n - E11 - TUM

Quantenoptik II
Prof. Reinhard Kienberger, E11
reinhard.kienberger@ph.tum.de
Mi, Do Mo, Di, Fr
SS 2010
Donnerstag, 14 h c.t.
22.04.2010 – 29.07.2010

Quantenoptik
Quantisierung des
elektromagnetischen Feldes

Quantenoptik
Historisch gesehen hat man herausgefunden, dass jeder Versuch einer klassischen
Beschreibung der Bewegung von Elektronen in Atomen scheiterte. Nur die
Quantenmechanik vermochte Phänomene wie atomare Spektren,
Elektronenbeugung, elektrische Leitfähigkeit in Kristallen und die Licht-Materie-
Wechselwirkung (inklusive die Wirkungsweise des Lasers) zu beschreiben.
In der Quantenmechanik ersetzen Operatoren die vertrauten Variablen der
klassischen Theorie und der Zustand eines Systems wird durch Vektoren ersetzt.
Dieses allgemeine Verfahren ist nicht begrenzt auf ein bestimmtes System sondern
muss auf alle klassischen Variablen angewandt werden und liefert die korrekteste
und genaueste Beschreibung der Natur unter allen derzeit verfügbaren
physikalischen Theorien.
Nach diesem allgemeinen Verfahren müssen alle beobachtbaren Größen der
Physik inklusive Feld-Variable, die Wellenphänomene beschreiben, durch
Operatoren berücksichtigt werden, so wie wir auch Koordinaten, Impulse und die
Energie eines mechanischen Systems durch Operatoren ersetzt haben.

Quantenoptik
Die Quantisierung des Felds, also die Beschreibung der Feldvariablen durch
Operatoren führt zur Quantenfeldtheorie, die im Fall von elektromagnetischen
Feldern Quantenelektrodynamik (QED) genannt wird.
Die Anwendung der Gesetze der QED auf optische Felder und ihre
Wechselwirkung mit Materie nennt man Quantenoptik. Über die Ausdehnung
der Gesetze der Quantenphysik von mechanischen Systemen auf Feldvariable
hinaus braucht die Quantenoptik keine neuen Postulate.
Die Quantisierung des Feldes wird auch durch experimentelle Nachweise
belegt. Das Spektrum der Strahlung eines schwarzen Körpers, die zeitliche
Entwicklung spontaner Emission sowie die Rauschcharakteristik von
Laserstrahlung konnten nur im Rahmen der Quantenoptik erklärt werden.

Quantentheorie des harmonischen Oszillators
Die Moden elektromagnetischer Strahlung in Wellenleitern und im freien Raum
kann man als harmonische Oszillatoren behandeln. Daher werden wir die
quantenmechanische Beschreibung eines mechanischen harmonischen
Oszillators betrachten bevor wir zur Feldquantisierung weitergehen.
Der einfachste harmonische Oszillator ist eine Masse, die an eine Feder
gekoppelt ist. Diese bietet eine Rückstellkraft Kx proportional zur Auslenkung x
der Masse von ihrer Gleichgewichtslage.
Die Hamilton-Funktion dieses mechanischen harmonischen Oszillators ist:
2
p 1
H = +
K x
2m2 2

Quantentheorie des harmonischen Oszillators
Die Hamilton-Funktion dieses mechanischen harmonischen Oszillators ist:
Dies führt zur Newton´schen Gleichung für den klassischen Oszillator:
mit der bekannten Lösung
2
d x
m = −Kx
2
dt
x = A sin( ω+ϕ t )
Dabei ist A die Amplitude, φ ist die Phase und
ist die (Kreis)Frequenz der Oszillation.
1 2 2 2 2
H = (p + m ω x )
2m
ω=
Wenn man K über m und ω ausdrückt, kann man die Hamilton-Funktion des
harmonischen Operators anschreiben als
K
m
2
p 1
H = + K x
2m2 2

Quantentheorie des harmonischen Oszillators
Der gewöhnliche Weg, den harmonischen Oszillator quantenmechanisch zu
beschreiben, ist die Schrödinger Repräsentation zu verwenden:
− ih∂ / ∂x
Man ersetzt p durch in
2 2
h ∂ψ 1 2 2
− + mω x ψ = Eψ
2 2m∂x2 1 2 2 2 2
H = (p + m ω x )
2m
Um die Energie-Eigenwerte des Oszillators zu bekommen, löst man
2 2
h ∂ψ 1 2 2
− + mω x ψ = Eψ
2
Die Lösung von 2m∂x2 ergibt nicht nur die Eigenwerte,
sondern auch die Eigenfunktionen ψ als Hermite-Gauss´sche Polynome.

