Distanzbestimmung zu offenen und ... - Universität Bern
Distanzbestimmung zu offenen und ... - Universität Bern
Distanzbestimmung zu offenen und ... - Universität Bern
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Bachelorarbeit 2008<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> <strong>offenen</strong> <strong>und</strong><br />
Kugelsternhaufen<br />
Andreas Riedo<br />
August 2008<br />
Astronomisches Institut<br />
<strong>Universität</strong> <strong>Bern</strong>
Zusammenfassung<br />
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> einem <strong>offenen</strong> Sternhaufen<br />
mittels einem Main-Sequence Fittings - auch Hauptreihenanpassung genannt - <strong>und</strong> <strong>zu</strong> einem<br />
Kugelsternhaufen unter Verwendung von veränderlichen Sternen durch<strong>zu</strong>führen. Als Objekte<br />
wurden hierbei der junge <strong>und</strong> helle offener Sternhaufen M44 <strong>und</strong> der Kugelsternhaufen<br />
M3, welcher viele RR-Lyrae Sterne besitzt, ausgewählt. Bevor jedoch eine solche Bestimmung<br />
durchgeführt werden kann, müssen im Vorfeld einige gr<strong>und</strong>legende Themen wie z.B die<br />
Photometrie, Theorie der angewandten <strong>Distanzbestimmung</strong>smethoden usw. diskutiert <strong>und</strong><br />
erläutert werden. Aus diesem Gr<strong>und</strong> wird im ersten Teil dieser Arbeit - dem Theorieteil -<br />
die Thematik der betrachteten Sterngebilde, der Photometrie <strong>und</strong> die Theorie der angewandten<br />
Bestimmungsmetoden vollumfänglich behandelt. Im zweiten Abschnitt der Arbeit - dem<br />
experimentellen Teil - werden schlussendlich die erhaltenen Resultate <strong>und</strong> deren möglichen,<br />
dahinter liegenden Problematiken ausführlich diskutiert werden.<br />
Folgend, eine kurze Übersicht der erhaltenen Distanzen <strong>zu</strong>m Kugelsternhaufen M3 <strong>und</strong> <strong>zu</strong>m<br />
<strong>offenen</strong> Sternhaufen M44. Ausführliche Diskussionen sind den Kap. 2.3.1 <strong>und</strong> 2.3.2 <strong>zu</strong> entnehmen.<br />
Tabelle 0.1: Übersicht der erhaltenen Distanzen <strong>zu</strong> M3 <strong>und</strong> M44<br />
Objekt erhaltene Distanz in [pc] Refernzdistanzen in [pc]<br />
M3: (9487 ± 255) pc; 9162 pc nach [Sandage and Cacciari, 1990];<br />
9954 pc nach [Longmore et al., 1990];<br />
M44: (144.4 ± 86.7) pc; (171 ± 4) pc nach [Pinsonneault et al., 1998];<br />
(177 ± 10) pc nach [Pinsonneault et al., 1998];
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen 5<br />
1.1 Sternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.1.1 Offene Sternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.1.2 Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2 Physikalisch veränderliche Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.2.2 RR-Lyrae Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.3 Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.3.1 Differenzielle Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.3.2 All Sky Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.3.3 Landold Standardsterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.3.4 Korrekturaufnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.4.1 Trigonometrische Parallaxen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.4.2 Stromparallaxen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.4.3 RR Lyrae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.4.4 Main Sequence Fitting - Hauptreihenanpassung . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
2 Experiment 26<br />
2.1 Apparatur <strong>und</strong> Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.2 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.3.1 <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong>m Kugelsternhaufen M3 . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.3.2 <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong>m Offenen Sternhaufen M44 . . . . . . . . . . . . 29<br />
3 Zusammenfassung - Angewandte Methoden 44<br />
4 Dank 45<br />
A Ausgleichungsverfahren für <strong>Distanzbestimmung</strong> von M3 49<br />
4
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.1 Sternhaufen<br />
Das Unterkapitel ” Sternhaufen“ soll als kleine Einführung der später vermessenen Objekte<br />
betrachtet werden. Hierbei wird absichtlich nicht auf jedes Detail eingegangen, da dies sonst<br />
den Umfang der vorliegenden Arbeit massiv erhöhen würde. Weiterführende Literatur <strong>zu</strong><br />
diesen Themen sind z.B. [Unsöld and Bascheck, 2005, Sparke and Gallahger, 2007, Scheffler<br />
and Elsässer, 1982].<br />
1.1.1 Offene Sternhaufen<br />
Die <strong>offenen</strong> Sternhaufen stellen eine Ansammlung von Sternen dar, welche alle ungefähr gleich<br />
weit entfernt sind <strong>und</strong>, im Gegensatz <strong>zu</strong> den Kugelsternhaufen (siehe Kapitel 1.1.2), ohne<br />
grössere Probleme mit bodengestützten Messeinrichtungen unterschieden werden können.<br />
Man unterscheidet zwischen jungen (kaum 10 6 Jahre alt) <strong>und</strong> alten Sternhaufen (bis <strong>zu</strong> 10 10<br />
Jahre alt). Die wohl bekanntesten solcher Objekte stellen die Pleiaden 1 <strong>und</strong> Hyaden sowie<br />
die Doppelhaufen h <strong>und</strong> χ Persei dar (siehe Abb. 1.1). Wie man den Abbildungen schon<br />
entnehmen kann, können Sternhaufen aus nur wenigen Dutzend bis einigen h<strong>und</strong>ert Sternen<br />
bestehen. Daraus folgt, dass die Sterndichten <strong>zu</strong>m Haufenzentrum von Haufen <strong>zu</strong> Haufen<br />
unterschiedlich sind.<br />
Abbildung 1.1: Links eine Aufnahme der Pleiaden <strong>und</strong> rechts des Doppelsternhaufens h <strong>und</strong><br />
χ Persei. Beim Doppelsternhaufen ist <strong>zu</strong> beachten, dass nicht alle sichtbaren<br />
Sterne <strong>zu</strong>m Haufen gehören - Um eine Aussage <strong>zu</strong>r Zugehörigkeit eines Sterns<br />
<strong>zu</strong> einem Haufen <strong>zu</strong> machen, ist man auf die Eigenbewegungen sowie eventuell<br />
durch Radialgeschwindigkeiten dessen angewiesen. [NASA].<br />
Die <strong>offenen</strong> Sternhaufen können (10 2 − 10 3 ) Sonnenmassen enthalten, besitzen Durchmesser<br />
von (1 − 10) pc 2 <strong>und</strong> sind gegen die galaktische Ebene hin konzentriert (siehe Abb. 1.2).<br />
1 Die Pleiaden können in einer klaren Nacht von blossem Auge beobachtet werden!<br />
2 1 pc = 3.086 · 10 16 m = 2.063 · 10 5 AE = 3.26 Lichtjahre.<br />
5
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Abbildung 1.2: Verteilung von jungen <strong>offenen</strong> Sternhaufen (schwarze Punkte) in der Milchstrassenebene.<br />
Die Sonne ⊙ befindet sich in der Mitte des Koordinatensystems,<br />
bei galaktischer Länge l = 0 ◦ . [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
Die Gesamtanzahl der <strong>offenen</strong> Sternhaufen in unserer Galaxie wird momentan auf ungefähr<br />
20 ′ 000 geschätzt, von denen aber bis heute nur ungefähr 1 ′ 000 beobachtet wurden! Dies<br />
wird einerseits durch das Vorhandensein von Dunkelwolken (siehe Abb. 1.3) erklärt, welche<br />
mehr oder weniger das gesamte Licht absorbieren, resp. nicht <strong>zu</strong> uns hindurchlassen <strong>und</strong><br />
andererseits durch grössere Entfernungen. Die lockeren Bewegungshaufen 3 <strong>und</strong> die OB- sowie<br />
T-Assoziationen 4 werden als Verwandte der <strong>offenen</strong> Sternhaufen betrachtet [Unsöld and<br />
Bascheck, 2005].<br />
1.1.2 Kugelsternhaufen<br />
Die Kugelsternhaufen, von denen die meisten 10 - 12 miliarden Jahre alt sind [Unsöld and<br />
Bascheck, 2005] <strong>und</strong> deswegen keine jungen O <strong>und</strong> B Sterne mehr haben [Schildknecht, 2007],<br />
zählen <strong>zu</strong> den ältesten Objekten in unserem Milchstrassensystem. Diese Gebilde sind im Halo<br />
unserer Galaxie angesiedelt wobei sie in langgestreckten, ellipsenartigen Bahnen mit einer<br />
ungefähren Geschwindigkeit von (100 − 300) km/s relativ <strong>zu</strong> unserer Sonne, um das Galaxienzentrum<br />
kreisen. Eine grössere Konzentration von solche Haufen ist in Richtung Scorpius-<br />
Sagittarius <strong>zu</strong> beobachten [Unsöld and Bascheck, 2005]. Viele der Kugelsternhaufen, im Gegensatz<br />
<strong>zu</strong> <strong>offenen</strong> Sternhaufen, kommen auch in hohen Galaktischen Breiten vor. In diesem<br />
Zusammenhang ist <strong>zu</strong> erwähnen, dass man hier zwischen zwei ” Arten“ von Kugelsternhaufen<br />
unterscheiden muss: Da wären <strong>zu</strong>m einen die Disk-Haufen, welche häufiger in der Nähe des<br />
Zentrums <strong>zu</strong> finden sind <strong>und</strong> einen etwas höheren Metallgehalt von [F e/H] > −0.8 haben<br />
<strong>und</strong> <strong>zu</strong>m anderen die Halo-Haufen, welche weiter vom Zentrum entfernt (siehe Abb. 1.4) <strong>und</strong><br />
mit einem Wert von [F e/H] ≤ −0.8 metallärmer sind [Trefzger, 2008].<br />
Momentan sind ungefähr 150 Kugelsternhaufen in unserer Milchstrasse beobachtet worden,<br />
wobei ω Centauri, mit ungefähr einer Million Sternen <strong>und</strong> einer Leuchtkraft von ca. 10 6 L⊙<br />
[Sparke and Gallahger, 2007], <strong>und</strong> 47 Tucanae die beiden hellsten Gebilde darstellen. Im<br />
Gegensatz <strong>zu</strong> den <strong>offenen</strong> Sternhaufen, ist ein typischer Kugelhaufen mit 40 pc Durchmesser<br />
nicht nur viel grösser, sondern besitzt mit einigen 10 5 Sternen auch deutlich mehr Sterne<br />
6<br />
3 Eigenbewegungsvektoren der Sterne dieser Gruppe zielen gegen einen Konvergenzpunkt hin.<br />
4 Sternansammlungen von einem bestimmten Typ.
1.1 Sternhaufen<br />
Abbildung 1.3: Abgebildet ist die südliche Milchstrasse mit der uns benachbarten Dunkelwolke<br />
“Kohlensack“ (rechts im Bild, mitte). Diese Staubwolke hat eine Ausdehnung<br />
von 5 ◦ - 8 ◦ <strong>und</strong> eine Entfernung von ungefähr 170 pc. Wie man hier<br />
gut erkennen kann, wird das Hintergr<strong>und</strong>licht von einer solchen Wolke fast<br />
vollständig absorbiert - Beobachtungen werden dadurch stark erschwert oder<br />
sogar verunmöglicht. [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
Abbildung 1.4: Auf der linken Abbildung ist die Verteilung der metallreichen Kugelsternhaufen<br />
abgebildet - die Disk Haufen - <strong>und</strong> rechts diejenige von den metallärmeren<br />
- den Halo Haufen. Die ausgezogene Linie stellt der galaktische Äquator dar.<br />
[Trefzger, 2008].<br />
(siehe Abb. 1.5), weshalb die mittlere Sternendichte eines Kugelhaufens ungefähr zehnmal<br />
höher ist, als bei <strong>offenen</strong> Haufen. Die Dichte der Sterne (siehe Abb. 1.5) nimmt gegen das<br />
Zentrum stark <strong>zu</strong>, in den helleren Haufen so stark, dass man die Sterne in deren Zentren<br />
mit Erdbobachtungen nicht mehr genügend auflösen kann - dies wurde erst mit dem Hubble<br />
Weltraumteleskop möglich [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
Die uns bekannten Kugelsternhaufen zeigen untereinander deutlich individuelle Unterschiede<br />
auf - es werden Massen von (10 3 − 10 6 ) Sonnenmassen, Durchmesser von (20 − 150) pc, sowie<br />
7
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Abbildung 1.5: Eine Aufnahme des Hubble Weltraumteleskops des Kugelsternhaufens M80 im<br />
Sternzeichen Skorpion. Wie man erkennen kann, besitzt M80 deutlich mehr<br />
Sterne als ein offener Sternhaufen - vgl. da<strong>zu</strong> Abb. 1.1. [NASA].<br />
absolute, visuelle Magnituden von (−1.7−10.1) mag beobachtet! Des Weiteren enthalten viele<br />
der Kugelhaufen einen relativ hohen Anteil an Doppelsternen [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
1.2 Physikalisch veränderliche Sterne<br />
1.2.1 Übersicht<br />
Im Gegensatz <strong>zu</strong> statischen Sternen, zeichnen sich physikalisch 5 Veränderliche durch beobachtbare<br />
” Phänomene“ (Änderungen) aus, wie <strong>zu</strong>m Beispiel durch An- <strong>und</strong> Absteigen der<br />
Leuchtkraft oder durch Änderungen des Spektrums usw. Die Abb. 1.6 gibt eine Übersicht<br />
über die Lage einiger wichtiger Typen von solchen Veränderlichen im Herzsprung-Russel-<br />
Diagramm.<br />
An dieser Stelle ist jedoch <strong>zu</strong> erwähnen, dass eine Diskussion aller auf der Abbildung aufgeführten<br />
Typen nicht durchgeführt werden kann - dies würde den Umfang der Arbeit massiv<br />
erhöhen <strong>und</strong> ist auch nicht Gegenstand der Arbeit als solches. Da aber in einem später aufgeführten<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong>smodell (siehe Kapitel 1.4.3) ein Typ von veränderlichen Sternen<br />
verwendet wird (RR-Lyrae), ist es dennoch wichtig, genau diesen hier <strong>und</strong> im nächsten<br />
Unterkapitel 1.2.2 eingehender <strong>zu</strong> behandeln.<br />
Die in der Abb. 1.6 aufgeführten Typen von Veränderlichen können in folgende Hauptgruppen<br />
eingeteilt werden:<br />
8<br />
1. Pulsierende Sterne - R Coronae Borealis Sterne<br />
Pulsierende Sterne sind meistens Riesensterne, wobei auch auf der Hauptsequenz <strong>und</strong> unter<br />
den weissen Zwergen pulsierende Sterne beobachtet werden. In diese Gruppe gehören:<br />
• RR-Lyrae oder Haufenveränderliche (siehe Kap. 1.2.2)<br />
• δ Cephei - klassische Cehpeiden<br />
5 Neben physikalisch Veränderlichen existieren auch Bedeckungsveränderliche; weiterführende Informationen<br />
<strong>zu</strong> diesem Thema in [Unsöld and Bascheck, 2005].
