GET1_2_Elektrisches_Feld_HO

Grundlagen der Elektrotechnik GET 1
2. Das elektrische Feld
[Buch Seite 19-102]
• Ladung und Coulomb‘sches Gesetz
• Die elektrische Feldstärke
• Elektrische Feldstärke und leitende Materialien
• Die elektrische Flussdichte
• Elektrisches Feld und Dielektrikum
• Grenzbedingungen des elektrischen Feldes
• Energieinhalt und Kraftwirkung
Ladung und Coulomb’sches Gesetz I
Phänomenologisch
Kraftwirkung auf
geladene Körper
-22-
-23-
1

Ladung und Coulomb’sches Gesetz II
Phänomenologisch
Q 1
> 0 Q 2
< 0
F 12
F 21
Es gibt eine Kraftwirkung auf
elektrisch geladene Körper.
Schreibweise: F 12 ist Kraft,
welche die Ladung Q 2 auf das
mit Q 1 geladenen Volumen V 1
ausübt.
Kraftwirkung ist symmetrisch,
d.h. Körper 2 erzielt auf den
Körper 1 die gleiche Kraftwirkung,
wie der Körper 1 auf den
Körper 2: «actio = reactio».
F 12
= F 21
F 12
= F 21
-24-
V 1
V 2
-25-
Ladung und Coulomb’sches Gesetz III
Kontinuierliche Ladungsverteilung
Einheit der Ladung:
[Q] = Coulomb = C = As
(A) Raumladungsdichte : (B) Flächenladungsdichte : (C) Linienladungsdichte :
( r
Q
)= lim
V0
V = dQ ( r
) = … = dQ ( r
) = … = dQ
dV r
dA r
d r
[ ]= C = As
m 3 m [ ]= C = As [ ]= C = As
3
m 2 m m
m 2
2

Ladung und Coulomb’sches Gesetz IV
Konzept der Punktladung
-26-
Kugel mit Ladung
• Kugelvolumen:
V 0
= 4 3 r 3
0
Fall #1:
Fall #2:
• Ausgangs-
Ladungsdichte:
0
= 3Q 0
4 r 0
3
Fall #1 ( = konstant):
( ) = 0
V( r) 0
QV
V 0
r 0
Fall #2 (Q = konstant):
( ) = Q 0
V( r)
V
V 0
r 0
Ladung und Coulomb’sches Gesetz V
Konzept der Punktladung
-27-
Fall #2: Endliche Ladung Q 0 in verschwindendem Volumen V.
Ladungsdichte unendlich gross (unrealistisch)
Bindungsenergie (für den Zusammenhalt) divergiert (unrealistisch)
Diese unrealistische Konfiguration ist praktisch und heisst: Punktladung.
Beispiel: «Proton»
29
Cu
63
2·R k
P
=
(im Sinne einer «real existierenden» Punktladung)
3e
4 R = 31.602 1019 As
3
P 4 1.2 fm
22.110 24 As
( ) 3 m 3
2·R p
K
=
P
1+ AZ
Z
= 22.11024 As
m 3
1+ 6329
29
10.2 10 24 As
m 3
3

Ladung und Coulomb’sches Gesetz VI
Zwei Punktladungen
Modell für die Kraftwirkung
Experiment:
• Ungleiche Ladungen
ziehen sich an.
• Gleiche Ladungen
stossen sich ab.
• Beobachtungen:
F 12
= F 21
1
r
2
F 12
= F 21
Q 1
F 12
= F 21
Q 2
F 12
= F 21
= k Q 1
Q 2
r 2
Konstante k ist
materialabhängig
• Kräfte materialabhängig
Ladung und Coulomb’sches Gesetz VII
-28-
-29-
Zwei Punktladungen
Gleichheit der
Einheiten im
SI-System sichern;
Faktor 1/(4) ist
historisch.
F 12
= F 21
= k Q 1
Q 2
r 2
k = 1
4
F 12
= F 21
= 1
4 Q Q 1 2
r 2
Vakuum: 0 = 8.8541878·10 –12 AsV –1 m –1
0
: elektrische Feldkonstante
Material: = 0· r
: Permittivität
r
: Permittivitätszahl, r
1
wobei r
= 1 in Vakuum
Das Coulomb’sches Gesetz
Richtung: auf Verbindungslinie zwischen Punktladungen Q 1
und Q 2
.
4

Ladung und Coulomb’sches Gesetz VIII
Alternative Schreibweise
F = 1
4 Q 1
Q 2
r 2
gleichnamig Abstossung
• Ladungen Q 1 und Q 2 gehen mit
ihren Vorzeichen in die
Rechnung ein.
• Coulomb’sches Gesetz gilt
näherungsweise auch für
kugelförmige Ladung mit
endlichem Radius R:
Abstand r >> R.
• Klasische Schreibweise eines
Fernwirkungsgesetzes.
ungleichnamig Anziehung
Die elektrische Feldstärke I
Definition
-30-
-31-
F
Kraft auf eine
Probeladung q +
Q>0 q +
F
Die «Landkarte» der Kraftwirkung,
d.h. das Kraftfeld, ermöglicht die
Definition eines elektrischen Felds,
bzw. der elektrischen Feldstärke:
E r ( ) = lim
q + 0
F
q +
r
Einheit der elektrischen Feldstärke:
E =
F
[ q + ] = N As = …
Folie14
= V m
5

Die elektrische Feldstärke II
Bemerkungen
F
E r ( ) = lim
q + 0
Kommentar:
q +
r
In Worten:
Die elektrische Feldstärke ist die am Ort r mit der Probeladung
q + normierte Kraftwirkung, welche durch die
Ladung Q mit verursacht wird.
• Probeladung q + soll möglicht klein sein (noch besser: verschwinden), damit sie das
elektrische Feld E der Ladung Q nicht beeinflusst. Unter solchen Bedingungen gilt:
(A) (elektrisches Feld) (Kraftfeld)
(B) «lokaler» Charakter der Felddefinition gewährleistet: Weg von der Fernwirkung!
• Umkehrung bringt den «Feldcharakter» der Definition besser zur Geltung:
Gegeben: E-Feld
Probeladung q +
Gesucht: Kraftwirkung
F = q +
E
gilt auch
allgemein!
F = Q E
(für beliebig grosse Ladung Q)
-32-
Die elektrische Feldstärke III
Das elektrische Feld
F = q i
E E r
F
( 0 ) = lim
q i 0 q
verschiedene i
i = 1, 2,… Probeladungen
r0
(A) Fernwirkungsgesetz (Coulomb):
Beschreibt Kraftwirkung zwischen Ladungen.
Ladung ist Ursache der Kraftwirkung.
(B) Konzept des elektrischen Feldes:
Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
In Bezug auf die Kraftwirkung sind Ladung
und E-Feld einander gleichgestellt.
(C) Der Feldbegriff:
Die wichtigste Basisinnovation in der Physik
des 19. Jahrhunderts!
1. «Allgemein» heisst auch, dass diese
Definition der E-Feldstärke am Ort r 0
eigentlich unabhängig von der Grösse
der Probeladung q i ist.
2. Das E-Feld ist daher eine von der
Probeladung q i
unabhängige physikalische
Qualität des Raumes.
3. Beispiel: Probeladung q i im Wirkungsbereich
der Punktladung Q:
1
F = q i
4 Q
r 2
als abstrakter
Raumzustand
aufgefasst.
-33-
6