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
Die Bezeichnung „Zweite Quantisierung“ kommt daher, dass in diesem Fall nicht nur die
Zustände des Teilchens quantisiert sind, sondern auch die Felder (z. B. das elektrische
Feld).
Bei einer Einführung in die Quantenmechanik sind für gewöhnlich nur die Zustände des
Teilchens quantisiert und die Felder werden als klassisch angesehen. Diesen einfacheren
Fall nennt man gelegentlich Erste Quantisierung.
Wir können den harmonischen Oszillator allerdings auch in einer abstrakteren Art
behandeln, ohne die Verwendung einer speziellen quantenmechanischen
Repräsentation. Die folgende Vorgangsweise stammt von Dirac.
Wir führen zunächst zwei neue Operatoren ein:
1
aˆ= ( mω xˆ+ ipˆ)
2mhω
† 1
aˆ = ( mωxˆ−ipˆ) 2mhω

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
†
â â
Der Operator ist der hermitesche Adjungierte zu , nachdem per definitionem
pˆ und xˆ hermitesche Operatoren sind. Die Koeffizienten in der Definition dieser
Operatoren wurden so gewählt, dass sie die folgenden Zusammenhänge vereinfachen.
Die Kommutation von und ist
Umformen führt zu:
â
†
â
† † † i
[ aa ˆ, ˆ ] = aa ˆˆ− aˆ aˆ= ( px ˆ ˆ− xp ˆ ˆ)
= 1
h
h †
m ω †
xˆ = ( aˆ+ aˆ
)
2m
ω
h II.1.2
pˆ = i ( aˆ −aˆ)
2
II.1.1

Wir setzen ein in
und erhalten:
Dies führt zu:
Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
1 2 2 2 2
H = (p + m ω x )
2m
1 1
H a a aa a a
2 2
ˆ † † †
= hω ( + ) = hω
( + )
[ aˆ, Hˆ] = hω aˆ; [ aˆ , Hˆ] =−hωaˆ † †
Der Ausdruck des Hamilton-Operators durch und
wird häufig “zweite Quantisierung” bezweichnet.
Um die Energie-Eigenwerte und Eigenvektoren des harmonischen Oszillators zu
bekommen, starten wir von einem speziellen Energie-Eigenvektor E′ und Eigenvektor E´.
â
†
â
â Hˆ ˆ E′
= E′
E
Wir wenden den Kommutator von und an und verwenden
und erhalten:
( ′ ) = ( ′ −hω) ( ′ )
Hˆ aˆ E E a E
II.1.3
II.1.4
H ′
II.1.5

