Mechanik der Kontinua - T35 - TUM

Technische Universität München Blatt 10
Theoretische Physik WS 2009/2010, 17.2.2009
Mechanik der Kontinua
Prof. J. L. van Hemmen
27. Spannungstensor in allgemeinen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten
1. Die Kraft auf ein Fluid pro Oberflächeneinheit mit Normalenvektor n ist bei einem
inkompressiblen Newton’schen Fluid πn ist, wobei für den Spannungstensor
�
∂vi
πij = −p δij + η +
∂xj
∂vj
�
∂xi
gilt.
Zeigen Sie, dass sich für den Spannungstensor π in den q-Koordinaten von Aufgabe 27
ergibt:
π q
�
ij = −p �+η ∂q [(v q ◦ ∇ q � � i ∂v
) ∂x] + + g
∂qj
−1 [(v q ◦ ∇ q )∂x] T ∂x + g −1
� � �
i ∂v
g
∂qj
2. Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung des Spannungstensors in Zylinderkoordinaten
an.
Der Spannungtensor in Zylinderkoordinaten lautet
Bitte wenden.
⎛
π = ⎝
ij
−p + η2∂rv r η(∂ϕv r + r 2 ∂rv ϕ ) η(∂hv r + ∂rv h )
η(∂rv ϕ + 1
r 2 ∂ϕv r ) −p + η(2∂ϕv ϕ + 2
r vr ) η(∂hv ϕ + 1
r 2 ∂ϕv h
η(∂rv h + ∂hv r ) η(∂ϕv h + r 2 ∂hv ϕ ) −pη2∂hv h
⎞
⎠
ji

28. Couette-Strömung
Zwischen einem sehr langen Kreiszylinder mit Radius R1 und einem hohlen, koaxialen
Zylinder mit Innenradius R2 befindet sich eine viskose Newton’sche Flüssigkeit. Der innere
Zylinder rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω1, der äußere mit ω2. Die sich ausbildene
Strömung heißt Couette-Strömung.
Hinweis: Verwenden Sie die Navier-Stokes-Gleichung und den Spannungstensor in Zylinderkoordinaten
von den vorhergehenden Aufgaben. Die Zylinderkoordinaten der vorhergehenden
Aufgaben sind nicht normierte Zylinderkoordinaten, zur Berechnung von Beträgen
ist also die Formel ||f|| = f T gf zu verwenden.
1. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsverlauf der stationären Strömung. Die Volumenkräfte
seien vernachlässigbar.
2. Was ergibt sich für R1 = 0?
3. Was ergibt sich für ω2 = 0 und R2 → ∞?
4. Zur Messung der Zähigkeit einer Flüssigkeit kann man das Couette-Viskosimeter verwenden:
Der innere Zylinder hängt an einem Torsionsfaden und ruht im stationären
Fall, der äußere bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Anhand der Verdrillung
des Torsionsfadens wird das auf den inneren Zylinder wirkende Drehmoment
M gemessen. Berechnen Sie hieraus die Zähigkeit.
Besprechung der Übungen Montags 12-14 PH127, Mittwochs 8.30-10 HS2 und Donnerstags 10-12 HS3.
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de.