Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung

256 :1 zu 255 addieren( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 2 = ( 1 0 0 ) 16 = ( 256 ) 1024 , 375ganzzahliger Anteil :24 / 2 = 12 R 0 a 0 = 0 24 / 16 = 1 R 8 a 0 = 812 / 2 = 6 R 0 a 1 = 0 1 / 16 = 1 R 15 a 1 = 16 / 2 = 3 R 0 a 2 = 03 / 2 = 1 R 1 a 3 = 11 / 2 = 0 R 1 a 4 = 1( 1 1 0 0 0 ) 2 = ( 1 8 ) 16 = ( 24 ) 10gebrochener Anteil :0.375 2 = 0.750 a -1 = 0 0.375 * 16 = 6.0 a -1 = 60.750 2 = 1.500 a -2 = 10.500 2 = 1.000 a -3 = 1( 0 . 0 1 1 ) 2 = ( 0 . 6 ) 16 = ( 0.375 ) 10Ergebnis : ( 1 1 0 0 0 . 0 1 1 ) 2 = ( 1 8 . 6 ) 16 = ( 24.375 ) 100 , 30.3 2 = 0.6 a -1 = 0 0.3 16 = 4.8 a -1 = 40.6 2 = 1.2 a -2 = 1 0.8 16 = 12.8 a -1 = C0.2 2 = 0.4 a -3 = 0 0.8 16 = 12.8 a -1 = C0.4 2 = 0.8 a -4 = 00.8 2 = 1.6 a -5 = 10.6 2 = 1.2 a -6 = 10.2 2 = 0.4 a -7 = 00.4 2 = 0.8 a -8 = 00.8 2 = 1.6 a -9 = 1( 0 . 0 1 0 0 1 1 0 0 1 .. ) 2 = ( 0 . 4 C C ... ) 16 = ( 0.3 ) 10Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 2

Abschneiden - endliche Zahl von NachkommastellenDie Zahl 0.3 kann im Dualsystem nicht mit endlich vielen Stellen dargestelltwerden. Dieses Verhalten gibt es auch im Dezimalsystem. Dort kann z.B. dieZahl 1/3 nicht mit endlich vielen Stellen dargestellt werden. Die Zahlen 0.33,0.333 oder 0.3333 stellen nur Näherungen für die Zahl 1/3 dar.( 0.3 ) 10 = ( 0 . 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ... ) 2a) Abschneiden nach 3 Nachkommastellen :0.3 ( 0 . 0 1 0 ) 2 = 1 2 -2 = 0.25rel. Fehler0.3 0.25 0.167 16.7%0.3b) Abschneiden nach 6 Nachkommastellen :0.3 ( 0 . 0 1 0 0 1 1 ) 2 == 12 -2 +12 -5 +12 -6 = 1/4 + 1/32 + 1/64 == 19/64 = 0.2969rel. Fehler0.3 0.2969 0.0104 1.04%0.3c) Abschneiden nach 9 Nachkommastellen :0.3 ( 0 . 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ) 2 == 12 -2 +12 -5 +12 -6 = 1/4 + 1/32 + 1/64 + 1/512 == 153/512 = 0.298828rel. Fehler0.3 0.298828 0.0039 0.39%0.3Die Genauigkeit, mit der die Zahl 0.3 angenähert wird, ist umso größer, je mehrNachkommastellen berücksichtigt werden.Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 3

Aufgabe 2 :Welche Dezimalwerte besitzen die folgenden Zahlen ?(1101) 2 (7F) 16 (20) 16 (AFFE) 16(ABC) 16 (11.0101) 2 (A.1B) 16Lösung :(1101) 2 = 8 + 4 + 1 = 13(7F) 16 = 7 16 1 + 15 = 127(20) 16 = 2 16 1 + 0 16 0 = 32(AFFE) 16 = 10 16 3 + 15 16 2 + 15 16 1 + 14 16 0 = 45054(ABC) 16 = 10 16 2 + 11 16 1 + 12 16 0 = 2748(11.0101) 2 = 1 2 1 + 1 2 0 + 1/4 + 1/16 = 3 + 5/16 = 3.3125(A.1B) 16 = 10 16 0 + 1/16 +11/256 = 10 + 27/256 = 10.1055Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 4