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
ˆ Hˆ( aˆ E′ ) = ( E′ −hω) ( a E′
)
H E′
= E′
E′
E′ Hˆ E ′ = aˆ
E′
Wenn ein Eigenvektor von mit einem Eigenwert E´ist, dann ist
ebenfalls ein Eigenvektor mit einem Eigenwert
E ′′ = E′
− hω
â E′ a E
n Durch wiederholte Operation von auf finden wir, dass ˆ ′
Hˆ E′
− nhω
ein Eigenvektor von mit dem Eigenwert ist.
Für einen ausreichen großen Wert von n wird der Eigenwert negativ. Aber sind
negative Eigenwerte möglich? Um diese Frage zu beantworten, berechnen wir den
Erwartungswert der Energie im Energie-Eigenzustand E′
unter Verwendung von
1 1
H a a aa a a
2 2
ˆ † † †
= hω ( + ) = hω
( + )
ˆ † 1 1
E′ H E′ ⎛
E aˆ aˆ ⎞ ⎛ ⎞
= hω ⎜ ′ E′ + E′ E′ ⎟= hω
⎜ E′′ E′′ + E′ E′ ⎟=
E′
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
ˆ † 1 1
E′ H E′ ⎛
E aˆ aˆ ⎞ ⎛ ⎞
= hω ⎜ ′ E′ + E′ E′ ⎟= hω
⎜ E′′ E′′ + E′ E′ ⎟=
E′
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Per definitionem kann ein Skalarprodukt eines Zustandsvektors ψ mit sich
selbst nicht negativ sein:
Wenn wir den Identitätsoperator durch ein komplettes orthonormales Set ausdrücken
kann man das Skalarprodukt ausdrücken:
Î
=
∑
n
a
n
a
n
ψ ψ ≡ ψ Iˆ
ψ = ψ a a ψ = a ψ ≥0
a
∑ ∑
n n n
n n
Als Konsequenz können die Eigenwerte des Hamilton-Operators des harmonischen
Oszillators nicht negativ sein. Daher muss die Reduktion der Eigenwerte durch die
Anwendung von â auf E′ begrenzt sein
Das ist nur möglich, wenn es einen Eigenvektor mit folgender Eigenschaft gibt:
aE ˆ 0 = 0
n
2

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
â ˆ 0 0 = E
Dies impliziert, dass wir keinen weiteren Eigenvektor (mit noch kleinerer Energie)
n
erzeugen können, wenn wir anwenden, da ja a
,
aE ˆ 0 = 0
Die Eigenwerte dieses Zustandes mit niedrigster Energie – der Grundzustand des
harmonischen Oszillators – kann aus dem Erwartungswert
gewonnen werden:
ˆ † 1 1
E′ H E′ ⎛
E aˆ aˆ ⎞ ⎛ ⎞
= hω ⎜ ′ E′ + E′ E′ ⎟= hω
⎜ E′′ E′′ + E′ E′ ⎟=
E′
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
E ' = E0
0 E E ′ =
aE ˆ 0 = 0 →
Das Ergebnis ist:
E′
′
= 0
1
E 0 = hω
2

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
†
â E′
Anwenden von auf kann auf die gleiche Weise wie vorhin hergeleitet werden:
† †
( ′ ) = ( ′ + hω)(
′ )
Hˆ aˆ E E aˆ E
†
Das bedeutet, E ′
= aˆ
E′
ist ebenfalls ein Eigenvektor mit dem Eigenwert E′
′′ = E′
+ hω
E′
+ nhω
E
erzeugen mit Eigenwerten .
1
En= hω
( n+
)
2
E′ a E
n ˆ ′
Hˆ Durch wiederholtes Anwenden von â
auf erhalten wir als Eigenvektor von .
Sein Eigenwert ist .
Beginnend vom Grundzustand 0 können wir nun neue Eigenvektoren
†
†
( ) n
a E = E
0
n

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
Sind dies alle möglichen Eigenewerte und –vektoren, oder gibt es andere?
Wiederholte Anwedung von â auf E′ muss zu
negative Eigenwerte kommen.
0 führen, sonst würden wir auf
E
Der Eigenwert von E0
muss ½ħω sein. Unabhängig davon, von welchem
Eigenvektor wir starten, müssen wir immer auf das selbe Set von Eigenwerten
kommen
1
En= hω
( n+
)
2
Folglich müssen diese Eigenwerte einzigartig sein.

Wenn ja, hätten wir den Fall der Entartung, da all diese Eigenvektoren den
Eigenwert ½ħω haben müssten. Wenn der Grundzustand und folglich alle
anderen Energie-Eigenzustände entartet wären, müsste es andere Operatoren
(unabhängig von Ĥ) geben, die das Set von entarteten Eingenvektoren
eindeutig kennzeichnen.
Dies ist beispielsweise der Fall für eine Elektron in Wasserstoff, das sich im
Coulomb-Potential des Protons bewegt. Hier unterscheidet der Winkel-Impuls
Operator die entarteten Eigenzustände identischer Energie.
Nachdem es im vorliegenden Fall keinen solchen Operator gibt, schließen wir,
dass die Energie-Eigenvektoren †
und die Eigenwerte
einzigartig sind.
Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
Kann es andere Vektoren geben, die aE ˆ = 0 genügen?
1
En= hω
( n+
)
2
0
0
( ) n
a E =
E
n