1.2 Physikalisch veränderliche Sterne<br />
Abbildung 1.6: Typen von veränderlichen Sternen im HRD. [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
• W-Virginis Sterne<br />
• Zwergcepheiden sowie δ Scuti Sterne<br />
• Mira-Veränderliche<br />
• Weitere Typen: ZZ Ceti-Sterne; RV Tauri-Sterne; Halbregelmässige Veränderliche<br />
2. Magnetische oder Spektrum-Veränderliche - Ap-Sterne <strong>und</strong> Metallliniensterne<br />
Hierbei handelt es sich um Sterne im Bereich der Hauptsequenz, welche sich durch<br />
Pekuliaritäten ihres Spektrums auszeichnen <strong>und</strong> nicht in die zweidimensionale MK-<br />
Klassifikation 6 passen. Veränderliche stellen meist die heissen Ap(Bp) 7 -Sterne dar - auch<br />
Spektrum-Veränderliche genannt - wobei die kühleren Metallliniensterne (Am-Sterne 8 )<br />
eher statisch erscheinen.<br />
3. Kataklysmische Veränderliche - Novae <strong>und</strong> Zwergnovae<br />
Kataklysmische Veränderliche - oft auch eruptive Veränderliche genannt - zeichnen sich<br />
durch einen oder mehrmaligen, plötzlichen Anstieg ihrer Helligkeit aus. Zu dieser Gruppe<br />
gehören Novae mit Helligkeitsveränderungen von (7−20) mag innerhalb von wenigen<br />
Tagen, Zwergnovae mit Änderungen im Bereich von (2 − 6) mag <strong>und</strong> novaeähnlichen<br />
Veränderlichen. All diese Typen gehören <strong>zu</strong> engen, halbgetrennten Doppelsternsystemen<br />
bei welchen ein Massetransfer von einem kühlen Hauptreihenstern <strong>zu</strong> einem massereicheren<br />
Weissen Zwerg stattfindet - deshalb auch der Name Kataklysmische 9 Veränderliche.<br />
Neben den oben aufgeführten Hauptgruppen, gibt es noch weitere Gruppen, wie <strong>zu</strong>m Beispiel<br />
6<br />
Leuchtkraftklasse <strong>und</strong> Spektraltyp kann aus dem Spektrum eines Sterns bestimmt werden <strong>und</strong> legen eine<br />
eindeutige Position im HRD fest.<br />
7<br />
Peculiar A(B) stars; zeichnen sich durch periodische Veränderung der Intensität in gewissen Spektrallinien<br />
<strong>und</strong> Stärke sowie durch das Vorzeichen ihres Magnetfeldes aus.<br />
8<br />
Meist Mitglieder in Doppelsternsystemen, besitzen keine starken Magnetfelder.<br />
9 Griechisch κατακλνσµóζ <strong>und</strong> bedeutet Überschwemmung.<br />
9
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Supernovae <strong>und</strong> Pulsare, Sonnenähnliche Veränderliche, Röntgendoppelsterne, Gammaburster<br />
usw. 10 [Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
1.2.2 RR-Lyrae Sterne<br />
Wie in der Übersicht kurz angesprochen, gehören RR Lyrae Sterne <strong>zu</strong>r Gruppe der Pulsierenden<br />
Veränderlichen. Sie sind in Kugelsternhaufen sowie unter Feldsternen im Halo, aber<br />
auch im Bulge, beobachtbar <strong>und</strong> zeichnen sich des Weiteren dadurch aus, dass sie sich im<br />
Herzsprung-Russel Diagramm auf dem Horizontalast befinden (siehe Abb. 1.7) [Trefzger,<br />
2008]. Deren Spektraltyp liegt bei A, F <strong>und</strong> besitzen relativ <strong>zu</strong> unserer Sonne kleine Massen<br />
im Bereich von (0.5 − 0.6) M⊙ [Unsöld and Bascheck, 2005, Carney and Harris, 2001].<br />
Abbildung 1.7: Abgebildet ist ein schematisches Farben-Helligkeits-Diagramm von Kugelsternhaufen.<br />
RR-Lyrae Sterne befinden sich dabei in der Lücke des Horizontalastes.<br />
[Scheffler and Elsässer, 1982].<br />
RR-Lyrae Sterne weisen regelmässige Lichtwechsel auf, deren Periode zwischen 0.2 <strong>und</strong> 1.2<br />
Tagen variieren können - Helligkeitsamplituden liegen im Bereich von ungefähr 1 mag [Unsöld<br />
and Bascheck, 2005]. In diesem Zusammenhang werden die Veränderlichen in drei Gruppen 11<br />
aufgeteilt, welche sich durch ihre Lichtkurve <strong>und</strong> ihre Periode des Lichtwechsels unterscheiden<br />
(siehe Abb. 1.8) [Sparke and Gallahger, 2007]:<br />
1. RRab antisymmetrische Lichtkurve, längere Periode als diejenige von RRc,<br />
2. RRc sinusförmige Lichtkurve,<br />
3. RRd können in beiden obigen Moden pulsieren.<br />
Problematischer scheint jedoch die Bestimmung der absoluten Helligkeit MV <strong>zu</strong> sein: Unter<br />
der Annahme, dass die Helligkeit des Horizontalastes eine Funktion des Helium- <strong>und</strong> Schwere<br />
Elemente-Anteils (Y <strong>und</strong> Z) ist, <strong>und</strong> wenn Änderungen in Z linear mit Änderungen in Y<br />
korreliert sind, dann würde man folgendes, theoretisches Modell erwarten:<br />
10<br />
Ausführlichere Diskussionen <strong>zu</strong> diesen <strong>und</strong> den oben genannten Gruppen findet man z.B. in [Unsöld and<br />
Bascheck, 2005].<br />
11<br />
Spezielle Untergruppen werden nicht aufgeführt. Siehe da<strong>zu</strong> [Carney and Harris, 2001] oder [Sparke and<br />
10<br />
Gallahger, 2007].
1.3 Photometrie<br />
MV (RR) = a[F e/H] + b (1.1)<br />
wobei a 12 , <strong>und</strong> b 13 durch Messungen bestimmt werden müssen - [F e/H] wird auch Metallizität<br />
genannt. Es gibt nun mehrere Methoden, wie <strong>zu</strong>m Beispiel diejenige von Baade-Wesselink 14 ,<br />
M31 Kugelsternhaufen usw., um diese Koeffizienten <strong>zu</strong> bestimmen [Carney and Harris, 2001].<br />
Für die weiteren Betrachtungen <strong>und</strong> vor allem für die <strong>Distanzbestimmung</strong> in Kapitel 1.4.3<br />
wird, wegen der guten Übereinstimmigkeit mit der Theorie, diejenige Methode von Baade-<br />
Wesselink verwendet, mit welcher man auf folgenden Ausdruck für die absoluten, visuellen<br />
Helligkeiten MV kommt:<br />
MV (RR) = (0.16 ± 0.03)[F e/H] + (1.02 ± 0.03). (1.2)<br />
Abbildung 1.8: Der Unterschied zwischen RR-Lyrae-Typen (RRab <strong>und</strong> RRc) ist hier gut erkennbar.<br />
Abgebildet sind einige RR-Lyrae Sterne des Kugelsternhaufens M3.<br />
[Carney and Harris, 2001].<br />
1.3 Photometrie<br />
1.3.1 Differenzielle Photometrie<br />
Um eine Helligkeitsbestimmung eines Sterns V1 mit Hilfe der Differenziellen Photometrie<br />
durchführen <strong>zu</strong> können, muss mindestens ein Vergleichsstern C1(nicht veränderlich) mit bekannter<br />
Helligkeit auf der gleichen CCD Aufnahme sein [AAVSO, 2008]. Ist diese Vorausset<strong>zu</strong>ng<br />
gegeben, so kann man wie folgt beschrieben, die gesuchte Helligkeit V1 des Sterns<br />
bestimmen:<br />
1. Man misst, z.B. mit dem Programm Maxim-DL mit Hilfe der Blenden-Photometrie-<br />
Funktion, die Helligkeit 15 der beiden Sterne V1 <strong>und</strong> C1 auf der CCD-Aufnahme <strong>und</strong><br />
12 Bestimmt relatives Alter.<br />
13 Auch zero point genannt - bestimmt absolutes Alter.<br />
14 Siehe [Carney and Harris, 2001] für ausführliche Beschreibung der Methode.<br />
15 Die Einstellung für die Umrechnung von Intensität auf Magnitude spielt hierbei für die Bestimmung der<br />
11
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
bildet die Differenz D = C1,Messung − V1,Messung + δMessungen [mag]. δMessungen ist als<br />
Fehler der Messungen <strong>zu</strong> verstehen 16 .<br />
2. Wären beide Helligkeiten C1,Katalog <strong>und</strong> V1,Katalog aus früheren Messungen schon bekannt,<br />
so würde auch gelten: D = C1,Katalog − V1,Katalog + δKatalog [mag]. δKatalog stellt<br />
in diesem Zusammenhang den Katalogfehler dar.<br />
3. Dieser Sachverhalt kann nun verwendet werden, um V1 <strong>zu</strong> bestimmen:<br />
V1 = C1,Katalog − C1,Messung + V1,Messung + δ, [mag] (1.3)<br />
wobei in δ die Katalog- <strong>und</strong> Messfehler <strong>zu</strong>sammengefasst sind. Der grösste Vorteil der Differenziellen<br />
Photometrie gegenüber der All Sky Methode (siehe Kap. 1.3.2) ist, dass man die<br />
Atmosphärischen Störungen <strong>und</strong> die Luftmassen nicht in die Rechnung mit ein <strong>zu</strong> beziehen<br />
braucht. Gr<strong>und</strong>: Diese Störungen sind für den Vergleichsstern C1 <strong>und</strong> den betrachteten Stern<br />
V1 gleich 17 - heben sich also somit auf! Verwendet man bei der Differentiellen Photometrie<br />
Flatfield-korrigierte Aufnahmen (siehe Kap. 1.3.4), so können hierbei Genauigkeiten von bis<br />
<strong>zu</strong> 0.015 mag, ansonsten 0.05 mag, erreicht werden [AAVSO, 2008].<br />
Ausgleichungsverfahren für Bestimmung der gesuchten Helligkeit<br />
Zur Bestimmung der gesuchten Helligkeit V1 kann alternativ <strong>zu</strong>m soeben besprochenen Verfahren<br />
ein Ausgleichungsmodell der Art<br />
Ci,Katalog = Ci,Messung + vi,Messung + C [mag] (1.4)<br />
verwendet werden, wobei C eine additive Konstante <strong>und</strong> vi,Messung den Fehler der Messung<br />
i darstellen. Sind nun Messungen von Vergleichssternen vorhanden, kann mit Hilfe der Ausgleichung<br />
der Wert C sowie dessen mittleren Fehler mc bestimmt werden 18 . Sind die beiden<br />
Werte bekannt, ist es via<br />
V1 = V1,Messung + C ± mc [mag] (1.5)<br />
möglich die gesuchte Helligkeit <strong>und</strong> dessen mittleren Fehler mc des betrachteten Sterns an<strong>zu</strong>geben.<br />
An dieser Stelle muss jedoch noch erwähnt werden, dass sich nicht jeder Katalogstern,<br />
als Vergleichsstern für die Bestimmmung der gesuchten Konstanten C <strong>und</strong> mc eignet. Einerseits<br />
sollten Katalogsterne verwendet werden, deren Helligkeiten sehr präzise bestimmt<br />
worden sind. Andererseits sollten sie ungefähr die gleich Helligkeit, wie die <strong>zu</strong> bestimmende<br />
aufweisen da ansonsten ein nicht repräsentativer mittlerer Fehler mc an die gesuchten Helligkeiten<br />
angebracht wird. Weitere Informationen hier<strong>zu</strong> bei der Besprechung der erhaltenen<br />
Resultate auf S.29.<br />
Helligkeit keine Rolle <strong>und</strong> kann im Gr<strong>und</strong>e genommen willkürlich gewählt werden. Oft verwendet man aber<br />
Einstellungen, die dann der tatsächlichen Helligkeiten nahe sind.<br />
16 Für eine ausführliche Diskussion <strong>zu</strong>r Bestimmung des Messfehlers δMessung wird auf [Martin and Kleemann-<br />
Böker, 2004, Berry and Burnell, 2005] verwiesen.<br />
17 Achtung: Dies trifft nur unter der Annahme <strong>zu</strong>, dass es sich um ein kleines, aufgenommenes Gesichtsfeld<br />
handelt <strong>und</strong> nicht eines über mehrere Grade!<br />
18 Eine detailliertere Herleitung des verwendeten Ausgleichunsmodells nach [Gurtner, 2007] ist im Anhang A<br />
12<br />
auf S.49 aufgeführt.
1.3.2 All Sky Photometrie<br />
1.3 Photometrie<br />
Befinden sich auf der CCD Aufnahme, auf der sich der Stern mit gesuchter Helligkeit befindet,<br />
keine Vergleichssterne, so kann die so genannte ” All Sky Photometrie“ verwendet werden, um<br />
die gesuchte Helligkeit <strong>zu</strong> bestimmen. Diese Methode ist, im Gegensatz <strong>zu</strong>r Differenziellen<br />
Photometrie, jedoch viel aufwendiger <strong>und</strong> komplexer <strong>und</strong> erfordert viel mehr Aufwand, da<br />
alle gesuchten Parameter mit Hilfe von Ausgleichungsmodellen berechnet werden müssen. Um<br />
diese Komplexität verdeutlichen <strong>zu</strong> können, hier <strong>zu</strong>erst einmal die der All Sky Photometrie<br />
<strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e liegenden Transformationsgleichungen, die schlussendlich für die Bestimmung der<br />
verschiedenen Helligkeiten verwendet werden müssen:<br />
B − V = (b − v) · Tbv + Kbv · X + Zbv,<br />
V − R = (v − r) · Tvr + Kvr · X + Zvr,<br />
R − I = (r − i) · Tri + Kri · X + Zri,<br />
V − I = (v − i) · Tvi + Kvi · X + Zvi, nach [AAVSO, 2008]<br />
V = v + (B − V ) · Tv + Kv · X + Zv, nach [Berry and Burnell, 2005]<br />
X = sec(zd) − 0.0018167 · Del − 0.002875 · Del 2 − 0.0008083 · Del 3 ,<br />
Del = sec(zd) − 1.0, sec(zd) =<br />
1<br />
, zd = Zenitdistanz<br />
cos(zd)<br />
(1.6)<br />
(1.7)<br />
wobei die Tj 19 Farbtransformationskoeffizienten, Kj die atmosphärischen Extinktionskoeffizienten<br />
20 , X die Luftmasse <strong>und</strong> Zj Nullpunktkorrekturen darstellen. Des Weiteren stellen<br />
die klein geschriebenen Buchstaben, wie b,v usw., die instrumentellen 21 <strong>und</strong> die gross geschriebenen<br />
Buchstaben die Standard-Magnituden dar [AAVSO, 2008]. Die instrumentellen<br />
Magnituden b, v usw. lassen sich nach [Berry and Burnell, 2005] wie folgt berechnen<br />
� �<br />
Cap − nap(Can/nan)<br />
Instr.Mag. = −2.5 · log<br />
+ Z<br />
tB<br />
� �<br />
ADUStar<br />
− 2.5 · log<br />
,<br />
tB<br />
(1.8)<br />
wobei Z eine additive, frei 22 wählbare Konstante, Cap die Summe der Pixelwerte <strong>und</strong> nap die<br />
Anzahl Pixel in der Blende um den Stern, Can die Summe der Pixelwerte <strong>und</strong> nan die Anzahl<br />
Pixel in der Blende des Himmelshintergr<strong>und</strong>s, tB die Belichtungszeit darstellen.<br />
Wären all diese Koeffizienten schon bekannt, resp. bestimmt worden, so könnte man die<br />
19<br />
Tj, Kj, Zj <strong>und</strong> später Qj stellen eine allg. Notation dar. Wird ein spezifischer Koeffizient diskutiert, so hat<br />
dieser die gleiche Form wie in den Gleichungen (1.6).<br />
20<br />
Die Extinktion ist wellenlängenabhängig <strong>und</strong> ist für jede Bestimmung von Helligkeiten/Farbe <strong>zu</strong> berechnen.<br />
21<br />
Die Teleskope der Observatorien unterscheiden sich oft in Bauweise, verwendete Filter usw. <strong>und</strong> besitzen<br />
somit verschiedene instrumentelle Magnituden. Um diesen Effekt <strong>zu</strong> korrigieren, müssen diese auf Standardmagnituden<br />
umgerechnet werden, um schlussendlich für verschiedenste Berechnungen brauchbare Helligkeitswerte<br />
<strong>zu</strong> erhalten.<br />
22<br />
In der Photometrie wird die additive Konstante Z meist so gewählt, dass die instrumentellen Magnituden<br />
praktisch mit den Standardmagnituden übereinstimmen.<br />
13
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
gemessenen, instrumentellen Magnituden unverzüglich auf Standardmagnituden umrechnen.<br />
In den folgenden Abschnitten werden jedoch die Schritte für die Bestimmung von (B − V )<br />
<strong>und</strong> V durchgeführt, da diese schlussendlich für die <strong>Distanzbestimmung</strong> von Nöten sind - die<br />
anderen Farben sind analog berechenbar.<br />
1. Bestimmung der Farbtransformationskoeffizienten Tj<br />
Um die Tj bestimmen <strong>zu</strong> können, werden meist Gebilde von Sternen, wie z.B. M67,<br />
