3.66) läßt sich in die Untermatrizen {r b r a } T unterteilen,wobei r b die Verschiebungskomponenten beinhaltet, die beibehalten werdensollen, und r a die Verschiebungskomponenten enthält, die eliminiert werdensollen, so dass die Gl.(3.66) in folgender Form umgeschrieben werden kann:⎡K⎢⎣KbbabKKbaaa⎤ r b Rb⎥ ⋅ ⎧ ⎫⎨ ⎬⎭ = ⎧ ⎫⎨ ⎬⎭⎦ ⎩ r a ⎩ Ra(3.67)Aus der unteren Zeile der Gl. (3.67) ergibt sich:K ab ⋅ r b + K aa ⋅ r a = R a (3.68)Hieraus ergibt sich für r a :r a = K -1 aa ⋅ ( R a - K ab ⋅ r b ) (3.69)Nach Einsetzen der Gl. (3.69) in die folgende Gleichung:K bb ⋅ r b + K ba ⋅ r a = R b (3.70)erhält man:( K bb - K ba ⋅ K -1 aa ⋅ K ab ) ⋅ r b = R b - K ba ⋅ K -1 aa ⋅ R a (3.71)oder:K en ⋅ r en = R en (3.72)mit: K en = K bb - K ba ⋅ K -1 aa ⋅ K abr en = r bR en = R b - K ba ⋅ K -1 aa ⋅ R aK en ist die neue Elementsteifigkeitsmatrix mit den kondensierten Freiheitsgraden.Diese Matrix wird bei der Bildung der Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystemsverwendet. r en ist der neue Verschiebungsvektor mit den Verschiebungskomponenten,die beibehalten werden sollen, und R en ist der neue Elementlastvektor.

Numerisches Modell 75Nach der Lösung des Gleichungssystems ergeben sich nur die Knotenverschiebungen,die beibehalten werden. Mit der Gl. (3.69) hat man eine Möglichkeit,die Werte der Knotenverschiebungen der inneren Knoten zu ermitteln.Dieser Schritt wird als Rekondensation (recovery) bezeichnet. Weil die Invertierungder Matrix K -1 aa aufwendig und für Computerberechnungen ungeeignetist, wird die Eliminierung der Freiheitsgrade nach dem Gauss-Eliminations-Verfahren durchgeführt.

76Verwendete Werkstoffgesetze4 Verwendete Werkstoffgesetze4.1 AllgemeinesZur Ermittlung der Steifigkeit sowie des Spannungszustandes der Elementewerden die Eigenschaften der verwendeten Werkstoffe benötigt. In Form vonSpannungs-Dehnungs-Beziehungen werden diese für den computerorientiertenBerechnungsablauf aufbereitet. Entsprechend dem entwickelten numerischenModell (s. Kapitel 3) werden hier einachsiale nichtlinear-elastische Werkstoffgesetzeangewendet.Beim Nachrechnen der experimentellen Untersuchungen zwecks Überprüfungdes entwickelten numerischen Modells werden, soweit möglich, Materialannahmenverwendet, die den in den Laborversuchen verwendeten Werkstoffenentsprechen. Falls die nötigen Parameter nicht dokumentiert sind, werden die imfolgenden beschriebenen Materialgesetze berücksichtigt.4.2 Beton4.2.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bei DruckbeanspruchungDie Materialeigenschaften des Betons unterliegen großen Streuungen. Versuchezeigen, dass die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen von Beton zwar qualitativbekannt sind, die Werte der Druckfestigkeit, der Zugfestigkeit und der Bruchdehnungjedoch stark variieren. Sie werden von vielen Faktoren beeinflusst:

Verwendete Werkstoffgesetze 77Ausgangsstoffe, Betonzusammensetzungen, Erhärtungsbedingungen, Prüfmethodenund Alter zur Zeit der Prüfung.Eine der wichtigsten Charakteristiken des Werkstoffs Beton ist seine Arbeitslinie.Unter einachsiger Druckbeanspruchung verhält sich der Beton bis zu etwa 40%– beim hochfesten Beton sogar bis ca.80% – seiner Druckfestigkeit nahezu linearelastisch [76]. Wegen der geringen Verbundfestigkeit zwischen Zementstein undZuschlag beginnen ab hier die bereits vor der Belastung vorhandenen Mikrorissein den Kontaktzonen zwischen Zementstein und groben Zuschlägen anzuwachsen.Deshalb ist bei höheren Druckbeanspruchungen die Nichtlinearität derSpannungs-Dehnungs-Beziehungen ausgeprägter. Die Krümmung der Kurvewächst in diesem Bereich mit steigender Dehnung bis zu etwa 90% der Druckfestigkeitüberproportional an und nimmt darüber hinaus bis zum Erreichen derDruckfestigkeit noch weiter zu. In Abhängigkeit von der Betongüte zeigt sicheine unterschiedliche Spannungs-Dehnungsbeziehung des Betons im Vor- alsauch im Nachbruchbereich. Der Festigkeitsanstieg und -abfall sind bei höhererBetonfestigkeit steiler.Es liegen viele numerische Näherungen der einachsigen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen des Betons unter Druckbeanspruchung vor, z.B. von: Saenz [77],Dilger [78], Popovics [79], Grzeschkowitz [80], DIN 1045-1 [3], Eurocode 2 [1]und CEB-FIP Model Code 1990 [9]. In dieser Arbeit werden die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen des Betons nach CEB-FIP MC90 [9] verwendet. DieseSpannungs-Dehnungs-Beziehungen stimmen gut mit den zahlreichen Versuchsergebnissenüberein [76].

78Verwendete WerkstoffgesetzeIm CEB-FIP MC90 [9] wird die Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betonsunter einachsiger Druckbeanspruchung mit folgenden Gleichungen angegeben:für ε cu < ε c ≤ 0 (4.1)für ε c ≤ ε cu (4.2)Darin bedeuten:σ c = Druckspannung [MPa oder N/mm 2 ]ε cf cmf ck= Stauchung= Mittelwert der Betondruckfestigkeit;f cm = f ck + 8 [MPa oder N/mm2]= charakteristische Betondruckfestigkeit[Mpa oder N/mm 2 , positiv eingesetzt]E ci = Initiale Tangentensteifigkeit; E ci = 2,15 ⋅ 10 4 ⋅(f cm /10) 1/3E c1 = Sekantenmodul für -f cm ≤ σ c ≤ 0; E c1 = -f cm /ε c1ε c1 = Stauchung bei höchster Druckbeanspruchung; ε c1 = - 2,2 ⋅ 10 -3ε cu = Dehnung im abfallenden Ast bei einer Spannung σ c = - 0,5 ⋅ f cm(4.3)

Verwendete Werkstoffgesetze 79(4.4)Tabelle 4.1: Eigenschaften des Betons nach CEB-FIP Model Code 1990 [9]Nach dieser Vorschrift kann die Bruchdehnung von ca. -2,2‰ als von derBetonfestigkeitsklasse weitgehend unabhängig angenommen werden, obwohlVersuche einen leichten Anstieg der Bruchdehnung mit steigender Betongüteaufzeigen [81, 82, 83]. Die Dehnung wird auf minimal -10‰ begrenzt, wobeidie zugehörige Spannung nahezu Null ist. Die Eigenschaften des Betons nachCEB-FIP MC90 [9] werden in der Tabelle 4.1 wiedergegeben. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für Beton unter Druckbeanspruchung sind im Bild 4.1qualitativ dargestellt.BetonfestigkeitsklasseC12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80f ck (MPa) 12 20 30 40 50 60 70 80f cm (MPa) 20 28 38 48 58 68 78 88f ctm (MPa) 1,6 2,2 2,9 3,5 4,1 4,6 5,1 5,6E ci (10 3 MPa) 27 30,5 33,5 36,5 38,5 41 42,5 44,5ε cu (10 -3 ) -5,0 -4,2 -3,7 -3,3 -3,0 -2,8 -2,6 -2,4

80Verwendete WerkstoffgesetzeBild 4.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons nach CEB-FIP MC90 [9]Bild 4.2Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons für unterschiedliche Betonfestigkeitsklassennach CEB-FIP MC90 [9]

Verwendete Werkstoffgesetze 814.2.2 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bei ZugbeanspruchungUnter Zugbeanspruchung bis zu etwa 70% der Zugfestigkeit folgen dieSpannungs-Dehnungs-Beziehungen des Betons näherungsweise dem HookeschenGesetz [76]. Bei höheren Zugspannungen weichen die Beziehungen vom linearenVerhalten ab. Aber erst bei Spannungen größer als 90% der Betonzugfestigkeitist diese Abweichung deutlich. Spannungs-Dehnungs-Beziehungen des Betonsunter Zugbeanspruchung werden z.B. in den Arbeiten von Curbach [84] (s. Bild4.3) und Massicote et al [91] angegeben. Nach Erreichen der Zugfestigkeit desBetons f ct folgt eine Abnahme der Spannungen σ c bei gleichzeitigem starkemAnwachsen der Dehnungen ε c .Bild 4.3 Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betonsunter einachsiger Zugbeanspruchung nach [84]Die Dehnungen konzentrieren sich nach dem Erreichen der Betonzugfestigkeitauf einem schmalen Bereich, der als Process- oder Fracture-Zone bezeichnet wird.Daher treten die wesentlichen Verformungen bzw. Rissöffnungen nur innerhalbdieser Zone auf. Demgegenüber setzen Entlastungen in den angrenzendenBereichen ein und die Dehnungen dieser Bereiche nehmen mit sinkender Zug-

82Verwendete Werkstoffgesetzespannung wieder ab. Die Beschreibung des Betonverhaltens unter Zugbeanspruchungmuss daher zwischen gerissenen und ungerissenen Zonen unterscheiden.Während für den gerissenen Bereich infolge der oben genannten Dehnungskonzentrationeine Spannungs-Rissöffnungs-Beziehung anzuwenden ist, kannfür den im ungerissenen Bereich unter Zugbeanspruchung stehenden Beton eineSpannungs-Dehnungs-Beziehung angewendet werden.Ähnlich dem Betonverhalten unter Druckbeanspruchung findet man zur Zeit auchviele mathematische Näherungen zur Beschreibung der Spannungs-Dehnungs-Beziehungen bzw. Spannungs-Rissöffnungs-Beziehungen von Beton unter einachsigerZugbeanspruchung, z.B.: Curbach [84], Petersson [85], Duda [86], CEB-FIP Model Code 1990 [9]. Nach CEB-FIP MC 90 [9] gilt die Spannungs-Dehnungs-Beziehung mit folgenden Gleichungen für die ungerissenen Bereiche(s. auch Bild 4.1 und 4.2):σ c = E ci ⋅ ε c für 0 ≤ ε c < ε ct1 (4.5)für ε ct1 ≤ ε c < ε ctu (4.6)wobei:f ctm = mittlere Betonzugfestigkeit (in MPa oder N/mm 2 , s. Tabelle 4.1)f ctm = 1,4 ⋅ (f ck /10) 2/3 (4.7)ε ct1 = Betondehnung bei σ c = 0,9 ⋅ f ctmε ctu = Zugbruchdehnung = 0,15 ‰Für die gerissenen Bereiche wird die Spannungs-Rissöffnungs-Beziehung nachCEB-FIP MC90 [9] mit folgenden Gleichungen angewendet (s. Bild 4.4):

Verwendete Werkstoffgesetze 83für 0,15f ctm ≤ σ c ≤ f ctm (4.8)für 0 ≤ σ c ≤ 0,15f ctm (4.9)wobei:w 1 = 2 G F / f ctm − 0,15 w c (4.10)w c = α F ⋅ G F / f ctm (4.11)Darin bedeuten:w = Rissöffnung [mm]w 1w c= Rissöffnung [mm] bei Zugspannung σ c = 0,15 f ctm= maximale Rissöffnung [mm]G F = Bruchenergie [N/mm]; G F = G F0 ⋅ (f cm /10) 0,7 (4.12)G F0 = Grundwert der Bruchenergie [N/mm],der von der maximalen Zuschlaggröße d max abhängt (s. Tabelle 4.2)α F = Beiwert zur Berücksichtigung der maximalen Zuschlaggröße d max(s. Tabelle 4.2)Die Fläche unter der Spannungs-Rissöffnungs-Kurve wird als Bruchenergie G Fbezeichnet (s. Bild 4.5). Sie stellt einen Kennwert des Betons unter Zugbeanspruchungdar [84, 85, 87]. Die Gültigkeit der hier wiedergegebenen Spannungs-Rissöffnungs-Beziehungen nach CEB-FIP MC90 [9] wird in [88] aufgezeigt.Tabelle 4.2: Grundwert der Bruchenergie G F0 und α F -Beiwerte nach CEB-FIP MC90 [9]d max [mm] 8 16 32G F0 [N/mm] 0,025 0,030 0,058α F8 7 5

84Verwendete WerkstoffgesetzeBild 4.4 Spannungs-Rissöffnungs-Beziehungnach CEB-FIP MC90 [9]Bild 4.5 Bruchenergie G F4.2.3 Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den RissenNach Erreichen der Zugfestigkeit des Betons treten Risse auch in bewehrtemBeton auf. Die Zugkräfte werden an diesen Rissstellen vom Bewehrungsstahlübernommen. Zwischen den Rissen nimmt die Spannung des Stahls allerdingsab. Über Verbundwirkung werden Teile der Zugkräfte wieder in den Betonzurück übergetragen. Unter bestimmten Zugspannungen ist die Dehnung desStahles deshalb wesentlich kleiner als bei einem nicht von Beton umgebenengezogenen Stahl. Diese Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen bei derÜbertragung der Zugkräfte wird als “Tension Stiffening Effect” bezeichnet.In der Analyse von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, bei der die Bewehrungund der Beton direkt gekoppelt sind, kann die Mitwirkung des Betonszwischen den Rissen in den Spannungs-Dehnungs-Beziehungen der Werkstoffeberücksichtigt werden. Die Erfassung der Mitwirkung erfolgt entweder durchModifikation der Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons unter Zugbean-

Verwendete Werkstoffgesetze 85spruchung (z.B. nach: [89, 90, 91 und 92]) oder durch Modifikation derSpannungs-Dehnungs-Beziehung des Stahls unter Zugbeanspruchung (z.B. nach:[1, 9, 89, 91, 92, 93, 94 und 95]). In dieser Arbeit wird die Mitwirkung des Betonsauf Zug zwischen den Rissen (Tension Stiffening Effect) durch Modifikation desMaterialgesetzes des Betonstahles nach CEB-FIP MC90 [9] berücksichtigt undim Abschnitt 4.3 näher erläutert.4.3 BetonstahlAnders als beim Beton weist das Verhalten einer bestimmten Stahlsorte nurgeringe Streuungen auf. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen des Betonstahlslassen sich daher zuverlässiger als für Beton angeben. Zur Anwendung liegennumerische Formulierungen dieser Beziehungen vor, z.B. von Dilger [78], DIN1045-1 [3], Eurocode 2 [1], CEB-FIP MC90 [9]. Betonstahlsorten und ihreEigenschaften werden in den Normen festgelegt, z.B.: DIN 488 [14] und DINEN 10080 [10] (Vorgesehen als Ersatz für DIN 488). In DIN EN 10080 [10] wirdzwischen zwei Duktilitätsklassen des Betonstahls unterschieden: Betonstahl mitnormaler Duktilität (Bezeichnung B500N) und Betonstahl mit hoher Duktilität(Bezeichnung B500H). Ein Betonstahl hat eine normale Duktilität nach DIN EN10080 [10], wenn:ε uk ≥ 2,5% und (f tk /f yk ) ≥ 1,05und hat eine hohe Duktilität, wenn:ε uk ≥ 5,0% und (f tk /f yk ) ≥ 1,08(s. auch Tabelle 4.3).

86Verwendete WerkstoffgesetzeWie beim Beton werden in dieser Arbeit die Spannungs-Dehnungs-Beziehungendes Betonstahls nach CEB-FIP Model Code 1990 [9] angewendet. Zur Berücksichtigungder Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen wird die Beziehungentsprechend modifiziert. Nach [15] kann der Mittelwert der Streckgrenzef ym = f yk rechnerisch eingesetzt werden. Die modifizierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung wird im Bild 4.6 dargestellt.Tabelle 4.3: Eigenschaften der Betonstahlsorten B500H (hohe Duktilität) und B500N(normale Duktilität) nach DIN E EN 10080 [10], EC2 [1] und DIN 1045-1 [3]DIN E EN10080EC2 T1(1992)DIN 1045-1Bezeichnung:Streckgrenze R e f yk f ykZugfestigkeit R m f tk f tkElastizitätsmodul E s E s E sGleichmaßdehnung A gt ε uk ε ukcharakteristische Werte:Streckgrenze[N/mm 2 ]Zugfestigkeit[N/mm 2 ]Elastizitätsmodul[N/mm 2 ]Gleichmaßdehnung[%]normalduktiler Stahl 500 500 500hochduktiler Stahl 500 500 500normalduktiler Stahl 515 bzw.525 515 bzw.525 ≥ 525hochduktiler Stahl 540 540 ≥ 540normalduktiler Stahl 2 ⋅ 10 5 2 ⋅ 10 5 2 ⋅ 10 5hochduktiler Stahl 2 ⋅ 10 5 2 ⋅ 10 5 2 ⋅ 10 5normalduktiler Stahl 2 bzw. 2,5 2 bzw. 2,5 2,5hochduktiler Stahl 5 5 5Verhältnis f tk / f yknormalduktiler Stahl 1,03 bzw. 1,05 1,03 bzw. 1,05 ≥ 1,05hochduktiler Stahl 1,08 1,08 ≥ 1,08

Verwendete Werkstoffgesetze 87Bild 4.6 Spannungs-Dehnungs-Beziehung des BetonstahlsBereich (1): ungerissener Zustand I (0 < ε s ≤ ε sr1 )ε s,m= ε s = ε cε sr1 = Stahldehnung im ungerissenen Querschnitt unter der Rissschnittgrößebei Erreichen von Betonzugfestigkeit f ctmε sr2 = Stahldehnung im gerissenen Querschnitt unter der Rissschnittgröße∆ε sr= ε sr2 − ε sr1σ sr1 = E se ⋅ ε sr2E s1 = σ sr1 / ε sr1

88Verwendete WerkstoffgesetzeBereich (2): Rissbildung (ε sr1 < ε s ≤ ε srn1 )σ srn = 1,3 ⋅ σ sr1Bei σ s = σ srn sind ε s,m = ε srn1 und ε s2 = ε srn2 = σ srn / E seε srn1 = ε srn2 − β t ⋅ ∆ε srE s2 = (σ srn − σ sr1 ) / (ε srn1 − ε sr1 ) = (0,3 ⋅ σ sr1 ) / (ε srn1 − ε sr1 )Bereich (3): Stabilisierte Risse (ε srn1 < ε s ≤ ε sy1 )ε s,m = ε s2 − β t ⋅ ∆ε srBei σ s = σ ym sind ε s,m = ε sy1 = ε sy − β t ⋅ ∆ε sr und ε s2 = ε syBereich (4): Fließen (ε sy1 < ε s ≤ ε su1 )ε s,m = (ε sy − β t ⋅ ∆ε sr ) + δ(1 − σ sr1 /f ym ) ⋅(ε s2 − ε sy )Bei σ s = σ tm sind ε s,m = ε su1 und ε s2 = ε suε su1 = (ε sy − β t ⋅ ∆ε sr ) + δ(1 − σ sr1 /f ym ) ⋅ (ε su − ε sy )Bereich (5): Elastischer Druckbereich (-ε sy < ε s ≤ 0)E s5 = E se = f ym / ε syBereich (6): Plastischer Druckbereich (-ε su < ε s ≤ -ε sy )E s6 = E sp = (f tm − f ym ) / (ε su − ε sy )

Verwendete Werkstoffgesetze 89Die Betonstähle sind in den meisten Stahlbetonbauteilen nicht gleichmäßig imQuerschnitt verteilt. Daher ist der durch den Verbund zwischen Beton und Stahlbewirkte Tension-Stiffening-Effect nur in einem bestimmten Bereich der Zugzonewirksam. Zur Erfassung der Wirkungszone A cr wurden Vorschläge gemacht, diein zwei Gruppen unterteilt werden können:- Die Fläche der Wirkungszone A cr bezieht sich auf den Stabdurchmesserdes Betonstahls, z.B. nach: Massicote et al [91], Balakrishnan andMurray [96] und Henning [97].- Die Fläche der Wirkungszone A cr bezieht sich auf den Abstand (d 1 )zwischen dem Schwerpunkt der Bewehrung und dem nächsten gezogenenRand des Querschnitts, z.B. nach: DIN 1045-1 [3], Eurocode 2 [1],CEB-FIP MC90 [9] und Schießl [98].In dieser Arbeit wird der Ansatz vom Eurocode 2 [1] bzw. CEB-FIP MC90 [9]angewendet, wobei die Höhe der Wirkungszone mit 2,5 ⋅ d 1 und kleiner als (h-x)/3festgelegt wird.4.4 SpannstahlBisher sind die in der Praxis verwendeten Spannstähle noch nicht durch eineendgültige Vorschrift genormt. Spannstahlhersteller benötigen Zulassungen fürihre Produkte, damit ihre Spannstähle in der Praxis benutzt werden dürfen. EineVornorm für Spannstahl entsprechend dem Eurocode 2 ist DIN EN 10138 [11].Die Stahlsorten werden in dieser Vornorm durch die charakteristischen Werteder 0,1%-Dehngrenze f p0.1,k , der Zugfestigkeit f pk und der Gleichmaßdehnungε pu,k beschrieben und es wird zwischen Drähten, Litzen und Stäben unterschieden.

90Verwendete WerkstoffgesetzeEigenschaften des Spannstahls nach DIN EN 10138 [11] werden als Beispiel fürsiebendrähtige Litzen in der Tabelle 4.4 angegeben.Tabelle 4.4: Eigenschaften der Spannstahlsorten nach DIN EN 10138 [11]für siebendrähtige LitzenDurchmesserd[mm]QuerschnittsflächeA p[mm 2 ]CharakteristischeZugfestigkeitf pk [N/mm 2 ]Charakteristische0,1%-Dehngrenzef p0.1,k [N/mm 2 ]Gleichmaßdehnungε pu,k [%]9,0 50 1850 1600 3,511,0 75 1850 1600 3,512,5 93 1850 1600 3,513,0 100 1850 1600 3,515,2 140 1750 1505 3,516,0 150 1750 1505 3,518,0 200 1750 1505 3,5Bild 4.7 Verwendete Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Spannstahls

Teilverluste der Vorspannkräfte 915 Teilverluste der Vorspannkräfte5.1 AllgemeinesFür die Nachweisführung und Berechnung eines Spannbetontragwerks hat dieErmittlung der ortsabhängigen und zeitabhängigen Einflüsse der Vorspannwirkungeine besondere Bedeutung. Es ist bekannt, dass sich die Vorspannkräftein Spanngliedern infolge rheologischer Einflüsse zeitabhängig und infolge vonReibungseinflüssen ortsabhängig vermindern. In den numerischen Untersuchungender Spannbetontragwerke (z.B.: [28, 69, 99]) bleibt diese Verminderungunberücksichtigt. Es wird für die gesamte Länge des Spanngliedes eine konstanteVorspannkraft angenommen. In der vorliegenden Arbeit werden demgegenüberdie effektiven Vorspannkräfte für die einzelnen Balkenelemente zeitabhängigbis zum Zeitpunkt der Aufbringung der äußeren Lasten berechnet.Die Größe der Verminderung der Vorspannwirkung kann in zeitunabhängige undzeitabhängige Verluste unterteilt werden. Die zeitunabhängigen Verluste bestehenaus Vorspannkraftverlusten infolge Reibung zwischen Spannstahl und Hüllrohr(∆Pµ(x)), Verankerungsschlupf (∆P sl ) und elastischer Verformung des Bauteilsbei der Vorspannkraftübertragung (∆P ES ). Zu den zeitabhängigen Verlusten(∆P t (t)) zählen die Vorspannkraftverluste infolge Relaxation des Spannstahlssowie infolge Kriechen und Schwinden des Betons.Die für die Schnittgrößenermittlung maßgebende Vorspannkraft (charakteristischerWert P k oder Bemessungswert P d ) wird z.B. nach Eurocode 2 [1] alsFunktion des Mittelwertes der Vorspannkraft P m,t angegeben. P m,t ist für den

92Teilverluste der VorspannkräfteZeitpunkt t an einer Stelle x längs des Bauteils festgelegt:(a) Für vorgespannte Bauteile mit sofortigem Verbund:P m,t = P m,o − ∆P t (t) (5.1)mit: P m,o = P o [− ∆Pµ(x)] − ∆P ES − ∆P ir (5.2)Hier ist ∆Pµ(x) in den Umlenkstellen des Spanngliedes zu berücksichtigen.Durch ∆P ir wird der eventuelle kurzzeitige Relaxationsverlust imZeitintervall zwischen dem Vorspannen der Spannglieder und der Übertragungder Vorspannkräfte auf den Beton berücksichtigt.(b) Für vorgespannte Bauteile mit nachträglichem Verbund:P m,t = P m,o − ∆P t (t) (5.3)mit: P m,o = P o − ∆Pµ(x) − ∆P ES − ∆P sl (5.4)Hierin ist P o die Vorspannkraft am Spannanker des Spanngliedes unmittelbar nachdem Vorspannen. P o darf den Wert A p ⋅ σ o,max nicht überschreiten, wobei A p dieQuerschnittsfläche des Spanngliedes und σ o,max die maximal zulässige Spannstahlspannungbeim Spannvorgang ist. Nach EC2 [1], DIN 1045-1 [3] bzw. CEB-FIP MC90 [9] ist σ o,max auf 0,80 ⋅ f pk oder 0,90 ⋅ f p0,1k zu beschränken, wobei derkleinere Wert maßgebend ist. Wenn eine unerwartet hohe Reibung auftritt, darfdie Spannstahlspannung noch auf 0,95⋅f p0,1k erhöht werden. Zum Zeitpunkt t = 0dürfen die Stahlspannungen σ pm,o = P m,o /A p den kleineren Wert von 0,75 ⋅ f pk oder0,85 ⋅ f p0,1k nicht überschreiten. Dabei ist t = 0:(a) bei Vorspannung mit nachträglichem Verbund der Zeitpunkt unmittelbarnach dem Absetzen der Spannpresse beim Vorspannen des letztenSpanngliedes,(b) bei Vorspannung mit sofortigem Verbund der Zeitpunkt unmittelbar nachder Übertragung der Vorspannkräfte.Die oben angegebenen zulässigen Spannstahlspannungen sind im Vergleich zuDIN 4227 Teil 1 [5] bzw. Teil 6 [7] höher.