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
1
En= hω
( n+
)
2
bedeutet, dass die minimale Energie
des harmonischen Oszillators - erreicht im
Grundzustand E0
- den Wert ½ħω hat und nur in
diskreten Schritten des Energiequants oder
Vielfachen erhöht werden kann.
â
Der Operator wird Vernichtungsoperator genannte, da
er ein Quantum Energie “vernichtet”. Sein hermitesch
†
konjugierter Operator â ist der Erzeugungsoperator, der
ein Quantum Energie “erzeugt”.
Bei Oszillationsfrequenzen von mechanischen
Oszillatoren ist ħω kaum messbar, daher werden
mechanische Oszillatoren durch die klassische Physik gut
beschrieben.
Bei optischen Frequenzen ist ħω oft größer als die
Workfunction spezieller Festkörper, sodass eine
Energiequantum (“Photon”) leicht durch den Photoeffekt
detektierbar ist.

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
†
( ) n
Sind die Eigenvektoren a E0= En
orthogonal? Um diese Frage zu beantworten
berechnen wir das Skalarprodukt von 2 verschiedenen Eigenvektoren. Wir
verwenden die Identität:
† n † n † n−1m † n m-1 † n m-1 † n-1
aˆ( aˆ ) = ( aˆ ) aˆ+ n( aˆ ) ⇒ aˆ ( aˆ ) = aˆ ( aˆ ) aˆ + naˆ ( aˆ
)
die man aus wiederholter Anwendung der Kommutationsbeziehung
† † † i
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ableiten kann. Wir finden:
[ aa , ] = aa − a a= ( pxˆ− xp ˆ ) = 1
h
m n
m † n m−1
† n-1
0 ˆ ( ˆ ) 0 0 ˆ ( ˆ ) 0
E E = E a a E = n E a a E
Durch wiederholtes Anwenden dieser Regel erhalten wir
⎧ m−n ! 0 0 = 0 if >
n E a E m n
⎪ n!
† n−m Em En = ⎨ E0 ( a ) E0 = 0 if m< n
⎪(
n−m)! ⎩
⎪ n! E0 E0 = n! if m= n
Dabei haben wir angenommen, dass der Grundzustand normalisiert ist E0
E0
= 1

Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
⎧ m−n ! 0 0 = 0 if >
n E a E m n
⎪ n!
† n−m Em En = ⎨ E0 ( a ) E0 = 0 if m< n
⎪(
n−m)! ⎩
⎪ n! E0 E0 = n! if m= n
Wir können daraus schließen, dass die Eingenzustände tatsächlich
orthogonal sind, wie man es für Eigenzustände eines hermiteschen
Operators erwartet.
Mit der Normalisierung
1 † n
( )
En= a E
n!
Bilden sie ein komplettes orthonormales Set, das wir weiterhin verwenden
werden.
0

Anzahloperator, Anzahlzustände
† n † n † n−1
Mit aˆ( aˆ ) = ( aˆ ) aˆ+ n( aˆ
) finden wir:
ˆ n = n
a E n E −
Woraus sofort folgt, dass
1
†
aˆ En = n+ 1 E n+
† ˆ ˆ n = n
a a E n E
aˆ aˆ
†
Das bedeutet, dass der Operator die Anzahl der Energiequanten in den
Energie-Eigenzuständen zählt. Er wird daher als Anzahloperator bezeichnet. Da die
Energie des Systems im Zustand En
aus n Quanten besteht, wird dieser Zustand
auch als Anzahlzustand bezeichnet.
1

En
Anzahloperator, Anzahlzustände
Die Matrixelemente des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators können in der
Repräsentation aus
ˆ n = n
a E n E −
hergeleitet werden, indem man die Orthonormalität von verwendet:
a = E aˆE = n δ −
mn m n m, n 1
1
und
und
†
aˆ En = n+ 1 E n+
E
† †
mn = m ˆ n = + 1 δm,
n 1
a E a E n +
n
1