Die elektrische Feldstärke IV
Das elektrische Feld
E
P
Elektrische Feldstärke ist ein Vektorfeld und beschreibt
die Kraftwirkung des E-Feldes auf eine Probeladung.
E
P
r
r
Q 1 >0
Q 2 0
Aus
Folie 33:
mit:
e r
=
E r ( )=
1
F = q i
Q
4 0
r 2
r
r = r
r
Q
4 0
r 2 r
r =
Raumzustand E
Q
E =
4 0
r 2
Q
E =
4 0
r e 2 r
Q
4 0
r 3 r
-34-
-35-
7

Die elektrische Feldstärke VI
Verlauf des Absolutbetrags der elektrischen Feldstärke
E
• Verlauf der Feldstärke weist
Q
Singularität bei r 0 auf,
4 0 ( 1cm 2
)
d.h. Feldstärke strebt dort
gegen unendlich.
Q
( )
4 0
4cm 2
~ 1
r 2
• Fazit #1: Punktladung ist ein
idealisiertes Modell.
• Fazit #2: Die Quelle (Ladung)
ist nicht wirklicher Teil der
Feldtheorie.
0 1 2 3 cm r
Die elektrische Feldstärke VII
Feldlinien des elektrischen Feldes
A
A
A
A
Q>0
Q

Die elektrische Feldstärke VIII
Elektrisches Feld von zwei Punktladungen
-38-
E 1
Q 1 >0
E 2
E 2
E
E 1
q +
E 2
q +
E
E 1
E = 0 q +
E 2 E 1
q +
E 1
E Symmetrieebene
falls Q 1
= Q 2
Q 2 >0
E 2
Grafische
Konstruktion:
• Überlagerung
der Wirkungen,
der beiden Ladungen,
d.h.:
• Vektorielle Überlagerung
der E-
Felder herrührend
von Q 1 und Q 2 .
Die elektrische Feldstärke IX
Feldlinienbild von zwei Punktladungen
-39-
Zwei gleiche
Punktladungen
(Q > 0: Quelle; Q > 0: Quelle)
Zwei ungleiche
Punktladungen
(Q > 0: Quelle; Q < 0: Senke)
9

Die elektrische Feldstärke X
Messung von Feldlinien mittels Grassamen
+
+
+
–
Die elektrische Feldstärke XI
-40-
-41-
Feldberechnung bei zwei positiven Punktladungen
E 2
y
P
r 1
y 1
r 2
d z d
z 1 x 1 0
x
Q 1 = +Q
r 1
= ( x 1
, y 1
,z 1 )= ( x + d, y,z)
r 1
= r 1
=
y
E
E 1
z 2
y 2
x 2
Q 2 = +Q
r2 = x 2
, y 2
, z 2
( x + d) 2 + y 2 + z 2 r 2
= r 2
= x d
Koordinatensysteme:
(x, y, z): Ortskoordinaten
(x i , y i , z i ): lokale Systeme,
i = 1,2
x
( )= ( x d, y, z)
( ) 2 + y 2 + z 2
10

Die elektrische Feldstärke XII
-42-
Kurzes Intermezzo: «Vektoren» (Buch Anhang A6)
x
e x
x 0
z 0
z
e z
r
ey
(D) Einheitsvektor:
r = r e r
e r
=
y 0
r r =
y
( )
x 0
, y 0
, z 0
x 0 2 + y 0 2 + z 0
2
(A) Koordinatensystem:
Karthesisch:
(B) Vektor:
r = x 0
, y 0
, z 0
( )
x, y, z
= x 0
e x
+ y 0
e y
+ z 0
e z
(C) Betrag des Vektors:
r = x 2 0
+ y 2 2
0
+ z 0
= x 0
e x
+ y 0
e y
+ z 0
e z
x 2 0
+ y 2 2
0
+ z 0
e r
-43-
Die elektrische Feldstärke XIII
Feldlinienbild von zwei positive Punktladungen
E 1
=
E 2
y
P
r 1
y 1
r 2
d z d
z 1 x 1 0
x
Q 1 = +Q
Q 1
4 0
r 1
3 r 1
r 1
= x 1
ex + y 1
ey + z 1
ez = x + d
y
E
( ) e x
+ y e y
+ z e z
E 1
z 2
y 2
x 2
Q 2 = +Q
Elektrisches Feld im Punkt P:
E 2
=
x
(vektorielle Addition)
Q 2
4 0
r 2
3 r 2
r 2
=… = x d
E = E 1
+ E 2
( ) e x
+ y e y
+ z e z
11

Die elektrische Feldstärke XIV
Feldlinienbild von zwei positiven Punktladungen
Q
E 1
= 1
3
4 0
r r 1
= Q ( x + d) e 1
x
+ ye y
+ ze z
1
4 0
x + d
E 2
=
Q 2
4 0
r 2
3 r 2
= Q 2
4 0
Elektrische Feldstärke im Punkt P(x,y,z):
( ) 2 + y 2 + z 2 3
( x d) e x
+ ye y
+ ze z
( x d) 2 + y 2 + z 2 3
E = E 1
+ E 2
=
Q
x + d
4 0
x + d
Q 1
= Q 2
= Q
( ) e x
+ ye y
+ ze ( z
( ) + x d)
e x
+ ye y
+ ze z
2
+ y 2 + z 2 3 ( x d) 2 + y 2 + z 2 3
Die elektrische Feldstärke XV
Feldlinienbild von zwei positiven Punktladungen
-44-
-45-
Elektrisches Feld in der Symmetrieebene:
E( 0, y,z)= Q
4 0
z
2y e y
+ 2z e z
d 2 + y 2 + z 2 3
E
Symmetrieebene falls Q 1
= Q 2
> 0
x
y
Hier: Komplikation
mit dem Konzpt
der Feldlinien, da
die Feldlinien von
keiner Ladung
ausgehen!
12

Die elektrische Feldstärke XVI
Feldlinienbild von zwei ungleichen Punktladungen
Q 1
= Q 2
Q 2
= Q
Q 1
= Q 5
Q 2
= Q
Die elektrische Feldstärke XVII
Feldlinienbild mit kleiner Probeladung
-46-
-47-
Q 1
= Q 5 =:q +
Q 2
= Q
Q 1
= Q 5 =:q +
Q 2
=+Q
13

Die elektrische Feldstärke XVIII
Zusammenfassung
• «Elektrisierte» (elektrisch geladene) Körper erfahren gegenseitige Kraftwirkung.
• Ursache der Kraftwirkung: Ladung.
• Ladungskonzepte: kontinuierliche Ladungsverteilungen, Punktladung.
• Das mit den Ladungen verknüpfte Kraftgesetz: Coulomb’sches Gesetz.
• Probeladung: Vom Kraftfeld zum elektrischen Feld, elektrische Feldstärke.
• Unterscheidung: Fernwirkungstheorie Feldtheorie.
• Darstellungen des elektrischen Feldes: Vektorfeld, Feldlinien.
• Berechnung des elektrischen Feldes: zwei Punktladungen.
Die Definition des elektrischen Feldes beruht auf dessen Wirkung,
d.h. auf dessen Kraftwirkung auf eine Probeladung.
Leiter im elektrischen Feld I
-48-
-49-
Feldfreiheit im idealen Leiter
Fazit #1:
• Ladungsverschiebung bewirkt sekundäres Feld E sek .
• Im Gleichgewicht kompensiert E sek
das Feld E 0
.
• Das Innere von Leitern ist demnach feldfrei.
Experiment: Influenz
• Metallischer Leiter (neutral) in
konstantem, homogenen
elektrischen Feld E 0 .
• Leiter: frei bewegliche
Ladungsträger (Elektronen)
n = 10 23 cm –3 (Anzahl
negative Ladungsträger
pro Volumen).
• Kräfte wirken auf die frei
beweglichen Ladungsträger
an der Oberfläche.
• Oberflächenladung erfährt
beim Eintritt bzw. beim Ausder
Feldlinie einen negativen
bzw. positiven Überschuss.
14

