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Buch: Mobile Kommunikation Lerntutorial LNTwww (online unter www.lntwww.de)
Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
A2.5: Scatter-Funktion
Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es
vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation
miteinander verknüpft sind. Mit der in diesem Lerntutorial
formalisierten Nomenklatur sind diese:
die zeitvariante Impulsantwort η VZ(τ, t) = h(τ, t),
die Verzögerungs–Doppler–Funktion η VD(τ, f D) ,
die Frequenz–Doppler–Funktion η FD(f, f D),
die zeitvariante Übertragungsfunktion η FZ(f, t) .
Die Indizes stehen für die Verzögerung τ, die Zeit t, die
Frequenz f sowie die Dopplerfrequenz f D.
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion η VD(τ, f D) entsprechend der oberen Grafik:
In der Literatur wird η VD(τ, f D) häufig auch Scatter–Funktion genannt und mit s(τ, f D), bezeichnet.
Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion |η VD(τ, f D)| dargestellt ist, so dass die negativen Gewichte
der beiden letzten Diracfunktionen nicht zu erkennen sind. In dieser Aufgabe sollen die dazugehörige
Verzögerungs–Zeit–Funktion η VZ(τ, t) und die Frequenz–Doppler–Funktion η FD(f, f D) ermittelt werden.
Hinweis: Die Aufgabe soll den Lehrstoff von Kapitel 2.3 verdeutlichen. Der Zusammenhang zwischen
den einzelnen Systemfunktionen ist auf der Grafik der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Fragebogen zu "A2.5: Scatter-Funktion"
a) Bei welchen τ–Werten hat die zeitvariante Impulsantwort η VZ(τ, t) Anteile?
τ = 0,
τ = 1 μs,
andere τ–Werte.
b) Berechnen Sie |η VZ(τ = 0, t)|. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
|η VZ(τ = 0, t)| ist unabhängig von t.
Es gilt η VZ(τ = 0, t) = A · cos(2π f 0 t).
Es gilt η VZ(τ = 0, t) = A · sin(2π f 0 t).
c) Berechnen Sie |η VZ (τ = 1 μs, t)|. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
|η VZ(τ = 1 μs, t)| ist unabhängig von t.
Es gilt η VZ(τ = 1 μs, t) = A · cos(2π f 0 t).
Es gilt η VZ(τ = 1 μs, t) = A · sin(2π f 0 t).
d) Betrachten Sie nun die Frequenz–Doppler–Darstellung η FD(f, f D). Für welche
f D–Werte ist diese Funktion ungleich 0?
f D = 0,
f D = ± 50 Hz,
f D = ± 100 Hz.
e) Welche Aussagen gelten für η FD (f, f D ) bei den relevanten Dopplerfrequenzen?
|η FD (f, f D = 100 Hz)| ist unabhängig von f D .
Es gilt η FD (f, f D = 50 Hz) = A · cos (2π t 0 f).
Es gilt η FD (f, f D = 50 Hz) = A · sin (2π t 0 f).
f) Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion η FZ (f, t)?
Durch Fouriertransformation von η VD (τ, f D ) bezüglich τ.
Durch Fouriertransformation von η VZ (τ, t) bezüglich τ.
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Durch Fourierrücktransformation von η FD (f, f D ) bezüglich f D .
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Z2.5: Mehrwege-Szenario
In der Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs–Doppler–
Funktion vorgegeben und man sollte daraus die drei
weiteren Systemfunktionen berechnen und interpretieren.
Die Vorgabe der Scatterfunktion s(τ 0 , f D ) = η VD (τ 0 , f D )
lautete dabei:
Wir haben hier die Verzögerungsvariable τ durch τ 0 ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable τ 0 die
Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit τ 1 des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist
somit in obiger Gleichung durch τ 0 = 0 gekennzeichnet.
Nun soll versucht werden, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion
auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
Gesendet wird eine einzige Frequenz f S = 2 GHz.