Anzahloperator, Anzahlzustände
Die Matrixrepräsentation der Impuls- und Ortsoperatoren
h †
mhω
†
xˆ = ( aˆ+ aˆ
)
2m
ω
ergeben sich zu
pˆ = i ( aˆ −aˆ)
2
( , + 1 , −1)
mhω
p = E pˆE = i n+ 1 δ − nδ
2
mn m n mn mn
h
x = E xˆE = n+ 1 δ + nδ
2mω
( )
, + 1 , −1
mn m n mn mn

( ) 2
2 mhω
( Δ p) = En pˆ− p En = (2n+ 1)
2
und
( ) 2
2 h
( Δ x) = En xˆ− x En = (2n+ 1)
2mω
p
= n n E
Unschärfeprodukt
Die Operatoren für Impuls und Position kommutieren nicht, daher können diese Größen nicht
gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Das Unschärfeprodukt ΔpΔx für die Energie-
Eigenzustände des harmonischen Oszillators kann bereichnet werden:
Dabei haben wir verwendet, dass die Erwartungswerte
ˆ = 0 E p
Dies führt zum Unschärfeprodukt:
und
x
= En
n
xˆ
E = 0
1
ΔpΔ x = h(
n+
)
2
( , + 1 , −1)
mhω
p = E pˆE = i n+ 1 δ − nδ
2
mn m n mn mn
( , + 1 , −1)
h
x = E xˆE = n+ 1 δ + nδ
2mω
mn m n mn mn

p
= 0
Unschärfeprodukt
Entsprechend dem Heisenberg´schen Unschärfeprinzip ist
1
ΔpΔx ≥ h
2
Wir sehen, dass das Unschärfeprodukt im Grundzustand des harmonischen
Oszillators den kleinstmöglichen nach dem Heisenberg´schen Unschärfeprinzip
möglichen Wert annimmt. Dies bedeutet, dass das Teilchen selbst im Zustand
niedrigster Energie nicht zum Stillstand kommt, was Δp = 0 und Δx = 0 bedeuten
würde. Stattdessen oszilliert es mit einer Restenergie ½ħω um die Mittelwerte
und
x
Die obige Abhandlung zeigt die Stärke der abstrakten Dirac-Formulierung der
Quantenmechanik. Durch Verwendung entsprechender Operatoren der physikalischen
Messgrößen und ihrer Kommutationsrelationen konnten wir alle Ergebnisse herleiten,
die relevant für physikalische Messungen sind. Wir haben den Formalismus, der für
die Quantenoptik benötigt wird, entwickelt.
= 0

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Nehmen wir eine ebene optische Welle, die in z-Richtung zwischen zwei ebenen x-y
Oberflächen perfekter Leitfähigkeit propagiert. So ein Resonator für ebene Wellen müsste
genaugenommen durch zwei plan-parallele Spiegel unendlichen Durchmessers
abgeschlossen sein. Das ist natürlich nicht machbar. Für optische Frequenzen ist die
Wellenlänge jedoch viele Größenordnungen kleiner als ein vernünftiger Spiegel (z.B. r = 1
cm). Die Abweichung des eingeschlossenen Resonatorstrahls von einer ebenen Welle
kann durch den Divergenzwinkel quantifiziert werden:
θ ≈ λ / r
Für sichtbares Licht (λ ≈ 0.5 μm) ist θ ≈ 50 microradians (bei r = 1 cm)

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Über eine Ausbreitungslänge von L ≈ 1 m führt dies zu einem Anstieg des
Strahldurchmessers von 0,5% (bei ursprünglich r = 1cm).
Dank der kurzen Wellenlängen optischer Strahlung können die Eigenmoden eines solchen
planaren Spiegel-Resonators also gut durch ebene Wellen mit passender Frequenz
(Eigenfrequenzen des Resonators) angenähert werden.
Zum Zwecke der Quantisierung ist diese Näherung ebener Wellen auch für stabile
Resonatoren für Gauss´sche Strahlen anwendbar, solange die radiale Änderung des Feldes
innerhalb einer Wellenlänge vernachlässigbar ist:
∂ F / ∂r