Leiter im elektrischen Feld II
-50-
Feldlinienbild bei einem ideal leitenden Körper
Fazit #2: Das elektrische Feld trifft stets senkrecht
auf die Leiteroberfläche auf.
Allgemeine Aussagen
• Gleichgewicht: Ohne Kräfte
(Felder) werden keine
Ladungen mehr verschoben.
• Gleichgewicht stellt sich fast
instantan ein (< 10 fs), d.h.
Aussage über Feldfreiheit im
Leiterinneren gilt allgemein.
• Sekundärfeld E sek
bewirkt:
(A) Innern: Feldfreiheit
(B) Äussern: keine parallelen
Feldkomponenten entlang
der Leiteroberfläche.
• Anschaulich: Elektrische
Feldlinien werden vom Leiter
«angesaugt».
Leiter im elektrischen Feld III
-51-
Zwei geladene, leitenden Körper (Elektroden)
Experiment: Plattenelektroden
• Ladungen: unten +IQI, oben -IQI
• Ladungen ziehen sich an und
sammeln sich an gegenüberliegenden
Elektrodenoberflächen
an (kürzester Abstand).
• Teilausschnitt : radiales Feld
der Punktladung überlagert
sich zu senkrecht zur Oberfläche
stehendem, homogenem
Feld E 0
.
• Teilausschnitt : radiales Feld
kommt in der Ecke voll zur
Geltung: mehr Feldlinien pro
Elektrodenfläche, d.h. Feld ist
dort überhöht, d.h. inhomogen.
15

Leiter im elektrischen Feld IV
Die Feldstärke entlang von Ecken und Kanten
2,5
2,0
Elektroden-Innenseite
E
1,5
w
E 0
1,0
3
0,5
10
0
Elektroden-Außenseite
0 3 6 9 12 mm
w
Fazit: Starke Feldüberhöhung an Ecken und Kanten, d.h an Orten mit r Krümmung 0.
Leiter im elektrischen Feld V
Praxis Hochspannungstechnik:
Alles abrunden
E
-52-
-53-
Äusseres
Inneres
Trick:
• Inneres der leitenden Elektrode ist
tendenziell feldfrei.
• Kanten und Ecken ins Innere verlegen.
• Krümmung: Steuerung der Feldstärke.
16

Leiter im elektrischen Feld VI
Feldlinienbild bei einer leitenden Kugel
-54-
(1) Experiment: geladene Kugel
• Negative Überschussladung -IQI
auf Kugel mit Radius r 0 aufbringen.
-
-
-
• Ladungen stossen sich ab und
lagern sich auf Kugeloberfläche
an.
-
-
-
r 0
-
E
-
• Symmetrie bewirkt radiales Feld.
• Symmetrie: bewirkt gleichmässige
Ladungsverteilung:
= dQ
dA
=
Q
4 r 0
2
Q A
Q
gleichmässig
verteilt
Flächenladungsdichte
Leiter im elektrischen Feld VII
Feldlinienbild bei einer leitenden Kugel
(2) Ein sehr ferner Beobachtungspunkt:
-
• Aus der Ferne besehen erscheint
die geladene Kugel wie eine Punktladung
mit der Gesamtladung -IQI.
• Das elektrische Feld der geladenen
Kugel lässt sich daher «ausserhalb»
mit demjeinigen der Punktladung
gleichsetzen.
• Demnach ergibt sich für r > r 0
für
die elektrische Feldstärke:
-55-
E
E =
Q
4 0
r 3 r
(ausserhalb der Kugel)
17

Die elektrische Flussdichte I
Einführende Betrachtungen
n
n
+ + + + + +
- - - - - -
n
n
+ + + + + +
- - - - - -
n´
n
a)
c)
E
E
D
n
+ + + + + +
- - - - - -
-
n
+ + + + + +
- - - - -
n´
n´
Q inf
d)
E sek
b)
E
-56-
Der Influenzversuch
(a) Zwei sich berührende Leiter
(Elektroden) werden in ein
homogenes E-Feld gebracht.
(b) Leiter werden im Feld getrennt:
Positiv und negativ
geladene Elektrode; Sekundärfeld
E sek wird aufgebaut.
(c) Sekundärfeld ist gerade so
stark, dass es das E-Feld
zwischen den Elektroden
kompensiert.
(d) Elektroden werden aus dem
E-Feld genommen. Es verbleibt
das mit der influenzierten
Ladung Q inf verbundene
ehemalige Feld E sek ,
nun D-Feld genannt.
Die elektrische Flussdichte II
Beobachtungen und Schlüsse
(A) Influenzierte Ladung:
( )
Q inf
E Acos E, n
Influenzierte Elektrodenladung
(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)
Hängt praktisch nur
vom E-Feld ab
( )
inf
= Q inf
A E cos E, n
Influenzierte Flächenladungsdichte
(maximal: E-Feld normal zur Elektrode)
-57-
(B) Definition der elektrischen Flussdichte:
(1) Die elektrische Flussdichte D ist ein Vektorfeld.
(2) Sein Betrag ist die maximale, von einem
E-Feld influenzierte Flächenladungsdichte.
(3) Seine Richtung ist senkrecht zu den Plattenelektroden
und verläuft von der positiven zur
negativen Elektrode.
Als dem E-Feld zugehörige
Feldgrösse zu konzipieren.
D = lim
A0
( )
A
max Q inf
Lokale Definition im «Punkt» A.
[D] = As/m 2 = C/m 2
18

Die elektrische Flussdichte III
Diskussion
• Zum Wesen des elektrischen Feldes:
(a) Die elektrische Feldstärke E wurde hinsichtlich der (Kraft-) Wirkung des
elektrischen Feldes definiert (Folien 31, 33, 48).
(b) Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die Ursachen des
elektrischen Feldes (Ladungen).
(c) Die elektrische Feldstärke E ist die Intensitätsgrösse des elektrischen Feldes;
die elektrische Flussdichte D ist die Quantitätsgrösse des elektrischen Feldes.
Oder: Das «wie stark?» hat mit der Wirkung zu tun, das «wie viel?» mit den
Quellen.
• Zu den Bezeichnungen:
Die «elektrische Flussdichte» (Bezeichnung nach DIN 1324) wird oft auch als
«elektrische Verschiebungsdichte», «dielektrische Verschiebung», «elektrische
Erregung» oder «elektrisches Verschiebungsfeld» bezeichnet. Wir halten es mit DIN!
• Frage:
Wie kommen wir formal von der elektrischen Flussdichte zur Ursache (Ladungen)?
Die elektrische Flussdichte IV
Von der elektrischen Flussdichte zur Gesamtladung
A
- - - - -
+ + + + +
-58-
Flächen-
Integral:
-
+
Q inf
=
-
+
A
A Elektrode
-
+
-
+
n
D
-
+
DndA
d F
-
+
D
Flächenelement A :
D
n
= Q inf ,
A
=
= D
cos D
, n
N
Q inf
= Q inf,
=
=1
N
D
=1
( ( ))
n
A
Grenzfall für kleinste Teilflächen
-59-
19