Teilverluste der Vorspannkräfte 93Die Anteile aus Schwinden und Kriechen des Betons und aus Relaxation desStahls an den zeitabhängigen Vorspannkraftverlusten können nicht einzelnbetrachtet werden. Sie werden vom gesamten Verlust beeinflusst, der ebenfallsunter anderem aus diesen zeitabhängigen Vorspannkraftverlusten zu bestimmenist. Im Bild 5.1 wird die Wirkung und gegenseitige Beeinflussung der dieVorspannkraftverluste bestimmenden Komponenten aufgezeigt. Der Verlauf derVorspannkräfte längs eines Spanngliedes zum Zeitpunkt t unter Berücksichtigungder Vorspannkraftverluste wird im Bild 5.2 qualitativ dargestellt. Diese Komponentenwerden in den weiteren Abschnitten dieses Kapitels detaillierter analysiert.Bild 5.1 Die Komponenten der Teilverluste der Vorspannkräftesowie ihre Wirkung und gegenseitige Beeinflussung

94Teilverluste der VorspannkräfteBild 5.2 Qualitativer Verlauf der Vorspannkräfte zum Zeitpunkt t5.2 Zeitunabhängige Vorspannkraftverluste5.2.1 Vorspannkraftverluste infolge Reibung zwischen Spannstahl undHüllrohrZur Bestimmung der Vorspannkraft an einer Stelle mit dem Abstand x zurSpannpresse unter Berücksichtigung der Reibung zwischen Spannstahl undHüllrohr wird im allgemeinen die bekannte, aus der Euler’schen Seilreibungsdifferentialgleichungvon Cooley entwickelte Formel:Px= P ⋅e− µθ + ⋅0( kx)verwendet [100, 101]. In dieser Gleichung bedeuten:µ = Reibungsbeiwert zwischen Spannglied und Hüllrohr(5.5)θkx= Summe der absoluten Werte der planmäßigen Umlenkwinkel überdie Länge x= ungewollter Umlenkwinkel pro Längeneinheit= Länge des Spanngliedes vom Spannanker bis zur betrachtetenStelle.

Teilverluste der Vorspannkräfte 95Diese Gleichung hat auch in den Vorschriften, z.B.: EC2 [1], DIN 1045-1 [3] undCEB-FIP MC90 [9], Eingang gefunden. Eine ähnliche, leichtmodifizierte Formwird im ACI 318-99 [4] verwendet.Es ist zu beachten, dass bei der Ableitung der Cooley’schen Reibungsgleichungein konstanter Reibungswert µ längs des betrachteten Spanngliedabschnittsvorausgesetzt wird. Um die Gültigkeit der Annahme eines über die Spanngliedlängegleichbleibenden Reibungswertes zu überprüfen, wurden Untersuchungendurchgeführt, z.B. von: Leonhardt und Mönnig [102], Völter [103],Wittfoth [104] und Cordes et al. [105]. Ein konstanter Reibungsbeiwert µ liefertnur dann ausreichend genaue Ergebnisse, wenn die Spannglieder aus vergütetenRundstählen, aus langen leichtgekrümmten gerippten Stählen und aus Litzenbestehen. Für glatte kaltgezogene Drähte ist nach Walter et al. [106] ebenfallsdie Annahme eines konstanten Reibungsbeiwertes gerechtfertigt.In der Gleichung (5.5) wird die Summe der planmäßigen Umlenkwinkel θ vorder Multiplikation mit dem Reibungsbeiwert µ um den Anteil der ungewolltenUmlenkwinkel für die betrachtete Spanngliedlänge (k ⋅ x) ergänzt. Der Beiwertk wird durch Versuche an geraden Spanngliedern ermittelt. Er wird dann auchin planmäßig gekrümmten Abschnitten des Spanngliedes in gesamter rechnerischerGröße angesetzt. Nach [106] und [107] dürfen die Umlenkwinkel θ undk ⋅ x nicht durch einfache algebraische Addition überlagert werden. DiesesVorgehen wäre wegen der bestehenden geometrischen Zusammenhänge undwegen des komplexen Zusammenwirkens zwischen gewollten und ungewolltenUmlenkwinkeln fehlerhaft. So wird auch in [108] bestätigt, dass die planmäßigenUmlenkwinkel die ungewollten Umlenkwinkel beeinflussen können, weil bei

96Teilverluste der Vorspannkräftestark gekrümmten Spanngliedern die Möglichkeit des Durchhängens zwischenAbstützungen vermindert wird. Bild 5.3 zeigt die Überlagerung der Umlenkwinkelnach [105]. Hier wird dargestellt, dass die gezeigte Überlagerung von θ undk ⋅ x einen anderen Wert liefern kann als sich durch einfache Addition ergäbe.Bild 5.3 Überlagerung von ungewollten und planmäßigen Umlenkwinkeln nach [105]Aus diesen Überlegungen heraus werden in [106] und [107] zur Ermittlung desÜberlagerungswertes (γ i ) folgende Regeln empfohlen:γ i = k ⋅ x, wenn im betrachteten Abschnitt θ ≤ k ⋅ x ist, bzw. (5.6)γ i = θ, wenn im betrachteten Abschnitt θ > k ⋅ x ist. (5.7)Die Vorspannkraft an einer Stelle mit Abstand x zur Spannpresse beträgt somit:Px= P ⋅e0−µ ⋅Σγi(5.8)

Teilverluste der Vorspannkräfte 975.2.2 VerankerungsschlupfBeim Vorspannen eines Bauteils mit nachträglichem Verbund sind Vorspannkraftverlustedurch Keilschlupf am Ende des Spannvorgangs bei vielen Spannverfahrenunvermeidbar. Die Schlupflänge (∆l sl ) muss dem Zulassungsbescheiddes verwendeten Spannverfahrens entnommen werden. Durch den Keilschlupfwerden die gespannten Spannglieder in den Anker hineingezogen und damit derSpannweg vermindert. Das führt zu Vorspannkraftverlusten. Infolge Reibungzwischen den Spanngliedern und Hüllrohren wirkt sich der Keilschlupf aber nurauf einen bestimmten Spanngliedabschnitt (x sl ) vom Spannende aus. Mit folgendenGleichungen können die Vorspannkraftverluste infolge Keilschlupf ∆P sl undihre Einflusslänge x sl ermittelt werden. Hierbei wird der E-Modul des Spannstahlsbis zu den zugelassenen Spannungen beim Vorspannen als konstant angenommen(s. auch Bild 5.4):(5.9)Bild 5.4 Vorspannkraftverluste infolge Keilschlupf

98Teilverluste der VorspannkräfteIn der Gleichung (5.9) bedeuten:∆P sl (x) = P x − P x ′ (5.10)mit P P ⋅ − ⋅'+ µγ ⋅e und P = P −∆P ⋅e(5.11) und (5.12)x =0µγx ( 0 sl,0)'An der Stelle x = x sl ist P x = P x ′ und daher:( )( )µ µ ' γ∆P = P ⋅ −e− + ⋅sl, 0 01(5.13)Hier entspricht µ′ dem Reibungsbeiwert zwischen Spannstahl und Hüllrohr beimKeilschlupf. Näherungsweise können die Werte von µ′ und µ gleich angenommenwerden [20, 109]. Dieser Ansatz wird in der vorliegenden Arbeit verwendet.Um die Werte ∆P sl,0 und x sl zu finden, müssen die Gleichungen iterativ gelöstwerden. Durch Einsetzen des Anfangswertes von x sl kann γ mit der Gl.(5.6) bzw.(5.7) bestimmt werden, anschließend lässt sich ∆P sl,0 mit Gl.(5.13) ermitteln. MitHilfe der Gleichungen (5.10 bis 5.12) ist der Verlauf von ∆P sl (x) für x=0 bis zux=x sl bekannt. Die zugehörige Schlupflänge kann mit Gl.(5.9) bestimmt werden.Der Berechnungsvorgang wird mit einem verbesserten Wert von x sl solangewiederholt, bis sich eine gute Übereinstimmung zwischen dem errechneten unddem durch die Zulassung festgelegten Wert der Schlupflänge ergibt.5.2.3 Elastische VerformungenZu dem Zeitpunkt der Übertragung der Vorspannkräfte auf den erhärteten Betonkann von einem linear elastischen Verhalten des Bauteils ausgegangen werden.Infolge elastischer Verformungen des Betons verkürzen sich die mit Verbundim Beton befindlichen bzw. an ihren Enden im Beton verankerten, bereits

Teilverluste der Vorspannkräfte 99vorgespannten Spannglieder; es treten also Vorspannkraftverluste in den Spanngliedernauf. Bei der Vorspannung mit sofortigem Verbund erfolgen die Verlustewährend der Übertragung der Vorspannkräfte durch die bereits vorgespanntenSpannglieder auf den erhärteten Beton. Demgegenüber treten die Verluste beiVorspannung mit nachträglichem Verbund nur auf, wenn in diesem Konstruktionsabschnittmehrere Spannglieder vorhanden sind und diese nicht gleichzeitigsondern nacheinander vorgespannt werden. In diesem Fall erfahren die zuvorgespannten und im Beton verankerten Spannglieder Vorspannkraftverluste beimVorspannen der folgenden Spannglieder. Bei der Berechnung der Vorspannkraftverlusteinfolge der elastischen Verformungen des Betons muss der zum Zeitpunktder Vorspannkraftübertragung vorhandene E-Modul des Betons verwendetwerden. Außerdem sollten die Einflüsse der vorhandenen schlaffen Bewehrungund die eventuell gegebenen Behinderungen bezüglich der Bauteilverformungenberücksichtigt werden.(1) Elastische Verformungen bei Vorspannung mit sofortigem VerbundUnter Annahme eines starren Verbundes zwischen Beton und Spannstahl kanndie Dehnungsänderung des Spannstahles ∆ε p,ES und die Dehnung des Betonsε cp,ES infolge elastischer Verformungen in gleicher Größe angenommen werden:∆ε p,ES = − ε cp,ES bzw. ∆σ p,ES = − n ⋅ σ cp,ES (5.14)mit:n = E p /E cσ cp,ES = σ cp,Pm,o + σ cp,G (5.15)Somit beträgt der Vorspannkraftverlust infolge elastischer Verformungen:∆P ES = A p ⋅ ∆σ p,ES = A p ⋅ E p ⋅ ∆ε p,ES (5.16)

100Teilverluste der VorspannkräfteIn den Gleichungen (5.14) bis (5.16) bedeuten:∆σ p,ES = Spannungsänderung des Spannstahles infolge elastischerVerformungσ cp,ES= Spannung des Betons in Höhe des Spanngliedes infolge elastischerVerformungσ cp,Pm,o = Spannung des Betons in Höhe des Spanngliedes infolge Vorspannkraftnach der Übertragung der Vorspannkraftσ cp,G= Spannung des Betons in Höhe des Spanngliedes infolge Eigengewichtdes Bauteils.Da die Spannung des Betons σ cp,ES unter anderem von der wirksamen Vorspannkraftam Ende der Übertragungszeit (P m,o ) abhängt, die selbst wiederum von∆P ES beeinflusst wird (s. Gl. 5.2), werden die Vorspannkraftverluste ∆P ES durcheinen iterativen computergerechten Algorithmus ermittelt. Als Anfangswert vonP m,o darf P m,o = 0,9 ⋅ P o angenommen werden [109, 110].Durch direkte Ermittlung der Spannungsänderung des Spannstahls nach folgenderGleichung (5.17) kann der Vorspannkraftverlust ∆P ES in statisch bestimmtenSystemen ohne Iteration berechnet werden [112]:(5.17)

Teilverluste der Vorspannkräfte 101mit:e p = Exzentrizität des Spanngliedes an der betrachteten Stelle≡ TrägheitsradiusI c = Trägheitsmoment des BetonquerschnittsA c = Querschnittsfläche des Betons(2) Elastische Verformungen bei Vorspannung mit nachträglichemVerbundVorspannkraftverluste infolge elastischer Verformungen treten in einem bereitsvorgespannten und im Beton verankerten Spannglied bei Vorspannung mitnachträglichem Verbund auf, wenn weitere Spannglieder mit gleichem Richtungsverlaufin diesem Bauteil vorgespannt werden. Dabei erfährt das erste vorgespannteSpannglied den größten Vorspannkraftverlust und demzufolge daszuletzt vorgespannte keinen. Daher ist es zweckmäßig, die Berechnung derVorspannkraftverluste beginnend mit dem zuletzt vorgespannten Spannglieddurchzuführen. In diesem Zustand besteht noch kein Verbund zwischen denSpanngliedern und dem umgebenden Beton. Daher muss die Berechnung derVorspannkraftverluste bezüglich der Verformungen bauteilbezogen durchgeführtwerden. Die Vorspannkraftverluste im Spannglied j infolge der elastischenVerformungen bedingt durch Vorspannen der Spannglieder j+1 bis N beträgt:mit:(5.18)N= Anzahl der nacheinander vorzuspannenden Spannglieder

102Teilverluste der Vorspannkräfteσ cp,Pi+Gi= Spannung des Betons in der Höhe des Spannstahls j infolgeP iG iVorspannkraft P i und Anteil des Eigengewichts G i= Vorspannkraft im Spannglied i nach Abzug der Verlusteinfolge elastischer Verformungen durch Vorspannen derSpannglieder i+1 bis N= Anteil des Eigengewichts, das durch Vorspannen des Spanngliedesi aktiviert wird.Der Eigengewichtsanteil G i , der durch Vorspannen des Spanngliedes i aktiviertund zur Ermittlung der Betonspannung σ cp,Pi+Gi benötigt wird, ist schwer zubestimmen. Nach [111] liefert jedoch eine Berechnung mit voller Größe von Gfür jedes Spannglied ausreichende Ergebnisse.5.3 Zeitabhängige VorspannkraftverlusteZeitabhängige Vorspannkraftverluste in den Spanngliedern eines Spannbetontragwerkswerden durch allmähliche Verkürzung des Betons infolge Kriechen undSchwinden des Betons und durch schrittweise Verringerung der Spannstahlspannungeninfolge Relaxation des Spannstahles bedingt. Das Schwinden erfolgtwährend und nach der Erhärtungsphase des Betons. Für die weiteren Untersuchungensind nur die Anteile nach Übertragung der Vorspannkraft zu berücksichtigen.Die Schwinddehnung nähert sich einem Endwert in unendlicher Zeit. DerVorspannkraftverlust infolge Schwinden des Betons kann längs des Trägerskonstant angenommen werden. Das Schwinden des Betons wird von vielenFaktoren beeinflusst, u.a. von den Ausgangsstoffen und der Zusammensetzung

Teilverluste der Vorspannkräfte 103des Betons, den Erhärtungs- und Umweltbedingungen, der Querschnittsform undden Querschnittsabmessungen, dem Bewehrungsgehalt und der Bewehrungsanordnung.Das viskoelastische Verformungsverhalten des Betons ist lastabhängig. DenVorgang, bei dem mit der Zeit zunehmende Dehnungen unter Einwirkung einerkonstanten Beanspruchung eintreten, bezeichnet man als Kriechen. Ähnlich wiebeim Schwinden des Betons erreicht die Kriechdehnung, jedoch bei konstanterBeanspruchung, näherungsweise einen Endwert in unendlicher Zeit. Neben denEinflussfaktoren, die beim Schwindvorgang zu verzeichnen sind, kommen nochdas Betonalter bzw. die Festigkeit des Betons beim Belastungsanfang und dieGröße der Beanspruchung hinzu. Für Vorspannung mit Verbund sind dieVorspannkraftverluste infolge Kriechen des Betons in Abhängigkeit der Betonspannungenlängs des Bauteils von unterschiedlicher Größe. Bei Vorspannungohne Verbund sind diese überwiegend gleichmäßig.Vorspannkraftverluste infolge Relaxation treten im Lauf der Zeit in den Spanngliedernauf, die unter beinahe gleichbleibender Länge vorgespannt werden. DieRelaxation wird von der Stahlsorte, der Umgebungstemperatur und von derAnfangsspannung des Stahls beeinflusst.Eine genaue Berechnung der einzelnen Komponenten der zeitabhängigenVorspannkraftverluste ist aufwendig, da eine gegenseitige Beeinflussung derEinzelkomponenten gegeben ist. Die Relaxation des Spannstahls wird normalerweiseim Versuch unter gleichbleibender Dehnung bestimmt. Diese Randbedingungwird durch die Volumenänderung des Betons, welche durch Schwindenund Kriechen hervorgerufen wird, nicht eingehalten. Das Kriechen des Betons,welches unter bekannter konstanter Beanspruchung ermittelt werden soll, tritt

104Teilverluste der Vorspannkräftein vorgespannten Bauteilen aber bei Vorspannkräften auf, die sich allmählichdurch Relaxation, Schwinden und Kriechen vermindern. Außerdem wird dieBerechnung durch Unsicherheiten in der Erfassung der Einflüsse der Belastungsgeschichteund der Umgebungsbedingungen im betrachteten Zeitraum erschwert.Unter Berücksichtigung der oben erwähnten gegenseitigen Beeinflussung wirdin diesem Abschnitt der Arbeit ein im Eurocode 2 [1], im DIN 1045-1 [3] undim CEB-FIP MC90 [9] vorgegebenes Modell verwendet. Die Spannungsänderungin den Spanngliedern infolge Schwinden, Kriechen und Relaxation an der Stellex zum Zeitpunkt t wird mit folgender Gleichung ermittelt:(5.19)Der zeitabhängige Vorspannkraftverlust ergibt sich somit zu:∆P t (t) = A p ⋅ ∆σ p,c+s+r (5.20)Hierin bedeuten:ε cs (t,t o ) = Schwinden des Betons im betrachteten Zeitraum (t,t o )ϕ(t,t o ) = Kriechzahl für den betrachteten Zeitraum (t,t o )∆σ p,rσ c,gσ c,po= Spannungsänderung in den Spanngliedern infolge Relaxation= Betonspannung in Höhe der Spannglieder infolge ständigerEinwirkungen= Betonspannung in Höhe der Spannglieder infolge VorspannungP m,oz cp= Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Betonquerschnittsund dem der Spannglieder

Teilverluste der Vorspannkräfte 1055.3.1 Schwinden des BetonsZur Berechnung des Schwindens des Betons ε cs (t,t o ) [Gl.(5.19)] wird im Eurocode2 Anhang 1 [1] bzw. CEB-FIP MC 90 [9] ein Fließansatz empfohlen, der ausdem Produkt des Grundschwindmaßes ε cso mit dem Beiwert β s , welcher denzeitlichen Verlauf des Schwindens beschreibt, gebildet wird:ε cs (t,t o ) = ε cso ⋅ [β s (t,t s ) − β s (t o ,t s )] (5.21)wobei:ε cso = ε s (f cm ) ⋅ β RH (5.22)ε s (f cm ) = [160 + β sc ⋅ (90 − f cm )] ⋅ 10 -6 (5.23)2β s (t,t s ) = {(t − t s ) / (0,035 h o + t − t s )} 0,5 (5.24)2β s (t o ,t s )= {(t o − t s ) / (0,035 h o + t o − t s )} 0,5 (5.25)In den Gleichungen (5.21) bis (5.25) bedeuten:t s = Betonalter zu Beginn des Schwindens (in Tagen), s. Bild 5.5.t ot= Betonalter zu Beginn des betrachteten Zeitraums (in Tagen), d.h.bei der Übertragung der Vorspannkräfte (Belastungsbeginn)= Betonalter zum betrachteten Zeitpunkt (in Tagen)h o =2 A c /u (5.26)ist die wirksame Bauteildicke (in mm), wobei A c die Querschnittsflächeund u den der Luft ausgesetzten Querschnittsumfangbezeichnet.ε s (f cm ) = Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der mittlerenBetondruckfestigkeit (f cm in N/mm 2 ) im Alter von 28 Tagen.Die Einflüsse der verwendeten Zementart werden mit dem Beiwert β sc berücksichtigt.Für Zement-Typ S (langsam erhärtend) ist β sc =4, für Typ N oder R

106Teilverluste der VorspannkräfteBild 5.5 Schwinden und Kriechen des Betons(normal oder schnell erhärtend) β sc =5 und für Typ RS (hochfest, schnell erhärtend)β sc =8. Mit dem Beiwert β RH werden Einflüsse der relativen LuftfeuchtigkeitRH in folgender Weise berücksichtigt:β RH = − 1,55 (1 - (RH/100) 3 ) für 40% ≤ RH < 99% (Luftlagerung) (5.27)β RH = + 0,25 für RH ≥ 99% (Wasserlagerung) (5.28)Das Berechnungsverfahren für das Schwinden des Betons nach DIN 1045-1 [3]entspricht dem oben beschriebenen Ansatz nach EC2 Teil 1-1 Anhang 1 [1].