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Nachdem das elektrische Feld E( r,
t)
folgende Bedinungen erfüllen muss E(
z = 0,
t)
= E(
z = L,
t)
= 0
können die Felder in dem planaren Wellen-Resonator mit Volumen V = LA und der Achse
ausgerichtet in z-Richtung entwickelt werden als
1
Er ( , t) =−∑ pl, σ( t) El,
σ(
z)
ε
l,
σ
l,
σ 0
Br ( , t) = ∑ μ ω q ( t) B ( z)
0 l l, σ l,
σ
p und q sind die zeitabhängigen (dynamischen) Variable). Dabei sind die Feld-Verteilungen
der stehenden Welle der l
-ten Resonatormode gegeben durch:
2 2
2π
El, σ( z) = eσ sin klz ; Bl, σ( z) = eσ× ezcosklz
und kl= l;
σ= x, y
V V
L
Das elektrische Feld ist entlang eσ polarisiert. ist eine positive ganze Zahl, eσ ist der
2
μ0
= 1/ ε0c
Einheitsvektor entlang der σ-Richtung. ist die magnetische Permeabilität in
Vakuum und ωl = kl
/ ε0μ0
l

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Die Moden sind orthogonal, das heißt nach entsprechender Normalisierung ist
V
3
l, σ⋅ m, γd r=δl,
mδσγ
,
∫ E E
p
, σ = l
dq
l,
σ
dt
V
3
l, σ ⋅ m, γd r=δl,
mδσγ
,
∫ B B
Setzt man nun die Feldverteilungen in die erste und zweite Maxwell-Gleichung ein
1
Er ( , t) =−∑ pl, σ( t) El,
σ(
z)
ε
l,
σ 0
Br ( , t) = ∑ μ ω q ( t) B ( z)
l,
σ
0 l l, σ l,
σ
Einsetzen führt zu:
dp
ω =−
dt
l
erhält man
2
d q
dt
l,
σ
2
ωl l
2 , σ
l ql,
σ
2
lql, σ
∂B
∇× E=
-
∂t
E
B με
t
∂
r
r r
∇× =
∂
+ ω = 0
Dadurch ist als Oszillationsfrequenz der -ten Mode bestimmt.
II.1.6

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Die gesamte elektromagnetische Energie, die in der Kavität gespeichert ist, ist:
1 ⎛ 2 1 2⎞ 3
Hfield = 0
d r
2 ∫ ⎜ε E + B ⎟
⎝ μ0
⎠
V
Das entspricht der Hamilton Funktion des Systems und kann durch die dynamischen
Variablen pl , σ(
t)
und ql, σ(
t)
ausgedrückt werden:
, σ
2 2 2 ( l, σ l l,
σ)
1
Hfield = p +ω q
2
∑ l
II.1.7

.
Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
2 2 2 ( l, σ l l,
σ)
1
Hfield = p +ω q
2
Der Vergleich von mit
∑ l
, σ
1 2 2 2 2
H = (p + m ω x )
2m
zeigt, dass das elektromagnetische Feld im Resonator sich mathematisch wie ein
Ensemble von unabhängigen harmonischen Oszillatoren verhält!
Die dynamischen Variablen pl , σ(
t)
und ql, σ(
t)
stellen die kanonisch konjugierten Variablen
des Impulses und des Orts dar, wie man aus der Hamilton´schen Bewegungsgleichung
herleiten kann:
∂H ∂H
q& p p& q
2
l, σ = = l, σ ; l, σ =− =−ωl
l,
σ
∂pl, σ ∂ql,
σ
Die selben Gleichungen haben wir zuvor aus den Maxwell´schen Geleichungen erhalten!
p
, σ = l
dq
dt
l,
σ
dp
ω =−
dt
l
2 , σ
l ql,
σ

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Wir können also die Quantisierung auf die gleiche Weise durchführen, wie wir es beim
harmonischen Oszillator gemacht haben, indem wir den Erzeugungs- und
Vernichtungsoperator definieren.
( )
aˆ 1
2hω
qˆ ipˆ
†
l, σ = ωl l, σ− l,
σ
l
Die Kommutationsbeziehung ist:
( )
aˆ =
1
2hω
ω qˆ + ipˆ
l, σ l l, σ l,
σ
† † †
l, σ m, γ = l, σ m, γ = l, σ m, γ =δl, mδσγ
,
[ aˆ , aˆ ] 0 ; [ aˆ , aˆ ] 0 ; [ aˆ , aˆ
]
l