Die elektrische Flussdichte IV
Elektrische Flussdichte und elektrische Feldstärke
Folie 57: Die elektrische Flussdichte ist (im Vakuum) direkt proportional zur elektrischen
Feldstärke:
Beispiel: Kugelförmige (positive) Ladung im Vakuum
E =
D = k
+ Q
4 0
r 2
«Punktartige» Ladung
(Folien 35, 54-55)
+ Q
4 0
r = 2 inf
= + Q
2
0
4r 0
Materialgleichung:
D = 0
E
Die elektrische Flussdichte V
Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss
-60-
D = kE
Kleine geladene
Kugel mit r = r 0
-61-
Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e
durch die kugelförmige Hülle?
e,
= D
n D
A
=
= + Q
4 r 2 A
N
e
= e,
=
= 1
parallel
n
+ Q
4 r 2
N
= 1
D A
A
= + Q
4 r 2 4 r 2 =+Q = Q
20

Die elektrische Flussdichte VI
Elektrischer Flussdichte und elektrischer Fluss
-62-
Fragestellung: Wie gross ist der elektrische Fluss e bei negativer Ladung?
D n
e,
= D antiparallel
n
A
=
= Q
4 r 2 A
N
e
= e,
=
= 1
Q
4 r 2
N
= 1
D A
A
= Q
4 r 2 4 r 2 = Q = Q
Die elektrische Flussdichte VII
Verallgemeinerung
-63-
Q
dA
n
E, D
Vorhin: Der elektrische Fluss e durch
eine Kugelhülle ist gerade gleich der eingeschlossenen
Ladung Q.
Verallgemeinerung #1: Der elektrische
Fluss e
durch eine beliebige geschlossene
Hülle (ohne Rand) ist gerade gleich der
eingeschlossenen Ladung Q.
e
=
Hülle
A
DndA
= Q
d F
e
=
N
= 1
D
n
A
= Q
Verallgemeinerung #2: Grenzfall für
beliebig kleine Teilflächen A ergibt
wichtige Integraldarstellung.
21

Die elektrische Flussdichte VIII
Diskussion
e
=
DndA
=Q
A
d F
Erstes Grundgesetz
der elektrischen Felder.
Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass A
stets eine geschlossene Fläche ist, d.h. stets
über eine geschlossene Hülle integriert wird.
Aussage: Der elektrische Fluss e der elektrischen
Flussdichte D, die von einer Ladung Q
erzeugt wird, ist bezüglich einer geschlossenen
Hülle immer gleich der umschlossenen
Ladung (Quelle).
Allgemein: Diese Aussage gilt sehr allgemein,
d.h. für alle elektrischen Felder und somit
auch zeitabhängige Felder!
-64-
Die obenstehende Aussage ist das erste
Grundgesetz der elektrischen Felder !
Die elektrische Flussdichte IX
Nachtrag zum Hüllenintegral
-65-
Die von D, bzw. E durchsetzte Teilfläche von A ges
ist A platte
.
Frage: Wie war das bei
den Plattenelektroden?
Dort hatten wir lediglich
über die Plattenfläche
A platte
integriert. Oder:
Steht Folie 59 im Widerspruch
zu Folie 63, 64?
Nein.
Folie 59:
?
Folie 63, 64:
A Platte
A ges
…
…
22

Die elektrische Flussdichte X
Zwischenbilanz
-66-
Zitat Buch
Seite 56/57:
(1) «Die Ursache des elektrischen Feldes sind die Ladungen; sie sind
der Ursprung und das Ende aller elektrischer Feldlinien. Aus
diesem Grund werden die Ladungen als die Quellen des
elektrischen Feldes bezeichnet (positive Ladung = Quelle Anfang
der Feldlinien, negative Ladung = Senke, Ende der Feldlinien).»
Oder: Wo Feldlinien zusammenfallen ist entweder eine Quelle
oder Senke. Ansonsten schneiden sie sich niemals.
(2) Zwischenfrage: Wo ist die Senke einer positiven Punktladung?
(3) «Die elektrische Flussdichte D ist ein Mass für die das Feld
erregenden Ladungen, sie beschreibt gleichzeitig die durch den
Influenzvorgang in leitenden Materialien getrennte Ladung pro
Flächeninhalt.»
Das elektrische Potenzial I
Probeladung im elektrischen Feld
z.B. Q > 0
q > 0
(1) Probeladung q im Punkt P’:
F
= qE
-67-
(2) Wäre Probeladung
q frei beweglich:
Ladung q würde
in Richtung von E
beschleunigt (kinetische
Energie).
(3) Daraus schliessen wir: Punkt P’ kann eine
potenzielle Energie W pot
zugeordnet werden!
23

Das elektrische Potenzial II
Potentielle Energie und Arbeit
Wie in der Physik: Bezugspunkt
der potenziellen Energie einführen.
P = P 0
: W pot
:= 0
(willkürliche Wahl)
Transport: Probeladung wird
längs der Kurve C von P 0 nach P
transportiert. Frage:
«Welche Energie hat q am Ende
des Weges in P angenommen?»
Arbeit: Frage anders stellen:
«Welche Arbeit wurde vom
elektrischen Feld während des
Transportvorgangs geleistet?»
W f
= F
s
= q E
s
W f
= F 1
s 1
+ F 2
s 2
+…+ F N
s N längsC
Mechanische
Arbeit:
W f
=
N
=1
F
s längsC
Das elektrische Potenzial III
Arbeit an einer Probeladung im elektrischen Feld
-68-
-69-
Mechanische Arbeit entlang von N Wegabschnitten:
N
W f
= F
s längsC
=
=1
=
N
=1
N
=1
Im Grenzfall infinitesimal kleiner Abschnitte:
W f
= lim
=
F
s
cos F
,s
s 0
N
N
=1
F
s
cos ( )
längsC
=
P
Fds längsC
:= Fd s
W f
= Fd s
P 0
( ( )) längsC
F
s
cos ( )
längsC
Linienintegral
C
C
24

Das elektrische Potenzial IV
Von der Arbeit zum elektrischen Potenzial
Elektrisches Potenzial:
Die Arbeit W f wird vom
elektrischen Feld beim
Transport von P 0
nach
P erbracht. Potenzielle
Energie W pot ist in P um
W f
kleiner als in P 0
.
Einsetzen der Coulomb-Kraft:
W f
= q
W f
= q
W pot
N
=1
P
p 0
E
s
cos ( )
längsC
Ed s
längsC
( P)= W f
= q
( )
( P):= W pot
P
q
= q
P
P 0
P
C
Ed s
Ed s
längsC
= Ed s
längsC
P 0
Linienintegral
Elektrisches
Potenzial
[] = J/As
= AVs/As
= V
Das elektrische Potenzial V
N Wegabschnitte
-70-
-71-
Zur Definition des elektrischen Potenzials
Zitat Buch
Seite 60:
(1) «Das elektrische Pontenzial (P) im Punkt P in einem elektrischen
Feld ist gleich der potenziellen Energie einer Probeladung q in
diesem Punkt dividiert durch die Grösse der Probeladung. Das
elektrische Potenzial ist in einem vorgegebenen elektrischen
Feld mit festgelegtem Bezugspunkt P 0
nur eine Funktion der Ortskoordinate
des Punktes P».
(2) «Da in einem Punkt des Raumes in Anwendung des Energieerhaltungssaztzes
nur ein Wert der potenziellen Energie definiert
werden kann, ist der Wert des elektrischen Potenzials auch völlig
unabhängig vom gewählten Weg C».
( )
( P):= W pot
P
q
P
= Ed s
längsC
= Ed s
P 0
P
P 0
25