Der mobile Empfänger (E) ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das
Fahrzeug steht, sich auf den Sender (S) zubewegt oder sich von diesem entfernt.
Das Signal gelangt zum Empfänger über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und
grün). Die Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu einer Phasendrehung um π.
S 2 und S 3 sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel α 2 und α 3
der Nebenpfade ermittelt werden können.
Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Geschwindigkeit υ, der Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 10 8 m/s,
der Signalfrequenz f S und dem Winkel α:
Die Dämpfungsfaktoren k 1, k 2 und k 3 sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen d 1, d 2 und
d 3 . Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten γ = 2: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der
Distanz d ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit d.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 2.3 und bezieht sich auch auf das Pfadverlustmodell und
den Dopplereffekt.
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Fragebogen zu "Z2.5: Mehrwege-Szenario"
a) Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei τ = 0, f D = 100 Hz. Welche
Aussagen gelten für den Empfänger?
Der Empfänger steht.
Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.
b) Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?
υ = km/h
c) Welche Aussagen gelten dinsichtlich des Diracs bei τ 0 = 1 μs, f D = +50 Hz?
Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
Der Winkel α 2 (siehe Grafik) beträgt 30°.
Der Winkel α 2 (siehe Grafik) beträgt 60°.
d) Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?
Für diesen gilt τ 0 = 1 μs und f D = –50 Hz.
Der Winkel α 3 beträgt 60°.
Der Winkel α 3 beträgt 240°.
e) Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?
Es gilt d 3 = d 2 .
Es gilt k 3 = k 2 .
Es gilt τ 3 = τ 2 .
f) Wie groß ist die Laufzeitdifferenz Δd = d 2 – d 1 ?
g) Welches Verhältnis besteht zwischen d 2 und d 1 ?
h) Geben Sie die Distanzen d 1 und d 2 an.
Δd = m
d 2 /d 1 =
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d 1 = m
d 2 = m
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
A2.6: Einheiten bei GWSSUS
Der Mobilfunkkanal kann in seiner allgemeinsten
Form durch vier Systemfunktionen beschrieben
werden, wobei der Zusammenhang zwischen je
zwei Funktionen durch die Fouriertransformation
bzw. die Fourierrücktransformation gegeben ist.
In unserem Lerntutorial werden diese Funktionen
einheitlich mit „η 12 ” bezeichnet und es gelten für die
Indizes folgende Vereinbarungen:
V steht für die Verzögerung τ (erster Index),
F steht für die Frequenz f (erster Index),
Z steht für die Zeit t (zweiter Index),
D ist die Dopplerfrequenz f (zweiter Index).
Die Zusammenhänge zwischen Systemfunktionen
sind in der oberen Grafik (mit gelber Hinterlegung)
dargestellt. Die Fourierkorrespondenzzeichen sind
grün eingezeichnet, wobei der Übergang von einem
weiß gefüllten Kreis zu einem grün gefüllten Kreis
einer Fouriertransformation entspricht und die
Gegenrichtung einer Fourierrücktransformation.
Beispielsweise gilt:
Die aus den Systemfunktionen abgeleiteten Korrelationsfunktionen „φ 12 ” und Leistungsdichtespektren
„Φ 12” werden mit den gleichen Indizes versehen. Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren
Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom
GWSSUS–Modell ausgegangen.
Betrachten wir hier die Systemfunktion η VZ(τ, t), also die zeitvariante Impulsantwort h(τ, t). Für diese
ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 2.3.
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Fragebogen zu "A2.6: Einheiten bei GWSSUS"
a) Welche Einheiten besitzen die Systemfunktionen? Welche Aussagen treffen zu?
η VZ (τ, t) hat die Einheit [1/s].
η FZ (f, t) hat keine Einheit.
η VD (τ, f D ) hat keine Einheit.
η FD (f, f D ) hat die Einheit [1/Hz].
b) Welche Einheiten besitzen folgende Funktionen? Welche Aussagen treffen zu?