Landoltstandarfelder (siehe Kap. 1.3.3) usw., verwendet, welche so genannte Standardsterne<br />
23 oder sek<strong>und</strong>äre Standards beinhalten <strong>und</strong> einen gewissen Farbbereich abdecken.<br />
Werden nun von diesen Sternen Aufnahmen in den benötigten Filtern angefertigt <strong>und</strong><br />
sind die Sterne so kompakt beisammen, dass man annehmen kann, dass sie sich bei der<br />
gleichen Luftmasse befinden, so vereinfachen sich die Gleichungen <strong>zu</strong><br />
(B − V )Katalog = (b − v)Messung · Tbv + Qbv,<br />
VKatalog = vMessung + (B − V )Katalog · Tv + Qv.<br />
(1.9)<br />
Nach [Gurtner, 2007] stellen die Gleichungen in 1.9 auch gerade die Bedingungsgleichungen<br />
für die Ausgleichung 24 dar:<br />
(b − v)Messung · Tbv + Qbv − (B − V )Katalog = 0,<br />
vMessung + (B − V )Katalog · Tv + Qv − VKatalog = 0.<br />
(1.10)<br />
wobei Extinktionsterme <strong>und</strong> Nullpunktkorrekturen in Qj <strong>zu</strong>sammengefasst wurden. Von<br />
Interesse sind bei dieser Ausgleichung schlussendlich nur die Farbkorrekturkoeffizienten<br />
Tj <strong>und</strong> deren mittleren Fehler mTj - die Q-Terme werden automatisch vom Programm<br />
mitberechnet.<br />
Für die weitere Diskussion ist an dieser Stelle <strong>zu</strong> erwähnen, dass die Farbtransformationskoeffizienten<br />
über längere Zeit <strong>und</strong> unter der Vorausset<strong>zu</strong>ng, dass keine Modifikationen<br />
am System vorgenommen wurden, konstant bleiben. Die Koeffizienten können daher<br />
im Gegensatz <strong>zu</strong> den Kj <strong>und</strong> Zj vor einer eigentlichen Messung bestimmt werden.<br />
2. Bestimmung der Exktinktionskoeffizienten Kj <strong>und</strong> Nullpunktskorrekturen<br />
Zj<br />
Da nun die Farbtransformationskoeffizienten Tj im vorherigen Schritt bestimmt worden<br />
sind, können die ursprünglichen, unveränderten Gleichungen in 1.6<br />
(B − V )Katalog = (b − v)Messung · Tbv + Kbv · X + Zbv,<br />
VKatalog = vMessung · Tv + Kv · X + Zv,<br />
(1.11)<br />
23<br />
Standardsterne dienen unter anderem der Systemkalibrierung da deren Helligkeiten sehr genau bestimmt<br />
worden sind.<br />
24<br />
Da die gesamte Herleitung der Ausgleichungsmodelle <strong>zu</strong> umfangreich ist, werden des Weiteren nur die Bedingungsgleichungen<br />
aufgeschrieben. Die gesamte Theorie findet man in [Gurtner, 2007]; Programmcode<br />
auf der beiliegenden DVD in den betreffenden Ordnern vorhanden.<br />
14
1.3 Photometrie<br />
verwendet werden, um die Extinktionskoeffizienten Kj sowie die Nullpunktskorrekturen<br />
Zj für die jeweiligen Umrechnungen auf Standardmagnituden <strong>zu</strong> berechnen. Die<br />
Beobachtungsgleichungen für die Ausgleichungen haben daher die Form<br />
(b − v)Messung · Tbv + Kbv · X + Zbv − (B − V )Katalog,<br />
vMessung · Tv + Kr · X + Zv − VKatalog.<br />
(1.12)<br />
Im Gegensatz <strong>zu</strong>m vorherigen Schritt, bei dem die Tj mit Hilfe von Standardfeldern in<br />
einer bestimmten Höhe, resp. ein <strong>und</strong> derselben Luftmasse bestimmt wurden, müssen<br />
hier Sterne mit unterschiedlichen Farben <strong>und</strong> mit genau bestimmten Helligkeiten in<br />
verschiedenen Höhen beobachtet werden, um die gesuchten Koeffizienten bestimmen <strong>zu</strong><br />
können. Wird die Ausgleichung mit den Messdaten ausgeführt, so erhält man die gesuchten<br />
Koeffizienten Kj, Zj mit ihren <strong>zu</strong>gehörigen mittleren Fehlern 25<br />
mKj;Zj [AAVSO,<br />
2008].<br />
Wurden die Schritte 1, 2 erfolgreich durchgeführt, resp. sind alle Koeffizienten bekannt, so ist<br />
man nun in der Lage die instrumentellen Magnituden auf Standardmagnituden um<strong>zu</strong>rechnen.<br />
Die erhaltenen Werte können dann für weitere Berechnungen, wie z.B. für die <strong>Distanzbestimmung</strong>,<br />
weiter verwendet werden.<br />
1.3.3 Landold Standardsterne<br />
Die Umstände, dass die Standardsterne, welche dem von Johnson <strong>und</strong> Morgan um 1953 entwickelte<br />
photometrische UBV System <strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e liegen, oft für die damaligen, verwendeten<br />
Photometer der Observatorien <strong>zu</strong> hell <strong>und</strong> nur von Astronomen auf der nördliche Hemisphäre<br />
<strong>zu</strong>gänglich waren, führten Arlo U. Landolt da<strong>zu</strong> ein Set von Standardsternen <strong>zu</strong>sammen <strong>zu</strong>stellen,<br />
welches<br />
1. homogen <strong>und</strong> in sich konsistent,<br />
2. präzis vermessen,<br />
3. <strong>und</strong> Astronomen auf beiden Hemisphären die Möglichkeit bot, dieses für Kalibrierungen<br />
von Intensität <strong>und</strong> Farben <strong>zu</strong> verwenden.<br />
Eine erste solche Zusammenstellung wurde 1973 im The Astronomical Journal“ mit dem Titel<br />
”<br />
” UBV photoelectric sequences in the celestial equatorial selected areas 92-115“ veröffentlicht.<br />
642 neue Standardsterne, verteilt auf 24 Selectes Areas“, im Johnson UBV-System im Bereich<br />
”<br />
von 10.5 � V � 12.5 Magnituden <strong>und</strong> ±1◦ um den Himmelsäquator angesiedelt, waren ab<br />
dann für Astronomen, resp. ein Subset davon, auf beiden Hemisphären stets verfügbar!<br />
Landolt verfolgte diese Arbeit weiter <strong>und</strong> begann ein dreiteiliges Projekt mit dem Ziel immer<br />
schwächere Standardsterne für Kalibrierungen bereit <strong>zu</strong> stellen. Hier ein kurze Übersicht dieser<br />
Werke:<br />
• 1. Teil um 1983: 223 Standardsterne im Johnson-Kron-Cousins UBVRI-System, ±1 ◦<br />
um Himmelsäquator angesiedelt <strong>und</strong> die meisten davon in Selected Areas 92 − 115,<br />
Helligkeiten im Bereich von 7 � V � 12.5 Magnituden <strong>und</strong> Farben von −0.3 � (B−V ) �<br />
+2.0 [Landolt, 1973].<br />
25 Programmcode auf der beiliegenden DVD vorhanden.<br />
15
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Abbildung 1.9: Abbgebildet ist ein Ausschnitt der Selected Area SA101. [Landolt, 1992].<br />
• 2. Teil um 1992: 526 Standardsterne im Johnson-Kron-Cousins UBVRI-System; zentriert<br />
um Himmelsäquator; Helligkeiten im Bereich von 11.5 � V � 16.0 Magnituden <strong>und</strong><br />
Farben von −0.3 � (B − V ) � +2.3 [Landolt, 1983].<br />
• 3. Teil: Nach [Landolt, 1992] noch ausstehend. Es handelt sich hierbei um Standardsterne<br />
in einem noch nicht definitiven Helligkeitsbereich von 14.5 < V < 21.0 Magnituden<br />
[Landolt, 1992].<br />
1.3.4 Korrekturaufnahmen<br />
Oft ist es notwendig, Rohaufnahmen von Fehlern, verursacht durch Optik usw., vor eigentlichen<br />
Messungen <strong>zu</strong> kalibrieren. Im Folgenden werden die Kalibrieraufnahmen Bias, Dark <strong>und</strong><br />
Flatfield vorgestellt <strong>und</strong> erläutert mit welchen Aufnahmen welche Effekte behoben werden.<br />
Für eine ausführliche Diskussion wird auf [Martin and Kleemann-Böker, 2004] <strong>und</strong> [Berry and<br />
Burnell, 2005] verwiesen.<br />
Bias<br />
Ein Biasbild stellt eine Aufnahme dar, welche mit kürzester Belichtungszeit <strong>und</strong> gegen Licht<br />
abgeschirmten Chip aufgenommen wurde (siehe Abb. 1.10).<br />
Bei einer solchen Aufnahme würde man eigentlich als Pixelwerte lauter Nullen erwarten (da<br />
kein Lichteinfall <strong>und</strong> kürzeste Belichtungszeit!). Da jedoch jeder Ausleseverstäker eines CCD-<br />
Chips ein Ausleserauschen verursacht, welches sich in einer <strong>zu</strong>fälligen Streuung der Pixelwerte<br />
um die tatsächlichen Werte bemerkbar macht <strong>und</strong> so auch neg. Werte entstehen können, wird<br />
vom Chiphersteller ein konstanter Wert, die sogenannte Vorspannung oder auch Bias genannt,<br />
jedem Pixel hin<strong>zu</strong> addiert. Diese Vorspannung kann nun mit einer solchen Aufnahme ermittelt<br />
<strong>und</strong> dem Rohbild abgezogen werden [Martin and Kleemann-Böker, 2004].<br />
Dark<br />
Wie beim Biasbild handelt es sich beim Dunkelbild (siehe Abb. 1.11) - auch Dark genannt -<br />
um eine Aufnahme mit abgedeckten, gegen Lichteinfall geschützten Chip, bei der jedoch die<br />
16
1.3 Photometrie<br />
Abbildung 1.10: Bias Aufnahme mit CCD-Chip (CCD42-40 NIMO Back Illuminated von e2V)<br />
des ZIMLAT Teleskops in Zimmerwald; Aufnahmezeit: 0.1 s; Aufnahmedatum:<br />
05.05.2008; Chiptemperatur: - 35.47 ◦ C. Auffallend sind die beiden unterschiedlich<br />
” belichteten“ Hälften <strong>und</strong> die beiden hellen, vertikalen Striche<br />
auf der rechten Seite des Chips. Ersteres hat damit <strong>zu</strong> tun, dass der Chip<br />
auf zwei Seiten Signale ausliest <strong>und</strong> somit zwei Ausleseverstäker, resp. zwei<br />
Vorspannungen besitzt <strong>und</strong> letzteres mit defekten Pixels (hier: so genannte<br />
Hot Pixels). [Andreas Riedo, 2008].<br />
Belichtungszeit 26 sowie Chiptemeperatur 27 mit den Werten des <strong>zu</strong> korrigierenden Rohbildes<br />
übereinstimmen. Da nun die Belichtungszeit beim Dark nicht die kürzest mögliche ist, besteht<br />
eine solche Aufnahme im Gr<strong>und</strong>e genommen aus zwei Teilbildern: dem Bias- <strong>und</strong> dem<br />
Wärmebild (Thermal-Frame). Letzteres entsteht dadurch, dass Elektronen e − allein durch<br />
ihre thermischen Energien im Silizium des CCD Chips freigesetzt werden können <strong>und</strong> sich,<br />
wie ” herkömmliche“, durch Licht freigesetzte Elektronen e − , in den Pixels ansammeln. Dieses<br />
Signal wird auch Dunkelstrom genannt <strong>und</strong> nimmt bei gegebener Belichtungszeit mit<br />
ansteigender Chiptemperatur <strong>zu</strong>. Falls nun die Dark-Aufnahme die gleiche Belichtungszeit,<br />
wie diejenige des Rohbildes aufweist, so kann dieser Effekt korrigiert werden, indem man das<br />
Dark vom Rohbild subtrahiert 28 . Ist dies nicht der Fall, so muss das Dark <strong>zu</strong>erst Bias korrigiert<br />
<strong>und</strong> anschliessend auf die korrekte Belichtungszeit skaliert werden, bevor es vom Rohbild<br />
subtrahiert wird [Martin and Kleemann-Böker, 2004].<br />
Flatfield<br />
Flatfield Aufnahmen werden benötigt, um eine Kalibrierung der relativen Empfindlichkeit der<br />
Pixel des Aufnahmesystems <strong>zu</strong> realisieren. Solche unterschiedliche Empfindlichkeiten werden<br />
z.B. durch die Aufnahmeoptik - Vignettierung - oder Artefakte, verursacht durch Staubkörner<br />
auf optischen Flächen in der Nähe des CCD Chips oder gar auf dem Chip selbst usw. hervor-<br />
26 Ein Dark kann auch rechnerisch bestimmt werden, falls Belichtungszeit nicht mit derjenigen des Rohbildes<br />
übereinstimmt. Dabei wird das Dark <strong>zu</strong>erst Bias korrigiert <strong>und</strong> dann auf die gewünschte Belichtungszeit<br />
skaliert. Damit das erstelle Dark für die Belichtungszeit des Rohbildes repräsentativ ist, sollte aus rein<br />
statistischen Gründen beachtet werden, dass die Belichtungszeit des Rohdarks höher sein sollte, als diejenige<br />
des Rohbildes.<br />
27 Nach [Martin and Kleemann-Böker, 2004] sollten sich die Temperaturen von Roh- <strong>und</strong> Darkaufnahme nicht<br />
mehr als ungefähr ±2 ◦ C unterscheiden.<br />
28 Unter dieser Annahme wird sogleich auch die Biaskorrektur vorgenommen.<br />
17
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Abbildung 1.11: Abgebildet ist eine Darkaufnahme mit CCD-Chip (CCD42-40 NIMO Back Illuminated<br />
von e2V) des ZIMLAT Teleskops in Zimmerwald; Belichtungszeit:<br />
192 s; Aufnahmedatum: 06.05.08; Chiptemperatur: -35.79 ◦ C. Einerseits sind<br />
wieder die zwei Vorspannungen sowie die Hot Pixels <strong>und</strong> andererseits die je<br />
4 Sektoren auf jeder Seite sichtbar. Letzteres hat mit dem Herstellungsprozess<br />
des Chips <strong>zu</strong> tun <strong>und</strong> nicht, wie man meinen könnte, mit <strong>zu</strong>sätzlichen<br />
Vorspannungen. [Andreas Riedo, 2008].<br />
gerufen. Dabei handelt es sich um Aufnahmen, bei denen einerseits der CCD Chip möglichst<br />
homogen 29 beleuchtet werden muss <strong>und</strong> andererseits die durchschnittliche Intensität der Pixel<br />
so hoch wie möglich 30 sein sollte. Es ist jedoch <strong>zu</strong> beachten, dass der lineare Empfindlichkeitsbereich<br />
der Kameras dabei nicht überschritten werden darf! Sollte dies geschehen, so sind<br />
die Aufnahmen unbrauchbar, da diese dann <strong>zu</strong> einer Intensitätsverfälschung des Rohbildes<br />
führen. Wurden die Aufnahmen erfolgreich erstellt, so muss man wie folgt vorgehen, um die<br />
Korrekturen beim Rohbild vornehmen <strong>zu</strong> können:<br />
1. Rohbild muss <strong>zu</strong>erst mit Bias <strong>und</strong> passendem Dark korrigiert werden,<br />
2. Flat muss vor Anwendung am Rohbild mit Bias <strong>und</strong> passendem Dark korrigiert <strong>und</strong><br />
normiert werden,<br />
3. Um die Flatkorrektur nun vornehmen <strong>zu</strong> können, wird das Rohbild durch das Flat<br />
dividiert <strong>und</strong> NICHT subtrahiert, wie dies bei der Bias- <strong>und</strong> Darkkorrekur der Fall ist,<br />
4. Rohbild ist nun vollständig korrigiert <strong>und</strong> kann für weitere Messungen verwendet werden.<br />
Da nun Verschmut<strong>zu</strong>ngen bei verschiedenen Wellenlängen sich unterschiedlich auf die Rohdaten<br />
auswirken <strong>und</strong> auch die Optik <strong>und</strong> der CCD Chip 31 <strong>zu</strong> dieser Wellenlängenabhängigkeit<br />
führen, müssen Flatbilder für jeden bei den Rohdaten verwendeten Filter hergestellt werden<br />
(siehe Abb. 1.3.4). Deutlich wird nun auch, dass die Apparatur, bei der die Rohbilder <strong>und</strong><br />
29 Es gibt mehrere Möglichkeiten Flats auf<strong>zu</strong>nehmen: Lichtboxflats, Kuppelflats, Dämmerungsflats <strong>und</strong> Himmelflats.<br />
Die einzelnen Techniken sind in [Martin and Kleemann-Böker, 2004] ausführlich diskutiert <strong>und</strong><br />
werden hier nicht näher erläutert.<br />
30 Bei non ABG - Antiblooming-Gate - Kameras eine mittlere Intensität von 60% - 80% <strong>und</strong> bei AGB Kameras<br />
eine mittlere Intensität von 40% - 60% der maximal möglichen Graustufen.<br />
31 Es kann vorkommen, dass zwei Pixel des CCD in einer Wellenlänge die gleiche Intensität aufweisen jedoch<br />
18<br />
in einer anderen wiederum nicht!