Teilverluste der Vorspannkräfte 1075.3.2 Kriechen des BetonsDie Kriechzahl ϕ(t,t o ) in der Gl.(5.19) kann aus einem Produktansatz vonGrundkriechzahl ϕ o und Beiwert β c , der den zeitlichen Verlauf des Kriechensbeschreibt, nach Eurocode 2 [1] bzw. CEB-FIP MC 90 [9] ermittelt werden (s.Gl. 5.29). Sie soll in Verbindung mit dem Tangentenmodul des Betons E civerwendet werden.ϕ(t,t o ) = ϕ o ⋅ β c (t,t o ) (5.29)wobei:ϕ o = ϕ RH ⋅ β(f cm ) ⋅ β(t o ) (5.30)ϕ RH = 1 + (1 − RH/100) / (0,1 ⋅ (h o ) 1/3 ) (5.31)β(f cm ) = 16,8 / √f cm (5.32)β(t o ) = 1/ (0,1 + t 0,2 o ) (5.33)β c (t,t o ) = [(t − t o ) / (β H + t − t o )] 0,3 (5.34)β H = 1,5 [1 + (0,012 ⋅ RH) 18 ] h o + 250 ≤ 1500 (5.35)Hierin sind:ϕ RH , β(f cm ), β(t o ) = Beiwerte zur Berücksichtigung des Einflusses derrelativen Luftfeuchtigkeit RH, der Betonfestigkeit f cmbzw. des Betonalters bei Belastungsbeginn t o auf dieGrundkriechzahlRH = relative Luftfeuchtigkeit der Umgebung (in %)h o = wirksame Bauteildicke des Bauteils (in mm)Um die Einflüsse der Betonfestigkeit auf die Bestimmung von ϕ RH (Gl.5.31) undβ H (Gl.5.35) zu berücksichtigen, werden diese Gleichungen in den neuen Normen(z.B.: DIN 1045-1 [3] und EC2 T1 2 nd Draft Jan.2001) durch die Beiwerte α 1 ,α 2 und α 3 modifiziert:

108Teilverluste der Vorspannkräfteϕ RH = [1 + (1 − RH/100) / (0,1 ⋅ (h o ) 1/3 ) ⋅ α 1 ]⋅ α 2β H = 1,5 [1 + (0,012 ⋅ RH) 18 ] h o + 250 ⋅ α 3 ≤ 1500 ⋅ α 3mit: α 1 = (35/f cm ) 0,7α 2 = (35/f cm ) 0,2α 3 = (35/f cm ) 0,5 .Durch eine Korrektur des Belastungsalters t 0 in den Gleichungen (5.33) und(5.34) nach Gleichung (5.36) wird der Einfluss der verwendeten Zementart, derdurch Beiwert α dargestellt wird, auf die Kriechzahl des Betons berücksichtigt:( )[12 ,( ) ] Tt = t ⋅ 9/ 2+ t + 1 ≥ 05 ,0 0, T0,α(5.36)Der Beiwert α beträgt:-1 für Zement-Typ S (langsam erhärtend),0 für Zement-Typ N oder R (normal oder schnell erhärtend) bzw.+1 für Zement-Typ RS (hochfest, schnell erhärtend).In Gleichung (5.36) ist t 0,T das wirksame Belastungsalter. Dieses muss nachGleichung (5.37) korrigiert werden, wenn die Lagerungstemperatur im Bereich0 °C bis 80 °C liegt und von der Standardtemperatur 20 °C deutlich abweicht:(5.37)Hierin bedeutet T(∆t i ) die Temperatur in °C während des Zeitraums ∆t i in Tagen.5.3.3 Relaxation des SpannstahlsDer in der Gl.(5.19) eingesetzte Betrag der Vorspannkraftverluste infolgeRelaxation des Spannstahls ∆σ pr soll auf der Grundlage der Relaxationseigen-

Teilverluste der Vorspannkräfte 109schaften ermittelt werden, welche in den bauaufsichtlichen Zulassungsbescheidenangegeben sind. Für eine Anfangsspannung des Spannstahls, die 70% derBruchspannung entspricht, werden die maximalen Relaxationswerte bei 1000Stunden auch in der DIN EN 10138 [11] angegeben. Stehen genauere Angabennicht zur Verfügung, kann die Abschätzung der Relaxationswerte in Abhängigkeitder Anfangsspannung und Stahlart mit Hilfe einer Relaxationskurve nachEurocode 2 [1] bzw. CEB-FIP MC 90 [9] (s. Bild 5.6) durchgeführt werden. DieKurve gilt ebenfalls für eine 1000 Stunden-Prüfdauer. Während die Endwerteder Relaxation als das Dreifache der aus dieser Kurve ermittelten Werte angenommenwerden dürfen [1], gibt Tabelle 5.1 Hinweise für die Relaxationswertezwischen t = 1 Stunde und t = 1000 Stunden. Zur Abschätzung der Relaxationswertebis zum Zeitpunkt t = 30 Jahre darf folgende Formel nach CEB-FIP MC90 [9] verwendet werden:r t = r 1000 ⋅ (t / 1000) k (5.38)mit: k = log (r 1000 /r 100 ) (5.39)wobei: r t ,r 100 , r 1000 = Relaxationswert nach t , 100 bzw. 1000Stunden.Nach DIN 1045-1[3] sind die Relaxationswerte einen Gegenstand des bauaufsichtlichenZulassungsbescheids des Spannstahls und können dort entnommenwerden.Tabelle 5.1: Relaxationwerte zwischen t = 1 Stunde und t = 1000 Stunden (bezogen auf r 1000 )Zeit t (in Stunden) 1 5 20 100 100 500 1000r t /r 1000 0,15 0,25 0,35 0,55 0,65 0,85 1,00

110Teilverluste der VorspannkräfteBild 5.6 Relaxationsverluste nach 1000 Stunden in Abhängigkeit der Anfangsspannung σ p0 [1]Bei Anwendung der Gl. (5.19), die die gegenseitige Wirkung der Komponentender zeitabhängigen Vorspannkraftverluste berücksichtigt, wird die Berechnungdes Relaxationsverlustes unter Berücksichtigung der reduzierten Anfangsspannungdes Spannstahls nach folgender Gleichung durchgeführt:σ p0 = σ p, Po+G − 0,3 ⋅ ∆σ p, c+s+r (5.40)wobei σ p, Po+G die Spannung der Spannglieder infolge Vorspannungund ständiger Einwirkung ist.Da Gl. (5.40) den Wert ∆σ p, c+s+r enthält, muss die Gl. (5.19) iterativ gelöstwerden, um den endgültigen Wert von ∆σ p, c+s+r zu erhalten. Für übliche Hochbautendarf σ p0 = 0,85 σ p,Po+G angenommen werden, so dass das iterative Vorgehenentfällt. Für diese Vereinfachung schreibt DIN 1045-1[3] σ p0 = 0,95 σ p,Po+G vor.

Teilverluste der Vorspannkräfte 1115.4 Berechnungsmethoden der Teilverluste von VorspannkräftenDie Abschätzung der Vorspannkraftverluste kann in mehreren Genauigkeitsstufenerfolgen. Unter Berücksichtigung der Bedeutung bzw. des Einflusses derVorspannkraftverluste auf das Tragverhalten eines Spannbetontragwerkes kanndie Bestimmung der Vorspannkraftverluste in drei Varianten unterteilt werden:- Globale Abschätzung der Vorspannkraftverluste,- Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnung desAnteils einzelner Komponenten,- Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnung inZeitintervallen.Ungenaue Berechnungsergebnisse der Vorspannkraftverluste haben nur geringenEinfluss auf das Tragverhalten von Spannbetontragwerken im Grenzzustand derTragfähigkeit. Demgegenüber beeinflussen sie relativ stark die Gebrauchstauglichkeiteines Tragwerkes, z.B. die Durchbiegung, die Rissbreiten und dieRisslast.5.4.1 Globale Abschätzung der Teilverluste von VorspannkräftenFür die Praxis kann im Hinblick auf die verwendeten Querschnittsformen bzw.-abmessungen, die Werkstoffe, die Vorspanngrade, die Ausführungsmethodenund die Umweltbedingungen eine pauschale Abschätzung der Vorspannkraftverlustevorgenommen werden. Diese beinhaltet die Vorspannkraftverluste auselastischen Verformungen, Schwinden und Kriechen des Betons sowie Relaxationdes Spannstahls. Die Verluste infolge Reibung zwischen Spannstahl und Hüllrohrmüssen in Abhängigkeit des verwendeten Spannverfahrens separat berechnet und

112Teilverluste der Vorspannkräftedem pauschalen Wert zugeschlagen werden. Als Beispiel wird in Tabelle 5.2 dieEmpfehlung vom Post-Tensioning Institute (PTI) [112] zur pauschalen Abschätzungder Vorspannkraftverluste bei Vorspannung mit nachträglichem Verbundwiedergegeben. Diese sind allerdings nur für Vorberechnungen geeignet.Tabelle 5.2: Pauschale Abschätzung der Vorspannkraftverluste nach PTI [112]ArtVorspannkraftverluste (in N/mm 2 )des SpannstahlsPlattenBalkenLitzen 207 241Drähte 207 241Stäbe 138 172Litzen mit niedriger Relaxation 103 1385.4.2 Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnung derAnteile einzelner KomponentenWeichen die Bauteileigenschaften stark von den üblichen ab oder ist einegenauere Abschätzung der Vorspannkraftverluste erforderlich, kann die Berechnungder Verluste durch Ermittlung der Anteile der einzelnen Komponentenerfolgen . Der Gesamtverlust ist dann die Summe aller dieser Beiträge. DasVorgehen zur Berechnung der einzelnen Komponenten der Vorspannkraftverlustewurde bereits in den Abschnitten 5.2 und 5.3 dieses Kapitels beschrieben.

Teilverluste der Vorspannkräfte 1135.4.3 Bestimmung der Vorspannkraftverluste durch die Berechnung inZeitintervallenDie Genauigkeit der Berechnungsergebnisse von Vorspannkraftverlusten kanndurch Berücksichtigung der gegenseitigen Beeinflussung einzelner Komponentenfür kleinere Zeitintervalle erhöht werden. Bei dieser Methode wird der betrachteteZeitraum in Zeitintervalle unterteilt. Die in jedem Zeitintervall wirksameVorspannkraft wird vom Ende des vorherigen Zeitintervalls übernommen. InAbhängigkeit der erwarteten Genauigkeit kann die Anzahl der Zeitintervalle unterBerücksichtigung möglicher signifikanter Änderungen der Last- bzw. Umgebungsbedingungenbeliebig bestimmt werden. PCI [113] empfiehlt als Mindestanzahlvier Zeitintervalle (s. Tabelle 5.3).Tabelle 5.3: Mindestzeitintervalle nach PCI [113]ZeitintervallVorspannung mit sofortigem VerbundVorspannung mit nachträglichem VerbundAb Bis zu Ab Bis zu1 t o = Vorspannen desSpannstahlst 1 = Übertragung derVorspannkräfteauf den Betont o = Ende der Erhärtungsbehandlungdes Betonst 1 = Vorspannen desSpannstahls2 t 1 t 2 = 30 Tagen oderbis zur Aufbringungder zusätzlichenständigenLastent 1t 2 = 30 Tagen oderbis zur Aufbringungder zusätzlichenständigenLasten3 t 2 t 3 = 1 Jahr t 2 t 3 = 1 Jahr4 t 3 t 4 = Ende der Lebensdauerdes Bauteilst 3t 4 = Ende der Lebensdauerdes Bauteils

114Berechnungsprogramm6 Berechnungsprogramm6.1 AllgemeinesUnter Berücksichtigung der bislang diskutierten Aspekte der wirklichkeitsnahenAnalyse von Spannbetonträgern wurde ein Berechnungsprogramm entwickelt.Es setzt sich aus Programmbausteinen zusammen, welche die behandeltenThemenbereiche im Gesamtzusammenhang erfassen:1. Modellbildung des untersuchten Systems,2. Berechnung der effektiven Vorspannkräfte unter Berücksichtigung derzeitabhängigen und zeitunabhängigen Vorspannkraftverluste,3. Berechnung der Verformungs- und Spannungszustände des Tragwerks unterBerücksichtigung der geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten,4. Berechnung der Schnittgrößen infolge äußerer Einwirkungen sowie derstatisch bestimmten und unbestimmten Schnittgrößenanteile infolge Vorspannung.Zur Modellbildung eines zu untersuchenden Systems werden die geometrischenDaten, die Materialeigenschaften und die Randbedingungen durch eine Eingabeprozedurinteraktiv eingegeben. Neben den Eigenschaften der verwendetenSpannstähle und den geometrischen Daten des Spanngliedverlaufs werdenAngaben über das Betonalter bei der Vorspannung und bei der Belastung oderbeim Untersuchungszeitpunkt sowie über die Lage des Bauteils benötigt.Die effektiven Vorspannkräfte werden in den Endknotenpunkten der Elementeermittelt. Dies erfolgt durch die Berechnung des Anteils einzelner Komponentender Vorspannkraftverluste, die im Kapitel 5 beschrieben werden. Da die Ermittlungder zeitabhängigen Vorspannkraftverluste durch Iteration geschieht, werden

Berechnungsprogramm 115die hier benötigten Schnittgrößen infolge des Eigengewichts, der ständigen Lastund der Vorspannung im ersten Ansatz durch eine linear elastische Berechnungermittelt.Unter Berücksichtigung der geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten,welche in den Kapiteln 3 und 4 erläutert werden, wird die Berechnung derVerformungs- und Spannungszustände des Tragwerks durchgeführt. Um höherenBerechnungsaufwand und größeren Speicherbedarf zu vermeiden, wird dieOrdnung der Elementsteifigkeitsmatrix durch Reduzierung der Verformungsfreiheitsgradedes Elements mit Hilfe der statischen Kondensation verkleinert.Das erstellte Gleichungssystem ist nur iterativ lösbar. Der Berechnungsablaufwird lastgesteuert durch die inkrementell iterative Methode nach Newton-Raphson durchgeführt. Dies ermöglicht die Analyse von Tragwerken bis zumErreichen des rechnerischen Bruchzustands. Am Ende jeder Laststufe werdendie Schnittgrößen infolge Vorspannung unter Berücksichtigung der Steifigkeitsverteilungin diesem Zustand ermittelt. Die Lösungsmethode der nichtlinearenGleichungssysteme und die zur Steuerung der Iteration benötigten Konvergenzbzw.Abbruchkriterien werden in den folgenden Abschnitten diskutiert.6.2 Ablauf des ProgrammsDer schematische Programmablauf wird im Bild 6.1 dargestellt. In der Eingabeprozedurwerden alle zur Beschreibung des zu bearbeitenden Problems benötigtenDaten eingegeben. Das zu untersuchende System wird in Elemente unterteilt. InBereichen, in denen große Änderungen der Zustandsgrößen erwartet werden, wie

116Berechnungsprogrammz.B. unter Einzellasten oder über dem Mittelauflager beim Durchlaufträger, kanndas Elementraster verdichtet werden. In diesen Bereichen kann auch die Anzahlder Elementschichten vergrößert werden. Demgegenüber kann eine gröbereEinteilung in Trägerabschnitten, in denen nur geringe Änderungen der Zustandsgrößenerwartet werden, gewählt werden.Die Berechnung der effektiven Vorspannkräfte wird unter Berücksichtigung derzeitabhängigen und zeitunabhängigen Vorspannkraftverluste durchgeführt. Fürdie Vorspannung mit sofortigem Verbund setzt sich der zeitunabhängige Vorspannkraftverlustaus der elastischen Verformung des Bauteils bei der Vorspannkraftübertragungund aus der eventuellen Reibung in den Umlenkstellen undkurzzeitigen Relaxationsverlusten zusammen. Bei der Vorspannung mit nachträglichemVerbund werden neben den Vorspannkraftverlusten infolge Reibungzwischen Spannglied und Hüllrohr auch die elastischen Verformungen und dervom verwendeten Spannverfahren abhängige Keilschlupf als zeitunabhängigeVorspannkraftverluste ermittelt. Die zeitabhängigen Vorspannkraftverlusteinfolge Kriechen und Schwinden des Betons und infolge Relaxation des Spannstahlswerden hier für den Zeitraum vom Vorspannen bis zum Zeitpunkt derBelastung bzw. der Untersuchung berechnet.

Berechnungsprogramm 117Bild 6.1 (a) Programmablauf

118BerechnungsprogrammBild 6.1 (b) Programmablauf (Fortsetzung)

Berechnungsprogramm 119Die Analyse des Tragwerks bis hin zum rechnerischen Bruchzustand erfolgt durcheine inkrementell iterative Berechnungsmethode. Für jede inkrementell aufgebrachteLaststufe werden iterative Berechnungen durchgeführt, bis ein Gleichgewichtzwischen äußeren Lasten und inneren Kräften oder bis ein Toleranzwerterreicht wird. Hier wird die iterative Berechnung nach der Standard-Newton-Raphson-Methode eingesetzt. Für jede Iteration werden Elementsteifigkeitsmatrixbzw. Systemsteifigkeitsmatrix erstellt und das entstandene Gleichungssystemgelöst. Aus den ermittelten Verschiebungen werden die Dehnungen der Elementschichtenmit Hilfe des Gauß-Integration-Verfahrens numerisch berechnet. Mitden bekannten Spannungs-Dehnungsbeziehungen der verwendeten Werkstoffekönnen die Spannungen anschließend ermittelt werden. Die Schnittgrößen werdendurch die Integration der Spannungen in den Querschnitten der Elementeberechnet.Wenn das Gleichgewicht bzw. das Konvergenzkriterium in einer Laststufe erfülltist, wird die Systemsteifigkeitsmatrix der letzten Iteration gespeichert. Mit dergespeicherten Steifigkeitsverteilung in diesem Zustand werden die Schnittgrößeninfolge der effektiven Vorspannkraft ermittelt. Die Vorspannkräfte werden alsUmlenkkräfte, Reibungskräfte und Ankerkräfte eingesetzt. Diese werden an dieTragwerkseigenschaften dieses Zustands angepaßt. Wie im Kapitel 3 schonerwähnt, verschiebt sich die Lage der Schwerachse der Elemente in Abhängigkeitdes Belastungszustandes infolge der Rissbildung und des nichtlinearen Verhaltensder Werkstoffe. Die Schwerachse schiebt sich dabei je nach Rissbildung imFeldbereich nach oben oder im Stützbereich nach unten. Dies führt zu einerÄnderung der Knotenkräfte aus der Vorspannwirkung. Aus dieser Berechnungerhält man zunächst die gesamten Schnittgrößen aus Vorspannwirkung S p . Ausdenen lässt sich der statisch unbestimmte Anteil S p,ind ermitteln:

120BerechnungsprogrammS p,ind = S p - S p,dir (6.1)dabei bedeutet S p,dir den statisch bestimmten Anteil der Vorspannwirkung:S p,dir = P ⋅ e (6.2)Die Analyse des zu bearbeitenden Problems wird solange fortgesetzt, bis derrechnerische Bruchzustand des Tragwerks erreicht wird. Nach dem Erreichender Fließgrenze der Bewehrung kann die Größe der weiteren Laststufen reduziertwerden, um das Tragverhalten in diesem Bereich besser zu erfassen. Um dierechnerische Bruchlast genauer zu ermitteln, wird die letzte Laststufe, in der derBruchzustand erreicht wird, solange modifiziert, bis der Gleichgewichtzustanderreicht bzw. die Konvergenzkriterien erfüllt werden.6.3 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme6.3.1 Allgemeine HinweiseNach der Erstellung der Systemsteifigkeitsmatrix K s aus den ElementsteifigkeitsmatrizenK e (Gl. 3.56) erhält man eine Beziehung zwischen den Verformungenund den Beanspruchungen in der Form:R = K s ⋅ r (6.3)mit: R = SystemlastvektorK s = Systemsteifigkeitsmatrixr = Systemverschiebungsvektor.Durch die vorgegebenen äußeren Beanspruchungen ist der Lastvektor R bekannt.Die Gleichung (6.3) wird dann nach dem Verschiebungsvektor r gelöst. Infolgeder Berücksichtigung der physikalischen und geometrischen Nichtlinearitäten

Berechnungsprogramm 121in der Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix K e ist die SystemsteifigkeitsmatrixK s von den gesuchten Verschiebungen r abhängig. Die Lösung dernichtlinearen Gleichung (6.3) kann daher nicht direkt, sondern nur in iterativerForm erfolgen.Die im Ingenieurwesen zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme am häufigstenverwendeten Verfahren können in die folgenden drei Gruppen unterteiltwerden:- inkrementelle Verfahren,- iterative Verfahren,- kombinierte Verfahren.Die Berechnung nach diesen Verfahren werden normalerweise durch Last- oderVerschiebungssteuerung durchgeführt. Für Tragwerke mit sehr ausgeprägtengeometrischen Nichtlinearitäten verwendet man auch Lösungsmethoden, diegleichzeitig durch Last- und Verschiebungssteuerung koordiniert werden, umdie Durchschlagprobleme in den kritischen Punkten bei Anwendung der reinenLast- oder Verschiebungssteuerung zu überwinden. Da das in dieser Arbeitbehandelte Thema von den geometrischen Nichtlinearitäten nur wenig beeinflusstwird, werden diese Lösungsverfahren nicht weiter besprochen. Zu Einzelheitender sogenannten Kurvenverfolgungs- oder Bogenlängen-Methoden bzw. ihrenModifikationen wird auf die Literatur verwiesen [z.B.: 114, 115, 116].6.3.2 Inkrementelles VerfahrenBei diesem Berechnungsverfahren wird die gesamte Last in kleinen Schritten− den Inkrementen − aufgebracht. Die Grundvariante dieser Klasse, das Euler-

122BerechnungsprogrammVerfahren, ist in Bild 6.2 dargestellt. Das Verfahren wird ohne Gleichgewichtskorrekturin jeder Laststufe verwendet. Die Tangentensteifigkeit wird durchLinearisierung der kinematischen Gleichungen hergeleitet und spiegelt dieMaterialeigenschaften und die Gleichgewichtsbedingungen am Anfang einerLaststufe wieder [117]. Deshalb weicht die Kurve mit zunehmenden Laststufenvon der richtigen Lösungskurve ab, was zu einer Überschätzung der maximalaufnehmbaren Last führt. Die Abweichung kann durch verfeinerte Lastinkrementezwar abgemindert werden, der Berechnungsaufwand wird aber größer. ZurVerbesserung dieses Verfahrens wurden viele Vorschläge gemacht, z.B.: dasmodifizierte Euler-Verfahren und das Runge-Kutta-Verfahren.Bei einer Variante dieser Gruppe wird versucht, die Abweichung zu verringern,in dem die Ungleichgewichtskräfte jeder Laststufe ermittelt und zur nächstenLaststufe hinzuaddiert werden (s.Bild 6.3). Dieses Bild zeigt, dass die Abweichungender ermittelten Punkte von der exakten Lösungskurve kleiner sind alsbeim reinen Euler-Verfahren. Der methodische Fehler des rein inkrementellenVorgehens wird durch diese Variante jedoch nicht vollständig behoben. Außerdemweist Ramm [119] darauf hin, dass sich dieses Lösungsverfahren in bestimmtenFällen nicht konvergent verhält.

Berechnungsprogramm 123Bild 6.2 Euler-Verfahren Bild 6.3 Inkrementelles Verfahren mitGleichgwichtskorrektur6.3.3 Iteratives VerfahrenIm Gegensatz zum inkrementellen Verfahren wird hier die gesamte Last aufeinmal aufgebracht. Es gibt viele Varianten zu diesem Verfahren. Die Berechnungsmethodenunterscheiden sich dadurch, dass bei den Iterationen jeweilsunterschiedliche Steifigkeitsmatrizen verwendet werden. Bild 6.4 zeigt einiteratives Berechnungsverfahren, welches im Schrifttum unter dem Namen“Newton-Raphson-Verfahren” bekannt ist. Dabei muss die Tangentensteifigkeitsmatrixin jeder Iteration an den jeweiligen Verformungszustand neu angepaßtwerden. Der Iterationsprozeß wird soweit fortgesetzt, bis die Ungleichgewichtskraft∆R i oder die inkrementelle Verschiebung ∆r i hinreichend klein ist. DasVerfahren konvergiert sehr schnell. Diesem Vorteil steht der größere Aufwandin der Erstellung und Invertierung bzw. Zerlegung der Tangentensteifigkeitsmatrixbei jeder Iteration gegenüber.

124BerechnungsprogrammBild 6.4 Newton-Raphson-VerfahrenBild 6.5 Modifiziertes-Newton-Raphson-VerfahrenUm den Berechnungsaufwand des Newton-Raphson-Verfahrens zu reduzieren,verwendet man ein modifiziertes Verfahren, bei dem die Steifigkeitsmatrix nurin der ersten Iteration gebildet und zerlegt wird. In den weiteren Iterationen wirddann die gleiche Steifigkeitsmatrix benutzt. Diese Vorgehenweise wird alsmodifiziertes Newton-Raphson-Verfahren bezeichnet (s. Bild 6.5). Das Verfahrenkonvergiert langsamer. Die Vereinfachung durch die einmalige Berechnung undZerlegung der Steifigkeitsmatrix ist nach Weiler [69] wegen des materialbedingtennichtlinearen Systemverhaltens der Betontragwerke ungeeignet.Es gibt noch viele Varianten des Newton-Raphson-Verfahrens, die in einigenFällen ein besseres Konvergenzverhalten haben als das modifizierte Newton-Raphson-Verfahren. Diese Varianten werden normalerweise in kombiniertenInkrementell-Iterativen-Methoden verwendet [117]. Eine Berechnungsmethodezur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wurde von Szilard [120] entwickelt.Die Methode, die als Energieausgleichsverfahren bezeichnet wird, isteigentlich nicht zur Gruppe der iterativen Verfahren zu zählen. Ihre Anwendung

Berechnungsprogramm 125ist aber mit der Standard- oder der Modifizierten-Newton-Raphson-Methode engverbunden. In dieser Berechnungsmethode wird die aus der ersten Iterationermittelte Verschiebung ∆r 0 mit einem Affinitätsfaktor c multipliziert, um eineVerbesserung des Verschiebungsvektors zu erhalten (s. Bild 6.6):∆r 1 = c ⋅ ∆r 0 (6.4)Bild 6.6 Energieausgleichsverfahren nach Szilard [120]Der Affinitätsfaktor c wird durch Einsetzen der Gleichung (6.4) in den ArbeitssatzA a = A i ermittelt. A a ist die Arbeit der äußeren Kräfte, und A i ist die zugehörigeFormänderungsarbeit, die neben dem linearen auch einen nichtlinearen Anteilenthält. Die entstandene Gleichung ist ein Polynom höherer Ordnung, dessenkleinste positive Nullstelle der gesuchte Affinitätsfaktor ist. Die noch verbleibendeUngleichgewichtskraft wird dann mit dem Standard- bzw. demmodifizierten Newton-Raphson-Verfahren beseitigt. Weil die vorher durchgeführteEnergiekorrektur den exakten Gleichgewichtszustand in einem Schrittschon weitgehend annähert, wird die Anzahl der Iterationen im allgemeinendrastisch reduziert [57, 120].