φ VZ (Δτ, Δt) hat die Einheit [1/s].
Φ VZ(τ, Δt) hat die Einheit [1/s].
Φ V (τ) hat die Einheit [1/s].
c) Welche Einheiten besitzen folgende Funktionen? Welche Aussagen treffen zu?
φ FZ(Δf, Δt), φ F(Δf) und φ Z(Δt) haben keine Einheit.
Φ VD (τ, f D ) hat die Einheit [1/s].
Φ FD(Δf, f D) und Φ D(f D) haben die Einheit [1/Hz].
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
A2.7: Kohärenzbandbreite
Für das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum wird meist
ein exponentieller Ansatz gewählt. Mit Φ 0 = Φ V(τ = 0) gilt:
Die Konstante τ 0 lässt sich entsprechend der oberen Grafik
aus der Tangente im Punkt τ = 0 ermitteln. Beachten Sie,
dass Φ V (τ) die Einheit [1/s] aufweist. Weiter gilt:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte f V(τ) ist formgleich mit
Φ V (τ), jedoch auf die Fläche 1 normiert.
Die mittlere Verzögerungszeit (engl. Average Excess
Delay) m V ist der lineare Erwartungswert E[τ], der
sich auch aus der WDF f V(τ) bestimmen lässt.
Die Mehrwegeverbreiterung (engl. Multipath Spread) σ V ist gleich der Standardabweichung
(Streuung) der Zufallsgröße τ. Im Theorieteil wird hierfür auch die Bezeichnung T V verwendet.
Die unten dargestellte Frequenzkorrelationsfunktion φ F(Δf) kann als die Fouriertransformierte des
Verzögerungs–Leistungsdichtespektrums Φ V (τ) berechnet werden:
Die Kohärenzbandbreite B K ist derjenige Δf–Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion
φ F (Δf) auf den halben Betrag abgefallen ist.
Hinweis: Die Aufgabe behandelt das Themengebiet von Kapitel 2.3. Benötigt werden dazu Kenntnisse
zur Momentenberechnung für Zufallsgrößen aus dem Buch „Stochastische Signaltheorie”. Außerdem
kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Fragebogen zu "A2.7: Kohärenzbandbreite"
a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f V(τ) der Verzögerungszeit?
f V (τ) = exp(–τ/τ 0 ),
f V(τ) = 1/τ 0 · exp(–τ/τ 0),
f V(τ) = Φ 0 · exp(–τ/τ 0).
b) Bestimmen Sie die mittlere Verzögerungszeit für τ 0 = 1 μs.
m V = μs
c) Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit τ 0 = 1 μs?
σ V = μs
d) Berechnen Sie die Frequenzkorrelationsfunktion φ F(Δf). Welche Gleichung gilt?
φ F(Δf) = [1/τ 0 + j 2π · Δf] –1 ,
φ F(Δf) = exp [–(τ 0 · Δf) 2 ].
e) Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite B K.
B K = kHz
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Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Z2.7: B K für den LZI–Zweiwegekanal
Für das GWSSUS–Modell werden zwei statistische Kenngrößen
angegeben, die beide die durch Mehrwegeausbreitung entstehenden
Verzögerungszeiten τ erfassen. Mehr Informationen hierüber finden
Sie auf Seite 8 des Theorieteils.
Die Mehrwegeverbreiterung T V ist definitionsgemäß gleich
der Standardabweichung der Zufallsgröße τ. Diese kann aus
der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f V (τ) ermittelt werden,
wobei berücksichtigt werden kann, das f V(τ) formgleich mit
dem Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum Φ V(τ) ist.