Das elektrische Potenzial VI
Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder»
Q > 0 q > 0 E
Arbeit gegen
Coulombkraft;
Energiespeicherung.
Druckfeder
P 1
P
F
2
F
Feld leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
P 1
P 2
Arbeit gegen
die Federkraft;
Feder speichert
potenzielle Energie.
Feder entspannt sich
und leistet Arbeit;
potenzielle Energie
wird abgegeben.
Das elektrische Potenzial VII
Beispiel: «Negative Punktladung»
-72-
-73-
(1) E-Feld der erzeugenden Ladung Q
E =
Q
4 0
r 3 r
(2) Potenzial ist auf Kugelfächen mit
r = const. konstant.
(3) Bezugspunkt P 0
, d.h. Potenzial ist
auch auf der Kugelfläche mit r = r 0
gleich null.
(4) Potenzial im Punkt P:
P
( P)= Ed s = +
P 0
r
r 0
Q
4 0
r 3 r d r
26

Das elektrische Potenzial VIII
Beispiel: «Negative Punktladung»
(5) Ausrechnen:
d s = d r r d r = rdr
( P) =
r
r 0
Q
4 0
r 2 dr =
= Q
r
4 0
r
r0
=
(6) Kluge Wahl des Bezugspunkts:
K 0 r 0
= Q
4 0
r Q =
4 0
r 0
= Q
4 0
r + K
Das elektrische Potenzial IX
-74-
-75-
Beispiel: «Negative Punktladung»
Potenzial und
Potenzialfeld:
(A) Mit der Festlegung des Bezugspunkts ist das
Potenzial (P) an jedem Ort im Raum eindeutig
bestimmbar geworden.
(B) Dadurch kann das Potenzial (P) als Skalarfeld
aufgefasst werden.
(C) Dieses Skalarfeld heisst Potenzialfeld (r):
( r) = Q
4 0
r =
Q
4 0
r
27

Das elektrische Potenzial X
Die Äquipotenzialflächen
Definition und Schlüsse:
( r = r i ) = i
= const.
-76-
P 4
E ds = 0 ( P 1 ) = P 4
P 1
( )
Das elektrische Potenzial XI
Die Äquipotenzialflächen
Weitere Schlüsse:
(A) Auf einer Äquipotenzialfläche herrscht stets das gleiche Potenzial vor (trivial, siehe
Definition!), daher haben Äquipotenzialflächen die gleichen Eigenschaften wie leitende
Elektroden.
(B) Umgekehrt geschlossen:
E-Feldlinien stehen
senkrecht auf die
Elektrodenoberflächen.
(C) Äquipotenzialflächen
können durch Elektroden
(auf dem entsprechenden
Potenzial)
ersetzt werden,
ohne dass sich die
Feldverteilung ändert.
E
.
Die Kugelschale mit konstantem
Radius r i ergibt eine Äquipotenzialfläche.
Äquipotenzialflächen verlaufen
stets senkrecht zu den
elektrischen Feldlinien.
Auf Äquipotenzialflächen wird
beim Transport von Ladungen
keine Arbeit verrichtet, z.B.:
-77-
28

Das elektrische Potenzial XII
Die Potenzialdifferenz
Transport «quer» zu den Äquipotenzialflächen
Transport der Probeladung z.B. in Richtung der
elektrischen Feldstärke, so z.B.: P 1
P 2
. Gemäss
Folie 71 erhalten wir für die Potenzialdifferenz :
Potenzialdifferenz
ist unabhängig von
der Wahl von P 0 !
P 1
( P 1 ) ( P 2 )= Ed s
P
2
Ed s
=
=
=
Q
4 0
r 1
+
Q
4 0
r 1
+
P 0
Q
4 0
r 0
+
P 0
Q
4 0
r 2
Q
4 0
r 2
> 0 r 2
< r 1
Q
4 0
r 0
Das elektrische Potenzial XIII
Die elektrische Spannung
-78-
-79-
Transport «quer» zu den Äquipotenzialflächen
Transport der positiven Probeladung in Richtung der
elektrischen Feldstärke, d.h. von P 1 nach P 2 kann
etwas formaler angegeben werden:
( P 1 ) ( P 2 )= Ed s
+ Ed s
=
P 1
P 0
P 0
P 2
P 0
=+ Ed s
+ Ed s
P 1
P 2
P 0
Die elektrische Spannung u 12
zwischen P 1
und P 2
ist gleich
der Differenz der Potenziale
zwischen P 1
und P 2
.
( P 1 ) ( P 2 ) =
P 2
Eds
:= u 12
P 1
29

Das elektrische Potenzial XIV
Die elektrische Spannung
Definition in Worten (Buch Seite 65):
«Die elektrische Spannung u 12 zwischen zwei
Punkten P 1 und P 2 ist gleich der Differenz der
elektrischen Potenziale im Punkt P 1
und P 2
; sie ist
damit gleich der auf die Probeladung q bezogene
Arbeit, die beim Transport der Probeladung q vom
Punkt P 1 nach P 2 vom elektrischen Feld geleistet wird.
Die elektrische Spannung u 12 ist unabhängig vom
gewählten Weg zwischen den Punkten P 1
und P 2
».
( P 1 ) ( P 2 )= 1
2
=
P 2
Eds
:= u 12
P 1
Das elektrische Potenzial XV
Der Zählpfeil der elektrischen Spannung
+ Q
-80-
-81-
d
+ + + + + + +
P 1
P 1
E
u 12 u 21
Elektroden-,
Äquipotenzialflächen
-
P 2
P 2
- - - - - -
Q
Die elektrische Spannung u 12 ist eine
skalare Grösse. Sie ist positiv, wenn das
Integral in Richtung der elektrischen
Feldstärke (P 1
P 2
) berechnet wird und
negativ, falls die Integration von P’ 2
P’ 1
erfolgt. Spannungspfeil ist kein Vektor; er
zeigt die positive Zählrichtung an.
30

Das elektrische Potenzial XVI
Zur elektrischen Umlaufspannung
C 1
P 2
u 12
u 12
= Ed s
längsC1
=
P 1
C 2
E
Umlaufspannung entlang von
C = C 1 (P 1 P 2 ) + C 2 (P 2 P 1 )
ist Null.
P 2
P 1
Eds P 2
längsC1
Eds längsC2
=
P 1
P 2
P 1
P 2
P 1
P 2
P 1
Ed s
längsC2
Eds P 1
längsC1
+ Eds längsC2
= 0
P 2
Das elektrische Potenzial XVII
Zur elektrischen Umlaufspannung
P 2
P 1
Eds P 1
längsC1
+ Eds
längsC2
:= Eds
= 0
P 2
C
-82-
-83-
Ring: Der Ring am Integral deutet an, dass C stets ein
geschlossener Weg ist, d.h. stets über eine geschlossene
Kurve integriert wird.
Eds
= 0
C
Konservatives Feld: Der Wert Null der Umlaufspannung
besagt, dass beim Transport einer Probeladung in einem
zeitlich ruhenden Feld entlang von C die geleistete Arbeit
stets Null ist, d.h. auch Energieerhaltung vorliegt: solche
Felder heissen konservativ.
Zweites Grundgesetz für elektrische Felder: Es gilt in
dieser Form nur für zeitlich unveränderliche Felder.
(Erstes Grundgesetz siehe Folie 64).
31