126BerechnungsprogrammBild 6.7 Quasi-Newton-VerfahrenEine sogenannte Sekanten- oder Quasi-Newton-Methode wurde als Alternativezur Newton-Raphson-Methode entwickelt [121]. In dieser Methode wird dieSekantensteifigkeit anstatt der Tangentensteifigkeit im Iterationsprozeß verwendet.Für eindimensionale Probleme ist die Bildung einer solchen Matrix eindeutig(s. Bild 6.7). Die Aktualisierung der Systemsteifigkeitsmatrix durch die Sekantennäherungwird auf das letzte berechnete Verformungsinkrement (∆r) und auf denUnterschied (∆R s ) zwischen der dazugehörigen und der in der vorherigen Iterationentstandenen Ungleichgewichtskraft bezogen. Die aktualisierte Matrix muss dieBedingungen der Quasi-Newton-Gleichung K ⋅ ∆r = ∆R s erfüllen. Diese Methodestellt einen Kompromiß in der Anwendung der Systemsteifigkeitsmatrix zwischendem Standard- und dem Modifizierten-Newton-Raphson-Verfahren dar [122].Für Anwendungen in der Finite-Elemente-Methode ist das BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)-Verfahren die effektivste Variante der Quasi-Newton-Methode [122]. Weitere Einzelheiten zum BFGS-Verfahren können z.B. [123und 124] entnommen werden.

Berechnungsprogramm 1276.3.4 Inkrementell-Iteratives VerfahrenDie beiden vorher geschilderten Lösungsverfahren werden meistens in derkombinierten Form des inkrementell-iterativen Verfahrens verwendet. Dieäußeren Lasten werden inkrementell aufgebracht. Innerhalb jedes Lastinkrementeswird eine Iterationsberechnung durchgeführt, bis die Ungleichgewichtskraftkleiner ist als der vorgegebene Toleranzwert. Die letzte Ungleichgewichtskraftkann dann im nächsten Lastinkrement berücksichtigt werden. Aus der Vielfaltder inkrementellen und der iterativen Verfahren ergeben sich viele Kombinationsmöglichkeiten.Einige Kombinationen werden in Bild 6.8 dargestellt.(a) Inkrementelle Lasten + (b) Inkrementelle Lasten +Standard-Newton-Raphson-Iteration modifizierte Newton-Raphson-Iteration(mit Anfangssteifigkeit)Bild 6.8 Kombinierte Verfahren

128Berechnungsprogramm(c) Inkrementelle Lasten + (d) Inkrementelle Lasten +modifizierte Newton-Raphson-Iteration Energieausgleichsverfahren(mit Tangentensteifigkeit am Anfang derLaststufe )Bild 6.8 Kombinierte Verfahren (Fortsetzung)6.4 KonvergenzkriterienDie Kriterien zur Beurteilung des Konvergenzverhaltens müssen bei der Verwendungvon Iterationsmethoden zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystemsfestgelegt werden. Nach jedem Iterationsschritt wird für das erzielte Ergebnisüberprüft, ob ein Toleranzwert erreicht wird oder noch weitere Iterationennotwendig sind. Im allgemein werden drei Kriterien beschrieben, die auf derBetrachtung folgender Größen basieren:1. Verschiebungszuwachs,2. Ungleichgewichtskräfte,3. Zuwachs der inneren Energie.

Berechnungsprogramm 129Beim Kriterium 1 wird der Verschiebungszuwachs in jeder Iteration (∆r i ) mit derwirklichen Verschiebung (r) verglichen:(6.5)wobei ε D eine Konvergenztoleranz für die Verschiebung bezeichnet.Da der Vektor r noch nicht bekannt ist, darf in vielen Fällen der zuletzt berechneteWert von r i als Näherungswert verwendet werden [122].Beim Kriterium 2 werden die Ungleichgewichtskräfte ∆R i mit den äußeren LastenR verglichen, und die iterative Berechnung wird beendet, wenn:. (6.6)Hierbei ist ε F eine vorgegebene Toleranz für die unbalancierten Kräfte.Die Kriterien 1 und 2 haben jeweils bestimmte Schwachstellen. Beim auf denVerschiebungsgrößen basierenden Kriterium kann die tatsächliche Lösung nochweit von dem Wert entfernt sein, der aus der Anwendung des Konvergenzkriteriumsnach Gl.(6.5) mit dem Näherungswert von r resultiert. Dies kann inmanchen Problemen auftreten, wie z.B. bei Anwendung der modifiziertenNewton-Raphson-Methode in einer elastisch-plastischen Analyse bei derEinwirkung von Lasten [122]. Demgegenüber hat die Verschiebung beimKriterium 2 keinen direkten Einfluss auf die Beendigung des Iterationsprozesses:Bei einer elastisch-plastischen Analyse mit sehr flacher Dehnungs-Verfestigungz.B. kann die unbalancierte Kraft schon einen sehr kleinen Zuwachs erreichenund das Kriterium erfüllen, während der tatsächliche Verschiebungszuwachs nocheinen großen Wert hat. Daher sollten die Konvergenzkriterien (6.5) und (6.6) mit

130Berechnungsprogrammsehr kleinen Werten von ε D bzw. ε F angewendet werden. Außerdem müssen dieVariablen in den Gleichungen entsprechend den gemessenen Zustandsgrößenangepaßt werden.Das dritte Kriterium kann sinnvoller sein, da die Verschiebungen und die Kräftein das Kriterium einbezogen werden. Bei diesem Konvergenzkriterium wird derZuwachs der inneren Energie in jeder Iteration (∆r i ⋅ ∆R i ) mit dem Anfangszuwachsder inneren Energie (∆r 1 ⋅ ∆R 1 ) verglichen:(6.7)wobei ε E eine vorgegebene Energietoleranz ist. Die Anwendung dieses Konvergenzkriteriumswird in der Praxis bevorzugt und auch in dieser Arbeitangewendet.

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 1317 Nachrechnung experimenteller Untersuchungen /Anwendungsbeispiele7.1 Nachrechnung experimenteller Untersuchungen7.1.1 AllgemeinesDas in dieser Arbeit behandelte Problem ist sehr komplex. Unter Berücksichtigungder Nichtlinearitäten der geometrischen Beziehungen sowie des Werkstoffverhaltensist die Genauigkeit der Ergebnisse des entwickelten Berechnungsmodellsanalytisch kaum überprüfbar. Die Überprüfung der Genauigkeit und derZuverlässigkeit erfolgt daher durch Nachrechnungen vorhandener experimentellerVersuche. Mit den Ergebnissen aus der Nachrechnung von Versuchen sollgezeigt werden, dass das entwickelte Berechnungsmodell für den VerbundwerkstoffStahlbeton bzw. Spannbeton, die Ansätze zur Berücksichtigung der zeitabhängigenund zeitunabhängigen Vorspannkraftverluste auf die Vorspannwirkungsowie die verwendeten inkrementellen Iterationsverfahren zur Beschreibungdes wirklichkeitsnahen Tragverhaltens mit ausreichender Genauigkeitund Zuverlässigkeit geeignet sind. Aus diesem Grund wurden zahlreiche Versuchenachgerechnet (s. Anhang A). Die Wesentlichen werden in diesem Abschnittdargestellt.7.1.2 Versuchsträger von Lin [36](1) Geometrische DatenDer Versuchsträger war ein symmetrischer Spannbetondurchlaufträger auf drei

132Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleAuflagern. Die Spannweite beider Felder betrug jeweils 7,50 Meter. Währendbeide Endauflager horizontal verschieblich waren, wurde das Mittelauflagergegen horizontale Verschiebung festgehalten. Der Träger hatte eine rechteckigeQuerschnittsform mit 20,3 cm Breite und 40,6 cm Höhe. Der Spanngliedverlaufwurde so gewählt, dass keine Auflagerkräfte bzw. Zwangmomente infolgeVorspannung auftraten. Der Träger hatte also eine konkordante Spanngliedführung.Im Betonalter von 14 Tagen wurde der Träger von beiden Endenvorgespannt und das Hüllrohr anschließend verpresst. Der Träger wurde sobemessen, dass keine Biegerisse unter Vorspannwirkung und Eigengewicht sowieunter Gebrauchslast auftraten. Also handelte es sich um einen Träger mit vollerVorspannung. Zusätzliche schlaffe Bewehrung war nicht vorhanden. Bild 7.1skizziert den Versuchsträger.(2) WerkstoffeDer verwendete Beton hatte Mittelwerte der Zylinder-Druckfestigkeit von 37N/mm 2 und der Biegezugfestigkeit von 6,5 N/mm 2 . Die charakteristischeDruckfestigkeit war damit auf etwa 30 N/mm 2 festgelegt. Die Spannungs-Dehnungsbeziehung des Betons wird im Bild 7.2 (a) dargestellt. Im Versuchsträgerwurde ein 32-drähtiges Spannglied verwendet. Die Drähte besassen einenDurchmesser von 5 mm und eine charakteristische Zugfestigkeit von f pu,k = 1800N/mm 2 . Die Streckgrenze bei der 0,2 %-Dehngrenze f p0,2k betrug 1604 N/mm 2 .Der Elastizitätsmodul des Spannstahls war 204000 N/mm 2 . Bild 7.2 (b) zeigt dieSpannungs-Dehnungsbeziehung des verwendeten Spannstahls. Die höchsteSpannung des Spannstahls beim Vorspannen wurde mit 999 N/mm 2 begrenzt.Um die Vorspannkraftverluste infolge Reibung und Keilschlupf auszugleichen,wurde das Spannglied bis zu 6 % über diesen Wert vorgespannt. Die Vorspannkraftan den Spannpressen wurde damit auf 665 kN festgelegt. Der Reibungsbei-

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 133wert zwischen dem Spannglied und dem Hüllrohr war µ = 0,3 und der ungewollteUmlenkwinkel wurde mit k = 0,1 °/m abgeschätzt. Der Keilschlupf bei denVerankerungen war ∆l sl = 2,5 mm.Bild 7.1 Versuchsträger von Lin [36](a) Beton(b) SpannstahlBild 7.2 Spannungs-Dehnungsbeziehung der Werkstoffe [36]

134Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele(3) VersuchsdurchführungDer Träger wurde mit zwei konzentrierten Lasten statisch beansprucht, die inAbständen von 262 cm vom Mittelauflager symmetrisch angeordnet waren(s. Bild 7.1). In den ersten Schritten wurde der Träger mit 5 Laststufen mit jeweils10 kN belastet. Am Ende der 5. Laststufe erreichten die äußeren Lasten folglich50 kN, was der rechnerischen Gebrauchslast entsprach. Für weitere 5 Laststufenbetrug das Lastinkrement 5 kN. Am Ende der 10. Laststufe erwartete man Risseüber dem Mittelauflager. Das Lastinkrement für weitere Laststufen bis zum Bruchdes Träger wurde um die Hälfte verkleinert, um das Tragverhalten nach derPlastifizierung besser zu erfassen. Für jede Laststufe wurden folgende Datengemessen:- Auflagerkräfte an den beiden Endauflagern,- Durchbiegung an mehreren Punkten in den Feldern,- Randdehnungen in den Zugzonen über dem Mittelauflager und in denFeldmitten.(4) Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungIn den Bilder 7.3 und 7.4 werden die Versuchsergebnisse für Durchbiegung undAuflagerkräfte dargestellt und mit den Ergebnissen aus der Nachrechnungverglichen. Im Bild 7.4 sind die Auflagerkräfte aus der Berechnung nach derlinearen Elastizitätstheorie eingetragen. Nach der Rissbildung im Querschnitt überdem Mittelauflager sind die Abweichungen zwischen den Werten aus demExperiment und der Berechnung bemerkbar. Diese Gegenüberstellungen zeigenaber eine ausreichende Übereinstimmung zwischen berechneten und aus demVersuch gewonnenen Werten.

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 135180VERSUCHSTRÄGER VON LIN (TRÄGER A) [36]Last-Durchbiegungsbeziehungen der Feldmitte160140120Last P [kN]100806040BerechnungExperiment2000 5 10 15 20 25 30Durchbiegung [mm]Bild 7.3 Last-Durchbiegungsbeziehungen180VERSUCHSTRÄGER VON LIN (TRÄGER A) [36]Last-Auflagerkraft-Beziehungen des linken Endauflagers160140120Last [kN]10080604020E-TheorieExperimentBerechnung00 5 10 15 20 25 30Auflagerkraft [kN]Bild 7.4 Last-Auflagerkraftbeziehungen

136Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele7.1.3 Versuchsträger von Priestley und Park [43](1) Geometrische DatenÄhnlich wie der Träger von Lin [36] war auch der Versuchsträger von Priestleyund Park [43] ein symmetrischer Spannbetondurchlaufträger auf drei Auflagernmit einer rechteckigen Querschnittsform. Die Spannweiten betrugen jeweils301,5 cm. Die Abmessungen des Querschnitts waren 9,9 cm in der Breite und20,3 cm in der Höhe. Die Auflageranordnung war genauso wie bei den Versuchsträgernvon Lin [36]. Die Endauflager waren horizontal verschieblich und dasMittelauflager war horizontal unverschieblich. Es wurde ein linearer Spanngliedverlaufmit Umlenkstellen unter den konzentrierten Lasten und am Mittelauflagergewählt (s. Bild 3.13). Das Spannglied bestand aus zwei Drähten mit 7 mmDurchmesser.Bild 7.5 Versuchsträger von Priestley und Park [43]

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 137(2) WerkstoffeIm Versuchsträger wurde Spannstahl mit einer charakteristischen Zugfestigkeitvon 1700 N/mm 2 verwendet. Der Beton hatte eine durchschnittliche Zylinderdruckfestigkeitvon 43 N/mm 2 , wobei die charakterische Druckfestigkeit 35N/mm 2 war. Der Mittelwert der Biegezugfestigkeit des Beton wurde mit 4,86N/mm 2 angegeben.(a) Beton(b) SpannstahlBild 7.6 Spannungs-Dehnungsbeziehung der Werkstoffe [43](3) VersuchsdurchführungAls Versuchslast wurden zwei konzentrierte Lasten aufgebracht, die im Abstandvon 91,5 cm vom Mittelauflager angeordnet waren. Der Träger wurde untermehreren Laststufen mit einem Lastinkrement von 5 kN statisch beansprucht.In jeder Laststufe wurden folgende Daten gemessen:- Auflagerkräfte an den beiden Endauflagern,- Durchbiegungen an mehreren Stellen in jedem Feld,- Dehnungen in den Querschnitten unter den Lasten und über dem Mittelauflager.Die Biegemomente wurden aus den gemessenen Daten berechnet und als Last-Biegemomente-Beziehungen dargestellt.

138Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele(4) Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungIn den Bilder 7.7 und 7.8 werden die Versuchsergebnisse für Durchbiegung undBiegemomente dargestellt und mit den Ergebnissen aus den Nachrechnungenverglichen. Das Bild 7.8 zeigt die Last-Biegemoment-Beziehung für die Querschnitteüber dem Mittelauflager und unter der Last P. Die Biegemomente ausder Berechnung nach der linearen Elastizitätstheorie sind eingetragen. Es wurdebeobachtet, dass eine Umlagerung der Schnittgrößen vom Querschnitt über demMittelauflager zum Feldbereich hin stattgefunden hat. Es trat keine volle Umlagerungauf.60VERSUCHSTRÄGER VON PRIESTLEY/PARK (TRÄGER 3) [43]Last-Durchbiegungsbeziehungen unter der Last P5040Last P [kN]3020BerechnungExperiment1000 2 4 6 8 10 12 14 16Durchbiegung [mm]Bild 7.7 Last-Durchbiegungsbeziehungen für die Stelle unter der Last P

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 139VERSUCHSTRÄGER VON PRIESTLEY/PARK (TRÄGER 3) [43]Last-Biegemomentbeziehungen605040Last [kN]302010Stützmoment (Berechnung)Feldmoment(Berechnung)Stützmoment (E-Theorie)Feldmoment (E-Theorie)Stützmoment (Versuch)Feldmoment (Versuch)0-15 -10 -5 0 5 10 15Stützmoment [kNm]Feldmoment [kNm]Bild 7.8 Last-Biegemomentbeziehungen für das Stützmoment und das Feldmoment(unter der Last P)7.1.4 Versuchsträger von Taerwe et al. [41](1) Geometrische DatenDer von Taerwe et al. [41] getestete Spannbeton-Durchlaufträger hatte zwei je9,60 m lange Felder. Die Anordnung der Auflager war symmetrisch, wobei dasMittelauflager horizontal unverschieblich war und die beiden Endauflagerhorizontal verschieblich waren. Der Träger hatte eine I-Querschnittsform mit 40cm Breite, 48 cm Höhe und 15 cm Stegbreite. Das Spannglied bestand aus 5siebendrähtigen Litzen und verlief in drei parabolischen Kurven (s. Bild 7.9).Über beiden Endauflagern lag der Schwerpunkt des Spannglieds im geometrischenSchwerpunkt des Querschnitts, während in den Feldern und über dem

140Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleMittelauflager die Exzentrizität des Spannglieds maximale Werte (16,5 cm)erreichte. Nach dem Vorspannen wurde das Hüllrohr mit Zementmörtel verpresst.(2) WerkstoffeDer im Versuch verwendete Beton hatte eine durchschnittliche Zylinder-Druckfestigkeitvon f cm = 37,5 N/mm 2 und eine Biegezugfestigkeit von f tm = 4,06N/mm 2 . Die Spannungs-Dehnungsbeziehung des Betons stimmte mit der in CEBMC 90 gegebenen Beziehung gut überein. Als Spannglied wurden 5 siebendrähtigeLitzen mit einer charakteristischen Zugfestigkeit von f ptk = 1860 N/mm 2verwendet. Der Mittelwert der Zugfestigkeit war f ptm = 1970 N/mm 2 und dieStreckgrenze bei 0,1 %-Dehngrenze f p0,1k betrug 1810 N/mm 2 . Der Nenndurchmessereiner Litze war 15,2 mm und die Querschnittsfläche 139 mm 2 . BeimVorspannen wurde das Spannglied bis zu 75 % seiner charakteristischen Zugfestigkeitgespannt. Vier Stahlstäbe von 8 mm Durchmesser, jeweils zwei amoberen und unteren Rand, wurden als zusätzliche schlaffe Bewehrung eingesetzt.Der Mittelwert der Fließgrenze des Betonstahls betrug f ym = 572 N/mm 2 .(3) VersuchsdurchführungDer Versuchsträger wurde am 14. Tag nach dem Betonieren von beiden Endendes Spannglieds aus vorgespannt. Das Hüllrohr wurde anschließend mit Zementmörtelverpresst. Der Versuch wurde bei einem Betonalter von 28 Tagendurchgeführt. Um eine gleichmäßig verteilte äußere Last zu simulieren, wurdeder Träger mit acht konzentrierten Lasten statisch beansprucht, die in Abständenvon 2,4 m symmetrisch zum Mittelauflager angeordnet waren. Mit steigendenäußeren Lasten wurde der Versuchsträger bis zum Versagen beansprucht.

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 141Bild 7.9 Versuchsträger von Taerwe et al. [41]Die folgenden Daten wurden beobachtet und gemessen:- Durchbiegung an den 3,6 m von beiden Endauflagern entfernten Stellen,- Auflagerkräfte,- Randdehnungen im Mittelauflagerbereich.(4) Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungDie Versuchsergebnisse der Durchbiegung werden mit den Ergebnissen aus derNachrechnung verglichen und im Bild 7.10 grafisch dargestellt. Bild 7.11 zeigtdie Gegenüberstellung für die Biegemomente. Beide zeigen die gute Übereinstimmungder Ergebnisse.

142Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleVERSUCHSTRÄGER CB1 VON TAERWE et al. [41]Last-Durchbiegungsbeziehungen an x=3,60 m von den Endauflagern entfernten Stellen160140120100Last P [kN]806040BerechnungVersuch200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Durchbiegung [mm]Bild 7.10 Last-Durchbiegungsbeziehungen (bei x=3,6 m)VERSUCHSTRÄGER CB1 VON TAERWE et al. [41]Last-Biegemomentbeziehungen160140120Last P [kN]10080604020Stützmomente [Cal.]Feldmomente [Cal.]Stützmomente [Exp.]Feldmomente [Exp.]Stützmomente [E-Th.]Feldmomente [E-Th.]0-550 -450 -350 -250 -150 -50 50 150 250 350 450 550Stützmoment [kNm]Feldmoment [kNm]Bild 7.11 Last-Biegemomentbeziehungen für die Stützmomente und die Feldmomente (bei x=3,6 m)

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 1437.1.5 ZusammenfassungDie Gegenüberstellungen der Diagramme für die Last-Durchbiegungs-Beziehungensowie für die Last-Biegemoment-Beziehungen zeigen sehr gute Übereinstimmungvor allem im Bereich der niedrigen Lasten, wobei die Werkstoffverhaltennahezu linear elastisch sind. Über diesem Lastbereich weichen dieErgebnisse der experimentellen Versuche von denen der Berechnungen geringfügigab. Diese Abweichungen sind auf die breiteren Streuungen der Eigenschaftender im Versuch verwendeten Werkstoffe unter höheren Lasten zurückzuführen.Die in diesem Abschnitt dargestellten Gegenüberstellungen vermitteln einenguten Einblick über die erreichte Annäherung des im Rahmen dieser Arbeitentwickelten Berechnungsmodells. Zusammenfassend kann festgestellt werden,dass das wirklichkeitsnahe Tragverhalten von Spannbetonträgern durch dashergeleitete Berechnungsmodell sehr gut beschrieben wird.7.2 Anwendungsbeispiele7.2.1 AllgemeinesDurch Beispiele in diesem Abschnitt soll die Anwendungsmöglichkeit des indieser Arbeit entwickelten Berechnungsmodells zur wirklichkeitsnahen Untersuchungvon Spannbetonträgern gezeigt werden.

144Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele7.2.2 EinfeldträgerDie wesentliche Daten des Trägers werden in der Tabelle 7.1 und im Bild 7.12gegeben.Tabelle 7.1: Wesentliche Daten des TrägersStatisches System:Einfeldträger; statisch bestimmtes System;Spannweite 25 m; Plattenbalken mit kleinenFlanschenWerkstoffe:Beton: C35/45Betonstahl:Spannstahl:Hüllrohr:Vorspannverfahren:Vorspannart:Spannglied:Spanngliedführung:BSt 500 S(B)Reibungsbeiwert: µ = 0,19Siebendrähtige Litzen, ∅ = 15,3 mmf pk = 1770 N/mm 2 f p0,1k = 1570 N/mm 2E p = 195 kN/mm 2Stahlblech, ∅ = 67 mmVorspannung mit nachträglichem Verbund2 Spannglieder je 5 Litzen(A p = 7 cm 2 ; A p,tot = 14 cm 2 )quadratische Parabelungewollter Umlenkwinkel:k = 0,3 °/mKeilschlupflänge:Vorspannkraft:∆l sl = 6 mmP 0 = 0,75 ⋅ A p,tot ⋅ f pk = 918,75 kNSpannglied A wird von links undSpannglied B wird von rechts vorgespannt.Zeitpunkt des Vorspannnensund Vepressens der Hüllrohre: 21 Tage nach dem BetonierenZeitpunkt der Untersuchung:Umgebung:28 Tage nach dem BetonierenTrocken

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 145Bild 7.12 1. Beispiel: EinfeldträgerDer Träger wird nach EC2 T1 für einen Bemessungswert der Einwirkungen von46,24 kN/m (inkl. Eigengewicht) bemessen. Bei äußerer Last von 33,5 kN/m trittder erste Riss im Querschnitt in Feldmitte auf und das Last-Verformungsverhaltendes Trägers weicht dann vom linearen Verhalten ab (s. Bild 7.13). Der Fließbeginnder Betonstahl-Zugbewehrung im Querschnitt in der Feldmitte wird bei

146Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispieleeiner äußeren Last von 51,5 kN/m erreicht und für den Spannstahl B sowie A bei52 kN/m bzw. bei 53 kN/m beobachtet. Das System wird infolge dieser Steifigkeitsabnahmeweicher mit rasch zunehmender Verformung. Die Systemtraglastist erreicht infolge eines Betondruckversagens im Querschnitt in der Feldmitte.Die Bruchlast liegt etwa 21% über dem Bemessungslastniveau. Im Bruchzustandbeträgt die maximale Betonstauchung 3,5 ‰, die Betonstahldehnung 34,25 ‰und die Spannstahldehnung 35,67 ‰ (Spannstahl A) bzw. 38,96 ‰ (SpannstahlB). Ergänzend zeigt Bild 7.14 hierzu die Last-Biegemomentbeziehung für dieFeldmitte.601. Beispiel: Statisch bestimmtes SystemLast-Durchbiegungsbeziehungen in der FeldmitteFliessen des SpannstahlsRechnerische Bruchlast50Fliessen der Betonstahl (Zugbewehrung)40Last g+q [kN/m]301.Risse20E-TheorieBerechnung100-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400Durchbiegung [mm]Bild 7.131. Beispiel - Einfeldträger: Last-Durchbiegungsbeziehungen in der Feldmitte

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 147601. Beispiel: Statisch bestimmtes SystemLast-Biegemomentbeziehungen in der Feldmitte5040Last g+q [kN/m]3020E-TheorieBerechnung100-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Biegemoment [kNm]Bild 7.141. Beispiel - Einfeldträger: Last-Biegemomentbeziehungen in der Feldmitte7.2.3 Symmetrischer Zweifeld-DurchlaufträgerDieses Beispiel behandelt zwei zweifeldrige Spannbetondurchlaufträger. Währenddie maßgebenden Querschnitte des Systems A mit Schnittgrößen aus einer linearelastischenBerechnung ohne Momentenumlagerung bemessen werden, sind diemaßgebenden Querschnitte des Systems B für Schnittgrößen mit 11 % Momentenumlagerungdes Biegemoments im Zwischenauflager ausgelegt. Die wesentlichenDaten des Trägers werden in der Tabelle 7.2 und im Bild 7.15 gegeben.

148Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleTabelle 7.2: Wesentliche Daten des TrägersStatisches System:Zweifeld-Durchlaufträger; symmetrisches statischunbestimmtes System; Spannweite 2 x 20 m;Symmetrischer Plattenbalken-Querschnitt;System A: ohne MomentenumlagerungSystem B: mit 11% MomentenumlagerungWerkstoffe:Beton: C40/50Betonstahl:Spannstahl:Hüllrohr:Vorspannverfahren:Vorspannart:BSt 500 S(B)Siebendrähtige Litzen, ∅ = 15,3 mmf pk = 1770 N/mm 2 f p0,1k = 1570 N/mm 2E p = 195 kN/mm 2Stahlblech, ∅ = 72 mmVorspannung mit nachträglichem VerbundSpannglied: Zwei Spannglieder aus 9 Litzen (A p = 2 x 12,6 cm 2 )Spanngliedführung:Reibungsbeiwert: µ = 0,21quadratische Parabelungewollter Umlenkwinkel:k = 0,3 °/mKeilschlupflänge:Vorspannkraft:∆l sl = 6 mmP 0 = 3500 kNVon beiden Spanngliedenden vorgespanntZeitpunkt des Vorspannnensund Verpressens der Hüllrohre: 28 Tage nach dem BetonierenZeitpunkt der Untersuchung:Umgebung:50 Tage nach dem BetonierenTrocken

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 149Bild 7.15 2. Beispiel: Symmetrischer Zweifeld-Durchlaufträger

150Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleBis zur 1. Rissbildung im Querschnitt über dem Zwischenauflager haben diebeiden Träger (A und B) identische Tragverhalten. Die Risslast der Querschnitteist infolge der unterschiedlichen Bewehrungsgehalte beim Träger A (64 kN/m)geringfügig anders als beim Träger B (62,2 kN/m). Diese überwiegend linearelastischen Verhalten sind unter größeren Lasten nicht mehr gegeben. Daherweichen die Durchbiegungen und die Schnittgrößen von den nach Elastizitätstheorieermittelten Werten weiter ab.Die Spannstahl- und Betonstahlbewehrung im Querschnitt über dem Zwischenauflagerbeim Träger B erreicht ihre Fließgrenze unter niedrigeren Lasten alsbeim Träger A, da der Bewehrungsgrad beim Träger B infolge vorgenommenerMomentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung kleiner ist. Nach demFließen der Bewehrungen bis zum Erreichen der rechnerischen Bruchlastenzeigen beide Träger noch stärkere nichtlinearen Tragverhalten auf. Die beidenTräger versagen durch Betondruckbruch im Querschnitt über den Zwischenauflagernunter fast gleichen maximalen Belastungen (118 kN/m beim TrägerA und 115 kN/m beim Träger B). Diese Lasten sind ca. 30 % (Träger A) bzw.27 % (Träger B) über den Bemessungswerten der Einwirkungen. Unter diesenrechnerischen Bruchlasten erreichen die Querschnitte im Mittelfeld sowohl beimTräger A als auch beim Träger B nicht ihre maximale Beanspruchbarkeit.Während die Spannstähle im Mittelfeldquerschnitt beim Träger B die Fließgrenzeüberschreiten, erreichen sie diese beim Träger A nicht.Obwohl die Querschnitte über dem Zwischenauflager den plastischen Zustanderreichen, bleibt die statische Unbestimmtheit der Träger erhalten. Die statischunbestimmten Momenteanteile infolge Vorspannung nehmen jedoch nach derRissbildung gegenüber den Werten aus der Berechnung nach der Elastizitäts-

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 151theorie ab. Diese Abweichungen sind nach dem Fliessen der Bewehrungendeutlicher und beim Träger B stärker als beim Träger A. Unter der rechnerischenBruchlast beträgt das statisch unbestimmte Biegemoment infolge Vorspannungim Querschnitt auf dem Mittelauflager ca. 94 % (Träger A) bzw. 88 % (TrägerB) der Werte aus der linear elastischen Berechnung.Die Durchbiegungen im Mittelfeld, die Biegemomente im Mittelfeld und überdem Zwischenlager sowie die Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomenteaus der Vorspannwirkung in Abhängigkeit der äußeren Lasten werden inden Bildern 7.16, 7.17 und 7.18 dargestellt.1402. Beispiel: Statisch unbestimmtes SystemLast-Durchbiegungsbeziehungen in der Feldmitte120Last g + q [kN/m]100806040System ASystem BE-Theorie200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Durchbiegung [mm]Bild 7.16 2. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger:Last-Durchbiegungsbeziehungen der Feldmitte für Träger A und Träger B

152Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele2. Beispiel: Statisch unbestimmtes SystemLast-Biegemomentbeziehungen (System A und B)12010080Last g+q [kN/m]60Feldmoment (E-Theorie)Stützmoment (E-Theorie)Feldmoment (Berechnung, System A)Stützmoment (Berechnung, System A)Feldmoment (Berechnung, System B)Stützmoment (Berechnung, System B)40200-7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000Biegemoment [kNm]Bild 7.17 2. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger:Last-Biegemomentbeziehungen für Träger A und Träger B3002. Beispiel: Statisch unbestimmtes SystemStatisch unbestimmte Momente inf. Vorspannung M p,ind ( System A und B)250200Mp,ind [kNm]150100Mp,ind (Stütze, System A)Mp,ind (Feld, System A)Mp,ind (Feld, System B)Mp,ind (Stütze, System B)Mp,ind (Feld, E-Theorie)Mp,ind (Stütze, E-Theorie)5000 20 40 60 80 100 120 140Last g+q [kN/m]Bild 7.18 2. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger:Statisch unbestimmtes Biegemoment infolge Vorspannung für Träger A und Träger B

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 1537.2.4 Unsymmetrischer Zweifeld-DurchlaufträgerEin unsymmetrischer Durchlaufträger mit zwei Feldern ist zu untersuchen. DerTräger hat eine symmetrische Querschnittsform für die ganze Trägerlänge. DieQuerschnitte des Trägers werden mit Schnittgrößen aus der Berechnung nachder Elastizitätstheorie ohne Momentenumlagerung bemessen. Weitere Hinweisesind der Tabelle 7.3 und dem Bild 7.19 zu entnehmen.Tabelle 7.3: Wesentliche Daten des TrägersStatisches System:Zweifeld-Durchlaufträger; unsymmetrischesstatisch unbestimmtes System; Spannweite 20 m(links) und 12 m (rechts); Symmetrischer I-Querschnitt.Werkstoffe:Beton: C45/55Betonstahl:BSt 500 S(B)Spannstahl:Spannstahldraht ∅ = 5 mmf pk = 1770 N/mm 2 f p0,1k = 1570 N/mm 2E p = 200 kN/mm 2Hüllrohr:Stahlblech, ∅ = 82 mmVorspannverfahren:Vorspannart:Vorspannung mit nachträglichem VerbundSpannglied: Ein Spannglied mit 80 Drähten (A p = 16 cm 2 )Spanngliedführung:quadratische ParabelReibungsbeiwert: µ = 0,20ungewollter Umlenkwinkel: k = 0,3 °/mKeilschlupflänge:∆l sl = 2 mmVorspannkraft:P 0 = 2100 kNVon beiden Spanngliedenden vorgespannt.Zeitpunkt des Vorspannnensund Verpressens der Hüllrohre: 28 Tage nach dem BetonierenZeitpunkt der Untersuchung: 35 Tage nach dem BetonierenUmgebung:Trocken

154Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / AnwendungsbeispieleBild 7.19 3. Beispiel: Unsymmetrischer Zweifeld-DurchlaufträgerVor der Rissbildung verhält sich der Träger nahezu linear-elastisch. Da dieQuerschnitte im Mittelfeld und über dem Mittelauflager fast gleiche Eigenschaftenhaben, erreichen diese kaum unterschiedliche Rissmomente (M Riss,Feld-L= 1225 kNm erreicht unter der äußeren Last 55,9 kN/m; M Riss,Aufl = 1158 kNmerreicht unter der äußeren Last 53,4 kN/m).Die Schnittgrößenumlagerung von den Querschnitten über dem Zwischenlagerzu den Querschnitten im linken Mittelfeld bzw. in umgekehrter Richtung findetnur wenig statt, weil die Querschnitte in beiden Bereichen unter fast gleichenLastniveau in den gerissenen Zustand und dann in den plastischen Zustandgelangen.

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 155Die rechnerische Bruchlast von 92,3 kN/m wird beim Betondruckbruchversagenim Querschnitt im linken Mittelfeld erreicht. Während die Querschnitte über demZwischenauflager den plastischen Zustand erreichen, befinden sich die Querschnitteim rechten Mittelfeld noch im ungerissenen Zustand.Die statisch unbestimmten Biegemomentanteile aus Vorspannwirkung entwickelnsich bis zur Rissbildung nahezu linear. Obwohl diese im Querschnitt überdem Zwischenlager geringfügig zunehmen, vermindern sie sich unter der Lastenoberhalb der Risslasten wieder. Nach dem Erreichen der plastischen Zuständein den Querschnitten im linken Mittelfeld und über dem Zwischenlager nehmendie Momente noch stärker weiter ab.1003. Beispiel: Statisch unbestimmtes SystemLast-Durchbiegungsbeziehungen80Last g+q [kN/m]604020Mittelfeld-Links (E-Theorie)Mittelfeld-Rechts (E-Theorie)Mittelfeld-Rechts (Berechnung)Mittelfeld-Links (Berechnung)0-50 0 50 100 150 200 250 300Durchbiegung [mm]Bild 7.20 3. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger:Last-Durchbiegungsbeziehungen der linken und rechten Feldmitte

156Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele3. Beispiel: Statisch unbestimmtes SystemLast-Biegemomentbeziehungen1009080706050Last g+q [kN/m]40Feldmoment-Links (E-Theorie)Stützmoment (E-Theorie)Feldmoment-Rechts (E-Theorie)Stützmoments (Berechnung)Feldmoment-Links (Berechnung)Feldmoment-Rechts (Berechnung)3020100-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000Biegemoment [kNm]Bild 7.213. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger: Last-BiegemomentbeziehungenBild 7.22 3. Beispiel - Zweifeld-Durchlaufträger:Statisch unbestimmtes Biegemoment infolge Vorspannung

Nachrechnung experimenteller Untersuchungen / Anwendungsbeispiele 1577.2.5 ZusammenfassungMit den Beispielen wird gezeigt, dass das entwickelte Berechnungsmodell sicheignet, um die Momentenumlagerung sowie die Entwicklung der statischunbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung bei Spannbetondurchlaufträgernbis zum rechnerischen Bruchzustand zu untersuchen. Im folgendenKapitel wird das Modell für Parameteruntersuchungen angewandt und dieErgebnisse werden beschrieben und diskutiert.

158Numerische Untersuchungen8 Numerische Untersuchungen8.1 Übersicht der untersuchten SystemeDie Untersuchungen werden überwiegend an einfach statisch unbestimmtensymmetrischen Zweifeldträgern durchgeführt. Die Träger werden mit einerparabolischen Spanngliedführung vorgespannt und mit einer Gleichlast ausEigengewicht sowie Verkehrslast belastet. Es wird angenommen, dass dasEigengewicht bei der Einbringung der Vorspannung voll wirksam wird. DieVerkehrslast wird danach inkrementell aufgebracht, bis der rechnerische Bruchzustanderreicht ist. Die untersuchten Träger werden mit den Bemessungswertender Einwirkungen bemessen, die nach linear-elastischer Schnittgrößenberechnungmit oder ohne anschließender Momentenumlagerung ermittelt werden.An den Trägern der Serie A werden Untersuchungen von Einflüssen der vorgenommenenMomentenumlagerung bei der Bemessung (∆M uml ) auf die Entwicklungdes statisch unbestimmten Biegemomentanteils infolge Vorspannung (M p,ind )durchgeführt. Hier werden das Eigengewicht und das Moment M p,ind konstantgehalten. Diese sind durch gleiche Spannweite, Spanngliedführung und Vorspannkraftrealisiert. Die Momentenumlagerung bei der Bemessung wird von0 % bis zur für den Träger maximal zugelassenen Umlagerung variiert. Eineigener Rotationsnachweis ist in diesen Fällen nicht notwendig, da der Grenzwertder bezogenen Druckzonenhöhe x d /d stets eingehalten wird. Es wird hier fürRechteck-, Plattenbalken- und I-Querschnitte untersucht. Zur Beobachtung derEinflüsse der Betonfestigkeit werden unterschiedliche Betongüten für den I-Querschnitt verwendet.

Numerische Untersuchungen 159Bei den Trägern der Serie B werden die Einflüsse des vorhandenen statischunbestimmten Biegemomentanteils infolge Vorspannung M p,ind auf die sicheinstellende Momentenumlagerung untersucht. Bei konstant gehaltenem Eigengewicht,Spannweite und Vorspannkraft wird die Spanngliedführung variiert, sodass sich unterschiedliche statisch unbestimmte Biegemomentanteile infolge VorspannungM p,ind ergeben. Es wird für das Moment M p,ind = 0 ( konkordanteSpanngliedführung) bis zum für jeden Träger maximal möglichen Moment M p,induntersucht. Ähnlich wie bei der Serie A werden hier Untersuchungen für verschiedeneQuerschnittsformen und Betonfestigkeiten durchgeführt.Sowohl bei der Serie A als auch bei der Serie B wird die tatsächliche Entwicklungdes Moments M p,ind und die sich einstellende Momentenumlagerung ∆M uml biszum rechnerischen Bruchzustand beobachtet.In der Tabelle 8.1 werden die verschiedenen Systeme der Serie A und B dargestellt.Die genauere Beschreibung und Darstellung der untersuchten Systemebefinden sich im Anhang B.

160Numerische UntersuchungenTabelle 8.1 Kurzbeschreibung der untersuchten SystemeSerie ASerie Querschnitt Beton vorgenommene MomentenumlagerungA-1 Rechteck C 35/45A-2 I-Querschnitt C 35/45A-1-1 A-1-2 A-1-3 A-1-40 % 10 % 20 % 25 % (max)A-2-1 A-2-2 A-2-3 A-2-40 % 10 % 20 % 27,5 % (max)A-3PlattenbalkenC 35/45A-3-1 A-3-2 A-3-3 -0 % 10 % 12 % (max) -A-4 I-Querschnitt C 25/35A-4-1 A-4-2 - -0 % 5,3 % (max) - -A-5 I-Querschnitt C 50/60A-5-1 A-5-2 A-5-3 A-5-40 % 10 % 20 % 30 % (max)Serie BSerie Querschnitt Beton vorh. stat. unbest. Anteil inf. Vorspannung (M p,ind )B-1 Rechteck C 35/45B-2 I-Querschnitt C 35/45B-1-1 B-1-2 B-1-3 B-1-4Null Klein Mittel GroßB-2-1 B-2-2 B-2-3 B-2-4Null Klein Mittel GroßB-3PlattenbalkenC 35/45B-3-1 B-3-2 B-3-3 B-3-4Null Klein Mittel GroßB-4 I-Querschnitt C 25/35B-5 I-Querschnitt C 50/60B-4-1 B-4-2 B-4-3 B-4-4Null Klein Mittel GroßB-5-1 B-5-2 B-5-3 B-5-4Null Klein Mittel Groß

Numerische Untersuchungen 1618.2 Auswertung der Ergebnisse für die einzelnen Systeme8.2.1 AllgemeinesBei Spannbeton-Durchlaufträgern werden in der Regel die Stützmomente durchdie entgegenwirkenden Momente aus Vorspannung und vor allem durch denstatisch unbestimmten Momentanteil abgemindert. Dies führt bereits schon imGebrauchzustand zu einer gleichmäßigeren Beanspruchung der Träger; eineEigenschaft, die durch die Ausnutzung der Schnittgrößenumlagerung im Grenzzustandder Tragfähigkeit angestrebt wird. Im Vergleich zum Stahlbetonträgererreicht ein Spannbetondurchlaufträger damit einen geringeren Umlagerungsgrad.Bei Spannbetonträgern mit großem Vorspanngrad (nach alter Bezeichnung:beschränkte bzw. volle Vorspannung) ist der Umlagerungsgrad durch dievorhandene große Vorspannkraft auch kleiner, da die Querschnitte nur eine kleineRotationsfähigkeit besitzen und die Betondruckzone die Bruchdehnung zuersterreicht, bevor der Beton- und Spannstahl im Zugbereich seine plastischenEigenschaften ausnutzen kann.Die hier verwendete Bezeichnung ‘Momentenumlagerung’ stellt keine Schnittgrößenumlagerungim mechanischen Sinne dar. Diese beschreibt lediglich eineAbweichung der tatsächlichen von der nach der Elastizitätstheorie ermitteltenSchnittgrößenverteilung.Im Bild 8.1 wird ein typischer Verlauf der Momentenumlagerung bei Spannbetondurchlaufträgernqualitativ gezeigt. Der Träger befindet sich zunächst imungerissenen Zustand (Bereich A-B). Im Vergleich zum Stahlbetonträger ist

162Numerische UntersuchungenBild 8.1 Typischer Verlauf der Momentenumlagerung bei Spannbetondurchlaufträgern

Numerische Untersuchungen 163dieser Zustand länger und das Rissmoment setzt erst bei höherer Last ein. DieSchnittgrößenentwicklung stimmt mit der nach der Elastizitätstheorie ermitteltenüberein und es findet keine Schnittgrößenumlagerung statt. Infolge des statischunbestimmten Momentenanteils aus Vorspannung M p,ind liegt eine gleichmässigereMomentenverteilung im Gebrauchszustand vor.Mit ansteigender Belastung beginnt die Rissbildung im stärker beanspruchtenBereich, i. d. R. im Mittelstützbereich. Bei weiterer Laststeigerung ergibt sichein Steifigkeitsabfall im Stützbereich und das Stützmoment steigt langsamer alsnach der Elastizitätstheorie. Dagegen nimmt das Feldmoment schneller zu(Bereich B-C). Es findet eine ‘Momentenumlagerung’ vom Stütz- in den Feldbereichstatt. Bei Spannbetonträgern ist dieser Vorgang aber weniger ausgeprägt,da die gleichmässigere Beanspruchung zwischen dem Stütz- und dem Feldbereichzu fast gleichzeitigem Erreichen des Rissmomentes in den beiden Bereichen führt.Mit der Rissbildung im Feldbereich (Bereich C-D) bei weiterer Belastung nähertsich das Steifigkeitsverhältnis zwischen Stütz- und Feldbereich ihrem ursprünglichenWert. Der Momentenumlagerungsgrad vom Stütz- in den Feldbereichnimmt ab bzw. es findet eine Momentenumlagerung vom Feld- in den Stützbereichstatt.Abhängig von der Bewehrungszulage und -verteilung findet das Fließen derBewehrung bei weiterer Laststeigerung (Bereich D-E) zuerst im stärker beanspruchtenBereich (i. d. R. im Stützbereich) statt. Es ergibt sich erneut einerelative Steifigkeitsabnahme im Stützbereich und dadurch nimmt der Momentenumlagerungsgradvom Stütz- in den Feldbereich wieder zu. Der erreichte

164Numerische UntersuchungenUmlagerungsgrad beim Spannbetondurchlaufträger ist durch die Einflüsse vomM p,ind und von der Normalkraft aus der Vorspannung zum Vergleich mit demStahlbetonträger kleiner.Nach dem Erreichen der Systemtraglast (Punkt E) ist eine weitere Laststeigerungnicht mehr möglich. Das Versagen des Trägers wird entweder durch die Bildungeiner kinematischen Kette (Kapazitätsproblem; Erreichen des Fließmoments imFeldbereich bei ausreichender Verformungsfähigkeit des Stützbereichs) oderdurch das Erreichen der Verformungsgrenze des Stützbereichs vor der Ausnutzungder Tragkapazität des Feldbereichs (Verformungsproblem) verursacht.Die Ergebnisse der untersuchten Systeme werden in diesem Abschnitt diskutiertund auszugweise dargestellt bzw. verglichen. Die vollständigen Ergebnisse derUntersuchungen werden grafisch im Anhang C wiedergegeben.8.2.2 Die Systeme der Serie ADie Balken der Serie A sind symmetrische Zweifeldträger mit rechteckigen I -und Plattenbalken-Querschnittsformen. Die Träger werden mit einer symmetrischenparabelförmigen Spanngliedführung vorgespannt und mit einer Gleichlastaus Eigengewicht und Verkehrslast belastet. Die zusätzliche erforderlicheBetonstahlbewehrung wird dem Momentverlauf aus der linear elastischenSchnittgrößenberechnung (ohne oder mit anschliessender Momentenenumlagerung)entsprechend ermittelt und angeordnet. Der maximale für diese Systemezugelassene Momentenumlagerungsgrad beträgt zwischen 5,3 % beim TrägerA-4-2 bis 30 % beim Träger A-5-4 (s.Tabelle 8.1 bzw. Anhang B).

Numerische Untersuchungen 165Als Beispiel werden die Berechnungsergebnisse für die Biegemomente, dieMomentenumlagerung und die statisch unbestimmte Biegemomentanteile infolgeVorspannung M p,ind vom Träger A-1-4 im Bild 8.2 grafisch dargestellt. Dievollständigen Ergebnisse für alle Systeme werden im Anhang C wiedergegeben.Im Bild 8.3 sind die Einflüsse der vorgenommenen Momentenumlagerung beider Querschnittsbemessung auf die Entwicklung des statisch unbestimmtenBiegemomentenanteils infolge Vorspannung M p,ind zu sehen. Nach der Rissbildungim Stützbereich weicht der Verlauf des Moments M p,ind von dem nachder Elastizitätstheorie ab. Das Moment M p,ind nimmt bei weiterer Belastung biszum rechnerischen Bruchzustand weiter ab. Nach dem Fließen der Bewehrungim Stützbereich ist die Abnahme stärker. Ohne vorgenommene Momentenumlagerungbei der Querschnittsbemessung beträgt die Abnahme des statischunbestimmten Momentenanteils infolge Vorspannung M p,ind bei den Trägern A-1(Rechteckquerschnitt, Beton C35/45) 8,5 % im Stütz- und 6,9 % im Feldbereich,während bei maximal vorgenommener Momentenumlagerung von 25 % dieMomentenabnahme 14,4 % bzw. 9,6 % erreicht.Das Bild 8.4 zeigt die Verläufe der Biegemomente im Stütz- und Feldbereich vonden Trägern A-1. Die tatsächlich auftretende Momentenumlagerung ist hier nichtbesonders groß, obwohl die Bemessungsmomente bei der Querschnittsbemessungim Stützbereich bewusst abgemindert werden. Ohne die vorgenommene Momentenabminderungbei der Bemessung beträgt die tatsächliche Momentenumlagerungnur ca. 7 % im Stütz- und fast 4 % im Feldbereich, während bei der maximalmöglichen Momentenabminderung von 25 % die tatsächlich auftretende Momentenumlagerung13 % bzw. 6,5 % erreicht wird.