Die Kohärenzbandbreite B K beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. Diese ist
implizit durch die Frequenzkorrelationsfunktion φ F(Δf) festgelegt als derjenige Δf–Wert, bei dem
deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
Der Zusammenhang zwischen Φ V (τ) und φ F (Δf) ist durch die Fouriertransformation gegeben:
Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet. Beispielsweise verwendet
man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal, also mit konstanten Pfadgewichten, entsprechend obiger
Grafik oft als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
In dieser Aufgabe soll geklärt werden,
warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
welcher Zusammenhang zwischen B K und B K ' besteht, und
welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf einige Theorieseiten in Kapitel 2.2 und Kapitel 2.3.
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Buch: Mobile Kommunikation Lerntutorial LNTwww (online unter www.lntwww.de)
Kapitel: 2 Frequenzselektive Übertragungskanäle Abschnitt: 2.3 Das GWSSUS–Kanalmodell
Fragebogen zu "Z2.7: B K für den LZI–Zweiwegekanal"
a) Welche Kohärenzbandbreitennäherungen ergeben sich für Kanal A und B?
Kanal A: B K' = kHz
Kanal B: B K ' = kHz
b) Wie lautet die WDF f V(τ), wenn G das Gewicht des zweiten Pfades angibt?
f V(τ) = δ(τ) + G · δ(τ – τ 0),
f V (τ) = δ(τ) + G 2 · δ(τ – τ 0 ),
f V(τ) = 1/(1 + G 2 ) · δ(τ) + G 2 /(1 + G 2 ) · δ(τ – τ 0).
c) Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung.
Kanal A: T V = μs
Kanal B: T V = μs
d) Welche Kohärenzbandbreite B K weist der Kanal A auf?
Es gilt B K = 333 kHz.
Es gilt B K = 500 kHz.
Es gilt B K = 1 MHz.
B K ist nach dieser Definition nicht angebbar.
e) Welche Kohärenzbandbreite B K weist der Kanal B auf?
Es gilt B K = 333 kHz.
Es gilt B K = 500 kHz.
Es gilt B K = 1 MHz.
B K ist nach dieser Definition nicht angebbar.
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A2.8: COST-Verzögerungsmodelle
In der Grafik sind vier Verzögerungs–Leistungsdichtespektren
logarithmisch aufgetragen, also
als Funktion der Verzögerungszeit τ. Hierbei ist ϕ 0 = ϕ V (τ = 0).
Es handelt sich um die sog. COST–Verzögerungsmodelle. Die
obere Skizze beinhaltet die beiden Profile RA (Rural Area) und
TU (Typical Urban). Für diese beiden gilt folgender Verlauf:
Der Wert des Parameters τ 0 (Zeitkonstante der AKF) soll in
der Teilaufgabe a) aus der gegebenen Grafik ermittelt werden.
Beachten Sie hierzu die angegebenen τ–Werte für –30 dB:
Die untere Grafik gilt für ungünstigere Verhältnisse in
städtischen Gebieten (Bad Urban, BU):
in ländlichen Gebieten (Hilly Terrain, HT):
Für die Modelle RA, TU und BU sollen folgende Kenngrößen ermittelt werden:
Die Mehrwegeverbreiterung T V ist die Standardabweichung (Streuung) der Verzögerungszeit τ.
Hat das Verzögerungs–LDS Φ V(τ) einen experimentellen Verlauf wie bei den Profilen „:RA” und
„:TU”, so gilt T V = τ 0 , siehe Aufgabe A2.7.
Die Kohärenzbandbreite B K ist derjenige Δf–Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion
φ F(Δf) betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgefallen ist. Bei exponentiellem Φ V(τ) wie bei „:RA”
und „:TU” ist das Produkt T V · B K ≈ 0.276, siehe Aufgabe A2.7.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 2.3. Vorgegeben sind die folgenden
bestimmten Integrale:
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Fragebogen zu "A2.8: COST-Verzögerungsmodelle"
a) Geben Sie den LDS–Parameter τ 0 für die Profile RA und TU an.
b) Wie groß ist die Mehrwegeverbreiterung dieser Kanäle?
RA: τ 0 = μs
TU: τ 0 = μs
RA: T V = μs
TU: T V = μs
c) Welche Kohärenzbandbreite stellen diese Kanäle bereit?