Das Bohr’sche Atommodell I
Feldgleichungen als klassisches Modell
Elektronenladung
-84-
Zentripetalkraft:
F el
+e
= Q K Q e
4 0
r 2 = ze2
r
F el
Fz
v
-
-e
Klassische Beschreibung
des Wasserstoffatoms
Q K
= ze
Q e
= ne
Kernladung
z = n Neutralität
Zentrifugalkraft:
F
4 0
r 2 z
= m v 2
r
ein Elektron:
n = 1
Kräftegleichgewicht
für ein Elektron:
m v 2
r
= ze2
4 0
r 2
Das Bohr’sche Atommodell II
Feldgleichungen als klassisches Modell
Zusatzbedingung für
die Elektronengeschwindigkeit
-85-
v 1
r +1
r 1
v
r
: Bahnkennzahl
v+1
Quantisierung des Drehimpulses
m v r =
Dirac-Konstante
(Wirkungsquantum)
v =
mr =: v
= 1, 2,…
= 1.054 10 34 Js
Aus dem Kräftegleichgewicht folgt
(erfordert etwas rechnen):
r
= 4 0 2
mze 2 2
v =
ze 2
4 0
1
32

Das Bohr’sche Atommodell III
Feldgleichungen als klassisches Modell
Potentielle Energie
Q
( r )=
= K
=
4 0
r
W pot
W pot
= q ( r )= e
= mz2 e 4
16 0 2 2 1 2
Kinetische Energie
W kin
= 1 2 m v 2
= mz2 e 4
-87-
Das Bohr’sche Atommodell IV
Feldgleichungen als klassisches Modell
Ausstrahlungsenergie von Photonen
Der Energiezustand
Lyman-Serie
vergleichen
2
W kin
der Formeln
W 1 2
photon
= W 1
tot
W tot
=1
2
3
4
5
-86-
ze
4 0
r
ze
=
4 0
r
32 2 0
1 2 2
Balmer-
Serie
Paschen-
Serie
W
tot
= W
pot
2
Gesamtenergie = Energie des
Energiezustands. Gleiches Ergebnis
wie aus der Quantenmechanik.
= W pot
+W kin
=
= mz2 e 4
32 0 2 2 1 2 =
= 13.6 z2
2 eV
33

Ein einfaches Beispiel I
Problemstellung:
• Zwei geladene, parallele
Platten (z.B. Influenzversuch).
• Gesucht sind:
(A) Elektrisches Feld
(B) Elektrische Flussdichte
(C) Elektrische Spannung
(D) Probeladung: die vom
Feld geleistete Arbeit
entlang von C.
-88-
Elektrodenanordnung
Ein einfaches Beispiel II
Elektrische Flussdichte
-89-
Erstes Grundgesetz der elektrischen Felder (Folie 64)
A
DndA
N
D n
A
=
d F
=1
N
=1
D
n cos ( ( D
, n ))A
= Q
Flussdichte steht senkrecht zur Elektrodenfläche A und ist konstant (homogenes Feld,
siehe auch Folie 51 und vor allem das Bild in Folie 52):
A
D dA
N
=1
D
A
= D N
A
= D A = Q
=1
(1) Die elektrische Flussdichte ist
nur von der Grösse der Ladung
auf den Elektroden abhängig.
(2) Sie ist nicht vom Material zwischen
den Elektroden abhängig.
=1
D = Q A
34

Ein einfaches Beispiel III
Die elektrische Feldstärke
Mit Folie 60:
D = 0
E E =
D
0
= Q
0
A = 0
+IQ I
+++ + + +++ + +++ +
E
-90-
Die elektrische Spannung
( 2)
u 12
= Eds
=
=
() 1
E s
N
=1
E
N
E
s
=
=1
s
cos( ( E
,s ))
E =const.
E
N
=1
s
= E d
+IQ I
+++ + + +++ + +++ +
E
–––– –––––
––––
–IQ I
u12 = E d = Q d
0
A
Ein einfaches Beispiel IV
Arbeitsintegral
F = q E = q Q
0
A
Wirkt in Richtung des E-Feldes,
daher gibt es in C nur Beiträge
zum Arbeitsintegral bei P 1 P 2
und P 3
P 4
. Bei den anderen
Abschnitten (P 2
P 3
bzw.
P 4
P 1
ist cos((E,ds)) = 0.
-91-
Bestätigt das
zweite Grundgesetz
für
elektrische Felder
(Folie 83).
W f
= q Eds
= 0
C
Arbeitsintegral:
W f
= q
= 0
P 2
P 1
Ed s
+ q
P 4
P 3
Ed s
35

+ -
Elektrisches Feld und Dielektrikum I
Polarisation
Teflon
ohne
Feld
mit
Feld
+
- +
Dipol
-
E
A
p
Na + Cl –
- - - - - - - - - - -
- +
-
-
-
-
+ +
-
+ +
- +
-
+
+
-
+
-
+ +
-
+
-
-
+
+
-
-
-
+
+
V
+++++++++++
- - - - - - - - - - -
E
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ - + -
+ -
+ -
H 2 O
+++++++++++
E
a) b) c)
Elektronenpolarisation Ionenpolarisation Orientierungspolarisation
Elektrisches Feld und Dielektrikum II
Dipolmoment (z.B. bei der Orientierungspolarisation)
-92-
-93-
Drehmoment
F 2
T = 1 2 F1 1 2 F2 = ( Q E
) = Q E := p E
F 1
= F 2
Q
- Drehachse
T
= Q E
+
+ Q
F 1
Elektrisches
Dipolmoment
E
p = Q
36

Elektrisches Feld und Dielektrikum III
Erstes Fazit
Dielektrika im elektrischen Feld:
(1) Es bilden sich elektrische Dipole aus.
(2) Im Innern von homogenen Dielektrika
kompensieren sich die verschobenen
Ladungen.
(3) An der Oberfläche des dielektrischen
Körpers, d.h. an den Eintritts- und Austrittsstellen
des elektrischen Feldes treten
flächenhaft verteilte Ladungen auf.
(4) Frage: Wie können wir diese Polarisation
des Dielektrikums als Ganzes formalisieren?
Betrachtungen an einer Parallelplattenanordnung: 2 Fallstudien.
Elektrisches Feld und Dielektrikum IV
Polarisation
(B) Dielektrikum zwischen Platten schieben
-94-
-95-
(A) Spannung u anlegen
Fall #1: u = const.
Fall #2: IQ I = const.
A
+ Q
Q
++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + +
-
-
d D 0 E
0
u
P
D
u
D
0
P
+
+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Q
+ Q
E 0
= u d
D 0
= 0
u d = Q A
Folie 92: Im Dielektrikum tritt (oben und
unten) eine Flächenladungsdichte auf.
37