166Numerische UntersuchungenLast - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]M F,EL50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NL-2000M F,NL = Feldmomente aus der nichtlinearen BerechnungM S,NL = Stützmomente aus der nichtlinearen BerechnungM F,EL = Feldmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieM S,EL = Stützmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieM S,EL-25008%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%-14%M uml.,F = Umlagerungsgrad der FeldmomenteM uml.,S = Umlagerungsgrad der Stützmomente160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung M p,ind.140M p,ind.,S120100Mp,ind. [kNm]8060M p,ind.,F4020M p,ind.,F = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung im MittelfeldM p,ind.,S = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung auf dem Zw ischenauflager00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]Bild 8.2 Berechnungsergebnisse der Träger A-1-4

Numerische Untersuchungen 1672%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%-10%-12%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)-14%25% (A-1-4)-16%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%{M p,ind.NL- M p,ind.E-Th} / {M p,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)-10%25% (A-1-4)-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]Bild 8.3 Verlauf der bez. Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereich der Träger A-1Umlagerung der Biegemomente8%6%4%2%0%-2%-4%-6%-8%-10%-12%Momentenumlagerung in den Trägern A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)FeldZwischenauflager25% (A-1-4)20% (A-1-3)10% (A-1-2)Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)25% (A-1-4)0% (A-1-1)-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]Bild 8.4 Momentenumlagerung im Stütz- und Feldbereich der Träger A-1

168Numerische UntersuchungenDie Verläufe der Momente M p,ind und der Momentenumlagerung ∆M uml bei denTrägern A-2 bis A-5 sind ähnlich wie bei den oben dargestellten Trägern A-1 (s.Anhang C). Bei den Trägern A-3 (Platenbalkenquerschnitt) bleibt der ungerisseneZustand durch die vergleichweise größere Zugzone im Stützbereich länger alsbei den anderen Querschnittsformen bestehen. Ebenso ist dieser Zustand bei denTrägern mit höherer Betonfestigkeit (z. B. Träger A-5, I-Balken mit Beton C50/60) auch zu beobachten.Das Bild 8.5 zeigt den Vergleich für den Biegemomentenverlauf und die Entwicklungdes Moments M p,ind bis zum rechnerischen Bruchzustand bei der Verwendungvon unterschiedlichen Querschnittsformen. Durch die größere Zugzone imStützbereich erreicht der Plattenbalken (Träger Serie A-3) die ersten Risse beider Belastung von 23,7 kN/m, während der Beginn der Rissbildung für die Trägermit Rechteck- (Träger Serie A-1) und I-Querschnitte (Träger Serie A-2) schonbei niedrigeren Werte auftritt (21,2 kN/m bzw. 22,8 kN/m). Es ist zu beobachten,dass bei dem Plattenbalken sowohl die tatsächlich auftretende Momentenumlagerungals auch die Abnahme des Moments M p,ind kleiner ist als bei denTrägern mit dem Rechteck- und I-Querschnitt. Dies ist durch die kleinereRotationsfähigkeit der Plattenbalkenquerschnitte im Grenzzustand der Tragfähigkeitzurückzuführen. Als Beispiel S wie im Bild 8.5 gezeigt S erreicht derPlattenbalken im rechnerischen Bruchzustand die Momentenumlagerung von5,5 % und die Abnahme des Moments M p,ind von 7,0 %, während diese Werte fürden Träger mit dem Rechteckquerschnitt 7,0 % bzw. 8,5 % und mit dem I-Querschnitt 6,3 % und 7,4 % betragen. Die erreichten rechnerischen Bruchlastenhaben aber für alle Träger keinen großen Unterschied.

Numerische Untersuchungen 1696%Momentenumlagerung in den Trägern Serie A - Vergleich nach der Querschnittsform(Träger A-1-1, A-2-1, A-3-1: Beton C35/45, 0% Abminderung der Stützmomente)4%FeldRechteck-Querschnitt (A-1-1)Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%ZwischenauflagerI-Querschnitt (A-2-1)Plattenbalken (A-3-1)Plattenbalken (A-3-1)I-Querschnitt(A-2-1)Rechteck-Querschnitt (A-1-1)-8%-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung über dem Zwischenauflager(Träger A-1-1, A-2-1, A-3-1: Beton C35/45, 0% Abminderung der Stützmomente)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%Plattenbalken (A-3-1)-8%I-Querschnitt (A-2-1)Rechteck-Querschnitt (A-1-1)-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung im Feld(Träger A-1-1, A-2-1, A-3-1: Beton C35/45, 0% Abminderung der Stützmomente)0%{M p,ind.NL- M p,ind.E-Th} / {M p,ind.E-Th}-2%-4%-6%Plattenbalken (A-3-1)I-Querschnitt (A-2-1)Rechteck-Querschnitt (A-1-1)-8%-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]Bild 8.5Momentenumlagerung und Verlauf der Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereichder Träger Serie A für verschiedene Querschnittsformen

170Numerische UntersuchungenMomentenumlagerung in den Trägern Serie A - Vergleich nach der Betonfestigkeit(Träger A-2-1, A-4-1, A-5-1: I-Querschnitt, 0% Abminderung der Stützmomente)6%4%FeldBeton C25/30 (A-4-1)Beton C35/45 (A-2-1)Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%ZwischenauflagerBeton C50/60 (A-5-1)Beton C50/60 (A-5-1)-6%Beton C35/45 (A-2-1)-8%Beton C25/30 (A-4-1)-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung über dem Zwischenauflager(Träger A-2-1, A-4-1, A-5-1: I-Querschnitt, 0% Abminderung der Stützmomente)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%Beton C50/60 (A-5-1)-8%Beton C25/30 (A-4-1)Beton C35/45 (A-2-1)-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung im Feld(Träger A-2-1, A-4-1, A-5-1: I-Querschnitt, 0% Abminderung der Stützmomente)0%{M p,ind.NL- M p,ind.E-Th} / {M p,ind.E-Th}-2%-4%-6%Beton C25/30 (A-4-1)Beton C50/60 (A-5-1)Beton C35/45 (A-2-1)-8%-10%0 10 20 30 40 50 60 70Last g+q [kN/m]Bild 8.6Momentenumlagerung und Verlauf der Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereichder Träger Serie A für verschiedene Betonfestigkeiten

Numerische Untersuchungen 171Bei der Verwendung von verschiedenen Betonfestigkeiten ist zu beobachten (s.Bild 8.6), dass die auftretende Momentenumlagerung und die Entwicklung desstatisch unbestimmten Biegemomentanteils infolge Vorspannung von derBetonfestigkeit beeinflusst werden. Wie im Kapitel 4 gezeigt, haben niedrigereBetongüten zwar eine kleinere Druck- und Zugfestigkeit, aber grössere Dehnfähigkeit.Dagegen verhalten die Betone mit höherer Festigkeit sich spröder undhaben weniger Dehnfähigkeit unter Druckbeanspruchung. Die unterschiedlicheBetonzugfestigkeit zeigt keinen grossen Einfluss auf das Erreichen der Risslast(21,6 kN/m beim Beton C 25/30; 22,2 kN/m beim Beton C 35/45; 22,8 kN/mbeim Beton C 50/60). Die verwendete Betonfestigkeit zeigt aber ihre Auswirkungenin der Momentenumlagerung sowie in der Entwicklung des MomentsM p,ind . Während beim Träger A-4-1 (Beton C25/30) die tatsächliche Momentenumlagerungdie Werte von 7,5 % und die Abnahme des Moments M p,ind von 9,1%erreichen, betragen diese Werte für den Träger A-5-1 (Beton C50/60) nur 5,8%bzw. 7,4%. Entsprechend seiner Festigkeit erreicht der Träger mit höhererBetongüte aber eine größere Bruchlast. Die rechnerische Bruchlast des TrägersA-5-1 (Beton C50/60) beträgt 61,6 kN/m, die des Trägers A-4-1 (Beton C25/30)beträgt nur 47,8 kN/m.Es ist in den Untersuchungen der Träger Serie A zu beobachten, dass die größerevorgenommene Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung nurgeringen Einfluss auf die tatsächlich sich einstellende Momentenumlagerung hat.Eine Abminderung des Bemessungsmoments im Stützbereich und ein großesVerformungsvermögen des Querschnitts sind nicht mit einer großen realisierbarenMomentenumlagerung gleichzusetzen. Da Spannbetontragwerke i. d. R. nur einebegrenzte Verformungsfähigkeit besitzen, ist eine Bildung von kinematischen

172Numerische UntersuchungenKetten durch volle Plastifizierung der Feld- und Stützbereiche nur unter bestimmtenBedingungen möglich. Für Spannbetondurchlaufträger ist dadurch eineUmwandlung von einem statisch unbestimmten in ein statisch bestimmtes Systemim rechnerischen Bruchzustand i. d. R. nicht möglich. Im Grenzzustand derTragfähigkeit ist der statisch unbestimmte Biegemomentanteil infolge Vorspannung(M p,ind ) trotz abgeminderter Werte noch vorhanden, unabhängig, obbei der Bemessung eine Momentenumlagerung vorgenommen wird oder nicht.Es ist auch zu beachten, dass eine zu groß vorgenommene Momentenumlagerungbei der Bemessung von Spannbetontragwerken erhebliche Einflüsse im Grenzzustandder Gebrauchstauglichkeit bewirkt. Eine Abminderung des Stützmomentsbei der Bemessung führt zu einer anderen Bewehrungsmenge und -verteilung. Eine geringere Druckbewehrung bedeutet eine kleinere äquivalenteFläche, um die Druckkraft in der Druckzone aufzunehmen. Dies könnte einegrößere Druckspannung im Beton zufolge haben, die ein stärkeres Kriechen desBetons hervorruft und dadurch größere Spannkraftverluste verursacht. Andererseitswirkt sich eine geringere Zugbewehrung nachteilig auf das Rissverhaltendes Tragwerks im Gebrauchzustand aus. In Spannbetontragwerken sind dieRissbreiten wegen der Korrosionsgefahr des Spannstahls stärker beschränkt alsbei Stahlbetontragwerken.

Numerische Untersuchungen 1738.2.3 Die Systeme der Serie BÄhnlich wie bei den Trägern der Serie A haben die Träger der Serie B einensymmetrischen parabelförmigen Spanngliedverlauf. Die Träger sind symmetrischeZweifelddurchlaufträger mit Rechteck-, I- und Plattenbalken-Querschnittenund durch eine Gleichlast aus Eigengewicht sowie Verkehrslast belastet. DieSpanngliedführung wird für jeden Träger variiert, so dass ein statisch unbestimmterMomentanteil infolge Vorspannung M p,ind von Null bis zum für den Trägermaximal möglichen Wert (M p,ind max ) auftritt. Für M p,ind = 0 wird eine zentrischeSpanngliedführung gewählt. In den Kategorien kleine und mittlere Werte desMoments M p,ind werden Spanngliedführungen ausgewählt, die das Moment M p,indzwischen 5 S 10 % bzw. 50 S 60 % der M p,ind max ergeben.Stellvertretend werden die Berechnungsergebnisse für die Träger B-1-1 (mit M p,ind= 0) und B-1-4 (mit M p,ind max ) im Bild 8.7 und 8.8 grafisch dargestellt. Dievollständige Darstellung der Berechnungsergebnisse für alle Träger der Serie Bist im Anhang C wiedergegeben.Die Träger der Systeme B-1 sind symmetrische Zweifeldträger mit Rechteckquerschnittund der Betonfestigkeit C35/45. Bei dem Träger mit der zentrischenSpanngliedführung (B-1-1) reicht die festgelegte Vorspannkraft nicht aus, umeinen überdrückten Querschnitt zu erzeugen. Selbst unter dem Eigengewicht wirddie Zugfestigkeit im Stützbereich leicht überschritten; dort beginnt dann dieRissbildung. Dadurch weicht die Schnittgrößenverteilung von der nach derElastizitätstheorie schon in diesem Zustand ab.

174Numerische Untersuchungen2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NLBiegemomente [kNm]10005000-500M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000-2500-3000M F,NL = Feldmomente aus der nichtlinearen BerechnungM S,NL = Stützmomente aus der nichtlinearen BerechnungM F,EL = Feldmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieM S,EL = Stützmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieM S,EL8%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%M uml.,F = Umlagerungsgrad der FeldmomenteM uml.,S = Umlagerungsgrad der Stützmomente4Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung Mp,ind.321M p,ind.,SMp,ind. [kNm]M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55-1-2-3-4Mp,ind.,F = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung im MittelfeldMp,ind.,S = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung auf dem ZwischenauflagerLast g + q [kN/m]Bild 8.7 Berechnungsergebnisse der Träger B-1-1

Numerische Untersuchungen 1752000Last - Biegemomentbeziehungen15001000Biegemomente [kNm]5000-500M F,NLM S,NLM F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000-2500-3000MF,NL = Feldmomente aus der nichtlinearen BerechnungMS,NL = Stützmomente aus der nichtlinearen BerechnungMF,EL = Feldmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieMS,EL = Stützmomente aus der Berechnung nach der ElastizitätstheorieM S,EL8%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%Muml.,F = Umlagerungsgrad der FeldmomenteMuml.,S = Umlagerungsgrad der Stützmomente600Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung Mp,ind.500M p,ind.,S400Mp,ind. [kNm]300200M p,ind.,F100Mp,ind.,F = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung im MittelfeldMp,ind.,S = Stat. unbestimmte Biegemomentanteile inf. Vorspannung auf dem Zwischenauflager00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]Bild 8.8 Berechnungsergebnisse der Träger B-1-4

176Numerische UntersuchungenObwohl im Träger B-1-1 theoretisch kein statisch unbestimmter Momentanteilinfolge Vorspannung M p,ind auftreten kann, sind kleine Werte von M p,ind imVerlauf der Lastgeschichte zu beobachten. Diese sind auf durch die Rissbildunghervorgerufene Verschiebungen der Querschnittsschwerpunkte und Änderungender Steifigkeitsverhältnisse zwischen der verschiedenen Bereichen im Trägerzurückzuführen. Beim Träger B-1-1 wird das Fließen der Bewehrung zuerst imStützbereich erreicht, wo dort das Moment schneller zunimmt als im Feldbereich.Im Vergleich mit anderen Trägern kann der Träger durch eine relativ großeerforderliche Bewehrungszulage eine bemerkbare Momentenumlagerungerreichen (s. Bild 8.9).Bei anderen Trägern mit M p,ind ≠ 0 vom System B-1 bleiben die Querschnittesowohl im Feld- als auch Stützbereich zunächst in ungerissenem Zustand. Es isterkennbar, dass der Momentenumlagerungsgrad bei den Trägern mit größeremMoment M p,ind kleiner ist als bei den Trägern mit kleinerem Moment M p,ind (s. Bild8.9). Durch das große M p,ind wird die Verteilung der Beanspruchung in Spannbetondurchlaufträgernsogar schon im Lastniveau des Gebrauchszustandsgleichmäßiger. Dadurch werden die Rissmomente bzw. Fließen der Bewehrungim Stütz- und Feldbereich auf fast gleicher Laststufe erreicht. Der Umlagerungsgradim Stützbereich beim Träger B-1-2 (kleines M p,ind ) beträgt 10,9 %, währendbeim Träger B-1-3 (mittleres M p,ind ) der Wert 8,2 % und beim Träger B-1-4(großes M p,ind ) nur der Wert 5,8 % erreicht wird. Wie schon in den Trägern derSerie A zu sehen ist, nehmen die statisch unbestimmten Momentenanteile infolgeVorspannung M p,ind hier in den Trägern der Serie B mit steigender Belastung ab(s. Bild 8.10). Die Abnahme ist, wie auch von den Trägern der Serie A schonbekannt, vom tatsächlichen Momentenumlagerungsgrad abhängig.

Numerische Untersuchungen 1778%Momentenumlagerung in den Trägern B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%-2%-4%FeldNullmittelgrosskleinBei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:-6%-8%-10%ZwischenauflagerNullgrossmittelklein-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]Bild 8.9 Momentenumlagerung im Stütz- und Feldbereich der Träger B-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%-10%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]0%-2%-4%-6%-8%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-10%-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]Bild 8.10 Verlauf der Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereich der Träger B-1

178Numerische UntersuchungenDas Verhalten der Träger in den Systemen B-2 bis B-4 ist vergleichweise ähnlichwie beim System B-1. Ausnahmen sind nur beim Träger B-3-1 (Plattenbalken-Querschnitt, Beton C 35/45) und beim Träger B-5-1 (I-Querschnitt, BetonC50/60). Hier ist durch die größere bzw. stärkere Zugzone im Stützbereich dieBetonzugfestigkeit unter dem Eigengewicht nicht überschritten und daher bleibendie Querschnitte noch im ungerissenen Zustand.In den grafischen Darstellungen der Berechnungsergebnisse ist auch gezeigt, dassdie Risslasten für die verschiedenen Momente M p,ind (d. h. verschiedene Spanngliedlage)bei einem System (z. B. System B-1, s. Bild 8.10) unterschiedlich sind.Die Lage der Spannglieder beeinflussen die Spannungsverteilung im Querschnittunter Gebrauchslastniveau. Dadurch beginnt die Rissbildung in unterschiedlichenLaststufen.Um die Einflüsse der Anwendung verschiedener Querschnittsformen zu untersuchen,werden Träger mit der Betonfestigkeitsklasse C35/45 für Rechteck-(System B-1), I- (System B-2) und Plattenbalken-Querschnitt (System B-3)berechnet. Ein Vergleich der Ergebnisse für die Träger mit mittlerem MomentM p,ind zeigt das Bild 8.11. Anschließend wird der Ergebnisvergleich für dieunterschiedlichen Betonfestigkeitsklassen bei den Trägern mit dem I-Querschnitt(Systeme B-2, B-4 und B-5) im Bild 8.12 dargestellt. Die Verläufe der Diagrammesind im Allgemeinen denen der Träger der Serie A sehr ähnlich. Es wirdnochmal bestätigt, dass sich durch die größere Zugzone (System B-3,Plattenbalken-Querschnitt) bzw. die stärkere Zugzone (System B-5, BetonC50/60) die Träger länger in ungerissenem Zustand befinden. Dagegen ist diewirkliche Momentenumlagerung und die Abnahme des Moments M p,ind in diesenTrägern kleiner, wie es bei den Trägern der Serie A auch schon zu erkennen ist.

Numerische Untersuchungen 179Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%-2%-4%Momentenumlagerung in den Trägern Serie B - Vergleich nach der Querschnittsform(Träger B-1-3, B-2-3, B-3-3: Beton C35/45; Mp,ind.= Mittel)FeldRechteck-QuerschnittI-QuerschnittPlattenbalken-Querschnitt-6%-8%ZwischenauflagerI-QuerschnittPlattenbalken-QuerschnittRechteck-Querschnitt-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung über dem Zwischenauflager(Träger B-1-3, B-2-3, B-3-3: Beton C35/45; Mp,ind.=Mittel)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%-10%Plattenbalken-QuerschnittI-QuerschnittRechteck-Querschnitt-12%2%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung im Feld(Träger B-1-3, B-2-3, B-3-3: Beton C35/45; Mp,ind.=Mittel)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%Plattenbalken-QuerschnittI-QuerschnittRechteck-Querschnitt-10%-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]Bild 8.11Momentenumlagerung und Verlauf der Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereichder Träger Serie B für verschiedene Querschnittsformen

180Numerische UntersuchungenUmlagerung der Biegemomente6%4%2%0%-2%-4%-6%-8%Momentenumlagerung in den Trägern Serie B - Vergleich nach der Betonfestigkeit(Träger B-2-3, B-4-3, B-5-3: I-Träger; Mp,ind.= Mittel)FeldZwischenauflagerBeton C25/30Beton C25/30Beton C35/45Beton C50/60Beton C50/60Beton C35/45-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung über dem Zwischenauflager(Träger B-2-3, B-4-3, B-5-3: I-Träger, Mp,ind.= Mittel)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%Beton C50/60-10%Beton C25/30Beton C35/45-12%2%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannung im Feld(Träger B-2-3, B-4-3, B-5-3: I-Träger; Mp,ind.= Mittel)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%Beton C25/30Beton C50/60Beton C35/45-10%-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]Bild 8.12Momentenumlagerung und Verlauf der Momente M p,ind im Stütz- und Feldbereichder Träger Serie B für verschiedene Betonfestigkeiten

Numerische Untersuchungen 1818.3 Zusammenfassung und Folgerungenaus den UntersuchungenIm Allgemeinen ist bei den Trägern der Serie A zu beobachten, dass die Abnahmedes statisch unbestimmten Biegemomentenanteils infolge Vorspannung M p,indim rechnerischen Bruchzustand größer ist, je größer die vorgenommene Momentenumlagerungbei der Querschnittsbemessung ist. Dieser Abnahmegrad ist inder Größenordnung von oder leicht größer als die sich tatsächlich einstellendeMomentenumlagerung. Selbst die sich tatsächlich einstellende Momentenumlagerungsgradein den Spannbetonträgern weichen von den Werten ab, diein der Querschnittsbemessung als Umlagerungsgrade festgelegt werden. In denNormen wird das Moment M p,ind bei der Querschnittsbemessung aufgrund derAuswirkungen aus der linearen Schnittgrößenberechnung mit anschließenderMomentenumlagerung auch so groß mitumgelagert, wie die Biegemomente ausanderen Einwirkungen.Im ungerissenen Zustand sind keine nennenswerten Abweichungen des MomentsM p,ind von den nach der Elastizitätstheorie berechneten Werten zu erkennen. Esist zu beobachten, dass das Moment M p,ind nach der Rissbildung bis zum rechnerischenVersagen der Träger abnimmt.Obwohl das Fließen der Bewehrung im Stütz- und Feldbereich stattfindet, bleibtdas Moment M p,ind S allerdings mit abgeminderten Werten S vorhanden. Dieszeigt, dass der Träger durch die Plastifizierung der stärker beanspruchten Bereichenicht vollständig in ein statisch bestimmtes System übergeht. Die statischunbestimmten Eigenschaften des Trägers bleiben bis zu einem bestimmten Gradnoch erhalten.

182Numerische UntersuchungenDie Darstellung der Untersuchungsergebnisse der Träger der Serie B hat gezeigt,dass die sich tatsächlich einstellende Momentenumlagerung in den Spannbetondurchlaufträgernvon dem festgelegten statisch unbestimmten Momentanteilinfolge Vorspannung M p,ind S d. h. von Spanngliedführung S beeinflusst wird.Es ist zu erkennen, dass ein größerer statisch unbestimmter Momentanteil infolgeVorspannung M p,ind bei Spannbetondurchlaufträgern eine Momentenumlagerung‘behindern’ kann. Diese ist aber in den Spannbetondurchlaufträgern auch nichtimmer nötig, da S wie im vorherigen Abschnitt erwähnt S die Wirkung desstatisch unbestimmten Momentanteils infolge Vorspannung zu einem Ausgleichder Beanspruchungen zwischen Stütz- und Feldbereich schon seit dem Gebrauchszustandführt, wie er im Fall von Stahlbetonträgern durch die Momentenumlagerungnach dem Fließen der Bewehrung erst im rechnerischen Bruchzustandauftritt.Bei der Bemessung von Spannbetontragwerken nach heutigen Normen wird dieVorspannkraft für die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeitzur Berücksichtigung ihrer Streuungen mit ihren unteren (P k,inf ) oder oberen(P k,sup ) charakteristischen Werten eingesetzt. Dagegen werden die Streuungen derVorspannkraft im Grenzzustand der Tragfähigkeit unter Verwendung von γ P =1,0im allgemeinen vernachlässigt. Nur in wenigen Normen, wie z. B. CEB MC 90[9], EC2 Teil 1-1 [1] und EC2 Teil 1 2 nd Draft 2001, werden diese Streuungendurch die Anwendung der unterschiedlichen γ P -Werte für günstige und ungünstigeWirkung berücksichtigt. Diese sind jedoch keine Sicherheitsfaktoren für dieVeränderung der statisch unbestimmten Momentenanteile infolge Vorspannung,sondern dienen zum Abdecken der Ungenauigkeiten bei der Abschätzung derVordehnung bzw. der Anfangswerte der Vorspannkraft.

Numerische Untersuchungen 183Obwohl eine Abnahme des statisch unbestimmten Momentenanteils infolgeVorspannung M p,ind nach den Untersuchungen in diesem Abschnitt stattfindenkann, ist diese relativ gering. Um die Bemessung von Spannbetondurchlaufträgernnicht noch komplizierter zu gestalten, ist eine Vernachlässigung derVeränderung des Moments M p,ind für die praktische Anwendung bei der Bemessungmit Auswirkungen aus der linear elastischen Schnittgrößenberechnung,wie es bisher in den Normen üblich ist, noch annehmbar. Bei Bemessung mitgrößerer Genauigkeit sollte die Abnahme des statisch unbestimmten Biegemomentanteilsinfolge Vorspannung M p,ind in Abhängigkeit von der sich einstellendenMomentenumlagerung berücksichtigt werden.

