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1. Klausur zur Vorlesung
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
(SS 2017)
1. a) Sei A ∈ R n×n . Geben Sie die Definition von ”
λ ∈ R ist Eigenwert von A“, und
geben Sie (mit kurzer Begründung) eine Matrix A ∈ R 2×2 an, die keinen Eigenwert
besitzt. (2)
b) Sei A ∈ R n×n . Geben Sie die Definition von ”
A ist orthogonal diagonalisierbar“
sowie eine dazu äquivalente Eigenschaft an. (2)
c) Sei A ∈ R n×n . Geben Sie die Definition von ”
A ist positiv definit“ und formulieren
Sie im Fall, daß A = A ⊤ ist, ein dazu äquivalentes Kriterium. (2)
d) Sei A ∈ R n×n . Geben Sie die Definition von ”
A ist orthogonal“. (1)
e) Formulieren Sie das Prinzip der affinen Fortsetzung. (1)
2. a) Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel mit einer Matrix A ∈ R 2×2 :
A 2 diagonalisierbar =⇒ A diagonalisierbar (1)
b) Untersuchen Sie die Matrix
⎛
0 0
⎞
c
A c = ⎝1 −1 1⎠ ∈ R 3×3
1 0 0
in Abhängigkeit von c ∈ R auf Diagonalisierbarkeit. (4)
c) Es sei die lineare Abbildung
f : Pol 2 (R) −→ Pol 2 (R), q(x) ↦−→ q(1) + q ′ (x) · x,
gegeben (dabei bezeichnet q ′ (x) die Ableitung des Polynoms q(x)).
Zeigen Sie, daß λ = 2 ein Eigenwert von f ist, und bestimmen Sie den zugehörigen
Eigenraum Eig(f, 2) ⊂ Pol 2 (R). (3)
3. a) Für
sei die Bilinearform
⎛
2 −1
⎞
0
A = ⎝−1 1 1⎠ ∈ R 3×3
0 1 3
σ A : R 3 × R 3 −→ R, σ A (x, y) = x ⊤ A y,
gegeben. Zeigen Sie, daß σ A ein Skalarprodukt auf R 3 ist, und bestimmen Sie eine
Orthonormalbasis von (R 3 , σ A ). (4)

b) Auf dem R 4 betrachten wir das Standardskalarprodukt ◦. Ferner seien die Vektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2
−2
u 1 = ⎜2
⎟
⎝1⎠ , u 2 = ⎜ 4
⎟
⎝−1⎠
1
2
sowie der Untervektorraum U = ⟨u 1 , u 2 ⟩ ⊂ R 4
gegeben.
i. Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements U ⊥ .
ii. Begründen Sie, daß die lineare Abbildung f = l A : R 4 −→ R 4 , f(x) = A · x,
mit
⎛
⎞
3 0 4 0
A = 1 ⎜0 3 0 4
⎟
5 ⎝4 0 −3 0 ⎠ ∈ R4×4
0 4 0 −3
eine orthogonale Spiegelung an einem Untervektorraum W ⊂ R 4 ist, und zeigen
Sie, daß W = U gilt. (4)
4. a) Geben Sie eine orthogonale Matrix A ∈ R 3×3 an, so daß die lineare Abbildung
eine Drehung um die Achse
f = l A : R 3 −→ R 3
⎛ ⎞
2
g = R ⎝1⎠
0
mit Drehwinkel φ = 90 ◦ beschreibt. (4)
[In der Tat gibt es zwei mögliche Abbildungsmatrizen A; es genügt, wenn Sie eine davon
bestimmen.]
b) i) Begründen Sie, daß es genau eine affine Abbildung
mit
( 1
f =
1)
f : R 2 −→ R 2 , f(x) = D · x + t,
( ) ( −4 2
, f =
−1 1)
( ) −4
, f
0
( ) −1
=
0
( ) −3
−3
gibt, und bestimmen Sie die Matrix D und den Vektor t.
ii) Zeigen Sie, daß f aus i) eine Drehung ist, und bestimmen Sie das Drehzentrum
z ∈ R 2 . (4)