Elektrisches Feld und Dielektrikum V
Fall #1: u = const.
+
Q
++ + + + + + +
P
-
D
+
- - - - - - - -
Q
e
> 0: Elektrische Suszeptibilität
u = const.
(1) Damit Spannung u konstant bleibt, muss
die Quelle an den Elektroden zusätzlich die
jeweils entgegengesetzte Ladungsmenge
IQ’I nachliefern. Dadurch wird die im
Dielektrikum auftretende Flächenladung
an den Elektroden kompensiert.
(2) Beschreibung der durch das polarisierte
Dielektrikum zusätzlich aufgebrachten
Ladung: die elektrische Polarisation P.
P =
Q
A
(3) Die elektrische Polarisation P hat die gleiche
Einheit wie die elektrischen Flussdichte D.
(4) Proportionalität:
(cf. Folie 92)
P = As = C m 2 m 2
P = 0
e
E
Elektrisches Feld und Dielektrikum VI
Fall #1: u = const.
Zur elektrischen Polarisation P
P = 0
e
E
D = 0
E
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
P
-
+
-
+
-
+
p,
-
+
-
+
-
+
P :
(1) Polarisationsvektor liegt im Dielektrikum und zeigt von der
Flächenladung –IQ’I zur Flächenladung +IQ’I.
(2) Polarisationsvektor ist parallel zum E-Feld gerichtet,
(3) Polarisationsvektor ist parallel zum D-Feld gerichtet,
(4) Richtungssinn der Polarisation wie bei beiden Feldern E,
D.
(5) Folien 92, 95: Richtung entspricht auch derjenigen von .
(6) Genauer: Polarisation P ist gleich dem elektrischen Dipol-
Moment pro Volumeneinheit (Dipoldichte):
P =
p
V =
Q
A =
Q
A e
Polarisation bei gleichmässiger
Dipolverteilung.
Einheit wie beim
D-Feld: [P] = As/m 2 .
Zusätzliche Ladung pro Flächeneinheit im Dielektrikum!
-96-
-97-
38

+
Elektrisches Feld und Dielektrikum VII
D = 0
r
E0 = r
D0 > D 0
r
:
:
Permittivität
-98-
Fall #1: u = const.
Die elektrische Flussdichte im Dielektrikum
Q
Vakuum-
Zusätzliche
Q
++ + + + + + +
Fall
-
P =
Flächenladungsdichte
A e
P
D u = const.
D = 0 E + P = 0 E +0 e E
P
D = 0
( 1+ e )
+
E
=
0
r
E = E
- - - - - - - -
r
Q
Folie 95:
Vakuum 0
: Elektrische Feldkonstante (Folie 29)
u = const. E = E 0
Permittivitätszahl
-99-
Elektrisches Feld und Dielektrikum VIII
Tabelle ausgewählter Permittivitätszahlen r
r
=1+ e
Unser
Körper!
r
0
39

Elektrisches Feld und Dielektrikum IX
Fall #2: IQ I = const.
-100-
+ IQ I
++ + + + + + +
-
D
0
P
(1) Damit Ladung IQ I konstant bleibt, muss die die
Anordnung vor dem Einschieben des Dielektrikums
von der Quelle getrennt werden.
(2) Dadurch gelangen keine zusätzlichen Ladungen
auf die Elektroden und es gilt:
D = Q A = D 0
= const.
+
- - - - - - - -
– IQ I
(A) Phänomenologisch:
E-Feld wird durch «umgekehrte»
Flächenladung geschwächt.
(3) Für die elektrische Feldstärke im Material ergibt sich
E =
D
= D0
= 1 Q
r
0
A = 1 E 0
r
(B) Formal (Folie 98):
Elektrisches Feld wird im Material
wegen Polarisation geschwächt.
E =
< E 0
D 0
P
0
Elektrisches Feld und Dielektrikum X
Fall #2: IQ I = const.
-101-
Merke:
Die Beziehung aus Folie 100 für konstant gehaltene
Ladungsmenge erlaubt auch eine Verallgemeinerung
der Beziehungen für das E-Feld und das
Potenzialfeld, für den Fall, dass der Feldraum mit
einem Material der Permittivität gefüllt ist.
E = 1 r
E 0
(Folie 100)
Ladung Q und Probeladung q sind
konstant gehaltene Ladungen!
0
0
r
=
E r ( ) =
Q
4 r 3 r
( r) =
(Folie 35) (Folie 75)
Q
4 r
40

Grenzbedingungen der Felder I
Bedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
r1 0
Spezialfall #1: «Vertikale Inhomogenität»
E 1,2
d s = 0
+ + + + + + +
n + + + +
E 12
E
1
2
t C
r2 0
Eds
= 0
C
E 1
E 2
= 0
E 1
= E 2
Parallel
Platten
Symmetrie
(siehe Folie 83)
E 1
= E 2
- - - - - - - - - - -
Die Komponenten der elektrischen Feldstärke
parallel zur Grenzschicht sind stetig.
Zwei äquivalente Schreibweisen:
n 12
( E 2
E 1 )= 0
t ( E 2
E 1 )= 0
Grenzbedingungen der Felder II
Beziehungen der normalen Feldkomponenten
-102-
-103-
Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»
r1 0
1
1
r2 0
+ + + + + + + + + + +
D n
12
D 2
n n
2
- - - - - - - - - - -
A
r1
0
n 12
n 4
DndA
= 0 (siehe Folie 64)
A
d F
D1
«Integrationsbox» A
n6
r2
0
n 5
D 2
n1
n2
n3
A
D 1
n 1
A + D 2
n 2
A = 0
D 1
n 12
A + D 2
n 12
A = 0
D 1,2
n 36
dA = 0
41

Grenzbedingungen der Felder III
Beziehungen der normalen Feldkomponenten
-104-
Spezialfall #2: «Horizontale Inhomogenität»
Folie 103:
+ + + +
D + + + + + + +
r1 0
1
1
n A
n
12
12
r2 0
D 2 n
n 2
- - - - - - - - - - -
Die Komponenten der elektrischen Flussdichte
normal zur dielektrischen Grenzschicht sind stetig.
D 1
n 1
A + D 2
n 2
A = 0
D 1
n 12
A + D 2
n 12
A = 0
( D 2
D 1 )A = 0
D 1
= D 2
In der ladungsfreien Grenzschicht
ist das D-Feld senkrecht zur
Grenzschicht stetig. Allgemein:
n 12
D 2
D 1
( ) = 0
Grenzbedingungen der Felder IV
-105-
Beziehungen für das elektrische Potenzials
Zur Natur des elektrischen Potentials
P
Das elektrische Potenzial ist gemäss Definition aus Folie
( P)= 71 eine Integralfunktion und somit differenzierbar und stetig.
Ed s
Aus diesem Grund muss das elektrische Potenzialfeld auch
P 0
an der Grenzschicht stetig sein.
1
2 Oder:
1
= 2
P 0
P
Das Potenzialfeld beschreibt die potentielle Energie einer
Probeladung im elektrischen Feld. In der Grenzschicht
kann stets nur ein Energiezustand existieren, daher muss
das Potenzialfeld auch in der Grenzschicht eindeutig, d.h.
stetig sein.
Es gilt demnach:
42

Grenzbedingungen der Felder V
Brechungsgesetz des elektrischen Feldes
Kombination der Grenzbedingungen
für die tangentialen und normalen Komponenten
D 1
n 12
= D 2
n 12
E 1
t = E 2
t
Ergibt:
1
E 1
cos( 1 )= 2
E 2
cos 2
E 1
sin( 1 ) = E 2
sin( 2 )
mit:
1
= r1
0
2
= r2
0
( )
1
2
E 1
, D
1 n 12
1
2
t E2 , D 2
tan( 2 ) = r2
tan( 1 ) tan ( 1)
r1 ( ) = r1
tan 2
r2
Energieinhalt des elektrischen Feldes I
Elektrodenanordnung
Q E
= + Q
+ + + + + + + + + + +
r
0
d u D, E
+ dQ
dW = + E d dQ =
dW = u dQ = d
A Q dQ
A
- - - - - - - - - - -
Q
potentielle
(Feld-)Energie
-106-
Arbeitsvermögen
des
Feldes
(1) Felder und Spannungen:
D = Q A
E = Q A
(Folie 89)
(Folie 90)
u = E d = Q d
A
(2) Arbeit um Feld aufzubauen:
von Aussen ins Feld
() 1
(vergl. Definition
Folie 68 und 70)
«gespeicherte» Arbeit
dW = dQ Ed s =
( 2)
= dQ E = –1
d cos E,d s
-107-
( ( ))
43