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
(a) B-Filter, Belichtungszeit: 0.1 s. (b) V-Filter, Belichtungszeit: 0.1 s.<br />
(c) R-Filter, Belichtungszeit: 0.2 s. (d) I-Filter, Belichtungszeit: 0.5 s.<br />
Abbildung 1.12: Abgebildet sind Dämmerungs-Flats mit ZIMLAT in den Filtern B,V,R,I.<br />
Aufnahmedatum: 05.05.2008. Sehr gut <strong>zu</strong> erkennen sind die Vignettierungen<br />
sowie die besprochene Wellenlängenabhängigkeit in den einzelnen Filtern -<br />
Vergleiche da<strong>zu</strong> B- <strong>und</strong> I-Filter miteinander! [Andreas Riedo, 2008].<br />
die Flats aufgenommen wurden, identisch sein muss, um obigen Effekten Rechnung tragen <strong>zu</strong><br />
können [Martin and Kleemann-Böker, 2004].<br />
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Im Folgenden werden vier verschiedene Modelle vorgestellt, welche für eine <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
<strong>zu</strong> Himmelsobjekten herangezogen werden können. Hierbei werden im ersten Teil zwei<br />
Methoden vorgestellt, welche in den Anfängen der <strong>Distanzbestimmung</strong> entwickelt wurden <strong>und</strong><br />
sich für kürzere Distanzen eignen. Im zweiten Teil werden dann diejenigen zwei Modelle vorgestellt,<br />
mit denen in dieser Arbeit die Distanzen <strong>zu</strong> M3 <strong>und</strong> M44 berechnet werden - dem<br />
Main-Sequence Fitting <strong>und</strong> dem Verfahren mit Hilfe von Veränderlichen Sternen.<br />
19
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.4.1 Trigonometrische Parallaxen<br />
Durch die jährliche Bewegung der Erde um die Sonne ist bei den <strong>zu</strong> uns näheren Sterne<br />
gegenüber der Himmelskugel - weit entfernte Sterne - eine scheinbare, elliptische Bahn <strong>zu</strong><br />
beobachten (siehe Abb. 1.13). Der Winkel unter dem der Erdbahnradius (1 AE 32 ) vom betrachteten<br />
Stern her gesehen wird, wird jährliche oder auch heliozentrische Parallaxe genannt.<br />
Ist diese Parallaxe p bekannt, so hat man mit dem folgendem Ausdruck die Möglichkeit die<br />
Distanz d <strong>zu</strong> dem betrachteten Stern <strong>zu</strong> bestimmen<br />
d = 1<br />
p<br />
[pc], (1.13)<br />
wobei die Parallaxe p in Bogensek<strong>und</strong>en an<strong>zu</strong>geben ist. Einer Parallaxe von p = 1 ′′ entspricht<br />
die Entfernung d = 360·60·60<br />
2·π = 206′ 264.8 AE - auch 1 Parsec33 genannt [Unsöld and Bascheck,<br />
2005].<br />
Abbildung 1.13: Trigonometrische Parallaxe p. [Unsöld and Bascheck, 2005, Sparke and Gallahger,<br />
2007].<br />
Historisch gesehen, konnte man die Parallaxenbestimmung <strong>zu</strong> Sternen erst mit der Erfindung<br />
des Heliometers durch Joseph von Fraunhofer (1787 - 1826) durchführen, da die <strong>zu</strong> messenden<br />
Winkeln mit den damaligen, technischen Hilfsmitteln nicht genügend aufgelösst werden<br />
konnten. Die folgende Tabelle zeigt die <strong>zu</strong> uns nächsten Sterne mit ihren Parallaxen:<br />
Tabelle 1.1: Parallaxen der nächsten Sterne (stand 2006) aus [Schildknecht, 2007]<br />
Sternenname p [”] Distanz [pc]<br />
Proxima Centauri 0.77 1.30<br />
Alpha Centauri A 0.75 1.34<br />
Alpha Centauri B 0.75 1.34<br />
Barnard’s Star 0.55 1.83<br />
Wolf 359 0.42 2.39<br />
Die erste Messung von Sternparallaxen wurden F.W.Bessel <strong>zu</strong>geschrieben [Schildknecht, 2007],<br />
32 1 AE = 1.496 · 10 11 m; Abkür<strong>zu</strong>ng für Astronomische Einheit - englisch astronomical unit AU.<br />
33 Hergeleitet aus Parallaxe <strong>und</strong> Sek<strong>und</strong>e; Kurzform 1 pc.<br />
20
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
wobei in diesem Sinne auch die Persönlichkeiten T.Henderson <strong>und</strong> F.G.W Struve <strong>zu</strong> erwähnen<br />
sind.<br />
Eine gr<strong>und</strong>legende Verbesserung der Messgenauigkeit von ±0.01 ′′ folgte um 1903, als F. Schlesinger<br />
die erste photographische Messung von trigonometrischer Parallaxen gelang. Eine weitere<br />
Steigerung der Messgenauigkeit auf r<strong>und</strong> ±0.001 ′′ für hellere <strong>und</strong> ±0.003 ′′ für schwächere<br />
Sterne wurde durch den 1989 gestarteten europäischen Astrometriesateliten HIPPARCOS 34<br />
erreicht.<br />
Schlussendlich ist aber <strong>zu</strong> erwähnen, dass die <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe der Parallaxenmessung<br />
wegen den Messgenauigkeiten nur für Distanzen von (500 − 1000) pc geeignet ist.<br />
Etwas weitere Distanzen können mit Hilfe von Stromparallaxen bzw. Haufenparallaxen für<br />
Gruppen von Sternen erreicht werden (siehe folgendes Kapitel 1.4.2) [Unsöld and Bascheck,<br />
2005].<br />
1.4.2 Stromparallaxen<br />
Die <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe der Stromparallaxe bzw. Haufenparallaxe ist auf eine Entdeckung<br />
von L. Boss <strong>zu</strong>rück<strong>zu</strong>führen. Um 1908 beobachtete er eine Gruppe von Sternen,<br />
angesiedelt um den Hyadenhaufen, deren Eigenbewegungsvektoren an der Sphäre gegen einen<br />
Konvergenzpunkt hinzielen (siehe Abb. 1.14).<br />
Abbildung 1.14: <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe der Stromparallaxe bzw. Haufenparallaxe.<br />
[Unsöld and Bascheck, 2005].<br />
Dieses Verhalten kann nun verwendet werden, um eine <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> einem Stern des<br />
Haufens vor<strong>zu</strong>nehmen. Sind die Werte für die Haufengeschwindigkeit vH 35 , die Eigenbewegung<br />
µ 36 , die Radialgeschwindigkeit Vr 37 sowie der Zwischenwinkel ϑ für einen Haufenstern bekannt,<br />
so kann man folgenden Ausdruck<br />
p[ ′′ ] =<br />
4.74 · µ[ ′′ a −1 ]<br />
Vr[km s −1 ] · tan(ϑ)<br />
verwenden, um dessen Distanz mit Hilfe der Gleichung 1.13 <strong>zu</strong> bestimmen.<br />
(1.14)<br />
34 High Precision Parallax Collecting Satellite.<br />
35 Geschwindigkeit relativ <strong>zu</strong>r Sonne.<br />
36 Von E. Halley (1718) entdeckt; erhält man aus dem Vergleich von zwei Aufnahmen (Messung bezogen auf<br />
entfernte Sterne mit kleiner Eigenbewegung), welche einen zeitlichen Abstand von 10-50 Jahren haben.<br />
37 Geschwindigkeit relativ <strong>zu</strong>r Sonne; erhält man aus spektroskopischen Messungen via Dopplereffekt: Vr =<br />
c · ∆λ<br />
λ0 .<br />
21
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
1.4.3 RR Lyrae<br />
Um eine <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe von RR-Lyare Sternen durchführen <strong>zu</strong> können, müssen<br />
<strong>zu</strong>erst einige theoretische Modelle näher diskutiert werden. Sind diese <strong>und</strong> die Herleitung des<br />
Distanzmoduls<br />
m − M = 5 log 10(d) − 5 + A (1.15)<br />
verstanden, kann die Gl.(1.15) in Verbindung mit Messungen umgehend für eine <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
herangezogen werden.<br />
Der Fluss F eines Sterns, resp. die totale empfangene Energie pro Sek<strong>und</strong>e <strong>und</strong> Quadratmeter<br />
[Wm −2 ], ist definiert durch<br />
F = L<br />
, (1.16)<br />
4πd2 wobei L die Leuchtkraft des Sterns, resp. die Energie, die pro Sek<strong>und</strong>e radial ausgestrahlt<br />
wird, <strong>und</strong> d die Distanz in [pc] <strong>zu</strong>m betrachteten Stern darstellen. Betrachtet man nun zwei<br />
Sterne mit ihren jeweiligen Strahlungsflüssen F1 <strong>und</strong> F2, so sind diese mit<br />
m1 − m2 = −2.5 log 10<br />
� F1<br />
F2<br />
�<br />
(1.17)<br />
miteinander korreliert. Dabei sind m1 <strong>und</strong> m2 die gemessenen scheinbaren Magnituden der<br />
beiden betrachteten Sterne. Mit der Definition 1.16 erhält man weiter<br />
m1 − m2 = −2.5 log 10<br />
⎛<br />
⎝<br />
L1<br />
4πd2 1<br />
L2<br />
4πd 2 2<br />
⎞<br />
⎠ . (1.18)<br />
Um den hergeleiteten Ausdruck auf die gesuchte Form der Gl.(1.15) <strong>zu</strong> bringen, muss <strong>zu</strong>erst die<br />
Definition der absoluten Magnitude M eines Sterns gegeben werden. Es handelt sich hierbei<br />
um die scheinbare Helligkeit m des Sterns, welche in einer Distanz von 10 pc beobachtet werden<br />
würde, resp.<br />
F = L<br />
. (1.19)<br />
4π102 Betrachtet man nun einen einzelnen Stern mit seinen 2 scheinbaren Helligkeiten - eine in der<br />
gesuchten Distanz d <strong>und</strong> eine in 10 pc - so kommt man auf folgenden Ausdruck<br />
m − M = −2.5 log 10<br />
�<br />
L<br />
4πd2 L<br />
4π102 �<br />
= −2.5 log10 � �2 10<br />
= −5 log10 d<br />
� �<br />
10<br />
d<br />
(1.20)<br />
welcher auch Distanzmodul genannt wird [Sparke and Gallahger, 2007, Unsöld and Bascheck,<br />
2005]. Sind nun die Werte für die scheinbare <strong>und</strong> absolute Helligkeit m <strong>und</strong> M eines Sterns<br />
bekannt <strong>und</strong> löst man das Distanzmodul nach der Distanz d auf, so erhält man direkt die<br />
Entfernung <strong>zu</strong>m betrachteten Stern. Bevor der Ausdruck jedoch nach der Distanz d aufgelösst<br />
wird, muss ein wichtiger ” Störfaktor“ miteinbezogen werden, welcher in den Anfängen<br />
der Verwendung des Moduls nicht berücksichtigt worden ist - die interstellare Extinktion A.<br />
22
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Die interstellare Extinktion, hervorgerufen durch interstellaren Staub, verursacht eine Abschwächung<br />
des Lichts, was <strong>zu</strong> einer Überschät<strong>zu</strong>ng der Distanz führt. Um diesen Effekt bei<br />
der <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> berücksichtigen, muss das Distanzmodul <strong>zu</strong><br />
m − M = 5 log 10(d) − 5 + A (1.21)<br />
modifiziert werden. Mit der angebrachten Korrektur kann nun Gl. 1.15 nach d aufgelösst<br />
werden <strong>und</strong> erhält somit eine Gleichung mit der die Distanz in [pc] <strong>zu</strong>m betrachteten Objekt<br />
berechnet werden kann:<br />
d = 10 0.2(m−M−A)+1 . (1.22)<br />
Des Weiteren ist <strong>zu</strong> berücksichtigen, dass Gl. 1.15 in verschiedenen Filtern, d.h. im visuellen,<br />
blauen usw., verwendet werden kann. Dabei ist jedoch <strong>zu</strong> beachten - da die Extinktion A wellenlängenabhängig<br />
ist - dass alle gemessenen Terme im selben Wellenlängenbereich ein<strong>zu</strong>fügen<br />
<strong>und</strong> nicht <strong>zu</strong> vermischen sind [Unsöld and Bascheck, 2005, Trefzger, 2008].<br />
Anwendung auf RR-Lyrae Veränderliche<br />
Um schlussendlich eine <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe von RR-Lyrae durchführen <strong>zu</strong> können,<br />
müssen folgende Werte/Angaben bekannt sein:<br />
1. Messungen, um die mittlere 38 , scheinbare Helligkeit mV <strong>zu</strong> bestimmen,<br />
2. Angabe der Metallizität [F e/H] 39 des betrachteten Objekts für die Bestimmung der<br />
absoluten, visuellen Helligkeit MV (siehe Gl. 1.2),<br />
3. Angabe der interstellaren Extinktion im visuellen AV 40 .<br />
Sind all diese Werte/Angaben bekannt, so können diese in Gl. 1.22<br />
d = 10 0.2(mV −MV −AV )+1<br />
eingesetzt werden, um die gesuchte Distanz berechnen <strong>zu</strong> können.<br />
(1.23)<br />
An dieser Stelle ist <strong>zu</strong>sätzlich <strong>zu</strong> erwähnen, dass die erhaltene Gleichung auch für andere<br />
Objekte verwendet werden kann <strong>und</strong> nicht nur den RR-Lyrae Sternen vorbehalten ist. Denn<br />
sind die Werte für mV , MV <strong>und</strong> AV für ein Objekt bekannt, so können diese in die Gleichung<br />
eingesetzt werden, um eine <strong>Distanzbestimmung</strong> durchführen <strong>zu</strong> können.<br />
1.4.4 Main Sequence Fitting - Hauptreihenanpassung<br />
Im Gegensatz <strong>zu</strong>m Distanzverfahren in Verwendung von RR-Lyrae Sternen, handelt es sich<br />
beim Main Sequence Fitting - auch Hauptreihenanpassung genannt - um eine relative Entfernungsmessmethode<br />
zwischen zwei Sternhaufen, von denen bei einem die Distanz durch andere<br />
Messungen schon bekannt ist. Dabei vergleicht man deren Hauptreihen in einem Farben-<br />
Helligkeits Diagramm F HD (siehe Abb. 1.16) <strong>und</strong> bringt sie durch vertikales Verschieben <strong>zu</strong>r<br />
38 Da es sich um einen Veränderlichen handelt, muss der Mittelwert über einer Periode genommen werden.<br />
39 Kann z.B. durch spektroskopische Messungen ermittelt werden.<br />
40 Kann durch spektralphotometrische Messungen berechnet werden; nach [Unsöld and Bascheck, 2005] kann<br />
AV durch AV = (3.1 ± 0.1)EB−V bestimmt werden, wobei EB−V den Farbexzess darstellt.<br />
23
1 Theoretische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Überdeckung. Mit der vertikalen Differenz ∆M ist es nun möglich die gesuchte Distanz d2<br />
in Abhängigkeit der schon bekannten d1 <strong>zu</strong> bestimmen [Trefzger, 2008]. Hier eine Herleitung<br />
dessen, was soeben besprochen wurde:<br />
Man betrachte zwei Hauptreihen im FHD <strong>und</strong> unterteile den Farbindex 41 in n Teilstücke<br />
(siehe Abb. (1.15)).<br />
Abbildung 1.15: Schematische Darstellung eines Main Sequence Fittings im FHD. [Andreas<br />
Riedo, 2008].<br />
In jedem Farbindexintervall i wird nun die vertikale Distanz ∆Mi zwischen den beiden Hauptreihen<br />
gemessen. Mit den Distanzmodulen der beiden Sternhaufen im Intervall i (siehe Gl.1.15)<br />
m1,i − M1,i = 5 log 10(d1,i) − 5 + A1,<br />
m2,i − M2,i = 5 log 10(d2,i) − 5 + A2,<br />
(1.24)<br />
wobei mit dem Index 1 der Sternhaufen bezeichnet wird, bei dem die Distanz d1,i = d1 schon<br />
bestimmt wurde <strong>und</strong> 2 bei dem sie noch <strong>zu</strong> bestimmen ist, lässt sich nun die Distanz d2,i<br />
bestimmen, indem man deren Differenz via<br />
� �<br />
d1<br />
(m1,i − M1,i) − (m2,i − M2,i) = 5 log10 � �� �<br />
d2,i<br />
∆Mi<br />
bildet <strong>und</strong> nach der gesuchten Distanz d2,i auflösst<br />
+ A1 − A2<br />
� �� �<br />
∆A<br />
(1.25)<br />
d2,i = d1 · 10 0.2(∆Mi−∆A) . (1.26)<br />
41 Die Differenz zwischen zwei scheinbaren Helligkeiten in unterschiedlichen Wellenlängen, resp. mx −my wobei<br />
24<br />
x, y z.B. B, V sein könnten.
