Logarithmus_PDFTest

Exponentialfunktionen:
Im Unterschied zu den Potenzfunktionen (z. B. y = x 2 ), bei denen die Variable in der
Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. y = 2 x ) die Variable im Exponenten.
Warum darf die Basis
nicht negativ sein?
Und warum darf die
Basis nicht 1 sein?
O
O
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Inhaltsverzeichnis:
1. Exponentielles Wachstum/ exponentielle Abnahme
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2. Eigenschaften von Exponentialfunktionen
O
3. Exponentielle Funktion verschieben:
• Verschieben parallel zur x-Achse:
• Verschieben parallel zur y-Achse:
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4. Exponentielle Funktion strecken, stauchen und spiegeln
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5. Potenz
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6. Potenzieren und Wurzelziehen – Logarithmus
O
7. Einschränkungen Logarithmus
O
8. Zusammenfassung
O

Exponentielles Wachstum/ exponentielle Abnahme:
Ist die Basis großer als eins (b >1) so spricht man vom exponentiellen Wachstum
Beispiel:
k (x) = 3 x
Ist die Basis größer null und kleiner eins (0<b <1) so spricht man von exponentieller Abnahme
Beispiel:
k (x) = 0,7 x

Eigenschaften von Exponentialfunktionen:
Allgemeine Eigenschaften:
• Der Graph liegt oberhalb der x-Achse
➔ Wertmenge R + (W = R + )
• Der Graph kommt der x-Achse immer näher, schneidet sie aber nie
➔ die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote zum Graph
• Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen!
• Exponentialfunktionen der Form f(x)= b x haben alle den Punkt (1|b).
• Alle Exponentialkurven schneiden die y-Achse im Punkt (0|1).
➔ y-Achsenabschnitt y=1
(weil, laut Potenzgesetz gilt: a 0 = 1 )

Exponentielle Funktion verschieben:
Verschieben parallel zur x-Achse:
f (x) = b x−c
Der Graph f (x) = b x wird um c parallel zur x-Achse verschoben:
Beispiel: b=2
Verschieben parallel zur y-Achse:
f (x) = b x + c
Der Graph f (x) = b x wird um c parallel zur y-Achse verschoben:
Beispiel b=2

Exponentielle Funktion strecken, stauchen und spiegeln:
f (x) = a ∙ b x
Der Graph f (x) = b x wird wenn
- a > 1 ist, parallel zur y-Achse gestreckt:
- 0 < a < 1 ist, parallel zur y-Achse gestaucht:
- a negativ ist, an der x-Achse gespiegelt
Beispiel b=2

Potenz:
Potenzieren und Wurzelziehen – Logarithmus:
b x = a ⬄
x a = b b x = a ⬄
x = log b
(a)
Potenzieren
Beispiel: 3 2 = a a = 9
Durchs Potenzieren bestimmst du den
Potenzwert
Wurzelziehen
Beispiel:
2 9 = b b = 3
Durchs Wurzelziehen bestimmst die Basis
Logarithmus
Beispiel:
3 x = 2 x = log 3
(2) = 9
Mit dem Logarithmus bestimmst du den
Exponenten
Einschränkungen Logarithmus:
1. Die Logarithmusbasis muss größer als 0 sein (b>0)
Beispiel: log 0 (5) = x 0 x = 5 | Unlösbar, denn 0 hoch irgendwas ist immer 0
2. Die Logarithmusbasis darf nicht gleich 1 sein (b≠1)
Beispiel: log 1 (5) = x 1 x = 5 | Unlösbar, denn 1 hoch irgendwas ist immer 1
3. Der Numerus muss positiv sein (a>0)
Beispiel: log 3 (−5) = x 3 x = − 5 | Unlösbar, denn eine positive Basis führt
immer zu einem positiven Potenzwert

A
Warum darf die Basis nicht gleich 1 sein?
Für a=1 wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion: f (x) = 1 x = 1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1 1 1 1 1 1 1
Warum B darf die Basis nicht negativ sein?
Wir erinnern uns, es gilt das Gesetz: b 1 x = x b
⇨ wenn b negativ wäre, sähe das ganz so aus: ( − b) 1 x = x ( − b) Für negative
Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert!
z.B.: f (x) = (−2) x ; x = 1
4 ; (−2) 1 4 = 4 −2 ; nicht def iniert

Zusammenfassungen:
f (x) = a ∙ b x−c + d
Der Graph wird um a parallel zur y-Achse:
- gestaucht, wenn 0<a<1
- gestreckt, wenn a>1
- gespiegelt, wenn a negativ ist
Der Graph wird um c parallel zur x-Achse verschoben
Der Graph wird um d parallel zur y-Achse verschoben
b>0 exponentielles Wachstum
b<0 exponentielle Abnahme
O
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