Energieinhalt des elektrischen Feldes II
Berechnung der Feldenergie
dW = d
A Q dQ
W
W = dW = d Q dQ
A
0
Q E
0
(2) Energie im homogenen elektrischen Feld:
W el
=
d
2 A Q2 = 1 2 u Q = 1 2 A d u2
W el
= 1 2 uQ = 1 2 E D Ad
Q E : Elektrodenladung
= dQ 2
E
2 A
V
Energiedichte
(1) Wir vereinbaren: Als Ladung
Q wird die Ladung der Elektrode
Q E
eingesetzt, an welcher der
Spannungspfeil beginnt:
u
Vereinbarung
Q = Q E
++++++++
Mit: [W el ] = VAs = J
W el
= 1 2 uQ
w el
= W el
V = 1 2 E D
Kraftwirkung im elektrischen Feld I
Zwei Gedankenexperimente
(1) Experimentalanordnungen:
-108-
-109-
u
Fall #2: IQ I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
Q
d s
x
dx
x
Fall #1: Iu I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
Q
d s
x
dx
u
x
(2) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
Beruht auf den
Energieerhaltungssatz:
(A) In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller
Energien konstant Fall #2.
(B) In zwei gekoppelten Systemen bleibt die Gesamtenergie
beider Systeme konstant Fall #1.
44

Kraftwirkung im elektrischen Feld II
Fall #2: IQ I = const.:
(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung: Obere Elektrode wird um dx entgegen der
«Coulombkraft» verschoben:
u
Fall #2: IQ I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
F = F 1
Q
d s
ist entgegengerichtet zu e x .
F e x
= 1 2 E D A = Q2
2 A
x
dx
x
dW v
= Fd s = Fdx e x
Energiesatz im «elektromechanischen»
System: Im abgeschlossenen System bleibt
die Energie erhalten.
Fdxe x
+ dW el
= 0 F e x
= dW el
dx
Feldvolumen
W el
= 1 2 E D V = 1
2 D 2 Ax
W el
= 1
2 D 2 A 2
x A = 1
2 Q2 x A
Q 2
Kraftwirkung im elektrischen Feld III
Fall #2: IQ I = const.:
(2) Kräfteverhältnisse:
-110-
-111-
u
Fall #2: IQ I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
Q
d s
x
dx
x
F 1
= 1 2 E D Ae
x
= const.
F 1
= Q2
2 A e x
F 2
= F 1
Analoger Rechengang,
oder: «actio = reactio»!
Elektroden ziehen sich gegenseitig mit
konstanter Kraft (unabhängig von x) an.
45

Kraftwirkung im elektrischen Feld IV
Fall #1: u = const.:
(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
Fall #1: Iu I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
Q
dW el
= 1 2 d { E D V}= 1 2 d E 2 Ax
d s
x
dx
u
x
Obere Elektrode wird auch hier um dx
gegen die «Coulombkraft» verschoben:
dW v
= Fd s = Fdx e x
-112-
Die Gesamtenergie im gekoppelten System
bestehend aus Plattenanordnung
und Spannungsquelle bleibt erhalten.
Um die Spannung u während der Verschiebung
konstant zu halten, muss die
Quelle jeweils dW Quelle nachliefern.
Fdxe x
+ dW el
= dW Quelle
u 2 : konstant !
{ } = 1 2 d
E 2 x 2 A x
Kraftwirkung im elektrischen Feld V
Fall #1: u = const.:
(1) Prinzip der virtuellen Verschiebung:
Fall #1: Iu I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
d s
x
dx
u
x
dW el
= 1
2 u2 d
(2) Quellenenergie:
A
x
x
u = Q dQ =ud
A
A x
(vergl. Folie 107)
- - - - - - - - - - -
dW
Q
Quelle
= udQ = u 2
d
A
Fdxe x
x
+ dW el
= dW
Quelle muss Ladung dQ nachliefern !
Quelle
F dx e x
+ 1
2 u2 d
A
x =
u2 d
A
x F e x
= 1 2 u2 d A
dx x
-113-
46

Kraftwirkung im elektrischen Feld VI
Fall #1: u = const.:
(3) Kräfteverhältnisse:
Fall #1: Iu I = const.
+ + + + + + + + + + +
D, E
A
F 1
F 2
+ Q
- - - - - - - - - - -
Q
Elektroden ziehen sich gegenseitig mit
nicht konstanter Kraft an, welche umgekehrt
proportional zu x 2 ist. Die starke
Kraftzunahme bei kleinen Abständen ist
die Folge der zugelieferten Quellenenergie.
d s
x
dx
u
x
F e x
= 1 2 u2 d A
dx x
F e x
= 1 2 u2 A
x 2
F = F 1
F 1
= 1 2 E D A
ist entgegengerichtet zu e x !
F 1
= 1 2 u2 A
F 2
= F 1
x 2
e 1
x
x 2
Analoger Rechengang,
oder: «actio = reactio»!
-114-
-115-
Kraftwirkung im elektrischen Feld VII
Beispiel: «Gleichgewichtsproblem»
d y
Anordnung:
F = y
F
el
y
A
• Elektrode mechanisch
fest mit der Wand verbunden.
• Elektrode ist über eine
Feder mit der Federkonstante
mit der Wand
verbunden.
• Im ungeladenen Zustand
ist die Feder entspannt.
• Es sollen nun die beiden
Fälle (#2: IQ I = const.
und #1: u = const.) untersucht
werden.
47

Kraftwirkung im elektrischen Feld VIII
Beispiel: «Gleichgewichtsproblem»
-116-
Fall #2: IQ I = const.:
F , F el
F = 1 y : Rückstellkraft der Feder
F el
= const.
Stabiles Gleichgewicht
«starke»
Feder
: Coulombkraft
F = 2
y
Platten berühren
und entladen sich.
«schwache»
Feder
0
y 0
d
y
Kraftwirkung im elektrischen Feld IX
Beispiel: «Gleichgewichtsproblem»
Fall #1: u = const.:
F el , F
110 -4 N
0,8
F
el
U = 1000 V
F
el
U = 200 V
= y
F 1
Für die Federkonstante 2
und u = 1000 V kommt es
zu keinem Schnittpunkt:
Die Elektrode wird bis
auf die Elektrode gezogen
und in Kontakt
gebracht, d.h. kurzgeschlossen.
-117-
0,6
1 2 1
F =
el AU
2 d y
e
labil
y
( )
2
0,4
0,2
0,0
stabil
F = 2
y 1 y 2 y‘ 2 d y
y
48

Rückblick «Elektrostatik»
-118-
Die elektrische Feldstärke
• Definiert über die Wirkung
• Intensitätsgrösse
Eds
= 0
C
2. Grundgesetz
Das elektrische Potenzial
• Definiert über die Energie
• Hilfsgrösse
P
( P)= Ed s
P 0
Das elektrische
Feld
D = E
Materialgleichung
Die elektrische Flussdichte
• Definiert über die Ursache
• Quantitätsgrösse
A
DndA
= Q
d F
1. Grundgesetz
• Feld einer Punktladung (Quelle Q E )
• Leiter und Isolatoren im elektrischen Feld
• Polarisation von Dielektrika durch das Feld
• Randbedingungen an Materialgrenzen
• Potenzial und Spannung
• Energie und Energiedichte im elektrischen Feld
• Kraftwirkung: Coulombkraft oder über Energie
49