1.4 Modelle der <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Wird die Distanz d2,i für jeden Farbindexintervall i bestimmt, kann schlussendlich eine mittlere<br />
Angabe über die gesuchte Distanz d2 des betrachteten Sternhaufens angegeben werden.<br />
An dieser Stelle sollte vollständigkeitshalber erwähnt werden, dass beschriebenes Verfahren<br />
der <strong>Distanzbestimmung</strong> nicht nur bei Sternhaufen angewandt werden kann. Es würde z.B.<br />
auch funktionieren, wenn man die vertikale Verschiebung ∆M zweier Sterne - bei einem ist<br />
die Distanz unbekannt - mit dem gleichen Farbindex im FHD bestimmen würde.<br />
Referenzhaufen für Main Sequence Fitting<br />
Als Referenzhaufen wird meistens der Hyadenhaufen verwendet, da dessen Distanz besonders<br />
genau mit Hilfe von trigonometrischen (siehe Kapitel 1.4.1) <strong>und</strong> Sternstromparallaxen<br />
(siehe Kapitel 1.4.2) gemessen wurde. Hier ein aktueller Wert für die mittlere Entfernung des<br />
Hyadenhaufens [Trefzger, 2008]:<br />
DHyaden = (46.3 ± 0.3) pc. (1.27)<br />
Abbildung 1.16: Farben-Helligkeits-Diagramme offener Sternhaufen. Aufgetragen sind die korrigierten<br />
Werte für MV,0 <strong>und</strong> Farbindizes (B − V )0. [Unsöld and Bascheck,<br />
2005].<br />
25
2 Experiment<br />
2.1 Apparatur <strong>und</strong> Software<br />
CCD Aufnahmen<br />
Alle CCD Aufnahmen, welche den folgenden Resultaten <strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e liegen, wurden mit der<br />
CCD Kamera in Verbindung mit dem ZIMLAT Teleskop in Zimmerwald der <strong>Universität</strong><br />
<strong>Bern</strong> aufgenommen. Der dabei verwendete CCD Chip ist vom Typ CCD42-40 NIMO Back<br />
Illuminated <strong>und</strong> ist von e2V technolegies angefertigt. Sämtliche Rohaufnahmen sowie Korrekturaufnahmen<br />
sind auf der beiliegenden DVD vorhanden.<br />
Software<br />
Sämtliche Sternhelligkeiten wurden - wenn Nichts anderes erwähnt - mit dem Photometrie-<br />
Tool des Programms MaxIm DL gemessen. Die erhaltenen Helligkeiten wurden anschliessend<br />
mit selbstgeschriebenen Prozeduren in Matlab Version 2007a weiterverarbeitet. Alle<br />
Programmcodes sind auf der beiliegenden DVD in den entsprechenden Ordnern verfügbar<br />
<strong>und</strong> können dort direkt mit Matlab ausgeführt oder betrachtet werden.<br />
2.2 Fehlerrechnung<br />
Die im Folgenden berechneten <strong>und</strong> angegebenen mittleren Fehler der Resultate, wurden -<br />
wenn Nichts anderes erwähnt - mit Hilfe der Fehlerfortpflan<strong>zu</strong>ng nach Gauss berechnet. Da<strong>zu</strong><br />
wurde folgende, allgemeine Form verwendet<br />
s 2 ¯ f = s 2 f(¯x) + s2 f(¯y)<br />
+ . . . ≡<br />
� �2 ∂f<br />
s<br />
∂x<br />
2 ¯x +<br />
� �2 ∂f<br />
s<br />
∂y<br />
2 ¯y + . . . (2.1)<br />
wobei die partiellen Ableitungen an den Stellen ¯x, ¯y usw. berechnet wurden.<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
2.3.1 <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong>m Kugelsternhaufen M3<br />
Da Messier 3 - kurz M3 - viele RR-Lyrae Sterne besitzt, eignet sich dieses Objekt für die<br />
Anwendung der Methode der <strong>Distanzbestimmung</strong> in Verwendung von RR-Lyrae Sternen<br />
vorzüglich [Cacciari et al., 2005]. Nachfolgend werden nochmals die Gleichungen aufgeführt,<br />
die für die Bestimmung der Distanz herangezogen werden:<br />
26<br />
MV (RR) = (0.16 ± 0.03)[F e/H] + (1.02 ± 0.03) [mag]; siehe Kap. 1.2.2, Gl. 1.2<br />
d = 10 0.2(mV −MV −AV )+1 [pc]; siehe Kap. 1.4.3, Gl. 1.23<br />
(2.2)
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
wobei die visuellen Helligkeiten mV mit der Methode der Differenziellen Photometrie (siehe<br />
Kap. 1.3.1) gemessen wurden. Für die Berechnung der absoluten, visuellen Helligkeit MV wird<br />
nach [Cacciari et al., 2005]<br />
[F e/H] = (−1.50 ± 0.03) (2.3)<br />
als Wert für die Metallizität verwendet. Damit erhält man für MV den Wert<br />
MV (RR) = (0.78 ± 0.05) [mag]. (2.4)<br />
Die interstellare Extinktion im Visuellen AV kann, wie in Kap. 1.4.3 kurz angesprochen, mit<br />
Hilfe des Farbexzesses E (B−V ) <strong>und</strong> folgendem Ausdruck<br />
AV = (3.1 ± 0.1) · E (B−V )<br />
nach [Unsöld and Bascheck, 2005] berechnet werden, wobei als Wert für den Farbexzess E (B−V )<br />
nach [Cacciari et al., 2005]<br />
(2.5)<br />
E (B−V ) = (0.01 ± 0.01) mag (2.6)<br />
verwendet wird. Damit erhält man für die interstellare Extinktion im Visuellen AV<br />
AV = (0.03 ± 0.03) mag. (2.7)<br />
Bevor die erhaltenen Werte für die visuellen Helligkeiten mV angegeben werden, sollten im<br />
Vorfeld noch einige Bemerkungen <strong>zu</strong>m ausgewerteten Aufnahmematerial, Auswertungsverfahren<br />
usw. angegeben werden.<br />
Verwendete Aufnahmen<br />
Die mit Differenzieller Photometrie gemessenen visuellen Helligkeiten mV wurden einer CCD<br />
Aufnahme mit Datum 21.06.2008 <strong>und</strong> Belichtungszeit von 120 s entnommen. Um die Schwächen<br />
<strong>und</strong> Stärken der angewandten Messmethode auf<strong>zu</strong>zeigen, wurde des Weiteren einerseits die<br />
unkorrigierte <strong>und</strong> andererseits die kalibrierte Aufnahme verwendet - folglich werden später<br />
zwei verschiedene Messwerte für mV , resp. zwei Distanzen diskutiert werden. Für die Kalibrierung<br />
der Aufnahme wurden ein Masterbias, zwei Masterdarks (810 ms <strong>und</strong> 120 s) <strong>und</strong> ein<br />
Masterflat verwendet, die je mit einer Median-Mittelung aus 10 Aufnahmen des 21.06.2008<br />
hergestellt wurden.<br />
RR-Lyrae Sterne, Vergleichssterne <strong>und</strong> angewandte Berechnung von mV<br />
Da die Messung über die Helligkeitsperioden der RR-Lyrae Sterne nicht vollständig durchgeführt<br />
werden konnte <strong>und</strong> es folglich nicht möglich war, die einzelnen mittleren, visuellen<br />
Helligkeiten mV,i der einzelnen RR-Lyrae Sterne <strong>zu</strong> bestimmen, um schlussendlich via einer<br />
Mittelung über alle mV,i eine mittlere Helligkeit mV <strong>zu</strong> erhalten, wurde eine Berechnung unter<br />
folgender Annahme gemacht:<br />
Misst man Helligkeiten von RR-Lyrae Sternen, welche sich in einer dem Beobachter unbekannten<br />
Phase der jeweiligen Perioden befinden 1 , so sollte sich der Mittelwert über all diese<br />
1 Siehe da<strong>zu</strong> Messungen in [Cacciari et al., 2005].<br />
27
2 Experiment<br />
Messungen mit steigender Anzahl von vermessenen RR-Lyrae Sternen, dem gesuchten Mittelwert<br />
nähern.<br />
Des Weiteren musste die Arbeit von [Cacciari et al., 2005] - Messung von 133 RR-Lyrae<br />
Sternen - für eine eindeutige Identifikation der RR-Lyrae Sternen <strong>und</strong> deren Typus herangezogen<br />
werden, um Nicht-Veränderliche von Veränderlichen unterscheiden <strong>zu</strong> können.<br />
Den Resultaten liegen letztendlich 25 Vergleichssterne 2 - Katalogdaten aus [Buonanno et al.,<br />
1994] - <strong>und</strong> 22 RR-Lyrae Sterne <strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e, von denen nach [Cacciari et al., 2005] 12 RRab,<br />
4 RRc <strong>und</strong> 6 RR-Lyrae Sterne mit Blazhko-Effekt 3 sind. Da sich nun nach [Cacciari et al.,<br />
2005] die einzelnen mittleren Helligkeiten der oben erwähnten Typen, für RRab < V >=<br />
(15.64 ± 0.04) mag, RRc < V >= (15.59 ± 0.02) mag <strong>und</strong> für die Sterne mit Blazhko Effekt<br />
< V >= (15.65 ± 0.05) mag, voneinander unterscheiden, wurde die mittlere Helligkeit der<br />
RRab Typen als Referenz für die mittlere, visuelle Helligkeit der RR-Lyrae Sterne verwendet,<br />
resp. die RRc <strong>und</strong> Blazhko Typen wurden in der Berechnung um +0.05 mag <strong>und</strong> −0.01 mag<br />
korrigiert 4 . Nach dieser Korrektur wurden anschliessend alle Werte <strong>zu</strong>sammen addiert <strong>und</strong><br />
durch die Anzahl RR-Lyrae Sterne dividiert, um den gesuchten Wert für die mittlere, visuelle<br />
Helligkeit mV für die Berechnung der Distanz d berechnen <strong>zu</strong> können.<br />
Mit den oben besprochenen Annahmen <strong>und</strong> Korrekturen können nun die beiden - folgend<br />
aus unkorrigierter <strong>und</strong> korrigierter Aufnahme - gesuchten, visuellen Helligkeiten mv,unkorr<br />
<strong>und</strong> mv,korr berechnet, resp. hier angegeben werden:<br />
< mv,unkorr > = (15.719 ± 0.001) mag,<br />
< mv,korr > = (15.696 ± 0.001) mag.<br />
(2.8)<br />
Mit diesen <strong>und</strong> den besprochenen Werten für Metallizität usw., können sogleich auch die<br />
gesuchten Distanzen dunkorr <strong>und</strong> dkorr nach Gl. 2.2 angegeben werden:<br />
dunkorr = (9588 ± 255) pc; dkorr = (9487 ± 255) pc. (2.9)<br />
An dieser Stelle sollte erwähnt werden, dass der Fehler von ±255 pc von den Unsicherheiten in<br />
AV , [F e/H] <strong>und</strong> vor allem in MV (RR) dominiert wird, <strong>und</strong> nicht, wie man missverständlich<br />
meinen könnte, von den Messunsicherheiten in den Gl. (2.9).<br />
Zur Verifikation der Resultate werden in der Tabelle 2.1 Distanzen <strong>zu</strong> M3 aufgeführt, welche<br />
jeweils durch verschiedene Messmethoden bestimmt wurden.<br />
Kommentare <strong>zu</strong> den erhaltenen Messresultaten<br />
Vergleicht man die in 2.9 berechneten Distanzen mit denjenigen, die in Tabelle 2.1 aufgeführt<br />
sind, so stellt man unmittelbar fest, dass sich die erhaltenen Werte sehr gut in die durch<br />
[Sandage and Cacciari, 1990, Longmore et al., 1990, Carney, 1980] bestimmten Distanzen eingliedern.<br />
Betrachtet man die Resultate der visuellen Helligkeiten mv,unkorr <strong>und</strong> mv,korr in Gl. 2.8, so<br />
2<br />
Siehe auch Kommentar <strong>zu</strong> verwendeten Vergleichssternen auf S.29.<br />
3<br />
Eine weitere, spezielle Unterklasse der RR-Lyrae Sterne, deren Helligkeitsamplitude <strong>und</strong>/oder Phase mit der<br />
Zeit ändert. Weitere Details in [Kolenberg, 2004].<br />
4<br />
Siehe Programmcode compausgleuichng.m“, Zeile 79-86.<br />
”<br />
28
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Tabelle 2.1: <strong>Distanzbestimmung</strong>en <strong>zu</strong> M3 mit unterschiedlichen Messmethoden<br />
Distanzmodul a [mag] Distanz [pc] Messmethode/Referenz<br />
(m − M)v,0 = 14.81 9162 Photometrische Main-Sequence Fits <strong>zu</strong> geeigneten<br />
ZAMS b - Positionen für unterschiedliche Metallizitäten<br />
[F e/H]. Nach [Sandage and Cacciari, 1990].<br />
(m − M)v,0 = 14.83 9247 Hergeleitet aus Effektivtemperaturen Te <strong>und</strong> bolometrischen<br />
Helligkeiten mbol, welche mit Hilfe von<br />
UBV Photometrie berechnet wurden. Nach [Carney,<br />
1980].<br />
(m − M)v,0 = 14.99 9954 RR Lyrae log(periode)-infrarot Helligkeitsrelation.<br />
Nach [Longmore et al., 1990].<br />
a Auf interstellare Extinktion AV korrigierte Distanzmodule.<br />
b Zero-age main sequence.<br />
führt der dort aufgeführte Unterschied von 0.02 mag <strong>zu</strong> einem Distan<strong>zu</strong>nterschied von 88 pc.<br />
Im Vergleich <strong>zu</strong> den in Tabelle 2.1 aufgeführten Distanzen, ist dieser Unterschied jedoch praktisch<br />
vernachlässigbar. Unter diesem Gesichtspunkt wäre eine Messung mit der Methode der<br />
Differentiellen Photometrie nur mit der unkorrigierten CCD Aufnahme in diesem Fall sicher<br />
unproblematisch gewesen - man denke hierbei an den höheren Aufwand für die Kalibrierung<br />
der CCD Aufnahme!<br />
Auswahl der Vergleichssterne <strong>und</strong> Fehlerfortpflan<strong>zu</strong>ng<br />
Wie im Kap. 1.3.1 kurz angesprochen, spielt die Auswahl der Vergleichssterne, welche <strong>zu</strong>r<br />
Bestimmung der RR-Lyrae Helligkeiten <strong>und</strong> deren mittleren Fehler verwendet werden, eine<br />
doch nicht <strong>zu</strong> verachtende Rolle. Um dies besser nachvollziehen <strong>zu</strong> können, betrachte man am<br />
besten die Abbildung 2.1.<br />
Wie man dieser sofort entnehmen kann, nimmt der mittlere Fehler bei schwächer werdenden<br />
Helligkeiten <strong>zu</strong>, was aus dem schlechter werdenden [S/N] 5 hervorgeht. Da nun die RR-Lyrae<br />
Sterne in M3 nach [Cacciari et al., 2005] eine mittlere, visuelle Helligkeit im Intervall von<br />
[15 − 16] mag besitzen, ist es verständlich, dass man Vergleichssterne im angegebenen Intervall<br />
verwenden sollte, um die korrekten mittleren Fehler der Helligkeiten an die RR-Lyrae<br />
Sterne an<strong>zu</strong>bringen. Würde man dies nicht berücksichtigen, so würden sich die falsch angebrachten<br />
Fehler unmittelbar auf die Fehlerfortpflan<strong>zu</strong>ng auswirken <strong>und</strong> folglich die Resultate<br />
für mv,unkorr <strong>und</strong> mv,korr, resp. dunkorr <strong>und</strong> dkorr verfälschen.<br />
2.3.2 <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong>m Offenen Sternhaufen M44<br />
Um eine <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> einem <strong>offenen</strong> Sternhaufen mit Hilfe eines Main-Sequence<br />
Fittings relativ <strong>zu</strong>m Hyadenhaufen durchführen <strong>zu</strong> können, muss dessen Hauptreihe gut beobachtbar<br />
sein. Für dieses Vorhaben eignet sich M44 - auch Praesepe genannt - vorzüglich.<br />
Es handelt sich hierbei um einen jungen, hellen <strong>offenen</strong> Sternhaufen bei dem die Hauptreihe<br />
sehr gut beobachtbar ist. Die dabei verwendeten Helligkeiten V <strong>und</strong> (B −V ) wurden mit Hilfe<br />
5 Signal <strong>zu</strong> Rauschen Verhältnis.<br />
29
2 Experiment<br />
Mittlerer Fehler [mag]<br />
0.018<br />
0.016<br />
0.014<br />
0.012<br />
0.01<br />
0.008<br />
0.006<br />
Fehlerverhalten bei Abnahme der Helligkeiten der Vergleichssterne<br />
14 14.5 15 15.5<br />
V [mag]<br />
16 16.5 17<br />
Abbildung 2.1: Abgebildet sind die mittleren Fehler von Vergleichssternen, welche in drei verschiedene<br />
Helligkeitsklassen mit je einer Länge von einer Magnitude - nicht<br />
Fehlerbalken - verteilt sind. Verwendet wurden hierbei: korrigierte CCD Aufnahme,<br />
je 11 Vergleichssterne in den Intervallen [14 − 15] mag, [15 − 16] mag<br />
<strong>und</strong> [16 − 17] mag. [Andreas Riedo, 2008].<br />
der All Sky Photometrie bestimmt. Bevor die einzelnen Resultate aufgeführt <strong>und</strong> besprochen<br />
werden, <strong>zu</strong>erst einige Bemerkungen <strong>zu</strong>m verwendeten Aufnahmematerial <strong>und</strong> den berechneten<br />
Transformationskeffizienten der All Sky Photometrie (siehe Kap. 1.3.2).<br />
M44 - Verwendete Aufnahmen<br />
Die der <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e liegenden, instrumentellen Helligkeiten v <strong>und</strong> b wurden<br />
Aufnahmen vom 05.05.2008 entnommen. Dabei wurden je 10 Aufnahmen im B-, resp. im<br />
V-Filter aufgenommen <strong>und</strong> vor einer Median-Mittelung <strong>zu</strong> Masteraufnahmen mit Hilfe von<br />
Korrekturaufnahmen kalibriert. Hierbei wurden verwendet:<br />
30<br />
• Zwei Masterbias; erzeugt aus je 5 Einzelaufnahmen mit Hilfe der Median-Mittelung;<br />
Aufnahmedatum: 05.05.2008,<br />
• Vier Masterdarks à 2 s, 10 s, 32 s <strong>und</strong> 192 s; erzeugt aus je 5 Einzelaufnahmen mit Hilfe<br />
der Median-Mittelung; Aufnahmedatum: 05.05.2008,<br />
• B,V Masterflats; erzeugt aus je 10 Einzelaufnahmen mit Hilfe der Median-Mittelung; da<br />
Intensitäten der Einzelaufnahmen wegen Dämmerung abnahmen, wurden diese vor Mittelung<br />
durch MaxIm DL auf die gleiche Helligkeit skaliert; Aufnahmedatum: 05.05.2008,<br />
• sämtliche Kalibrieraufnahmen wurden im 2×2 Binning aufgenommen, resp. mit einer<br />
Grösse von 1024×1024 Pixel. Da jedoch die Rohaufnahmen eine Grösse von 2048×2047<br />
Pixel aufweisen, mussten die Kalibrieraufnahmen auf die entsprechende Grösse skaliert<br />
werden. Hierbei wurden nicht die Einzelaufnahmen sondern die Masteraufnahmen vergrössert,
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
• sämtliche Kalibierungs- <strong>und</strong> Photometriearbeiten wurden mit MaxIm DL durchgeführt.<br />
All Sky Photometrie - Verwendete Aufnahmen<br />
Bevor ein Main-Sequence Fitting mit den gemessen, instrumentellen Helligkeiten b, v durchgeführt<br />
werden kann, müssen diese <strong>zu</strong>erst mit Hilfe der Gleichungen 1.6 in Kap. 1.3.2 auf<br />
Standardmagnituden umgerechnet werden. Die dabei notwendigen Transformationskoeffizienten<br />
Tj, Kj <strong>und</strong> Zj wurden mit Hilfe der Landoltstandardfelder SA107, SA104 <strong>und</strong> SA104E<br />
(vgl. [Landolt, 1992]) bestimmt. Verwendet wurden hierbei die Aufnahmen:<br />
• SA107: je 2 Aufnahmen in B,V; SA104: je 3 Aufnahmen in B,V; SA104E: 3 Aufnahmen in<br />
B <strong>und</strong> 2 Aufnahmen in V; Aufnahmen wurden einzeln kalibriert; mit Median-Mittelung<br />
wurden Masteraufnahmen erzeugt; Aufnahmedatum: 10.05.08,<br />
• Flatfields: es wurden Bias <strong>und</strong> Dark korrigierte Flatfields vom 05.05.2008 verwendet;<br />
Bias <strong>und</strong> Dark vom 05.05.2008; gleiche Aufnahmen wie für Kalibrierung der Rohaufnahmen<br />
von M44 (siehe oben),<br />
• Bias: drei median-gemittelte Masterbias; zwei davon bestehen aus je 3 Einzelaufnahmen;<br />
dritte Masteraufnahme besteht aus Mittelung der zwei vorherigen Dreierserien;<br />
Aufnahmedatum: 10.05.2008,<br />
• Dark: ein Masterdark à 180 s; erzeugt durch 4 Einzelaufnahmen; Aufnahmedatum:<br />
10.05.2008,<br />
• Bias <strong>und</strong> Dark-Einzelaufnahmen wurden im 2×2 Binning-Modus aufgenommen, für<br />
die Kalibrierung der Rohaufnahmen wurden sie <strong>zu</strong>erst median-gemittelt <strong>und</strong> dann auf<br />
2048×2047 Pixel skaliert.<br />
• Transmissionsserie vom 06.05.2008 für die Bestimmung der Kj <strong>und</strong> Zj. Da die Transmissionsserie<br />
vom Abend des 05.05.2008, an welchem die Rohdaten für M44 aufgenommen<br />
wurden, Fehler aufwies, musste eine des darauf folgenden Abends verwendet werden.<br />
Die Atmosphärischen Situationen der beiden Abenden waren ungefähr vergleichbar.<br />
In den folgenden Abschnitten werden nun die Resultate der Transformationskoeffizienten nach<br />
Gl. 1.6 besprochen, wobei <strong>zu</strong>erst diejenigen für die Umrechnung auf VStandard, resp. Tv, Kv, Zv,<br />
behandelt werden - nachfolgend dann diejenigen für (B − V )Standard. Für die Berechnung der<br />
Koeffizienten wurden die in Kap. 1.3.2 besprochenen Ausgleichungsmodelle verwendet.<br />
Resultate für Tv, Kv, Zv<br />
Mit Hilfe der Landoltstandardfelder konnten in einem ersten Schritt der Wert für Tv ermittelt<br />
werden. Verwendet man für die Berechnung dessen die kalibrierten Aufnahmen 6 , so<br />
erhält man<br />
Tv,kal = −0.15 ± 0.12, RMS = 0.13 mag. (2.10)<br />
6 Sämtliche Koeffizienten, welche mit kalibrierten Aufnahmen berechnet wurden, sind im Folgenden mit dem<br />
Index kal gekennzeichnet.<br />
31
2 Experiment<br />
Betrachtet man nun aber die Abb. 2.2, auf der links die Messungen gefittet <strong>und</strong> rechts die berechneten<br />
Residuen dargestellt sind, so stellt man un<strong>zu</strong>frieden fest, dass die Messungen Fehler<br />
bis <strong>zu</strong> 0.25 mag <strong>und</strong> Peak <strong>zu</strong> Peak sogar ∼ 0.5 mag haben - Erwartet hätte man bei kalibrierten<br />
Aufnahmen Fehler im Bereich von ∼ 0.03 mag! Um nun die Herkunft dieser grossen Fehler genauer<br />
analysieren <strong>zu</strong> können, wurden mit Hilfe der institutseigenen Auswertungssoftware für<br />
Sternhelligkeiten 7 je eine unkorrigierte Aufnahme der drei verwendeten Landoltstandardfelder<br />
prozessiert. Mit Hilfe erwähnter Software erhält man für den Farbtransformationskoeffizient<br />
Tv den Wert<br />
Tv,Software,unkorr,ungemittelt = −0.09 ± 0.06, RMS = 0.06 mag (2.11)<br />
der mit dem vorherigen Ergebnis nicht im Widerspruch steht. Jedoch stellt man unverzüglich<br />
fest, dass dessen mittleren Fehler um einen Faktor ∼ 2 reduziert wurde, was mit der Betrachtung<br />
der Abb. 2.3 verdeutlicht wird.<br />
(V − v) Landolt − Messung [mag]<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
−0.1<br />
−0.2<br />
−0.3<br />
−0.4<br />
T v Bestimmung / Messungen − Nullpunkt<br />
Landoltfeld SA107<br />
Landoltfeld SA104 1.Feld<br />
Landoltfeld SA104 2.Feld<br />
T v = Steigung Linear Fit<br />
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5<br />
(B − V) [mag]<br />
Landolt<br />
v Messung + (B − V) Landolt * Tv + Qv − V Landolt [mag]<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
−0.1<br />
−0.2<br />
−0.3<br />
−0.4<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion von V Landolt<br />
12 12.5 13 13.5<br />
V [mag]<br />
Landolt<br />
14 14.5 15<br />
Abbildung 2.2: Tv Bestimmung; Reduktion: Bias, Dark, Flatfield, gemittelte Aufnahmen; Software:<br />
MaxIm DL; Links: Messungen mit linearem Fit mit Steigung = Tv;<br />
Rechts: Residuen der Beobachtungen in Funktion von VLandolt. Es ist kein<br />
Trend der Residuen <strong>zu</strong> beobachten. [Andreas Riedo, 2008].<br />
Mit den Abb. 2.2 <strong>und</strong> 2.3 wird nun deutlicher <strong>und</strong> wahrscheinlicher, dass Fehler bei der Kalibrierung<br />
der Rohdaten mit Bias, Dark <strong>und</strong> Flatfield entstanden sind. Um diesem Verdacht<br />
noch weiter auf den Gr<strong>und</strong> <strong>zu</strong> gehen, wurden mit der Software korrigierte aber nicht miteinander<br />
gemittelte Aufnahmen der drei vorherigen, besprochenen Aufnahmen prozessiert. Der<br />
berechnete Farbtransformationskoeffizient Tv lautet in diesem Fall:<br />
Residuen<br />
Tv,Software,korr,ungemittelt = −0.06 ± 0.14, RMS = 0.13 mag. (2.12)<br />
Wiederum steht dieser Wert mit den vorherigen nicht im Widerspruch. Zu erkennen ist hier die<br />
mehr als doppelte Zunahme des mittleren Fehlers gegenüber dem Ergebnis mit unkorrigierten<br />
<strong>und</strong> ungemittelten Aufnahmen. Dies wird in Abb. 2.4 nochmals verdeutlicht.<br />
Vergleicht man des Weiteren die Fehler in Abb. 2.2 mit denjenigen in Abb. 2.4, ist es eher<br />
unwahrscheinlich, dass mit dem Blenden-Photometrie Tool von MaxImDL falsch gemessen<br />
7 Koeffizienten, welche mit Hilfe der instituseigenen Software berechnet wurden, sind mit dem Index Software<br />
32<br />
gekennzeichnet.