184Zusammenfassung9 ZusammenfassungZiel der vorliegenden Arbeit war es, die Entwicklung der statisch unbestimmtenMomentenanteile infolge Vorspannung in den Spannbetondurchlaufträgern biszum rechnerischen Bruchzustand wirklichkeitsnah zu untersuchen. Die gegenseitigeBeeinflussung zwischen den statisch unbestimmten Momentenanteileninfolge Vorspannung und den Momentenumlagerungen konnten dargestelltwerden.Zu diesem Zweck wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Berechnungsmodellentwickelt, das auf der Grundlage der Finite-Element-Methode basiert. Hierwurde die Anwendung eines Balkenelements mit 3 Knotenpunkten und 9Freiheitsgraden vorgestellt, wobei jeder Knotenpunkt gleiche Freiheitsgrade hat:eine horizontale Verschiebung, eine vertikale Verschiebung und eine Verdrehung.Die gewonnene 9x9-Elementsteifigkeitsmatrix wurde anschließend mit statischerKondensation in eine 6x6-Matrix überführt, um die Bandmatrix des Gesamtsystemsklein zu halten. Die Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix und derSchnittgrößen erfolgte durch numerische Integration, das nichtlineare Gleichungssystemwurde mit einem inkrementell-iterativen Verfahren gelöst. Die Querschnittsabbildungerfolgte mit Hilfe des Schichtenmodells.Um das wirklichkeitsnahe Tragverhalten zu erfassen, wurden die nichtlinearenWerkstoffgesetze nach CEB MC 90 [9] bzw. DIN 1045-1 [3] verwendet. DieErfassung des Einflusses der Rissbildung bzw. der Mitwirkung des Betonszwischen den Rissen erfolgte in der Form eines verschmierten Modells durch dieModifikation der Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Stahls unter Zugbeanspru-

Zusammenfassung 185chung. Die effektiven Vorspannkräfte wurden unter Berücksichtigung der sowohlzeitunabhängigen als auch zeitabhängigen Spannkraftverluste mit den Ansätzennach CEB MC 90 [9] bzw. DIN 1045-1 [3] ermittelt. Die Vorspannung wurdeals äußere Beanspruchung, durch Umlenk- und Ankerkräfte abgebildet, betrachtet.Nach der erfolgreichen Überprüfung des entwickelten Berechnungsmodells durchdie Nachrechnungen zahlreicher experimentellen Untersuchungen wurden eigenenumerische Untersuchungen durchgeführt. Die Untersuchungsergebnisse zeigten,dass die statisch unbestimmten Momentenanteile infolge Vorspannung inAbhängigkeit von der in der Bemessung vorgenommenen Momentenumlagerungbis zum rechnerischen Bruchzustand abnahmen. Trotz der Plastifizierungen derstärker beanspruchten Bereiche gingen die statisch unbestimmten Systeme nichtvöllig in statisch bestimmte Systeme über. Dabei blieben S allerdings mitabgeminderten Werten S statisch unbestimmte Momentenanteile infolge Vorspannungbestehen. Ebenfalls wurde gezeigt, dass die sich tatsächlich einstellendeMomentenumlagerung in den Spannbetondurchlaufträgern vom festgelegtenstatisch unbestimmten Momentenanteil infolge Vorspannung S d. h. von dergewählten Spanngliedführung S beeinflusst wurden.

186LiteraturverzeichnisLiteraturverzeichnis[1] Deutsches Institut für Normung e.V.: DIN V ENV 1992 Teil 1-1, Eurocode2 Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, Teil 1 Grundlagenund Anwendungsregeln für den Hochbau (Vornorm, DeutscheFassung 1991). Berlin: Beuth Verlag, 1992.[2] Deutscher Ausschuss für Stahlbeton: Richtlinien zur Anwendung EuropäischerNormen im Betonbau: Richtlinie zur Anwendung von DIN V ENV206 und Richtlinie zur Anwendung von Eurocode 2. Berlin: Beuth Verlag,1993.[3] Deutsches Institut für Normung e.V.: DIN 1045-1 - Tragwerke aus Beton,Stahlbeton und Spannbeton, Teil 1: Bemessung und Konstruktion. Berlin:Beuth Verlag, 2001.[4] American Concrete Institute: Building Code Requirements for ReinforcedConcrete and Commentary (ACI 318-99 and ACI 318R-99). Detroit:ACI, 1999.[5] Deutsches Institut für Normung e.V.: DIN 4227 Teil 1 - Spannbeton:Bauteile aus Normalbeton mit beschränkter oder voller Vorspannung.Berlin: Beuth Verlag, 1988.[6] Deutsches Institut für Normung e.V.: DIN 4227 Teil 2 - Spannbeton:Bauteile mit teilweiser Vorspannung (Vornorm). Berlin: Beuth Verlag,1984.[7] Deutsches Institut für Normung e.V.: DIN 4227 Teil 6 - Spannbeton:Bauteile mit Vorspannung ohne Verbund (Vornorm). Berlin: BeuthVerlag, 1982.

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Anhang A A-1Anhang AVergleich der Ergebnisse der ausgewählten experimentellen Versuchen undnumerischen Untersuchungen mit denen aus den Nachrechnungen.A.1 Experimentelle VersucheA.1.1 Lin, 1955 [36]A.1.2 Mallick, 1962 [39]A.1.3 Mallick und Sastry, 1966 [40]A.1.4 Priestley et al., 1971 [125]A.1.5 Priestley und Park, 1972 [43]A.1.6 Mattock et al., 1972 [19]A.1.7 Taerwe et al., 1995 [41]A.2 Numerische UntersuchungenA.2.1 Priestley et al., 1971 [125]A.2.2 Levi et al., 1983 [22]A.2.3 Moucessian und Campbell, 1988 [42]

A-2Anhang AA.1.1Lin, 1955 [36] - Träger A1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 37 N/mm 2 f ctm = 6,5 N/mm 2E cm = 31740 N/mm 2Spannstahl: 32 ∅ 5 mm A p = 6,28 cm 2f p,k = 1800 N/mm 2 f p0.2,k = 1604 N/mm 2E p = 204000 N/mm 2Spannverfahren:Versuchsdurchführung:Bemerkungen:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Konkordante Spanngliedführung.Vorspannkraft: P o = 665 kN (inkl. 6% Überspannung).Vorspannen von beiden Enden des Trägers.Zeitpunkt des Vorspannens: t o = 14 TageReibungsbeiwerte: µ = 0,3Ungewollter Umlenkwinkel: k = 0,1°/mKeilschlupf: ∆l sl = 2,5 mm28 Tage nach dem Betonieren.Keine Betonstahlbewehrung. Bügelbewehrung in denEinleitungsbereichen der Vorspannkräfte.2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungRisslast bei 1.Biegerisse [kN]:MittelauflagerFeldmitte67,2109,970100+ 4,17 %-9,01 %Bruchlast [kN] 158 150 -5,06 %

Anhang A A-3Last-Durchbiegungsbeziehungen der Feldmitte:180VERSUCHSTRÄGER VON LIN (TRÄGER A)Last-Durchbiegungsbeziehungen der Feldmitte160140120Last P [kN]100806040BerechnungExperiment2000 5 10 15 20 25 30Durchbiegung [mm]Last-Auflagerkraftbeziehungen des linken Endauflagers:180VERSUCHSTRÄGER VON LIN (TRÄGER A)Last-Auflagerkraft-Beziehungen des linken Endauflagers160140120Last [kN]1008060E-Theorie40ExperimentBerechnung2000 5 10 15 20 25 30Auflagerkraft [kN]

A-4Anhang AA.1.2Mallick, 1962 [ 39] - Rechteckquerschnitt1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: s. Tabelle (f cu )Größtkorn = 18 mm.Betonstahl: f y = 317 N/mm 2E s = 211000 N/mm 2Spannstahl: f pu = 1558 N/mm 2 E s = 207000 N/mm 25 ∅ 5 mm A p = 0,98 cm 2Spannverfahren:Versuchsdurchführung:Vorspannung mit sofortigem Verbund.Vorspannkraft: P o = 84,12 kN.Zeitpunkt des Vorspannens: t o = 28 Tage50 Tage nach dem Betonieren.

Anhang A A-52. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungBruchzustandBruchlast P u [kN] M D [kNm] M B [kNm]TrägerVersuchBerechnungAbweichung[%]VersuchBerechnungAbweichung[%]VersuchBerechnungAbweichung[%]P1 45,40 47,50 + 4,6 17,118 15,88 - 7,2 18,321 20,46 + 11,7P2 54,48 60,00 + 10,1 16,606 16,22 - 2,3 19,899 22,32 + 12,2P4 54,48 50,00 - 8,2 12,274 14,27 + 16,2 16,868 18,74 + 11,1P5 44,72 40,00 - 10,6 17,325 19,04 + 9,9 18,238 20,45 + 12,1P6 46,31 45,00 - 2,8 17,339 15,93 - 8,1 13,547 11,69 - 13,7P7 52,89 50,00 - 5,5 16,606 18,11 + 9,1 18,640 21,20 + 13,7P9 54,03 55,00 + 1,8 13,838 11,83 - 14,5 23,995 25,28 + 5,3P12 35,41 40,00 + 12,9 9,258 8,53 - 7,8 9,105 8,21 - 9,8P14 74,91 75,00 + 0,1 17,989 17,16 - 4,6 21,532 19,98 - 7,2

A-6Anhang AA.1.2Mallick, 1962 [39] - Plattenbalkenquerschnitt1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cu = 37,9 N/mm 2 Größtkorn = 18 mmBetonstahl: f y = 317 N/mm 2 E s = 211000 N/mm 2Spannstahl: f pu = 1558 N/mm 2 E s = 207000 N/mm 25 ∅ 5 mm A p = 0,98 cm 2Spannverfahren:Versuchsdurchführung:Vorspannung mit sofortigem Verbund.Vorspannkraft: P o = 84,12 kN (zentrisch).Zeitpunkt des Vorspannens: t o = 28 Tage50 Tage nach dem Betonieren.2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungBruchzustandTrägerBruchlast P u [kN] M D [kNm] M B [kNm]Versuch Berechnung Versuch Berechnung Versuch BerechnungT1 22,25 25 5,895 7,06 17,076 15,79VERSUCHSTRÄGER VON MALLICK (TRÄGER T1)Last-Biegemomentbeziehungen252015Last P [kN]105Stützmomente [Berechnung]Feldmomente [Berechnung]Stützmomente [Versuch]Feldmomente [Versuch]Stützmomente [E-Theorie]Feldmomente [E-Theorie]0-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00Stützmoment [kNm]Feldmoment [kNm]

Anhang A A-7A.1.3Mallick und Sastry, 1966 [40] - 2 Feld-Träger1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: s. Tabelle (f cu ) Größtkorn = 18 mm.Betonstahl: f y = 317 N/mm 2 E s = 211000 N/mm 2Spannstahl: f pu = 1558 N/mm 2 E s = 207000 N/mm 25 ∅ 5 mm A p = 0,98 cm 2Spannverfahren:Vorspannung mit sofortigem Verbund.Vorspannkraft: P o = 84,12 kN.2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungBruchzustand (Bruchlast und Biegemomente)Bruchlast P u [kN] M unter der Last P [kNm] M Mittelauflager [kNm]TrägerVersuchBerechnungAbweichung[%]VersuchBerechnungAbweichung[%]VersuchBerechnungAbweichung[%]2G-1 22,47 25,00 + 11,3 9,37 11,92 + 27,2 12,45 15,42 + 23,92G-2 46,99 45,00 - 4,2 21,03 24,19 + 15,0 18,96 21,00 + 10,62G-3 30,19 35,00 + 15,9 11,82 13,40 + 13,4 14,67 15,26 + 4,02G-4 37,91 40,00 + 5,5 13,22 12,87 - 2,6 18,40 19,07 + 3,62G-5 32,23 30,00 - 6,9 11,06 12,76 + 15,4 14,47 15,97 + 10,4

A-8Anhang AA.1.3Mallick und Sastry, 1966 [40] - 3 Feld-Träger1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: s. Tabelle (f cu ) Größtkorn = 18 mmBetonstahl: f y = 317 N/mm 2 E s = 211000 N/mm 2Spannstahl: f pu = 1558 N/mm 2 E s = 207000 N/mm 25 ∅ 5 mm A p = 0,98 cm 2Spannverfahren:Vorspannung mit sofortigem Verbund, P o = 84,12 kN.2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungBruchzustand (Bruchlast und Biegemomente)TrägerVersuchBruchlast P u [kN] M unter der Last P [kNm] M innere Auflager [kNm]VersuchVersuchBerechnungAbweichungBerechnungAbweichungBerechnungAbweichung3A-1 59,93 60 + 0,1 % 14,45 13,82 - 4,4 % 13,28 13,00 - 2,1 %3A-2 25,65 24 - 6,4 % 5,40 6,07 + 12,4 % 7,08 7,87 + 11,2 %3A-3 84,22 84 - 0,3 % 22,93 25,00 + 9,0 % 15,66 13,73 - 12,3 %3A-4 15,89 17,5 + 10,1 % 6,48 5,63 - 13,1 % 6,09 7,02 + 15,3 %3B-2 26,01 27,5 + 5,7 % 7,65 8,24 + 7,7 % 6,61 7,57 + 14,5 %3B-3 45,85 50 + 9,1 % 14,46 15,22 + 5,3 % 10,24 12,74 + 24,4 %3B-4 21,25 22,5 + 5,9 % 8,47 8,11 - 4,3 % 7,98 9,62 + 20,6 %

Anhang A A-9A.1.4 Priestley et al., 1971 [125]1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: s. Tabelle (f cu , f t )Größtkorn = 10 mmSpannstahl: s. Tabelle (Anzahl, ∅, A p , P o )E p = 200000 N/mm 2f p,k = 1750 N/mm 2 (bei ∅ 5 mm)f p,k = 1700 N/mm 2 (bei ∅ 7 mm)Vorspannverfahren:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Bemerkungen: Vorspannen: 7 Tage nach dem Betonieren.Untersuchung: 28 Tage nach dem Betonieren.2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungTrägerBiegemomente in der Feldmitte im Bruchzustand [kNm]Versuch Berechnung Abweichung1 10,50 11,649 + 10,94 %2 11,57 11,226 - 2,97 %3 13,67 15,858 + 16,01 %4 17,52 16,911 - 3,48 %5 14,25 16,327 + 14,58 %6 11,61 10,024 - 13,66 %

A-10Anhang AA.1.5 Priestley und Park, 1972 [43]1. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 43 N/mm 2 f ctm = 4,86 N/mm 2E cm = 33280 N/mm 2Betonstahl: f tk = 398 N/mm 2 f yk = 380 N/mm 2E s = 210000 N/mm 2Spannstahl: 2 ∅ 7 mm A p = 0,77 cm 2f p,k = 1700 N/mm 2 f p0.1,k = 1550 N/mm 2E p = 200000 N/mm 2Vorspannverfahren:Bemerkungen:Vorspannung mit sofortigem Verbund.Lineare Spanngliedführung. Umlenkstelle unter denLasten und auf dem Mittelauflager.Vorspannkraft: P m,o = 68,8 kNLängsbewehrung: 4 ∅ 6,35 mmBügelbewehrung: ∅ 6,35 mm - 10,2 cm2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungBruchlast [kN] 55,4 55 - 0,72 %Risslast bei 1.Biegerisse [kN]:MittelauflagerFeldmitte10,769,4311,279,02- 4,74 %- 4,35 %

Anhang A A-11Last-Durchbiegungsbeziehungen unter der Last P:60VERSUCHSTRÄGER VON PRIESTLEY/PARK (TRÄGER 3)Last-Durchbiegungsbeziehungen unter der Last P5040Last P [kN]3020BerechnungExperiment1000 2 4 6 8 10 12 14 16Durchbiegung [mm]Last-Biegemomentbeziehungen:VERSUCHSTRÄGER VON PRIESTLEY/PARK (TRÄGER 3)Last-Biegemomentbeziehungen605040Last [kN]302010Stützmoment (Berechnung)Feldmoment(Berechnung)Stützmoment (E-Theorie)Feldmoment (E-Theorie)Stützmoment (Versuch)Feldmoment (Versuch)0-15 -10 -5 0 5 10 15Stützmoment [kNm]Feldmoment [kNm]

A-12Anhang AA.1.6 Mattock et al., 1972 [19] - Balken RB11. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 28,15 N/mm 2 E cm = 28900 N/mm 2f ck = 20 N/mm 2Betonstahl: f tk = 404 N/mm 2 f yk = 385 N/mm 2E s = 210000 N/mm 2Spannstahl: 2 ∅ 12,7 mm A p = 1,97 cm 2f pk = 1970 N/mm 2 E p = 195000 N/mm 2Vorspannverfahren:Bemerkungen:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Hüllrohr: ∅ 19 mm. Vorspannkraft: P m,o = 272 kNLängsbewehrung: 4 ∅ 8 mmBügelbewehrung: ∅ 8 mm - 17,8 cm2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungBruchlast [kN] 44,50 45,00 + 1,12 %Biegemoment der Feldmitteim Bruchzustand [kNm] 95,40 91,76 - 3,82 %50VERSUCHSTRÄGER RB1 VON MATTOCK et al.Last-Durchbiegungsbeziehungen der Feldmitte4030Last P [kN]2010BerechnungVersuch00 20 40 60 80 100 120 140 160 180Durchbiegung [mm]

Anhang A A-13A.1.6Mattock et al., 1972 [19] - Balken CB11. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 28,15 N/mm 2 E cm = 28900 N/mm 2f ck = 20 N/mm 2Betonstahl: f tk = 404 N/mm 2 f yk = 385 N/mm 2E s = 210000 N/mm 2Spannstahl: 2 ∅ 12,7 mm A p = 1,97 cm 2f p,k = 1970 N/mm 2 E p = 195000 N/mm 2Vorspannverfahren:Bemerkungen:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Hüllrohr: ∅ 19 mm. Vorspannkraft: P m,o = 270 kNLängsbewehrung: 4 ∅ 8 mmBügelbewehrung: ∅ 8 mm - 17,8 cm2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungBruchlast [kN] 121,3 120 -1,08 %Biegemoment in der Feldmitte[kNm]:- infolge Eigengewicht undVorspannung- im Bruchzustand+ 32,52+ 93,64+ 20,84+ 95,15-35,91 %+ 1,61 %Biegemoment auf der Mittelauflager[kNm]:- infolge Eigengewicht undVorspannung- im Bruchzustand- 12,34- 92,71- 7,66- 91,98-37,90 %- 0,79 %

A-14Anhang AA.1.7Taerwe et al., 1995 [41] - Balken CB11. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 37,5 N/mm 2 f ctm = 4,06 N/mm 2E cm = 30300 N/mm 2Betonstahl: f ym = 572 N/mm 2 E s = 200000 N/mm 2Spannstahl: 5 ∅ 15,2 mm A p = 6,95 cm 2f p,k = 1860 N/mm 2 f p0.1,k = 1810 N/mm 2E p = 195000 N/mm 2Vorspannverfahren:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Vorspannkraft: P m,o = 970 kNVorspannen von beiden Enden des Trägers.Zeitpunkt:- des Vorspannens: t o = 14 Tage nach dem Betonieren.- der Untersuchung: t = 28 Tage nach dem Betonieren.Bemerkungen:Längsbewehrung: 4 ∅ 8 mmBügelbewehrung: ∅ 8 - 20 (Steg);∅ 8 - 20 (Flansch)2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungRisslast bei 1.Biegerisse [kN]:MittelauflagerFeldmitte61,691,67090+13,64 %- 1,75 %Bruchlast [kN] 142,6 130 - 8,84 %

Anhang A A-15Last-Durchbiegungsbeziehungen (Stelle x = 3,6 m):160VERSUCHSTRÄGER CB1 VON TAERWE et al.Last-Durchbiegungsbeziehungen an x=3,60m von den Endauflagern entfernten Stellen140120100Last P [kN]806040BerechnungVersuch200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Durchbiegung [mm]Last-Biegemomentbeziehungen:VERSUCHSTRÄGER CB1 VON TAERWE et al.Last-Biegemomentbeziehungen160140120100Last P [kN]8060Stützmomente [Cal.]4020Feldmomente [Cal.]Stützmomente [Exp.]Feldmomente [Exp.]Stützmomente [E-Th.]Feldmomente [E-Th.]0-550 -450 -350 -250 -150 -50 50 150 250 350 450 550Stützmoment [kNm]Feldmoment [kNm]

A-16Anhang AA.1.7Taerwe et al., 1995 [41] - Balken CB21. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 37,5 N/mm 2 f ctm = 4,06 N/mm 2E cm = 30300 N/mm 2Betonstahl: f ym = 572 N/mm 2 E s = 200000 N/mm 2Spannstahl: 3 ∅ 15,2 mm A p = 4,17 cm 2f p,k = 1860 N/mm 2 f p0.1,k = 1810 N/mm 2E p = 195000 N/mm 2Vorspannverfahren:Bemerkungen:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Teilweise Vorspannung.Vorspannkraft: P m,o = 582 kNVorspannen von beiden Enden des Trägers.Zeitpunkt:- des Vorspannens: t o = 14 Tage nach dem Betonieren.- der Untersuchung: t = 28 Tage nach dem Betonieren.Längsbewehrung: 4 ∅ 18 mmBügelbewehrung: ∅ 8-20 (Feld);∅10-20 (2 m um d. Mittelauflager)2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungRisslast bei 1.Biegerisse [kN]:MittelauflagerFeldmitte34,657,63060- 13,3 %+ 5,9 %Bruchlast [kN] 147,7 140 - 5,2 %

Anhang A A-17Last-Durchbiegungsbeziehungen (Stelle x = 3,6 m):160VERSUCHSTRÄGER CB2 VON TAERWE et al.Last-Durchbiegungsbeziehungen an x=3,60m von den Endauflagern entfernten Stellen140120100Last P [kN]806040BerechnungVersuch200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130Durchbiegung [mm]

A-18Anhang AA.1.7Taerwe et al., 1995 [41] - Balken CB41. Wesentliche VersuchsdatenLängeneinheit in cmBeton: f cm = 67,2 N/mm 2 f ctm = 4,22 N/mm 2E cm = 32800 N/mm 2Betonstahl: f ym = 572 N/mm 2 E s = 200000 N/mm 2Spannstahl: 7 ∅ 15,2 mm A p = 9,73 cm 2f p,k = 1860 N/mm 2 f p0.1,k = 1810 N/mm 2E p = 195000 N/mm 2Vorspannverfahren:Bemerkungen:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Vorspannkraft: P m,o = 1358 kNVorspannen von beiden Enden des Trägers.Zeitpunkt:- des Vorspannens: t o = 14 Tage nach dem Betonieren.- der Untersuchung: t = 28 Tage nach dem Betonieren.Längsbewehrung: 4 ∅ 8 mmBügelbewehrung: ∅ 8-20 (Feld) und ∅ 10-20(2,4 m um der Mittelauflager)2. Vergleich: Versuchsergebnisse mit NachrechnungErgebnisse Versuch Berechnung AbweichungRisslast bei 1.Biegerisse [kN]:MittelauflagerFeldmitte97,6121,6100120+ 3,48 %-1,32 %Bruchlast [kN] 197,8 190 -3,94 %

Anhang A A-19Last-Durchbiegungsbeziehungen (Stelle x = 3,6 m):200VERSUCHSTRÄGER CB4 VON TAERWE et al.Last-Durchbiegungsbeziehungen an x=3,60m von den Endauflagern entfernten Stellen180160140120Last P [kN]100806040BerechnungVersuch200-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Durchbiegung [mm]

A-20Anhang AA.2.1 Priestley et al., 1971 [125]1. Wesentliche Daten der untersuchten TrägerLängeneinheit in cmBeton: s. Tabelle (f cu , f t )Spannstahl: s. Tabelle (Anzahl, ∅, A p , P o )E p = 200000 N/mm 2f p,k = 1750 N/mm 2 (bei ∅ 5 mm)f p,k = 1700 N/mm 2 (bei ∅ 7 mm)Vorspannverfahren:Untersuchungsmethode:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Numerisch mit Hilfe der Momenten-Krümmungsbeziehungender Querschnitte; Berücksichtigung der nichtlinearenWerkstoffeigenschaften.2. Vergleich der BerechnungsergebnisseTrägerBiegemomente im Bruchzustand [kNm]Priestley et al. Nachrechnung Abweichung1 10,16 11,649 + 14,6 %2 11,32 11,226 - 0,8 %3 15,19 15,858 + 4,4 %4 16,81 16,911 + 0,6 %5 15,68 16,327 + 4,1 %6 11,31 10,024 - 11,4 %

Anhang A A-21A.2.2 Levi et al., 1983 [22]1. Wesentliche Daten des untersuchten TrägersLängeneinheit in cmBeton: f cm = 40 N/mm 2 E cm = 32490 N/mm 2Betonstahl: f tk = 400 N/mm 2 E s = 210000 N/mm 2f ym = 400 N/mm 2Spannstahl: f p,k = 1750 N/mm 2 E p = 200000 N/mm 2f p0.1,k = 1570 N/mm 2Vorspannverfahren:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Vorspannkraft: P m,o = 1900 kNBemerkungen: Längsbewehrung: A so = A su = 10 cm 2Untersuchungsmethode:Numerisch mit Hilfe der Finite-Element-Methode; Berücksichtigungder nichtlinearen Werkstoffeigenschaften.2. Vergleich der BerechnungsergebnisseErgebnisse Levi et al. Nachrechnung AbweichungBiegemoment auf der Mittelauflager[kNm]:- infolge Vorspannung (P mo )- infolge P mo + q 1 (= 10 kN/m)- infolge P mo + q 2 (= 20 kN/m)- infolge P mo + q 3 (= 30 kN/m)- infolge P mo + q 4 (= 40 kN/m)- infolge P mo + q 5 (= 50 kN/m)+ 520,00+ 53,30- 432,00- 893,30- 1173,00- 1293,00+ 518,6+ 51,3- 415,7- 850,9- 1127,1- 1350,5- 0,27 %- 3,81 %- 3,77 %- 4,75 %- 3,91 %+ 4,45 %