RA: B K = kHz
TU : B K = kHz
d) Bei welchem Kanal spielt Frequenzselektivität eine größere Rolle?
Bei „Rural Area”.
Bei „Typical Urban”.
e) Wie groß ist die (normierte) Leistungsdichte für „Bad Urban” und τ = 5.001 μs
bzw. τ = 4.999 μs?
BU: Φ(τ = 5.001 μs) = · Φ 0
Φ(τ = 4.999 μs) = · Φ 0
f) Wir betrachten weiterhin BU. Wie groß ist der prozentuale Leistungsanteil P 1
der Signalanteile zwischen 0 und 5 μs?
BU: P 1/(P 1 + P 2) = %
g) Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung T V des Profils „BU”. Hinweis: Die
mittlere Laufzeit beträgt m V = E[τ] = 2.667 μs.
BU: T V = μs
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A2.9: Korrelationsdauer
Der Einfluss des Rayleigh–Fadings wird im Frequenzbereich
vollständig durch das Jakes–Spektrum beschrieben. Mit
dem Rayleigh–Parameter σ = 2 –0.5 (Wurzel aus 1/2) ergibt
sich dieses im Doppler–Frequenzbereich |f D| ≤ f D, max zu
Diese Funktion ist in der Grafik für f D, max = 50 Hz (blaue
Kurve) und für f D, max = 100 Hz (rote Kurve) dargestellt.
Die Zeitkorrelationsfunktion ist die Fourierrücktransformierte
des Doppler–Leistungsdichtespektrums Φ D (f):
Hierbei bezeichnet J 0 die Besselfunktion nullter Ordnung.
Diese ebenfalls symmetrische Funktion ist in der Grafik unten
skizziert, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich
eine Kenngröße ableiten:
Die Dopplerverbreiterung B D bezieht sich auf das Doppler–LDS Φ D(f D) und gibt dessen
Streuung σ D an. Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes–Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die
Varianz σ D 2 gleich dem quadratischen Mittelwert ist. Die Berechnung geschieht in analoger Weise
wie die Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung T V aus dem Verzögerungs–LDS Φ V(τ) ⇒
Aufgabe A2.7.
Die Korrelationsdauer T D bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion φ Z (Δt) und gibt
denjenigen Δt–Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte ihres Maximums (stets bei
Δt = 0) abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite B K aus
der Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) ⇒ Aufgabe A2.7.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Kapitel 2.1 und Kapitel 2.3. Gegeben ist das folgende
unbestimmte Integral:
Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung (J 0 ):
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Fragebogen zu "A2.9: Korrelationsdauer"
a) Welche Aussagen treffen im vorliegenden Fall für die Wahrscheinlichkeitsdichte
(WDF) der Dopplerfrequenz zu?
Die Doppler–WDF ist identisch mit dem Doppler–LDS.
Die Doppler–WDF ist nur formgleich mit dem Doppler–LDS.
Doppler–WDF und Doppler–LDS unterscheiden sich grundsätzlich.
b) Bestimmen Sie die Dopplerverbreiterung B D nach der angegebenen Definition.
f D, max = 50 Hz: B D = Hz
f D, max = 100 Hz: B D = Hz
c) Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für Δt = 5 ms?
f D, max = 50 Hz: φ Z (Δt = 5 ms) =
f D, max = 100 Hz: φ Z (Δt = 5 ms) =
d) Wie groß sind die Korrelationsdauern für beide Parametersätze?
f D, max = 50 Hz: T D = ms
f D, max = 100 Hz: T D = ms
e) Welcher Zusammenhang gilt ganz allgemein zwischen Dopplerverbreiterung B D
und Korrelationsdauer T D , wenn vom Jakes–Spektrum ausgegangen wird?
B D · T D ≈ 1,
B D · T D ≈ 0.5,
B D · T D ≈ 0.171.
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