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Prof. Dr. W. Karl
Vorstellung
� Professur für Entwurf von Systemen in Hardware
und Organisation innovativer
Rechnerarchitekturen an der Fakultät für
Informatik der Universität Karlsruhe (TH)
� Lehrstuhl für Rechnerarchitektur und
Parallelverarbeitung
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour
Ziele:
Minimalformen
� „Möglichst kurze“ Boolesche Ausdrücke für eine
gegebene Boolesche Funktion.
� Technische Realisierung einer Schaltung mit möglichst
geringen Kosten.
Ähnlich zum Aufbau der disjunktiven und konjunktiven
Normalform gibt es eine disjunktive (DMF) und
konjunktive (KMF) Minimalform.
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Wiederholung
� Produktterm, Implikant, Minterm
� “Sumterm”, Implikat, Maxterm
� Normalformen
� Disjunktive Normalform
� Konjunktive Normalform
� Shannonscher Entwicklungssatz
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Gegeben:
Disjunktive Minimalform (DMF)
Eine Boolesche Funktion y(x 1,...,x ,...,xn ) und Kostenfunktionen ΨUND(k) UND(k)
und ΨODER(k ODER(k),
, die die Realisierungskosten einer k-stelligen UND- bzw.
ODER-Verknüpfung beschreiben. (Die Kosten für die Negation einer
Variablen sind vernachlässigt.)
Definition:
Ein Ausdruck ist in disjunktiver Minimalform (Abk.: DMF), wenn
er eine Disjunktion von Konjunktionen
y(x 1,...,x ,...,xn) ) = (L 11 ·... ...· L1k) 1k)
∨ ... ∨ (L m1 ·... ...· Lmj mj )
mit den Literalen Lvw vw ∈ { x 1,..., ,..., xn, , ⎯x1,..., ,..., ⎯xn } darstellt und die
Realisierungskosten
Yy = ΨODER(m) ODER(m)
+ ΨUND(k) UND(k)
+ ... + ΨUND(j) UND(j)
minimal sind.
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Beispiel: DMF
Kostenmaß: Kostenma : Anzahl der auftretenden Gatter
Es sei Ψ UND(k) = Ψ ODER(k) = k, k: Anzahl Gattereingänge
Der Ausdruck
y 1 = ⎯a b ∨ a⎯b
ist in disjunktiver Minimalform
y 2 =⎯a b ∨ a b jedoch nicht, da y 2 auch kürzer durch
y 2 = b
ausgedrückt werden kann.
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Beispiel: KMF
Es sei Ψ UND (k) = Ψ ODER (k) = k, k: Anzahl Gattereingänge
y 1 = (⎯a ∨ b ) ( a ∨ c ) ist in konjunktiver Minimalform,
y 2 =⎯a (⎯a ∨ c ) ( b ∨ c ) jedoch nicht,
da y 2 auch kürzer durch
y 2 =⎯a ( b ∨ c )
ausgedrückt werden kann.
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Konjunktive Minimalform (KMF)
Definition:
Ein Ausdruck in konjunktiver Minimalform (Abk.: KMF)
ist eine Konjunktion von Disjunktionen
y(x 1,...,x ,...,xn) ) = (L 11 ∨ ... ∨ L1k) 1k)
· ... · (L m1 ∨... ... ∨ Lmj mj )
mit den Literalen Lvw vw ∈ { x 1 ,..., x n ,⎯x1 1 ,...,⎯x ,..., n } derart, dass die
gesamten Realisierungskosten
Yy = ΨUND(m) UND(m)
+ ΨODER(k) ODER(k)
+ ... + ΨODER(j) ODER(j)
minimal sind.
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Minimalformen sind nicht eindeutig!
Es kann mehrere disjunktive und konjunktive
Minimalformen für die gleiche Funktion geben.
Beispiel:
y = a⎯b ∨ b⎯c ∨⎯a c und
y = a⎯c ∨⎯b c ∨⎯a b
DMF & KMF
stellen dieselbe Funktion dar, beides sind disjunktive
Minimalformen.
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Beispiel
Die Kosten für eine disjunktive und eine konjunktive
Minimalform derselben Funktion sind im allgemeinen
unterschiedlich.
Beispiel:
Es sei Ψ UND (k) = Ψ ODER (k) = 2·(k+1).
y = a b c ∨⎯a⎯b⎯c disjunktive Minimalform
mit Ψ y = 6 + 8 + 8 = 22
y = (⎯a ∨ b ) ( a ∨ ⎯c ) (⎯b ∨ c ) konjunktive Minimalform
mit Ψ y = 8 + 6 + 6 + 6 = 26
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3.1.6 Funktionsdarstellung im Würfelkalkül
Ein Produktterm K lässt sich auch im sogenannten
Würfelkalkül beschreiben.