(V − v) Landolt − Messung [mag]<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
T v Bestimmung / Messungen − Nullpunkt<br />
Landoltfeld SA107<br />
Landoltfeld SA104 1.Feld<br />
Landoltfeld SA104 2.Feld<br />
T v = Steigung Linear Fit<br />
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5<br />
(B − V) [mag]<br />
Landolt<br />
v Messung + (B − V) Landolt * Tv + Qv − V Landolt [mag]<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion von V Landolt<br />
Residuen<br />
12 12.5 13 13.5 14 14.5 15<br />
V [mag]<br />
Landolt<br />
Abbildung 2.3: Tv Bestimmung; Reduktionen: keine; Software: institutseigene; Links: Messungen<br />
mit linearem Fit mit Steigung = Tv; Rechts: Residuen der Beobachtungen<br />
in Funktion von VLandolt. Gegenüber der Abb. 2.2 sind die Abweichungen um<br />
einen Faktor ∼ 2 reduziert worden. Des Weiteren ist auch hier kein Trend der<br />
Fehler <strong>zu</strong> beobachten. Hin<strong>zu</strong><strong>zu</strong>fügen ist, dass in Folge von Softwarekriterien<br />
die Anzahl vermessener Landoltsterne nicht 100% identisch ist mit derjenigen,<br />
welche aus Handmessungen mit MaxIm DL resultiert. [Andreas Riedo, 2008].<br />
(V − v) Landolt − Messung [mag]<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
−0.25<br />
T v Bestimmung / Messungen − Nullpunkt<br />
Landoltfeld SA107<br />
Landoltfeld SA104 1.Feld<br />
Landoltfeld SA104 2.Feld<br />
T v = Steigung Linear Fit<br />
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
(B − V) [mag]<br />
Landolt<br />
v Messung + (B − V) Landolt * Tv + Qv − V Landolt [mag]<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion von V Landolt<br />
Residuen<br />
12 12.5 13 13.5 14 14.5 15<br />
V [mag]<br />
Landolt<br />
Abbildung 2.4: Tv Bestimmung; Reduktionen: Bias, Dark, Flatfiled, ungemittelte Aufnahmen;<br />
Software: institutseigene; Links: Messungen mit linearem Fit mit Steigung =<br />
Tv; Rechts: Residuen der Beobachtungen in Funktion von VLandolt. Die Messungenauigkeiten<br />
nehmen gegenüber Abb. 2.3 deutlich <strong>zu</strong>. [Andreas Riedo,<br />
2008].<br />
33
2 Experiment<br />
wurde. Folglich verhärtet sich der Verdacht, dass die Kalibrierung der Rohdaten die Messung<br />
mehr verfälscht als verbessert hat. Wo nun aber der Fehler bei der Kalibrierung der Rohdaten<br />
geschah, kann hier nicht erklärt werden. Die verwendeten Korrekturaufnahmen wurden dies<br />
betreffend nochmals durchgeschaut <strong>und</strong> kontrolliert, es wurden jedoch keinen Besonderheiten<br />
an den Einzelaufnahmen festgestellt - folglich können Fehler an den Aufnahmen ausgeschlossen<br />
werden. Weitere, mögliche Fehlerquellen:<br />
• Die verwendeten Flatfiles wurden vor der Mittelung (siehe Abschnitt M44 - Verwendete<br />
Aufnahmen auf S.31) wegen der Dämmerung skaliert - dies schlägt MaxIm DL<br />
in den Manuals vor. Der von MaxIm DL verwendete Algorithmus <strong>zu</strong>r Mittelung ist<br />
jedoch unbekannt. Umgehen könnte man diese mögliche Fehlerquelle, indem man nur<br />
eine Flatfield-Aufnahme statt mehrere <strong>zu</strong> einer gemittelten Masteraufnahme verwenden<br />
würde.<br />
• Anwendung der Kalibrieraufnahmen auf die Rohdaten durch MaxIm DL.<br />
• Falsch verwendete Einstellungen. Da MaxIm DL die Kalibrierung mehr oder weniger<br />
vorgibt, kann man hier nicht viel falsch machen. Man könnte dies umgehen indem man<br />
ein anderes Programm, wie z.B. IRAF <strong>zu</strong>r Auswertung verwenden würde.<br />
Da sich ein Fehler bei der Kalibrierung eingeschlichen haben könnte, wird für die Berechnung<br />
der zwei übrigen Koeffizienten Kv <strong>und</strong> Zv <strong>zu</strong>sätzlich, neben dem berechneten Wert aus<br />
kalibrierten <strong>und</strong> miteinander gemittelten Aufnahmen, resp. Tv,kal, derjenige aus unkalibrierten<br />
<strong>und</strong> ungemittelten, resp. Tv,Software,unkorr,ungemittelt, verwendet. Da beide Werte praktisch<br />
Null betragen, wird aus experimenteller Sicht auch der Wert Tv,exp = 0 für weitere Berechnungen<br />
mitgezogen.<br />
Implementiert man nun die drei verschiedenen Tv,j-Werte in die Ausgleichungsmodelle für die<br />
Bestimmung der Koeffizienten Kv, Zv, so erhält man dafür folgende Ergebnisse:<br />
Kv,Tv=0 = (−0.25 ± 0.01); Zv,Tv=0 = (22.11 ± 0.02); RMS = 0.03 mag;<br />
Kv,Tv=−0.09 = (−0.27 ± 0.02); Zv,Tv=−0.09 = (22.20 ± 0.04); RMS = 0.05 mag;<br />
Kv,Tv=−0.15 = (−0.28 ± 0.03); Zv,Tv=−0.15 = (22.26 ± 0.06); RMS = 0.08 mag;<br />
(2.13)<br />
Wie bei der Berechnung von Tv ist bei der Berechnung von Kv <strong>und</strong> Zv ein ähnliches Fehlerverhaltensmuster<br />
<strong>zu</strong> erkennen (vgl. Abb. 2.6 mit Abb. 2.7), resp. die Ungenauigkeiten nehmen<br />
von Tv = −0.09 gegenüber Tv = −0.15 <strong>zu</strong>. Absolut gesehen, beobachten man die kleinsten<br />
Fehler bei Verwendung von Tv = 0 (siehe Abb. (2.5)).<br />
Sämtliche Tv sowie die da<strong>zu</strong>gehörigen Kv <strong>und</strong> Zv Werte, welche später für die <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
verwendet werden, sind in Tabelle 2.2 übersichtshalber nochmals aufgeführt.<br />
Resultate für Tbv, Kbv, Zbv<br />
Bei Verwendung der kalibrierten <strong>und</strong> miteinander gemittelten Rohaufnahmen der Landoltstandardfelder,<br />
erhält man für den Farbtransformationskoeffizienten Tbv, der neben Kbv <strong>und</strong><br />
Zbv für die Umrechnung auf Standard (B − V ) Magnituden benötigt wird, den Wert<br />
34
(V − v) − (B − V) Katalog * T v,Landolt<br />
22.1<br />
22<br />
21.9<br />
21.8<br />
21.7<br />
21.6<br />
21.5<br />
21.4<br />
21.3<br />
21.2<br />
21.1<br />
Bestimmung von K v <strong>und</strong> Z v<br />
Messungen<br />
K v = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Residuen [mag]<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
−0.02<br />
−0.04<br />
−0.06<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse<br />
Resiuden<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.5: Verwendet: Tv = 0. Links: Linearer Fit durch die Messungen der Transmissionsserie;<br />
Rechts: Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse.<br />
Sämtliche Residuen liegen in einem Intervall von [−0.05, +0.05] mag. [Andreas<br />
Riedo, 2008].<br />
(V − v) − (B − V) Katalog * T v,Landolt<br />
22.2<br />
22<br />
21.8<br />
21.6<br />
21.4<br />
21.2<br />
Bestimmung von K v <strong>und</strong> Z v<br />
Messungen<br />
K v = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Residuen [mag]<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse<br />
Resiuden<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.6: Verwendet: Tv = −0.09. Links: Linearer Fit durch die Messungen der Transmissionsserie;<br />
Rechts: Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse.<br />
Gegenüber der Abb. 2.5 liegen hier nun einige Residuen ausserhalb des<br />
Intervalls [−0.05, +0.05] mag. [Andreas Riedo, 2008].<br />
Tabelle 2.2: Tv, Kv <strong>und</strong> Zv Werte für <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Tv,Software,unkorr,ungemittelt = (−0.09 ± 0.06); Tv,kal = −0.15 ± 0.12.<br />
Kv,Tv=−0.09 = (−0.27 ± 0.02); Kv,Tv=−0.15 = (−0.28 ± 0.03);<br />
Zv,Tv=−0.09 = (22.20 ± 0.04); Zv,Tv=−0.15 = (22.26 ± 0.06);<br />
Tv,exp = 0;<br />
Kv,Tv=0 = (−0.25 ± 0.01);<br />
Zv,Tv=0 = (22.11 ± 0.02);<br />
35
2 Experiment<br />
(V − v) − (B − V) Katalog * T v,Landolt<br />
22.2<br />
22<br />
21.8<br />
21.6<br />
21.4<br />
21.2<br />
Bestimmung von K v <strong>und</strong> Z v<br />
Messungen<br />
K v = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Residuen [mag]<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse<br />
Resiuden<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.7: Verwendet: Tv = −0.15. Links: Linearer Fit durch die Messungen der Transmissionsserie;<br />
Rechts: Residuen der Beobachtungen in Funktion der Luftmasse.<br />
Gegenüber der Abb. 2.6 liegen schon deutlich mehr Residuen ausserhalb des<br />
Bereiches von [−0.05, 0.05] mag. [Andreas Riedo, 2008].<br />
Tbv,kal = (0.80 ± 0.10), RMS = 0.04 mag. (2.14)<br />
Betrachtet man <strong>zu</strong>sätzlich die <strong>zu</strong>m obigen Resultat <strong>zu</strong>gehörigen Abb. 2.8, dann stellt man<br />
fest, dass es doch einige Messungen mit Ungenauigkeiten von mehr als 0.05 mag gibt - wohlbemerkt<br />
bei eigentlich kalibrierten Aufnahmen. Zum Vergleich wurden wieder unkorrigierte<br />
<strong>und</strong> ungemittelte Aufnahmen mit der Instituts-Software prozessiert, mit folgendem Ergebnis<br />
Tbv,Software,unkorr,umgemittelt = (0.91 ± 0.13), RMS = 0.11 mag. (2.15)<br />
Im Vergleich <strong>zu</strong>m vorangegangenen Resultat sind keine Widersprüche auffindbar. Vergleicht<br />
man jedoch die Ungenauigkeiten der Messungen (b−v) in Abb. 2.8 mit denjenigen in Abb. 2.9,<br />
so ist umgehend <strong>zu</strong> erkennen, dass die Fehler in den unkalibrierten Aufnahmen doch grösser<br />
sind. Nichts desto trotz sollten aber die Resultate in den kalibrierten Aufnahmen besser sein,<br />
obwohl eine Verbesserung 8 beobachtbar ist.<br />
Implementiert man diese Werte ins Ausgleichungsmodell für die Berechnung von Kbv <strong>und</strong> Zbv,<br />
so erhält man dafür folgende Resultate:<br />
Kbv,Tbv=0.80 = (−0.19 ± 0.12); Zbv,Tbv=0.80 = (−0.59 ± 0.22); RMS = 0.26 mag;<br />
Kbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.11); Zbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.19); RMS = 0.20 mag.<br />
(2.16)<br />
Betrachtet man nun aber die mit Tbv = 0.91 erstellten Abb. 2.10 9 , resp. die Residuen, so stellt<br />
man unmittelbar fest, dass die berechneten Abweichungen einfach <strong>zu</strong> gross sind - praktisch<br />
eine ganze Magnitude von Peak <strong>zu</strong> Peak! Des Weiteren sind starke Fluktuationen in hohen<br />
Elevationen, resp. praktisch in Zenitnähe, sehr gut erkennbar - in Horizontnähe könnten diese<br />
Abweichungen noch erklärbar sein.<br />
8 Hier wäre eine doppelte Kompensation der durch die Kalibrierung verursachten Fehler denkbar, da b <strong>und</strong> v<br />
Messungen in die Berechnungen hineinfliessen.<br />
9 Bei Verwendung von Tbv = 0.80 sind ähnliche Abb. beobachtbar.<br />
36
(B − V) Landolt [mag]<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
Landoltfeld SA107<br />
Landoltfeld SA104 1.Feld<br />
Landoltfeld SA104 2.Feld<br />
T bv = Steigung Linear Fit<br />
T bv Bestimmung / (B − V) − Nullpunkt<br />
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8<br />
(b − v) [mag]<br />
Messung<br />
Fehler an (b − v) Messung [mag]<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Relation zwischen Fehler <strong>und</strong> ansteigenden (B − V) Landolt<br />
Differenzen<br />
−0.1<br />
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
(B − V) [mag]<br />
Landolt<br />
Abbildung 2.8: Tbv Bestimmung; Reduktionen: Bias, Dark, Flatfield, gemittelte Aufnahmen;<br />
Software: MaxIm DL; Links: Messungen mit linearem Fit mit Steigung = Tbv;<br />
Rechts: Residuen der Beobachtungen (b−v) in Funktion von (B−V )Landolt. Die<br />
meisten Residuen befinden sich in [−0.05, +0.05] mag oder leicht ausserhalb.<br />
Einige Ausreisser sind aber dennoch <strong>zu</strong> erkennen. [Andreas Riedo, 2008].<br />
(B − V) Landolt [mag]<br />
2.6<br />
2.4<br />
2.2<br />
2<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
Landoltfeld SA107<br />
Landoltfeld SA104 1.Feld<br />
Landoltfeld SA104 2.Feld<br />
T bv = Steigung Linear Fit<br />
T bv Bestimmung / (B − V) − Nullpunkt<br />
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4<br />
(b − v) [mag]<br />
Messung<br />
Fehler an (b − v) Messung [mag]<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
Relation zwischen Fehler <strong>und</strong> ansteigenden (B − V) Landolt<br />
Differenzen<br />
−0.25<br />
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
(B − V) [mag]<br />
Landolt<br />
Abbildung 2.9: Tbv Bestimmung; Reduktionen: keine; Software: institutseigene; Links: Messungen<br />
mit linearem Fit mit Steigung = Tbv; Rechts: Residuen der Beobachtungen<br />
(b − v) in Funktion von (B − V )Landolt. Gegenüber der Abb. 2.8 ist<br />
eine deutliche Zunahme der Residuen <strong>zu</strong> erkennen. [Andreas Riedo, 2008].<br />
37
2 Experiment<br />
(B − V) Katalog − (b − v) Messung * T bv, Landolt<br />
−0.4<br />
−0.6<br />
−0.8<br />
−1<br />
−1.2<br />
−1.4<br />
−1.6<br />
Bestimmung von K bv <strong>und</strong> Z bv<br />
Messungen<br />
K bv = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Fehler an (b − v) Messung [mag]<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
−0.1<br />
−0.2<br />
−0.3<br />
−0.4<br />
Fehler an Messungen<br />
Fehler an (b − v) Messung<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.10: Verwendet: Tbv = 0.91; Links: Linearer Fit durch die Messungen der Transmissionsserie;<br />
Rechts: Die Abweichungen <strong>zu</strong>m linearen Fit, resp. die berechneten<br />
Fehler der Messungen. Man betrachte die grossen Abweichungen! [Andreas<br />
Riedo, 2008].<br />
Da jedoch bei der Bestimmung von Kv <strong>und</strong> Zv mit derselben Transmissionsserie, die auch<br />
hier verwendet wurde, keine derartigen Abweichungen auftauchten, müssten die Fehler in den<br />
b-Messungen liegen. Um dies genauer <strong>zu</strong> überprüfen, wurde hier<strong>zu</strong> der Farbtransformationskoeffizient<br />
Tb analog wie Tv mit Hilfe von unkalibrierten <strong>und</strong> ungemittelten 10 Landoltaufnahmen<br />
bestimmt. Nach kleinen Modifikationen 11 des Ausgleichungmodelles für die Bestimmung von<br />
Kv <strong>und</strong> Zv, konnten die entsprechenden Werte für Kb <strong>und</strong> Zb sowie die da<strong>zu</strong>gehörigen Abbildungen<br />
berechnet <strong>und</strong> erzeugt werden (siehe Abb. 2.11).<br />