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
† ( )
hω
pˆ i aˆ aˆ
2
l
l, σ = l, σ− l,
σ
Invertierung führt zu
und
† ( )
h
qˆ = aˆ + aˆ
l, σ l, σ l,
σ
2ωl
(genau gleich wie zuvor beim harm. Oszillator)

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Die Operatoren des elektrischen und magnetischen Feldes in der Näherung ebener
Wellen ergibt sich nun zu:
l,
σ
† ( , , )
ˆ hωl
E= −ie aˆ −aˆ
sink
z
∑
l,
σ
σ lσ lσ l
ε0V
† ( , , )
ˆ h
B= ( e × e ) kl aˆl + aˆl cosklz
∑
σ z σ σ
ε0Vωl Wenn mehr als eine transversale Mode oszilliert, muss die Summation über den
transversalen Modenindex erweitert werden (nicht nur )
l
II.1.8

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
Der Hamilton Operator des Feldes, das in der Kavität gespeichert ist, kann ebenso
†
über und ausgedrückt werden:
â
â
† ( )
hω
pˆ i aˆ aˆ
2
l
l, σ= l, σ− l,
σ
in
, σ
2 2 2 ( l, σ l l,
σ)
1
Hfield = p +ω q
2
∑ l
ˆ ⎛ 1
H aˆ aˆ
⎞
= ω ⎜ + ⎟
⎝ 2 ⎠
field ∑h l,
σ
l
†
l, σ l,
σ
† ( )
h
qˆ = aˆ + aˆ
l, σ l, σ l,
σ
2ωl
eingesetzt
Hˆ = Hˆ + Hˆ = Hˆ + Hˆ + Hˆ
total field electron field 0 int
(Wieder gleich wie bei harm. Osz.)
Wenn der Resonator auch ein atomares System enthält (z.B. ein Laser Gain-Medium),
das mit den Moden des Resonators interagiert, kann der gesamte Hamilton-Operator
des Systems angeschrieben werden als:
„int“…. interaction

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
:
Der Zustandsvektor des Atom-Feld-Systems kann nach den Eigenzuständen von
entwickelt werden.
∑
im ,
Hˆ − Hˆ = Hˆ + Hˆ
Φ = c φ
total int field 0
im jm
wobei der Index i alle Modenindices umfasst: den longitudinalen Index , den
transversalen Modenindex (falls vorhanden), und den Polarisationsindex σ.
φ = n , n , n ,....., n ,..... u
jm 1 2 3 i m
Der Index j umfasst die Photonenanzahl in allen Moden und um
ist der m-te
Eigenzustand des Hamilton-Operators des Atoms bei Abwesenheit eines Feldes ( ).
l
ˆH
0

Quantisierung des Strahlungsfelds in einem Resonator
Definition des Photons
:
Die Anwendung des Feld-Hamilton-Operators und des (ungestörten) atomaren
Hamilton-Operators auf diesen Zustandsvektor führt zu:
ˆ
⎧ ⎛ 1 ⎞⎫
Hfield φ = ⎨ ω ⎜n + ⎟⎬
φ
⎩ i ⎝ 2 ⎠⎭
jm ∑h i i jm bzw. 0
h
ωi ni
( + 1/
2)
Hˆφ = E φ
jm m jm
Dies zeigt an, dass die in der i-ten Mode gespeicherte Feld-Energie gleich
Die Energie ist die Energie ohne Feld plus ein ganzzahliges Vilefaches der
elementaren Anregung der Resonatormode, welche man Photon nennt.
Zusammen mit Definitionen des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators liefert der
Hamilton-Operator
Hˆ = Hˆ + Hˆ = Hˆ + Hˆ +
Hˆ
total field electron field 0 int
eine komplette quantenmechanische Beschreibung der Licht-Materie Wechselwirkung
in einem optischen Resonator.