Ein Würfel C := (c 1, , …, , cn) ) ∈ {0, 1, –} n wird durch den
Produktterm K wie folgt bestimmt:
⎧ 0, falls das Literal ⎯xi in K vorkommt
ci := ⎨ 1, falls das Literal xi in K vorkommt
⎩ –, falls die Variable xi in K nicht vorkommt
Es seien die Variablen x1 ,...,x6 gegeben.
Dem Produktterm K = x 2 ∧ ⎯x3 ∧ ⎯x5 ∧ x6 ist der Würfel
C = (–,1,0, ,1,0,–,0,1) ,0,1) zugeordnet.
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Anmerkungen
Das Auffinden einer Minimalform ist insbesondere für Funktionen
mit einer größeren Anzahl von Variablen keine triviale Aufgabe.
Oft können nur suboptimale Lösungen unter Verwendung von
Heuristiken gefunden werden.
Bei Minimierungsverfahren geht man in zwei Schritten vor:
� Es wird eine Menge von Implikanten bzw. Implikate der
Funktion y mit einer möglichst geringen Anzahl von
Literalen gebildet.
� Aus dieser Menge wird eine möglichst geringe Anzahl
von Implikanten bzw. Implikate herausgesucht, deren
Disjunktion bzw. Konjuktion die Funktion y ergeben.
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Würfelkalkül
� Ein n-Tupel (c 1, , …, , cn), ), das an keiner Stelle ein "–“
besitzt, beschreibt einen 0-dimensionalen Würfel, also
einen Punkt.
� Ein n-Tupel, das an m ≤ n Stellen ein "–" besitzt, ist ein
m-dimensionaler Würfel.
� Der Begriff Würfel lässt sich für n = 3
= 3 besonders leicht
veranschaulichen.
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(0 ,0,0)
(0 ,1,1)
(0 ,0,1) (–,0,1)
(0 ,1, –)
(0 ,1,0)
Würfelkalkül
(–,0,0)
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(–,1,1)
(0 ,–,1) (–,–,1) (1 ,–,1)
(0 ,–,–)
(–,1,0)
(1 ,0,1)
(0 ,0,–) (–,0,–) (1 ,0,–)
(0 ,–,0)
(–,1,–)
(–,–,0)
(1 ,0,0)
Würfelkalkül
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(1 ,–,–)
(1 ,–,0)
(1 ,1,1)
(1 ,1,–)
(1 ,1,0)
� Der n-dimensionale Würfel (–,…,–) heißt Universum.
� Jeder Würfel C := (c 1 , …, c n ), der genau m ≤ n
Komponenten mit c i = "–" enthält, bildet einen
m-dimensionalen Unterraum und somit ebenfalls
einen Würfel.
� Jeder Würfel C := (c 1 , …, c n ) definiert somit eine Menge
von Mintermen (seine Ecken).
� Der Würfel, (1,-,1) entspricht z. B. den Mintermen
x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 und x 1 ∧⎯x 2 ∧ x 3
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Würfelkalkül
� Jeder der acht möglichen Minterme von (x 1 , x 2 , x 3 )
repräsentiert eine Ecke eines Würfels.
� Zwischen zwei Mintermen (Ecken) wird eine Kante
gezogen, wenn sie sich genau in einem Literal
unterscheiden.
� Entsprechend werden die sechs Flächen aus den
Kanten gebildet.
� Der gesamte Kubus wird durch den Würfel (–, –, –)
beschrieben.
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Würfelkalkül
Funktionsdarstellung im Würfelkalkül:
Zur Beschreibung einer Funktion y zeichnet man im Universum
diejenigen Eckpunkte aus, die den Mintermen entsprechen.
Anwendung des Würfelkalküls:
Consensus-Verfahren zur Minimierung Boolescher Funktionen.
Prinzip:
Spannen Minterme einer Funktion einen größeren Unterraum
auf, kann dieser als Würfel einfacher dargestellt werden.
Beispiel: (1,1,1) und (1,0,1) ⇒ (1,-,1)
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Weitere Definitionen
� Ein Würfel A := (a 1 , …, a n ) enthält („überdeckt“) den Würfel
B := (b 1 , …, b n ), in Zeichen: B ⊆ A,
wenn in jeder Komponente (a i = b i ) oder a i = "–" gilt.
Beispiel: A: (1,-,-)
B: (1,0,0) A enthält B
� Die Würfelmenge, bzw. der Würfel, C := (C1 , …, Cm ) ist eine
Überdeckung eines Würfels A, in Zeichen: A ⊆ C,
wenn alle Minterme von A durch mindestens einen Würfel
in C überdeckt werden.