(B − b) − (B − V) Katalog * T b,Landolt<br />
21<br />
20.5<br />
20<br />
19.5<br />
Bestimmung von K b <strong>und</strong> Z b<br />
Messungen<br />
K b = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Fehler an b Messung [mag]<br />
0.25<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
−0.15<br />
−0.2<br />
−0.25<br />
Fehler an Messungen<br />
Fehler an b Messung<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.11: Verwendet: Tb = 0.11; Links: Linearer Fit durch die Messungen der Transmissionsserie;<br />
Rechts: Die Abweichungen <strong>zu</strong>m linearen Fit, resp. die berechneten<br />
Fehler der Messungen. [Andreas Riedo, 2008].<br />
Vergleicht man nun die neu erzeugten Abb. 2.11 mit denjenigen in Abb. 2.10, so stellt man<br />
unmittelbar fest, dass das Fehlerverhalten untereinander identisch ist. Es stellt sich nun die<br />
10 Um möglichen Kalibrierungsfehlern aus dem Weg <strong>zu</strong> gehen.<br />
11 Die Messungen vMessung wurden durch bMessung ersetzt; VLandolt mit BLandolt.<br />
38
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Frage, wodurch dieser Effekt <strong>zu</strong>stande kam. Würde man nur die (b − v)-Messungen betrachten,<br />
so könnte eine sehr instabile Atmosphäre denkbar sein. Die Berechungen einer weiteren<br />
Transmissionsserie vom 10.06.08 mit den gleichen Tj-Werten zeigen jedoch ein ähnliches Fehlerverhalten.<br />
Unter diesen Umständen könnten folgende Bemerkungen den Effekt erklären:<br />
• Die Berechnung von Tbv ist komplett falsch. Denn, würde man für Tbv den Wert 1.8<br />
<strong>und</strong> nicht 0.91 oder 0.80 in die Berechnungen implementieren, würde man Fehler der<br />
gleichen Grössenordnung wie bei Kv <strong>und</strong> Zv beobachten (siehe Abb. 2.12). Unter der<br />
Annahme, dass sämtliche B-Messungen fehlerfrei sind, scheint der verwendete Wert eher<br />
unwahrscheinlich, da in den Berechnungen nie ein derart hoher Wert erhalten wurde.<br />
Tbv = 1.8 würde unter der Annahme, dass die Messungen in V fehlerfrei sind, bedeuten,<br />
dass die B-Messungen den V -Messungen <strong>zu</strong> ähnlich sind, resp. dass die B-Messungen<br />
eigentlichen B-Messungen nicht entsprechen.<br />
• Systematischer Fehler hervorgerufen durch B-empfindliche Teile der verwendeten Apparatur.<br />
Nicht korrekte Messungen in B würden sich stark - unter Annahme in V ist alles<br />
fehlerfrei - auf die Berechnungen von Tbv auswirken <strong>und</strong> folglich auch auf diejenige von<br />
Kbv <strong>und</strong> Zbv.<br />
(B − V) Katalog − (b − v) Messung * T bv, Landolt<br />
−2.4<br />
−2.6<br />
−2.8<br />
−3<br />
−3.2<br />
−3.4<br />
−3.6<br />
Bestimmung von K bv <strong>und</strong> Z bv<br />
Messungen<br />
K bv = Steigung Linear Fit<br />
0 0.5 1 1.5<br />
Luftmasse X<br />
2 2.5 3<br />
Fehler an (b − v) Messung [mag]<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
−0.05<br />
−0.1<br />
Fehler an Messungen<br />
Fehler an (b − v) Messung<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Luftmasse X<br />
2.5 3<br />
Abbildung 2.12: Verwendet: Tbv = 1.8 mit Hilfe von unkalibrierten <strong>und</strong> ungemittelten Rohaufnahmen<br />
von Landoltfeldern. Links: Linearer Fit durch die Messungen der<br />
Transmissionsserie; Rechts: Die Abweichungen <strong>zu</strong>m linearen Fit, resp. die<br />
berechneten Fehler der Messungen. Die Ungenauigkeiten nehmen bei Verwendung<br />
von Tbv = 1.8 stark ab <strong>und</strong> würden ungefähr mit denjenigen der<br />
visuellen Berechnungen in Abb. 2.6 übereinstimmen. [Andreas Riedo, 2008].<br />
Weitere Messungen in Art <strong>und</strong> Ausmass sind wohl notwendig, um die Fehlerquelle 100% ausfindig<br />
<strong>zu</strong> machen. Diese würden jedoch das Ziel <strong>und</strong> den Umfang dieser Arbeit verfehlen. In<br />
diesem Sinne werden die erhaltenen Resultate für die weiteren Berechnungen kommentarlos<br />
mitgezogen.<br />
Sämtliche Werte, die für die Umrechnung auf Standard (B − V ) Magnituden <strong>und</strong> somit für<br />
die <strong>Distanzbestimmung</strong> notwendig sind, werden in Tabelle 2.3 nochmals übersichtshalber aufgeführt.<br />
39
2 Experiment<br />
Tabelle 2.3: Tbv, Kbv <strong>und</strong> Zbv Werte für <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Tbv,kal = (0.80 ± 0.10); Tbv,Software,unkorr,umgemittelt = (0.91 ± 0.13);<br />
Kbv,Tbv=0.80 = (−0.19 ± 0.12); Kbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.11);<br />
Zbv,Tbv=0.80 = (−0.59 ± 0.22); Zbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.19);<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> M44<br />
Da nun sämtliche Koeffizienten für die Umrechnung auf Standard V <strong>und</strong> (B − V ) Magnituden<br />
vorhanden sind, ist eine <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> M44 durchführbar. Diese wird mit drei<br />
verschiedenen Sets von Koeffizienten durchgeführt <strong>und</strong> die damit erhaltenen Resultate werden<br />
im folgendem miteinander verglichen werden. Tabelle 2.4 gibt diesbezüglich eine Übersicht der<br />
verwendeten Koeffizienten.<br />
1.<strong>Distanzbestimmung</strong> mit:<br />
Tabelle 2.4: Koeffizienten für <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
Tv,kal = (−0.15 ± 0.12); Tbv,kal = (0.80 ± 0.10);<br />
v,Tv=−0.15 = (−0.28 ± 0.03); Kbv,Tbv=0.80 = (−0.19 ± 0.12);<br />
Zv,Tv=−0.15 = (22.26 ± 0.06); Zbv,Tbv=0.80 = (−0.59 ± 0.22);<br />
2.<strong>Distanzbestimmung</strong> mit:<br />
Tv,Software,unkorr,ungemittelt = (−0.09 ± 0.06); Tbv,Software,unkorr,umgemittelt = (0.91 ± 0.13);<br />
Kv,Tv=−0.09 = (−0.27 ± 0.02); Kbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.11);<br />
Zv,Tv=−0.09 = (22.20 ± 0.04); Zbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.19);<br />
3.<strong>Distanzbestimmung</strong> mit:<br />
Tv,exp = 0; Tbv,Software,unkorr,umgemittelt = (0.91 ± 0.13);<br />
Kv,Tv=0 = (−0.25 ± 0.01); Kbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.11);<br />
Zv,Tv=0 = (22.11 ± 0.02); Zbv,Tbv=0.91 = (−0.20 ± 0.19);<br />
Bevor nun die Ergebnisse der berechneten Distanzen angegeben werden, hier noch einige<br />
<strong>zu</strong>sätzliche Bemerkungen <strong>zu</strong>m Vorgehen des angewandten Main-Sequence Fittings:<br />
1. Die mit MaxIm DL gemessenen Helligkeiten (b − v) werden in einem ersten Schritt mit<br />
Hilfe der berechneten Koeffizienten auf Standard (B − V ) Magnituden umgerechnet,<br />
2. Diese werden anschliessend verwendet, um Standard V Magnituden <strong>zu</strong> berechnen 12 ,<br />
3. In einem nächsten Schritt werden die erhaltenen Resultate für V <strong>und</strong> (B − V ) <strong>und</strong><br />
die Daten 13 des Hyaden-Haufens in einem Farbenhelligkeitsdiagramm, resp. V gegen<br />
(B − V ), aufgetragen,<br />
12 Für die Umrechnung auf Standard V wurden im Ausgleichungsmodell Standard (B − V ) für die Berechnung<br />
von Tv verwendet <strong>und</strong> nicht (b − v)Messung. Gr<strong>und</strong>: So konnte vermieden werden, dass weitere Ungenauigkeiten,<br />
die von (b − v) herrühren würden, für die Bestimmung von Tv miteinbezogen werden, resp.<br />
(B − V )Landolt-Daten sind präzise gemessen worden.<br />
13 Die Daten stammen aus der Online-Datenbank WEBDA - http://www.univie.ac.at/webda/.<br />
40
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
4. Die Hauptreihen werden anschliessend visuell bestimmt <strong>und</strong> <strong>zu</strong>sätzlich ins Diagramm<br />
eingetragen,<br />
5. Horizontaldistanz ∆Mv der beiden Hauptreihen-Linien kann bestimmt <strong>und</strong> für die <strong>Distanzbestimmung</strong><br />
(siehe Gl. 1.26) verwendet werden.<br />
6. Für die Berechnung von ∆A = AV,P reaepe − AV,Hyaden = (3.1 ± 0.1)E (B−V ),P raesepe −<br />
(3.1±0.1)E (B−V ),Hyaden (siehe Gl. 1.26)) werden für E (B−V ),P raesepe <strong>und</strong> E (B−V ),Hyaden<br />
nach [Taylor, 2006] folgende Werte verwendet: E (B−V ),P raesepe = (0.0027 ± 0.004) mag<br />
<strong>und</strong> für E (B−V ),Hyaden = 0.001 mag verwendet 14 . Folglich lässt sich der Wert für ∆AV<br />
in Verwendung der Fehlerfortpflan<strong>zu</strong>ng berechnen <strong>zu</strong>: ∆AV = (0.08 ± 0.01) mag.<br />
Implementiert man sämtliche Angaben in die Prozedur der <strong>Distanzbestimmung</strong>, so erhält man<br />
dafür folgende Resultate (siehe Tab. 2.5):<br />
Tabelle 2.5: Berechnete Distanzen <strong>zu</strong> M44<br />
1.<strong>Distanzbestimmung</strong>: (144.4 ± 86.7) pc;<br />
2.<strong>Distanzbestimmung</strong>: (28.2 ± 13.0) pc;<br />
3.<strong>Distanzbestimmung</strong>: (30.9 ± 14.3) pc;<br />
Bevor die erhaltenen Resultate kommentiert werden, sollen an dieser Stelle einige weitere,<br />
veröffentlichte Distanzen <strong>zu</strong> M44 als Referenz aufgeführt werden:<br />
Tabelle 2.6: Veröffentlichte Distanzen <strong>zu</strong> M44<br />
Distanzmodul (m − M)0 [mag] Distanz [pc] Art der Messung / Referenz<br />
(6.24 ± 0.12) (177 ± 10) Parallaxenmessung Hipparcos; [Pinsonneault<br />
et al., 1998]<br />
(6.16 ± 0.05) (171 ± 4) Main-Sequence Fitting; [Pinsonneault<br />
et al., 1998]<br />
(6.19 ± 0.06) (173 ± 5) Main-Sequence Fitting; [Percial et al.,<br />
2003]<br />
Kommentare <strong>zu</strong> erhaltenen Resultaten<br />
Vergleicht man die berechneten Distanzen mit den Referenzwerten in Tab. 2.6, so stellt man<br />
fest, dass die erste <strong>Distanzbestimmung</strong> - aufbauend auf korrgierten <strong>und</strong> gemittelten Aufnahmen<br />
- die gesuchte Distanz <strong>zu</strong> M44 am besten darstellt 15 . Sogleich erkennt man auch, dass<br />
die zwei letzteren Distanzen viel <strong>zu</strong> niedrig sind - M44 ist sogar näher <strong>zu</strong> uns gelegen als die<br />
Hyaden (vgl. Abb. 2.14 mit Abb. 2.13)! Dieser Umstand wird jedoch erklärbar, wann man<br />
feststellt, dass bei den verwendeten Zbv <strong>und</strong> Tbv ein Unterschied von ∼ 0.4 mag, resp. ∼ 0.1<br />
besteht.<br />
14 Nach [Taylor, 2006] beträgt der Wert für E(B−V ),Hyaden ≤ 0.001 mag. Für die Berechnung von ∆AV wird<br />
0.001 mag verwendet.<br />
15 Mögliche Fehler in Kalibrierung könnten sich hierbei aufgehoben haben.<br />
41
2 Experiment<br />
Des Weiteren sind auch die grossen Fehlerangaben in allen drei Resultaten <strong>zu</strong> erkennen. Durch<br />
die allg. hohen Ungenauigkeiten der Transformationskoeffizienten für die Umrechnung auf<br />
Standard (B − V ) Magnituden, sind die angegebenen <strong>und</strong> geschätzten Fehler 16 nicht verw<strong>und</strong>erlich<br />
(vgl. Abb. 2.13 <strong>und</strong> Abb. 2.14). Um diese gegen unten korrigieren <strong>zu</strong> können, müssten<br />
die Transformationskoeffizienten mit vielen weiteren Messungen hoch genau bestimmt werden,<br />
bevor ein weiteres Fitting durchgeführt werden würde.<br />
V [mag]<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
14<br />
16<br />
Hauptreihe von den Hyaden <strong>und</strong> Praesepe<br />
Hyaden<br />
M44−Messung<br />
Hauptreihe M44<br />
Hauptreihe Hyaden<br />
M44−Katalog<br />
Fehlerabschät<strong>zu</strong>ngen<br />
0 0.5 1<br />
B − V [mag]<br />
1.5 2<br />
Abbildung 2.13: Abgebildet: Hauptreihe der Hyaden <strong>und</strong> von Prasepe in Verwendung des ersten<br />
Sets von Transformationskoeffizienten. Die angesprochenen Fehlerbalken,<br />
welche hauptsächlich durch ungenaue Koeffizienten für die Umrechnung auf<br />
Standard (B−V ) entstanden sind, sind hierbei gut erkennbar. Zum Vergleich<br />
wurden <strong>zu</strong>sätzlich die Katalogdaten von den vermessenen M44 Sterne geplottet.<br />
Man stellt fest, dass Katalogdaten - mit wenigen Ausnahmen - durch die<br />
Fehlerbalken der Messungen erreicht werden (vgl. Situation in Abb. 2.14).<br />
[Andreas Riedo, 2008].<br />
16 Der Fehler des vertikalen Abstands wurde anhand der (B − V )-Ungenauigkeiten visuell bestimmt. Für<br />
die Fehlerfortpflan<strong>zu</strong>ng von ∆M wurden verwendet: 1.Distanz,Hauptreihe M44: (6.5 ± 1.3) mag; 2.Distanz,Hauptreihe<br />
M44: (3.0 ± 1.0) mag; 3.Distanz,Hauptreihe M44: (3.2 ± 1.0) mag; Hauptreihe Hyaden:<br />
(4.0 ± 0.1) mag; Werte beziehen sich auf (B − V ) = 0.<br />
42
V [mag]<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
14<br />
16<br />
Hauptreihe von den Hyaden <strong>und</strong> Praesepe<br />
2.3 Resultate <strong>und</strong> Diskussion<br />
Hyaden<br />
M44−Messung<br />
Hauptreihe M44<br />
Hauptreihe Hyaden<br />
M44−Katalog<br />
Fehlerabschät<strong>zu</strong>ngen<br />
0 0.5 1<br />
B − V [mag]<br />
1.5 2<br />
Abbildung 2.14: Abgebildet: Hauptreihe der Hyaden <strong>und</strong> von Prasepe in Verwendung des<br />
zweiten Sets von Transformationskoeffizienten. Die Grösse der Fehlerbalken<br />
haben sich gegenüber der Abb. 2.13 nicht wesentlich verändert. Unübersehbar<br />
ist jedoch, dass sich die Hauptreihe von M44 über derjenigen der Hyaden<br />
befindet. Folglich wäre M44 näher <strong>zu</strong> uns gelegen als die Hyaden, was in<br />
Widerspruch mit den Werten in Tab. 2.6 steht. Betreffend den Katalogdaten<br />
<strong>und</strong> den Messungen mit Fehlerbalken ist gegenüber der Abb. 2.13 die gegenteilige<br />
Situation erkennbar, resp. nur wenige der Katalogdaten stehen mit<br />
den Messungen in Verbindung. Abgebildete Situation ist auch bei der dritten<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> beobachten. Da mit dieser keine neuen Erkenntnisse<br />
gewonnen werden, wird auf eine <strong>zu</strong>sätzliche Abbildung verzichtet. [Andreas<br />
Riedo, 2008].<br />
43
3 Zusammenfassung - Angewandte Methoden<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> M3<br />
Die <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> Messier 3 mit Hilfe von RR-Lyrae Sternen in Verbindung mit<br />