A-22Anhang ABiegemoment in der Feldmitte[kNm]:- infolge Vorspannung (P mo )- infolge P mo + q 1 (= 10 kN/m)- infolge P mo + q 2 (= 20 kN/m)- infolge P mo + q 3 (= 30 kN/m)- infolge P mo + q 4 (= 40 kN/m)- infolge P mo + q 5 (= 50 kN/m)- 500,00- 264,30- 37,50+ 220,30+ 586,67- 1020,00- 498,2- 260,7- 36,9+ 223,4+ 546,2+ 918,1- 0,36 %- 1,25 %- 1,60 %+ 1,55 %- 6,90 %- 9,99 %Last-Biegemomentbeziehungen605040Last q [kN/m]30Stützmoment (Rechnung)Feldmoment(Rechnung)Stützmoment (E-Theorie)Feldmoment (E-Theorie)Stützmoment (Levi et al.)Feldmoment (Levi et al.)20100-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500Biegemoment [kNm]

Anhang A A-23A.2.3 Moucessian und Campbell, 1988 [42]1. Wesentliche Daten der untersuchten TrägerLängeneinheit in cmBeton: f cm = 40 N/mm 2 E cm = 32500 N/mm 2Betonstahl: f ym = 310 N/mm 2 E s = 210000 N/mm 2Spannstahl: 1 ∅ 13 mm (Litzen) E p = 195000 N/mm 2f p,k = 1866 N/mm 2 f p0.1,k = 1670 N/mm 2Vorspannverfahren:Längsbewehrung undSpanngliedlage:Untersuchungsmethode:Vorspannung mit nachträglichem Verbund.Vorspannkraft: P m,o = 110 kNTräger A su [cm 2 ] A so [cm 2 ] e L [cm] e S [cm]A1 16,32 17,78 9,5 0A9 7,15 17,78 9,5 0B1 1,73 8,58 9,5 9,5B3 12,60 16,31 9,5 9,5C1 16,92 17,78 0 0C5 7,57 17,78 0 0Numerisch mit Hilfe der Finite-Element-Methode;Berücksichtigung der nichtlinearen Werkstoffeverhalten.2. Vergleich der BerechnungsergebnisseBruchlast [kN] Moucessian/ Campbell Nachrechnung AbweichungTräger A1Träger A9Träger B1Träger B3Träger C1Träger C5197,09179,70140,46196,20180,59162,76202,5170135195190155+ 2,75 %- 5,40 %- 3,89 %- 0,61 %+ 5,20 %- 4,77 %

Anhang B B-1Anhang BIm Anhang B sind die Versuchsdaten der untersuchten Träger graphisch undtabellarisch dargestellt.1 Versuchsträger Serie A1.1 Statisches System und SpanngliedführungDie Spannweite, die Spanngliedführung und die Vorspannkraft sind für alleTräger der Serie A identisch, so dass die Vorspannwirkungen auf denTräger gleich bleiben.1.2 BelastungNeben der ständigen Einwirkungen (g) aus Eigengewicht werden die Trägermit einer gleichmäßig verteilten veränderlichen Last (q) beansprucht. DieBelastung q wird bis zum rechnerischen Bruchzustand inkrementellaufsteigend aufgebracht.1.3 BewehrungZusätzliche erforderliche Betonstahlbewehrung wird dem Momentverlaufaus der linear elastischen Schnittgrößenberechnung (ohne oder mit anschließendeMomentenumlagerung) entsprechend ermittelt und angeordnet(s. folgende Tabelle).

Versuchsdaten der Träger der Serie A: Querschnittsformen, Spannstahl und BetonstahlbewehrungQuerschnitt,Serie System BetonfestigkeitPosition A p y p 0%-Momentenumlagerung 10%-Momentenumlagerung 20%-Momentenumlagerung max.Momentenumlagerung[cm 2 ] [m] A s1 [cm 2 ] A s2 [cm 2 ] A s1 [cm 2 ] A s2 [cm 2 ] A s1 [cm 2 ] A s2 [cm 2 ] A s1 [cm 2 ] A s2 [cm 2 ]A-1A-2A A-3A-4A-5SpanngliedBewehrungsgehalt (Bemessung nach EC2-1(92) mit Schnittgrößen aus linear-elastische Berechnung)25% MomentenumlagerungFeld 15,4 -0,25 0,50 3,39 2,26 5,65 4,52 8,04 6,03 8,0425% MomentenumlagerungRE Zw.auflg. 15,4 0,275 19,03 24,55 11,90 22,80 4,02 24,81 0,50 26,60C 35/4527,5% MomentenumlagerungFeld 15,4 -0,25 1,01 4,52 3,14 4,52 4,52 8,04 8,04 8,0427,5% MomentenumlagerungI Zw.auflg. 15,4 0,275 19,64 29,46 11,83 29,46 6,28 21,98 0,503 22,11C 35/4512% MomentenumlagerungFeld 15,4 -0,25 2,26 2,26 2,26 2,26 2,26 2,2612% MomentenumlagerungT Zw.auflg. 15,4 0,275 8,39 24,55 1,75 24,55 0,57 24,55C 35/455,3% MomentenumlagerungFeld 15,4 -0,25 0,57 17,21 0,57 17,215,3% MomentenumlagerungI Zw.auflg. 15,4 0,275 3,63 20,36 0,57 19,64C 25/30Rotationsfähigkeitnicht ausreichendGrenzzustand der Gebrauchstauglichkeitmaßgebend30% MomentenumlagerungFeld 15,4 -0,25 1,62 1,57 4,32 4,34 7,8 4,02 10,44 6,9730% MomentenumlagerungI Zw.auflg. 15,4 0,275 27,25 21,36 18,45 23,25 10,78 23,25 3,14 30,31C50/60

Anhang B B-31.4 Querschnitte1.4.1 System A-1: Rechteckquerschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)1.4.2 System A-2, A-4, A-5: Symmetrischer I-Querschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)1.4.3 System A-3: Symmetrischer Plattenbalkenquerschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)

B-4Anhang B2 Versuchsträger Serie B2.1 Statisches System und SpanngliedführungDie Spannweite ist konstant für alle Träger der Serie B. Die Spanngliedführungwird variiert, so dass unterschiedliche statisch unbestimmte Vorspannwirkungenauf den Träger entstehen.2.2 BelastungNeben der ständigen Einwirkungen (g) aus Eigengewicht werden die Trägermit einer gleichmäßig verteilten veränderlichen Last (q) beansprucht. DieBelastung q wird bis zum rechnerischen Bruchzustand inkrementellaufsteigend aufgebracht.2.3 BewehrungZusätzliche erforderliche Betonstahlbewehrung wird dem Momentverlaufaus der linear elastischen Schnittgrößenberechnung entsprechend ermitteltund angeordnet (s. folgende Tabelle).

Versuchsdaten der Träger der Serie B: Querschnittsformen, Spanngliedlage und BetonstahlbewehrungQuerschnitt,Spanngliedlage,Statisch unbestimmte Biegemomente infolge Vorspannung (M p,ind .)SerieSystemBetonfes-Mp,ind.,Null (Zentrisch) Klein Mittel Großtigkeit BewehrungFeld Zw.auflg. Feld Zw.auflg. Feld Zw.auflg. Feld Zw.auflg.y p [m] 0 0 -0,225 0,275 -0,25 0,168 -0,275 0,029B-1 M p,ind. [kNm] 0 0 12,308 16,097 117,8 268,9 227,791 473,293RE A s1 [cm2] 12,56 36,38 1,01 15,233 1,01 15,515 1,01 19,03C 35/45 A s2 [cm2] 15,7 41,29 4,52 25,053 4,52 25,335 4,52 28,85y p [m] 0 0 -0,225 0,275 -0,25 0,168 -0,275 0,029B-2 M p,ind. [kNm] 0 0 12,308 16,097 117,8 268,9 227,791 473,293I A s1 [cm2] 13,063 41,29 1,01 16,74 1,01 17,21 1,01 22,78C 35/45 A s2 [cm2] 15,7 39,28 4,52 24,55 4,52 26,6 4,52 27,69y p [m] 0 0 -0,225 0,175 -0,25 0,168 -0,275 0,029B B-3 M p,ind. [kNm] 0 0 36,475 78,354 117,8 168,9 227,792 473,293T A s1 [cm2] 29,46 50,07 4,52 21,65 3,39 15,233 2,355 21,65C 35/45 A s2 [cm2] 23,44 71,56 1,57 42,42 1,57 36,38 2,355 42,42y p [m] 0 0 -0,225 0,275 -0,25 0,168 -0,275 0,029B-4 M p,ind. [kNm] 0 0 12,308 16,097 117,8 268,9 227,791 473,293I A s1 [cm2] 13,69 41,29 1,01 16,3 1,01 15,233 1,01 21,9C 25/30 A s2 [cm2] 25,12 54,795 18,53 35,94 18,53 36,38 18,53 39,28y p [m] 0 0 -0,225 0,275 -0,25 0,168 -0,275 0,029B-5 M p,ind. [kNm] 0 0 12,308 16,097 117,8 268,9 227,791 473,293I A s1 [cm2] 11,933 40,85 1,01 17,21 1,01 16,33 1,01 20,633C 50/60 A s2 [cm2] 3,14 24,55 1,01 9,42 1,01 15,2 1,01 19,503

B-6Anhang B2.4 Querschnitte2.4.1 System B-1: Rechteckquerschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)2.4.2 System B-2, B-4, B-5: Symmetrischer I-Querschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)2.4.3 System B-3: Symmetrischer Plattenbalkenquerschnitt(im Feldbereich)(über dem Zwischenauflager)

Anhang C C-1Anhang CGrafische Darstellung der Untersuchungsergebnisse:1. Last-BiegemomentbeziehungenEntwicklung der Biegemomente im Feld und auf dem Zwischenauflageraus der nichtlinearen Berechnung werden graphisch dargestellt und mitden Werten nach der linearen Elastizitätstheorie gegenübergestellt.M F,EL ; M S,EL = Biegemomente im Feld bzw. auf dem Zwischenauflageraus der Berechnung nach E-Theorie.M F,NL ; M S,NL = Biegemomente im Feld bzw. auf dem Zwischenauflageraus der nichtlinearen FEM-Berechnung.2. Umlagerung der Biegemomente im Mittelfeld und auf dem Zwischenauflager:Umlagerung der Biegemomente [in %] =(aus der nichtlinearen Berechnung – nach E-Theorie)Biegemomente –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––(nach E-Theorie)M uml.,F = Umlagerung der Biegemomente im Mittelfeld.M uml.,S = Umlagerung der Biegemomente auf dem Zwischenauflager.3. Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolgeVorspannung.M p,ind.,F = statisch unbestimmte Biegemomente infolge Vorspannungim Mittelfeld.M p,ind.,S = statisch unbestimmte Biegemomente infolge Vorspannungauf dem Zwischenauflager.

C-2 Anhang CSystem A-1-1 (0% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,EL500Biegemomente [kNm]0-500-10000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1500M S,NL-2000M S,EL-2500Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente x2%0%-2%-4%-6%-8%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-10%-12%-14%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-3System A-1-2 (10% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NLM S,EL-2000-2500Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%-6%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%-14%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-4 Anhang CSystem A-1-3 (20% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NLM S,EL-2000-2500Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%-14%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-5System A-1-4 (25% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-500M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%-14%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-6 Anhang CSysteme A-1-1 bis A-1-4 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente8%6%4%2%0%-2%-4%-6%-8%-10%-12%Momentenumlagerung in den Trägern A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)FeldZwischenauflager25% (A-1-4)20% (A-1-3)10% (A-1-2)Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)25% (A-1-4)0% (A-1-1)-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%-10%-12%-14%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)25% (A-1-4)-16%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%-10%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-1-1)10% (A-1-2)20% (A-1-3)25% (A-1-4)-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]

Anhang C C-7System A-2-1 (0% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - BiegemomentbeziehungenM F,NL1000M F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-25008%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%-14%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-8 Anhang CSystem A-2-2 (10% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-25008%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%-14%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-9System A-2-3 (20% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NLM S,EL-2000-2500Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%-6%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%-14%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-10 Anhang CSystem A-2-4 (27,5% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%-6%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%-14%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-11Systeme A-2-1 bis A-2-4 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente8%6%4%2%0%-2%Momentenumlagerung in den Trägern A-2(Beton C35/45, I-Querschnitt)27,5% (A-2-4)20% (A-2-3)10% (A-2-2)0% (A-2-1)Bei Abminderungdes Stützmoments-4%Zwischenauflager-6%0% (A-2-1)-8%10% (A-2-2)-10%20% (A-2-3)-12%27,5% (A-2-4)-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]Feld2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-2(Beton C35/45, I-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%-10%-12%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-2-1)10% (A-2-2)20% (A-2-3)27,5% (A-2-4)-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-2(Beton C35/45, I-Träger)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-2-1)10% (A-2-2)20% (A-2-3)27,5% (A-2-4)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]

C-12 Anhang CSystem A-3-1 (0% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NL1000M F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-25004%MomentenumlagerungUmlagerung der Biegemomente2%M uml.,F0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-2%M uml.,S-4%-6%-8%-10%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-13System A-3-2 (10% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLBiegemomente [kNm]M F,EL50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500Momentenumlagerung4%Umlagerung der BiegemomenteM uml.,F2%0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-2%-4%M uml.,S-6%-8%-10%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-14 Anhang CSystem A-3-3 (12% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - BiegemomentbeziehungenM F,NL1000M F,ELBiegemomente [kNm]50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500Momentenumlagerung4%Umlagerung der BiegemomenteM uml.,F2%0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-2%-4%M uml.,S-6%-8%-10%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung160statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-15Systeme A-3-1 bis A-3-3 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%Momentenumlagerung in den Trägern A-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt)FeldZwischenauflager12% (A-3-3)10% (A-3-2)0% (A-3-1)Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-3-1)-6%10% (A-3-2)-8%12% (A-3-3)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%Bei Abminderungdes Stützmoments-8%0% (A-3-1)10% (A-3-2)12% (A-3-3)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt){Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}0%-2%-4%-6%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-3-1)10% (A-3-2)12% (A-3-3)-8%-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]

C-16 Anhang CSystem A-4-1 (0% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - Biegemomentbeziehungen1000M F,NLBiegemomente [kNm]M F,EL50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NLM S,EL-20006%Momentenumlagerung4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]

Anhang C C-17System A-4-2 (5,3% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)1500Last - BiegemomentbeziehungenM F,NL1000Biegemomente [kNm]M F,EL50000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]-500-1000-1500M S,NLM S,EL-20006%Momentenumlagerung4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]

C-18 Anhang CSysteme A-4-1 bis A-4-2 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%-2%-4%-6%Momentenumlagerung in den Trägern A-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)FeldZwischenauflager5,3% (A-4-2)0% (A-4-1)Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-4-1)-8%5,3% (A-4-2)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-4-1)-10%5,3% (A-4-2)-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)0%{M p,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-4-1)-8%5,3% (A-4-2)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g+q [kN/m]

Anhang C C-19System A-5-1 (0% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NL1000Biegemomente [kNm]5000-500M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,NL-2500M S,EL-30006%Momentenumlagerung4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]

C-20 Anhang CSystem A-5-2 (10% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NLBiegemomente [kNm]10005000-500-1000M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-1500-2000-2500M S,NLM S,EL-30006%MomentenumlagerungUmlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]

Anhang C C-21System A-5-3 (20% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NLBiegemomente [kNm]10005000-500-1000M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-1500M S,NL-2000-2500M S,EL-30006%MomentenumlagerungUmlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]

C-22 Anhang CSystem A-5-4 (30% Momentenumlagerung bei der Querschnittsbemessung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NL1000Biegemomente [kNm]5000-500M F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-30006%MomentenumlagerungUmlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]-6%-8%M uml.,S-10%-12%160Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]14012010080604020M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g + q [kN/m]

Anhang C C-23Systeme A-5-1 bis A-5-4 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%Momentenumlagerung in den Trägern A-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)Feld30% (A-5-4)20% (A-5-3)10% (A-5-2)0% (A-5-1)-2%Bei Abminderungdes Stützmoments-4%Zwischenauflager0% (A-5-1)-6%10% (A-5-2)-8%20% (A-5-3)-10%30% (A-5-4)-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger A-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%-10%-12%Bei Abminderungdes Stützmoments30% (A-5-4)0% (A-5-1)10% (A-5-2)20% (A-5-3)-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger A-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)0%{Mp,ind.NL - Mp,ind.E-Th} / {Mp,ind.E-Th}-2%-4%-6%-8%Bei Abminderungdes Stützmoments0% (A-5-1)10% (A-5-2)20% (A-5-3)30% (A-5-4)-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65Last g+q [kN/m]

C-24 Anhang CSystem B-1-1 (M p,ind. = 0, zentrische Vorspannung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NLBiegemomente [kNm]10005000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M F,EL-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung4statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]32M p,ind.,S1M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55-1-2-3-4Last g + q [kN/m]

Anhang C C-25System B-1-2 (kleine stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000Biegemomente [kNm]5000-500M F,NLM S,NL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M F,EL-1000-1500-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung30statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]252015105M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

C-26 Anhang CSystem B-1-3 (mittlere stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M F,EL-1000-1500M S,NLM S,EL-2000-2500-30008%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-6%M uml.,S-8%-10%-12%300Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]25020015010050M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

Anhang C C-27System B-1-4 (große stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000Biegemomente [kNm]5000-500M F,NLM S,NLM F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,EL-2000-2500-30008%Momentenumlagerung6%Umlagerung der Biegemomente4%2%0%-2%-4%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-6%-8%-10%-12%600Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannungstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]500400300200100M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

C-28 Anhang CSysteme B-1-1 bis B-1-4 (Zusammenfassung)8%Momentenumlagerung in den Trägern B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%-2%-4%FeldNullmittelgrosskleinBei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:gross-6%Zwischenauflager-8%mittelNull-10%klein-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%-10%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-1(Beton C35/45, Rechteck-Querschnitt)[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]0%-2%-4%-6%-8%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-10%-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]

Anhang C C-29System B-2-1 (M p,ind. = 0, zentrische Vorspannung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NL1000M F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,NL-2000-2500M S,EL-3000Momentenumlagerung8%6%M uml.,F4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung4statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]3M p,ind.,S21M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55-1-2-3-4Last g + q [kN/m]

C-30 Anhang CSystem B-2-2 (kleine stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLM S,NLM F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,EL-2500-30008%Momentenumlagerung6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung30statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]252015105M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

Anhang C C-31System B-2-3 (mittlere stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-500-1000-15000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M S,NLM F,EL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung300statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]25020015010050M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

C-32 Anhang CSystem B-2-4 (große stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M F,EL-1000-1500-2000M S,NLM S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung600statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]500400300200100M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g + q [kN/m]

Anhang C C-33Systeme B-2-1 bis B-2-4 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente8%6%4%2%0%-2%-4%-6%-8%-10%Momentenumlagerung in den Trägern B-2(Beton C35/45, I-Querschnitt)FeldZwischenauflagerBei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]NullNullgrossgrossmittelmittelkleinklein2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-2(Beton C35/45, I-Querschnitt)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%-8%-10%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-12%-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-2(Beton C35/45, I-Querschnitt)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-8%-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Last g+q [kN/m]

C-34 Anhang CSystem B-3-1 (M p,ind. = 0, zentrische Vorspannung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NLM S,NLM F,EL1000Biegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000-2500M S,EL-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung4statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]3M p,ind.,S21M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60-1-2-3-4Last g + q [kN/m]

Anhang C C-35System B-3-2 (kleine stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen1500Biegemomente [kNm]10005000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M F,NLM F,EL-1000-1500M S,NL-2000-2500M S,EL-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung100M p,ind.,Sstatisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]80604020M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-36 Anhang CSystem B-3-3 (mittlere stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000500M F,NLM F,ELBiegemomente [kNm]0-500-10000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%M uml.,F0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung300statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]25020015010050M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-37System B-3-4 (große stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M F,EL-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung600statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]500400300200100M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-38 Anhang CSysteme B-3-1 bis B-3-4 (Zusammenfassung)8%Momentenumlagerung in den Trägern B-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]-2%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:-4%-6%FeldZwischenauflagerNullgrosskleinmittelmittel-8%-10%Nullgrossklein-12%2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt)[M p,ind. NL - M p,ind. E-Th. ] / [M p,ind. E-Th. ])0%-2%-4%-6%-8%-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]grossBei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:mittelklein-12%2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-3(Beton C35/45, Plattenbalken-Querschnitt)[M p,ind. NL - M p,ind. E-Th. ] / [M p,ind. E-Th. ]0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Bei st.unb.MomentenLast g+q [kN/m]inf. Vorspannung:-2%-4%-6%-8%grossmittelklein-10%-12%

Anhang C C-39System B-4-1 (M p,ind. = 0, zentrische Vorspannung)2000Last - BiegemomentbeziehungenBiegemomente [kNm]150010005000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M F,NLM F,EL-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%M uml.,F4%Umlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]-8%M uml.,S-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung4statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]32M p,ind.,S1M p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1-2-3-4Last g + q [kN/m]

C-40 Anhang CSystem B-4-2 (kleine stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M F,EL-1000M S,NL-1500-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung30statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]252015105M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]

Anhang C C-41System B-4-3 (mittlere stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLM S,NLM F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]-1000-1500M S,EL-2000-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung300statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]25020015010050M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]

C-42 Anhang CSystem B-4-4 (große stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000Biegemomente [kNm]5000-500M F,NLM S,NLM F,EL0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung600statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]500400300200100M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g + q [kN/m]

Anhang C C-43Systeme B-4-1 bis B-4-4 (Zusammenfassung)8%Momentenumlagerung in den Träger B-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)Umlagerung der Biegemomente6%4%2%0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2%Last g+q [kN/m] Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:-4%FeldNullgrossmittelklein-6%-8%Zwischenauflagergrossmittel-10%Nullklein-12%2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)[M p,ind. NL - M p,ind. E-Th. ] / [M p,ind. E-Th. ])0%-2%-4%-6%-8%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g+q [kN/m]Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:gross-10%mittelklein-12%2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-4(Beton C25/30, I-Querschnitt)[M p,ind. NL - M p,ind. E-Th. ] / [M p,ind. E-Th. ]0%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Last g+q [kN/m]-2%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:-4%-6%-8%mittelgrossklein-10%-12%

C-44 Anhang CSystem B-5-1 (M p,ind. = 0, zentrische Vorspannung)2000Last - Biegemomentbeziehungen1500M F,NL1000M F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,NL-2500M S,EL-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung4statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]3M p,ind.,S2M p,ind.,F100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60-1-2-3-4Last g + q [kN/m]

Anhang C C-45System B-5-2 (kleine stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLM S,NLM F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung30statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]252015105M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-46 Anhang CSystem B-5-3 (mittlere stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - BiegemomentbeziehungenBiegemomente [kNm]150010005000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M F,NLM F,EL-1000-1500M S,NL-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung300statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]25020015010050M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

Anhang C C-47System B-5-4 (große stat. unbest. Momente inf. Vorspannung, M p,ind. )2000Last - Biegemomentbeziehungen15001000M F,NLM S,NLM F,ELBiegemomente [kNm]5000-5000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]-1000-1500-2000M S,EL-2500-3000Momentenumlagerung8%6%4%M uml.,FUmlagerung der Biegemomente2%0%-2%-4%-6%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]M uml.,S-8%-10%-12%Entwicklung der statisch unbestimmten Biegemomente infolge Vorspannung600statisch unbest. Biegemomente inf. Vorspannung [kNm]500400300200100M p,ind.,SM p,ind.,F00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g + q [kN/m]

C-48 Anhang CSysteme B-5-1 bis B-5-4 (Zusammenfassung)Umlagerung der Biegemomente8%6%4%2%0%-2%-4%-6%-8%Momentenumlagerung in den Trägern B-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)FeldZwischenauflagerNullgrossBei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelmittelklein-10%Nullklein-12%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungüber dem Zwischenauflager der Träger B-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]0%-2%-4%-6%-8%-10%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-12%-14%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]2%Entwicklung der statisch unbestimmten Momente inf. Vorspannungim Feld der Träger B-5(Beton C50/60, I-Querschnitt)0%[Mp,ind. NL - Mp,ind. E-Th.] / [Mp,ind. E-Th.]-2%-4%-6%Bei st.unb.Momenteninf. Vorspannung:grossmittelklein-8%-10%0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Last g+q [kN/m]