Da jeder Würfel in der Überdeckung einem Produktterm
entspricht, repräsentiert eine Überdeckung eine Boolesche
Funktion als Disjunktion dieser Produktterme.
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Weitere Definitionen
Schnittmenge zweier Würfel:
Gegeben: zwei Würfel A := (a 1 , …, a n ) und B := (b 1 , …, b n ).
Dann sei der Würfel C = A ∩ B = {c 1 ,...,c n } mit
k ∈ {1,...,n} wie folgt definiert:
Wenn a k = 1 und b k ∈ {1,–} oder b k = 1 und a k ∈ {1,–},
dann c k = 1
Wenn a k = 0 und b k ∈ {0,–} oder b k = 0 und a k ∈ {0,–},
dann c k = 0
Wenn a k = – und b k = –, dann c k = –
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Anderenfalls existiert die Schnittmenge zweier Würfel nicht.
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f(a,b,c) = a⎯b
Beispiel
Würfel (1,0,-)
enthält (1,0,1)
Würfelmenge {(1,0,1), (1,0,0)}
überdeckt {(1,0,-)}
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Beispiele als Aufgabe: A ∩ B = ??
A: (1,-,1)
B: (-,1,1)
⇒ A ∩ B = (1,1,1)
A: (0,-,1)
B: (-,-,0)
⇒ Schnittmenge existiert nicht
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A: (0,-,0)
B: (-,-,0)
⇒ A ∩ B = (0,-,0)
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3.1.7 NAND/NOR-Konversion
(⎯∧ )-System (NAND-System) und (⎯∨ )-System (NOR-
System) sind vollständige Operatorensysteme
� beliebige disjunktive und konjunktive Ausdrücke können
mit NAND- und NOR-Verknüpfungen dargestellt werden.
Überführungen (vier Fälle):
1. Fall: Funktion in disjunktiver Form ⇒ NAND-System
2. Fall: Funktion in disjunktiver Form ⇒ NOR-System
3. Fall: Funktion in konjunktiver Form ⇒ NOR-System
4. Fall: Funktion in konjunktiver Form ⇒ NAND-System
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Beispiel: 1.Fall
y = ⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
y = ⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
= ⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
= ⎯a b c ∧ a⎯b c ∧ a b⎯c ∧⎯a⎯b⎯c
= NAND 4 (NAND 3 (⎯a, b, c ), NAND 3 (a,⎯b, c),
NAND 3 (a, b,⎯c ), NAND 3 (⎯a,⎯b,⎯c ))
Dabei ist NAND k (x 1 ,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt:
NAND k (x 1 ,...,x k )
⎧
⎨
⎩
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0 für x 1 = ... = x k = 1
1 sonst
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NAND-Konvertierung
1. Fall: Funktion in disjunktiver Form ⇒ NAND-System
Gegeben sei eine Funktion in disjunktiver Form.
Überführung:
1. Doppelte Negation und
2. anschließende Anwendung der DeMorgan-Gesetze
Dann erhält man einen Ausdruck, der nur noch NAND als
Operator enthält.
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NAND 2-Funktion
Darstellung der NAND 2 -Funktion durch den ⎯∧ Operator:
Problem: Die Operatoren ⎯∧ und ⎯∨ sind nicht assoziativ.
( x 1 ⎯∧ x 2 )⎯∧ x 3 ≠ x 1 ⎯∧ ( x 2 ⎯∧ x 3 )
( x 1 ⎯∨ x 2 )⎯∨ x 3 ≠ x 1 ⎯∨ ( x 2 ⎯∨ x 3 )
NAND 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 = (x 1 ⎯∧ x 2 ) ⎯∧ x 3
(x 1 ⎯∧ x 2 ) ⎯∧ x 3 = x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 ≠
x 1 ⎯∧ ( x 2 ⎯∧ x 3 )= x 1 ∧ x 2 ∧ x 3
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6-22 22
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NAND k-Funktion
Um die NAND k -Funktion trotzdem für k > 2 durch
⎯∧-Operatoren auszudrücken, geht man wie folgt vor:
1. Die Variablen x 1 bis x k werden durch den ⎯∧-Operator
verknüpft: x 1 ⎯∧...⎯∧ x k
2. Auf die linke Seite des Terms werden k-2 offene
Klammern"(" und hinter jede Variable außer x 1 und x k
wird jeweils eine geschlossene Klammer ")" gesetzt:
(...(x 1 ⎯∧ x 2 ) ...⎯∧ x k-1 ) ⎯∧ x k
3. Schließlich wird jede Klammerebene negiert:
(...(x 1 ⎯∧ x 2 ) ...⎯∧ x k-1 ) ⎯∧ x k
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NOR-Konversion
2. Fall: Funktion in disjunktiver Form ⇒ NOR-System
Gegeben: Boolesche Funktion in disjunktiver Form.