Aufgabe 3 :Wie viele Speicherzellen gibt es im angegebenen Adressbereich ?[ 000C 8000 – 000D FFFF ]Jede Adresse in diesem Bereich kann eine Speicherzelle identifizieren.Lösung :Lösungsvariante 1 :Differenz der Hexzahlen bilden und Zahl ins Dezimalsystem umrechnen000D FFFF- 000C 80000001 7FFF( 1 7 FFF ) 16 = 1*16 4 + 7*16 3 + 15*16 2 + 15*16 1 + 15*16 0= 98303Zahl der Speicherzellen 98304Lösungsvariante 2 :Zahlen ins Dezimalsystem umrechnen und dann die Differenz bilden000D FFFF 917 503- 000C 8000 819 20098 303Zahl der Speicherzellen 98304Lösungsvariante 3 :Hexzahlen ins Dualsystem umwandeln, Differenz bilden und Zahl insDezimalsystem umrechnen0000 0000 0000 1101 1111 1111 1111 11110000 0000 0000 1100 1000 0000 0000 00000000 0000 0000 0001 0111 1111 1111 11111 0000 0000 0000 0000 = 2 16 = 655360111 1111 1111 1111 = 2 15 -1 = 3276798303Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 5

Adressierung von SpeicherzellenAdressen Speicherzellen Dezimalwerteder Adressen0000 0000 0. . . . . .000C 7FFF 819 199000C 8000 819 200000C 8001 819 201000C 8002 819 202. . . . . .000D FFFD 917 501000D FFFE 917 502000D FFFF 917 503000E 0000 917 504000E 0001 917 505. . .Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 6

Aufgabe 4 :Addieren Sie die folgenden Dualzahlen :1011 1011 10111001 11 1111Lösung :1011 11 1011 11 1011 111001 9 11 3 11 311 11 11 3110110100 20 1110 14 10001 17Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 7

Aufgabe 5 :Vervollständigen Sie die Multiplikationstafel für das Dualsystem.Berechnen sie dann anschließend 10 * 5 und 20 * 4 im Dualsystem.+ 0 10 0 11 1 10 0 101Berechnen Sie das Produkt der folgenden Dualzahlen.1011 * 101 1011 * 100 1011 * 10Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse, indem Sie die entsprechendenRechnungen auch im Dezimalsystem ausführen.Lösung :+ 0 10 0 11 1 10 0 10 0 01 11011 * 101 1011 * 100 1011 * 101011 1011 10111011 101100 1011011011111*5 = 55 11*4 = 44 11*2 = 22Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 8

Aufgabe 6 :Vervollständigen Sie die Additions- und die Multiplikationstafelfür das 5-er System. Im 5-er System gibt es nur die Ziffern 0, 1,2, 3 und 4 . Wie werden die Zahlen 5 und 6 im 5-er Systemdargestellt ? Welchen Dezimalwerten entsprechen die Zahlen(13) 5 und (24) 5 ?+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 22 23 34 4 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 23 0 34 0 4Lösung :+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 102 2 3 4 10 113 3 4 10 11 124 4 10 11 12 13 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 11 133 0 3 11 14 224 0 4 13 22 31(13) 5 = 1 5 1 + 3 5 0 = 8(24) 5 = 2 5 1 + 4 5 0 = 10 + 4 = 14Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 9

Aufgabe 7 :Welchen Dezimalzahlen entsprechen die folgenden 4 Zahlen10101100 E3 F7 38wobei es sich jeweils um die 2-er-Komplementdarstellung mit8-Bit handelt ?Hinweis : E3 ist die Hexdarstellung einer BinärzahlE3 = 1110 0011Lösung :1er- Komplement +11010 1100 -> 0101 0011 -> 0101 0100 64+16+4 = 84 Zahl = -84E3 = 1110 0011 -> 0001 1100 -> 0001 1101 16+8+4+1 = 29 Zahl = -29F7 = 1111 0111 -> 0000 1000 -> 0000 1001 8+1 = 9 Zahl = -938 = 0011 1000 -> 32+16+8 = 56Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 10

Aufgabe 8 :Wie lautet die 2-er-Komplementarstellung (dual, hex) der Dezimalzahlen -13 und -43, wenn 8- bzw. 16-Bit-Register verwendet werden ?Lösung :8-Bit :1er-Komplement +113 0000 1101 -> 1111 0010 -> 1111 0011 = F343 0010 1011 -> 1101 0100 -> 1101 0101 = D516-Bit :1er-Komplement13 0000 0000 0000 1101 -> 1111 1111 1111 0010+11111 1111 1111 0011 = FF F343 0000 0000 0010 1011 -> 1111 1111 1101 0100+11111 1111 1101 0101 = FF D5Lösungen der Aufgaben zur Zahlendarstellung 11