einer statistischen Auswertung hat sich mit den erhaltenen Resultaten als sehr erfolgreich bewiesen.<br />
Nicht <strong>zu</strong>letzt ist dies auch der Methode der Differentiellen Photometrie <strong>zu</strong><strong>zu</strong>schreiben,<br />
mit der, wenn man die Resultate betrachtet, man sehr genaue Sternhelligkeiten messen konnte.<br />
Es muss jedoch an dieser Stelle erwähnt werden, dass diese Methode nicht hätte verwendet<br />
werden können, wenn keine Vergleichssterne vorhanden gewesen wären.<br />
<strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> M44<br />
Die erhaltenen Resultate der <strong>Distanzbestimmung</strong> <strong>zu</strong> M44 sind wegen den grossen Ungenauigkeiten<br />
ernüchternd. Durch die ungenaue Bestimmung der Transformationskoeffizienten, welche<br />
für die Umrechnung auf Standard (B − V ) nötig waren <strong>und</strong> folglich auch für die Bestimmung<br />
von V , war es im Endeffekt nicht möglich, präzisere Distanzresultate angeben <strong>zu</strong> können. In<br />
diesem Sinne wäre es von Vorteil im Vorfeld die für die Umrechnung auf Standardmagnituden<br />
benötigten Koeffizienten (siehe Gl. 1.6), als unabhängiges Projekt bestmöglich <strong>zu</strong> bestimmen.<br />
Mit grosser Wahrscheinlichkeit sind die Messungen im B-Filter nicht korrekt. Unter<br />
Umständen weicht das instrumentelle B-Passband <strong>zu</strong> stark vom Standardpassband ab.<br />
Die Durchführung eines Main-Sequence Fittings ist aber eine wichtige Methode für die <strong>Distanzbestimmung</strong>.<br />
Zu bemerken ist jedoch, dass die Bestimmung der Hauptreihen sich nicht<br />
als sehr einfach erweist - einige h<strong>und</strong>ertstel Magnituden Unterschied führen schon <strong>zu</strong> einigen<br />
Parsecs!<br />
Fazit<br />
Sind genaue Transformationskoeffizienten bekannt, so wären die Methoden der Differentiellen<br />
<strong>und</strong> der All Sky Photometrie mehr oder weniger ebenbürtig. Ist dies nicht der Fall <strong>und</strong><br />
sind in der Nähe des betrachteten Objektes <strong>zu</strong>sätzlich noch Vergleichssterne vorhanden, so ist<br />
in diesem Falle die Differentielle Photometrie vor<strong>zu</strong>ziehen.<br />
Da die Vorausset<strong>zu</strong>ngen für die jeweiligen <strong>Distanzbestimmung</strong>smethoden verschieden sind,<br />
kann ein in Vergleich zwischen der <strong>Distanzbestimmung</strong> mit Hilfe von RR-Lyrae Sternen <strong>und</strong><br />
einem Main-Sequence Fitting nicht ohne Weiteres gegeben werden.<br />
44
4 Dank<br />
An dieser Stelle möchte ich mich für die grossartige Unterstüt<strong>zu</strong>ng von den Herren Thomas<br />
Schildknecht, Martin Ploner <strong>und</strong> Reto Musci bedanken. Oft gab es kleinere Hürden, welche<br />
jedoch mit ihrer Mithilfe gemeistert werden konnten. Durch sie ist mir ein erster, grosser <strong>und</strong><br />
wichtiger Einblick für spätere Arbeiten eines Physikers gewährt worden. Dafür möchte ich<br />
mich bei ihnen herzlich bedanken.<br />
45
Literaturverzeichnis<br />
AAVSO. CCD observing manual. http://www.aavso.org, 2008.<br />
Richard Berry and James Burnell. The Handbook of Astronomical Image Processing.<br />
Willmann-Bell, Inc., second english edition, 2005.<br />
R. Buonanno, C. E Corsi, et al. The stellar population of the globular cluster M3;<br />
I.Photographic photometry of 10000 stars. Astronomy and Astrophysics, 290:69–103, 1994.<br />
C. Cacciari, T. M. Corwin, and B. W.Carney. A multicolor and fourier study of RR Lyrae<br />
variables in the globular cluster NGC 5272 (M3). The Astronomical Journal, (129):267 –<br />
302, 2005.<br />
B. W. Carney. The ages and distances of eight globular clusters. The Astrophysical Journal<br />
Supplement Series, 42:481–500, 1980.<br />
B. W. Carney and W. E. Harris. Star Clusters. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001.<br />
Werner Gurtner. Mathematische <strong>und</strong> numerische Methoden der Physik - Parameterbestimmung.<br />
Astronomisches Institut <strong>Universität</strong> <strong>Bern</strong>, 2007.<br />
K. Kolenberg. New approches to solve the old Blazhko puzzle in RR Lyrae Stars. International<br />
Astronomical Union, (224), 2004.<br />
Arlo U. Landolt. UBV photoelectric sequences in the celestial equatorial selected areas 92-115.<br />
The Astronomical Journal, 78(9), 1973.<br />
Arlo U. Landolt. UBVRI Photometric Standard Stars Aro<strong>und</strong> The Celestial Equator. The<br />
Astronomical Journal, 88(88), 1983.<br />
Arlo U. Landolt. UBVRI Photometric Standard Stars In The Magnitude Range 11.5 < V <<br />
16.0 Aro<strong>und</strong> The Celestial Equator. The Astronomical Journal, 104(1), 1992.<br />
A. J. Longmore et al. Globular cluster distances from RR Lyrae log(period)-infrared magnitude<br />
relation. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 247:684–695, 1990.<br />
Axel Martin and Karolin Kleemann-Böker. CCD Astronomie in 5 Schritten. Oculum Verlag<br />
Ronald Stoyan, Erlangen, 2004.<br />
NASA. http://www.nasa.gov/.<br />
S. M. Percial, M. Salaris, and D. Kilkenny. The open cluster distance scale - A new empirical<br />
approach. Astronomy and Astrophysics, 400:541–552, 2003.<br />
Marc H. Pinsonneault, John Stauffer, et al. The problem of hipparcos distances to open<br />
clusters I. constraints from multicolor main-sequence fitting. The Astrophysical Journal,<br />
504:170–191, 1998.<br />
46
Literaturverzeichnis<br />
Allan Sandage and Carla Cacciari. The absolute magnitudes of RR Lyrae stars and the age<br />
of the galactic globular cluster system. The Astrophysical Journal, 350:645–661, 1990.<br />
Helmut Scheffler and Hans Elsässer. Bau <strong>und</strong> Physik der Galaxis. B.I.-Wissenschaftsverlag,<br />
1982.<br />
Thomas Schildknecht. Cosmic Distance Scales - Die Vermessung des Kosmos. Astronomisches<br />
Institut <strong>Universität</strong> <strong>Bern</strong>, 2007.<br />
Linda Sparke and John Gallahger. Galaxies in the Universe - An Introduction. Cambridge<br />
University Press, zweite auflage edition, 2007.<br />
B. J. Taylor. The benchmark cluster reddening project I. Reddening values for the hyades,<br />
coma, and praesepe. The Astronomical Journal, 132:2453–2468, 2006.<br />
Charles Trefzger. Galaxien. Astronomisches Institut <strong>Universität</strong> <strong>Bern</strong>, 2008.<br />
Albrecht Unsöld and Bodo Bascheck. Der neue Kosmos. Springer-Verlag Berlin Heidelberg<br />
New York, siebte auflage edition, 2005.<br />
47
Abbildungsverzeichnis<br />
48<br />
1.1 Pleiaden, Doppelsternhaufen h <strong>und</strong> χ Persei - [NASA] . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2 Verteilung offener Sternhaufen - [Unsöld and Bascheck, 2005] . . . . . . . . . . 6<br />
1.3 Dunkelwolke ” Kohlensack“ - [Unsöld and Bascheck, 2005] . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.4 Verteilung Kugelsternhaufen - [Trefzger, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.5 M80 - [NASA] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.6 Typen von veränderlichen Sternen - [Unsöld and Bascheck, 2005] . . . . . . . . 9<br />
1.7 RR-Lyrae Lücke im Farben-Helligkeits-Diagramm - [Scheffler and Elsässer, 1982] 10<br />
1.8 RRab <strong>und</strong> RRc im log(P ) vs. A Diagramm - [Carney and Harris, 2001] . . . . . 11<br />
1.9 Selected Area SA101 - [Landolt, 1992] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.10 Bias Aufnahme - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.11 Dark Aufnahme - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.12 Flatfield Aufnahmen - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
1.13 Jährliche Parallaxe (links) <strong>und</strong> Parallaxenwinkel (rechts) - [Unsöld and Bascheck,<br />
2005, Sparke and Gallahger, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.14 Stromparallaxe - [Unsöld and Bascheck, 2005] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.15 Schematische Darstellung eines Main Sequence Fittings im FHD - [Andreas<br />
Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.16 FHD offener Sternhaufen - [Unsöld and Bascheck, 2005] . . . . . . . . . . . . . 25<br />
2.1 Vergleichssterne <strong>und</strong> Fehlerverhalten - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . 30<br />
2.2 Tv Bestimmung; Reduktionen: Bias, Dark, Flatfield, gemittelte Aufnahmen;<br />
Software: MaxIm DL - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
2.3 Tv Bestimmung; Reduktionen: keine; Software: institutseigene - [Andreas Riedo,<br />
2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.4 Tv Bestimmung; Reduktionen: Bias, Dark, Flatfiled, ungemittelte Aufnahmen;<br />
Software: institutseigene - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.5 Experimentelle Bestimmung von Kv <strong>und</strong> Zv mit Tv = 0 - [Andreas Riedo, 2008] 35<br />
2.6 Kv <strong>und</strong> Zv Bestimmung mit Tv = −0.09 - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . 35<br />
2.7 Kv <strong>und</strong> Zv Bestimmung mit Tv = −0.15 - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . 36<br />
2.8 Tbv Bestimmung; Reduktionen: Bias, Dark, Flatfield, gemittelte Aufnahmen;<br />
Software: MaxIm DL - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.9 Tbv Bestimmung; Reduktionen: keine; Software: institutseigene - [Andreas Riedo,<br />
2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.10 Kbv <strong>und</strong> Zbv Bestimmung mit Tbv = 0.91 - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . 38<br />
2.11 Kb <strong>und</strong> Zb Bestimmung mit Tb = 0.11 - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . . 38<br />
2.12 Kbv <strong>und</strong> Zbv Bestimmung mit Tbv = 1.8 - [Andreas Riedo, 2008] . . . . . . . . . 39<br />
2.13 Main-Sequence Fitting mit 1.Set Transformationskoeffizienten - [Andreas Riedo,<br />
2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.14 Main-Sequence Fitting mit 2.Set Transformationskoeffizienten - [Andreas Riedo,<br />
2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Anhang A<br />
Ausgleichungsverfahren für <strong>Distanzbestimmung</strong> von M3<br />
Wie in Kap. 1.3.1 auf S.12 diskutiert, werden die gesuchten Helligkeiten der RR-Lyrae Sterne<br />
mit Hilfe des kurz beschriebenen Ausgleichungsmodells berechnet. Im vorliegenden Fall hat<br />
man es mit einer bedingten Ausgleichung mit unbekannten Parametern - hier C - <strong>zu</strong> tun. Um<br />
den Programmcode auf der beiliegenden DVD <strong>und</strong> die im Kap. 1.3.1 beschriebene Theorie<br />
besser <strong>zu</strong> verstehen, sollen hier die wichtigsten Schritte des Verfahrens aufgeführt <strong>und</strong> diskutiert<br />
werden.<br />
Nach Kap. 1.3.1 liegt dem Modell die Gleichung<br />
Ci,Katalog = Ci,Messung + C (A.1)<br />
<strong>zu</strong> Gr<strong>und</strong>e, wobei C der gesuchte Parameter <strong>und</strong> Ci,Messungen mit i = 1 . . . , n die Messwerte<br />
der Vergleichssterne darstellen. Damit lassen sich die n Bedingungsgleichungen wie folgt<br />
definieren:<br />
C1,Katalog − C1,Messung − C = 0<br />
.<br />
.<br />
. = .<br />
Cn,Katalog − Cn,Messung − C = 0.<br />
Die Bedingungsgleichungen werden nun mit den Ausdrücken<br />
(A.2)<br />
C = C0 + δC; C1,Messung = C1,Messung + vi; (A.3)<br />
linearisiert, wobei C0 ein Näherungswert <strong>und</strong> die vi die Fehler der Messungen darstellen. Somit<br />
erhält man folgendes System<br />
−vi + δC −Ci,Messung + Ci,Katalog − C0 = 0 (A.4)<br />
� �� �<br />
wi<br />
welches man nun in folgende Matrixform übersetzten kann<br />
mit<br />
B · v + A · x + w = 0 (A.5)<br />
49
Anhang A Ausgleichungsverfahren für <strong>Distanzbestimmung</strong> von M3<br />
⎛<br />
⎜<br />
���� B = ⎝<br />
r.n<br />
⎛<br />
⎜<br />
���� w = ⎝<br />
r.1<br />
−111<br />
. ..<br />
0<br />
0 −1nn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , A<br />
����<br />
r.u<br />
=<br />
−C1,Messung + C1,Katalog − C0<br />
.<br />
−Cr,Messung + Cr,Katalog − C0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
11<br />
.<br />
1r<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , x<br />
����<br />
⎟<br />
⎠ , v<br />
����<br />
n.1<br />
u.1<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
= δC,<br />
v1<br />
.<br />
vr<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(A.6)<br />
wobei n = Anzahl gemessener Vergleichssterne, u: Anzahl Unbekannte (hier u = 1) <strong>und</strong> r:<br />
Anzahl Bedingungen zwischen den Unbekannten (hier r = n) darstellen. Mit der Implementierung<br />
der obigen Matrizen in den Programmcode ist die meiste Arbeit nun vollbracht. Mit<br />
den Ausdrücken nach [Gurtner, 2007]<br />
x = − � A T (BQB T ) −1 A � A T (BQB T ) −1 w; Korrektur δC <strong>zu</strong>m Näherungswert C0<br />
Qxx = � A T (BQB T ) −1 A � ;<br />
�<br />
Kofaktorenmatrix der Unbekannten C<br />
m0 =<br />
vT P v<br />
;<br />
r − u<br />
Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit a posteriori<br />
mc = m0 · � Qxx; mittlerer Fehler von C<br />
(A.7)<br />
können nun die gesuchten Unbekannte C <strong>und</strong> deren mittleren Fehler mc berechnet werden.<br />
Sind diese bekannt, so ist man in der Lage die gesuchten visuellen Helligkeiten der RR-Lyrae<br />
Sterne <strong>zu</strong> berechnen, indem man <strong>zu</strong> den gemessenen Werten Vi,Messung den Wert C = C0 +δC<br />
<strong>und</strong> den mittleren Fehler mc hin<strong>zu</strong>addiert, resp.<br />
Vi = Vi,Messung + C ± mc. (A.8)<br />
Verwendet man <strong>zu</strong>dem die ” korrekten“ Vergleichssterne (siehe Kommentar <strong>zu</strong> Vergleichssternen<br />
auf S.29), lassen sich die Vi mit dem berechneten, mittleren Fehler mc korrekt komplettieren.<br />
50