Überführung:
1. Die Funktion wird zunächst negiert.
2. Anschließend werden die Konjunktionen doppelt
negiert und
3. die DeMorganschen Regeln angewendet.
4. Das Ergebnis muss dann noch negiert werden.
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(x 1 ⎯∧ x 2 ) ⎯∧ x 3
Überprüfung der Regel
= x 1 ∧ x 2 ∧ x 3
= x 1 ∧ x 2 ∧ x 3
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= NAND 3 (x 1 , x 2 , x 3 )
((x 1 ⎯∧ x 2 ) ⎯∧ x 3 )⎯∧ x 4 = x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 ∧ x 4
= x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 ∧ x 4
= x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 ∧ x 4
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= NAND 4 (x 1 , x 2 ,x 3 ,x 4 )
Beispiel: 2.Fall
y=⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
⎯y=⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
=⎯a b c ∨ a⎯b c ∨ a b⎯c ∨⎯a⎯b⎯c
= (a ∨ ⎯b ∨⎯c) ∨ (⎯a ∨ b ∨ c) ∨ (⎯a ∨⎯b ∨ c) ∨ (a ∨ b ∨ c)
= NOR 4 (NOR 3 (a, ⎯b, ⎯c),NOR 3 (⎯a, b, ⎯c),NOR 3 (⎯a, ⎯b, c),
NOR 3 ( a, b, c))
Die Negation von⎯y zu y erhält man mit y =⎯y⎯∨⎯y.
y = ⎯y ∨⎯y = NOR 2 (⎯y, ⎯y) = NOR 2 (----‘‘----,----‘‘-----)
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NOR-Funktion
Dabei ist NOR k (x 1 ,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt:
⎧ 1 für x1 = ... = xk = 0
NORk (x1 ,...,xk ) ⎨
⎩ 0 sonst
Die NORk -Funktion lässt sich ebenfalls ausschließlich mit
⎯∨ als Operator darstellen.
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Beispiel: 3. Fall
y = (⎯a ∨ b ∨ c ) ( a ∨⎯b ∨ c ) ( a ∨ b ∨⎯c ) (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
= (⎯a ∨ b ∨ c ) ( a ∨⎯b ∨ c ) ( a ∨ b ∨⎯c ) (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
= (⎯a ∨ b ∨ c ) ∨ ( a ∨⎯b ∨ c ) ∨ ( a ∨ b ∨⎯c ) ∨ (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
= NOR 4 ( NOR 3 (⎯ a, b, c), NOR 3 (a,⎯b, c),
NOR 3 (a, b,⎯c), NOR 3 (⎯a,⎯b,⎯c) )
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NOR-Konversion
3. Fall: Funktion in konjunktiver Form ⇒ NOR-System
Gegeben: Boolesche Funktion in konjunktiver Form
Überführung:
1. Der Ausdruck wird doppelt negiert.
2. Anschließend wendet man die DeMorgan-Regeln an.
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NAND-Konversion
4. Fall: Funktion in konjunktiver Form ⇒ NAND- System
Gegeben: Boolesche Funktion in konjunktiver Form
Überführung:
1. Die Funktion wird negiert.
2. Anschließend werden die Disjunktionen doppelt negiert
und
3. die DeMorgan-Regeln angewendet.
4. Das Ergebnis ist dann noch zu negieren.
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Beispiel: 4.Fall
y = (⎯a ∨ b ∨ c ) ( a ∨⎯b ∨ c ) ( a ∨ b ∨⎯c ) (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
⎯y = (⎯a ∨ b ∨ c ) ( a ∨⎯b ∨ c ) ( a ∨ b ∨⎯c ) (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
= (⎯a ∨ b ∨ c ) ∧ ( a ∨⎯b ∨ c ) ∧ ( a ∨ b ∨⎯c ) ∧ (⎯a ∨⎯b ∨⎯c )
= NAND 4 (NAND 3 ( a,⎯b,⎯c), NAND 3 (⎯a, b,⎯c),
NAND 3 (⎯a,⎯b, c), NAND 3 ( a, b, c))
Die Negation von⎯y zu y erhält man auch mit y =⎯y⎯∧⎯y.
y = ⎯y ∧⎯y = NAND 2 (⎯y, ⎯y) = NAND 2 (----‘‘----,----‘‘-----)
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Zusammenfassung
� Würfelkalkül: kompakte Darstellung der
Produktterme; wird für das Consensus-
Minimierungsverfahren gebraucht
� NAND-/NOR-Konversionen:
� Funktion in disjunktiver Form ⇒ NAND-System
� Funktion in disjunktiver Form ⇒ NOR-System
� Funktion in konjunktiver Form ⇒ NOR-System
� Funktion in konjunktiver Form ⇒ NAND-System
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